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Ministério da Educação
Secretaria de Educação Profissional e Tecnológica
Instituto Federal Catarinense - Campus Avançado Sombrio
Curso de Licenciatura em Matemática
PLANO DE AULA
1. IDENTIFICAÇÃO
Escola:
Município: Sombrio
Disciplina: Matemática
Ano: 1º ano
Nível: Ensino Médio
Professora: Raquel Conceição da Silva
Tempo estimado: 13 horas/aulas
2. TEMA: Função Exponencial e Introdução a Função Logarítmica
2.1. CONTEÚDO: A Função Exponencial; Equação Exponencial; Inequação Exponencial; Os
Fundamentos da Teoria dos Logaritmos; Os Conceitos de Logaritmos e suas Propriedades
Operatórias; Função Logarítmica.
3. JUSTIFICATIVA:
O ensino da matemática deve ser transmitido no convívio e na realidade do público a que
se destina, de maneira que ela se torne significativa ao mesmo tempo em que sua aprendizagem
seja prazerosa. O estudo das funções se inicia ainda no ensino fundamental (BNCC, 2017), onde
os alunos aprendem a localizar pontos no plano cartesiano e associar a uma equação linear de 1º
grau com duas incógnitas, formando retas. Posteriormente associam a uma equação polinomial do
2º grau. No ensino médio os alunos agregam a este conhecimento a ideia de função, que segundo
o Parâmetros Curriculares Nacionais (1997) fornecem a capacidade mais ampla de abstração,
raciocínio, resolução de problemas, investigação, analise e compreensão de fatos matemáticos e
interpretação da própria realidade, no que envolve função do primeiro e segundo grau. A função
trata-se de um dos conceitos mais abordados no estudo da matemática, com simples manipulações
algébricas é possível calcular e tabelar preços, áreas, distâncias em relação ao tempo, entre muitas
outras situações problemas. Já a Função Exponencial e Logarítmica surge com a necessidade de
compreender muitos acontecimentos naturais e sociais como o crescimento populacional, a meia-
vida de uma substância, a medida da pressão atmosférica, o cálculo do montante em um sistema
de juros compostos e entre outros fenômenos. O que torna ainda mais relevante o estudo dessas
funções no Ensino Médio e ressalta seu papel na interdisciplinaridade da Matemática com outras
matérias (OLIVEIRA, 2014, p.10).
4. OBJETIVOS:
Objetivando desenvolver o conhecimento do campo algébrico, o ensino de função no
ensino médio visa transpor de registros algébricos e gráficos para interpretar diferentes situações
reais e calcular novas ordenadas. As atividades desenvolvidas serão aplicadas com objetivo de
conceber as seguintes competências:
a) Identificar função exponencial;
b) Construir o gráfico de uma função exponencial;
c) Resolver equações e inequações exponenciais;
d) Definir logaritmos;
e) Resolver problemas que envolvem logaritmos;
f) Reconhecer a função exponencial como inversa da logarítmica;
g) Identificar graficamente a função logarítmica;
5. CONTEÚDOS ENVOLVIDOS:
Par ordenado; produto cartesiano; relação entre grandezas variáveis; domínio e imagem;
construção e interpretação de gráfico; crescimento e decrescimento de uma função; problemas que
envolvam o conceito de função.
6. ESTRATÉGIAS:
As metodologias adotadas são as concepções histórico-cultural e histórico-crítica,
propostas pelo PCN (1997), PC-SC (2014) e o PPP (2018) da instituição. Para introdução da
função exponencial, será utilizada o método de modelagem em um modelo discreto.
6.1 Recursos: Quadro, pincel, livros didáticos, projetor de slides
6.2 Técnicas: Aula expositiva, dialogada, resolução de exercícios, modelagem experimental e
avaliação formativa.
7. PROCEDIMENTOS:
O campo algébrico é um território construído desde as séries iniciais. A alfabetização
matemática quando produzida historicamente, atenta-se as diferentes sociedades e culturas,
atendendo às necessidades concretas da humanidade (PCN, 1997). Ao chegar no ensino médio o
aluno atribuirá aos conhecimentos algébricos significados geométricos, físicos e sociais, para
solucionar problemas reais. Sendo assim, está aula será conduzida com a utilização de recursos
tecnológicos, no primeiro momento será esclarecido aos alunos como surgiu a função quadrática,
para que serve e a definição formal. Na sequência conheceram as propriedades de seus coeficientes
e sua projeção gráfica, também será utilizado do método de resolução de exercícios para fixação.
7.1 Historicização;
A notação exponencial possui seus primeiros registros em tabelas babilônicas a
aproximadamente 1000 a.C. Por volta de 1360 o Bispo francês Nicole Oresme deixou manuscritos
com notações utilizando potências com expoente com expoentes Racionais e irracionais e regras
sistematizadas para operar com potências. Ainda na França em 1484, o médico Nicolas Chuquet
utilizou potências com expoente zero.
Além desses, outros matemáticos contribuíram para o desenvolvimento da notação
exponencial, até que Descartes nos deixasse a notação de potência utilizada hoje. (OLIVEIRA,
2014, p. 26)
7.2 Operacionalizações da aula
AULA 1
1º Momento
Neste primeiro momento será dado uma revisão de Potenciação e Radiciação (PAIVA,
2013, p. 206) para introduzir o próximo conteúdo que será função exponencial e logarítmica.
Propriedades de potência
Sendo a um número real e n um número inteiro, definimos:
an = a ⋅ a ⋅ a ⋅... ⋅ a (até n vezes) , se n > 1
a0 = 1, se a ≠ 0
a1 = a
a (−n ) = 𝟏
𝒂𝒏 , 𝒂 ≠ 𝟎
Na potência an o número a é chamado de base da potência e o número n é chamado de expoente.
Exemplos:
a) (-2)³ = (-2).(-2).(-2) = -8
b) (-2)4 = (-2).(-2).(-2).(-2) = 16
c) 8¹ = 8
d) 90 = 1
e) (√293)0 = 1
f) 4−2 = 1
4²=
1
16
g) 1
2−3= 23 = 8
OBS. Quando a base for negativa:
O resultado será negativo se o expoente for ímpar (-a)n = -r (n é ímpar = resultado
negativo).
O resultado será positivo se o expoente for par (-a)n = r (n é par = resultado negativo).
Propriedades das potências de expoente inteiro
Dados os números reais a e b e os números inteiros m e n, e obedecidas as condições para
que existam as potências, temos:
P1. 𝒂𝒎. 𝒂𝒏 = 𝒂𝒎+𝒏
P2. 𝒂𝒎 ÷ 𝒂𝒏 = 𝒂𝒎−𝒏
P3. (𝒂𝒎)𝒏 = 𝒂𝒎.𝒏
P4. (𝒂. 𝒃)𝒏 = 𝒂𝒏. 𝒃𝒏
P4. ( 𝒂
𝒃 )𝒏 =
𝒂𝒏
𝒃𝒏
Exemplos:
a) 𝟕𝟐. 𝟕𝟑 = 𝟕𝟐+𝟑 = 𝟕𝟓 = 𝟕. 𝟕. 𝟕. 𝟕. 𝟕 = 𝟏𝟔𝟖𝟎𝟕
b) 𝟐𝟓 ÷ 𝟐𝟑 = 𝟐𝟓−𝟑 = 𝟐²
c) 𝟑𝟑 ÷ 𝟑𝟓 = 𝟑𝟑−𝟓 = 𝟑−𝟐 = 𝟏
𝟑𝟐 =𝟏
𝟗
d) (𝟑𝟐)𝟑 = 𝟑𝟐.𝟑 = 𝟑𝟔 = 𝟕𝟐𝟗
e) (𝟐𝒙)𝟐 = 𝟐𝟐. 𝒙𝟐 = 𝟒𝒙𝟐
f) ( 𝟐
𝟑 )𝟐 =
𝟐𝟐
𝟑𝟐 =𝟒
𝟗
Propriedades de Radicais
Sendo a e b números reais não negativo e n, k e p números naturais não nulos, As mesmas
propriedades estudadas em potências com expoente inteiro são válidas para potências com
expoente racional.
