modulo2 potenciação e radiciação(1)
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MDULO II
POTENCIAO
E
RADICIAO
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MDULO IIPOTENCIAO E RADICIAO
O mdulo II composto por exerccios envolvendo potenciao e radiciao.
Estamos dividindo-o em duas partes para melhor compreenso.
1 PARTE: POTENCIAO
1. DEFINIO DE POTENCIAO
A potenciao indica multiplicaes de fatores iguais. Por exemplo, o produto 3.3.3.3 pode
ser indicado na forma 43 . Assim, o smbolo na , sendo aum nmero inteiro e num nmero natural
maior que 1, significa o produto de nfatores iguais a a:
fatoresn
n aaaaa .......
- a a base;- n o expoente;- o resultado a potncia.
Por definio temos que: aaea 10 1
Exemplos:
a) 2733333
b) 4222 2
c) 82222 3
d)16
9
4
3
4
3
4
32
CUIDADO !!Cuidado com os sinais. Nmero negativo elevado a expoente par fica positivo. Exemplos:
1622222 4
9333 2
Nmero negativo elevado a expoente mpar permanece negativo. Exemplo:Ex. 1: 2222 3
24 8
Se 2x , qual ser o valor de 2x ?
Observe: 42 2 , pois o sinal negativo no est elevado ao quadrado.
42x 22 os parnteses devem ser usados, porque o sinal negativo- no deve ser elevado ao quadrado, somente o nmero 2 que o valor de x.
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0;
..
bcomb
a
b
a
baba
a
b
b
a
n
nn
nnn
nn
2. PROPRIEDADES DA POTENCIAO
Quadro Resumo das Propriedades
n
n
m
n
m n
nmnm
nm
n
m
nmnm
aa
aa
aa
a
a
a
aaa
1
.
A seguir apresentamos alguns exemplos para ilustrar o uso das propriedades:
a)nmnm aaa Nesta propriedade vemos que quando tivermos multiplicao de potencias
de bases iguais temos que conservar a base e somar os expoentes.
Ex. 1.: 22 222 xx
Ex. 2.: 117474 aaaa
Ex. 3.: 42 34 neste caso devemos primeiramente resolver as potncias para depoismultiplicar os resultados, pois as bases 4 e 3 so diferentes.
129681163442
Obs.: Devemos lembrar que esta propriedade vlida nos dois sentidos.
Assim: nmnm aaa ou nmnm aaa Exemplo: n7n7 aaa
b)nm
n
m
aa
a
Nesta propriedade vemos que quando tivermos diviso de potencias de bases
iguais temos que conservar a base e subtrair os expoentes.
Ex. 1: xx
44
33
3
Ex. 2: 1545
4
aaaa
Obs.:Esta propriedade tambm vlida nos dois sentidos, ou seja
nm
n
m
aa
a
oun
mnm
a
aa Exemplo:
x
x
a
aa
44
c)nmnm aa
Nesta propriedade temos uma potencia elevada a um outro expoente, para
resolver temos que conservar a base e multiplicar os expoentes .d)
Ex. 1: 62323 444
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Ex. 2: xxx bbb 444 Obs.:Esta propriedade tambm vlida nos dois sentidos, ou seja
nmnm aa ou nmnm aa Ex.: 444 333 xxx ou
d)
mn
m n aa Esta propriedade nos mostra que todo radical pode se transformado numapotencia de expoente fracionrio, onde o ndice da raiz o denominador do expoente.
