polígrafo mecânica parte 1.pdf
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Universidade Federal de Santa Maria
Centro de Tecnologia
Departamento de Estruturas e Construção Civil
Polígrafo
Mecânica para Engenharia Civil
Prof Denise de Souza Saad
1
Mecânica para Engenharia Civil Capítulo 1
1. Conceito: Sistema Estrutural é o agrupamento de pontos materiais interligados entre
si.
2. Estrutura: é o suporte material que serve para o transporte de esforços;
3. Objetivo: perceber os elementos estruturais e identificar os esforços a que eles estão
submetidos, possibilitando a criação de condições estruturais passíveis de cálculo real.
1.CARGAS
1.1. Conceito de carga:
A grande maioria das forças nas edificações é vertical, isto é, dirigidas para o centro
da Terra
1.2. Peso Próprio e Carga Acidental:
Fala-se de peso próprio quando se pretende designar o peso dos elementos
estruturais.
O PP da estrutura atua constantemente sendo também conhecido como “Peso
Permanente”. Os PP da estrutura são cargas verticais.
As Cargas Acidentais são as dotadas de mobilidade devido às pessoas,
instalações, materiais depositados, maquinários. As CA são chamadas de cargas móveis
e estas poderão ser verticais e/ou horizontais.
As CA possuem seus valores pré-fixados e normalizados através da ABNT.
1.3. Formas de Absorção e Transmissão das cargas nas edificações:
Devido às cargas atuantes na estrutura está irá transmitir os esforços atuantes
para alguns pontos como os vínculos ou ligações e os apoios.
2
1.4. Carga Concentrada e Carga Uniformemente Distribuída:
1.4.1. Carga Concentrada: aquela que o ponto de aplicação é apenas um ponto.
Representada geralmente pela letra “P”.
1.4.2. Carga Distribuída: cargas que atuam ao longo de um trecho. Representa-se pela
letra “q”.
1.4.2.1. Carga Uniformemente Distribuída: quando o carregamento permanece
constante durante todo o trecho.
1.4.2.2. Carga Distribuída Variável: a carga varia ao longo do trecho.
2 – Princípios da Estática:
2.1. Conceitos Fundamentais:
a) Noção de força: a primeira noção de força foi dada ao homem pela sensação de
esforço muscular.
A definição mecânica de força é o resultado da ação de um corpo sobre outro
corpo.
b) Características de uma força:
Módulo – seu valor numérico
Direção – reta suporte
Sentido – Valor numérico.
c) Efeitos:
A ação de um corpo sobre outro acarreta efeitos agrupados em duas
características. Efeitos externos e efeitos internos.
- Efeitos externos: é o conjunto de ações e das reações (ativa e reativa)
Efeito Interno: são as tensões
d) Representação: por P, G
P
q
q
q q
3
2.2 – Adição de Forças:
Quando duas forças atuam sobre um mesmo ponto seus efeitos são os mesmos
como se atuasse uma única força.
2.2.1. Forças de mesma direção e sentido
2.2.2. Forças de mesma direção e sentidos contrários
2.2.3. Forças concorrentes:
2.3 Transmissibilidade
Como as forças se transmitem nos sistemas e do sistema para o solo, para tanto
precisamos conhecer os tipos de forças
a)Classificação das forças
- Forças Externas: são aquelas que se originam da ação de uma causa externa ao
sistema material, pode ser:
1) Forças Externas Ativas: são aquelas aplicadas diretamente ao sistema material;
2) Forças Externas Reativas: são aquelas que surgem em reação as forças aplicadas.
As FER ocorrem em locais específicos chamados de apoios e sendo denominadas de
REAÇÃO DE APOIO.
C) Forças Internas: são aquelas que ocorrem entre os pontos do sistema material.
Ex:
F1 F2 R =F1+F2
F1 F2 R= F1-F2
F1
F2
R R= √ F1
2+F2
2+2.F1.F2.cos
P1 P2
P3
R1 R2
P1, P2 e P3- FEA
R1 e R2 – FER
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2.4 Transmissibilidade
As forças nunca agem sozinhas, pois segundo a 3º Lei de Newton:
“A cada ação corresponde uma reação de mesmo módulo, direção, mas sentido
contrário”.
2.5 Sistema de Forças: Condições de Equilíbrio:
Define-se como sistema de forças ao conjunto formado pela reunião de várias
forças que atuam em um corpo qualquer. Para as estruturas planas que serão abordadas
em Sistemas Estruturais, os sistemas de forças serão chamados coplanares, isto é,
sistema formado por forças que atuam no mesmo plano. Estas forças coplanares
poderão ser concorrentes ou paralelas.
Condição para que o sistema de forças esteja em equilíbrio é que a resultante e o
momento resultante do sistema sejam NULOS em qualquer ponto do sistema.
Para determinarem-se as condições de equilíbrio da estática tomamos como base
as equações de equilíbrio da estática:
F = 0
M = 0
Para os sistemas planos, considerando os eixos x e y:
- Diagrama de Corpo Livre:
É a representação do corpo e de todas as Forças e Momentos que atuam sobre
ele.
3. Forças no Plano
3.1 Composição de forças:
Consiste na determinação da resultante de um sistema de forças, podendo ser
resolvido graficamente ou analiticamente>
3.2.1. Forças de mesma direção e sentido
3.2.2. Forças de mesma direção e sentidos contrários
y
x
z
Fx=0
Fy=0
Mz=0
F1 F2 R =F1+F2
F1 F2 R= F1-F2
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3.2.3. Forças concorrentes:
3.2. Componentes cartesianas de uma força
Decomposição das forças sobre os eixos cartesianos x e y.
cos = Cateto adjacente = F1x F1x = F1.cos
Hipotenusa F1
sen = Cateto oposto = F1y F1y = F1.sen
Hipotenusa F1
cos = Cateto adjacente = F2y F2y = F2.cos
Hipotenusa F2
sen = Cateto oposto = F2x F2x = F2.sen
Hipotenusa F2
F1
F2
R R= √ F1
2+F2
2+2.F1.F2.cos
F1
F1x
F1y x
y
Hipotenusa: F1
Cateto Oposto: F1y
Cateto Adjacente: F1x
F2
F2x
F2y x
y
Hipotenusa: F2
Cateto Oposto: F2x
Cateto Adjacente: F2y
6
3.3 Momento de uma Força:
Defini-se momento de uma força em relação a um ponto qualquer de referência,
como sendo o produto entre a intensidade da carga aplicada e a respectiva distância em
relação ao ponto de referência.