P5. √𝒂 𝒏
. √𝒃𝒏
= √𝒂. 𝒃𝒏
P6. √𝒂
𝒏
√𝒃𝒏 = √
𝒂
𝒃
𝒏 , com b≠0
P7. √𝒂𝒌𝒑 𝒏𝒌= √𝒂𝒑 𝒏
P8. √𝒂𝒑𝒏= 𝒂
𝒑
𝒏
EXEMPLOS:
a) √𝟕 𝟑
. √𝟐𝟑
= √𝟕. 𝟐𝟑
= √𝟏𝟒𝟑
b) √𝟐𝟎𝟒
√𝟒𝟒 = √
𝟐𝟎
𝟒
𝟒= √𝟓
𝟒
c) √𝟖𝟐
= 𝟖𝟏
𝟐
Potências cujo expoente é um número racional
EXEMPLOS:
a) 𝟏𝟐𝟓𝟕
𝟑. 𝟏𝟐𝟓−𝟓
𝟑 = 𝟏𝟐𝟓 𝟕−𝟓
𝟑 = 𝟏𝟐𝟓 𝟐
𝟑 = √𝟏𝟐𝟓𝟐 𝟑= √(𝟓𝟐)𝟑 𝟑
= 𝟓𝟐 = 𝟐𝟓
b) 𝟏𝟔𝟏
𝟒 ÷ 𝟏𝟔−𝟏
𝟐 = 𝟏𝟔 𝟑
𝟒 = √𝟏𝟔𝟑 𝟒= √(𝟐𝟒)𝟑𝟒
= 𝟐𝟑 = 𝟖
c) (𝒂𝟏
𝟑. 𝒂𝟐
𝟑)3 = 𝒂. 𝒂²
d) √𝟖𝟓 𝟏𝟓= ( √𝟖
𝟑)𝟓 = 𝟐𝟓 = 𝟑𝟐
e) (𝟑𝟒𝟑𝟏
𝟑)2 = 𝟑𝟒𝟑𝟐
𝟑 = √𝟑𝟒𝟑𝟐 𝟑= √(𝟕𝟑)²
𝟑= 𝟕𝟐 = 𝟒𝟗
f) (𝟑𝟐
𝟐𝟒𝟑)
𝟑
𝟓 = 𝟑𝟐
𝟑
𝟓
𝟐𝟒𝟑𝟑
𝟓
=√(𝟐𝟓)𝟑𝟓
√(𝟑𝟓)𝟑𝟓 =𝟐𝟑
𝟑𝟑=
𝟖
𝟐𝟕
AULA 2
1º Momento: registro da chamada e estudo de equações exponenciais classificadas em 3 tipos de
resolução.2
Equações exponenciais
Algumas equações apresenta a incógnita como expoente, nesse caso, tais equações serão
denominadas de equações exponenciais. Dividiremos as equações exponenciais em três tipos.
Estudaremos cada caso separadamente.
Exemplo (TIPO 1):
As equações do tipo 1 são resolvidas em 3 etapas:
1º PASSO: Igualar as bases, usando a decomposição em fatores primos.
2º PASSO: Desprezar as bases e considerar apenas a igualdade entre os expoentes.
3º PASSO: Resolver a igualdade;
a) 5x = 125
1º PASSO: Igualar as bases, usando a decomposição em fatores primos.
125 5
25 5 53 = 125 substituindo na equação temos 5x = 53 ⇒ x = 3
5 5
1
b) 3x = 𝟏
𝟖𝟏
1º PASSO: Igualar as bases, usando a decomposição em fatores primos.
81 3
27 3
9 3 34 = 81 substituindo na equação 3x = 𝟏
𝟑𝟒
3 3
1
2º PASSO: Desprezar as bases e considerar apenas a igualdade entre os expoentes.
3x = 𝟑−𝟒 ⇒ x = -4
c) 121(x-2) = 1
1º PASSO: Igualar as bases, usando a decomposição em fatores primos.
temos 121(x-2) = 1210
2º PASSO: Desprezar as bases e considerar apenas a igualdade entre os expoentes.
Desprezando as bases temos (x-2) = 0
3º PASSO: Resolver a igualdade;
(x-2) = 0 logo x = 2
d) 𝟒𝟗𝒙 = √𝟑𝟒𝟑𝟑
343 7
49 7 7³ = 343 e 7² =49 substituindo na equação temos (𝟕𝟐)𝒙 = √𝟕³𝟒
7 7
1
𝟕𝟐𝒙 = 𝟕𝟑
𝟒 → 𝟐𝒙 = 𝟑
𝟒 → 𝒙 =
𝟑
𝟒.
𝟏
𝟐 𝒍𝒐𝒈𝒐 𝒙 =
𝟑
𝟖
Exemplo (TIPO 2):
Neste caso vamos separar os termos com a incógnita em potências de mesma base e, em
seguida, faremos a mudança de variável. Utilizando as propriedade am+n = am.an e am-n = am÷an
a) 𝟐𝒙−𝟏 + 𝟐𝒙+𝟐 = 𝟑𝟔
𝟐𝒙 ÷ 𝟐𝟏 + 𝟐𝒙. 𝟐𝟐 = 𝟑𝟔 ⇒ 𝟐𝒙
𝟐+ 𝟐𝒙. 𝟒 = 𝟑𝟔
Neste caso a mudança de variável que faremos será 𝟐𝒙 = 𝒎
Obtendo 𝒎
𝟐+ 𝟒. 𝒎 = 𝟑𝟔
𝒎+𝟖𝒎
𝟐= 𝟑𝟔 ⇒ 𝟗𝒎 = 𝟕𝟐 ⇒ 𝒎 = 𝟖
Substituindo: 𝟐𝒙 = 𝟖 ⇒ 𝟐𝒙 = 𝟐𝟑
x = 3
b) 𝟓𝒙+𝟏 + 𝟓𝒙+𝟐 = 𝟑𝟎
𝟓𝒙. 𝟓𝟏 + 𝟓𝒙. 𝟓𝟐 = 𝟑𝟎
Neste caso a mudança de variável que faremos será 𝟓𝒙 = 𝒎
Obtendo 𝒎. 𝟓 + 𝒎. 𝟐𝟓 = 𝟑𝟎
𝟑𝟎𝒎 = 𝟑𝟎 ⇒ 𝒎 = 𝟏
Sendo assim: 𝟓𝒙 = 𝟏 ⇒ 𝟓𝒙 = 𝟓𝟎 x = 0
Exemplo (TIPO 3):
Neste caso fazemos a substituição de variável no termo em que o expoente está com a
incógnita, recaindo em uma equação do segundo grau que após ser resolvida deve-se validar a(s)
solução(ões) retornando a incógnita anterior.
