Capítulo 1

Números

Conexões

Podemos imaginar um campo de futebol no qual desejamos

ir de uma trave à outra. Pode-se seguir este raciocínio: Na

caminhada, em determinado momento, estaremos na metade

do campo; depois, chegaremos até a metade do que falta para

chegar à outra trave; em seguida, estaremos na metade do que

ainda falta etc. Dessa forma, nunca chegaremos até a outra

trave. Segundo esse raciocínio, não é possível ir de um ponto

A para um ponto B, distinto de A.

O paradoxo surge ao se supor intuitivamente que a soma de

infinitos intervalos de espaço é infinita. No entanto, os infinitos

intervalos descritos formam uma sequência cuja soma converge

para um valor finito.

No caso do paradoxo de Aquiles, além de se estabelecer a

tartaruga como referencial, é um erro separar a dupla espaço-

tempo. Não se deve separar o espaço do tempo.

Considerando que velocidade é uma razão entre espaço e

tempo, temos:

• Tartaruga:velocidade vs

t= − 10

(subtraímos 10, pois ela

começou 10 m à frente).

• Aquiles:velocidade 10vst

= .

Para sabermos se Aquiles alcança a tartaruga, precisamos

encontrar o ponto em que s1 = s2. Isolando o espaço nas duas

equações e igualando-as, temos:

vt + 10 = 10vt s vt = 109

1 1 ,

Aquiles encontra a tartaruga, após ela andar, aproximada-

mente, 1,1 m.

Exercícios complementares

13. {1; 2; 3} = {1; 2; x} s x = 3

{1; 2} = {1; 2; y} s y = 1 ou y = 2

Podemos ter x + y = 4 ou x + y = 5.

14. A = {1; 2}, pois {1; 2} 1 A (todo conjunto é subconjunto dele

mesmo) ou A = {1; 2; 3}, pois {1; 2} 1 A 1 {1; 2; 3; 4} ou

A = {1; 2; 4}, pois {1; 2} 1 A 1 {1; 2; 3; 4} ou A = {1; 2; 3; 4},

pois {1; 2} 1 A 1 {1; 2; 3; 4}

∴ A = {1; 2} ou A = {1; 2; 3} ou {1; 2; 4} ou A = {1; 2; 3; 4}

15. Como A = B, devemos ter x = 8, pois este é o único elemento

de B que não foi explicitado em A.

Ainda deveremos ter: x – y = 4 ou x – y = 2

Para x – y = 4, temos: 8 – y = 4 s y = 4

Assim: y2

2=

Para x – y = 2, temos: 8 – y = 2 s y = 6

Assim, y2

3= (Não convém, pois: 3 # B)

∴ x = 8 e y = 4

16. Construímos a seguinte tabela em função das informações

do enunciado. Os dados destacados(*) foram extraídos do

enunciado ou por suposição inicial.

Homens Mulheres Total

Menores 12% (*) 3% 15%

Maiores 60% 25% 85% (*)

Total 72% (*) 28% (*) 100% (*)

Menores de idade: 15%

Mulheres menores de idade: 3%

Percentual: 3

1515

20= = %

Entre os menores de idade, o percentual de mulheres é de 20%.

29. c

I. (F) O símbolo 3 não é usado para relacionar dois conjuntos.

II. (V)

III. (V)

IV. (F) A intersecção entre dois conjuntos deve ser um conjunto, e

5 não é representação de conjunto.

30. c

Distância numérica do intervalo: 84 – 32 = 52 unidades

Como o intervalo foi dividido em 16 partes iguais:

52 : 16 = 3,25 unidades

De 32 até X existem 11 unidades de 3,25. Assim, temos:

3,25 · 11 = 35,75

Daí: 32 + 35,75 = 67,75

31. d

Sendo x = 2, 777..., temos:

10 27 777

2 777

9 25

259

x

x

x

x

==

−

=

∴ =

, ...

, ...

Assim, teremos:

2 777259

53

1 666, ... , ...= = =

1

MateMáticaPrincíPios

32. a

P = {6; 7; 8; 9; 10; 11; …; 20}

A = { 6; 8; 10; 12; 14; 16; 18; 20}

B = {6; 8; 12; 16}

C = {10; 15; 20}

A – B = {10; 14; 18; 20}

(A – B) % C = {10; 20}

n[(A – B) % C] = 2

Tarefa proposta

1. 1

3

5

2

4

6

8

10

2. Cada um dos conjuntos está definido por meio de uma pro-

priedade, e seus elementos devem ser explicitados.

a) Sabemos que 0 = 02 e 1 = 12. Assim, A = {0; 1} e é um con-

junto finito.

b) Nesse caso, a diferença em relação ao item anterior é a

condição de o número ser diferente de zero. Então, B = {1}

e é um conjunto unitário.

c) Nenhum número pode ser igual ao seu sucessor. Portanto,

C = { }, ou seja, C é um conjunto vazio.

d) Existem infinitos números, logo D é um conjunto infinito.

3. a) Os números formados por 2 dígitos (algarismos) e que con-

têm 1 e 4 são: 14 e 41. Assim: A = {14; 41}

b) Em ®, 4 = 2. Logo, B = {2}.

c) Os múltiplos não negativos de 2 podem ser obtidos por meio

da multiplicação de 2 por todos os números naturais. Assim:

C = {0; 2; 4; 6; …}

d) O zero é múltiplo de qualquer número, mas não é divisível

por ele mesmo. Assim, os divisores de zero são todos os reais

não nulos.

4. Considerando que x, y e z são números entre 0 e 9, deveremos ter:

• z = 6, pois 3 + 7 + 6 = 16.

• Pelométodosimplificadodaadiçãodenúmeros,anotamosa

unidade 6 e acrescentamos 1 na coluna das dezenas. Assim,

1 + x + 8 + 7 só poderá dar 19, por causa do algarismo 9

na soma resultante. Logo, x = 3.

• Anotamos adezena9 e acrescentamos 1na colunadas

centenas. Assim, 1 + 8 + y + 5 = 22. Logo, y = 8.

∴ x + y + z = 17

5. e

Se a e b são consecutivos e positivos, então um deles é par e

o outro é ímpar. A soma de um número par com um ímpar é

ímpar e o produto é par. Assim:

a) (F) A soma é ímpar.

b) (F) O produto ab é par, portanto seu sucessor é ímpar.

c) (F) a + b é ímpar, que, somado com 2 (que é par), resulta

em número ímpar.

d) (F ) Nada podemos afirmar, pois não sabemos que é par, a ou b.

e) (V) a + b é ímpar, portanto seu sucessor é par.

6. c

Como x e y são números positivos e consecutivos, podemos

concluir que um deles é par e o outro é ímpar.

a) (F) Se x for ímpar, 2 x será par. Se y for par, 3y será par.

A soma de par com par é par.

b) (F) Ver anterior.

c) (V) O produto xy é par, portanto seu sucessor é ímpar.

d) (F) O dobro de xy é par, que, somado com um número par,

resulta em par.

e) (F) x + y é ímpar, portanto seu sucessor é par.

7. c

João percorreu 8 quilômetros, indo diretamente de Y para Z.

Pedro foi de Y para Z, mas com “escala” em X. Assim, percorreu:

5 quilômetros para ir até X e mais 6 quilômetros de X para Z.

Total:5+6=11

Pedro percorreu 3 quilômetros a mais que João.

8. Vamos identificar cada uma das embalagens como um conjunto:

• Vazia:∅ • Com1sabor:{caramelo},{morango},{uva}

• Com2 sabores: {caramelo;morango}, {caramelo; uva},

{morango; uva}

• Com3sabores:{caramelo;morango;uva}

Esses 8 conjuntos correspondem a 8 tipos diferentes de em-

balagens.

Segundo modo:

Procuramos o número de elementos do conjunto de partes de A.

Nesse caso, n[P(A)] = 23 = 8.

Concluímos que a empresa precisou fazer 8 tipos de embalagens.

9. D = {1; 2; 3; 4; 6; 8; 12; 24} e M = {3; 6; 9; 12; 15; 18; 21; 24;

27; …}

D % M = {3; 6; 12; 24}

O número de subconjuntos de F é dado por 2n(F ).

∴ n[P(F )] = 2n(F ) = 24 = 16

10. c

Para resolvermos esse tipo de problema, devemos procurar al-

guma lei de formação, conveniente, na disposição dos números.

Uma lei de formação pode ser a seguinte:

Todososúltimosnúmerosdecadalinhasãoumquadradoperfeito

(1 = 12; 4 = 22; 9 = 32; …), e esse número é a ordem da linha

elevada ao quadrado. Assim, o último número da 12a linha será

144 = 122. Acima de 144, não existe número da linha anterior.

O número que precede 144 é 143 e acima dele está o número

121 = 112. Anterior a 143, está o 142 e, acima dele, estará 120.

2

11. Considerando que n(A) = n, temos que o número de subcon-

juntos de A é dado por 2n.

