pirÂmides · pentagonal, etc.). a seguir, temos algumas pirâmides e suas classificações: fonte:...
TRANSCRIPT
Hewlett-Packard
Ano: 2016
PIRÂMIDES Aulas 01 a 03
Elson Rodrigues, Gabriel Carvalho e Paulo Luiz Ramos
Sumário PIRÂMIDES .............................................................................................................................................................. 1
CLASSIFICAÇÃO DE UMA PIRÂMIDE ........................................................................................................................ 1
ÁREAS EM UMA PIRÂMIDE ..................................................................................................................................... 1
VOLUME DE UMA PIRÂMIDE .................................................................................................................................. 1
EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS .................................................................................................................................. 2
UMA PIRÂMIDE ESPECIAL – O TETRAEDRO REGULAR – ........................................................................................ 2
APÓTEMA DE TETRAEDRO REGULAR ...................................................................................................................... 3
APÓTEMA DE POLÍGONO REGULAR ........................................................................................................................ 3
APÓTEMA DE TRIÂNGULO EQUILÁTERO............................................................................................................. 3
ALTURA DE TETRAEDRO REGULAR .......................................................................................................................... 3
ÁREA TOTAL E VOLUME DE TETRAEDRO REGULAR ................................................................................................ 3
EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS .................................................................................................................................. 3
SEÇÃO DE UMA PIRÂMIDE ...................................................................................................................................... 4
A SEMELHANÇA ENTRE DOIS SÓLIDOS ................................................................................................................... 4
O TRONCO DE UMA PIRÂMIDE ............................................................................................................................... 5
ÁREA DA BASE MENOR DE UM TRONCO DE PIRÂMIDE ...................................................................................... 5
ÁREA DA BASE MAIOR DE UM TRONCO DE PIRÂMIDE ....................................................................................... 5
ÁREA LATERAL DE UM TRONCO DE PIRÂMIDE ................................................................................................... 5
ÁREA TOTAL DE UM TRONCO DE PIRÂMIDE ....................................................................................................... 5
VOLUME DE UM TRONCO DE PIRÂMIDE ............................................................................................................ 5
O SEGREDO DE UM TRONCO DE PIRÂMIDE REGULAR ....................................................................................... 5
EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS .................................................................................................................................. 5
QUESTÕES EXTRAS .................................................................................................................................................. 6
GABARITO ............................................................................................................................................................... 6
Prof. Elson Rodrigues, Gabriel Carvalho e Paulo Luiz Ramos Página 1
AULA 01 PIRÂMIDES Observe a representação de uma pirâmide:
Observação 1.1: Uma pirâmide é tal que o polígono de
sua base deve estar contido em um plano 𝛼 que, por
sua vez, não pode conter o vértice dela.
Os elementos de uma pirâmide são: base, vértice, altura, faces laterais, arestas da base, arestas laterais e apótema da pirâmide*. No exemplo, acima:
Base: hexágono regular.
Vértice (da pirâmide): o vértice do poliedro (pirâmide) que não está contido em 𝛼.
Altura: distância do vértice ao plano que contém a base.
Faces laterais: triângulos.
Arestas da base: lados do hexágono
Arestas laterais: lados dos triângulos que não são comuns à base da pirâmide.
Apótema da pirâmide*: altura de uma das faces laterais
Observação 1.2: Nas pirâmides, as faces laterais
sempre são triângulos.
Observação 1.3: Quando uma pirâmide é descrita
como uma pirâmide regular, há a implicação de dois
fatos:
Suas arestas laterais são congruentes; e
a sua base é um polígono regular.
Observação 1.4: Apótema da pirâmide* é um
elemento exclusivo das pirâmides regulares.
Observação 1.5: A altura de uma pirâmide NÃO
coincide com a medida de uma de suas apótemas.
CLASSIFICAÇÃO DE UMA PIRÂMIDE Podemos classificar as pirâmides quanto ao número de
lados do polígono da base (triangular, quadrangular,
pentagonal, etc.).
A seguir, temos algumas pirâmides e suas
classificações:
Fonte: http://matematicacinco.blogspot.com.br/
ÁREAS EM UMA PIRÂMIDE Área da base (𝑨𝑩): área do polígono da base;
Área lateral (𝑨𝑳): soma das áreas das faces laterais;
Área total (𝑨𝑻): soma das áreas de todas as faces da pirâmide.
VOLUME DE UMA PIRÂMIDE Pode-se mostrar que o volume 𝑉 de uma pirâmide é
igual a 1
3 do volume de um prisma de mesma base e
mesma altura. Logo, o volume 𝑉 de uma pirâmide é
dada pela expressão a seguir, em que 𝐴𝐵 é a área da
base e 𝐻, a altura da pirâmide.
