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Lista de Exercícios - Potenciação

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Nota: Os exercícios desta aula são referentes ao seguinte vídeo

Matemática Zero 2.0 - Aula 14 - Potenciação ou Exponenciação - (parte 1 de 2)

Endereço: https://www.youtube.com/watch?v=20lm2lx6r0g

Gabaritos nas últimas páginas!

Atenção: alguns exercícios podem exigir conhecimentos de Radiciação também. Não se esqueça que Potenciação e Radiciação são conceitos muito ligados!

Nota: Para todos os exercícios, considere U = ℝ

E1: Simplifique:

E2: Simplifique:


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E3: Mostre que �2� � ��2��.

E4: Mostre que �2�� 2�.

E5: O número2�� é par ou ímpar? Justifique.

E6: Veja os itens a) e b) abaixo e responda:

a) O número 3� � é par? Justifique.

b) E o número3��? Justifique.

E7: Um lago possui uma população de algas, em sua superfície, que dobra sua área de ocupação a cada dia. No dia 30 de março, as algas ocuparam exatamente toda a superfície do lago. Calcule em qual dia o lago possuía metade da área ocupada.

E8: Reescreva �

�� livrando-se do expoente negativo.

E9: Reescreva �� livrando-se dos expoentes negativos.

E10: Mostre que ��⋅��⋅��

�

E11:

Se 5�� 8, então o valor de 5�� vale:

a) �� b)

�� c)

�� d)

�� e)

��

E12: Calcule: �� !��"��


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E13: Qual o último algarismo de 2� ?

E14:

Sendo n natural, qual das respostas abaixo NÃO É o último algarismo de 2# ?

a) 2 b) 4 c) 8 d) 6 e) 0

E15:

Colégio Naval) O valor aproximado de ��$,��! √�,��

��!�,��…

é:

a) 0,045 b)0,125 c)0,315 d)0,085 e)0,25

E16:

Colégio Naval) Sejam

( � )�!√�*" �!)��√�*" �� e + � )�!√�*" ��)��√�*" �

√� . Então o

valor de 4(� � 3+� é:

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

E17:

OBM) O valor da soma ��$$�⋅-"$$"�"$$"⋅��$$� . ��$$�⋅-"$$"

�"$$"⋅��$$� é:

a) �� b)

�� c) 1 d)

�� e) 2


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Gabarito

E1:


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E2:


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E3: Basta observar que:

a) �2� � �/ ⋅ / � �0b) ��2�� /��/� � 0

No segundo caso, o sinal é afetado pela potência. No primeiro, não.

E4:

Como 2�� 21�, concluímos que �2�� 2�

E5: Para ser par, duas condições precisam ser atendidas:

a) O número precisa ser inteiro. b) O número precisa ter na sua decomposição em fatores primos, pelo

menos um fator 2.

Note que 2�� 2 ⋅ 2 ⋅ 2… ⋅ 2 (567 fatores iguais a 2). Como todos os fatores são inteiros, o número resultante é inteiro. Como há pelo menos um fator 2 (na verdade, 567 fatores iguais a 2) então o

número 2�� é par.

E6: (Veja a resolução anterior para entender melhor).

O número 3� � pode ser reescrito como 3 ⋅ 3 ⋅ 3… ⋅ 3233343335� �6789:;<�

. Note a ausência de

um fator 2. Isso significa que 3� � é um inteiro que, não sendo par, é ímpar. Da mesma forma, o número 3�� é um número ímpar, pois há a ausência de um fator 2 em seu desenvolvimento.

E7: Bem simples. Se a população de algas dobra a cada dia, fica óbvio que, no dia anterior ao preenchimento do lago, as mesmas ocupavam a metade da área disponível. Assim sendo, no dia 29 de março, metade da área do lago estava ocupada.


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E8: Dica: se a base “sobe” (vai para o numerador) ou “desce”(vai para o denominador) o sinal do expoente fica invertido. Conhecer essa transformação é essencial, principalmente para alunos que prestarão ITA e outras escolas militares.

�� 2� e 2��

�"� Nota: isso não ocorre se houver somas ou subtrações!!!

Se tivermos �"�!�� não podemos escrever

��⋅��"�

Assim sendo, �

�� 2�

E9: (Veja o comentário do exercício anterior!)

Pela mesma razão que no exercício 8 (E8) podemos escrever:

��

��


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E10: E11:

E12:


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E13: Questão Clássica! Vamos observar algumas potências de 2:

2� � 1, 2� � 2, 2� � 4, 2� � 8, 2� � 16, 2� � 32 2� � 64, 2 � 128, 21 � 256, 2- � 512, É fácil notar que os últimos algarismos seguem uma lógica (exceto o 2� � 1, justificável pelo fato de todo número elevado a zero dar 1). O padrão dos algarismos finais é 2 – 4 – 8 – 6 ... repetindo-se NESTA ORDEM. Assim sendo, todo expoente múltiplo de 4 terá final 6. Com isto, basta fazer a divisão do expoente por 4: se a divisão inteira for exata (resto zero) o último algarismo vale 6. Se for 3, então é o terceiro termo da sequência (8) e assim por diante. Vamos fazer a divisão:

Como o resto foi 1, então devemos considerar o primeiro termo

da sequência: 2. Logo, o último algarismo de /?@ será 2.

E14: ALTERNATIVA E

(Veja resolução anterior)

Como vimos, na resolução anterior, o último algarismo possível para o desenvolvimento de /A (para n natural) será: 1, 2, 4, 8 ou 6. Assim sendo, é impossível que este algarismo final assuma (nestas condições) o valor 0.

Observação: numa questão mais genérica – na qual n não seja necessariamente um natural – poderíamos ter qualquer algarismo final. Por exemplo, 2 elevado a 2,321928... (aproximadamente) dará 5. Isso será melhor visto em logaritmos.


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E15: ALTERNATIVA D


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E16: Alternativa D


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E17: Alternativa C

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