Ex. 1: 21
2 1 xxx
Ex. 2: 37
3 7 xx
Ex. 3: 52525 21
Ex. 4:3 83
8
xx
Obs.:Esta propriedade tambm vlida nos dois sentidos, ou seja
m
n
m n aa
ou m nmn
aa Ex.: 525
aa
e) 0bcom,b
a
b
an
nn
Ex. 1:9
4
3
2
3
2
2
22
Ex. 2: 25
1
5
1
5
1
2
22
Obs.:Esta propriedade tambm vlida nos dois sentidos, ou seja
n
nn
b
a
b
a
ou
n
n
n
b
a
b
a
Ex.:
3
2
3
2
3
2
3
2 21
21
21
f) nnn baba
Ex. 1: 222 axax
Ex. 2: 3333 6444 xxx
Ex. 3: 2242444
21
44
44
8133333 xxxxxx
Obs.:Esta propriedade tambm vlida nos dois sentidos, ou sejannn baba
ou nnn baba Ex.: yxyxyxyx 21
21
21
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g)n
n
a
1a
Ex. 1:33
33
3 111
aaaa
Ex. 2:4
9
2
3
2
3
3
22
222
Ex. 3: 4
1
4
14
11
Obs.:Esta propriedade tambm vlida nos dois sentidos, ou sejan
n
a
1a ou
nn
aa
1
Ex.: a)2
2
1 xx
b) 333 3
2132
32 x
xx
CUIDADO !!!
8
1
2
1
2
12
3
333
27
1
3
1
3
13 3
33
3
3
3
333
a1
a
1
a
a
1
Obs.: importante colocar que nos trs exemplos acima o sinal negativo do expoente nointerferiu no sinal do resultado final, pois esta no a sua funo.
EXERCCIOS
1) Calcule as potncias:
a) 26
b) (-6)2
c) -62
d) (-2)3
e) -23
f) 50
g) (-8)0
h)4
2
3
i)4
2
3
j)3
2
3
k) 028
l) 132
m) (-1)20
n) (-1)17
o)2
5
3
O sinal negativo no expoenteindica que a base da
potncia deve ser invertida esimultaneamente devemoseliminar o sinal negativo do
expoente.
Primeiro eliminamos o sinalnegativo do expoente
invertendo a base.
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2. O valor de [47.410.4]2: (45)7:
a) 16
b) 8
c) 6
d) 4e) 2
3. Qual a forma mais simples de escrever:
a) (a . b)3. b . (b . c)2
b)7
4523 ....
y
xxyyx
4. Sendo 7.3.2 87a e 65 3.2b , o quociente de apor b:
a) 252
b) 36
c) 126
d) 48
e) 42
5. Calcule o valor da expresso:212
4
1
2
1
3
2
A
6. Simplificando a expresso
2
3
3
1.3
4
1
2
1.3
2
2
, obtemos o nmero:
a)7
6
b)6
7
c)7
6
d)6
7
e)7
5
7. Quando 3be3
1a , qual o valor numrico da expresso 22 baba ?
8. Escreva a forma decimal de representar as seguintes potncias:
a) 2-3=
b) 10-2 =
c) 4-1=
Exemplos mais complexos:
(1)
33232
3
2
1
3
2
13
yx4
1
x
1
xy4
1
1
x
xy4
1
x
xy4
1
x
xy4
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(2) 622.32232
22
3
23
y.x
1
y.x
1
y.x
1
xy
1y.x
(3) 9123.33.4
3
33343
343
34b.a
1
b.a
1
b.a
1
b.a
b.a
1
(4)
682324
22
34
positivo.ficapar,expoenteaelevado
negativon
682.32.42324
2
2
34
234
111
.
1
.
1
.
1
.
1.
yayaya
ou
yayaya
yaya
(5) 242222
2
22
22
2
22
a.y.64
1
a.y.8
1
a.y.8
1
a.y.8
1a.y.8
Nos exemplos (6) e (7) a seguir, devemos primeiro resolver a operao que aparece dentro dosparnteses.