𝐴𝑇 = 𝐴𝐵 + 𝐴𝐿
𝑉 =1
3𝐴𝐵 ∙ 𝐻
Prof. Elson Rodrigues, Gabriel Carvalho e Paulo Luiz Ramos Página 2
Inspire-se para entender o exposto anteriormente.
A seguir, adotaremos a seguinte notação:
𝑯: 𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎 𝑑𝑎 𝑝𝑖𝑟â𝑚𝑖𝑑𝑒
𝒈: 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑑𝑎 𝑑𝑜 𝑎𝑝ó𝑡𝑒𝑚𝑎 𝑑𝑎 𝑝𝑖𝑟â𝑚𝑖𝑑𝑒
𝒂: 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑑𝑎 𝑑𝑎 𝑎𝑟𝑒𝑠𝑡𝑎 𝑙𝑎𝑡𝑒𝑟𝑎𝑙
𝒍: 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑑𝑎 𝑑𝑎 𝑎𝑟𝑒𝑠𝑡𝑎 𝑑𝑎 𝑏𝑎𝑠𝑒
𝒎: 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑑𝑎 𝑑𝑜 𝑎𝑝ó𝑡𝑒𝑚𝑎 𝑑𝑎 𝑏𝑎𝑠𝑒 𝑑𝑎 𝑝𝑖𝑟â𝑚𝑖𝑑𝑒
𝑹: 𝑟𝑎𝑖𝑜 𝑑𝑎 𝑐𝑖𝑟𝑐𝑢𝑛𝑓𝑒𝑟ê𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑐𝑖𝑟𝑐𝑢𝑛𝑠𝑐𝑟𝑖𝑡𝑎
à 𝑏𝑎𝑠𝑒 𝑑𝑎 𝑝𝑖𝑟â𝑚𝑖𝑑𝑒
EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS 1.1) PSA 10
AULA 02 UMA PIRÂMIDE ESPECIAL
– O TETRAEDRO REGULAR – Um tetraedro regular é uma pirâmide triangular
regular cujas arestas têm, todas, a mesma medida.
No tetraedro regular VABC acima, temos:
𝒂: 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑑𝑎 𝑑𝑎𝑠 𝑎𝑟𝑒𝑠𝑡𝑎𝑠 𝑑𝑜 𝑡𝑒𝑡𝑟𝑎𝑒𝑑𝑟𝑜 𝑟𝑒𝑔𝑢𝑙𝑎𝑟
OS SEGREDOS DAS PIRÂMIDES
Para não ter dificuldade nas questões de pirâmides é
preciso conhecer três triângulos retângulos que são
frequentemente utilizados para se determinar uma
das medidas necessárias para o cálculo de áreas ou
volume.
𝑔2 = 𝐻2 + 𝑚²
TAREFA 1: P.S.A.: 4, 5, 6, 9, 12 e 16 .
𝑎2 = 𝐻2 + 𝑅²
𝑎2 = 𝑔2 + (𝑙
2)
2
Prof. Elson Rodrigues, Gabriel Carvalho e Paulo Luiz Ramos Página 3
Observação 2.1: As 4 faces de um tetraedro regular são
triângulos equiláteros congruentes. Desse modo,
qualquer face de um tetraedro regular pode ser tratada
como base da pirâmide.
APÓTEMA DE TETRAEDRO REGULAR A apótema de um tetraedro regular é
igual à altura de uma de suas faces, ou seja,
é igual à altura de um triângulo equilátero.
𝒈 =𝒂√𝟑
𝟐
Em que
𝒈: 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑑𝑎 𝑑𝑎 𝑎𝑝ó𝑡𝑒𝑚𝑎 𝑑𝑜 𝑡𝑒𝑡𝑟𝑎𝑒𝑑𝑟𝑜 𝑟𝑒𝑔𝑢𝑙𝑎𝑟
𝒂: 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑑𝑎 𝑑𝑎 𝑎𝑟𝑒𝑠𝑡𝑎 𝑑𝑜 𝑡𝑒𝑡𝑟𝑎𝑒𝑑𝑟𝑜 𝑟𝑒𝑔𝑢𝑙𝑎𝑟
Observação 2.2: A fórmula acima pode ser obtida a
partir de um teorema de Pitágoras aplicado em um dos
triângulos retângulos que surgem ao traçarmos a
altura de um triângulo equilátero. Ou por meio das
razões trigonométricas que podem ser aplicadas nos
mesmos triângulos retângulos.