a) 𝟐𝟐𝒙 − 𝟑. 𝟐𝒙 + 𝟐 = 𝟎
(𝟐𝒙)𝟐 − 𝟑. 𝟐𝒙 + 𝟐 = 𝟎 Mudança de variável 𝟐𝒙 = 𝒎
Substituindo m na equação obtém-se 𝒎𝟐 − 𝟑𝒎 + 𝟐 = 𝟎
Resolvemos a equação de 2º grau: m = 𝟑±𝟏
𝟐 ⇒ 𝒎𝟏 = 𝟏 e 𝒎𝟐 = 𝟐
𝟐𝒙 = 𝒎𝟏 ⇒ 𝟐𝒙 = 𝟏 ⇒ 𝟐𝒙 = 𝟐𝟎 ⇒ x = 0
𝟐𝒙 = 𝒎𝟐 ⇒ 𝟐𝒙 = 𝟐 ⇒ 𝟐𝒙 = 𝟐𝟏 ⇒ x = 1
S = {0, 1}
b) 𝟒𝒙 − 𝟗. 𝟐𝒙 + 𝟖 = 𝟎
(𝟐𝒙)𝟐 − 𝟑. 𝟐𝒙 + 𝟐 = 𝟎 Mudança de variável 𝟐𝒙 = 𝒎
Substituindo m na equação obtém-se 𝒎𝟐 − 𝟑𝒎 + 𝟐 = 𝟎
Resolvemos a equação de 2º grau: m = 𝟑±𝟏
𝟐 ⇒ 𝒎𝟏 = 𝟏 e 𝒎𝟐 = 𝟐
𝟐𝒙 = 𝒎𝟏 ⇒ 𝟐𝒙 = 𝟏 ⇒ 𝟐𝒙 = 𝟐𝟎 ⇒ x = 0
𝟐𝒙 = 𝒎𝟐 ⇒ 𝟐𝒙 = 𝟐 ⇒ 𝟐𝒙 = 𝟐𝟏 ⇒ x = 1
S = {0, 1}
EXERCÍCIOS
1) Determine os valores de x para as seguintes equações exponenciais (Tipo1):
a) 𝟐𝒙 = 𝟔𝟒
2𝑥 = 26 ⇒ x=6
b) 𝟖𝒙 = 𝟑𝟐
(23)𝑥 = 25 ⇒ 3x = 5 ⇒ x = 𝟓
𝟑
c) 𝟐𝒙+𝟒 = 𝟏𝟔
𝟐𝒙+𝟒 = 𝟐𝟒 ⇒ x+4 = 4 ⇒ x = 0
d) 𝟗𝒙 =𝟏
𝟑
(𝟑𝟐)𝒙 =𝟏
𝟑 ⇒ (
𝟏
𝟑−𝟐)𝒙 =𝟏
𝟑 ⇒ (
𝟏
𝟑)−𝟐𝒙 = (
𝟏
𝟑)¹
-2x = 1 ⇒ x = −𝟏
𝟐
e) 𝟐𝒙 =𝟏
𝟑𝟐
𝟐𝒙 =𝟏
𝟑𝟐 ⇒ 𝟐𝒙 =
𝟏
𝟐𝟓 ⇒ 𝟐𝒙 = 𝟐−𝟓 ⇒ x = -5
f) 𝟐𝟓(𝒙+𝟐) = 𝟏
𝟐𝟓(𝒙+𝟐) = 𝟏 ⇒ 𝟐𝟓(𝒙+𝟐) = 𝟐𝟓𝟎 ⇒ x + 2 = 0 ⇒ x = -2
2) Determine os valores de x das seguintes equações exponenciais (Tipo 2):
a) 𝟑𝒙+𝟏 + 𝟑𝒙+𝟐 = 𝟏𝟐
𝟑𝒙. 𝟑𝟏 + 𝟑𝒙. 𝟑𝟐 = 𝟏𝟐
𝟑𝒙. 𝟑 + 𝟑𝒙. 𝟗 = 𝟏𝟐 mudança de variável m = 𝟑𝒙
𝒎. 𝟑 + 𝒎. 𝟗 = 𝟏𝟐 temos uma equação do primeiro grau
𝟑𝒎 + 𝟗𝒎 = 𝟏𝟐 ⇒ 𝟏𝟐𝒎 = 𝟏𝟐 ⇒ 𝒎 = 𝟏
𝟑𝒙 = 𝟏 ⇒ 𝟑𝒙 = 𝟑𝟎 ⇒ x = 0
b) 𝟓𝒙−𝟐 + 𝟓𝒙+𝟏 = 𝟏𝟐𝟔
𝟓𝒙
𝟓𝟐+ 𝟓𝒙. 𝟓𝟏 = 𝟏𝟐𝟔
𝟓𝒙
𝟐𝟓+ 𝟓𝒙. 𝟓 = 𝟏𝟐𝟔 Mudança de variável 𝟓𝒙 = 𝒎
𝒎
𝟐𝟓+ 𝟓𝒎 = 𝟏𝟐𝟔
𝒎 + 𝟏𝟐𝟓
𝟐𝟓= 𝟏𝟐𝟔 ⇒ 𝟏𝟐𝟔𝒎 = 𝟏𝟐𝟔. 𝟐𝟓 ⇒ 𝒎 =
𝟏𝟐𝟔
𝟏𝟐𝟔. 𝟐𝟓 ⇒ 𝒎 = 𝟐𝟓
Substituindo 𝟓𝒙 = 𝟐𝟓 ⇒ 𝟓𝒙 = 𝟓𝟐 ⇒ x = 2
c) 𝟐𝒙+𝟑 = 𝟐𝒙−𝟐 + 𝟔𝟐
𝟐𝒙. 𝟐𝟑 =𝟐𝒙
𝟐𝟐 + 𝟔𝟐 MUDANÇA DE VARIÁVEL 𝟐𝒙 = 𝒎
𝟖𝒎 =𝒎
𝟒+ 𝟔𝟐 ⇒ 𝟖𝒎 −
𝒎
𝟒= 𝟔𝟐 ⇒ 𝟑𝟐𝒎 − 𝒎 = 𝟔𝟐. 𝟒
𝟑𝟏𝒎 = 𝟔𝟐. 𝟒 ⇒ 𝒎 =𝟔𝟐
𝟑𝟏. 𝟒 ⇒ 𝒎 =
𝟔𝟐
𝟑𝟏. 𝟒 ⇒ 𝒎 = 𝟐. 𝟒 = 𝟖
𝟐𝒙 = 𝒎 ⇒ 𝟐𝒙 = 𝟖 ⇒ 𝟐𝒙 = 𝟐𝟑 ⇒ x = 3
d) 𝟐𝒙−𝟏 + 𝟓. 𝟐𝒙 = 𝟏𝟏
𝟐𝒙
𝟐𝟏 + 𝟓. 𝟐𝒙 = 𝟏𝟏 mudança de variável 𝟐𝒙 = 𝒎
𝒎
𝟐+ 𝟓𝒎 = 𝟏𝟏 ⇒ 𝒎 + 𝟏𝟎𝒎 = 𝟐𝟐
𝟏𝟏𝒎 = 𝟐𝟐 ⇒ 𝒎 = 𝟐
𝟐𝒙 = 𝒎 ⇒ 𝟐𝒙 = 𝟐 ⇒ 𝟐𝒙 = 𝟐𝟏 ⇒ 𝑿 = 𝟏
3) Determine o conjunto solução para x das seguintes equações exponenciais (Tipo 3):
a) 𝟒𝒙 − 𝟑. 𝟐𝒙 + 𝟐 = 𝟎
(𝟐𝟐)𝒙 − 𝟑. 𝟐𝒙 + 𝟐 = 𝟎 mudança 𝟐𝒙 = 𝒎
𝒎𝟐 − 𝟑𝒎 + 𝟐 = 𝟎
𝒎 =𝟑±√(−𝟑)𝟐−𝟒.𝟐
𝟐 ⇒ 𝒎𝟏 =
𝟑+𝟏
𝟐= 𝟐 𝒎𝟐 =
𝟑−𝟏
𝟐= 𝟏
∴ 𝟐𝒙 = 𝒎𝟏 = 𝟐 → 𝟐𝒙 = 𝟐 ⇒ 𝟐𝒙 = 𝟐𝟏 ⇒ 𝑿 = 𝟏
∴ 𝟐𝒙 = 𝒎𝟐 = 𝟏 → 𝟐𝒙 = 𝟏 ⇒ 𝟐𝒙 = 𝟐𝟎 ⇒ 𝑿 = 𝟎
S={0, 1}
b) 𝟐𝟓𝒙 − 𝟑𝟎. 𝟓𝒙 = −𝟏𝟐𝟓
(𝟓𝟐)𝒙 − 𝟑𝟎. 𝟓𝒙 + 𝟏𝟐𝟓 = 𝟎 mudança 𝟓𝒙 = 𝒎
𝒎𝟐 − 𝟑𝟎𝒎 + 𝟏𝟐𝟓 = 𝟎
𝒎 =𝟑𝟎±√(−𝟑𝟎)𝟐−𝟒.𝟏𝟐𝟓
𝟐 ⇒ 𝒎𝟏 =
𝟑𝟎+𝟐𝟎
𝟐= 𝟐𝟓 𝒎𝟐 =
𝟑𝟎−𝟐𝟎
𝟐= 𝟓
∴ 𝟓𝒙 = 𝒎𝟏 = 𝟐𝟓 → 𝟓𝒙 = 𝟐𝟓 ⇒ 𝟓𝒙 = 𝟓𝟐 ⇒ 𝑿 = 𝟐
∴ 𝟐𝒙 = 𝒎𝟐 = 𝟓 → 𝟓𝒙 = 𝟓 ⇒ 𝟓𝒙 = 𝟓𝟏 ⇒ 𝑿 = 𝟏
S={1, 2}
c) 𝟒𝒙 − 𝟏𝟎. 𝟐𝒙 + 𝟏𝟔 = 𝟎
(𝟐𝟐)𝒙 − 𝟏𝟎. 𝟐𝒙 + 𝟏𝟔 = 𝟎 mudança 𝟐𝒙 = 𝒎
𝒎𝟐 − 𝟏𝟎𝒎 + 𝟏𝟔 = 𝟎
𝒎 =𝟏𝟎±√(−𝟏𝟎)𝟐−𝟒.𝟏𝟔
𝟐 ⇒ 𝒎𝟏 =
𝟏𝟎+𝟔
𝟐= 𝟖 𝒎𝟐 =
𝟏𝟎−𝟔
𝟐= 𝟐
∴ 𝟐𝒙 = 𝒎𝟏 = 𝟖 → 𝟐𝒙 = 𝟖 ⇒ 𝟐𝒙 = 𝟐𝟑 ⇒ 𝑿 = 𝟑
∴ 𝟐𝒙 = 𝒎𝟐 = 𝟐 → 𝟐𝒙 = 𝟐 ⇒ 𝟐𝒙 = 𝟐𝟏 ⇒ 𝑿 = 𝟏
S={1, 3}
d) 𝟑𝟐𝒙 = 𝟏𝟐. 𝟑𝒙 − 𝟐𝟕
𝟑𝟐𝒙 − 𝟏𝟐. 𝟑𝒙 + 𝟐𝟕 = 𝟎 mudança 𝟑𝒙 = 𝒎
𝒎𝟐 − 𝟏𝟐𝒎 + 𝟐𝟕 = 𝟎
𝒎 =𝟏𝟐±√(−𝟏𝟐)𝟐−𝟒.𝟐𝟕
𝟐 ⇒ 𝒎𝟏 =
𝟏𝟐+𝟔
𝟐= 𝟗 𝒎𝟐 =
𝟏𝟐−𝟔
𝟐= 𝟑
∴ 𝟑𝒙 = 𝒎𝟏 = 𝟗 → 𝟑𝒙 = 𝟗 ⇒ 𝟑𝒙 = 𝟑𝟐 ⇒ 𝑿 = 𝟐
∴ 𝟑𝒙 = 𝒎𝟐 = 𝟑 → 𝟑𝒙 = 𝟑 ⇒ 𝟑𝒙 = 𝟑𝟏 ⇒ 𝑿 = 𝟏
S = { 1, 2}
AULA 3
1º Momento: Após registro da chamada e finalização da correção dos exercícios dados
anteriormente, será dado continuação do conteúdo programático.