(6)
3
4
1
2
729
64
9
4
9
4
4
9
4
18
4
12
3
33333
(7)
4
1c2c2c4
4
1c21c2
2
1c2
2
1c2
2
1c
2
2
222
4
1c4c4 2
ou
2
1
2
1c
2
1
2
1cc
2
1c
2
1c
2
1c 2
2
4
1c4c4
4
1cc
4
1
2
c2c
4
1
2
c
2
cc
2222
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EXERCCIOS9. Efetue:
a) 46.aa
b) 3
8
a
a
c)
3
22
3
22
b
ca
c
ab
d)
3
22
2
2
33
2
2
3
3
ba
xy
ba
yx
e)
4
3x
f) 53)(x
g) 32)2( x
h) 3325 ba
i)
4
2
3
b
a
j)
2
4
3
5
2
x
ab
k)
4
23
1
a
10. Sabendo que2
5
42
a , determine o valor de a.
Ateno neste exemplo. Simplifique as expresses:
1n33
n
28
42Como temos multiplicao e diviso de potncias de bases diferentes, devemos reduzir
todas a mesma base. Como a menor base 2, tentaremos escrever todos os nmeros
que aparecem na base 2. Substituiremos 4 por 22e 283 por .
1n3
2n
22
22 Agora aplicaremos as propriedades de multiplicao e diviso de potncias de mesma
base.
2n32n2n32n
2n3
2n
1n31
2n
222
2
2
2 n2
2
ou n22
1
Exerccios
11. Simplifique as expresses:
a)1n
n2n
33
33E
b)
1n
1nn
4
24E
c)
1n
2n
5
10025G
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Essa propriedade mostra quetodo radical pode ser escritona forma de uma potncia.
2 PARTE: RADICIAO
1. DEFINIO DE RADICIAO
A radiciao a operao inversa da potenciao. De modo geral podemos escrever:
1nenabbann
Ex. 1: 42242 pois
Ex. 2: 8228 33 pois
Na raiz n a , temos:
- O nmero n chamadondice;- O nmero a chamadoradicando.
2.CLCULO DA RAIZ POR DECOMPOSIO
2.1 PROPRIEDADES DOS RADICAIS
a)n
pn p
aa
Ex. 1: 31
322
Ex. 2: 23
344
Ex. 3: 52
5 266
Obs.: importante lembrar que esta propriedade tambm muito usada no sentido contrrio ou
seja n pnp
aa (o denominador n do expoente fracionrio o ndice do radical).
Exemplo : 5 353
22 .
b) aaaa 1nn
n n Ex.: 2222
133
3 3
c)nnn baba Ex.: 23
63
33 63 33 63 babababa
d) n
n
n
b
a
b
a
Ex.:5
3
25
3
25
26
5
6
5
6
b
aou
b
a
b
a
b
a
b
a
-
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e) nmm
nm
n
m
nm
n bbbbb
1
111
Ex.: 23
1
3
2
13
2
13
213
55555
f)nmn m aa Ex.: 6233 2 333
EXERCCIOS12. D o valor das expresses e apresente o resultado na forma fracionria:
a) 100
1
b) 16
1
c) 9
4
d) 01,0
e) 81,0
f) 25,2
13. Calcule a raiz indicada:
a)9 3a
b) 3 48
c) 7t
d)4 12t
14.Escreva na forma de potncia com expoente fracionrio:
a) 7
b) 4 32
c) 5 23
d) 6 5a
e) 3 2x
f) 3
1
15. Escreva na forma de radical:
a) 51
2
b) 32
4
c) 41
x
d)
2
1
8
e) 75
a
f) 41
3ba
g) 51
2nm
h)
4
3
m
16. De que forma escrevemos o nmero racional 0,001, usando expoente inteiro negativo?
a) 110 b) 210
c) 310 d) 410
e) 101
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2.2RAZES NUMRICAS
Exemplos:
a) 24 32144
123432
32
32
12
22
24
24
b) 3 233 53 333243
3 23 3 33
32
33
33
32
33 ou
3 233
ou393
Obs.: Nem sempre chegaremos a eliminar o radical.
2 .3 RA Z E S L I T E R A I S
a) 29
9 xx
Escrever o radical 9x na forma de expoente fracionrio 2
9
x no resolve o problema, poisnove no divisvel por 2. Assim decomporemos o nmero 9 da seguinte forma:
9 = 8 + 1, pois 8 divisvel por 2 que o ndice da raiz.
