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1 CONHECIMENTOS GEOMÉTRICOS - ENEM

D

SOLUÇÃO PC1.

[A]

Admitindo que S seja á área do triângulo ABX e d a distância entre P e B, podemos determinar S de dois

modos diferentes.

10 d 5 6S ou S

2 2

Portanto,

10 d 5 6d 3 m

2 2

SOLUÇÃO PC2.

[B]

3 3 3M M

mM

V VH 21 27 21 21 3h 14

8V h h 8 h h 2V

27

Portanto, a distância solicitada é:

d H h d 21 14 d 7 (Número primo)

SOLUÇÃO PC3.

[C]

Volume de uma barra com um metro de comprimento em 3m . 2

3 9V

1000 1000000

ππ

Portanto a densidade, em 3kg / m , será dada por:

30,222 222000kg / m .

9 9

1000000

π π

SOLUÇÃO PRATIQUE EM CASA


SOLUÇÃO PC4.

[C] A área lateral total envernizada em cada banco é dada por

2

2

4 (4 3 40 2 3 ) 2 30 (5 30) 1992 6594

8.586cm .

π

Desse modo, para envernizar toda a produção mensal, serão necessários 40 8586

4,3 L80000

e, portanto, o

marceneiro deverá comprar 5 latas de verniz.

SOLUÇÃO PC5.

[A] Sabemos que todos os sólidos possuem a mesma altura. Portanto, podemos concluir que:

Volume do cubo 3x

Volume da pirâmide x (um terço do volume do cubo)

Volume do cilindro 3y

Volume do cone y (um terço do volume do cilindro)

Somando o volume de 2 cubos e de 2 cilindros, obtêm-se 3180 cm .

2 3x 2 3y 180 x y 30

Portanto, a soma dos volumes, em 3cm , de um cubo, um cilindro, dois cones e duas pirâmides é dada por:

3x 3y 2x 2y 5 (x y) 5 30 150

SOLUÇÃO PC6.

[C] Vamos considerar que o copo tenha a forma de um tronco de cone circular de bases paralelas, com diâmetro da

base maior igual a 100mm e diâmetro da base menor igual 60mm,

O volume V de um tronco de cone circular é dado pela seguinte fórmula:

2 2hV R R r r

3π

‘


onde:

R é a medida do raio da base maior,

r é a medida do raio da base menor e

h é a altura do tronco de cone. Portanto, o volume do copo será dado por:

2 2

3

12V 3 5 5 3 3

3

V 12 49

V 588 cm 588 mL

Portanto, se o enunciado tivesse apresentado todas as informações necessárias, a resposta correta seria

500mL V 600mL 0,5L V 0,6L, ou seja, alternativa [C].

SOLUÇÃO PC7.

[D] Segue abaixo com a numeração das figuras utilizadas:

Considerando que os triângulos 6 e 7 são congruentes e que o triângulo 6 não aparece como opção de

resposta, consideraremos como opção correta a letra [D]. SOLUÇÃO PC8.

[D] De acordo com o problema, temos a seguinte figura:

O valor de y será calculado aplicando o teorema de Pitágoras no triângulo de hipotenusa BC.

2 2 2 2y 12 15 y 81 y 9

Como y é uma medida de comprimento, temos y 9.

Portanto, a medida da base DC será dada por:

DC 5 10 9 24m.


SOLUÇÃO PC9.

[A]

Se a área do trapézio vale 10, então

x 32 10 x 7.

2

Daí, como o trapézio é isósceles, segue que os lados não paralelos medem 2 2 cada.

Por outro lado, sendo 7 a diagonal do quadrado, podemos concluir que seus lados medem 7 2

2 e, portanto, a

resposta é

7 23 2 2 2 7 4 10 18 2.

2

SOLUÇÃO PC10.

[A]

Para que as áreas dos terrenos sejam iguais, devemos considerar que BD DC 10m.

No triângulo ABD, temos:

2 2 2AD 21 10 AD 23m

Então, o comprimento total do muro será dado por, aproximadamente:

21 29 20 23 93m

Portanto, a área total de muro construída será de, aproximadamente, 293 3 279m .

E o valor total da construção será de, aproximadamente, 279 90 25.110,00, ou seja, aproximadamente 25

milhares de reais. SOLUÇÃO PC11.

[E]

Seja A a área semiárida da região Nordeste, então: 2A 0,2 181000 A 905000 km

SOLUÇÃO PC12.

[D] Vamos, inicialmente, dividir a área ocupada pelas pessoas em retângulos.

‘


A área A ocupada pelas pessoas será a soma das áreas dos retângulos:

1 2 3 4A A A A A

A 15 0,5 40 1 40 1,2 0,8 25

A 7,5 40 48 20

A 115,5

Como haviam duas pessoas por metro quadrado, o número n de pessoas presentes no desfile foi de:

n 115,5 2 231.

SOLUÇÃO PC13.

[A]

Seja a largura do jardim de inverno. Logo, temos 6 15, ou seja, 2,5 m. Daí, segue que a área do jardim

de inverno é 2 22 (2,5) 12,5 m . Portanto, a área pedida é igual a 245,5 12,5 58 m .