É importante observar que a direção da força e a distância estarão sempre
defasados de 90º.
- Teorema de Varignon
O momento resultante de duas forças concorrentes em um ponto E qualquer do
seu plano, em relação a um ponto A de referência, é igual a soma algébrica dos
momentos das componentes da força resultante em relação a este ponto.
Observação: Nunca esqueça que a distância é sempre tomada PERPENDICULAR ao
ponto de referência.
3.4 Forças Paralelas:
Considere as forças no plano xy. Entende-se por forças paralelas ao eixo y, quando não
existirem projeções em relação ao eixo x, tendo momento apenas em relação ao eixo x.
A d F M=F.d
A
b
a
c R V
H
R.c = H.a+V.b
y
x
z
Fy=0
Mz=0
É o caso mais comum da estática
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4. Vínculos 4.1 Graus de Liberdade:
Defini-se como grau de liberdade a possibilidade de movimento.
No espaço tem-se 6 GL, o que significa 3 translações e 3 rotações
No plano têm-se 3 GL, 2 translações e 1 rotação
4.2 Vínculos:
A função dos vínculos é restringir a possibilidade de movimento dos corpos, ou
seja, proporcionam vínculo da estrutura ao solo ou na própria estrutura entre um
elemento e outro. Os vínculos, por restringirem os movimentos, despertam as chamadas
reações vinculares ou REAÇÔES DE APOIO, exclusivamente na direção dos
movimentos impedidos, permitindo somente pequenos deslocamentos devido às
deformações.
Os vínculos ou apoios serão classificados de acordo com os graus de liberdade.
4.3 Classificação dos vínculos ou apoios:
1º)Apoio Simples ou Apoio do 1º. Gênero – impede uma translação, ou vertical ou
horizontal.
Apresenta apenas uma reação de apoio, na direção do movimento impedido.
Representação:
2º)Apoio Duplo ou Apoio do 2º. Gênero – impede uma 2 translações
Apresenta duas reações de apoio, uma horizontal e uma vertical
Representação:
z
y
x
z
y
x
V
H
V V
H H
8
3º) Engastes ou Vínculos do 3º Gênero:
Representação
5. Determinação das Reações de Apoio:
Para determinação das reações de apoio utilizam-se as equações das
condições de equilíbrio.
FH = 0
FV = 0
M = 0
Ex: Determinar as reações de apoio da viga bi-apoiada abaixo:
Inicialmente, deve-se determinar os tipos de vínculos existentes:
Conforme visto anteriormente o apoio no ponto A é um apoio duplo e impede
dois movimentos, logo surgem duas reações, uma horizontal e uma vertical.
No ponto C, tem-se um apoio simples, impedindo um movimento, com
surgimento de uma reação de apoio, no sentido do movimento impedido.
V
H
M
1,0m 1,0m
5 KN
A B C
VA
HA
VC
9
Assim:
O sentido das forças adotado é arbitrário, podendo-se, por escolha, determinar
outros sentidos.
Para a determinação das reações HA,VA e VC utilizam-se as equações:
FH = 0
FV = 0
M = 0
No somatório das forças horizontais só há a força HA , portanto:
FH = 0 HA= 0
No somatório das forças verticais tem-se :
FV = 0 VA+VC = 5 KN
Para determinação do momento, inicialmente determina-se o ponto onde irá se
determinar o momento. Sempre emprega-se os pontos onde há os vínculos, ou seja,
neste caso, determina-se o momento no ponto A ou C. Verifica-se quais são as forças
que provocam momento em um destes pontos.
Determinando o momento no ponto A:
MA = 0
No ponto A, as forças HA e VA não provocam momento, pois passam pelo ponto
A. As únicas forças que provocam momento é a força externa de 5 KN e a reação do
ponto C. Lembre-se que momento é o produto da força pela distância, assim:
MA = + 5KN. 1m - VC. 2m = 0
A força de 5KN foi considerada positiva, pois o momento gira em torno do ponto A no
sentido horário:
1,0m 1,0m
5 KN
A B C
HA
VA VB
1,0m
5 KN
A
giro horário e sentido adotado como “+”
10
No ponto B
Portanto:
+ 5KN. 1m - VC. 2m = 0
VC.= +2,5 KN
Substituindo o valor na equação para determinação de VA:
VA+VC = 5 KN
VA+2,5 KN = 5 KN
VA= +2,5 KN
Assim, determinam-se todos os valores das reações:
HA= 0
VA= +2,5 KN
VC.= +2,5 KN
O valor positivo indica que o sentido adotado, de baixo para cima, está correto.
No próximo exemplo, tem-se uma viga engastada.
1,0m 1,0m
A B C
VB
Giro anti-horário adotado como “-“
1,0m 1,0m
5 KN
A B C
HA=0
VA = 2,5 KN VC= 2,5 KN
11
A viga apresenta unicamente um engaste no ponto A, vínculo que impede o
deslocamento horizontal, vertical e também o giro, logo surgem reações em todos estes
movimentos impedidos:
Assim:
Para a determinação das reações HA,VA e MA utilizam-se as equações:
FH = 0
FV = 0
M = 0
No somatório das forças horizontais só há a força HA , portanto:
FH = 0 HA= 0
No somatório das forças verticais tem-se :
FV = 0
VA - 12,5 KN - 10 KN = 0 KN
VA = +22,5 KN
0,5 m 0,5 m
12,5 KN 10 KN
A B C
VA
HA
MA
Q
0,5 m 0,5 m
12,5 KN 10 KN
A B C
VA
HA
MA
12
Como só há vínculo no ponto A, o momento será calculado neste ponto. Como
as forças HA e VA atuam neste ponto, seu momento será zero. Adotando o mesmo sinal
anterior, ou seja, negativo para sentido anti-horário do momento, tem-se:
Logo, o momento será dado por:
MA = 0
-MA + 12,5 KN.0,5m + 10 KN. 1,0 m = 0
MA = +16,25 KNm
Assim, tem-se
HA= 0
VA =+22,5 KN
MA = +16,25 KNm
Os sinais positivos indicam que o sentido adotado para a força e o momento estão
corretos, logo:
0,5 m 0,5 m
12,5 KN 10 KN
A B C
VA
HA
MA
+ +
0,5 m 0,5 m
12,5 KN 10 KN
A B C
VA= 22,5 KN
HA =0
MA = 16, 25 KNm
13
Quando a carga for uniformemente distribuída, a força resultante encontra-se na
posição do centro de gravidade do retângulo, ou seja, sua posição é na metade da base
do retângulo, logo para uma viga bi-apoiada com carga distribuída, tem-se:
Para a viga bi-apoiada, tem-se no ponto B um apoio duplo, com 2 reações de
apoio, vertical e horizontal, pois estes dois movimentos estão impedidos. No ponto D
tem-se um apoio simples, que impede um deslocamento horizontal, portanto com uma
reação de apoio vertical. Logo:
A resultante da carga distribuída está situada a 0,8 m do ponto C e do ponto D e
é dado pelo produto da base pela altura, ou seja, 1,2 KN/m.1,6m.