Acrescentando 2 elementos ao conjunto A, teremos que o

número de subconjuntos passará a ser 2n + 2. Assim, podemos

escrever:

2n + 2 = 2n + 384

Como 2n + 2 = 2n · 22 = 4 · 2n, temos:

4 · 2n = 2n + 384 s 3· 2n = 384 s 2n = 128 s 2n = 27

∴ n = 7

12. b

x e y são números positivos.

0 < y < 1 (pela representação geométrica)

Multiplicando por x:

0 < xy < x

Logo, xy está entre 0 e x.

13. d

Representação dos dados, utilizando o diagrama de Venn:

12

A B

6

6 16

Assim, vemos que a quantidade de predadores que não têm

preferência por A ou por B é 6.

14. a) A 5 B 5 C = {0; 1; 2; 3; 4; 5}

b) A % B % C = {1; 2}

c) (A – B) % C = {0}

d) A 5 (B – C) = A 5 ∅ = A = {0; 1; 2}

e) C – (A – B) = {1; 2; 3; 4; 5}

15. b

No diagrama a seguir, temos:

S E

H

180

27

6

8200

113

30

O número de alunos que gostam apenas de uma das três

áreas é:

180 + 200 + 113 = 493

16. c

Vamos traduzir em diagramas as informações da tabela, com-

pletando as intersecções e os conjuntos com a quantidade

respectiva de elementos.

Febre Dor no corpo

Náuseas

10

2

6

42

12

4

Totaldepacientesatendidosnoposto:

6 + 4 + 4 + 2 + 10 + 2 + 12 = 40

17. F – V – V – V – F

Com base nas informações do enunciado, vamos completar o

diagrama de Venn, começando pelas intersecções.

C D

F

15

5

6

412

16

3

I. (F) Companhias que publicam em exatamente dois jornais:

4 + 5 + 3 = 12

II. (V) Companhias que publicam em pelo menos dois dos jornais:

4 + 5 + 3 + 6 = 18

III. (V) Companhias que publicam em um único jornal:

15 + 12 + 16 = 43

IV. (V) Companhias que publicam em pelo menos um dos três

jornais: 43 + 18 = 61

V. (F) Companhias que publicam apenas no jornal D: 12

18. c

Nas figuras, temos:

A B

C

A 5 C

A B

C

A 5 B

3

Daí:

A B

C

19. a)

Francês Inglês

x

z

y 32

x + 32 = 45 s x = 13

x + y = 21 s y = 8

x + z = 20 s z = 7

O total de alunos da sala é:

x + y + z + 32 = 60

b) Oito alunos falam os dois idiomas.

20. d

Se o número for racional, ele será real.

Se o número for natural, ele será inteiro, racional e real.

Se o número for inteiro, ele será racional e real.

Se o número for positivo, ele será real.

Entretanto, o número pode ser real sem ser natural, sem ser

inteiro, sem ser racional e sem ser positivo.

21. c

B

A

B 1 A, ou seja, B é um subconjunto de A.

22. e

2A:

B:

A – B:

B – A:

5

3 4

3 42 5

Com essa representação geométrica dos conjuntos, concluí-

mos que:

A – B = [2; 3) 5 (4; 5] e B – A = ∅

23. e

X % Y = {M; A; R; I} s n(X % Y ) = 4

24. b

101

Cotas Bolsas

Nenhuma política: 9

Enem

72

44

953

261

41

a) (F)Totaldealunospesquisados:590

Alunos que responderam à pesquisa: 44 + 9 + 72 + 41 +

+ 101 + 53 + 261 = 581

Alunos que não opinaram: 590 – 581 = 9

b) (V) Alunos que aprovam apenas uma política: 101 + 53 +

+ 261 = 415

c) (F ) Alunos que aprovam mais de uma política: 44 + 9 + 72 +

+ 41 = 166

d) (F ) Alunos que aprovam as três políticas: 44 (dado no enunciado)

e) (F) Alunos que aprovam cotas: 101 + 9 + 72 + 44 = 226

Alunos que aprovam somente o Enem: 261

25. A = {3; 6; 9; 12; 15; 18; 21; 24; 27}

B = {4; 8; 12; 16; 20; 24; 28}

a) A 5 B = {3; 4; 6; 8; 9; 12; 15; 16; 18; 20; 21; 24; 27; 28}

b) A % B = {12; 24}

c) A – B = {3; 6; 9; 15; 18; 21; 27}

d) B – A = {4; 8; 16; 20; 28}

26. b

A = {0; 1; 2; 3; 4; …; 9}

A 5 B = A g B 1 A

A % B = {0; 2; 4; 6; 8}

Se B 1 A, então: A % B = B = {0; 2; 4; 6; 8}

27. d

a) (F) Basta um contraexemplo para tornar a afirmação falsa.

Veja: 2 e 8 são números irracionais. No entanto, o

produto 2 8 2 8 16 4⋅ = ⋅ = = é racional.

b) (F ) Veja o contraexemplo: 1 2+( ) é irracional e 1 2−( ) tam-

bém. No entanto, 1 2 1 2 2+( ) + −( ) = , que é racional.

c) (F) Os números π, , , , ...10 11 12 são números irracionais

entre 3 e 4.

d) (V) Demonstração:

Considere a e b dois números racionais positivos tais que

a < b. Pode-se escrever:

• Considerandoa < b, somando b aos dois membros e, depois,

dividindo-os por 2, temos:

a < b s a + b < 2b sa b+

2 < b

4

• Considerandob > a, somando a aos dois membros e, depois,

dividindo-os por 2, temos:

b > a s a + b > 2a sa b+

2 > a

Portanto, podemos concluir que a < a b+

2 < b, o que indica

que entre a e b existe, pelo menos, o número racional a b+

2.

e) (F) Basta um contraexemplo. Os números (–2) e (–5) são

inteiros negativos. No entanto, a subtração (–2) – (–5) = –2 +

+ 5 = 3, que é um número inteiro positivo.

28. e

Dados do enunciado:

• Ataquesdehackers no terceiro trimestre de 2009: 1.600

Aumento percentual no ano de 2010 (ano da notícia): 77%

Totaldevítimasnoterceirotrimestrede2010:

1.600 · 1,77 = 2.832

• Vítimasdephishing no terceiro trimestre de 2009: 960

Aumento percentual no ano de 2010 (ano da notícia): 150%

Totaldevítimasnoterceirotrimestrede2010:

960 · 2,50 = 2.400

• Vítimasdetrojans no terceiro trimestre de 2009: 600

Diminuição percentual no ano de 2010 (ano da notícia): 36%

Totaldevítimasnoterceirotrimestrede2010:600·(1–0,36)=

= 600 · 0,64 = 384

• Vítimasdephishing e de trojans no terceiro trimestre de

2010: 60

• Vítimasdeoutrosataques:x

Fazendo a representação desses dados por diagrama, temos:

60

Phishing Trojans

x

n(phishing) + n(trojans) – n(phishing % trojans) + x = 2.832 s s 2.400 + 384 – 60 + x = 2.832 s s 2.724 + x = 2.832 s s x = 2.832 – 2.724

∴x = 108

29. b

Vamos considerar os quatro conjuntos seguintes:

α: é o conjunto formado pelas pessoas com a substância A no

sangue.

β: é o conjunto formado pelas pessoas com a substância B no

sangue.

γ: é o conjunto formado pelas pessoas com a substância C no

sangue.

δ: é o conjunto das pessoas com a doença.

Com base no enunciado, podemos concluir que:

α 1 δ 1 β.

α δ β

Se x # β, então x # δ. Assim, se a substância B não estiver

presente no sangue da pessoa, então ela certamente não estará

com a doença.

30. b

5 1 5 1 5 1 5 1 42

2+( ) ⋅ −( ) = ( ) − = − =    3œ 0,999… = 1 3 œ

31. a) Podemos encontrar o número de elementos fazendo a

seguinte conta:

n(A) = (10 – 2) + 1 = 9

b) Da mesma forma que no item anterior, temos:

n(B) = (105 – 21) + 1 = 85

c) n(C ) = 10 – 2 = 8

d) n(D) = 10 – 2 = 8

e) n(E ) = (105 – 21) – 1 = 83

f) n(F ) = (b – a) + 1

g) n(G) = b – a

32. a) x

x2[2; + [

x2– [2; + [

]– ∞; 2[ ou {x 3 ® | x < 2}

b)

– ]– ; 1[

x

x1 ]– ; 1[

x1

[1; + ∞[ ou {x 3 ® | x > 1}

33. x3

A:

x52B:

x32A B:

x5

–1

–1A B:

A % B = {x 3 ® | 2 < x < 3} = ]2; 3]

A 5 B = {x 3 ® | –1 < x < 5} = ]–1; 5]

34. d

Pelos dados do enunciado, temos que y > 0, pois 1 < y < 2.