SOLUÇÃO PC14.

[D]

Sabendo que o terreno é retangular e que sua área é de 220 m , pode-se deduzir suas medidas, sendo h o

comprimento do terreno:

5 h 20 h 4 metros

Se o terreno tem ao todo 4 metros de comprimento, então o lago terá comprimento igual a:

4 1 0,5 2,5 metros

Sabendo a área total do terreno e considerando como x a largura do deque e do lago, pode-se escrever:

2grama lago deque 20 m

0,48 20 2,5 x 4 x 20 6,5x 10,4 x 1,6 metros

Logo, a área do lago será igual a:

22,5 1,6 4 m

SOLUÇÃO PC15.

[D]

De acordo com os dados do enunciado, pode-se deduzir que o triângulo ABC é do tipo 30/60/90. Logo, o lado

BC mede 4km.

O triângulo ABC e o triângulo EDC são semelhantes, logo:

AB BC 2 4 3 2 3DE DC

DE DC DE 3 32 3 4DE

Aplicando o Teorema de Pitágoras e calculando a área dos polígonos, tem-se:


2 2

2 2 2 2

ABC

EDC

ABDE

ABDE ABDE

EDC EDC

2 3 3DC EC DE EC EC 1

3 3

2 2 3S 2 3

2

1 3 3S

2 3 6

3 11 3S 2 3

6 6

S S11 3 611

S 6 S3

SOLUÇÃO PC16.

[A] Com os dados do enunciado, pode-se calcular:

22

prisma

3 33

prisma

x 3V 2 4 3 x x

4

x xV 2 4 3 4 3 2 x 8 x 2

4 4

SOLUÇÃO PC17.

[D]

A área A da coroa circular será dada por: 2 2 2A (15 10 ) 3 125 375 mπ

SOLUÇÃO PC18.

[A] Área de cada triângulo:

3 2A 3

2Δ

Cada tetraedro possui dois triângulos cobertos e a pipa possui 16 tetraedros em sua estrutura. Portanto, a área pedida será dada por:

2A 16 2 A 96cmΔ

SOLUÇÃO PC19.

[B] Calculando as áreas de cada uma das pizzas, tem-se:

2

2

Pizza broto inteira 15 225

Pizza gigante inteira 20 400

π π

π π

Utilizando a regra de três, pode-se escrever:

225 27

400 x

x 48 reais

π

π

Como a pizza gigante possui 10 pedaços, cada um sairá por R$ 4,80.

‘


SOLUÇÃO PC20.

[C] A resposta é dada por

2

2

1 1(ADFE) (DFC) (BCE) 50 50 25 25 25

2 2

34 625 625

2

1.562,5 m .

SOLUÇÃO PC21.

[A] Considere a vista superior do filtro.

Desde que OA 3cm, OB 6cm e AOB 30 , pela Lei dos Cossenos, temos

2 2 2

2 2 2

AB OA OB 2 OA OB cosAOB

3AB 3 6 2 3 6

2

AB 3 5 2 3 cm.

Portanto, segue que a área da superfície do filtro é dada por

212 3 5 2 3 10 360 5 2 3 cm .

SOLUÇÃO PC22.

[C] Calculando:

22

total total

2 2cinza cinza

2 22cinza cinza

2total total

122A A 61

2

A 2 6,1 A 12,2

A A12,2 12,2 1 1

A 61 5 A 2561

π π

π π

π

π


SOLUÇÃO PC23.

[C]

321232345

32

3

2

3

360

x

x

xsen

SOLUÇÃO PC24.

[E]

lV

mV

V

V

hAV b

74400

4,74

641,3

6)2(

3

2

l

Vcarros

84006600074400

66000551200

SOLUÇÃO PC25.

[A] Admitindo que r seja o raio da circunferência, temos:

2r 900 r 30,π π portanto, a equação da circunferência será dada por:

2 2 2 2 2(x 0) (y 10) 30 x y 20y 800 0

SOLUÇÃO PC26.

[A] Considerando os triângulos retângulos destacados na figura, temos:

2 2 2

2 2 2

2 2 2

AB 10 5 AB 125 AB 5 5m

BC 20 15 BC 625 BC 25m

CD 10 20 CD 500 CD 10 5

Portanto, o deslocamento d da pessoa será dado por: d AB BC CD

d 5 5 25 10 5

d 15 5 25

d 5 (3 5 5)m

‘


SOLUÇÃO PC27.

[D]

2 22 2d 7 5 6 1 d 144 25 d 13

SOLUÇÃO PC28.

[E]

Se mn 0, então m e n têm sinais iguais. Daí, certamente o ponto E não pertence à reta y mx n, pois

n 100m implica em m e n com sinais distintos.

SOLUÇÃO PC29.

[A] A equação da reta que geometricamente representa a rua é dada por:

Logo um possível ponto para a casa de Paulo é aquele que satisfaz a equação. Assim concluímos pelo ponto (12,25). SOLUÇÃO PC30.

[B]

SOLUÇÃO PC31.