1,0 m 0,3m 1,5 m
3,4 KN 1,2 KN/m
A B C D
1,0 m 0,3m 1,6 m
3,4 KN 1,2 KN/m
A B C D HB
VB VD
1,0 m 0,3m 1,6 m
3,4 KN
A B C D HB
VB VD
1,2 KN/m
1,92 KN
1 KN
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Para a determinação das reações HB,VB e VD utilizam-se as equações:
FH = 0
FV = 0
M = 0
No somatório das forças horizontais tem-se as forças HB e a força de 1 KN, portanto:
FH = 0
HB + 1 KN=0
HB = -1 KN
O sinal negativo informa que o sentido da reação deverá ser da direita para a
esquerda, ou seja, contrário ao adotado. Assim, alterando o sentido da reação, deve-se
desconsiderar o sinal negativo.
Para a determinação das reações verticais:
FV = 0 VB+VD = 3,4 KN + 1,92 KN
VB+VD = 5,32 KN
Para a determinação dos valores de VB+VD , deve-se determinar o momento no ponto B
ou em D, fazendo o cálculo no ponto D a reação VD não provoca momento. Assim:
MD = + 1,9 VB - 3,4 KN. 2,9m -1,92 KN.0,8m = 0
+ 1,9 VB = 3,4 KN. 2,9m +1,92 KN.0,8m
VB = 5,99 KN ~6 KN
Logo
VB+VD = 5,32 KN
6 KN+VD = 5,32 KN
VD = 5,32 KN – 6KN
VD = -0,68 KN
Como a reação encontrada apresenta sinal negativo, indica que seu sentido está
trocado, ou seja, a reação no ponto D terá sentido de cima para baixo. Assim, as reações
da viga serão:
VD = 0,68 KN
1,0 m 0,3m 1,6 m
3,4 KN
A B C D
HB = 1 KN
VB = 6 KN
1,2 KN/m
1,92 KN
1 KN
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Determinar as reações de apoio da viga engastada abaixo:
A viga apresenta unicamente um engaste no ponto A, vínculo que impede o
deslocamento horizontal, vertical e também o giro, logo surge reações em todos estes
movimentos impedidos:
Assim:
A resultante das forças uniformemente distribuídas situa-se na metade da base
do retângulo e seu valor é dado pelo produto da altura pela base, ou seja, a altura das
forças pela distância em que ela está aplicada.
VA
HA
MA
Q
0,3 m 0,7 m
8,5 KN 7 KN
A B C
1,1 KN/N
0,4 KN/m
3,2 KNm
VA
HA
MA
0,3 m 0,7 m
8,5 KN 7 KN
A B C
1,1 KN/N
0,4 KN/m
3,2 KNm
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Para a determinação das reações HA,VA e MA utilizam-se as equações:
FH = 0
FV = 0
M = 0
No somatório das forças horizontais só há a força HA , portanto:
FH = 0 HA= 0
Para cálculo da resultante vertical, utilizam-se somente as forças verticais e o momento
aplicado na viga não entra no cálculo. No somatório das forças verticais tem-se:
FV = 0
VA - 8,5 KN - 7 KN -0,12 KN – 0,77 KN = 0 KN
VA = + 16,39 KN
Como só há vínculo no ponto A, o momento será calculado neste ponto. Como
as forças HA e VA atuam neste ponto, seu momento será zero. Adotando o mesmo sinal
anterior, ou seja, negativo para sentido anti-horário do momento, tem-se:
VA
HA
MA
0,3 m 0,7 m
8,5 KN 7 KN
A B C
1,1 KN/N
0,4 KN/m
3,2 KNm
1,1 KN/m.0,7m= 0,77 KN 0,4 KN/m.0,3m= 0,12 KN
VA
HA
MA
0,3 m 0,7 m
8,5 KN 7 KN
A B C
1,1 KN/N
0,4 KN/m
3,2 KNm
1,1 KN/m.0,7m= 0,77 KN 0,4 KN/m.0,3m= 0,12 KN
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Logo, o momento será dado por:
MA = 0
-MA + 8,5 KN.0,3m + 7 KN. 1,0 m + 0,12 KN. 0,15m + 0,77 KN.0,65m= 0
MA = +10,02 KNm
Assim, tem-se:
HA= 0
VA =+ 16,39 KN
MA = +10,02 KNm
Os sinais positivos indicam que o sentido adotado para a força e o momento estão
corretos, logo:
0,5 m 0,5 m
12,5 KN 10 KN
A B C
VA= 16,39 KN
HA =0
MA = 10, 02 KNm
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Exercícios:
1) Determinar as reações de apoio das vigas abaixo:
3 KN
C)
0,3 0, 7 1,0 m
A B C D
1,1 KN/m 3,5 KN
0,5 KN/m
1,5 KNm
A)
0,2m 0,3m 0,2m 1,5 m
3,4 KN 4,2KN 1,2 KN/m
A B C D E
0,2m 0,3m 0,2m 0,7m 0,8m
2,3 KN 4,1KN 1,5 KNm 1,1 KN/m
A B C D E F
B)
7 KN
8 KN
0,5 KN/M 5 KNM
A B C D E
0,2 m 0,2m 0,1m 0,2m
0,3 m 0,2 m 0,1 m 1,8 m
8,1 KN 4,3KN 0,3 KN/m
5 KNm
A B C D E
D)
e)
Resposta:
A)VC = 10,14 KN
VE = 0,74KN
B) VA = 6,50 KN
VF = 1,55KN
C) VA= 8,10 KN
MA = 9,85 KNm
D) VA = 8,61 KN
VE = 4,33 KN
E) VA = 15,25 KN
MA = 7,52 KNm
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6.Esforços Solicitantes: 6.1. Fundamentos:
O estudo da Mecânica abrange a relação entre as diversas forças que atuam
em um sólido rígido baseado nas condições de equilíbrio da estática, ou seja, na
determinação das reações vinculares externas (equilíbrio externo) e a caracterização das
solicitações fundamentais (equilíbrio interno).