• Sey estiver “bem próximo” de 1, multiplicando – 4 < x < –1

por y, teremos mantidas as desigualdades – 4 < xy < –1.

• Sey estiver “bem próximo” de 2, multiplicando – 4 < x < –1

por y, teremos as desigualdades –8 < xy < –2.

Em qualquer situação, o produto xy pertencerá ao intervalo

]–8; –1[.

5

• Como – 4 < x < –1, os inversos terão relações inverti-

das, ou seja: − < < −11 1

4x. Multiplicando tudo por 2:

− < < −22 1

2x

Como ]– 8; –1[ 1 − −

8

12

; , a resposta correta é a alternativa d.

35. a

De acordo com as informações do enunciado, temos:

• Sedentários1 cardíacos

• Sesedentários=2 x, cardíacos = x

Observe o diagrama:

x

x

70

Cardíacos

Sedentários

x + x + 70 = 200 s 2 x + 70 = 200 s 2 x = 130

Portanto, 130 entrevistados eram sedentários.

36. c

Considere a figura:

A

B

C

D

I

II

III

As regiões I, II e III são definidas por:

• I=[(A – B) % C] – D

• II=B % C % D

• III=[(A – B) % D] – C

Assim, temos:

• I:(A – B) = {1; 2; 4; 5; 9} s (A – B) % C = {4; 5} s s [(A – B) % C] – D = {4}

• II:B % C % D = {3}

• III:(A – B) = {1; 2; 4; 5; 9} s (A – B) % D = {1; 2; 5} s s [(A – B) % D] – C = {1; 2}

∴ 1 + 2 + 3 + 4 = 10

Capítulo 2

Primeiras oPerações

Conexões

1ϕ

=+

=+

=+

⋅ −−

= −( )−

= −−

=

= − +

1

1 52

2

1 5

2

1 5

1 5

1 5

2 1 51 5

1 52

1 522

1 2 52

1 52

22

1 52

1 1= − + = + − = + − = −ϕ

(c.q.d.)

Exercícios complementares

13. F – F – F – F – V

I. (F) a3 · b2 = a2 · b2 · a = (ab)2 · a

II. (F) a5 · b3 = a2

· a3· b3 = (ab)3 · a2

III. (F) a

aa a

9

39 3 6= =−

IV. (F) Seria verdadeiro se tivéssemos uma multiplicação de mesma

base.

V. (V) (a3 + b2) · a–2 = a ba

a b

a

b

a2 3

2

2 3

2

3

2

11+( ) ⋅ = + = +

14. a

a) 818 = (34)8 = 332

b) 167 = (24)7 = 228

c) 331

d) 2436 = (35)6 = 330

e) 810 = (23)10 = 230

A de maior valor é 332 = 818, pois possui a maior base e o

maior expoente.

15. e

• 1petabyte equivale a 220 gigabytes

• 3petabytes equivalem a 3 · 220 gigabytes

• 1DVDarmazena4gigabytes

Número de DVDs necessários para armazenar 3 petabytes pode

ser calculado por:

3

13 2

43 2

23 2

20 20

218petabytes

DVD= ⋅ = ⋅ = ⋅

Sabemos que: 2 · 218 < 3 · 218 < 4 · 218

∴ 219 < 3 · 218 < 220

16. a

3 3 3 3

63 9 3

63 3 27

15 2 15

5

15

5 155 3⋅ − ⋅ = ⋅ −( )= = =

29. Sejam n o dividendo, d o divisor, q o quociente e r o resto.

d = q e n = d · q + r, com 0 < r < d e r = 11

Logo: d = q = 12

Assim: n = 12 · 12 + 11

∴ n = 155

6

30. b

MDC(240; 320; 400) = 80

24080

332080

440080

5= = =; ;

Portanto, o total de peças será a soma 3 + 4 + 5, ou seja, 12 peças.

31. 12 = 22 · 3

30 = 2 · 3 · 5

84 = 22 · 3 · 7

MMC(12; 30; 84) = 22 · 3 · 5 · 7 = 420

Passarão 420 anos terrestres.

32. a) 200 = 23 · 52

120 = 23 · 3 · 5

b) MDC(120; 200)= 23 · 5 = 40

O organizador conseguirá formar, no máximo, 40 caixas.

Tarefa proposta

1. d

a = = =−21

2

18

33

b = (–2)3 = – 8

c = = =−31

3

19

22

d = −( ) =−( )

= −−

21

2

18

3

3

18

19

18

8> > − > −

a > c > d > b

2. 22

2 222

22 1 21= =−   

3. d

I. (V) 30 + 2–3 – (–3)2 + (0,2)2 – 15

2

=

= +

− +

−

= − + = −1

12

915

15

818

63 2 2

338

II. (F) 0,01 + 94

= 0,01 + 2,25 = 2,26

(0,5 · 0,2)2 +3,25 = (0,1)2 + 3,25 = 0,01 + 3,25 = 3,26

III. (V) 34 – (–3)4 = 34 – 34 = 0

IV. (F)13

0

+ (3 : 0) (Não existe.)

4. 5 7 2 5 2 5 5 2 5

2 2 7 5

1 31 2 2

3 1

⋅( ) ⋅ ⋅( ) ⋅ ⋅( ) ⋅ ⋅ ⋅( )⋅( ) ⋅

− −

−⋅⋅

=52

=⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

⋅ ⋅ ⋅ ⋅

− − − −

− −

5 7 2 5 2 5 5 2 5

2 2 7 5

1 1 3 1 2 2 2 2

3 1 1 55

5 7 2

2 7 5

122

3 1

2 1 3= ⋅ ⋅

⋅ ⋅=

−

−

5. a) n par: (–1)n + (–1)2n + (–1)3n = 1 + 1 + 1= 3

b) n ímpar: (–1)n + (–1)2n + (–1)3n = (–1) + 1 + (–1) = –1

6. 5 8 5

60 25

5 5 8 5

60 5

52 1 2 2 2

2

2n n

n

n n

n

n   + − ⋅⋅

= ⋅ − ⋅

⋅ ( )= ⋅⋅ −( )

⋅= − = −5 8

60 5

360

1202n

7. e

I. (V) 2 x + 3 = 2 x · 23

II. (V) (25)x = (52)x = 52x

III. (F) Esta propriedade não é válida para a adição.

8. a) 3x + 3x – 1 + 3x – 2 = 117 s 3x + 33

39

117x x

+ =  s

s s s       3 113

19

117 3139

117x x+ +

= ⋅ =

s 3x = 81 = 34 s x = 4

b) 4x + 4x + 1 = 20 s s 4x + 4x · 4 = 20 s s 5 · 4x = 20 s s 4x = 41 s x = 1

9. d

416 · 525 = (22)16 · 525 = 232 · 525 = 27 + 25 · 525 = 27 · 225 · 525 =

= 128 · (2 · 5)25 = 1,28 · 102 · 1025 = 1,28 · 1027

∴ α = 1,28 e n = 27

10. a) 121 11 112= =

b) 576 24 242= =

c) 81 3 34 44= =

d) 27 3 33 33= =

e) 0 05 =

f) − = −( ) = −125 5 53 33

g) 1 44 1 2 1 22

, , ,= ( ) =

h) 0 008 0 2 0 2333, , ,= ( ) =

i) 32 2 25 55= =

11. a) 5 7 5 7 5 72

−( ) = − = −

b) 2 7 2 7 7 22

−( ) = − = −

12. a) 4 8 2 2 2 2 432

23 2

32 3

23 3 2− = ( ) − ( ) = − =

b) 949

1

9

49

1

9

4

9

13

23

0 5

12

12

− +

= +

= + = + =, 11

13. d

13 12 125 169 144 1252 2− = − =n n     s s

s s     25 5 5 53 3= =n n

∴ n = 3

14. a) 72 3 18 7 2 6 2 3 3 2 7 22 2+ − = ⋅ + ⋅ − =

= + − =6 2 9 2 7 2 8 2

7

b) − + − =12

44 2 1 33134

176.