Assim teremos:
xxxxxxxxxx 428
818189
b)3 2123 14 xx pois 12 divisvel por 3 (ndice da raiz).
Resultadospossveis
Devemos fatorar 144
14432
3
3
22
2
2
1
3
9
1836
72
144
24
Forma fatoradade 144
2433
3
3
3
3
3
1
3
9
27
81
243
5
Forma fatoradade 243
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23
3 24
3 2312
3 23 12
3 212
xx
xx
xx
xx
Outros Exemplos:
a)3 633 6 x27x.27
2
21
233
36
3 3
x3
x3
x3
3)pordivisvel6(poisx3
b) 3 63 433 64 yx48yx48
32
332
233
233 33
23 333 3
36
3pordivisvel
no4pois
3 133 3
x6xy2
x6xy2
yxx62
yxx62
yxx62
yx6.2
EXERCCIOS17.Calcule:
a) 3 125 b) 5 243
c) 36
d) 5 1
e) 6 0
f) 1 7 g) 3 125
h) 5 32
i) 7 1
273
3
3
3
1
3
9
27
3
486.23.2.2
3
2
2
2
2
13
6
12
24
48
33
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18. Fatore e escreva na forma de potncia com expoente fracionrio:
a) 3 32
b) 3 25
c) 4 27
d) 7 81
e) 8 512
f) 8 625
19. Calcule a raiz indicada:
a) 24a
b) 6236 ba
c) 429
4ba
d) 100
2x
e) 25
16 10a
f) 4 2100x
g) 8 121
h) 5 1051024 yx
i) 4 251
j) 33
6
b
a
k) 62
416
zy
x
20. Simplifique os radicais:
a) 5 10xa
b) cba 24
c) ba3
d) xa425
e) 3 432
f) 453
1
3 . OP E R A E S C O M R A D I C A I S
3.1. Adio e Subtrao
Quando temos radicais semelhantes em uma adio algbrica, podemos reduzi-los a um
nico radical somando-se os fatores externos desses radicais.
Exemplos:
1) 331324132343
2) 55555 333232323332
externosfatores
Obs.: Podemos dizer que estamos colocando em evidncia os radicais que apareceram em todosos termos da soma.
3)
reduzidamaisserpodeno
532256322456532224
4) 32247253425723
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25
EXERCCIOS21. Simplifique 1081061012 :
22. Determine as somas algbricas:
a) 333 24
5222
3
7
b) 3
5
5
5
2
5
6
5
c) 3333 382423825
d) 4545 610712678
23. Simplifique as expresses e calcule as somas algbricas:
a) 452632203285
b) 729501518138528
c) 201010864812456
d) 104
1250
4
190
2
3
e) 4444 24396248696
f) 33333 45
82216256
5
2325
g) 555 248664
h) 333125
2410
729
37581
64
814
24. Calcule as somas algbricas:
a) xxxx 6410
b) baba 144896814
c) 333 1000827 aa
d) 4 944 5 3122 aaaaa
e) aaaxaxa 434 32
f) baba 835 44
g) xxy
xyx
8110094
2
h) 44 544 4
1682
ca
cbca
25. Considere mcmbma 368,1002,9 e determine:
a) a + b + c = b) a ( b + c )= c) a b + c= d) ( a + b ) c=
26. Simplifique a expresso
10 1056 34 42
2
1yaayya .
3.2 Multiplicao
Temos 4 casos bsicos para a multiplicao de radicais, a seguir veremos cada um:
1
CASO: Radicais tm razes exatas.Neste caso basta extrair a raiz e multiplicar os resultados:
Exemplo: 824816 3
2CASO: Radicais tm o mesmo ndice.Devemos conservar o ndice e multiplicar os radicandos, simplificando sempre que possvel o
resultado obtido.
Exemplos: a) 155353
b) 3 423 43 23 yxyxyxyx 3 53 yx pode parar aqui!
