30/03/2011Eliane Justino - Curso de Engenharia Civil - UFG/Catalo 1MECNICA DOS FLUIDOSCaptulo02 2 PARTEUNIVERSIDADE FEDERAL DE GOISENGENHARIA CIVIL E DE MINASProfa. Eliane Aparecida Justino2.8 FORA HIDROSTTICA NUMA SUPERFCIE PLANA Existem foras nas superfcies dos corpos que esto submersos nos fluidos. Ofluido exerce uma fora perpendicular nas superfcies submersasquando est em repouso, devido a ausncia de tenses de cisalhamento,e a presso varia linearmente com a profundidade se o fluido forincompressvel.h p . =Peso Especfico = Superfcie livrep = patmh FRp = patmOmdulo da fora resultante sobre asuperfcie inferior do tanque do lquido :A p FF FRR V. == Onde: p = presso da superfcie inferiorA = rea desta superfcie30/03/2011Eliane Justino - Curso de Engenharia Civil - UFG/Catalo 2 Se a presso atmosfrica atuar na superfcie livre do fluido e na superfcieinferior do tanque a fora resultante na superfcie inferior devido somenteao lquido contido no tanque, porque as presso atmosfrica se anulam, jque so iguais mais sentidos inversos. A fora resultante atua no centride da rea da superfcie inferior porque apresso constante e est distribuda uniformemente nesta superfcie.GENERALIZANDO2.8 FORA HIDROSTTICA NUMA SUPERFCIE PLANASUPERFCIE PLANA SUBMERSA E INCLINADA A forahidrostticaaplicadaemumasuperfcieplanaeinclinadaecomformato aleatrio.Vamos determinar a direo, sentido,mdulo e ponto de aplicao.Admitindo, por enquanto, que a superfcielivre do fluido est em contato com aatmosfera.O plano coincide com a superfcie que estsendo analisada intercepta a superfcie livredo lquido em O e seja o ngulo entre osdois planos.Osistemadecoordenadasx-ydefinidode modo que o O est na origem do sistemade coordenadas e y pertence ao planocoincidente com a superfcie que est sendoansalisada.A superfcie que estamos analisando podeapresentar uma forma qualquer.2.8 FORA HIDROSTTICA NUMA SUPERFCIE PLANA30/03/2011Eliane Justino - Curso de Engenharia Civil - UFG/Catalo 3A fora que atua em dA (rea diferenciallocalizada a uma profundidade h) :e perpendicular superfcie.O mdulo da fora resultante nasuperfcie determinado somando-setodas as foras diferenciais que atuam nasuperfcie que :Onde:dA h dF . . = sen y h . =2.8 FORA HIDROSTTICA NUMA SUPERFCIE PLANA=ARydA sen F . Se e so constante, logo:cO Teorema de Varigon: o momento em relao a um ponto O da resultante de vrias foras concorrentes igual soma dos momentos das diversas foras em relao ao mesmo ponto O.AydA o momento de primeira ordem (momento de primeira ordemda rea) em relao ao eixo X. Portanto, pode escrever:A y ydAcA. =Onde: yc coordenada y do centride medido a partir do eixo X que passa atravs de O.Portanto:hc distncia vertical entre a superfcie livre do fluido e o centride da rea. sen y A Fc R. . =A h Fc R. . =2.8 FORA HIDROSTTICA NUMA SUPERFCIE PLANA30/03/2011Eliane Justino - Curso de Engenharia Civil - UFG/Catalo 4 Istosignificaqueomdulodaforaresultanteigual pressonocentride multiplicada pela rea total da superfcie submersa. ComotodasforasdiferenciaisquecompemFrsoperpendicularesasuperfcie, a resultante destas foras tambm ser perpendicular asuperfcie. Apesar de nossa intuio sugerir que a linha de ao da fora resultantedeveria passar atravs do centride da rea esta no o caso. A coordenada yr da fora resultante pode ser determinada pela soma dosmomentosemtornodoeixoX, ouseja, omomentodaforaresultanteprecisa ser igual aos momentos das foras devidas a presso, ou seja, = =A AR RdA y sen ydF y F2. . . Como: sen y A Fc R. . . =A ydA yycAR.2=2.8 FORA HIDROSTTICA NUMA SUPERFCIE PLANAAdA y2 o momento de segunda ordem (momento de segunda ordemda rea ou momento de inrcia da rea), Ix, em relao ao eixoformado pela interseo do plano que contm a superfcie e asuperfcie livre (eixo X), obtem-se:A yIycxR.= Se utilizarmos o teorema dos eixos paralelos, Ix pode ser expresso por:2.c xc xy A I I + =Onde , Ixc o momento de segunda ordem em relao ao eixo que passa nocentride e paralelo ao eixo X, obtem-se:ccxcRyA yIy + =.O que mostra que a fora resultante no passa atravs da centride, mas sempre atua abaixo dele, porque Ixc/yc.A > 0 No livro pg. 54 mostra as propriedades geomtricas de algumasfiguras.2.8 FORA HIDROSTTICA NUMA SUPERFCIE PLANA30/03/2011Eliane Justino - Curso de Engenharia Civil - UFG/Catalo 52.8 FORA HIDROSTTICA NUMA SUPERFCIE PLANAPropriedades Geomtricas de Algumas Figuras2.8 FORA HIDROSTTICA NUMA SUPERFCIE PLANA AcoordenadaXr dopontodeaplicaodaforaresultantepodeserdeterminadadeformaanloga, ouseja, somando-seosmomentosemrelao ao eixo y. Desta modo:=AR RxydA sen x F . . . A yIA yxydAxcxycAR. .