= − ⋅ + ⋅ − ⋅ =12

2 11 2 11 1134

4 112 2 2

= − ⋅ + ⋅ − ⋅ =12

2 11 2 11 1134

4 11

= − + − =11 22 11 3 11 18 11

15. 20

4 2

20

4 4 2

20

4 12 2 2 2 2 1n nn

n nn

n           + + +( )+=

⋅ +=

⋅ 66 4 4+ ⋅=

nn

=

⋅ +( ) = =20

4 16 4

1

4

14n

nn

n

16. a) 1

2

1 2

2 2

22

= ⋅⋅

=

b) 2 3

2

2 3 2

2 2

2 62

+ = +( )⋅

= +

c) 2

4

2 2

2 2

2 2

2

2 22

27

57

27 57

57

77

5757=

⋅= = =

d) 2

7 1

2 7 1

7 1 7 1−= +( )

−( ) ⋅ +( ) =

= +( )

( ) −= +( )

= +2 7 1

7 1

2 7 16

7 132

2

e) 6

3 2

6 3 2

3 2 3 2−= +( )

−( ) ⋅ +( ) =

= +

( ) − ( )= +18 12

3 23 2 2 3

2 2

17. c

60 000 0 00009

0 00022 3 10 3 10

2 103

4 2 5

4

. ,,⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

⋅

−

−33

3 1

43

3 10

103 10= ⋅ = ⋅

−

−

18. e

5 64 18

50 324

5 2 2 3

2 5 2 3

5 212

4

612 2

2 2 44

⋅ −−

= ⋅ − ⋅

⋅ − ⋅= ⋅ −−

−=3 2

5 2 3 224

=

−= =2 2

5 2 3 2

2 2

2 21

19. 4 2 3 1 32 2

+( ) = +( ) s

s 4 2 3 1 3 1 3+ = +( ) +( ) ·  s

s 4 2 3 1 3 3 32

+ = + + + ( ) s

s 4 2 3 1 3 3 3+ = + + + s

4 2 3 4 2 3+ = + (c.q.d.)

20. b

360 = 23 · 32 · 5

147 = 3 · 72

Os divisores de 360 que não possuem fatores primos comuns

com 147 são aqueles cujos fatores só poderão ser 2 ou 5. São

eles: {2; 4; 8; 5; 10; 20; 40}

21. d

1015 = (2 · 5)15 = 215 · 515

• 25=52 e, portanto, é divisor de 215 · 515.

• 50=2·52 e, portanto, é divisor de 215 · 515.

• 64=26 e, portanto, é divisor de 215 · 515.

• 75=3·52 e, portanto, não é divisor de 215 · 515, pois 215 · 515

não tem o fator 3.

• 250=2·53 e, portanto, é divisor de 215 · 515.

22. b

De acordo com as figuras, temos um círculo completo a cada

6 etapas. Portanto, serão 15 círculos completos na figura de

número 15 · 6 = 90.

23. d

De acordo com as figuras, temos que as letras “completam o

ciclo” a cada quatro etapas (veja a 1ª e a 4ª figuras). Portanto,

toda figura de ordem múltipla de 4 será igual à 4a figura. Como

80 = 20 · 4, a alternativa correta é a d.

24. e

A cada quilômetro percorrido pelo carro B, a partir do

primeiro, a distância entre os dois carros aumenta em 20

metros.

500 : 20 = 25

A distância entre os dois será de 500 metros, após o carro B

andar 25 quilômetros.

25. Seja n a quantidade total de garrafas a serem divididas.

De acordo com a tabela, podemos concluir que (n – 2) é múltiplo

de 12, 20 e 30.

Como MMC(12; 20; 30) = 60, os múltiplos de 12, 20 e 30 são

múltiplos de 60, ou seja, 60k.

∴ n – 2 = 60k s n = 60k + 2

Portanto, a quantidade total de garrafas a serem divididas é

igual a 60k + 2, com k 3 ˜*.

26. c

Fatorando 2.310, temos:

2.310 = 2 · 3 · 5 · 7 · 11

Fatorando 1.300, temos:

1.300 = 2 · 2 · 5 · 5 · 13

O número procurado é x.

2 310

1 3002 3 5 7 11

2 2 5 5 133 7 11.

.⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

⋅ ⋅ ⋅ ⋅= ⋅ ⋅ ⋅x x xx

130

Portanto, o menor valor para x é 130.

8

27. a

A primeira luz “pisca” a cada 4 segundos, e a segunda, a cada 6

segundos. Assim sendo, o tempo mínimo necessário para que

voltem a “piscar” juntas novamente será o mínimo múltiplo

comum de 4 e 6.

MMC(4; 6) = 12

28. d

A manutenção na máquina A é feita a cada 3 dias; na máquina

B, a cada 4 dias e, na máquina C, a cada 6 dias. Assim, o número

mínimo de dias entre manutenções simultâneas será o mínimo

múltiplo comum dos números 3, 4 e 6.

MMC(3; 4; 6) = 12

2 + 12 = 14 (dezembro)

29. c

As duas pessoas estarão novamente na posição mais baixa no

MMC(30; 35) = 210 segundos.

210 = 3 · 60 + 30 = 3 min 30 s

30. d

1º farol: 10 segundos fechado + 40 segundos aberto.

Portanto, levará 50 segundos para fechar outra vez.

2º farol: 10 segundos fechado + 30 segundos aberto.

Portanto, ele levará 40 segundos para fechar outra vez.

MMC(40; 50) = 200

Logo, a partir daquele instante, eles levarão 200 segundos para

fecharem juntos outra vez.

31. MMC(35; 21) = 105

A engrenagem maior dará 105 : 35 = 3 voltas.

32. a) Podemos considerar que as dimensões da sala são:

300 cm · 425 cm

300 = 22 · 3 · 52

425 = 52 · 17

Logo, MDC(300; 425) = 52 = 25.

Portanto, a dimensão máxima dos ladrilhos quadrados é de

25 cm.

b) Para calcular a quantidade de ladrilhos, podemos dividir a

área da sala pela área de cada ladrilho.

300

25127 500

625cm 425 cmcm 25 cm

⋅⋅

= . = 204 ladrilhos

33. Sendo n e m dois números não primos entre si, conclui-se que

eles têm, pelo menos, um fator primo em comum e, conside-

rando-se que 420 = 22 · 3 · 5 · 7, esse fator primo somente pode

ser o 2. Como esse é o único fator comum aos números n e m,

chega-se à conclusão de que MDC(n; m) = 2.

34. c

Como n 3 ˜, temos:

• Sen dividido por 3 deixa resto 2, significa que, tanto (n – 2)

como (n + 1) será um múltiplo de 3. Consideremos (n + 1) como

múltiplo de 3.

• Sen dividido por 4 deixa resto 3, significa que, tanto (n – 3)

como (n + 1) será um múltiplo de 4. Consideremos (n + 1) como

múltiplo de 4.

• Sen dividido por 5 deixa resto 4, significa que, tanto (n – 4)

como (n + 1) será um múltiplo de 5. Consideremos (n + 1) como

múltiplo de 5.

Desta forma, (n + 1) será múltiplo de 3, 4 e 5.

MMC(3; 4; 5) = 60

n + 1 = 60 s n = 59

35. e

Qualquer porta k, com 1 < k < 50, será tocada por todos os

estudantes cuja numeração seja um divisor positivo de k. Como

as portas estão todas inicialmente fechadas, temos:

• Aportadenúmero4serátocadapelosestudantesdeposições

1, 2 e 4, e somente por estes. Assim, ao final ela ficará aberta.

• Aportadenúmero17serátocadapelosestudantesdeposições

1 e 17, e somente por estes. Assim, ao final ela ficará fechada.

• Aporta denúmero 39 será tocadapelos estudantes de

posições 1, 3, 13 e 39, e somente por estes. Assim, ao final

ela ficará fechada.

36. a) Carrinho A: dá 10 voltas em 1 min 40 s. Isso significa que ele

dá 10 voltas em 100 s, ou seja, 1 volta a cada 10 segundos.

Carrinho B: dá 15 voltas em 1 min 15 s. Isso significa que ele

dá 15 voltas em 75 s, ou seja, 1 volta a cada 5 segundos.

Como o MMC(10; 5) = 10, temos que eles irão estar juntos,

novamente, no ponto de partida após 10 segundos (o car-

rinho A terá dado 1 volta e o carrinho B, 2 voltas).

b) 6 min 5 s = 365 s

Carrinho A: 365 s = (36 · 10 + 5) s

Isso significa que o carrinho A terá dado 36 voltas completas,

mais meia volta.

Carrinho B: 365 s = (73 · 5) s

Isso significa que o carrinho B terá dado 73 voltas completas

e estará no ponto de partida.

c) Pelo que foi descrito no item b, teremos as seguintes posições

para os carrinhos.

Carrinho A

Carrinho B

1,05 m

1 m

A distância entre os carrinhos será a medida do raio da

pista menor mais a medida do raio da pista maior. Logo, a

distância será de 1,05 m + 1,0 m = 2,05 m.

9

Capítulo 3

equações PoliNomiais do 1º e do 2º grau

Conexões

Dividimos a equação por 2 e isolamos o termo independente:

x x x x x2 29

213

94

94

13+ = + + =   s

Construímos um quadrado de área x 2 e dois retângulos de

área 94

x :

x

x

x x

94

94

Completamos o quadrado e somamos, a ambos os membros,

a área de um quadrado de lado 94

.

x

x

x x

94

94

94

94

Então, a área final é: x x x2 94

94

8116

138116

+ + + = + . Proce-

dendo dessa forma, tem-se, agora, que a área de um quadrado

de lado x +

94

é igual a 28916

, ou seja, fatora-se o trinômio

quadrado perfeito no primeiro membro.

x +

=94

28916

2

x x

x x

+ = ∴ =

+ = − ∴ = −

94

174

2

94

174

132

Exercícios complementares

13. De acordo com as instruções do boleto, devemos ter:

M(x) = 500 + 10 + 0,4x s M(x) = 510 + 0,4x, com x > 0

14. a) Comprimento do circuito: x

25

37

x + x + 108 = x s (multiplicando por 35)

s 14x + 15x + 3.780 = 35x s s 6x = 3.780

∴ x = 630

O comprimento do circuito é de 630 km.

b) Trechoasfaltado:

25

10025

63010

10037

⋅ ⋅ + ⋅ · 630 + 36 = 126 km

O percentual pedido pode ser dado por:

126630

= 0,2 = 0,20 = 20%

O percentual da parte asfaltada é 20% do circuito.

