Ponto Médio de um Segmento de Reta

O segmento de reta possui inúmeros pontos alinhados, mas somente um deles irá dividir o segmento em duas partes iguais. A identificação e a determinação do ponto médio de um segmento de reta será demonstrado com base na ilustração a seguir.

O segmento de reta AB terá um ponto médio (M) com as seguintes coordenadas (xM, yM). Observe que os triângulos AMN e ABP são semelhantes, possuindo os três ângulos respectivamente iguais. Dessa forma, podemos aplicar a seguinte relação entre os segmentos que formam os triângulos. Veja:

Podemos concluir que AB = 2 * (AM), considerando que M é o ponto médio do segmento AB. Temos:

xP – xA = 2*(xM – xA) xB – xA = 2*(xM – xA) xB – xA = 2xM – 2xA 2xM = xB – xA + 2xA 2xM = xA + xB xM = (xA + xB)/2

Utilizando método análogo, conseguimos demonstrar que yM = (yA + yB )/2.

Portanto, considerando M o ponto médio do segmento AB, temos a seguinte expressão matemática capaz de determinar a coordenada do ponto médio de qualquer segmento no plano cartesiano:

Percebemos que o cálculo da abscissa xM é a média aritmética entre as abscissas dos pontos A e B. Assim, o cálculo da ordenada yM é a média aritmética entre as ordenadas dos pontos A e B.

Exemplo 1 Dadas as coordenadas dos pontos A(4,6) e B(8,10) pertencentes ao segmento AB, determine as coordenadas do ponto médio desse

segmento.

xA = 4 yA = 6 xB = 8 yB = 10

xM = (xA + xB) / 2 xM = (4 + 8) / 2 xM = 12/2 xM = 6

yM = (yA + yB) / 2 yM = (6 + 10) / 2 yM = 16 / 2 yM = 8

• Exemplo 2 Dados os pontos P(5,1) e Q(–2,–9), determine as coordenadas do ponto médio do segmento PQ. xM = [5 + (–2)] / 2 xM = (5 – 2) / 2 xM = 3/2

yM = [1 + (–9)] / 2 yM = (1 – 9) / 2 yM = –8/2 yM = –4 Portanto, M(3/2, –4) é o ponto médio do segmento PQ.

• Exercícios1) Calcule as coordenadas do ponto médio M do segmento AB, sendo A(-3, 4) e B(5, 2) Calcule x e y.

• 2) Determine as coordenadas dos pontos médios destes segmentos:• A) AB, onde A(2, 0) e B(22, 0)• B) CD, onde C(-1,0) e D(7, 0)• C) EF, onde E(0, -1) e F(0, -6)• D) GH, onde G(1, 3) e H(2, 3)• E) IJ, onde I(1, 2) e J(4, 5)• 3) Determine o comprimento da mediana AM do triângulo A, B, C, dados A(7, 10); B(2, 5) e C(8, 3):