= = Para sen y A Fc R. . . =Onde, Ixyoprodutodeinrciaemrelaoaoseixosxey, utilizandonovamente o teorema dos eixos paralelos, escreve-se:ccxycRxA yIx + =.Ixyc o produto de inrcia em relao aosistema de coordenadas ortogonal quepassa atravs do centride da rea e criadopor uma translao do sistema decoordenadas x-y.30/03/2011Eliane Justino - Curso de Engenharia Civil - UFG/Catalo 62.8 FORA HIDROSTTICA NUMA SUPERFCIE PLANA Se areasubmersasimtricaemrelaoaoeixo quepassapelocentride e paralelo a um dos eixos (x ou y), a fora resultante precisa atuarao longo da linha X = Xc, porque Ixyc nulo, neste caso. Opontodeaplicaodaforaresultantedenominadodecentrodepresso. Um aumento de yc provoca uma aproximao do centro de presso para ocentride da rea.Como senhycc=A distncia yc cresce se o hc aumentar ou, se para uma dada profundidade, a rea for rotacionada de modo que o ngulo diminua. 2.8 FORA HIDROSTTICA NUMA SUPERFCIE PLANAEXEMPLO 2.6 pg. 55A Figuraabaixomostraoesboodeumacomportacircular inclinadaqueestlocalizadanumgrandereservatriodegua(=9,8kN/m3). A comportaestmontada num eixo que corre ao longo do dimetro horizontal da comporta. Se oeixo est localizado a 10m da superfcie livre, determine: (a) o mdulo e o ponto deaplicao da fora resultante na comporta, e (b) o momento que deve seraplicando no eixo para abrir a comporta.30/03/2011Eliane Justino - Curso de Engenharia Civil - UFG/Catalo 72.8 FORA HIDROSTTICA NUMA SUPERFCIE PLANASoluo:(a) Para determinar a fora resultante,A h Fc R. . =Como a distncia vertical entre o centride e a superfcie livre da gua de 10 m, temos:( ) ( ) ( ) MN N x x x x FR23 , 1 10 23 , 1 4 10 10 8 , 96 3= = = Localizar o ponto de aplicao da fora resultante (centro de presso): ccxycRxA yIx + =.ccxcRyA yIy + =.Paraosistemade coordenadasmostrado, Xr=0porque asuperfcie dacomporta simtrica e o centro de presso precisa estar localizado ao longoda linha A-A.2.8 FORA HIDROSTTICA NUMA SUPERFCIE PLANASoluo:O momento de inrcia em relao ao eixo que passa no centride e paraleloao eixo X, :44RIxc=E que yc est mostrado na figura, assim:( )( )( )( )m ysen senyA yIyRccxcR6 , 11 55 , 11 0866 , 060104 . 60 102 . 4.2= + =+= + =A distncia entre o eixo da comporta e o centro de presso (ao longo dacomporta) :m y yc R0866 , 0 = RESUMINDO30/03/2011Eliane Justino - Curso de Engenharia Civil - UFG/Catalo 82.8 FORA HIDROSTTICA NUMA SUPERFCIE PLANASoluo:A fora que atua sobre a comporta apresenta mdulo igual a 1,23 MN, atua numponto localizado a 0,0866 m abaixo da linha do eixo e que pertencente a linhaA A. Lembre que a fora perpendicular a superfcie da comporta.(b) Odiagramadecorpolivremostradonafigurapodeser utilizadoparadeterminar o momento necessrio para abrir a comporta. Observe que W opesodacomporta, OxeOysoasreaeshorizontal evertical doeixonacomporta. A somatria dos momentos em torno do eixo da comporta nulo,e nos fornece,= 0cM( ) ( )( ) m N x x y y F Mc R R. 10 07 , 1 0866 , 0 10 23 , 15 6= = =2.8 FORA HIDROSTTICA NUMA SUPERFCIE PLANAEXEMPLO 2.7 pg. 56A Figuraabaixomostraoesboodeum aqurio de gua salgada ( = 10,0kN/m3) queapresenta profundidadeigual a 3,0 m. Oreforo triangularmostrado na Figura deve ser instaladono aqurio devido a um problema quesurgiu num dos seus cantosinferiores. Determine o mdulo e alocalizao do ponto de aplicao dafora resultante neste reforotriangular.30/03/2011Eliane Justino - Curso de Engenharia Civil - UFG/Catalo 9 SOLUO: As vrias distncias necessrias para resolver este problema esto mostradona Figura b. Como a superfcie em que estamos interessados est nma vertical,temos que yc = hc = 2,7 m. Portanto: Note que esta fora no funo do comprimento do tanque. A coordenada docentro de presso (CP) pode ser determinada pela expresso:2.8 FORA HIDROSTTICA NUMA SUPERFCIE PLANAN 10 x 094 , 1 ) 2 / 9 , 0 x 9 , 0 )( 7 , 2 )( 10 x 10 ( A h F4 3c R= = =ccxcRyA . yIy + = De modo que; De modo anlogo4 2310 823 , 136) 9 , 0 )( 9 , 0 (m x Ixc= =mxxyR717 , 2 7 , 2) 2 / 9 , 0 9 , 0 )( 7 , 2 (10 823 , 12= + =ccxycRxA yIx + =.2.8 FORA HIDROSTTICA NUMA SUPERFCIE PLANA30/03/2011Eliane Justino - Curso de Engenharia Civil - UFG/Catalo 10 Conclui-se que o centro de presso est localizado a 8,3 mm a direita e a 17mm abaixo do centride do reforo. Note que este ponto pertence a linha mediana mostrada na Figura, isto ocorreporque a rea total pode ser substituda por um nmero grande de pequenastiras com reaa e, como discutido anteriormente, a resultante da forasdepresso atua no centro de cada uma das tiras. Logo, a resultante destas forasparalelas precisa estar localizada na linha mediana.4 3210 113 , 9 ) 9 . 0 (72) 9 , 0 )( 9 , 0 (m x Ixyc= =m 10 x 3 , 8 0) 2 / 9 , 0 x 9 , 0 )( 7 , 2 (10 x 113 , 9x33R= + =2.8 FORA HIDROSTTICA NUMA SUPERFCIE PLANA2.9 PRISMA DAS PRESSES Interpretao grfica da fora desenvolvida por umfluido numasuperfcie plana. Consideremos a distribuio de presso ao longo da parede vertical de umtanquecomlargurabequecontenhaumlquidoqueapresentapesoespecfico .A presso varia linearmente com aprofundidade.A presso relativa nula na superfcie livre dolquido, igual a h na superfcie inferior do lquidoequeapressomdiaocorrenumplanocomprofundidade h/2.Assima fora resultante que atua na rearetangular (A = b.h) :AhA P Fmed R||