APÓTEMA DE POLÍGONO REGULAR Apótema de um polígono regular é a distância do seu
centro para o ponto médio de um de seus lados.
APÓTEMA DE TRIÂNGULO EQUILÁTERO
A apótema de um triângulo equilátero é igual a 1
3 da
medida da sua altura.
𝒎 =𝟏
𝟑∙ 𝒉 ⟺ 𝒎 =
𝒍√𝟑
𝟔
Em que
𝒎: 𝑎𝑝ó𝑡𝑒𝑚𝑎 𝑑𝑜 𝑡𝑟𝑖â𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 𝑒𝑞𝑢𝑖𝑙á𝑡𝑒𝑟𝑜
𝒉: 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑑𝑎 𝑑𝑎 𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎 𝑑𝑜 𝑡𝑟𝑖â𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 𝑒𝑞𝑢𝑖𝑙á𝑡𝑒𝑟𝑜
𝒍: 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑑𝑎 𝑑𝑒 𝑢𝑚 𝑙𝑎𝑑𝑜 𝑑𝑜 𝑡𝑟𝑖â𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 𝑒𝑞𝑢𝑖𝑙á𝑡𝑒𝑟𝑜
ALTURA DE TETRAEDRO REGULAR A altura de um tetraedro regular é a distância
de um de seus vértices para o plano que contém
a face oposta a esse vértice.
A figura acima deixa claro que podemos aplicar o
teorema de Pitágoras no triângulo retângulo destacado
em azul. Se o fizermos, chegaremos à seguinte
expressão para a altura 𝑯 de um tetraedro regular de
aresta 𝒂.
𝑯 =𝒂√𝟔
𝟑
ÁREA TOTAL E VOLUME DE
TETRAEDRO REGULAR
𝑨𝑻 = 𝟒 ∙𝒂𝟐√𝟑
𝟒 ⟺ 𝑨𝑻 = 𝒂𝟐√𝟑
𝑽 =𝟏
𝟑∙ 𝑨𝑩 ∙ 𝑯 ⟺ 𝑽 =
𝒂³√𝟐
𝟏𝟐
EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS 2.1) PSA 14
TAREFA 2: P.S.A.: 8 e 13 .
Prof. Elson Rodrigues, Gabriel Carvalho e Paulo Luiz Ramos Página 4
AULA 03 SEÇÃO DE UMA PIRÂMIDE
Considere uma pirâmide com base contida em um
plano 𝛼. A uma distância ℎ do vértice 𝑉 dessa
pirâmide passa um plano 𝛽//𝛼, que o secciona,
dividindo-o em 2 sólidos.
Na figura acima, temos:
PIRÂMIDE GRANDE
𝑯: 𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎 𝑑𝑎 𝑝𝑖𝑟â𝑚𝑖𝑑𝑒 𝑔𝑟𝑎𝑛𝑑𝑒
𝑮: 𝑎𝑝ó𝑡𝑒𝑚𝑎 𝑑𝑎 𝑝𝑖𝑟â𝑚𝑖𝑑𝑒 𝑔𝑟𝑎𝑛𝑑𝑒
𝑳: 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑑𝑎 𝑑𝑎 𝑎𝑟𝑒𝑠𝑡𝑎 𝑑𝑎 𝑏𝑎𝑠𝑒 𝑑𝑎 𝑝𝑖𝑟â𝑚𝑖𝑑𝑒 𝑔𝑟𝑎𝑛𝑑𝑒
PIRÂMIDE PEQUENA
𝒉: 𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎 𝑑𝑎 𝑝𝑖𝑟â𝑚𝑖𝑑𝑒 𝑝𝑒𝑞𝑢𝑒𝑛𝑎
𝒈: 𝑎𝑝ó𝑡𝑒𝑚𝑎 𝑑𝑎 𝑝𝑖𝑟â𝑚𝑖𝑑𝑒 𝑝𝑒𝑞𝑢𝑒𝑛𝑎
𝒍: 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑑𝑎 𝑑𝑎 𝑎𝑟𝑒𝑠𝑡𝑎 𝑑𝑎 𝑏𝑎𝑠𝑒 𝑑𝑎 𝑝𝑖𝑟â𝑚𝑖𝑑𝑒 𝑝𝑒𝑞𝑢𝑒𝑛𝑎
TRONCO DE PIRÂMIDE
Sólido que é parte da pirâmide e está
compreendido entre os planos 𝛼 e 𝛽.
