PirâmidesDada uma região poligonal de n vértices e um ponto V fora da região (outro plano), ao traçarmos segmentos de retas entre os vértices da região poligonal e o ponto V, construímos uma pirâmide que será classificada de acordo com o número de lados do polígono da base.

Os segmentos AV, BV e CV são as arestas laterais da pirâmide.Os pontos A, B, C e V são os vértices.Os triângulos VAB,VBC e VCA são as faces laterais.O triângulo ABC é outra face da pirâmide e constitui a base.A distância do ponto V ao centro da base constitui a altura da pirâmide.

A classificação de uma pirâmide depende do número de arestas da região da área da base.

Base é um triânguloNome: pirâmide triangularNúmero de faces: três faces laterais mais face da base, portanto, quatro faces.

Base é um quadradoNome: pirâmide quadrangularNúmero de faces: quatro faces laterais mais face da base, portanto, cinco faces.

Base é um pentágonoNome: pirâmide pentagonalNúmero de faces: cinco faces laterais mais face da base, portanto, seis faces.

Base é um hexágonoNome: pirâmide de base hexagonalNúmero de faces: seis faces laterais mais face da base, portanto, sete faces.

  Pirâmide triangular                   Pirâmide quadrangular                        Pirâmide pentagonal

Altura, apótema da base e apótema da pirâmide

h: altura da pirâmidem’: apótema da pirâmidem: apótema da base

Pelo teorema de Pitágoras temos:m’² = h² + m²

Área da base

A área da base de uma pirâmide depende da área do polígono em questão, sendo calculada pela expressão:

onde P: perímetro do polígono e a: apótema do polígono.

Área lateralÉ a soma de todas as áreas laterais.

Área total Soma da área lateral com a área da base.At = Al + Ab

Volume

O volume de uma pirâmide é dado pela expressão:

onde Ab: área da base (depende do polígono) e h: altura da pirâmide.

Planificação de uma pirâmide

      Pirâmide triangular                    Pirâmide quadrangular                     Pirâmide pentagonal

Elementos da pirâmide

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Elementos da pirâmide

Os pontos da pirâmide VABCDEF, representam:

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Pirâmides GEO12

Elementos e nomenclatura das pirâmides GEO1201

 O que é um ângulo poliedro ? GEO120101

Ângulo poliedro é o ângulo sólido (GEO020111) formado por semi-retas de origem fixa e que acompanham uma linha poligonal fechada.

O que é uma pirâmide ? GEO120102

Pirâmide é o sólido limitado por um ângulo poliedro e por um plano que intercepta

todas as retas formadoras do ângulo poliedro.

  O que é o vértice, a aresta, a altura, a base e a face de uma pirâmide ? GEO120103

Vértice da pirâmide é o vértice do ângulo poliedro formador da pirâmide.

Arestas são os segmentos de reta que unem o vértice da pirâmide aos vértices da base.

Altura é a distância entre o vértice e o plano da base.

Base é o polígono resultantes da intersecção entre o ângulo poliedro e um plano.

Faces são os triângulos que formam a superfície lateral do prisma.

 O que é uma pirâmide regular ? GEO120104

É uma pirâmide cuja base é um polígono regular e a projeção ortogonal do vértice sobre a base está sobre o seu centro.

  Qual é a forma da face lateral de uma pirâmide regular ? GEO120105

A face lateral de uma pirâmide regular é sempre um triângulo isósceles.

  O que o apótema de uma pirâmide regular ? GEO120106

É o segmento de reta que une o vértice ao ponto médio de um lado da base.

Volume da Pirâmide Tweet

O volume da pirâmide corresponde a um terço do volume de um prisma de mesma altura e base. Portanto, a expressão matemática utilizada no cálculo do volume da

pirâmide é:

V = Ab * h Ab = área da base h = altura

É importante ressaltar que uma pirâmide pode possuir inúmeras bases. Ela pode ter a base triangular, quadrangular, pentagonal, hexagonal, heptagonal, entre outras. Dessa, o cálculo da área da base está ligado ao polígono correspondente. Nas pirâmides triangulares e quadrangulares, as fórmulas para o cálculo da área da base são as seguintes:

Triângulo

Quadrangular

Nas bases onde os polígonos possuem mais de quatro lados, a área é calculada através da expressão:

Ab = p * a p = semiperímetro (metade do produto entre o número de lados e o comprimento do lado) a = apótema (distância entre o centro da base e ponto médio de um lado)

Exemplo 1

Uma pirâmide de base quadrangular possui altura medindo 2 metros e cada lado da base com medida igual a 3 metros. Determine o volume dessa pirâmide.