\|= =230/03/2011Eliane Justino - Curso de Engenharia Civil - UFG/Catalo 112.9 PRISMA DAS PRESSES Estadistribuiodepressoadequadaparatodaasuperfcieverticalento podemos representar tridimensionalmente a distribuio de pressodo seguinte modo:A base deste volume no espao presso reaasuperfcieplanaqueestamosanalisandoeaaltura de cada ponto dada pela presso.Este volume denominado prisma depresso e claro que o mdulo da fora resultantequeatuanasuperfcievertical igual aovolumedeste prisma.Assim, a fora resultante para o prisma :( )( ) Ahbh h volume FR||

\|= = =2 21 Onde bh a rea da superfcie retangular vertical.2.9 PRISMA DAS PRESSES A linha de ao da fora resultante precisa passar pelo centride do prismade presses. O centride est localizado no eixo vertical de simetria da superfcie verticale dista h/3 da base, porque o centride de um tringulo est localizado ah/3 de sua base. O resultado consistente com:CONSIDERANDO QUE A SUPERFCIE PLANA ESTTOTALMENTESUBMERSA.ccxycRxA yIx + =.ccxcRyA yIy + =.30/03/2011Eliane Justino - Curso de Engenharia Civil - UFG/Catalo 122.9 PRISMA DAS PRESSES Neste caso a seo transversal do prisma das presses um trapzio. O mdulo da fora resultante que atua sobreasuperfcie; tambmigual aovolumedoprisma das presses e sualinha deaopassa pelo centride do volume. O mdulo da fora resultante pode ser obtidodecompondo o prisma das presses em duaspartes (ABDE e BCD). De modo que:2 1F F FR+ = A localizao da linha de ao de Fr pode ser determinada a partir dasoma de seus momentos em relao a algum eixo conveniente.2.9 PRISMA DAS PRESSES Por exemplo, se utilizarmos o eixo que passa atravs de A, tem-se:2 2 1 1. . . y F y F y FA R+ =SUPERFCIE PLANA INCLINADA SUBMERSA Geralmente a seo transversal, sobrea superfcie do prisma, um trapzio. Apesar de ser convenientemedir asdistncia ao longo da superfcieinclinada, a presso que atua nasuperfcie funo da distncia verticalentre o ponto que est sendo analisadoe a superfcie livre do fluido. Prismadepressesutilizadoparadeterminar aforaemsuperfciesplanassubmersaretangular, porqueovolumeeocentridedoprismapodem ser determinado facilmente.30/03/2011Eliane Justino - Curso de Engenharia Civil - UFG/Catalo 132.9 PRISMA DAS PRESSES Quandoasuperfcienoretangular adeterminaodovolumeealocalizao do centride pode ser realizado atravs de integrao.EFEITO DA PRESSO ATMOSFRICA NA SUPERFCIE SUBMERSA No considerando presso atmosfrica medindo presso relativa.Seincluirmosapressoatmosfrica, anovadistribuio de presso, ser:2.9 PRISMA DAS PRESSES A resultante da fora que atua no lado da parede em contato com o fluido uma superposio da resultante da distribuio de presso hidrosttica coma da presso atmosfrica (Patm . A, onde A a rea da superfcie). Seconsideramosapressoatmosfricano lado da superfcie que est em contatocom o fluido, tambm deve-se considerarno outro lado, admitindo que o outro ladoda superfcie tambmesteja exposta aatmosfera. A presso atmosfrica produz nasuperfcie que no est em contato com ofluido uma fora de mesmo mdulo edireo de fora resultante devida apresso atmosfrica no lado que est emcontatocomofluidoequeossentidosdestas foras so opostas.30/03/2011Eliane Justino - Curso de Engenharia Civil - UFG/Catalo 142.9 PRISMA DAS PRESSES Assimconclui-se que a fora resultante comque os fluidos atua nasuperfcie devida apenas a presso relativa. Se a presso na superfcie do lquido for diferente da atmosfrica, como oque ocorre num tanque fechado e pressurizado, a fora resultante que atuanuma rea submersa Aser igual a superposio dafora devida adistribuio hidrosttica com a Ps.A,Onde: Ps a presso relativa na superfcie do lquido, admitindo que o outroladoda superfcie est exposto a atmosfera.2.9 PRISMA DAS PRESSESEXEMPLO 2.8 pg. 60A figura abaixo mostra o esboo de umtanque pressurizado que contmleo (densidade =SG = 0,9). A placa de inspeo instalada no tanque quadrada e apresenta largura igual a 0,6 m. Qual o mdulo, e alocalizao da linha de ao, da fora resultante que atua na placa quandoa presso relativa no topo do tanque igual a 50 kPa. Admita que o tanqueest exposto a atmosfera.30/03/2011Eliane Justino - Curso de Engenharia Civil - UFG/Catalo 152.9 PRISMA DAS PRESSESSoluo:A figura mostraadistribuio depressonasuperfcie da placa. A pressonum dado ponto da placa composta por uma parcela devido a presso do arcomprimido na superfcie do leo, ps, e outra devida a presena do leo (quevarialinearmentecomaprofundidade). Nsvamosconsiderar queaforaresultante na placa com rea A composta pelas foras F1 e F2.Assim,( ) ( )( ) N x x x x x A h p Fs3 3 31 110 4 , 24 36 , 0 2 10 81 , 9 9 , 0 10 50 = + = + = e( ) ( ) N x x x Ah hF3 3 1 2210 95 , 0 36 , 026 , 0. 10 81 , 9 9 , 02= ||