𝒉𝑻: 𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎 𝑑𝑜 𝑡𝑟𝑜𝑛𝑐𝑜 𝑑𝑒 𝑝𝑖𝑟â𝑚𝑖𝑑𝑒
𝒈𝑻: 𝑎𝑝ó𝑡𝑒𝑚𝑎 𝑑𝑜 𝑡𝑟𝑜𝑛𝑐𝑜 𝑑𝑒 𝑝𝑖𝑟â𝑚𝑖𝑑𝑒
𝒍: 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑑𝑎 𝑑𝑎 𝑎𝑟𝑒𝑠𝑡𝑎 𝑑𝑎 𝑏𝑎𝑠𝑒 𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟 𝑑𝑜 𝑡𝑟𝑜𝑛𝑐𝑜
𝑳: 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑑𝑎 𝑑𝑎 𝑎𝑟𝑒𝑠𝑡𝑎 𝑑𝑎 𝑏𝑎𝑠𝑒 𝑚𝑎𝑖𝑜𝑟 𝑑𝑜 𝑡𝑟𝑜𝑛𝑐𝑜
Observação 3.1: Observe que as pirâmides pequena e
grande são semelhantes.
A SEMELHANÇA ENTRE DOIS SÓLIDOS Observe que
Se a razão de semelhança entre os elementos lineares
das pirâmides pequena e grande for tal que
𝒍
𝑳=
𝒈
𝑮=
𝒉
𝑯=
𝟐𝒑
𝟐𝑷= 𝒌
Em que
𝟐𝒑: 𝑝𝑒𝑟í𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜 𝑑𝑎 𝑏𝑎𝑠𝑒 𝑑𝑎 𝑝𝑖𝑟â𝑚𝑖𝑑𝑒 𝑝𝑒𝑞𝑢𝑒𝑛𝑎
𝟐𝑷: 𝑝𝑒𝑟í𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜 𝑑𝑎 𝑏𝑎𝑠𝑒 𝑑𝑎 𝑝𝑖𝑟â𝑚𝑖𝑑𝑒 𝑔𝑟𝑎𝑛𝑑𝑒
Então, a razão entre as áreas das superfícies das
pirâmides pequena e grande será tal que
𝑨𝒃
𝑨𝑩
=𝑨𝒍
𝑨𝑳
=𝑨𝒕
𝑨𝑻
= 𝒌𝟐
Em que
𝐴𝑏: á𝑟𝑒𝑎 𝑑𝑎 𝑏𝑎𝑠𝑒 𝑑𝑎 𝑝𝑖𝑟â𝑚𝑖𝑑𝑒 𝑝𝑒𝑞𝑢𝑒𝑛𝑎
𝐴𝐵: á𝑟𝑒𝑎 𝑑𝑎 𝑏𝑎𝑠𝑒 𝑑𝑎 𝑝𝑖𝑟â𝑚𝑖𝑑𝑒 𝑔𝑟𝑎𝑛𝑑𝑒
𝐴𝑙: á𝑟𝑒𝑎 𝑙𝑎𝑡𝑒𝑟𝑎𝑙 𝑑𝑎 𝑝𝑖𝑟â𝑚𝑖𝑑𝑒 𝑝𝑒𝑞𝑢𝑒𝑛𝑎
𝐴𝐿: á𝑟𝑒𝑎 𝑙𝑎𝑡𝑒𝑟𝑎𝑙 𝑑𝑎 𝑝𝑖𝑟â𝑚𝑖𝑑𝑒 𝑔𝑟𝑎𝑛𝑑𝑒
𝐴𝑡: á𝑟𝑒𝑎 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑑𝑎 𝑝𝑖𝑟â𝑚𝑖𝑑𝑒 𝑝𝑒𝑞𝑢𝑒𝑛𝑎
𝐴𝑇: á𝑟𝑒𝑎 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑑𝑎 𝑝𝑖𝑟â𝑚𝑖𝑑𝑒 𝑔𝑟𝑎𝑛𝑑𝑒
E a razão entre os volumes das
pirâmides pequena e grande será
𝒗
𝑽= 𝑘3
Em que
𝒗: 𝑣𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒 𝑑𝑎 𝑝𝑖𝑟â𝑚𝑖𝑑𝑒 𝑝𝑒𝑞𝑢𝑒𝑛𝑎
𝑽: 𝑣𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒 𝑑𝑎 𝑝𝑖𝑟â𝑚𝑖𝑑𝑒 𝑔𝑟𝑎𝑛𝑑𝑒
Prof. Elson Rodrigues, Gabriel Carvalho e Paulo Luiz Ramos Página 5
O TRONCO DE UMA PIRÂMIDE Considere a parte da figura entre os planos 𝛼 e 𝛽.