15. x x2

12

12 223

0− + = →×   x2 – 6x + 8 = 0

∆ = (–6)2 – 4 · 1 · 8 = 4 s

s ∆ = 2

x2 – 6x + 8 = 0 s x = 6 2

2±

s

s x1 = 2 e x2 = 4 ∴ S = {2; 4}

16. d

∆ > 0

[–(2m – 1)]2 – 4m(m –1) > 0 s s 4m2 – 4m + 1 – 4m2 + 4m > 0 s 1 > 0

∴S = ®

29. e

Observando a tabela dada, podemos concluir que as varia-

ções do número de bolas e do nível da água são grandezas

diretamente proporcionais. Ampliando a tabela dada,

teremos:

Número de bolas (x) Nível da água (y)

5 6,35 cm

10 6,70 cm

15 7,05 cm

x y cm

Logo, podemos construir a seguinte proporção:

x

y−

−=15

7 055

0 35, , s0,35x – 5,25 = 5y – 35,25 s 5y = 0,35x + 30

∴ y = 0,07x + 6

30. a) Para x = 10.000, temos y = 80.000

Para x = 2 ⋅ 10.000 = 20.000 temos y = 1,50 ⋅ 80.000 =

= 120.000

10

Substituindo esses valores em y = ax + b, temos:

a b

a b

⋅ + =⋅ + =

10 000 80 000

20 000 120 000

10 0. .

. .

.

000 80 000

20 000 120 000

2

10

1 2

a b

a b

L L

+ =+ =

−

.

. .

.. .

. 

000 80 000

40 000

a b

b

+ ==

s

s a = 4

Assim, teremos: y = 4x + 40.000

b) Fazendo x = 30.000, teremos:

y = 4 ⋅ 30.000 + 40.000 s y = 120.000 + 40.000

∴ y = 160.000

A receita mensal será de R$ 160.000,00.

31. x 2 = m s m2 – m – 6 = 0 s m = –2 ou m = 3

m = –2 s x 2 = –2 ∴ ex 3 ® ou

m = 3 s x2 = 3 s x = ± ∴ = −{ }3 3 3S ;

32. x 2 – 4x = m s m2 + 4m = 0 s m = 0 ou m = – 4

m = 0 s x 2 – 4x = 0 s x(x – 4) ∴ x = 0 ou x = 4

ou

m = – 4 s x 2 – 4x = – 4 s x 2 – 4x + 4 = 0 s (x – 2)2 = 0 ∴ x = 2

S = {0; 2; 4}

Tarefa proposta

1. a

x x

x− + + = + →×23

3 14

12

12 4(x – 2) + 3(3x + 1) = 12x + 6 s

s 4x – 8 + 9x + 3 = 12x + 6 s x = 11

∴ S = {11}

2. C = 5 32

9F −( )

s9C = 5(F – 32) s 9C = 5F – 160 s

s 9C + 160 = 5F s 5F = 9C + 160

∴ F = 9 160

5C +

3. d

18x = 12(x + 5) s 18x = 12x + 60 s 6x = 60 ∴ x = 10

4. e

Número inicial de alunos: x

Despesa: d

Situação inicial: 135,00 · x = d ∴ d = 135x (I)

Situação posterior: (135,00 + 27,00) · (x – 7) = d

∴d = 162 x – 1.134 (II)

Comparando (I) e (II):

135x = 162x – 1.134

∴ x = 42 (total inicial de alunos)

d = 135 · 42 = 5.670

No entanto, como o diretor contribuiu com R$ 630,00, a despesa

a ser dividida entre 35 alunos (pois 7 deixaram a escola) foi

igual a 5.670 – 630 = 5.040.

5.040 : 35 = 144

5. TempoqueosenhoreasenhoraKohngastamhoje:t (em horas)

TempoqueosenhoreasenhoraKohngastavamnoinício:t – 0,5

Distância entre a cidade e a capital: 80(t – 0,5) ou 60t.

Daí:

80(t – 0,5) = 60t s 80t – 40 = 60t s 20t = 40 ∴t = 2 horas

Logo, a distância entre a cidade e a capital é de 60 · 2 = 120 km.

6. Considerando que o mês de março tem 31 dias, temos que os

dias depois de x de março mais os 2 x de abril devem resultar

em um múltiplo de 7 (visto que esses dois dias caem no mesmo

dia da semana).

Assim, podemos escrever:

31 – x + 2 x = 7k (múltiplo de 7, com k 3 ˜)

∴ x = 7k – 31 (com x > 0)

Dessa forma ou k = 5 s x = 4 ou k = 6 s x = 11.

Note que k não poderia ser 7 porque daria 2 x maior do que os

dias inteiros de abril.

∴ x = 4 ou x = 11

7. c

Número de pessoas do grupo: k

Valor da matrícula, por pessoa: 150

k

Valor da mensalidade, por pessoa (enunciado): 150

k + 10

Valor de cada mensalidade (enunciado): 600

3 = 200

Daí, podemos escrever:

150

10k

+

· k = 200 s 150 + 10k = 200 s

s 10k = 50 ∴k = 5

8. b

R1 = 1 · 2

R2 = 2 · 3

R3 = 3 · 4

R4 = 4 · 5

Rn – 1 = (n – 1) · n

Rn = n · (n + 1)

Rn – Rn – 1 = 100 sn · (n + 1) – (n – 1) · n = 100 s s n · (n + 1 – n + 1) = 100 sn · 2 = 100

∴ n = 50

O maior dos números retangulares é Rn = R50.

9. Chamemos de C o comprimento do Equador (comprimen-

to da corda, inicialmente) e de roraiodaTerra.Assim,

temos:

C = 2πr (I)

Aumentando 1 metro no comprimento, temos:

C + 1 = 2π(r + x) s C + 1 = 2πr + 2πx (II)

Substituindo (I) em (II):

C + 1 = C + 2πx s x = 1 : 2π ∴ x H 0,16 m = 16 cm

Sim, passaria.

11

10. c

A pessoa nasceu no século XIX. Logo, o ano de seu nascimento

pode ser indicado por: 1800 + 2x

A pessoa morreu no século XX. Logo, o ano de seu falecimento

pode ser indicado por: 1900 + x

Como a pessoa viveu 64 anos, temos que:

(1.900 + x) – (1.800 + 2x) = 64 s100 – x = 64

∴ x = 36 e 2x = 72

Assim, a pessoa nasceu em 1872 e morreu em 1936.

Como 1.900 – 1.872 = 28, concluímos que a pessoa tinha 28

anos em 1900.

11. a) S = 6 e P = 5 s x1 = 1 e x2 = 5 ∴ S = {1; 5}

b) S = 98 e P = 97 s x1 = 1 e x2 = 97 ∴ S = {1; 97}

c) S = 6 e P = – 7 s x1 = –1 e x2 = 7 ∴ S = {–1; 7}

12. e

2

1

11

12

12

x xx

−+

+= − →× −(   ) 2 + (x – 1) = – (x2 – 1) s

s 2 + x – 1 = – x2 + 1 s x2 + x = 0 x

x1

2

1

0

= −=

(Não convém.)

∴ S = {0}

13. e

a · 42 – 4 · 4 – 16 = 0 s 16a = 32 s a = 2

2x 2 – 4x – 16 = 0 s x 2 – 2x – 8 = 0 s

s S = 2 e P = –8 s x

x1

2

2

4

= −=

14. b

Como, na equação, o coeficiente a > 0 e c < 0, temos que ∆ > 0.

Portanto a equação terá duas raízes reais e distintas.

15. b

Do enunciado: x x

x x

1 2

1 2

3310710

+ = −

⋅ = −

Substituindo na expressão do enunciado, temos:

5710

23310

3510

6610

1011

⋅ −

+ ⋅ −

= − − = −

0010 1= − ,

Dentre as alternativas, o número mais próximo do valor da

expressão é –10.

16. c

A quantidade de aves poderá ser dada por: n · (n + 2) + 1 =

= n2 + 2n + 1 = (n + 1)2 e que, portanto, é um quadrado

perfeito.

17. e

S = a + b = 3k e P = ab = k 2

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2 s (3k)2 = 2k 2 + 1,75 s

s 7k 2 = 1,75 s k 2 = 1 75

7,

∴ k 2 = 0,25

18. a) Considerando que uma das partes do fio é x, a outra será

48 – x.