Inequação Exponencial
São inequações cujo variáveis estão no expoente de uma ou mais potencias de base positiva
e diferente de 1. Assim sendo existem duas situação a serem estudadas
1º Caso
Se a > 1 desprezamos as bases comuns e MANTEMOS o sinal de igualdade entre os
expoentes;
2º Caso
Se 0 < a < 1 desprezamos as bases comuns e INVERTEMOS o sinal da desigualdade
entre os expoentes;
Exemplo:
a)𝟗𝒙 ≤ 𝟐𝟕 = 𝟑𝟐𝒙 ≤ 𝟑𝟑 ⇒ 𝟐𝒙 ≤ 𝟑 ⇒ 𝒙 ≤𝟑
𝟐 V = { x ∈ R| x ≤
𝟑
𝟐}
b) (𝟏
𝟐)𝟐𝒙 > (
𝟏
𝟐)𝟒 = 𝟐𝒙 < 𝟒 ⇒ 𝒙 < 𝟐 V = { x ∈ R| x < 𝟐}
d) 𝟓𝒙 + 𝟓𝒙−𝟐 ≤ 𝟐𝟔 = 𝟓𝒙 + 𝟓
𝟓𝟐
𝒙≤ 𝟐𝟔 ⇒ mudança de variável 𝟓𝒙 = 𝒎
𝒎 +𝒎
𝟐𝟓 ≤ 𝟐𝟔 ⇒ 𝟐𝟔𝒎 ≤ 𝟐𝟔 ⇒ 𝒎 ≤ 𝟏 ⇒ 𝒔𝒖𝒃𝒔𝒕𝒊𝒕𝒖𝒊𝒏𝒅𝒐 ⇒ 𝟓𝒙 ≤ 𝟓𝟎 ⇒ 𝒙 ≤ 𝟎
V = { x ∈ R| x ≤ 𝟎}
2ºMomento – Resolução de exercícios (XAVIER, BARRETO, 2025, p.232) ( (PAIVA,
2013, p. 221).
Exercícios:
1) Qual conjunto verdade das inequações a seguir, considerando 𝐗 ∈ 𝐑:
a)𝟐𝟕𝒙+𝟐 > 𝟗𝒙+𝟓
𝟐𝟕𝒙. 𝟐𝟕𝟐 > 𝟗𝒙. 𝟗𝟓 ⇒ 𝟑𝟑𝒙. 𝟑𝟑.𝟐 > 𝟑𝟐𝒙. 𝟑𝟐.𝟓 ⇒ 𝟑𝟑𝒙+𝟔 > 𝟑𝟐𝒙+𝟏𝟎
⇒ 𝟑𝒙 + 𝟔 > 𝟐𝒙 + 𝟏𝟎 ⇒ 𝟑𝒙 − 𝟐𝒙 > 𝟏𝟎 − 𝟔 ⇒ 𝒙 > 𝟒
V = { 𝒙 ∈ R| 𝒙 > 𝟒 }
b) (𝟎, 𝟓)𝟒𝒙+𝟑 > (𝟎, 𝟐𝟓)𝒙+𝟓
⇒ (𝟎, 𝟓)𝟒𝒙+𝟑 > (𝟎, 𝟓²)𝒙+𝟓 ⇒ (𝟎, 𝟓)𝟒𝒙+𝟑 > 𝟎, 𝟓𝟐𝒙+𝟏𝟎
⇒ 𝟒𝒙 + 𝟑 < 𝟐𝒙 + 𝟏𝟎 ⇒ 𝟒𝒙 − 𝟐𝒙 < 𝟏𝟎 − 𝟑 ⇒ 𝒙 <𝟕
𝟐
V = {𝒙 ∈ R| 𝒙 <𝟕
𝟐 }
c) (𝟎, 𝟑)𝟒𝒙−𝟓 > (𝟎, 𝟑)𝟐𝒙+𝟏
⇒ (𝟎, 𝟑)𝟒𝒙−𝟓 > (𝟎, 𝟑)𝟐𝒙+𝟓 ⇒
⇒ 𝟒𝒙 − 𝟓 < 𝟐𝒙 + 𝟓 ⇒ 𝟒𝒙 − 𝟐𝒙 < 𝟓 + 𝟓 ⇒ 𝟐𝒙 < 𝟏𝟎 ⇒ 𝒙 < 𝟓
V = {𝒙 ∈ R| 𝒙 < 𝟓}
d) 𝟐𝒙 ≥ 𝟖 = 𝟐𝒙 ≥ 𝟐𝟑 ⇒ 𝟐𝒙 ≥ 𝟑 ⇒ 𝒙 ≥𝟑
𝟐
V = { x ∈ R| x ≥ 𝟑
𝟐}
e) (𝟏
𝟑)𝟐𝒙−𝟏 > 𝟑𝒙+𝟐
⇒ (𝟑−𝟏)𝟐𝒙−𝟏 > 𝟑𝒙+𝟐 ⇒ (𝟑)−𝟐𝒙+𝟏 > 𝟑𝒙+𝟐
⇒ −𝟐𝒙 + 𝟏 > 𝒙 + 𝟐 ⇒ −𝟐 + 𝟏 > 𝒙 + 𝟐𝒙 ⇒ −𝟏 > 𝟑𝒙 ⇒−𝟏
𝟑 > 𝒙
V = {𝒙 ∈ R| 𝒙 >−𝟏
𝟑 }
f) (√𝟐)𝟐𝒙+𝟒 ≤ 𝟏
(√𝟐)𝟐𝒙−𝟏
(√𝟐)𝟐𝒙+𝟒 ≤ (√𝟐)−𝟐𝒙+𝟏 = (𝑩𝑨𝑺𝑬 𝑴𝑬𝑵𝑶𝑹 𝑸𝑼𝑬 𝟏) 𝟐𝒙 + 𝟒 ≤ −𝟐𝒙 + 𝟏 = 𝟒𝒙 ≤ −𝟑
⇒ 𝒙 ≤ −𝟑
𝟒 V = {𝒙 ∈ R| 𝒙 ≤
−𝟑
𝟒 }
g) (𝟐
𝟑)𝟑𝒙+𝟏 > 𝟏
(𝟐
𝟑)𝟑𝒙+𝟏 > (
𝟐
𝟑)
𝟎
(𝑩𝑨𝑺𝑬 𝑴𝑬𝑵𝑶𝑹 𝑸𝑼𝑬 𝟏) 𝟑𝒙 + 𝟏 < 𝟎 ⇒ 𝒙 <𝟏
𝟑
V = {𝒙 ∈ R| 𝒙 <𝟏
𝟑 }
h) 𝟒𝟗𝒙+𝟏 > 𝟑𝟒𝟑 𝟕𝟐𝒙+𝟐 > 𝟕𝟑 = 𝟐𝒙 + 𝟐 > 𝟑 = 𝒙 >𝟏
𝟐 V = {𝒙 ∈ R| 𝒙 >
𝟏
𝟐 }
i) (𝝅)𝒙 > (𝝅)𝒙+𝟔 𝒙 > −𝒙 + 𝟔 = 𝟐𝒙 > 𝟔 ⇒
V = {𝒙 ∈ R| 𝒙 > 𝟑 }
g) (𝟏
𝟒)𝒙+𝟑 > (
𝟏
𝟐)𝟑𝒙−𝟏
(𝟏
𝟐𝟐)𝒙+𝟑 > (
𝟏
𝟐)𝟑𝒙−𝟏 = (
𝟏
𝟐)𝟐𝒙+𝟔 > (
𝟏
𝟐)𝟑𝒙−𝟏 (𝑩𝑨𝑺𝑬 𝑴𝑬𝑵𝑶𝑹 𝑸𝑼𝑬 𝟏)
𝟐𝒙 + 𝟔 < 𝟑𝒙 − 𝟏 = 𝟕 < 𝒙 ⇒ 𝒙 > 𝟕 V = {𝒙 ∈ R| 𝒙 > 𝟕 }
AULA4
1º Momento: Após registro da chamada e correção dos exercícios da aula anterior, continuação
do conteúdo programático.
