MATEMÁTICA – GEOMETRIA I

Natália Rodrigues – Pirâmides e Cones

PIRÂMIDES

PIRÂMIDES

Uma pirâmide é um sólido geométrico, cuja base é um polígono e

cujas faces laterais são triângulos que possuem um vértice comum.

A altura da pirâmide é um segmento perpendicular à base e que

passa por V (vértice).

PIRÂMIDES

Condições para que uma pirâmide seja REGULAR:

a) A base da pirâmide é um polígono regular;

b) A projeção ortogonal do vértice P coincide com o centro do polígono (reta).

Pirâmide Pentagonal

Regular

Base (Pentágono Regular)

Toda pirâmide que não-reta é irregular e a chamamos de OBLÍQUA.

Pirâmide Pentagonal

Irregular Oblíqua

Caso especial de pirâmide: TETRAEDRO REGULAR

A base é um triângulo equilátero, assim como as suas faces laterais

Note que nesse caso qualquer uma das faces pode ser tomada como

base.

PIRÂMIDES

Pirâmide triangular regular (tetraedro)

Planificação tetraedro

APÓTEMA

PIRÂMIDES

Em um polígono, o segmento de reta que partindo do centro geométrico

da figura é perpendicular a um dos seus lados é chamado de apótema. O

conceito se aplica apenas a figuras regulares. Em uma pirâmide regular, o

apótema da pirâmide diz respeito à altura do triângulo da lateral.

apb

Apótema da base (apb)_

Apótema da pirâmide (ap)

VOLUME DE UMA PIRÂMIDE

PIRÂMIDES

Vprisma

3 = Vpirâmide =

Ab.h3

Um prisma qualquer pode sempre ser divido em três pirâmides de

mesmo volume.

A fórmula pode ser aplicada para qualquer tipo de pirâmide!

TRONCO DE PIRÂMIDE

PIRÂMIDES

Quando cortamos uma pirâmide com um plano paralelo à base obtemos

duas estruturas: uma pirâmide em miniatura, semelhante à original e uma

outra parte, dita tronco de pirâmide.

VOLUME TRONCO DE PIRÂMIDE

PIRÂMIDES

VT = Volume do tronco

h = Altura do tronco

AB = Área da base maior

Ab = Área da base menor

Um tronco de pirâmide tem como bases duas regiões quadradas de lados

5 cm e 12 cm. A altura do tronco é 8 cm. Vamos calcular o volume desse

tronco.

𝑉𝑇 = 13 .8.[52 + 52.122 + 122] → 𝑉𝑇 = 610,6 𝑐𝑚3

VOLUME TRONCO DE PIRÂMIDE

PIRÂMIDES

Resolvendo de outra forma:

Temos que h = d + 8 e que a razão de semelhança

entre as duas pirâmides semelhantes é:

Logo, o volume da pirâmide original é: E o volume da miniatura é de:

O volume do tronco é a diferença desses dois volumes:

𝑉𝑇 = 1832

3→ 𝑉𝑇 = 610,6 𝑐𝑚3

CONES

Considerando um plano α, um circulo de centro O e raio R contido em α e

um ponto V fora dele:

CONES

Chama-se cone circular o sólido determinado pela reunião de todos os

segmentos com uma extremidade em V e outra no circulo (geratrizes).

Eixo

Classificação

CONES

Cone reto: Quando o eixo VO é perpendicular à base.

Todo cone reto é um cone de revolução (formado a

partir da rotação de um triângulo retângulo em torno de

um dos seus catetos). Nessa caso, vale que g2 = R2 + h2.

Cone Equilátero

Quando a geratriz de um cone possui a mesma medida

que o diâmetro do círculo da base, dizemos que o cone é

equilátero. Isso significa que a área de secção meridiana

do cone será um triângulo equilátero.

Cone Oblíquo: Quando o eixo VO não é perpendicular à base.

ÁREAS DO CONE

CONES

Área da base

g g

2πR (R é o raio da base)

Ab = πr2

Área lateral

L = r.Ɵ (comprimento de um arco)

2πR = g.Ɵ Ɵ = 2πrg

2π πg2

2πrg

Al

Al = πrg 2πAl = 2πrg . πg2

VOLUME DO CONE

CONES

Volume do cone = Volume das pirâmides

Vcone = Ab.h

3=

πr2h3

TRONCO DE CONE

Se um cone sofrer a intersecção de um plano paralelo à sua base

circular, a uma determinada altura, teremos a constituição de uma nova

figura geométrica espacial denominada Tronco de Cone.

Área Superficial

As = πg(R+r)

Volume

V = πh3

(r2 + rR + R2)

TRONCO DE CONE

CONES

Se um cone sofrer a intersecção de um plano paralelo à sua base

circular, a uma determinada altura, teremos a constituição de uma nova

figura geométrica espacial denominada Tronco de Cone.

Área Superficial

As = πg(R+r)

Volume

V = πh3

(r2 + rR + R2)

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