A Resistência dos Materiais amplia este estudo, procurando determinar a
relação entre as solicitações externas e os efeitos provocados no interior dos sólidos por
estas e, admite que os corpos sofram deformações, por menores que estas possam ser,
podendo estas deformações, quando excessivas, levar o material até a ruptura.
Os problemas abrangidos pela Resistência dos Materiais são:
projetada a estrutura, verificar a segurança quanto ao carregamento imposto; e,
dimensionar a estrutura, a fim de resistir aos esforços com segurança. Para a determinação das solicitações fundamentais, faz-se necessário a análise dos esforços
internos, para que nas diversas seções da estrutura, possa-se verificar a existência e a grandeza dos
mesmos.
6.2. Método das Seções:
Considera-se um corpo rígido em equilíbrio qualquer submetido a forças
externas ativas e reativas.
F1 F2 m F3
F1 F2 F3
(E) (D)
RA n RB
RA RB
(a) (b) Figura 1.1
A Mecânica, utilizando as equações de equilíbrio externo da estática
(FH=0, FV=0, M=0), proporciona a determinação das resultantes das forças
aplicadas, o que possibilita a verificação do equilíbrio do corpo.
A Resistência dos Materiais estuda a DISTRIBUIÇÃO INTERNA DOS
ESFORÇOS provocados pelas forças exteriores ativas e reativas. Para a determinação
desta distribuição secciona-se o corpo por um plano m-n, conforme indicado na figura
1.1.b, dividindo-o em duas partes, esquerda (E) e direita (D). Este processo será
denominado de MÉTODO DAS SEÇÕES.
Para ser possível esta divisão, mantendo o equilíbrio das duas partes, aplica-
se na parte (E), um SISTEMA ESTÁTICO EQUIVALENTE aos das forças que atuam
na parte (D), e na parte (D), um sistema estático equivalente ao das forças que atuam na
parte (E). Este sistema estático é obtido reduzindo-se às forças à esquerda e à direita da
seção S em relação a um ponto, sendo este geralmente o centro de gravidade da seção.
Assim, a resultante R das forças e o momento resultante M, os quais atuam
na parte (E), foram obtidos através das forças que atuam na parte D, e vice-versa.
Logo pode-se dizer que a seção S de um corpo em equilíbrio, também esta
em equilíbrio submetida a um par de forças R e -R e a um par de momentos M e -M
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aplicados no seu centro de gravidade e resultante das forças atuantes em (D) e (E),
respectivamente.
F1 F2 F3
R M
(E) (D)
M R
RA RB
Figura 1.2
Para uma melhor compreensão dos efeitos estáticos provocados por R e M
na seção S da parte (E), far-se-á a decomposição da força e do momento resultante
segundo um triedro escolhido. Para a origem do sistema de eixos do mesmo considera-
se o Centro de Gravidade da seção.
O triedro será constituído por um eixo normal a seção e ao baricentro (eixo
X) e dois eixos tangenciais a seção (eixo Y e eixo Z), coincidindo com os eixos
principais de inércia da seção
y
My
F1 F2 Fy=Qy
Mx=T
(E)
Fx=N x
RA Fz=Qz
Mz
z
Figura 1.3
Cada uma das seis componentes obtidas, representa um efeito provocado
pelas forças aplicadas sobre o sólido em estudo, que a seguir são descritas:
ESFORÇO NORMAL (indicado pela letra N):
Representa a soma algébrica das projeções sobre a normal à seção, das
forças exteriores situadas à direita ou à esquerda da seção considerada. As forças
normais, que atuam em um elemento, tendem a provocar um alongamento (tração) ou
encurtamento (compressão) do elemento na direção da força normal.
ESFORÇO CORTANTE (indicado pela letra Q):
Representa a soma vetorial das projeções sobre o plano da seção das forças
exteriores situadas à direita ou à esquerda da seção considerada. As forças cortantes que
agem sobre um elemento tendem a provocar um deslizamento de uma face em relação a
outra face vizinha.
MOMENTO TORSOR (representado pela letra T):
Representa a soma algébrica das projeções sobre um eixo perpendicular ao
plano da seção e passando pelo seu centro de gravidade, dos momentos das forças
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exteriores situadas à esquerda ou à direita da seção. Os momentos torsores tendem a
torcer as faces em sentidos opostos em torno da normal baricêntrica.
MOMENTO FLETOR (representado pela letra M):
Representa a soma algébrica das projeções sobre o plano da seção dos
momentos das forças exteriores situadas à direita ou à esquerda da seção. Os momentos
fletores tendem a fazer girar em sentidos opostos as faces do elemento em torno de retas
localizadas nos planos das faces.
Exercícios de Diagramas
Exercícios resolvidos:
1) Determine as reações de apoio, os DEC e DMF
0,3m 0,8 m 0,3 0,2
8,1 KN
1) 4,5 KN
1,2 KN/m 2,1 KN/m
A B C D E
0,2m 0,3 m 0,3 m 0,2 m 0,4 m 0,3
3,1 KN 2)
5,2 KN
0,8 KN/m 0,5 KN/m
A B C D E F G
1,0 m 0,5 m 0,4m 0,8 m
0,5 KN/m 2,5 KN 4,5 KN
3 KNm 3) 0,2 KN/m
A B C D E
10,6 KN
0,6 0,2 0,8 0,8 m
A B C D E
8 KN
0,3 KN/m
0,8 KN/m
5 KNm 4
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Resolução
a)Reações de Apoio:
Inicialmente serão calculadas as reações de apoio, através das 3 equações da
estática:
FH = 0
FV = 0 Equações da estática
MA = 0
FH = 0 HA=0
FV = 0 VA + VC – 1,2 KN/m * 1,1 m – 8,1 KN – 2,1 KN/m * 0,5 m - 4,5 KN =
0
VA + VC = 15,0 KN
MA = 0 1,2 KN/m x 1,1 m * 1,1m/2 + 8,1 KN * 1,3 m + 4,5 KN * 1,4 m + 2,1
KN/m * 0,5m * ( 0,5m/2 + 1,4 m) – 1,1 m * VC = 0
b) DEC
A partir das reações de apoio, será calculado o diagrama de esforço cortante.