Função exponencial
Chamamos de função exponencial a toda função do tipo f(x) = 𝒂𝒙 definida para todo x real
com a >0 e a ≠ 1
Exemplos:
a) f(x) = 𝟐𝒙 b) f(x) = (𝟏
𝟐)𝒙
Obs: A expressão “crescimento exponencial” refere-se a um crescimento muito rápido. Assim a
função exponencial possui múltiplas aplicações: Área financeira, em tabelas progressivas a juros
fixos; No crescimento populacional; Em biologia, no crescimento de alguns vegetais.
2º Momento
Gráfico da Função Exponencial
1º CASO: a > 1 (A base é um número maior que 1)
Exemplo: f(x) = 𝟐𝒙
x 𝟐𝒙 = Y
2 𝟐𝟐 4
1 𝟐𝟏 2
0 𝟐𝟎 1
-1 𝟐−𝟏 =
𝟏
𝟐¹
𝟏
𝟐
-2 𝟐−𝟐 =
𝟏
𝟐²
𝟏
𝟒
2º CASO: 0 < a < 1 (A base é um número real maior 0 e menor que 1)
Exemplo: f(x) = (𝟏
𝟐)𝒙
x (𝟏
𝟐)𝒙 = Y
2 (𝟏
𝟐)𝟐 𝟏
𝟒
1 (𝟏
𝟐)𝟏 𝟏
𝟐
0 (𝟏
𝟐)𝟎 1
-1 (𝟏
𝟐)−𝟏 = 𝟐¹ 𝟐
-2 (
𝟏
𝟐)−𝟐
−
= 𝟐² 𝟒
Função crescente para x1 e x2 reais:
𝒂𝒙𝟐 > 𝒂𝒙𝟏 𝟎
⇔ 𝒙𝟐 > 𝒙𝟏
Função exponencial decrescente, para
𝒂𝒙𝟐 > 𝒂𝒙𝟏 𝟎
⇔ 𝒙𝟐 < 𝒙𝟏
Exercícios (XAVIER; BARRETO, 2005, p. 222):
1. Esboçar o gráfico da função dada (com no mínimo 4 pontos) e determine se a função é crescente
ou decrescente:
a) f(x) = 𝟏
𝟑𝟐𝒙 ou y = 3-2x
X 𝟏
𝟑𝟐𝒙= Y
1 𝟏
𝟑𝟐.𝟐=
𝟏
𝟑𝟒
𝟏
𝟗
1/2 𝟏
𝟑𝟏
𝟏
𝟑
0 𝟏
𝟑𝟎 1
-1/2 𝟏
𝟑−𝟏= 𝟑¹ 𝟑
-1 𝟏
𝟑𝟐(−𝟏)= 𝟑𝟐 𝟗
Decrescente
b) f(x) = 𝟑𝒙
x Y
-1 𝟏
𝟑
0 1
1 3
2 9
Crescente
c) f(x) = 𝟓𝒙 (Crescente)
d) f(x) =(𝟏
𝟑)𝒙
x Y
2 𝟏
𝟗
1 𝟏
𝟑
0 1
-1 𝟑
-2 𝟗
Decrescente
e) f(x)= 2-2x
Decrescente
2) (PUC-SP) As funções g(x) = ax e h(x) = bx com a e b > 0 e a ≠ b, têm gráficos que se encontram
em quantos pontos? Qual(is)?
Resposta: No ponto (0, 1)
3)(Fuvest-SP) Sejam f(x) = (𝟐
𝟑)𝒙e g(x) = (
𝟏
𝟓)𝒙 usando o mesmo par de eixos, esboce os gráficos de
f(x) e g(x).
4)(FGV – SP) Curva de Aprendizagem é um conceito criado por psicólogos que constataram a
relação existente entre a eficiência de um indivíduo e a quantidade de treinamento ou experiência
possuída por esse indivíduo. Um exemplo de Curva de Aprendizagem é dado pela expressão
𝑸(𝒕) = 𝟕𝟎𝟎 − 𝟒𝟎𝟎. 𝒆−𝟎,𝟓𝒕, em que:
Q = Quantidade de peças produzidas mensalmente por um funcionário;
t = meses de experiência.
𝒆 = constante ≅ 𝟐, 𝟕
a) De acordo com essa expressão, quantas peças um funcionário com 2 meses de experiência
deverá cumprir mensalmente? t = 2 (TRABALHAR APENAS COM 1 CASA DECIMAL)
𝑸(𝟐) = 𝟕𝟎𝟎 − 𝟒𝟎𝟎. 𝒆−𝟎,𝟓∗𝟐 = 𝟕𝟎𝟎 − 𝟒𝟎𝟎. 𝒆−𝟏 = 𝟕𝟎𝟎 − 𝟒𝟎𝟎 ∗𝟏
𝟐,𝟕= 𝟓𝟓𝟏, 𝟗
Resposta: 552 peças
b) Quantas peças um funcionário sem qualquer experiência deverá produzir mensalmente? t = 0
𝑸(𝟎) = 𝟕𝟎𝟎 − 𝟒𝟎𝟎. 𝒆−𝟎,𝟓∗𝟎 = 𝟑𝟎𝟎
Resposta: 300 peças
5) (PUC-RS) Seja a função 𝒇(𝒙) = 𝟐𝒙 Então, 𝒇(𝒂 + 𝟏) − 𝒇(𝒂)
𝟐𝒂+𝟏 − 𝟐𝒂 = 𝟐𝒂. 𝟐𝟏 − 𝟐𝒂 = 𝟒𝒂 − 𝟐𝒂 = 𝟐𝒂
a) 2 d) f(1)
b) 1 e) 2f(a)
c) f(a)
A correção dos exercícios será realizada na própria aula!
AULA 5
1º Momento: Após registro da chamada e conclusão da correção dos exercícios da aula anterior,
continuação do conteúdo programático.
O Logaritmo e as grandes navegações (XAVIER; BARRETO, 2005, p.240)
Até o século XVII, não era fácil ser marinheiro, a descoberta de novas terras e rotas
causaram uma grande expansão comercial e a necessidade de aprimorar as técnicas de
navegação exigiram métodos mais práticos e rápidos que facilitassem os cálculos, tanto para
astronomia, utilizada como referencial, para localização no mar; quanto cálculos de acumulo de
riquezas e juros gerados pelas viagens marítimas.
Nessa época o escocês John Napier (1550-1617) também conhecido como Neper e o suíço
Jobst Burgi (1552-1632) desenvolveram, métodos para simplificar os cálculos necessários. Após
vinte anos de estudo em 1614, Napier apresentou o resultado de seus estudos para o mundo com
a Teoria dos Logaritmos que posteriormente recebeu as contribuições do inglês Henry Briggs
(1561-1639).
O princípio básico dos logaritmos é: Transformar uma multiplicação em adição ou
uma divisão em subtração. Primeiro representam-se os números positivos como potências de
um mesmo número. Por exemplo, podemos escrever os seguintes números na base 10:
a) 1,78090 = 100,25064
b) 1,82881 = 100,26217
c) 3,25694 = 100,51281
d) 5,80029 = 100,76345
Assim, no seguinte cálculo temos:
3,25694 ⋅ 1,78090=100,51281 ⋅10
0,25064 =100,51281
+0,25064=100,76345=5,80029
Em caso de divisão temos:
3,25694 ÷ 1,78090=100,51281
÷ 100,25064 =10
0,51281 −0,25064 =100,26217
=1,82881
Curiosidade: O Logarithmus foi criado por Neper usando as palavras gregas: logos, que
significa “razão” ou “cálculo”, e arithmós, que significa “número”.