Se quisermos continuar, podemos separar os radicais diante de multiplicao e diviso:
-
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26
3 23 23 33 233 233 53 33 53 yyxyyxyyxyxyxyx
c) 10652652325322
3CASO: Radicais tm ndices diferentes.
O caminho mais fcil transformar os radicais em potncias fracionrias. Logo em seguida,
transformar os expoentes fracionrios em fraes equivalentes (com mesmo denominador).
Exemplos: a) 44 24 14 24
1
4
2
4
122
21
4
1
2
1
4 18232323232323
b)12 3412 312 412
3
12
4
3
3
4
1
4
4
3
1
4
1
3
1
43 xaxaxaxaxaxa
ATENO:- 2222
, ou seja, raiz de 2 mais raiz de dois igual a duas razes de dois.
- 222 por que? 2222 2 ou ainda podemos lembrar que toda raiz pode ser escrita na forma de potncia, ento:
22222222212
2
2
11
21
21
21
21
opotenciaderegra
3.3Diviso
A diviso de radicais tem 3 casos bsicos, a seguir veremos cada um deles:
1CASO: Os radicais tm razes exatas.
Nesse caso, extramos as razes e dividimos os resultados.
Exemplo: 33:927:81 3
Conservamos a base e
somamos os expoentes.
A ordem dos fatores no altera
o produto (multiplicao)
Multiplicamos numerador e denominador da frao
por 2 e transformamos na frao equivalente4
2
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27
2CASO: Radicais tm o mesmo ndice.
Devemos conservar o ndice e dividir os radicandos.
Exemplos:y
x
xy
x
xy
xxy:x
2333
333
333 2
10
20
10
2010:20
3CASO: Radicais com ndices diferentes.O caminho mais fcil transformar os radicais em potncias fracionrias, efetuar as operaes de
potncias de mesma base e voltar para a forma de radical .
Exemplo: 66
1
6
23
3
1
2
1
3
1
2
1
33 2222
2
2222:2
4.RACIONALIZAO DE DENOMINADORES
Racionalizar uma frao cujo denominador um nmero irracional, significa achar umafrao equivalente ela com denominador racional. Para isso, devemos multiplicar ambos os
termos da frao por um nmero conveniente. Ainda podemos dizer que racionalizar uma frao
significa reescrever a frao eliminando do denominador os radicais. Vejamos alguns exemplos:
1) Temos no denominador apenas raiz quadrada:
334
3
34
3
3
3
4
3
42
2) Temos no denominador razes com ndices maiores que 2:
(a)3 x
2 Temos que multiplicar numerador e denominador por
3 2x , pois 1 + 2 = 3.
x
x2
x
x2
x
x2
xx
x2
x
x
x
23 2
3 3
3 2
3 21
3 2
3 21
3 2
3 2
3 2
3
Como os ndices das razes so
iguais, podemos substituir as duas
razes por uma s!
-
7/25/2019 Modulo2 Potenciao e Radiciao(1)
17/22
28
(b)5 2x
1 Temos que multiplicar numerador e denominador por
5 3x , pois 2 + 3 = 5.
x
x
x
x
x
x
xx
x
x
x
x
15 3
5 5
5 3
5 32
5 3
5 32
5 3
5 3
5 3
5 2
3) Temos no denominador soma ou subtrao de radicais:
2
37
4
372
37
372
37
372
37
37
37
2
37
222
EXERCCIOS
27. Calcule
a) 737576
b) 18250325
c) 333 3524812
d) 2354
e) 55 223
f) 3234
g) 52
108
h)
2
4.1.455 2
i)
2
5.1.466 2
28. Simplifique os radicais e efetue:
a) 33
8822 xxxx b) 3333 19224323434
c) 32 5334 xxxxyxy
29. Efetue:
a) 32 9423 xxaxxxa
b) aaaaa 335 445
c) 3216450253842 xxx
d) 32 373 aaaabab
O sinal deve ser contrrio, seno a raiz
no ser eliminada do denominador.