[C]

Considerando os triângulos PAB e PCS semelhantes na figura, podemos escrever:

km4,1315789x150000000x114

150000000xx115115

1

150000000x

x

690000

6000

150000000x

x

Ou seja, aproximadamente 1.300.000 km.


SOLUÇÃO PC32.

[C]

A área A pedida será o triplo da área de um setor circular de 30 , o que corresponde à área de um setor circular

de 90 , ou seja 1

4 da circunferência. Portanto:

2100A 25 m

4

ππ

SOLUÇÃO PC33.

[C]

Excetuando-se o triângulo equilátero, cada polígono pode ser dividido em 2n triângulos retângulos congruentes, com n sendo o número de lados do polígono. Além disso, sejam c, p e g, respectivamente, as frações da área

de cada polígono, correspondentes às quantidades de carboidratos, proteínas e gorduras. Desse modo, para o losango, o pentágono, o hexágono e o octógono, respectivamente, temos:

1 1 3(c, p, g) , , ;

2 8 8

6 1 3

(c, p, g) , , ;10 10 10

7 1 1

(c, p, g) , ,12 12 4

e 3 1 3

(c, p, g) , , .4 16 16

Em particular, para o triângulo equilátero, considere a figura.

É fácil ver que 5 1 1

(c, p, g) , , .9 9 3

Portanto, o único polígono que satisfaz é o pentágono. SOLUÇÃO PC34.

[E]

m65,0cm65cm5,226egadaspol 26

Medida do raio:

m325,02

65,0R

Comprimento de uma roda:

C 2 R 2 3,1 0,325 2,015 mπ

Número de voltas:

425015,2

6,855n

Portanto, o número de voltas está situado entre 400 e 500 voltas.

‘


SOLUÇÃO PC35.

[A]

Aplicando Teorema de Pitágoras, temos:

2 2 2

2

x 150 80

x 22500 6400

x 28900

x 170 m

SOLUÇÃO PC36.

[D] Resolvendo a equação dada para a:

3 3 3

2

324a 0 4a 32 0 4a 32 a 8 a 2 dm

a

Logo, sabendo que 1litro 1decímetro cúbico, e que o volume da embalagem é igual a 8 litros, pode-se

escrever: 3

2base

2

V 8 dm

V S h a h

8 2 h h 2 dm

SOLUÇÃO PC37.

[D]

Admitindo que LA seja a medida da área lateral do cilindro e V seja a medida de seu volume, temos:

L

2 2

A 2 R h 2 R h 5 (equação I)

V R h R h 10 (equação II)

π π π

π π π

Dividindo a equação II pela equação I, temos:

dm40m4R22

R


SOLUÇÃO PC38.

[B] O volume externo aos cones e interno ao cilindro é dado por

2 2 21 h 2R h 2 R R h,

3 2 3π π π

ou seja, é igual ao dobro da soma dos volumes dos cones. SOLUÇÃO PC39.

[D] Para o dodecaedro regular, temos: 12 faces pentagonais.

12 530

2

arestas.

Utilizando a relação de Euler, temos:

V A F 2 2 30 12 V 20 (vértices)

Portanto, o poliedro formado terá:

12 12 2 22 faces (F 22)

30 30 5 55 arestas (A 55)

20 20 5 35 vértices (V 35)

A soma pedida será dada por:

V F A 35 22 55 112.

SOLUÇÃO PC40.

[B]

Considerando que x seja o raio da esfera e escrevendo que o volume da esfera é igual ao volume da água deslocada, pode-se escrever:

33 2 34 9R 27R 3

x R x x R3 16 64 4π π

‘


SOLUÇÃO PC41.

[D] De acordo com o problema, temos a seguinte figura com x sendo a distância procurada.

m 400x4

3

x

100x

200

150

x

100xABE~ACD

ΔΔ

SOLUÇÃO PC42.

[D]

A área da superfície de uma pizza de 40cm é igual a

2240

1.200cm .2

π

Logo, a massa dessa pizza é

1200 1,5 1.800 g 1,8kg. Em consequência, seu preço é dado por 1,8 30 R$ 54,00.

SOLUÇÃO PC43.

[B]

Sendo 3 60 180 , vem

2 21R 50 24 R 800

2

0 R 28,2 m.

Portanto, o maior valor natural de R, em metros, é 28.


SOLUÇÃO PC44.

[C]

Considerando x a medida do arco com extremidades nos pontos P e Q e y a medida do arco com

extremidades nos pontos R e S, podemos escrever:

2 3 60x

360

ππ

2 6 60y 2

360

ππ

Logo, o perímetro da figura será dado por:

P 3 3 x y 6 2 3 6π π π

SOLUÇÃO PC45.

[C]

As dimensões da tela são da forma 4x e 3x, já que a razão entre elas é de 4:3. A figura abaixo representa esta

tela:

Aplicando o teorema de Pitágoras, podemos escrever que:

2 2 2 2 2(3x) (4x) 50 25x 2500 x 100 x 10.

Logo, as dimensões do retângulo são 40 e 30 polegadas e a área, em polegadas quadradas, será dada por

A 30 40 1200.

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