\|= ||

\| = O mdulo da fora resultante, Fr, :kN N x F F FR4 , 25 10 4 , 2532 1= = + =2.9 PRISMA DAS PRESSESSoluo:A localizao vertical do ponto de aplicao de Fr pode ser obtida somando osmomentos em relao ao eixo que passa atravs do ponto O. Assim,( ) ( ) 2 , 0 3 , 02 1F F y Fo R+ =ou( )( ) ( )( )( )mxx xyo296 , 010 4 , 252 , 0 10 95 , 0 3 , 0 10 4 , 2433 3=+=30/03/2011Eliane Justino - Curso de Engenharia Civil - UFG/Catalo 162.10 FORA EM SUPERFCIES CURVAS Tipos de superfcie que no so planas: superfcies de barragens,Tubulaes e Tanques. possvel determinar a fora resultante emqualquer superfcie porintegrao, mas este procedimento trabalhoso e no possvel formularequaes simples e gerais.Por isso, como alternativa, considera-se o equilbriodeumvolumedefluidosdelimitadopelasuperfciecurvaconsideradaepor suas projees vertical ehorizontal.Para determinar a fora resultante que atua sobreesta seo que apresenta comprimento unitrio nadireo perpendicular ao planodo papel.Primeiro isola-se o volume de fluido que delimitadopelasuperfciecurvaconsiderada, nestecasoaBCoplanohorizontal ABeoplanoverticalAC.2.10 FORA EM SUPERFCIES CURVAS O diagrama de corpo livre deste volume apresentado por:Os mdulos e as presses dos pontos deaplicao de F1 e F2 podem ser determinadosutilizando as relaes aplicveis a superfcies planas.O peso do fluido contido no volume, W, igual aopeso especfico do fluido multiplicado pelo volume eopontodeaplicaodestaformacoincidecomocentrodegravidadedamassade fluido contido novolume.As foras FH e FV representam as componentes dafora que o tanque exerce no fluido.Para que o sistema de foras esteja equilibrado os mdulos dascomponente FH e FV devem:W F FF FVH+ ==12Colineares30/03/2011Eliane Justino - Curso de Engenharia Civil - UFG/Catalo 172.10 FORA EM SUPERFCIES CURVAS Como trs foras atuam na massa de fluidos (F2, a resultante de F1 com We a fora que o tanque exerce sobre o fluido), estas precisam formar umsistema de foras concorrentes. Isto uma decorrncia do seguinte princpio da esttica: Quando um corpo mantido em equilbrio por trs foras no paralelas, estas precisamser concorrentes (suas linhas de ao se interceptam num s ponto) ecoplanares, assim: E o mdulo da fora resultante obtido pela equao: A linha de ao da FR passa pelo ponto O e o ponto de aplicao pode serlocalizado somando-se os momentos em relao a um eixo apropriado.W F FF FVH+ ==12( ) ( )2 2V H RF F F + =2.10 FORA EM SUPERFCIES CURVAS Assim, omdulodaforaqueatuanasuperfciecurvaBCpodesercalculada com as informaes do diagrama de corpo livre. EXEMPLO 2.9 pg. 62A figura abaixo mostra o esboo de um conduto utilizado na drenagem de umtanque e que est parcialmente cheio de gua. Sabendo que a distncia entreos pontos A e C igual ao raio do conduto, determine o mdulo, a direo e osentidodaforaqueatuasobreaseocurva BC(devidaapresenadagua). Admita que esta seo apresenta comprimento igual a 1m.30/03/2011Eliane Justino - Curso de Engenharia Civil - UFG/Catalo 182.10 FORA EM SUPERFCIES CURVAS AFigurabmostraovolumedefluidodelimitadopelaseocurvaBC, peloplano horizontal AB e pelo plano verticalAC. Este volume apresentacomprimento igual a 1m. As foras queatuam no volume so a fora horizontalF1, que age na superfcie vertical AC, opeso, W, da gua contida no volume eas componentes horizontal e vertical dafora que a superfcie do condutoexerce sobre o volume (FH e FV)( ) ( ) N x x x A h Fc3 3110 97 , 3 1 9 , 029 , 010 8 , 9 = ||

\|= = E a linha de ao desta fora horizontal est situada a 0,3m acima de C. O mdulo do peso, W, :( ) N x x x vol W32310 24 , 6 149 , 0 .10 8 , 9 . =|||