2327237337273737
-
7/25/2019 Modulo2 Potenciao e Radiciao(1)
18/22
29
30. Escreva na forma mais simplificada:
a) xx.
b) xx3
c) aa 7
d) x
x3
e) 2
3
x
x
f) 43.xx
g) 7.xx
h) 3 43 aa
i) aa4
j) 23 aa k) 425 b
31. Efetue as multiplicaes e divises:
a) 4 223 5 .. baaba
b)
223 2
4.4 xaxa c) xx .10 3
d) yxyxxy 33 22 ..
e) 43 aaa
f) 3
3 5
aa
32. Efetue:
a) 8 3
4 2
a
a
b) 4 5
6 23
ba
ba
c) 3
4 32
xy
yx
d) 4
6
9
272
e) 433
153 bbb
f) 4
6
25.5
125.3
33. Quando3
2x , o valor numrico da expresso 23 2 xx :
a) 0
b) 1
c) 1
d)3
1
e)32
34. Se 63x e 39y :
a) x o dobro dey;
b) 1yx
c) yx
d) y o triplo dex;
e) 1 yx
35. Racionalize as fraes:
a)
x
1
b)4x
2
c)
x1
3
d)3 x
4
-
7/25/2019 Modulo2 Potenciao e Radiciao(1)
19/22
30
RE S P O S T A S D O S EX E R C C I O S
1 Questo:
a) 36 h)16
81 o)25
9
b) 36 i) 1681
c) 36 j)8
27-
d) 8 k) 0
e) 8 l) 1
f) 1 m) 1
g) 1 n) -1
2 Questo:
d)
3 Questo:
a) 263 cba b) 8x
4 Questo:
a)
5 Questo:
4
65A
6 Questo:
a)
7 Questo:
9
73
8 Questo:
a) 0,125 b) 0,01 c) 0,25
9 Questo:
a) 10a d)4
3y
8x
g) 68x j)
62
8
b4a
25x
b) 5a e) 481x h) 96ba125 k) 8a81
c)
3
8
c
ba4
f) 15x i)
8
4
b
a81
10 Questo:
36
25a
-
7/25/2019 Modulo2 Potenciao e Radiciao(1)
20/22
-
7/25/2019 Modulo2 Potenciao e Radiciao(1)
21/22
32
20 Questo:
a) 52 xa c) aba e) 3 26 b) cba 2 d) xa
25 f) 5
21 Questo:
102
22 Questo:
a) 3 212
11
b)5
15
2 c) 223 d) 45 6974
23 Questo:
a) 74 c) 52312 e) 44 32763 g) 5 22
b) 292 d) 103 f) 3 410 h) 3 344
24 Questo:a) x c) 3123 a e) aaxa g) xy
x.
10
89.
6
b) ba 8716 d) 42 )12( aaa f) ba 1324 h) 4 c
8
bc
25 Questo:
a) m25 b) m31 c) m65 d) m71
26 Questo:
a2
y
27 Questo:
a) 78 c)3 313 e) 5 43 g) 24
b) 214 d) 1012 f) 24 h) 1
i) 5
28 Questo:
a)xx 22
b) 28 c) xxy )27(
29 Questo:
a) xxa )( b) aaa )123(2 c) 25 x d) )(4 aba
30 Questo:
a) x d)6
1x
g)2
15
x j)
2
7
a
b) x4 e) x h)3
5
a k) 5b4
c)
a6
f) x-7
i)4
3
a
-
7/25/2019 Modulo2 Potenciao e Radiciao(1)
22/22
33
31 Questo:
a)
ba 3
8
c)5
4
x e) 12 aa
b) 3 242 xaax d) 3 222 yxyx f) 6 a
32 Questo:
a)8
1
ac)
12
5
6
1
yx e) 12bb5
b)12
1
4
3
ba
d) 2 f)
5
3
33 Questo:
a)
34 Questo:
c)
35 Questo:
a)
x
x
b)
4x
42x2
c)
x1
x33
d)
x
x43 2