Como o fio de medida x deverá ser o perímetro de um qua-

drado, o lado desse quadrado medirá x4

e sua área x4

2

.

Como o fio de medida 48 – x deverá ser o perímetro de

outro quadrado, o lado desse quadrado medirá 48

4− x

e

sua área 48

4

2−

x.

Considerando o 2º quadrado como sendo aquele de maior

área, teremos:

(48 – x)2 = 4x2 s (48 – x)2 = (2x)2 s48 – x = 2x ∴ x = 16

ou

48 – x = –2 x

∴ x = – 48 (Não convém).

As partes do fio devem medir 16 cm e 32 cm.

b) Os lados dos quadrados medirão: 4 cm e 8 cm. Logo, suas

áreas terão medidas iguais a 16 cm2 e 64 cm2.

19. b

Se b e c são raízes da equação x 2 + bx + c = 0, então, por soma

e produto podemos escrever:

b + c = –b (I)

b · c = c (II)

De (II) podemos concluir que: c = 0 ou b = 1

Se b = 1, então c = –2.

Logo, c = 0 ou c = –2. Daí, a soma dos possíveis valores de c é

igual a –2.

20. d

Como a área de um retângulo é calculada multiplicando-se a

base pela altura, podemos escrever:

A área da reserva legal é dada por x 2 + ax + bx e a área total

será dada por (x + a)(x + b).

Como a reserva legal é 20% da área total, temos que:

x 2 + ax + bx = 0,20 ⋅ (x + a)(x + b) s

s x 2 + ax + bx = 15

· (x + a)(x + b) s

s 5x 2 + 5ax + 5bx = x 2 + bx + ax + ab s

s 4x 2 + 4(a + b)x – ab = 0

Nesta equação, temos: ∆ = 16(a + b)2 + 16ab e, portanto:

xa b a b ab

a b a b

= − +( ) ± +( ) + =

= − +( ) ± +( ) +

4 16 168

4 16

2

2aab =

8

s − +( ) ± +( ) + = − +( ) ± +( ) +4 4

8 2

2 2a b a b ab a b a b ab

Como x > 0, teremos: x = − +( ) + +( ) +a b a b ab

2

2

12

21. e

a + b – 3 = 0 s a + b = 3

c – 5 = 0 s c = 5

∴a + b + c = 3 + 5 = 8

22. d

Sejam x e y as quantidades correspondentes, respectivamente,

a Márcio e Maurício. Assim:

x y

x y

x y

x y

+ =

=

+ =

− =

8 800

23

45

8 800

23

45

0

. .

+ =− =

+ =

15

8 800

10 12 0

2

8 82

2

L

x y

x y

L

x y

.

:

. 000

5 6 0

6

8 800

11 52 8001 2

x y

L L

x y

x x

− =

++ =

= ⇒ =

.

. 44 800.

23. Sejam n o número inicial de pessoas e x o valor que cada uma

delas receberia inicialmente.

Assim:

n · x = 1.200 (I)

(n – 9) · (x + 27) = 1.200 (II)

Desenvolvendo a equação (II), temos:

nx + 27n – 9x – 243 = 1.200

Substituindo (I) em (II), temos:

27n – 9x – 243 = 0 s x = 3(n – 9) (III)

Substituindo (III) em (I), temos:

n · 3(n – 9) = 1.200 s n2 – 9n – 400 = 0

Sendo assim, podemos ter: n = 25 ou n = –16 (Não convém.)

Portanto, no início eram 25 pessoas.

24. c

H w no de homens

M w no de mulheres

H + M = 60 s H = 60 – M (I)

M = 3(H – 12) (II)

Substituindo (I) em (II):

M = 3(48 – M) s M = 144 – 3M s 4M = 144 ∴ M = 36

25. b

    ( )

 ( )

    (

x y

y z

x y z

zy

==

+ + =

=2

2 3

11

23

I

III

s III)

Substituindo (I) e (II) em (III):

223

11y yy+ + =  s 6y + 3y + 2y = 33 s 11y = 33 s y = 3

Substituindo y = 3 em (I) e (II), temos: x = 6 e z = 2

∴ x + 2y + 3z = 18

26. e

Número de filhos: x

Número de filhas: y

Número de irmãos de cada filho: x – 1. Daí, x – 1 = y

Número de irmãs de cada filha: y – 1. Daí: 2(y – 1) = x

y x

x y

= −= −( )

1

2 1

( )

( )

I

II

Substituindo (I) em (II), temos:

x = 2(x – 1 – 1) s x = 2(x – 2) sx = 2x – 4 s s –x = – 4 ∴ x = 4 e y = 3

Logo, o número de filhos e filhas do casal é 7.

27. c

Para que uma soma de parcelas não negativas seja igual a zero,

é necessário que cada parcela seja nula. Daí, devemos ter:

2 0

0

3 0 3

x y z

x y

z z

+ − =− =− = =

   s

Substituindo z = 3, na primeira equação, temos:

2 3 0

0

2 3 0

3 3 0 11 2

x y

x y L L

x y

x x

+ − =− =

+

+ − =− = ⇒ =

x = 1; y = 1; z = 3 ∴ x + y + z = 5

28. a) Como são dois turnos, cada jogo entre duas equipes é dife-

rente do outro. Logo, serão disputadas 4 · 3 = 12 partidas.

b) Sendo x o número de vitórias e y o número de empates, e

observando que o número total de pontos é 32, temos:

x y

x y L L

x y

y

+ =+ =

−

+ ==

12

3 2 32 3

12

41 2

Portanto, foram 4 empates.

c) Observando que cada equipe jogava exatamente 6 partidas, o

número de pontos de cada equipe e que existiram ao todo

oito vitórias e quatro empates, podemos construir a tabela:

Equipe V E D

A 4 1 1

B 3 2 1

C 1 2 3

D 0 3 3

29. a

Sejam a e b os dois números naturais.

Do enunciado: a2 – b2 = 21 s (a + b)(a – b) = 21 · 1 ou

(a + b)(a – b) = 7 · 3.

Daí, vem:

a b

a b L L

a b

a

+ =− =

+

+ ==

21

1

21

2 221 2

s a = 11 e b = 10

∴ a2 + b2 = 221

Ou:

a b

a b L L

a b

a

+ =− =

+

+ ==

7

3

7

2 101 2

s a = 5 e b = 2

∴ a2 + b2 = 29

13

30. c

Totaldealunos:250

32% dos alunos são homens: 0,32 · 250 = 80

40% dos homens estão na 1ª série: 0,40 · 80 = 32

20% dos alunos matriculados estão na 3ª série: 0,20 · 250 = 50

10 alunos que são homens estão na 3ª série.

Com essas informações, podemos concluir:

Alunos da 3ª série: f = 10 e c + f = 50. Daí, c = 40.

Alunos da 1ª série: 32 são homens. Daí, d = 32.

Alunos da 2ª série: como 80 são homens, temos que d + e +

+ f = 80. Como d = 32 e f = 10, então e = 38.

Como b = e, então b = 38.

Logo, o número de mulheres é 250 – 80 = 170, temos que a +

+ b + c = 170. Daí, concluímos que a = 92.

31. Seja x esse número.

Pelo enunciado: x – 3 = 2 x s s (x – 3)2 = 4x sx 2 – 6x + 9 = 4x s x 2 – 10x + 9 = 0

∆ = 100 – 36 = 64

x = ±10 82

∴ x = 9 ou x = 1 (Não convém.)

32. d

x 2 = m s m2 – 5m + 4 = 0 s m = 1 ou m = 4

Se m = 1 s x 2 = 1

∴ x = –1 ou x = 1

Se m = 4 s x 2 = 4

∴ x = –2 ou x = 2

Logo, a soma dos quadrados das raízes é igual a:

(–1)2 + 12 + (–2)2 + 22 = 10

33. x2 + 1 = m s m2 – 7m + 10 = 0 s m = 2 ou m = 5

Se m = 2 s x 2 + 1 = 2 s x 2 = 1

∴ x = –1 ou x = 1

Se m = 5 s x 2 + 1 = 5 s x 2 = 4

∴ x = –2 ou x = 2

S = {–2; –1; 1; 2}

34. a

4 12

x +( ) = (2x – 1)2 s 4x + 1 = 4x2 – 4x + 1 s

s x2 – 2x = 0 s x

x1

2

0

2

==

Fazendo a verificação na equação original, temos: S = {2}

35. c

2 7 1 2 1 7x x x x− + = − = +     s s

2 1 7 2 2 2 1 72 2

x x x x x−( ) = +( ) − + = +     s s

x – 6 = 2 2 6 2 22 2

x x x     s s+( ) = ( )

s x2 – 12x + 36 = 8x

s x2 – 20x + 36 = 0 s x

x1

2

2

18

==

Fazendo a verificação na equação original, temos: S = {18}

36. x x x

x x x x

x

22

2

2 2

2 1 2

2 1 4 4

4

− +( ) = −

− + = − +

−

( )  

   

 

s

s s

s 44 2 1 4 4 2 1

16 32 16 2

22

2

= + − = +( )− + =

x x x

x x x

   ( )  

 

s s

s ++− + =

∴ = =

1

16 34 15 0

58

32

2

 

 

s

s x x

x xou

Fazendo a verificação na equação original, temos:

S = 32

Capítulo 4

médias, gráficos e diagramas

Conexões

Resposta pessoal. Espera-se que os alunos percebam que o

universo pesquisado deve ser semelhante ao público-alvo. Por

exemplo, se a ideia for descobrir a preferência entre alguns

produtos tipicamente femininos, a pesquisa com o sexo mas-

culino pode apresentar falsos resultados. Após a definição do

perfil das pessoas pesquisadas, critérios devem ser analisados;

por exemplo: escolher alunos de todos os segmentos? de to-

das as idades? dos dois sexos, de maneira proporcional? com

desempenhos escolares distintos?