ÁREA DA BASE MENOR DE UM TRONCO
DE PIRÂMIDE É igual à área da base da pirâmide pequena.
𝐴𝑏 = á𝑟𝑒𝑎 𝑑𝑜 𝑝𝑜𝑙í𝑔𝑜𝑛𝑜
ÁREA DA BASE MAIOR DE UM TRONCO DE
PIRÂMIDE É igual à área da base da pirâmide grande.
𝐴𝐵 = á𝑟𝑒𝑎 𝑑𝑜 𝑝𝑜𝑙í𝑔𝑜𝑛𝑜
ÁREA LATERAL DE UM TRONCO DE
PIRÂMIDE Pode ser obtida fazendo-se a diferença entre as áreas
laterais das pirâmides grande e pequena, nessa ordem.
Ou da seguinte forma:
𝐴𝐿𝑇 = 𝑠𝑜𝑚𝑎 𝑑𝑎𝑠 á𝑟𝑒𝑎𝑠 𝑑𝑜𝑠 𝑡𝑟𝑎𝑝é𝑧𝑖𝑜𝑠
ÁREA TOTAL DE UM TRONCO DE
PIRÂMIDE É a soma das áreas de suas duas bases e da área de sua
superfície lateral.
𝐴𝑇𝑇 = 𝐴𝐵 + 𝐴𝑏 + 𝐴𝐿
VOLUME DE UM TRONCO DE PIRÂMIDE Pode ser obtido pela diferença entre os volumes das
pirâmides grande e pequena, nessa ordem.
Ou, por meio da fórmula:
𝑉𝑇 =ℎ𝑇
3(𝐴𝐵 + 𝐴𝑏 + √𝐴𝐵 ∙ 𝐴𝑏)
O SEGREDO DE UM TRONCO DE
PIRÂMIDE REGULAR Em qualquer tronco de pirâmide regular é possível
destacar um trapézio retângulo, como ilustrado na
figura a seguir.
Em que
𝒎: 𝑎𝑝ó𝑡𝑒𝑚𝑎 𝑑𝑎 𝑏𝑎𝑠𝑒 𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟 𝑑𝑜 𝑡𝑟𝑜𝑛𝑐𝑜
𝑴: 𝑎𝑝ó𝑡𝑒𝑚𝑎 𝑑𝑎 𝑏𝑎𝑠𝑒 𝑚𝑎𝑖𝑜𝑟 𝑑𝑜 𝑡𝑟𝑜𝑛𝑐𝑜
Uma ferramenta muito explorada em exercícios é o
trabalho com o triângulo retângulo destacado em
vermelho, pois por meio dele conseguimos encontrar
uma das medidas envolvidas quando conhecemos as
demais. Assim, temos:
(𝑔𝑇)2 = (ℎ𝑇)2 + (𝑀 − 𝑚)2
EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS 2.1) Um tronco de uma pirâmide quadrangular regular
é tal que os perímetros das suas bases menor e maior
são, respectivamente, iguais a 8 cm e 16 cm. Dado que
um apótema desse tronco tem medida igual a 5 cm,
determine a área total e o volume desse tronco de
pirâmide.
TAREFA 3: PSA: 19, 20, 22, 23 e 24
Prof. Elson Rodrigues, Gabriel Carvalho e Paulo Luiz Ramos Página 6
QUESTÕES EXTRAS
1) A figura a seguir, formada pela composição de
uma pirâmide quadrangular regular e um
paralelepípedo reto retângulo, representa um
peso para papel feito de granito polido, em que as
medidas representadas na figura são dadas em
centímetros.
As alturas da peça e do paralelepípedo são iguais a
4 cm e 1 cm, respectivamente, e as bases do
paralelepípedo e da pirâmide são quadrados em que
cada lado tem medida igual a 4 cm.
(1) O volume da pirâmide que compõe esse peso para
papel é superior a 15 cm³.
(2) A área da superfície desse bloco é igual a
8(√13 + 8) cm².
(3) Considere que esse peso para papel foi obtido a
partir de cortes em um cubo maciço de aresta 4 cm.
Assim, o volume da parte do cubo que não foi utilizado
para a confecção do peso de papel é inferior a 60% do
volume do cubo.
(4) Se a densidade do granito utilizado é de
2.400 kg/m³, então a massa desse objeto é superior a
77g.
GABARITO EX. FUNDAMENTAIS
2.1) 𝐴𝑇 = 80 cm² e 𝑉 =56√6
3 cm³
QUESTÕES EXTRAS
1) C E C E