2º Momento:
Logaritmos: Conceito, Definição e existência
Considerando uma potência qualquer de base positiva e diferente de 1 por exemplo: 𝟐𝟑 =
𝟖
Ao expoente dessa potência (3) damos o nome de logaritmo. Dizendo que “O logaritmo
de 8 na base 2 é igual a 3”. Em símbolos, escrevemos:
𝟐𝟑 ↔ 𝐥𝐨𝐠𝟐 𝟖 = 𝟑
Definimos: Sendo a e b números reais positivos, com a ≠ 1, e a existência de um único
número real c. Chama-se logaritmo do número b na base a o expoente c tal que ac = b. Em
símbolos:
𝐥𝐨𝐠𝒂 𝒃 = 𝒄 ↔ 𝒂𝒄 = 𝒃
Nomenclatura: Logaritmando é o número b; Base é o número a; Logaritmo é o número c.
c é o logaritmo de b na base a
Exemplos:
a) 𝐥𝐨𝐠𝟐 𝟖 = 𝟑 Logaritmando é 8, Base 2, Logaritmo é 3; pois se 𝐥𝐨𝐠𝟐 𝟖 = 𝒙 , então:
𝟐𝒙 = 𝟖 ⇒ 𝟐𝒙 = 𝟐𝟑 ⇒ 𝒙 = 𝟑
b) 𝐥𝐨𝐠𝟑 𝟐𝟒𝟑 = 𝟓 Logaritmando é 243, Base 3, Logaritmo é 5; pois se 𝐥𝐨𝐠𝟑 𝟐𝟒𝟑 =
𝒙 , então: 𝟑𝒙 = 𝟐𝟒𝟑 ⇒ 𝟑𝒙 = 𝟑𝟓 ⇒ 𝒙 = 𝟓
c) 𝐥𝐨𝐠𝟕𝟏
𝟒𝟗= −𝟐 Logaritmando é 49, Base 7, Logaritmo é -2; pois se 𝐥𝐨𝐠𝟕
𝟏
𝟒𝟗=
𝒙 , então: 𝟕𝒙 =𝟏
𝟒𝟗 ⇒ 𝟕𝒙 =
𝟏
𝟕𝟐 ⇒ 𝟕𝒙 = 𝟕−𝟐 ⇒ 𝒙 = −𝟐
d) Calcule o valor de x na igualdade 𝐥𝐨𝐠𝟓
𝟑
𝟎, 𝟔 = 𝒙
(𝟓
𝟑)𝒙 = 𝟎, 𝟔 ⇒ (
𝟓
𝟑)𝒙 =
𝟔
𝟏𝟎 ⇒ (
𝟓
𝟑)𝒙 =
𝟑
𝟓 ⇒ (
𝟓
𝟑)𝒙 = (
𝟓
𝟑)
−𝟏
⇒ 𝒙 = −𝟏
Logaritmando é 0,6 , Base 𝟓
𝟑, Logaritmo é -1;
e) Calcule o valor de x na igualdade 𝐥𝐨𝐠𝟏𝟕 𝟏 = 𝒙
𝟏𝟕𝒙 = 𝟎 ⇒ 𝟏𝟕𝒙 = 𝟏𝟕𝟎 ⇒ 𝒙 = 𝟎 Logaritmando é 1, Base 7, Logaritmo é 0;
f) Calcule o valor de x na igualdade 𝐥𝐨𝐠𝟐 𝟐 = 𝒙 ; 𝟐𝒙 = 𝟐 ⇒ 𝟐𝒙 = 𝟐𝟏 ⇒ 𝒙 = 𝟏 ;
Logaritmando é 2, Base 2, Logaritmo é 1
g) 𝐥𝐨𝐠𝟏𝟎 𝟏𝟎𝟎𝟎 = 𝒙 𝟏𝟎𝒙 = 𝟏𝟎𝟎𝟎 ⇒ 𝟏𝟎𝒙 = 𝟏𝟎𝟑 ⇒ 𝒙 = 𝟑
Logaritmando é 1000, Base 10, Logaritmo é 3; (LOGARITMO DECIMAL)
Sistema de Logaritmos Decimais
É um sistema de logaritmos no qual se adota a base 10. Para esse sistema na notação omitir
a base, exemplos: 𝐥𝐨𝐠𝟏𝟎 𝟏𝟎𝟎 ⇒ 𝐥𝐨𝐠 𝟏𝟎𝟎 = 𝟐 e 𝐥𝐨𝐠𝟏𝟎 𝟏𝟎𝟎𝟎 ⇒ 𝐥𝐨𝐠 𝟏𝟎𝟎𝟎 = 𝟑 .
3º Momento - Exercícios de fixação
1) Calcule o valor de x nas igualdades
a) 𝐥𝐨𝐠𝟓 𝟓√𝟓 = 𝒙
𝟓𝒙 = 𝟓 √𝟓 ⇒ 𝟓𝒙 = 𝟓. 𝟓𝟏𝟐 ⇒ 𝟓𝒙 = 𝟓𝟏+
𝟏𝟐 ⇒ 𝟓𝒙 = 𝟓
𝟑𝟐 ⇒ 𝒙 =
𝟑
𝟐
b) 𝐥𝐨𝐠𝟒√𝟐
𝟑
𝟐= 𝒙
𝟒𝒙 =√𝟐𝟑
𝟐⇒ 𝟐𝟐𝒙 =
𝟐𝟐𝟑
𝟐⇒ 𝟐𝟐𝒙 = 𝟐
𝟐𝟑
−𝟏 ⇒ 𝟐𝟐𝒙 = 𝟐−𝟏𝟑 ⇒ 𝟐𝒙 = −
𝟏
𝟑⇒ 𝒙 = −
𝟏
𝟔
c) 𝐥𝐨𝐠𝟎,𝟐 𝟎, 𝟎𝟒 = 𝒙
𝟎, 𝟐𝒙 = 𝟎, 𝟎𝟒 ⇒ 𝟎, 𝟐𝒙 = 𝟎, 𝟐𝟐 ⇒ 𝒙 = 𝟐
d) 𝐥𝐨𝐠𝟏
𝟗
𝟑√𝟑 = 𝒙
𝟏
𝟗
𝒙
= 𝟑 √𝟑 ⇒ 𝟏
𝟑𝟐
𝒙
= 𝟑. 𝟑𝟏𝟐 ⇒ 𝟑−𝟐𝒙 = 𝟑𝟏+
𝟏𝟐 ⇒ 𝟑−𝟐𝒙 = 𝟑
𝟑𝟐 ⇒ −𝟐𝒙 =
𝟑
𝟐 ⇒ 𝒙 = −
𝟑
𝟒
e) 𝐥𝐨𝐠 𝟏
𝟐𝟓
√𝟓𝟑
= 𝒙
𝟏
𝟐𝟓
𝒙
= √𝟓𝟑
⇒ 𝟏
𝟓𝟐
𝒙
= 𝟓𝟏𝟑 ⇒ 𝟓−𝟐𝒙 = 𝟓
𝟏𝟑 ⇒ −𝟐𝒙 =
𝟏
𝟑 ⇒ 𝒙 = −
𝟏
𝟔
f) 𝐥𝐨𝐠 𝟎, 𝟎𝟎𝟎𝟏 = 𝒙