Exercícios complementares

13. d

Sejam a, b, c, d e e os cinco números distintos.

Temos:

a b c d e+ + + + =

5 16 s

s a + b + c + d + e = 80

Seja e o maior deles.

Para que e seja o maior possível, a + b + c + d deverá ser o

menor possível.

Assim:

a + b + c + d = 1 + 2 + 3 + 4 = 10

∴ 10 + e = 80 s e = 70

14. c

MH

=+

=+

=21

401

50

250 40

200

40090

44 5 , km/h

15. a) 20 · 6 = 120

Gastará R$ 120,00.

b) 20 · 4 = 80

Gastará R$ 80,00.

14

c) Seja T o trabalho a ser realizado. O rendimento de André é

AT=6

, ou seja, André realiza 16

do trabalho em uma hora.

O rendimento de Fernanda é FT=4

. Os dois juntos farão o

trabalho em x horas.

Assim, podemos escrever:

Tx

T Tx

xx

= + = +

= + =

6 41 1

614

1 2 312

5 12

       

   

s s

s s

∴ x = 2,4 horas = 2 h 24 min

d) Custo individual: 20 · 2,4 = 48

Custo total: 2 · 48 = 96

Gastará R$ 96,00.

Note que 96 é a média harmônica entre 120 e 80.

16. x x x x1 2 3 10

10100

+ + + +=

 s

s x1 + x2 + x3 + …+ x10 = 1.000

Então:

x x x x

1 2 3 105 5 5 5

10

+ + + + + + + +=

x x x x1 2 3 10

10 5

101 000 50

101 050 50

10

+ + + + + ⋅= + = + . . == 105

29. a) O analgésico começa a fazer efeito após 0,8 hora ou 48

minutos.

b) O tempo de ação será 6 h – 0,8 h = 5,2 h = 5 h 12 min.

30. F – V – F

Pela análise do gráfico, podemos notar que apenas a afirmativa

II é verdadeira.

31. e

a) (F) Não são iguais em nenhuma modalidade.

b) (F) 48,79 – 47,84 = 0,95 segundos

c) (F) 54,46 : 3 H 18,15 > 11,02

d) (F) 53 3 54 46

2, ,+

= 53,88 segundos

e) (V) 10 6 11 02

2, ,+

= 10,54 segundos

32. b

Da observação gráfica e da informação do enunciado, conclui-

-se que:

(0,12 · 0,25 + 0,25 · 0,06 + 0,32 · 0,25 + 0,2 · 0,075 + 0,11 · 0,5) · x =

= 78

Então:

0,195 · x = 78 s x = 400

Irão assistir à peça 400 pessoas, das quais 11% · 400 = 44 têm

50 anos ou mais e, portanto, ocuparão lugares especiais.

Tarefa proposta

1. MA

= + + = =3 12 483

633

21

MG

= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ = ⋅ =3 12 48 3 3 4 3 4 3 4 3 4 123 23 3 33

MH

=+ +

=+ +

= ⋅ =313

112

148

316 4 1

48

3 4821

487

2. 2

22 2 2 2

+ = + =xx x x     s s

s 4 + 4x + x 2 = 4 · (2x) s x 2 – 4x + 4 = 0

∆ = 16 – 16 = 0

x = =42

2

∴ x = 2

3. d

A média dos 50 números é dada por:

M = ⋅ + ⋅ =30 20 20 30

5024

4. d

Seja x anotaqueoalunotirounoexame.Temos:

1 30 1 60 1 50 1 70 2

650

⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + x  s

s  210 2

650

+ x s 210 + 2x > 300 s 2x > 90 s x > 45

5. c

x x x x

1 2 3 4052 148

4260

+ + + + + +=

... s

s x1 + x2 + x3 + … + x40 = 2.520 – 52 – 148 s

s  

... .x x x x1 2 3 40

402 320

4058

+ + + += =

6. d

Consideremos os dois números: a1 e a2 (com a1 > a2, sem perda

de generalidade).

Pelo enunciado, temos:

a a

a a1 21 22

30 60+

= ∴ + = (I)

a a1 2

+ = 18 ∴ a1 · a2 = 324 (II)

De (I), temos: (a1 + a2)2 = 602

a a a a12

1 2 222+ + = 3.600

∴ a12 + 2 · 324 + a

22 = 3.600

a a12

22+ = 2.952

Da igualdade (1 – a2)2 = a a a a

12

1 2 222− + , temos:

(a1 – a2)2 = a a

12

22+ – 2a1a2 =2.952 – 648 = 2.304

Assim, (a1 – a2)2 = 2.304 e, portanto, como consideramos a1 > a2,

a1 – a2 = 48.

15

7. a

Idade do aluno desistente: x

x x x x x

1 2 3 41

42

+ + + + +=

... 20,5

∴ x1 + x2 + x3 + … + x41 + x = 42 · 20,5 (I)

Após a desistência do aluno, teremos:

x x x x

1 2 3 41

41

+ + + +=

... 20

∴ x1 + x2 + x3 + … + x41 = 41 · 20 (II)

Substituindo (II) em (I):

x + 41 · 20 = 42 · 20,5 s x + 820 = 861 s x = 41

Logo, a idade do aluno que desistiu é 41 anos.

8. e

Idade do funcionário que pediu demissão: x

Mx x x x x

=+ + + + +

1 2 3 17

18

... s x1 + x2 + x3 + … + x17 = 18M – x

Com o novo funcionário, temos:

Mx x x x

− =+ + + + +

222

181 2 3 17

... s

s x1 + x2 + x3 + … + x17 = 18M – 36 – 22

Comparando as duas equações, temos:

18M – x = 18M – 58 ∴ x = 58

9. a) Usando as fórmulas dadas no enunciado, temos:

• x =

52

472

3

4134

+ + +=

• d =−

+ −

+ −

+5

2134

4134

72

134

2 2 2

33134

4

2

−

d =

−

+

+

= =

34

34

14

4

20164

516

2 2 2

== 54

b) Assim, o intervalo C será dado por:

C = − ⋅ + ⋅

134

25

4134

25

4;

Como:

13 2 5

452

372

413 2 5

4− < < < < < +

,

concluímos que todos os elementos do conjunto X perten-

cem ao intervalo C.

10. b

Antes da substituição, temos:

x x x x x x

1 2 3 4 5 6

6192

+ + + + += cm s

s x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 = 1.152 cm (I)

Substituindo os jogadores x4, x5 e x6 pelos jogadores y1, y2 e y3,

temos:

x x x y y y

1 2 3 1 2 3

6190

+ + + + += cm s

s x1 + x2 + x3 + y1 + y2 + y3 = 1.140 cm (II)

1.152 – 1.140 = 12 cm (equivale a 4 cm a menos por jogador

que entrou)

11. b

Sejam x o número de vagas oferecidas pela universidade e y o

número de candidatos a disputar as vagas.

Temos:

yx

= 3 6,

Aumentando em 10% o número de candidatos e em 20% o

número de vagas, teremos:

1 11 2

1 11 2

3 6 3 3,,

,,

, ,yx

= ⋅ =

12. e

Seja 3x o número de vestibulandos que fizeram a prova de

matemática.

23

3 2⋅ =x x são homens e 13

3⋅ =x x são mulheres.

Considere:

Hm a m-ésima nota masculina e MN a n-ésima nota feminina.

H H H

xH H H xm

m1 2

1 225 9 118

+ + += ⇒ + + + =

,

M M M

xM M M xn

n1 2

1 25 6 5 6

+ + += ⇒ + + + =

, ,

Daí:

H H H M M M

xm n1 2 1 2

3

+ + + + + + +=

= + = =11 8 5 6

317 4

35 8

, , ,,

x xx

xx

13. a

Com base no gráfico, existe, no país, uma predominância de

imóveis improdutivos, nas áreas rurais (não notamos isso ape-

nas na região Sul).