 

Exemplo 2

Uma indústria irá fabricar uma peça no formato de uma pirâmide de base triangular com as medidas indicadas na figura. Sabendo que serão fabricadas 500 peças maciças de aço, determine o volume total de aço que será gasto na produção dessas peças.

Exemplo 3

A figura representa uma pirâmide de base pentagonal com lados regulares medindo 12 metros e a apótema da base medindo 8,2 metros, aproximadamente. Sabendo que a altura dessa pirâmide é igual a 20 metros, qual será sua capacidade sabendo que 1 m³ corresponde a 1000 litros?

Área da base e Volume

Se 1m³ corresponde a 1000 litros, temos que:

1640m³ = 1640 * 1000 = 1 640 000 litros de capacidade.

Tronco de pirâmide

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O tronco de pirâmide é obtido ao se realizar uma secção transversal numa pirâmide, como mostra a figura:

O tronco da pirâmide é a parte da figura que apresenta as arestas destacadas em vermelho.

É interessante observar que no tronco de pirâmide as arestas laterais são congruentes entre si; as bases são polígonos regulares semelhantes; as faces laterais são trapézios isósceles, congruentes entre si; e a altura de qualquer face lateral denomina-se apótema do tronco.

Cálculo das áreas do tronco de pirâmide.

Num tronco de pirâmide temos duas bases, base maior e base menor, e a área da superfície lateral. De acordo com a base da pirâmide, teremos variações nessas áreas. Mas observe que na superfície lateral sempre teremos trapézios isósceles, independente do formato da base da pirâmide. Por exemplo, se a base da pirâmide for um hexágono regular, teremos seis trapézios isósceles na superfície lateral.

A área total do tronco de pirâmide é dada por:St = Sl + SB + Sb

OndeSt → é a área totalSl → é a área da superfície lateralSB → é a área da base maiorSb → é a área da base menor

Cálculo do volume do tronco de pirâmide.

A fórmula para o cálculo do volume do tronco de pirâmide é obtida fazendo a diferença entre o volume de pirâmide maior e o volume da pirâmide obtida após a secção transversal que produziu o tronco. Colocando em função de sua altura e das áreas de suas bases, o modelo matemático para o volume do tronco é:

Onde,V → é o volume do troncoh → é a altura do troncoSB → é a área da base maiorSb → é a área da base menor

Por Marcelo RigonattoEspecialista em Estatística e Modelagem MatemáticaEquipe Brasil Escola

Geometria Espacial: Pirâmides O conceito de pirâmide

Elementos de uma pirâmide

Classificação das pirâmides

Pirâmide regular reta

Área lateral de uma pirâmide

Área total de uma pirâmide

Volume de uma pirâmide

Seção transversal de pirâmide

Utilizaremos R[z] para denotar a raiz quadrada de z>0.

O conceito de pirâmide

Consideremos um polígono contido em um plano (por exemplo, o plano horizontal) e um ponto V localizado fora desse plano. Uma Pirâmide é a reunião de todos os segmentos que têm uma extremidade em P e a outra num ponto qualquer do polígono. O ponto V recebe o nome de vértice da pirâmide.

Exemplo: As pirâmides do Egito, eram utilizadas para sepultar faraós, bem como as pirâmides no México e nos Andes, que serviam a finalidades de adoração aos seus deuses. As formas piramidais eram usadas por tribos indígenas e mais recentemente por escoteiros para construir barracas.