Para cálculo será empregada a seguinte convenção, na esquerda, quando a força
estiver subindo, será positivo. Caso o cálculo seja iniciado na direita, o esforço será
positivo, quando a força estiver descendo. Em ambos os casos a representação será
acima do eixo da viga. Assim, tem-se:
Lembre-se que na construção do DEC, sempre que houver uma carga ou um
apoio (exceto o inicial), faz-se o cálculo “antes” e “depois” da carga.
VA= + 5,1 KN VB= +9,9 KN
0,3m 0,8 m 0,3 0,2
8,1 KN
1) 4,5 KN
1,2 KN/m 2,1 KN/m
A B C D E
+ + Esq Dir Esq Dir
0,5 0, 7 0,9 m
A B C D
1,1 KN/m 8,1 KN 4,7 KN/m
0,5 KN/m 5
3 KNm
23
O diagrama será iniciado pelo ponto A, lembre que você sempre está no ponto
considerado:
Entrando pela esquerda tem-se somente a reação de apoio:
QA= +5,1 KN
Entrando pela direita tem-se:
QA= +2,1 KN * 0,5 m + 4,5 KN – 9,9 KN + 1,2 KN * 1,1 m +8,1 KN = +5,1 KN
No ponto B, entrando pela esquerda, antes da carga de 8,1 KN:
5,1 KN
0,3 m
1,2 KN/m
A B
5,1 KN
A
8,1 KN
0,3m 0,8 m 0,3 0,2
4,5 KN 1,2 KN/m
2,1 KN/m
9,9 KN
A B C D E
24
QBa= +5,1 KN – 1,2 KN/m * 0,3 m = + 4,7 KN
Entrando pela direita:
QBa= +2,1 KN * 0,5 m + 4,5 KN – 9,9 KN + 1,2 KN * 0,8 m +8,1 KN = + 4,7 KN
Na seção B, depois da carga de 8,1 KN:
QBd= +5,1 KN – 1,2 KN/m * 0,3 m – 8,1 KN = -3,4 KN
Ou, pela direita:
QBd=+2,1 KN * 0,5 m + 4,5 KN – 9,9 KN + 1,2 KN * 0,8 m = -3,4 KN
Na seção C, antes do apoio C:
0,8 m 0,3 0,2
4,5 KN 1,2 KN/m
9,9 KN
2,1 KN/m
5,1 KN
0,3 m
8,1 KN 1,2 KN/m
A B B C D E
8,1 KN
0,8 m 0,3 0,2
4,5 KN 1,2 KN/m
9,9 KN
2,1 KN/m
B C D E
25
QCa= +5,1 KN – 1,2 KN/m * 1,1 m – 8,1 KN= - 4,3 KN
O mesmo ponto, fazendo o cálculo pela direita:
QCa= +2,1 KN * 0,5 m + 4,5 KN – 9,9 KN = - 4,3 KN
No ponto C, depois do apoio:
QCd= +5,1 KN – 1,2 KN/m * 1,1 m – 8,1 KN + 9,9 KN = + 5,6 KN
No ponto C, entrando pela direita:
QCd=+2,1 KN * 0,5 m + 4,5 KN = + 5,6 KN
No ponto D, antes da carga de 4,5 KN e entrando pela esquerda:
0,3 0,2
4,5 KN
9,9 KN
2,1 KN/m
5,1 KN 0,3 m 0,8 m
8,1 KN 1,2 KN/m
A B C C D E
9,9 KN 5,1 KN 0,3 m 0,8 m
8,1 KN 1,2 KN/m
4,5 KN 2,1 KN/m
0,3 0,2
A B C C D E
26
QDa= +5,1 KN – 1,2 KN/m * 1,1 m – 8,1 KN + 9,9 KN – 2,1 KN/m * 0,3 m = + 4,9 KN
Pela direita, tem-se somente as cargas distribuída e concentrada:
QDa== +2,1 KN * 0,2 m + 4,5 KN = + 4,9 KN
No ponto D, depois da carga concentrada de 4,5 KN
QDd= + 5,1 KN – 1,2 KN/m * 1,1 m – 8,1 KN + 9,9 KN – 2,1 KN/m * 0,3 m - 4,5 KN =
+ 0,4 KN
Entrando pela direita:
QDd=+2,1 KN * 0,2 m = + 0,4 KN
4,5 KN 2,1 KN/m
0,2
5,1 KN 0,3 m 0,8 m 0,3 m
8,1 KN 1,2 KN/m
2,1 KN/m
9,9 KN
A B C D D E
2,1 KN/m
0,2
5,1 KN 0,3 m 0,8 m 0,3 m
8,1 KN 1,2 KN/m
2,1 KN/m
9,9 KN
A B C D D E
4,5 KN
27
No final da viga:
Entrando pela esquerda:
QE= + 5,1 KN – 1,2 KN/m * 1,1 m – 8,1 KN + 9,9 KN – 2,1 KN/m * 0,5 m - 4,5 KN =
0
E, pela direita:
QE= 0
0,3m 0,8 m 0,3 0,2
8,1 KN
4,5 KN
1,2 KN/m 2,1 KN/m
A B C D E
28
c) DMF
O cálculo do Momento Fletor será realizado empregando a seguinte convenção
de sinais:
- Quando calcular o momento fletor a partir da esquerda para direita, o momento
positivo será no sentido horário; quando se iniciar o cálculo pela direita, o momento
positivo terá o sentido anti-horário; sendo ambos os casos representados abaixo do
eixo da viga.