14. d

a) (F) Meninas com, no máximo, 16 anos: 4

Meninos com, no máximo, 16 anos: 7

b) (F) (4 + 3 + 3) + (7 + 2 + 1) = 20

c) (F) M = ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ =1 14 2 15 1 16 3 17 3 1810

16 5,

d) (V)

e) (F) Meninos com mais de 15 anos: 7

Meninas com mais de 15 anos: 7

16

15. b

A maior desvalorização do real, em relação ao dólar, ocorre

quando o dólar atinge seu maior valor (em reais).

16. 11 712 4

0 944, %, %

,

Pouco mais de 94% dos investimentos.

17. d

100 w 360°

26 w x

100x = 26 ·360° ∴ x = 93,6°

18. e

De acordo com o gráfico de um total de 50 funcionários, 6

funcionários recebem, no mínimo, R$ 1.700,00.

650

0 12 12= =, %

19. d

Como a taxa de crescimento da população economicamente

ativa é de 4%, então o número dessas pessoas em 6/2009 será:

1,04 · 23.020.000 = 23.940.800 pessoas

20. e

Pelo gráfico de setores, temos que a população da Ásia era de:

60

1006 2 3 72⋅ =, , bilhões

Pelo gráfico I, temos que a população urbana da Ásia era

aproximadamente de:

38

1003 72 1 41⋅ =, , bilhão

21. d

9 + 16 + 15,5 + 13,1 + 11,3 – 18,7 – 31,6 – 26,9 – 32,3 – 22,8 =

= – 67,4

67.400.000.000 desfavoráveis à América Latina/ Caribe, ou seja,

favoráveis aos países desenvolvidos.

22. e

Pela análise do gráfico.

23. c

Pela observação do gráfico, temos:

a) 10.000 anos correspondem, aproximadamente, a 5 mícrons

10 0005

30 00015

. .=

e 80.000 anos correspondem, aproxi-

madamente, a 15 mícrons 80 000

15.

. Essas razões não

formam uma proporção.

b) Com 10.000 anos a espessura da camada é de 5 mícrons

e, com 20.000, é menor que 10 mícrons. Portanto, em 10.000

anos a espessura não dobrou.

c) e d) Nos primeiros 60.000 anos, houve um crescimento

de, pelo menos, 15 mícrons na espessura da camada, e dos

60.000 aos 140.000 anos, o crescimento foi de 5 mícrons;

portanto, a espessura aumenta mais rapidamente quando

a pedra é mais jovem.

e) Se a espessura não tivesse aumentado mais, o gráfico, a

partir dos 100.000 anos, seria uma função constante (uma

semirreta com origem na abscissa 100.000 anos e paralela

ao eixo das idades).

24. e

Fazendo a análise gráfica de cada alternativa, concluímos:

a) O ônibus cuja partida do ponto inicial é às 9 h 20 min gasta

90 min até o ponto final.

b) O ônibus cuja partida do ponto inicial é às 9 h 30 min gasta

90 min até o ponto final.

c) O ônibus cuja partida do ponto inicial é às 9 h gasta mais

de 90 min até o ponto final, portanto chegará a esse destino

após as 10 h 30 min.

d) O ônibus cuja partida do ponto inicial é às 8 h 30 min gasta

menos de 110 min até o ponto final, portanto chegará a esse

destino antes das 10 h 20 min.

e) O ônibus cuja partida do ponto inicial é às 8 h 50 min gasta

100 min até o ponto final, portanto chegará a esse destino

às 10 h 30 min.

Observação: Note, professor, que o ônibus que parte às

8 h 30 min gasta aparentemente 105 min para chegar ao

ponto final (ponto médio entre 100 e 110), mas, sem uma

informação mais precisa, não se deve inferir esse valor. Por

isso, na resolução do item d informamos que ele gasta menos

de 110 min. A mesma observação é válida para o item c.

25. c

Como voltam no mesmo tempo de percurso, a diferença se dá,

apenas, na ida (110 min – 50 min = 60 min = 1 h/dia).

Portanto, em 20 dias são 20 horas.

26. F – V – F – V – F

I. (F) Em meados de janeiro de 2003 até meados de julho de 2003

decresceu.

II. (V) Observe o gráfico.

III. (F) Basta observar o gráfico de meados de abril a meados de

julho de 2003.

IV. (V) Basta observar o gráfico.

V. (F) Em outubro de 2003, o crescimento dos grandes empresários é

em torno de 8 pontos e o dos médios é em torno de 6 pontos.

27. a

O gráfico mostra que as regiões com maior preservação do ambien-

te natural retêm mais água da chuva, diminuindo o fluxo fluvial.

28. c

a) (F) 5 vezes

b) (F) Julho

c) (V) Setembro

d) (F) Crescente

17

29. c

a) (F) A produção diminuiu em 2007.

b) (F) Crescente a partir de 2008.

c) (V) 10 10 20 30 50 50 40 40 50 60

10+ + + + + + + + + =

= =36010

36

d) (F) Decrescida de: 1050

20100

= = 20%

30. a) 0,16 · 32.000 = 5.120 candidatos

b) Não. A nota média dessa questão foi:

3 · 0,16 + 4 · 0,12 + 5 · 0,1 + 0 · 0,1 + 1 · 0,2 + 2 · 0,32 =

= 0,48 + 0,48 + 0,5 + 0 + 0,2 + 0,64 = 2,3

31. e

Observemos cada uma das alternativas:

a) De 1940 a 1980 (ou seja, em 40 anos), a produção industrial

era aproximadamente 30% da força de trabalho brasileira, não

caracterizando, assim, a tal exclusividade que o item sugere.

b) O gráfico do setor agrícola tem uma queda mais acentuada

entre 1970 e 1980, aproximadamente.

c) Por volta de 1970, a força de trabalho agrícola representava

aproximadamente 45% da força de trabalho brasileira e a

industrial/mineração ficou próxima dos 22% da força de

trabalho brasileira.

d) Em 1980, a força de trabalho agrícola era de pouco menos

de 30%, o que não caracteriza a metade da força de trabalho

brasileira na época.

e) Entre 1960 e 1980, os setores industrial/mineração cres-

ceram de 18% para 28%, aproximadamente (ou seja, um

acréscimo de 10%); nesse mesmo período, o setor de serviços

cresceu de 32% para 42%, aproximadamente (também um

crescimento de 10%), ou seja, o crescimento percentual

desses setores foi equivalente.

32. a

Vamos elaborar uma tabela com os dados do enunciado,

acrescentando uma linha para as áreas plantadas, cujos valores

calcularemos:

Produtividade =Produção

Área plantada s

s  

PrÁrea plantada ( ) =

oduçãoProdutividad

APee

Safra

2006 2007 2008 2009 2010

Produção (em mil toneladas)

30 40 50 60 80

Produtividade(em toneladas /hectare)

1,5 2,5 2,5 2,5 4,0

Área plantada (em hectare)

2,0 1,6 2,0 2,4 2,0

Observe que a produtividade foi fornecida em kg/hectare e,

para a resolução, Usamos tonelada/hectare.

De 1995 a 1996, a AP diminuiu; de 1996 a 1998, a AP aumentou;

e de 1998 a 1999, diminuiu novamente. Portanto, o gráfico que

melhor representa a área plantada é o primeiro.

33. c

Foram 8 dias atendendo 1 criança (total de 8 crianças atendidas).

Foram 5 dias atendendo 2 crianças (total de 10 crianças atendidas).

Foram 3 dias atendendo 3 crianças (total de 9 crianças atendidas).

Foram 6 dias atendendo 4 crianças (total de 24 crianças atendidas).

Foram 2 dias atendendo 5 crianças (total de 10 crianças aten-

didas).

Foram 3 dias atendendo 6 crianças (total de 18 crianças atendidas).

Portanto, em 27 dias foram atendidas 79 crianças.

34. a

Segundo o texto, ao se abrir a torneira para fazer o bochecho

e molhar a escova, há um consumo crescente de água. Ao se

fechar a torneira, o consumo total per manece constante e,

abrindo-a novamente, o consumo total volta a aumentar.

Consumo (L)

t (s)

35. e

Cf = custo médio de um funcionário

Cf = R$ 12.000,00

Nf = número médio de funcionários por cidade

Nf

= 16 100366

44.

Aumento de cidades = 370 – 366 = 4

Número de funcionários = 44 · 4 = 176

Aumento de despesas = 176 · R$ 12.000,00 = R$ 2.112.000,00

36. c

Representando por x e y, respectivamente, a população brasi-

leira em 2006 e 2009, em milhões, temos:

0 1 0 07 5 2

0 26 0 21 8 2

10 7 520, , ,

, , ,

x y

x y

x y− =− =

− =

226 21 820x y− =

3

10 7 520

4 740 1851 2

L L

x y

x x−− =

= =  s

Brasileiros indigentes em 2006: 0,1 · 185 = 18,5 milhões.

18