Elementos de uma pirâmide

Em uma pirâmide, podemos identificar vários elementos:

1. Base: A base da pirâmide é a região plana poligonal sobre a qual se apoia a pirâmide.

2. Vértice: O vértice da pirâmide é o ponto isolado P mais distante da base da pirâmide.

3. Eixo: Quando a base possui um ponto central, isto é, quando a região poligonal é simétrica ou regular, o eixo da pirâmide é a reta que passa pelo vértice e pelo centro da base.

4. Altura: Distância do vértice da pirâmide ao plano da base.

5. Faces laterais: São regiões planas triangulares que passam pelo vértice da pirâmide e por dois vértices consecutivos da base.

6. Arestas Laterais: São segmentos que têm um extremo no vértice da pirâmide e outro extremo num vértice do polígono situado no plano da base.

7. Apótema: É a altura de cada face lateral.

8. Superfície Lateral: É a superfície poliédrica formada por todas as faces laterais.

9. Aresta da base: É qualquer um dos lados do polígono da base.

Classificação das pirâmides pelo número de lados da base

triangular quadrangular pentagonal hexagonal

base:triângulo base:quadrado base:pentágono base:hexágono

Pirâmide Regular reta

Pirâmide regular reta é aquela que tem uma base poligonal regular e a projeção ortogonal do vértice V sobre o plano da base coincide com o centro da base.

R raio do circulo circunscrito

r raio do círculo inscrito

l aresta da base

ap apótema de uma face lateral

h altura da pirâmide

al aresta lateral

As faces laterais são triângulos isósceles congruentes

Área Lateral de uma pirâmide

Às vezes podemos construir fórmulas para obter as áreas das superfícies que envolvem um determinado sólido. Tal processo é conhecido como a planificação desse sólido. Isto pode ser realizado se tomarmos o sólido de forma que a sua superfície externa seja feita de papelão ou algum outro material.

No caso da pirâmide, a idéia é tomar uma tesoura e cortar (o papelão d)a pirâmide exatamente sobre as arestas, depois reunimos as regiões obtidas num plano que pode ser o plano de uma mesa.

As regiões planas obtidas são congruentes às faces laterais e também à base da pirâmide.

Se considerarmos uma pirâmide regular cuja base tem n lados e indicarmos por A(face) a área de uma face lateral da pirâmide, então a soma das áreas das faces laterais recebe o nome de área lateral da pirâmide e pode ser obtida por:

A(lateral) = n A(face)

Exemplo: Seja a pirâmide quadrangular regular que está planificada na figura acima, cuja aresta da base mede 6cm e cujo apótema mede 4cm.

Como A(lateral)=n.A(face) e como a pirâmide é quadrangular temos n=4 triângulos isósceles, a área da face lateral é igual à área de um dos triângulos, assim:

A(face) = b h/2 = 6.4/2 = 12A(lateral) = 4.12 = 48 cm²

Exemplo: A aresta da base de uma pirâmide hexagonal regular mede 8 cm e a altura 10 cm. Calcular a área lateral.Tomaremos a aresta com a=8 cm e a altura com h=10 cm. Primeiro vamos calcular a medida do apótema da face lateral da pirâmide hexagonal. Calcularemos o raio r da base.Como a base é um hexágono regular temos que r=(a/2)R[3], assim r=8R[3]/2=4R[3] e pela relação de Pitágoras, segue que (ap)²=r²+h², logo:

(ap)²= (4R[3])²+10² = 48+100 = 148 = 4·37 = 2R[37]

A área da face e a área lateral, são dadas por:

A(face) = 8.2[37]/2 = 8.R[37]A(lateral) = n.A(face) = 6.8.R[37] = 48.R[37]

Área total de uma Pirâmide

A área total de uma pirâmide é a soma da área da base com a área lateral, isto é:

A(total) = A(lateral) + A(base)

Exemplo: As faces laterais de uma pirâmide quadrangular regular formam ângulos de 60 graus com a base e têm as arestas da base medindo 18 cm. Qual é a área total?