𝟏𝟎𝒙 = 𝟎, 𝟎𝟎𝟎𝟏 ⇒ 𝟏𝟎𝒙 = 𝟏𝟎−𝟒 ⇒ 𝒙 = −𝟒
4º Momento
Propriedades dos Logaritmos
Para quaisquer números reais e positivos em a e b com a ≠ 1
P1. 𝐥𝐨𝐠𝒂 𝒂 = 𝟏 Ex: 𝐥𝐨𝐠𝟐 𝟐 = 𝒙 ↔ 𝟐𝒙 = 𝟐 ⇒ 𝟐𝒙 = 𝟐𝟏 ⇒ 𝒙 = 𝟏
P2. 𝐥𝐨𝐠𝒂 𝟏 = 𝟎 Ex: 𝐥𝐨𝐠𝟑 𝟏 = 𝒙 ↔ 𝟑𝒙 = 𝟏 ⇒ 𝟑𝒙 = 𝟑𝟎 ⇒ 𝒙 = 𝟎
P3. 𝐥𝐨𝐠𝒂 𝒃𝒚 = 𝒚. 𝐥𝐨𝐠𝒂 𝒃 Ex: 𝐥𝐨𝐠𝟐 𝟒𝟑 = 𝒙 ⇒ 𝟑. 𝐥𝐨𝐠𝟐 𝟒 ↔ 𝟑. (𝟐𝒙 = 𝟐𝟐 ) ⇒ 𝟑. (𝟐) =
𝟔
P4. 𝐥𝐨𝐠𝒂 𝒂𝒄 = 𝒄 (𝒄 ∈ 𝑹) Ex: 𝐥𝐨𝐠𝟑 𝟑𝟖 = 𝒙 ↔ 𝟑𝒙 = 𝟑𝟖 ⇒ 𝒙 = 𝟖
Propriedades Operatórias dos Logaritmos
P6. 𝐥𝐨𝐠𝒂(𝒃. 𝒄) = 𝐥𝐨𝐠𝒂 𝒃 + 𝐥𝐨𝐠𝒂 𝒄 Ex: 𝐥𝐨𝐠𝟒 𝟏𝟔. 𝟒 = 𝐥𝐨𝐠𝟒 𝟏𝟔 + 𝐥𝐨𝐠𝟒 𝟒
P7. 𝐥𝐨𝐠𝒂(𝒃
𝒄) = 𝐥𝐨𝐠𝒂 𝒃 − 𝐥𝐨𝐠𝒂 𝒄 Ex: 𝐥𝐨𝐠𝟓
𝟐𝟓
𝟓= 𝐥𝐨𝐠𝟓 𝟐𝟓 − 𝐥𝐨𝐠𝟓 𝟓
P8. 𝐥𝐨𝐠𝒂 𝒃𝒄 = 𝒄. 𝐥𝐨𝐠𝒂 𝒃 𝒔𝒆𝒋𝒂 𝒄 > 𝟎
Exemplo: Considerando 𝐥𝐨𝐠𝒂 𝟐 = 𝟎, 𝟔𝟗 𝒆 𝐥𝐨𝐠𝒂 𝟑 = 𝟏, 𝟏𝟎 calcule 𝐥𝐨𝐠𝒂 √𝟏𝟐𝟒
𝐥𝐨𝐠𝒂 𝟏𝟐𝟏𝟒 =
𝟏
𝟒𝐥𝐨𝐠𝒂 𝟏𝟐 =
𝟏
𝟒𝐥𝐨𝐠𝒂 𝟑. 𝟐. 𝟐
= 𝟏
𝟒𝐥𝐨𝐠𝒂 𝟑 +
𝟐
𝟒𝐥𝐨𝐠𝒂 𝟐 ⇒
𝟏
𝟒. 𝟏, 𝟏𝟎 +
𝟐
𝟒. 𝟎, 𝟔𝟗 = 𝟎, 𝟔𝟐
∴ 𝐥𝐨𝐠𝒂 √𝟏𝟐𝟒
= 𝟎, 𝟔𝟐
5º Momento - Exercícios de fixação.
1) Calcule os logaritmos:
a) 𝐥𝐨𝐠𝟑𝟐 𝟔𝟒 = 𝐥𝐨𝐠𝟑𝟐 𝟔𝟒 = 𝒙 ↔ 𝟐𝟓𝒙 = 𝟐𝟔 ⇒ 𝒙 =𝟔
𝟓
b) 𝐥𝐨𝐠𝟕
𝟑
𝟗
𝟒𝟗= 𝐥𝐨𝐠𝟕
𝟑
𝟗
𝟒𝟗= 𝒙 ↔ (
𝟕
𝟑)𝒙 = (
𝟑
𝟕)𝟐 ⇒ (
𝟕
𝟑)𝒙 = (
𝟕
𝟑)−𝟐 ⇒ 𝒙 = −𝟐
c) 𝐥𝐨𝐠 √𝟏𝟎𝟎𝟎𝟎𝟑
= 𝐥𝐨𝐠 √𝟏𝟎𝟎𝟎𝟎𝟑
= 𝒙 ↔ 𝟏𝟎𝒙 = √𝟏𝟎𝟒𝟑 ⇒ 𝟏𝟎𝒙 = 𝟏𝟎
𝟒
𝟑 ⇒ 𝒙 =𝟒
𝟑
d) 𝐥𝐨𝐠𝟐𝟓𝟏
𝟏𝟐𝟓= 𝐥𝐨𝐠𝟐𝟓
𝟏
𝟏𝟐𝟓= 𝒙 ↔ 𝟐𝟓𝒙 =
𝟏
𝟏𝟐𝟓⇒ 𝟓𝟐𝒙 =
𝟏
𝟓𝟑 ⇒ 𝟓𝟐𝒙 = 𝟓−𝟑 ⇒ 𝒙 = −𝟑
𝟐
e) 𝐥𝐨𝐠𝟑𝟏
𝟖𝟏= 𝐥𝐨𝐠𝟑
𝟏
𝟖𝟏= 𝒙 ↔ 𝟑𝒙 =
𝟏
𝟑𝟒 ⇒ 𝟑𝒙 = 𝟑−𝟒 ⇒ 𝒙 = −𝟒
f) 𝐥𝐨𝐠𝟖
𝟗
𝟎, 𝟖𝟖𝟖 … = 𝐥𝐨𝐠𝟖
𝟗
𝟎, 𝟖𝟖𝟖 … = 𝒙 ↔ (𝟖
𝟗)𝒙 =
𝟖
𝟗⇒ 𝒙
2) O valor de 𝐥𝐨𝐠𝟒(𝟐
𝐥𝐨𝐠𝟏𝟔 𝟒) é: a)4 b)
𝟏
𝟐 c)10 d)1 e)16
𝐥𝐨𝐠𝟏𝟔 𝟒 = 𝒙 ↔ 𝟐𝟒𝒙 = 𝟐𝟐 ⇒ 𝒙 =𝟏
𝟐
∴ 𝐥𝐨𝐠𝟒(𝟐
𝐥𝐨𝐠𝟏𝟔 𝟒) = 𝐥𝐨𝐠𝟒(
𝟐
𝟏𝟐
)
⇒ 𝐥𝐨𝐠𝟒 𝟐 − 𝐥𝐨𝐠𝟒
𝟏
𝟐
𝐥𝐨𝐠𝟒 𝟐 ⇒ 𝟐𝟐𝒙 = 𝟐𝟏 ⇒ 𝒙 =𝟏
𝟐
𝐥𝐨𝐠𝟒
𝟏
𝟐 ⇒ 𝟐𝟐𝒙 = 𝟐−𝟏 ⇒ 𝒙 = −
𝟏
𝟐
∴ 𝐥𝐨𝐠𝟒 𝟐 − 𝐥𝐨𝐠𝟒
𝟏
𝟐=
𝟏
𝟐− (−
𝟏
𝟐) = 𝟏
3) Aplique as propriedades operatórias nas seguintes expressões:
a) 𝐥𝐨𝐠(𝒂𝟑. 𝒃) = 𝟑𝐥𝐨𝐠 𝒂 + 𝐥𝐨𝐠 𝒃
b) 𝐥𝐨𝐠(𝝅. 𝒙𝟐) = 𝐥𝐨𝐠 𝝅 + 𝟐𝐥𝐨𝐠 𝒙
c) 𝐥𝐨𝐠(𝒂𝟐.√𝒃𝟐𝟑
√𝒄) = 𝟐𝐥𝐨𝐠 𝒂 + 𝐥𝐨𝐠 𝒃
𝟐
𝟑 − 𝐥𝐨𝐠 𝒄𝟏
𝟐 ⇒ 𝟐𝐥𝐨𝐠 𝒂 +𝟐
𝟑𝐥𝐨𝐠 𝒃 −
𝟏
𝟐𝐥𝐨𝐠 𝒄
d) 𝐥𝐨𝐠𝟐(𝒍𝟐.√𝟐
𝟒) = (𝟐𝐥𝐨𝐠 𝒍 +
𝟏
𝟐𝐥𝐨𝐠 𝟐) − 𝐥𝐨𝐠 𝟒
e) 𝐥𝐨𝐠𝟓(𝟑. 𝟒) = 𝐥𝐨𝐠𝟓 𝟑 + 𝐥𝐨𝐠𝟓 𝟒
f) 𝐥𝐨𝐠𝟓(𝟐
𝟑) = 𝐥𝐨𝐠𝟓 𝟐 − 𝐥𝐨𝐠𝟓 𝟑
4) Se 𝐥𝐨𝐠 𝟐 = 𝒂 e 𝐥𝐨𝐠 𝟑 = 𝒃 coloque em função de a e b os seguintes logaritmos decimais:
a) 𝐥𝐨𝐠 𝟏𝟐 = 𝐥𝐨𝐠 𝟐. 𝟐. 𝟑 = 𝐥𝐨𝐠 𝟐 + 𝐥𝐨𝐠 𝟐 + 𝐥𝐨𝐠 𝟑 = 𝒂 + 𝒂 + 𝒃 = 𝟐𝒂 + 𝒃
b) 𝐥𝐨𝐠 𝟐𝟎 = 𝐥𝐨𝐠 𝟏𝟎. 𝟐 = 𝐥𝐨𝐠 𝟏𝟎 + 𝐥𝐨𝐠 𝟏𝟐 = 𝟏 + 𝒂
5) (Objetivo-SP) Se 𝐥𝐨𝐠𝒙 𝒚 = 𝟐 então o valor de 𝐥𝐨𝐠𝒙 𝒙𝒚 é?
a) 0 b)1 c)2 d)3 e)4
𝐥𝐨𝐠𝒙 𝒙𝒚 = 𝐥𝐨𝐠𝒙 𝒙 + 𝐥𝐨𝐠𝒙 𝒚 = 𝟏 + 𝟐 = 𝟑
AULA 6
1ºMomento – Correção dos exercícios da aula anterior e continuação do conteúdo programático.