\|= =Soluo2.10 FORA EM SUPERFCIES CURVAS E seu ponto de aplicao coincide com o centro de gravidade da massa defluido, de acordo com as propriedades geomtricas da figura, e este ponto estlocalizado a 0,382mdalinha vertical AC(figurac). As condies paraequilbrio so:N x W FN x F FVH33110 24 , 610 97 , 3= == =E o mdulo da fora resultante :( ) ( ) ( ) ( ) N x x x F F FV H R32323 2 210 40 , 7 10 24 , 6 10 97 , 3 = + = + =Soluo O mdulo da fora com que a gua age sobre o trecho de conduto igual aocalculado mas o sentido desta fora oposto mostrado na figura b. A figura c mostra a representao correta da fora resultante sobre o trecho doconduto. Note que a linha de ao da fora passa pelo ponto O e apresenta ainclinao mostrada na figura.30/03/2011Eliane Justino - Curso de Engenharia Civil - UFG/Catalo 192.10 FORA EM SUPERFCIES CURVAS Esteresultadomostraquealinhadeaodaforaresultantepassapelocentro do conduto. A mesma abordagem geral pode ser utilizada para determinar a fora geradaem superfcies curvas de tanques fechados e pressurizados. Notequeopesodogsnormalmentedesprezvel emrelaoasforasdesenvolvidas pela presso na avaliao das foras em superfcies de tanquesdedicados a estocagem de gases. Nestescasos, asforasqueatuamnasprojeeshorizontal evertical dasuperfcie curva em que estamos interessados (tais como F1 e F2) podem sercalculadas como o produto da presso interna pela rea projetada apropriada.SoluoEXERCCIOS DO CAPTULO 2 2 PARTE EXERCCIO 2.52 pg. 80 A Figuraabaixomostraocortetransversal deumacomportaqueapresentamassa igual 363 kg. Observe que a comporta articulada e que estaimobilizada por um cabo. O comprimento e a largura da placa sorespectivamente iguaisa1,2 e 2,4 m. Sabendo que o atrito na articulao desprezvel. Determine a tenso no cabo. Sendo H2O = 9980 N/m3.30/03/2011Eliane Justino - Curso de Engenharia Civil - UFG/Catalo 20EXERCCIOS DO CAPTULO 2 2 PARTE EXERCCIO 2.63 pg. 81 A comporta quadrada (1,83 m x 1,83 m) mostrada na figura abaixo pode girarlivremente em torno do vnculo indicado. Normalmente necessrio aplicar umafora P na comporta para que ela fique imobilizada. Admitindo que o atrito novnculonulo, determineaalturadasuperfcielivredagua, h, naqual omdulo da Fora P seja nulo. Sendo H2O = 9980 N/m3.EXERCCIOS DO CAPTULO 2 2 PARTE EXERCCIO 2,70 pg. 83 Uma comporta, com 3 m de comprimento, est localizada na parede lateral deumtanque(vejaaFiguraabaixo). Determineosmdulosdacomponenteshorizontal e vertical da fora com que a gua atua sobre a comporta. A linha defora passa atravs do ponto A? Justifique a sua resposta. SendoH2O = 9980N/m3.30/03/2011Eliane Justino - Curso de Engenharia Civil - UFG/Catalo 212.11 EMPUXO, FLUTUAO E ESTABILIDADE Empuxo: fora resultante gerada pelo fluido e que atua nos corpos. umaforalquidavertical, comsentido para cima, eresultadodogradientedepresso (a presso aumenta com a profundidade). Para sua determinao vamos considerar um corpo com a forma arbitrria:2.11.1 PRINCPIO DE ARQUIMEDES O volume do corpo arbitrrio V e est imerso em fluido.2.11 EMPUXO, FLUTUAO E ESTABILIDADE Envolvendoocorpocomumparaleleppedoeanalisandoseudiagramadecorpo livre com o corpo removido do paraleleppedo.2.11.1 PRINCPIO DE ARQUIMEDES F1, F2, F3 e F4 so as forasexercidas nas superfcies planas doparaleleppedo. Para simplificar as foras na direoX no esto representadas. W peso do fluido contido noparaleleppedo (relativo a rearachurada). FB a fora que ocorpoexercesobre o fluido30/03/2011Eliane Justino - Curso de Engenharia Civil - UFG/Catalo 222.11 EMPUXO, FLUTUAO E ESTABILIDADEAnalisando as condies de Equilbrio: Direo Horizontal: (1) Direo Vertical: (2) Se o peso especfico do fluido constante: (3)Onde: A a rea das superfcies horizontais dos paraleleppedo. Substituindo (3) em (2): (4) Simplificando: (5)2.11.1 PRINCPIO DE ARQUIMEDES4 3F F=W F F FB =1 2( )A h h F F1 2 1 2 = ( ) ( ) [ ] V A h h A h h FB =1 2 1 2 V FB =Onde: o peso especfico do fluido eV o volume do corpo2.11 EMPUXO, FLUTUAO E ESTABILIDADEA fora de empuxo apresenta mdulo igual ao peso do fluido deslocado pelocorpo, sua direo vertical e seu sentido para cima, isto conhecido comoPRINCPIO DE ARQUIMEDES.2.11.1 PRINCPIO DE ARQUIMEDES A localizaodalinhadeaodaforadeEmpuxopodeser determinadasomando-se os momentos das foras mostradas no diagrama de corpos livresem relao a um eixo conveniente. Exemplo: Somando os momentos em relao ao eixo perpendicular ao planoda figura em que passa pelo ponto D, tem-se:2 1 1 1 2Wy y F y F y Fc B = (6)30/03/2011Eliane Justino - Curso de Engenharia Civil - UFG/Catalo 232.11 EMPUXO, FLUTUAO E ESTABILIDADE2.11.1 PRINCPIO DE ARQUIMEDES Substituindo as foras, Eq. (3) e (5) e a contribuio do peso:Onde: VT o volume total definido por (h2 h1).A O lado direito da Eq. (7) o primeiro momento do volume deslocado V emrelao ao plano x-z de modo que yc igual a coordenada y do centride doVolume V. Omesmoprocedimentoutilizadoparaencontrar acoordenadax, ondedemonstra que esta coincide com a centride xc. Assim conclui-se que o ponto de aplicao da fora de empuxo coincide com ocentride do volume deslocado. O ponto de aplicao da fora de empuxo denominada centro de empuxo.( )2 1y V V y V VyT T c = (7)2.11 EMPUXO, FLUTUAO E ESTABILIDADE2.11.1 PRINCPIO DE ARQUIMEDES Estesresultadostambmsoaplicadosaoscorposqueflutuam, seopesoespecficodofluidolocalizadoacimadasuperfcielivredolquidomuitopequenoemrelaoaodolquidoondeocorpoflutua. Normalmenteestacondio satisfeita porque o fluido acima da superfcie livre usualmente oar. Como consideramos que o fluidoapresenta peso especfico constante,se o corpo est imerso num fluido queapresenta variao de , tal como numfluido estratificado em camadas, omdulodaforadeempuxocontinuaigual ao peso do fluido deslocado. Entretanto, o ponto de aplicao dafora no coincide com o centride dovolume deslocado, mas simcomocentro de gravidade do volumedescolado30/03/2011Eliane Justino - Curso de Engenharia Civil - UFG/Catalo 242.11 EMPUXO, FLUTUAO E ESTABILIDADE2.11.1 PRINCPIO DE ARQUIMEDES EXEMPLO 2.10 pg. 65 A figura abaixo mostra o esboo de uma bia, com dimetro e peso iguala1,5m e 8,5kN, que est presa ao fundo do mar por um cabo. Normalmente, abia flutua na superfcie do mar mas, em certas ocasies, o nvel do mar sobee a bia fica completamente submersa. Determine a fora que tensiona o cabona condio mostrada na figura. Ns primeiramentevamos construir odiagramadecorpo livre para a bia. FB a fora de empuxo que atuasobre a bia; W o peso da bia; T fora que tensiona o cabo.Equilbrio:SoluoW F TB =2.11 EMPUXO, FLUTUAO E ESTABILIDADE2.11.1 PRINCPIO DE ARQUIMEDES Sabe-se que: Opeso especfico da gua do mar 10,1 kN/m3e V = ( d3)/6.Substituindo, Assim, a fora que tensiona o cabo : Note que ns trocamos o efeito da foras de presso hidrosttica nocorpo pela fora do empuxo.SoluoV FB =( ) ( ) N x x FB4 3 310 785 , 1 5 , 1 .610 1 , 10 =((