Já vimos que A(lateral)=n.A(face) e como cos(60º)=(lado/2)/a, então 1/2=9/a donde segue que a=18, assim:

A(face) = b.h/2 = (18.18)/2 = 162A(lateral) = 4.162 = 648A(base) = 18² = 324

Concluímos que:

A(total) = A(lateral) + A(base) = 648+324 = 970

Exemplo: Um grupo de escoteiros quer obter a área total de suas barracas, as quais têm forma piramidal quadrangular. Para isso, eles usam medidas escoteiras. Cada dois passos de um escoteiro mede 1 metro. A barraca tem 4 passos escoteiros de lado da base e 2 passos de apótema. Calcular a área da base, área lateral e a área total.

A(base) = 2.2 = 4 m²A(lateral) = 4.2.1 = 8 m³

Logo, a área total da barraca é

A(total) = A(lateral) + A(base) = 8+4 = 12 m²

Volume de uma Pirâmide

O volume de uma pirâmide pode ser obtido como um terço do produto da área da base pela altura da pirâmide, isto é:

Volume = (1/3) A(base) h

Exemplo: Juliana tem um perfume contido em um frasco com a forma de uma pirâmide regular com base quadrada. A curiosa Juliana quer saber o volume de perfume que o frasco contém. Para isso ela usou uma régua e tirou duas informações: a medida da aresta da base de 4cm e a medida da aresta lateral de 6cm.Como V(pirâmide)=A(base).h/3, devemos calcular a área da base e a medida da altura. Como a base tem forma quadrada de lado a=4cm, temos que A(base)=a²=4cm.4cm=16 cm².

A altura h da pirâmide pode ser obtida como a medida de um cateto de um triângulo retângulo cuja hipotenusa é dada pela altura L=6cm da aresta lateral e o outro cateto Q=2×R[2] que é a metade da medida da diagonal do quadrado. Dessa forma h²=L²-Q², se onde segue que h²=36-8=28 e assim temos que h=2R[7] e o volume será dado por V=(1/3).16.2R[7]=(32/3)R[7].

Seção Transversal de uma pirâmide

Seção transversal de uma pirâmide é a interseção da pirâmide com um plano paralelo à base da mesma. A seção transversal tem a mesma forma que a base, isto é, as suas arestas correspondentes são proporcionais. A razão entre uma aresta da seção transversal e uma aresta correspondente da base é dita razão de semelhança.

Observações sobre seções transversais:

1. Em uma pirâmide qualquer, a seção transversal e a base são regiões poligonais semelhantes. A razão entre a área da seção transversal e a área da base é igual ao quadrado da razão de semelhança.

2. Ao seccionar uma pirâmide por um plano paralelo à base, obtemos outra pirâmide menor (acima do plano) semelhante em todos os aspectos à pirâmide original.

3. Se duas pirâmides têm a mesma altura e as áreas das bases são iguais, então as seções transversais localizadas à mesma distância do vértice têm áreas iguais.

V(seção)Volume da seção até o vértice(volume da pirâmide menor)

V(piram) Volume da pirâmide (maior)

A(seção)Área da seção transversal(base da pirâmide menor)

A(base)Área da base da pirâmide

(maior)

hDistância do vértice à seção(altura da pirâmide menor)

H Altura da pirâmide (maior)

Assim:

V(seção)

V(base) =

A(seção)

A(piram) · 

h

H

A(seção)

A(base) =

h²

H²

Então:

V(seção)

V(base) =

h³

H³

Exemplo: Uma pirâmide tem a altura medindo 9cm e volume igual a 108cm³. Qual é o volume do tronco desta pirâmide, obtido pelo corte desta pirâmide por um plano paralelo à base da mesma, sabendo-se que a altura do tronco da pirâmide é 3cm?

Como

V(pirMenor)/V(pirâmide) = h³/H³V(pirMenor)/108 = 6³/9³V(pirMenor) = 32

então

V(tronco)=V(pirâmide)-V(pirMenor)= 108cm³-2cm³ = 76 cm³

http://www.colegioweb.com.br/matematica/elementos-da-piramide.html

http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/geometria/piramide/piramide.htm

http://www.brasilescola.com/matematica/tronco-piramide.htm

http://www.mundoeducacao.com.br/matematica/volume-piramide.htm

http://objetoseducacionais2.mec.gov.br/bitstream/handle/mec/10483/open/file/geo1201.htm

http://www.brasilescola.com/matematica/piramides.htm