Mudança de base
Nos casos em que o logaritmo apresentar uma base que não convém, esta poderá ser
substituída por outra (XAVIER; BARRETO, 2005, p.256).
𝐥𝐨𝐠𝒂 𝒃 =𝐥𝐨𝐠𝒄 𝒃
𝐥𝐨𝐠𝒄 𝒂, 𝒔𝒆𝒏𝒅𝒐: 𝒃 > 𝟎 , 𝟎 < 𝒂 ≠ 𝟏, 𝟎 < 𝒄 ≠ 𝟏
Exemplo:
𝐥𝐨𝐠𝟐𝟕 𝟖𝟏 =𝐥𝐨𝐠𝟑 𝟖𝟏
𝐥𝐨𝐠𝟑 𝟐𝟕=
(𝟑𝒙 = 𝟖𝟏)
(𝟑𝒙 = 𝟐𝟕)=
(𝟑𝒙 = 𝟑𝟒)
(𝟑𝒙 = 𝟑𝟑)=
𝟒
𝟑
Exercícios:
1) Considerando o log 2 =0,3010 e log 3 = 0,4771 calcule 𝐥𝐨𝐠𝟔 𝟒 =
𝑴𝒖𝒅𝒂𝒏ç𝒂 𝒅𝒆 𝒃𝒂𝒔𝒆 𝐥𝐨𝐠𝟏𝟎 𝟒
𝐥𝐨𝐠𝟏𝟎 𝟔=
𝐥𝐨𝐠 𝟐. 𝟐
𝐥𝐨𝐠 𝟑. 𝟐=
𝐥𝐨𝐠 𝟐 + 𝐥𝐨𝐠 𝟐
𝐥𝐨𝐠 𝟑 + 𝐥𝐨𝐠 𝟐=
𝟎, 𝟑𝟎𝟏𝟎 + 𝟎, 𝟑𝟎𝟏𝟎
𝟎, 𝟒𝟕𝟕𝟏 + 𝟎, 𝟑𝟎𝟏𝟎=
𝟎, 𝟔𝟎𝟐
𝟎, 𝟕𝟕𝟖𝟏
= 𝟎, 𝟕𝟕𝟑𝟔𝟖
2) Calcule o 𝐥𝐨𝐠𝟐𝟕 𝒛 sabendo que 𝐥𝐨𝐠𝟑 𝒛 = 𝒘
𝐥𝐨𝐠𝟐𝟕 𝒛 =𝐥𝐨𝐠𝟑 𝒛
𝐥𝐨𝐠𝟑 𝟐𝟕=
𝒘
𝟑
3) (Vunesp) Se 𝐥𝐨𝐠𝟑 𝒂 = 𝒙, então 𝐥𝐨𝐠𝟗 𝒂² é igual a?
𝐥𝐨𝐠𝟗 𝒂² = 𝟐. 𝐥𝐨𝐠𝟗 𝒂 = 𝟐. (𝐥𝐨𝐠𝟑 𝒂
𝐥𝐨𝐠𝟑 𝟗) = 𝟐.
𝒙
𝟐= 𝒙
4) (Fuvest) Se 𝐥𝐨𝐠𝟑 𝒂 = 𝒙, então 𝐥𝐨𝐠𝟗 𝒂² é igual a?
𝐥𝐨𝐠𝟗 𝒂² = 𝟐. 𝐥𝐨𝐠𝟗 𝒂 = 𝟐. (𝐥𝐨𝐠𝟑 𝒂
𝐥𝐨𝐠𝟑 𝟗) = 𝟐.
𝒙
𝟐= 𝒙
Função logarítmica
Chama-se função logarítmica toda função f: 𝑹∗+ → 𝑹 tal que 𝒇(𝒙) = 𝐥𝐨𝐠𝒃 𝒙 em que b é
um número real, positivo e diferente de 1.
Exemplos:
a) 𝒇(𝒙) = 𝐥𝐨𝐠𝟐 𝒙
x 𝐘 = 𝐥𝐨𝐠𝟐 𝒙
𝟏
𝟖 -3
𝟏
𝟒 -2
𝟏
𝟐 -1
1 0
2 1
4 2
8 3
D(f) = 𝑹∗+
Im(f) = R
𝒇(𝒙) = 𝐥𝐨𝐠𝒃 𝒙 é uma função crescente em todo seu domínio
b) 𝒈(𝒙) = 𝐥𝐨𝐠𝟏
𝟐
𝒙
x 𝐘 = 𝐥𝐨𝐠𝟏𝟐
𝒙
𝟏
𝟖 3
𝟏
𝟒 2
𝟏
𝟐 1
1 0
2 -1
4 -2
8 -3
D(g) = 𝑹∗+
Im(g) = R
𝒈(𝒙) = 𝐥𝐨𝐠𝟏
𝟐
𝒙 é uma função decrescente em todo seu domínio
Propriedades da Função Logarítmica
P1. logb x = logb y ↔ x = y, para quaisquer números reais positivos x, y e b, com b ≠ 1 .
P2. A função logarítmica f(x) = logb x é crescente em todo o seu domínio se e somente se, b >
1.
P3. A função logarítmica f(x) = logb x é decrescente em todo o seu domínio se, e somente se,
o < b < 1.
Exercícios:
1) Construa o gráfico de cada função.
a) 𝒇(𝒙) = 𝐥𝐨𝐠𝟑 𝒙
b) 𝒇(𝒙) = 𝐥𝐨𝐠𝟏
𝟑
𝒙
2) Classifique em crescente e decrescente cada uma das funções:
a) 𝒇(𝒙) = 𝐥𝐨𝐠𝟗 𝒙 crescente
b) 𝒇(𝒙) = 𝟎, 𝟒 𝒙 decrescente
c) 𝒇(𝒙) = 𝐥𝐨𝐠𝝅
𝟑𝒙 crescente
d) 𝒕(𝒙) = 𝐥𝐨𝐠𝝅
𝟒𝒙 decrescente
9. REFERÊNCIAS
BONJORNO, José Roberto et al. Matemática: fazendo a diferença. 1. ed. São Paulo: FTD,
2006.
BRITO, Flamarion de Almeida. História das Funções. UNOPAR, 2010
BRASIL. Parâmetros Curriculares Nacionais. 1997. Disponível em:
<http://portal.mec.gov.br/seb/arquivos/pdf/livro03.pdf>.
BRASIL. Ministério da Educação. Base Nacional Comum Curricular. Brasília: MEC, 2017.
Disponível em: <http://basenacionalcomum.mec.
gov.br/documentos/bncc-2versao.revista.pdf>.
DANTE, Luiz Roberto. Matemática, volume único. 1. ed. São Paulo: Ática, 2005.
PINHEIRO, Patricia Aparecida. Introdução ao estudo da álgebra no ensino fundamental.
Universidade Federal de São Carlos, 2013.
OLIVEIRA, Michelle Noberta Araújo de. ANÁLISE DA CONTEXTUALIZAÇÃO DA
FUNÇÃO EXPONENCIAL E DA FUNÇÃO LOGARÍTMICA NOS LIVROS DIDÁTICOS DO
ENSINO MÉDIO. 2014. 126 f. Dissertação (Mestrado) - Curso de Programa de Pós-graduação
em Matemática, Mestrado Profissional - Profmat/cct/ufcg, Universidade Federal de Campina
Grande, Campina Grande - Pb, 2014. Disponível em:
<http://www.dme.ufcg.edu.br/PROFmat/TCC/MichelleNoberta.pdf>. Acesso em: 02 set. 2019.
PAIVA, Manoel. Matemática. São Paulo: Moderna, 2013. 3v