Lembre-se que no DMF, quando houver um momento aplicado na viga, tem-se
de calcular o momento fletor no ponto, “antes” e “depois” do momento aplicado.
O cálculo será iniciado pelo ponto A:
MA = 0
Calculando pela direita o ponto A:
MA = - 1,2 KN/m x 1,1 m * 1,1m/2 - 8,1 KN * 0,3 m +- 9,9 KN * 1,1 m - 4,5 KN * 1,4
m
- 2,1 KN/m * 0,5m * (0,5m/2 + 1,1 m) = 0
Calculando o momento fletor no ponto B, entrando pela esquerda, sendo
indiferente antes ou depois da carga, pois o momento da carga concentrada de 8,1 KN é
zero:
+ + Esq Dir Esq Dir
5,1 KN
8,1 KN
0,3m 0,8 m 0,3 0,2
4,5 KN 1,2 KN/m
2,1 KN/m
9,9 KN
A
A B C D E
0,8 m 0,3 0,2
4,5 KN 1,2 KN/m
9,9 KN
2,1 KN/m
5,1 KN
0,3 m
8,1 KN 1,2 KN/m
A B B C D E
29
MB = +5,1 KN * 0,3 m – 1,2 KN/m x 0,3 m * 0,3 m/2 = +1,47 KNm
Considerando o lado direito da seção e a convenção citada anteriormente:
MB =- - 1,2 KN/m x 0,8 m * 0,8m/2 +- 9,9 KN * 0,8 m - 4,5 KN * 1,1 m - 2,1 KN/m *
0,5m * (0,5m/2 + 0,8 m) = +1,47 KNm
No ponto C, tem-se
MC = +5,1 KN * 1,1 m – 1,2 KN/m x 1,1 m * 1,1 m /2 – 8,1 KN * 0,8 m= - 1,6 KNm
Ou:
MC = - 4,5 KN * 0,3 m - 2,1 KN/m * 0,5m * 0,5m/2 = - 1,6 KNm
No ponto D:
MD = +5,1 KN * 1,4 m – 1,2 KN/m x 1,1 m * (1,1/2 + 0,3) m – 8,1 KN * 1,1 m + 9,9
KN * 0,3m – 2,1 * 0,3 * 0,3m/2 = 0 KN
Ou:
MD = - 2,1 KN/m * 0,2m * 0,2m/2 = 0
0,3 0,2
4,5 KN
9,9 KN
2,1 KN/m
5,1 KN 0,3 m 0,8 m
8,1 KN 1,2 KN/m
A B C C D E
2,1 KN/m
0,2
5,1 KN 0,3 m 0,8 m 0,3 m
8,1 KN 1,2 KN/m
2,1 KN/m
9,9 KN
A B C D D E
4,5 KN
30
Na extremidade da viga:
ME = +5,1 KN * 1,6 m – 1,2 KN/m x 1,1 m * (1,1m/2 + 0,5) m – 8,1 KN * 1,3 m
+ 9,9 KN * 0,5m – 2,1 KN/m * 0,5m * 0,5m/2 – 4,5 KN * 0,2 m = 0
Ou:
ME = 0
A seguir, estão desenhados os DEC e DMF da viga:
0,3m 0,8 m 0,3 0,2
8,1 KN
4,5 KN
1,2 KN/m 2,1 KN/m
A B C D E
31
0,3m 0,8 m 0,3 0,2
8,1 KN
4,5 KN
1,2 KN/m 2,1 KN/m
A B C D E
5,1 4,7 5,6 4,9
-3,4 -4,3
0,4
1,5 KNm
-1,6 KNm
DEC
DMF
32
a)Reações de Apoio:
VA= - 0,6 KN VB= +9,9 KN
b) DEC
QA= 0
QBa= - 0,5 KN/m * 0,2m = - 0,1 KN
QBd= - 0,5 KN/m * 0,2m - 0,6 KN= - 0,7 KN
QCa= -0,5 KN/m * 0,5m - 0,6 KN = - 0,85 KN
QCd= -0,5 KN/m * 0,5m - 0,6 KN – 3,1 KN = - 3,95 KN
QD= -0,5 KN/m * 0,8m - 0,6 KN – 3,1 KN = - 4,1 KN
QEa= -0,5 KN/m * 0,8m - 0,6 KN – 3,1 KN = - 4,1 KN
QEd= -0,5 KN/m * 0,8m - 0,6 KN – 3,1 KN +9,9 KN = +5,8 KN
QFa= -0,5 KN/m * 0,8m - 0,6 KN – 3,1 KN +9,9 KN – 0,8 KN* 0,4m = +5,4 KN
QFd= -0,5 KN/m * 0,8m - 0,6 KN – 3,1 KN +9,9 KN– 0,8 KN* 0,4m – 5,2 KN= +0,28
KN
QG= -0,5 KN/m * 0,8m - 0,6 KN – 3,1 KN +9,9 KN– 0,8 KN* 0,7m – 5,2 KN= 0
c) DMF
MA = 0
MB = - 0,5 KN/m * 0,2m * 0,2m/2 = - 0,01 KN
MC = - 0,5 KN/m * 0,5m * 0,5m/2 – 0,6 KN * 0,3 m = -0,24 KN
MD = - 0,5 KN/m * 0,8m * 0,8m/2 – 0,6 KN * 0,6 m – 3,1 KN * 0,3 m = - 1,45 KN
ME = - 0,5 KN/m * 0,8m * (0,8m/2 + 0,2 m) – 0,6 KN * 0,8 m – 3,1 KN * 0,5 m = -2,27
KNm MF = - 0,5 KN/m * 0,8m * (0,8m/2 + 0,6 m) – 0,6 KN * 1,2 m – 3,1 KN * 0,9 m + 9,9
KN * 0,4 m – 0,8 KN/m * 0,4 m * 0,4 m/2 = - 0,014 KNm