||

\|=kN N x x x T 35 , 9 10 35 , 9 10 50 , 8 10 785 , 13 3 4= = =30/03/2011Eliane Justino - Curso de Engenharia Civil - UFG/Catalo 252.11 EMPUXO, FLUTUAO E ESTABILIDADE2.11.1 PRINCPIO DE ARQUIMEDES A figura abaixo mostra um outro diagrama de corpo livre que tambm estcorreto, mas que apresenta uma distribuio das foras devidas a presso.Lembre que o efeito lquido das foras de presso na superfcie da bia igual a fora FB (a fora de empuxo).SoluoEXERCCIOS DO CAPTULO 2 2 PARTE EXERCCIO 2.84 pg. 84 OLagoformadopelaconstruodabarragemdeTucuru cobriuumavastaregioondeexistiammuitasrvoresnobres. Infelizmente, nohouvetempodisponvel pararemovertodasestasrvoresantesdoinciodaformaodolago. Foi detectado que os corpos de muitas rvores ainda estavam muito bemconservadas aps de 15 anos da formao do lago e algumas pessoasiniciaram a operao de remoo destas rvores. O primeiro passo utilizado noprocesso de remoo consiste em fix-las ao fundo com ncoras e cabos. OSegundo passo consiste emcortar os troncos na altura das razes. Aancoragem necessria para evitar que as rvores cheguem na superfcie livredo lago com uma velocidade alta. Admita que uma rvore grande (altura = 30m) possa ser modelada como um tronco de cone de cone com dimetro inferioresuperior iguaisa2,4e0,6m, respectivamente. Determineomdulodacomponente vertical da fora resultante que os cabos devem resistir quando arvore cortada e ainda est completamente submersa. Admita densidade damadeira igual a 0,6 e H2O = 10000 N/m330/03/2011Eliane Justino - Curso de Engenharia Civil - UFG/Catalo 26EXERCCIOS DO CAPTULO 2 2 PARTE EXERCCIO 5 (a) Considere o material cilndrico poroso (material no macio, ou seja, possuivazios em sua composio) mostrado na Figura abaixo, este tem densidade iguala 0,60 quando seus poros no esto preenchidos com fluido lquido, 1,0 m dedimetro e 0,80 m de comprimento, este cilindro estaria estvel a que altura, h, sefosse imerso em um fluido com densidade igual a 1,05? Considere g = 9,81 m/s2eH204oC=1000kg/m3. b)E seapscerto tempo ofluido subirnosporosporcapilaridade e preencher os vazios dos poros do material num valor que chegaat 0,30 do volume deste, qual seria a nova altura de equilbrio, h, sendo que nohaver alterao de volume do material? Considere g = 9,81 m/s2eH204oC=1000kg/m3.2.11 EMPUXO, FLUTUAO E ESTABILIDADE Seumcorpoesttotalmentemergulhadoemumlquido, eemumaposiodeequilbrio(esttico),seu peso igual ao empuxo que ele est recebendo(E=P). Nestecaso, sernulaaresultantedestasforase corpoficaremrepousonaposioemquefoi abandonado. istoqueacontececomumsubmarino submerso, emrepouso, a uma certaprofundidade. O valor do empuxo menor que o peso do corpo(EP). Neste caso, a resultante destas foras estardirigida para cima e o corpo sobe verticalmente nointerior do lquido. isto o que acontece quando, porexemplo, abandonarmosuma bloco de madeira nointerior de umlquido. Obloco de madeira irasubmergir at que a resultante das foras se iguale,ou seja (E=P), assim, nesta posio que o corpoflutuar, em equilbrio. Destas consideraes podemos concluir que,quandoumnavioestflutuando, emequilbrio, nagua, ele esta recebendo um empuxo cujo o valor igual aoseuprpriopeso, isto, opesodonavioest sendo equilibrado pelo empuxo que ele recebeda gua.Devemos perceber que o volume imerso no fluido no o volume total do corpo.2.11 EMPUXO, FLUTUAO E ESTABILIDADE CENTRIDE o ponto no interior de uma forma geomtrica que define seucentro geomtrico. CENTRO DE MASSA - o ponto onde pode ser pensado que toda a massado corpo est concentrada para o clculo de vrios efeitos. O centro de massanoprecisa coincidir como centrogeomtricoouo centrodegravidade. Ocentro de massa nemao menos precisa estar dentro do corpo. Para npartculas, cada uma com posio ri e massami, o centro de massa dadopor: CENTRO DE GRAVIDADE o ponto onde pode ser considerada a aplicaoda fora de gravidade de todo o corpo. O significado a palavra baricentro deorigem grega (BARI = peso)e designa o centro dos pesos. No caso da fora degravidade resultar de umcampo de gravidade uniforme, o centro degravidade coincidente com o centro de massa. Esta a aproximao naturalnoestudodafsicadeobjetosdepequenasdimensessujeitosaocampogravidade terrestre.i ir mM1R =30/03/2011Eliane Justino - Curso de Engenharia Civil - UFG/Catalo 282.11 EMPUXO, FLUTUAO E ESTABILIDADE2.11.2 ESTABILIDADE Um corpo est numa posio de equilbrio estvel se, quando perturbado,retorna a posio de equilbrio original. O corpo est em posio de equilbrio instvelse ele se move para umanova posio de equilbrio aps ser perturbado, mesmo que a perturbaoseja bastante pequena. A importncia de se analisar o equilbrio dos corpos submersos e flutuantes que o centro de empuxo e de gravidade necessariamente nosocoincidentes, assim uma pequena rotao pode resultar num momento derestituio ou emborcamento. Exemplo:2.11 EMPUXO, FLUTUAO E ESTABILIDADE2.11.2 ESTABILIDADE Exemplo: Corpo totalmente submerso. Ocentrodegravidadeestlocalizadoabaixo do centro de empuxo, uma rotaoapartir dopontodeequilbriocriarummomento de restituio formado pelo peso(W) e pela fora de empuxo (FB). Note que o binrio provocar umarotao no corpo para a sua posiooriginal. Assim o equilbrio estvel. Isso sempre acontece se o centro de gravidade estiver localizado abaixo docentro de empuxo, mas se o centro de gravidade estiver acima do centrode empuxo?30/03/2011Eliane Justino - Curso de Engenharia Civil - UFG/Catalo 292.11 EMPUXO, FLUTUAO E ESTABILIDADE2.11.2 ESTABILIDADE Exemplo: Centro de gravidade estiver acima docentro de empuxo: Obinrio formado pelo peso e pelafora de empuxo causar oemborcamento(tombamento)docorpoeele se movimentar para uma novaposio de equilbrio. Assimocorpoestnumaposiodeequilbrio instvel.2.11 EMPUXO, FLUTUAO E ESTABILIDADE2.11.2 ESTABILIDADEConsiderando um