MG =- 0,5 KN/m * 0,8m * (0,8m/2 + 0,9 m) – 0,6 KN * 1,5 m – 3,1 KN * 1,2 m + 9,9
KN * 0,7 m – 0,8 KN/m * 0,7 m * 0,7 m/2 – 5,2 KN * 0,3 m = 0
0,2m 0,3 m 0,3 m 0,2 m 0,4 m 0,3
3,1 KN 2)
5,2 KN
0,8 KN/m 0,5 KN/m
A B C D E F G
33
0,2m 0,3 m 0,3 m 0,2 m 0,4 m 0,3
3,1 KN
5,2 KN
0,8 KN/m 0,5 KN/m
A B C D E F G
5,8 5,4
0,28 0
0 -0,1
-0,7 -0,85
-3,95 -4,1 -4,1
0 0,01 -0,24
-0,014 0
-1,45 -2,27
DEC
DMF
34
a)Reações de Apoio:
VA= - 2,61 KN VB= +10,27 KN
b) DEC
QA= - 2,61 KN
QB= - 2,61 KN – 0,5 KN/m * 1,0 m = - 3,1 KN
QCa= - 2,61 KN – 0,5 KN/m * 1,0 m = - 3,1 KN
QCd= - 2,61 KN – 0,5 KN/m * 1,0 m – 2,5 KN = -5,6 KN
QDa= - 2,61 KN – 0,5 KN/m * 1,0 m – 2,5 KN = -5,6 KN
QDd= - 2,61 KN – 0,5 KN/m * 1,0 m – 2,5 KN + 10,27 = 4,7 KN
QEa= - 2,61 KN – 0,5 KN/m * 1,0 m – 2,5 KN + 10,27 – 0,2 KN/m * 0,8 m= 4,5 KN
QEd= - 2,61 KN – 0,5 KN/m * 1,0 m – 2,5 KN + 10,27 – 0,2 KN/m * 0,8 m – 4,5 KN =
0
c) DMF
MA = 0
MB = - 2,61 KN * 1m – 0,5 KN/m * 1,0 m * 1m/2 = - 2,9 KNm
MCa = - 2,61 KN * 1,5m – 0,5 KN/m * 1,0 m * (1m/2 + 0,5 m) = - 4,4 KNm
MCd = - 2,61 KN * 1,5m – 0,5 KN/m * 1,0 m * (1m/2 + 0,5 m) + 3 KNm = -1,4 KNm
MD = - 2,61 KN * 1,9 m – 0,5 KN/m * 1,0 m * (1m/2 + 0,9 m) + 3 KNm – 2,5 KN * 0,4
m = - 3,7 KNm
ME = - 2,61 KN * 2,7 m – 0,5 KN/m * 1,0 m * (1m/2 + 1,7 m) + 3 KNm – 2,5 KN * 1,2
m + 10,27 KN * 0,8 m – 0,2 KN/m * 0,8 m * 0,8 m/2 = 0
1,0 m 0,5 m 0,4m 0,8 m
0,5 KN/m 2,5 KN 4,5 KN
3 KNm 3) 0,2 KN/m
A B C D E
35
1,0 m 0,5 m 0,4m 0,8 m
0,5 KN/m 2,5 KN 4,5 KN
3 KNm 0,2 KN/m
A B C D E
-2,6 -3,1 -5,6
4,7 4,5
0
-2,9
-4,4 -3,7
-1,4
0
DEC
DMF
36
a)Reações de Apoio:
VA= + 21,0 KN MA= +17,23 KNm
b) DEC
QA= + 21,0 KN
QBa= + 21,0 KN – 0,8 KN/m * 0,6 m = + 20,5 KN
QBd= + 21,0 KN – 0,8 KN/m * 0,6 m – 10,6 KN = + 9,9 KN
QC=+ 21,0 KN – 0,8 KN/m * 0,8 m – 10,6 KN = + 9,8 KN
QDa= + 21,0 KN – 0,8 KN/m * 1,6 m – 10,6 KN – 0,3 KN/m * 0,8 m= + 8,9 KN
QDd= + 21,0 KN – 0,8 KN/m * 1,6 m – 10,6 KN – 0,3 KN/m * 0,8 m – 8 KN = +0,9
KN
QE= + 21,0 KN – 0,8 KN/m * 2,4 m – 10,6 KN – 0,3 KN/m * 1,6 m – 8 KN = 0
c) DMF
MA = - 17,23 KNm
MBa = - 17,23 KNm + 21KN * 0,6 m – 0,8 KN/m * 0,6 m * 0,6 m/2 = - 4,8 KNm
MBd = - 17,23 KNm + 21KN * 0,6 m – 0,8 KN/m * 0,6 m * 0,6 m/2 – 5 KNm = - 9,8
KNm
MC = - 17,23 KNm + 21KN * 0,8 m – 0,8 KN/m * 0,8 m * 0,8 m/2 – 5 KNm – 10,6 Kn
*
0,2 m = - 7,8 KNm
MD = - 17,23 KNm + 21KN * 1,6 m – 0,8 KN/m * 1,6 m * 1,6 m/2 – 5 KNm – 10,6 Kn
*
1,0 m - 0,3 KN/m * 0,8 m * 0,8m/2 = - 0,4 m
ME = - 17,23 KNm + 21KN * 2,4 m – 0,8 KN/m * 2,4 m * 2,4 m/2 – 5 KNm – 10,6 Kn
*
1,8 m - 0,3 KN/m * 1,6 m * 1,6m/2 – 8,0 KN * 0,8 m = 0
0,6 0,2 0,8 0,8 m
A B C D E
8 KN
0,3 KN/m
0,8 KN/m
5 KNm 4)
10,6 KN
37
0,6 0,2 0,8 0,8 m
A B C D E
8 KN
0,3 KN/m
0,8 KN/m
5 KNm
10,6 KN
DEC
21,0 20,5
9,9 9,8 8,9
0,9 0
-17,2
-4,8
-9,8
-7,8 -0,4 0 DMF
38
a)Reações de Apoio:
VA= + 14,57 KN MA= +18,45 KNm
b) DEC
QA= + 14,57 KN
QBa= + 14,57 KN – 1,1 KN/m * 0,5 m = +14,0 KN
QBd= + 14,57 KN – 1,1 KN/m * 0,5 m – 8,1 KN = + 5,9 KN
QC=+ 14,57 KN – 1,1 KN/m * 1,2 m – 8,1 KN = + 5,2 KN
QDa= + 14,57 KN – 1,1 KN/m * 1,2 m – 8,1 KN - 0,5 KN/m * 0,9 m = + 4,7 KN
QDd= + 14,57 KN – 1,1 KN/m * 1,2 m – 8,1 KN - 0,5 KN/m * 0,9 m - 4,7 KN = 0
c) DMF
MA = - 18,45 KNm
MB = - 18,45 KNm + 14,57 KN * 0,5 m – 1,1 KN/m * 0,5 m * 0,5 m/2 = - 11,3 KNm
MCa = - 18,45 KNm + 14,57 KN * 1,2 m – 1,1 KN/m * 1,2 m * 1,2 m/2 – 8,1 KN * 0,7
m =
-7,4 KMn
MCd = - 18,45 KNm + 14,57 KN * 1,2 m – 1,1 KN/m * 1,2 m * 1,2 m/2 – 8,1 KN * 0,7
m
+ 3 KNm = -4,4 KMn
MD = - 18,45 KNm + 14,57 KN * 2,1 m – 1,1 KN/m * 1,2 m * (1,2 m/2 + 0,9 m) – 8,1
KN
* 1,6 m + 3 KNm – 0,5 KN/m * 0,9 m * 0,9 m/2 = 0
0,5 0, 7 0,9 m
A B C D
1,1 KN/m 8,1 KN 4,7 KN/m
0,5 KN/m 5)
3 KNm
39
4,7 KN/m
0,5 0, 7 0,9 m
A B C D
1,1 KN/m 8,1 KN
0,5 KN/m
3 KNm
+14,6 +14,0
+5,9 +5,2 +4,7
0
-18,45 -11,3 -7,4
-4,4 0
DEC
DMF
40
A seguir encontram-se alguns exercícios para resolução:
A) Determine as reações de apoio e os DEC e DMF:
3)
0,4 m 0,4 m
12 KN 0,8 KN/m 1)
A B C
0,2m 0,4 m 0,3 0,3
10 KN
2) 3KN
1,2 KN/m
A B C D E
0,1m 0,5 m 0,4 m 0,4 m 0,4 0,2 m
5,8 KN 4,2 KN
0,8 KN/m
A B C D E F
4)
0,3m 0,4m 0,2m 1,3m
6 KN 12 KN 1,2 KN/m
A B C D E
0,3 m 0,2 m 0,1 m 1,8 m
8,1 KN 4,3KN 0,3 KN/m 5)
5 KNm
A B C D E
1,3 m 0,2m 0,1m 0,5 m
1,5 KN/m 0,3 KN 1,2 KN
2,5 KNm 6)
A B C D E
0,6 m 0,2m 0,7m 0,5 m
7)
3,2 KNm
0,7 KN/m 12 KN 8,3 KN 1,2 KN/m
A B C D E
41
8)
9)
10)
11)
0,8 m 0,6 0,2 0,45 0,45m
0,3 KN/m
8,3 KN 7,5 KN
0,5 KN/m 3,1 KNm
A B C D E F
0,5 0,4 0,6 m
1,1 KN/m 5,3 KN
0,3 KN/m
3,1KN
3,4 KNm A B C D
1 KNm
7,1 KN
0,9 KN/m
8,4 KNm
A B C D E F G
0,6 0,3 0,2 0,4m 0,5 0,8m
1,7 KN/m
0,5 0,1 0,8 m 0,6m
A B C D E
6,5 KN
0,3 KN/m
0,6 KN/m
4,5 KNm 8,7 KN
42
12)
13)
14)
15)
0,4m 0,6 m 0,1 0,1 0,2
5,4 KNm 6,5 KN
1,1 KN/m 3,2 KN/m
A B C D E
0,3 0,3 m 0,3 m 0,1 0,6 m 0,3
12,1KN 7,3 KNm 0,6 KN/m 0,8KN/m
A B C D E F G
0,8 0, 2 1,3 m 0,7m
A B C D E
1,2 KN/m 4,1 KNm
7,2 KN
2,3 KN/m
0,8 0,3 1,2m A B C D
10,6 KN 0,5 KN/m
0,4 KN/m
5 KNm
43
16)
17)
18)
19)
0,2 m 0,8 0,1 0,5 0,5m
0,3 KN/m
7,5 KN
0,3 KN/m 2,0 KNm
A B C D E F
0,8 0,3 0,6 0,5m 0,2 0,2m
4,7 KN 12,0 KN
1,2 KN/m 2,4 KNm
A B C D E F G
0,7 1,4 m 0,6m
A B C D
9,2 KNm
7,5 KN
0,6 KN/m
5,2 KN
0,3 1,8 m 0,7 0,6m
0,6 KN/m
1,5 KN/m
4,7 KN 3,5 KNm 7,3 KN
A B C D E
44
20)
21)
22)
23)
0,4 0,4 0,6 m 0,7m
A B C D E
4,7 KN 5 KN
0,2 KN/m
0,6 KN/m
3,1 KNm
0,6 1,4 m 0,4 m 0,2m
A B C D E
1,2 KN/m
1,1 KN
4,1KN
2 KN
1,5KN
0,6 0,3 0,8 0,4m 0,15 0,15m
0,6 KNm 6,3 KN
1,0 KN/m
2,7 KNm
A B C D E F G
0,8 KN/m
1,3 0,4 0,5 2,4 m
1,3 KN/m
11,3 KN
A B C D E
4,3 KNm 7,1 KN
45
24)
25)
26)
27)
2,5 KN/m
5,3 KN 10 KN
8,5 KNm
0,8 1,2 1,1 0,8m
A B C D E
2,5 KN/m
15 KN
12 KN
3 KNm
0,5 KN/m
1,1 KN/m
1 KN/m
0,6 0,2 0,2 0,5 0,3 0,5m
A B C D E F G
0,1 0,5 m 0,5 m 0,3 0,2 0,5 1,5
4,3 KN 3,1 KN
0,6 KN/m 0,9 KN/m
3,0 KNm
KN/m
0,5m 0,4m 0,8m 0,2m
8 KN 12 KN
5 KN/m 2 KN/m
46
28)
29)
30)
0,4 0, 6 0,5 m
A B C D
0,5 KN/m 6,0 KN
0,1 KN/m
3 KNm
0,4 m 0,9 m 0,4 0,2m
7,3 KN
5,5 KN
1,0 KN/m 1,1 KN/m
A B C D E
0,4 0,3 0,6 0,8m 0,2 0,2m
1,4 KNm 9,6 KN
0,3 KN/m
10,3 KNm
A B C D E F G
1,1 KN/m