corpo que flutua num fluido em repouso O problema mais complicado porque a localizao do centro de empuxo(que coincide com o centride do volume deslocado) pode mudar quando ocorpo rotaciona. Consideremos uma barcaa com calado pequeno.30/03/2011Eliane Justino - Curso de Engenharia Civil - UFG/Catalo 302.11 EMPUXO, FLUTUAO E ESTABILIDADE2.11.2 ESTABILIDADE Abarcaapodeestar emumaposioestvel mesmoqueocentrodegravidadeestejaacimadocentride, porqueaforadeempuxo, FB, naposioperturbada(relativaaonovovolumedeslocado) combinacomopesoparaformar umbinrioderestituio(quelevarocorpoparaaposio de equilbrio original). .2.11 EMPUXO, FLUTUAO E ESTABILIDADE2.11.2 ESTABILIDADE Entretanto se impusermos uma pequena rotao num corpo esbelto queflutua, comomostraafig. aseguir, aforadeempuxoeopesopodemformar um binrio de emborcao.30/03/2011Eliane Justino - Curso de Engenharia Civil - UFG/Catalo 312.11 EMPUXO, FLUTUAO E ESTABILIDADE2.11.2 ESTABILIDADE Aanlisedaestabilidadedos corpos submersos eflutuantes podeserdificultada tanto pela geometria quando pela distribuio de peso no corpoanalisado. As vezes, tambm, necessrio considerar outros tipos de foras externaque atuam no corpo que est sendo analisado (tais como a induzida pelasrajadas de vento ou correntes no fluido).2.12 VARIAO DE PRESSO NUM FLUIDO COM MOVIMENTODE CORPO RGIDO Equao Geral do Movimento: (1) Desenvolvida para fluidos que esto emrepouso ou num movimento queno apresenta tenses de cisalhamento. Admitindo um sistema de coordenadas cartezianas, com o eixo z apontandopara cima (o sentido da gravidade negativo). Desmembrando a Eq. (1):(2) O movimento do fluido que no apresenta tenso de cisalhamento aquele onde a massa de fluido submetida a um movimento de corporgido.a k p = xaxP =yayP =zazP + =30/03/2011Eliane Justino - Curso de Engenharia Civil - UFG/Catalo 322.12 VARIAO DE PRESSO NUM FLUIDO COM MOVIMENTODE CORPO RGIDO Exemplo: Se um recipiente de fluido acelera ao longo de uma trajetriaretilnea, o fluidosemover comoumamassa rgida(depoisqueomovimento transitrio inicial tiver desaparecido) e cada partculaapresentar a mesma acelerao. Como no existe deformao neste tipodemovimento, as tensesdecisalhamentoseronulaseaEq. (1) adequada para descrever o movimento. Da mesma maneira, se o fluido contido num tanque rotaciona em torno deum eixo fixo, o fluido simplesmente rotacionar com o tanque como umcorporgidoe, denovo, aEq. (1)podeserutilizadaparadeterminaradistribuio de presses no fluido.2.12.1 MOVIMENTO LINEAR Considerandoomovimentoretilneoeuniformementeaceleradodeumrecipiente aberto que contm um lquido.2.12 VARIAO DE PRESSO NUM FLUIDO COM MOVIMENTODE CORPO RGIDOFiguraAceleraolineardeumamassadelquidocom superfcie livre. Como ax = 0 , tem-se que o gradiente de presso na direo x (dp/dx) nulo.0 =xP(3)30/03/2011Eliane Justino - Curso de Engenharia Civil - UFG/Catalo 332.12.1 MOVIMENTO LINEAR Os gradientes de presso nas direes y e z so: A variao de presso entre dois pontos prximos, localizados em (y, z) e (y+ dy, z + dz) pode ser expresso por: Substituindo (4) em (5) em (6)2.12 VARIAO DE PRESSO NUM FLUIDO COM MOVIMENTODE CORPO RGIDOyayP. =(4)( )za gzP+ =. (5)dzzPdyyPdp+=(6)( )dz a g dy a dpz y+ = (7)2.12.1 MOVIMENTO LINEAR Comodp=0aolongodeumalinhadepressoconstante. Assim, ainclinao destas linhas dada por: A presso ao longo da superfcie livre, constante, assim, a superfcie livreda massa de fluido ser inclinada se ay 0. Note que, neste caso, todas aslinhas de presso constante sero paralelas a superfcie livre. No caso especial onde ay = 0 e az 0 que corresponde a uma massa defluido acelerado na direo vertical, a superfcie do fluido ser horizontal.Entretanto, tem-se quea distribuio de presso no ser ahidrosttica,mas fornecida pela equao:2.12 VARIAO DE PRESSO NUM FLUIDO COM MOVIMENTODE CORPO RGIDOzya gadydz+ =( )za gdzdp+ = (8)30/03/2011Eliane Justino - Curso de Engenharia Civil - UFG/Catalo 342.12.1 MOVIMENTO LINEAR Se a massa especfica for constante, a presso variar linearmente com aprofundidade. Exemplo: A presso no fundo de um tanque que contm um lquido e queest apoiado no cho de um elevador com movimento acelerado para cimamaior queaquelamedidaquandootanqueestemrepouso(ouemmovimento com velocidade constante) Seumamassadefluidoestemquedalivre(az=-g), ogradientedepresso nas trs direes nula. Assim, se a presso no ambiente onde est localizada esta massa de fluido zero, a presso no fluido tambm ser nula. Apressointernanuagotadesucodelaranjalocalizadanumveculoespacial em rbita (uma forma de queda livre) zero e a nica fora quemantm o lquido coeso a tenso superficial.2.12 VARIAO DE PRESSO NUM FLUIDO COM MOVIMENTODE CORPO RGIDO2.12.1 MOVIMENTO LINEAR EXEMPLO 2.11 pg. 68 Afigura abaixo mostra a seo transversal retangular do tanque decombustvel instaladonumveculoexperimental. Otanqueventilado(asuperfcie livre do lquido est em contato com a atmosfera) e contm umtransdutor de presso (veja a figura). Durante o teste do veculo, o tanque submetidoaumaaceleraolinearconstanteemay. (a)Determineumaexpressoquerelacioneayeapressomedidanotransdutor paraumcombustvel que apresenta densidade (SG) igual a 0,65. (b) Qual o valormximodaacelerao ayparaque otransdutorfiqueacimado nvel dolquido?2.12 VARIAO DE PRESSO NUM FLUIDO COM MOVIMENTODE CORPO RGIDO30/03/2011Eliane Justino - Curso de Engenharia Civil - UFG/Catalo 352.12.1 MOVIMENTO LINEARSoluo (a) Se a acelerao horizontal e constante, o fluido se movimentar comoumcorpo rgido e a inclinao da superfcie livre do fluido pode serdeterminada como Eq. (8). Lembrando que az = 0, temos: Amudana de profundidade do lquido no lado direito do tanque, z1,provocada por uma acelerao ay, pode ser determinada pela equao.2.12 VARIAO DE PRESSO NUM FLUIDO COM MOVIMENTODE CORPO RGIDOgazy = 230 , 0gadzy = 230 , 0ou( )|||

\|=gadzy230 , 0zya gadydz+ =2.12.1 MOVIMENTO LINEARSoluo Como az nula, a presso ao longo da parede varia hidrostaticamente (vejaa Eq. (5). Ento, a presso no transdutor dada pela relao p = .h ondehadistnciavertical entreotransdutor easuperfcielivredolquido.Deste modo, Observe que esta equao s vlida para z1 < 0,15m e que a presso dada em Pa.2.12 VARIAO DE PRESSO NUM FLUIDO COM MOVIMENTODE CORPO RGIDO( )( ) ( )|||

\| =((

|||

\| =gax x pgax pyy2 2310 200 , 2 10 565 , 923 , 0 15 , 0 10 81 , 9 65 , 030/03/2011Eliane Justino - Curso de Engenharia Civil - UFG/Catalo 362.12.1 MOVIMENTO LINEARSoluo (b) O valor da acelerao ay para que o nvel do lquido atinja o transdutorpode ser calculado com a equao Se o valor da acelerao da gravidade o padro, temos: Note que, neste exemplo, a presso nos planos horizontais no constante. Isto ocorre porque dp/dy = - .ay 0. Por exemplo, a pressono ponto (1) diferente daquela no ponto (2).2.12 VARIAO DE PRESSO NUM FLUIDO COM MOVIMENTODE CORPO RGIDO( )|||

\|=gay230 , 0 15 , 0g ay652 , 0 =ou2/ 40 , 6 81 , 9 652 , 0 s m x ay= =EXERCCIOS DO CAPTULO 2 2 PARTE EXERCCIO 2,94 pg. 86 Um tanque retangular e aberto (largura e comprimento respectivamente iguais a1 e 2 m) contm gasolina. A superfcie livre do fluido se encontra a 1 m do fundodo tanque. Qual deve ser a acelerao imposta ao tanque para que a gasolinavaze sabendo que a altura do tanque igual a 1,5 m, sendo o peso especficoda gasolina a 7910 N/m3.30/03/2011Eliane Justino - Curso de Engenharia Civil - UFG/Catalo 372.12.2 ROTAO DE CORPO RGIDO Aps o perodo transitrio inicial, o fluido contido num tanque que gira comuma velocidade angular, , constante em torno do eixo, tambmrotacionar como um corpo rgido em torno do mesmo eixo.2.12 VARIAO DE PRESSO NUM FLUIDO COM MOVIMENTODE CORPO RGIDO2.12.2 ROTAO DE CORPO RGIDO O mdulo da acelerao de uma partcula localizada, a uma distncia r doeixo de rotao igual a: Como as trajetrias das partculas de fluido so circulares, convenienteutilizar o sistema de coordenadas cilndricas polar r, e z. O gradiente de presso neste sistema de coordenadas expresso por: Ento, para este sistema de coordenadas:2.12 VARIAO DE PRESSO NUM FLUIDO COM MOVIMENTODE CORPO RGIDOr ar.2 =A direo desta acelerao radial e que dirigido para o eixo de rotao.z rezpeprerpp 1++= r re r a .2 =0 =a 0 =za30/03/2011Eliane Justino - Curso de Engenharia Civil - UFG/Catalo 382.12.2 ROTAO DE CORPO RGIDO Como: Apresso funo das variveis r e z quando o fluido executa ummovimento de rotao de corpo rgido. Portanto, o diferencial de presso dado por:

Ao longo de uma superfcie com presso constante talcomo a superfcielivre, dp = 0.2.12 VARIAO DE PRESSO NUM FLUIDO COM MOVIMENTODE CORPO RGIDOa k p = 2 rrp=0 =p =zpdzzpdrrpdp+= dz rdr dp =22.12.2 ROTAO DE CORPO RGIDO Se aplicarmos nesta superfcie e utilizarmos = g,tem-se: Assim, a equao para as superfcies que apresentam presso constante : Esta equao revela que as superfcies compresso constante soparablicas.2.12 VARIAO DE PRESSO NUM FLUIDO COM MOVIMENTODE CORPO RGIDOdz rdr dp =2grgrdrdzgdz dz rdr2 22 = == =ctegrz + =2230/03/2011Eliane Justino - Curso de Engenharia Civil - UFG/Catalo 392.12.2 ROTAO DE CORPO RGIDO A integrao da equao: Fornece:Ou A constante de integrao pode ser determinada em funo da presso emalgumas posio arbitrria (por exemplo r0, z0). Este resultado mostra que a presso varia com a distncia em relao aoeixo de rotao, mas para um dado raio, a presso, varia hidrostaticamentena direo vertical.2.12 VARIAO DE PRESSO NUM FLUIDO COM MOVIMENTODE CORPO RGIDOdz rdr dp =2 = dz rdr dp 2cte zrp + = 22 22.12.2 ROTAO DE CORPO RGIDO Exemplo 2.12 pag. 72 - Foi sugerido que a velocidade angular de umcorporgido, comoumeixo, podesermedidaconectando-seumcilindroaberto e que contm um lquido ao corpo (do modo mostrado na figura) emedindo-se, com um sensor de distncia, a depresso H h0 provocadapela rotao do fluido. Qual a relao entre a mudana do nvel do lquidoe a velocidade angular do corpo?2.12 VARIAO DE PRESSO NUM FLUIDO COM MOVIMENTODE CORPO RGIDO30/03/2011Eliane Justino - Curso de Engenharia Civil - UFG/Catalo 402.12.2 ROTAO DE CORPO RGIDOSoluo: A altura h da superfcie livre para r = 0 pode ser determinada pelaequao:Assim,O volume de fluido no tanque, Vi, constante e igual a:2.12 VARIAO DE PRESSO NUM FLUIDO COM MOVIMENTODE CORPO RGIDOctegrz + =22022hgrh + = H R Vi2 =2.12.2 ROTAO DE CORPO RGIDOSoluo:O volume de fluido contido no tanque, quando este est com movimento derotao, podeser calculadocomaajudadoelementodiferencial. Acascacilndrica tomada em algum raio arbitrrio r e seu volume : O volume total dado por: Como o volume de fluido no tanque constante (admitindo que no hajatransbordamento), temos.2.12 VARIAO DE PRESSO NUM FLUIDO COM MOVIMENTODE CORPO RGIDOrhdr dV 2 =024 2002 24 22 h RgRdr hgrr VR + =|||

\|+ =024 224h RgRH R + =ougRh H42 20= 30/03/2011Eliane Justino - Curso de Engenharia Civil - UFG/Catalo 41EXERCCIOS DO CAPTULO 2 2 PARTE EXERCCIO 2,100 pg. 86 O tubo U da figura abaixo est parcialmente preenchido com mercrio e podegirar em torno do eixo a a. Quando o tubo est em repouso as alturas dascolunas de mercrio so iguais a 150 mm. Qual deve ser a velocidade angulardo tubo para que a diferena entre as alturas das colunas se tone iguala 75mm.