1

Geometria Espacial - Pirâmides 1) (Fuvest)

No sólido S representado na figura a cima, a base ABCD é um retângulo de lados AB = 2x e AD = x; as faces ABEF e DCEF são trapézios; as faces ADF e BCE são triângulos equiláteros e o segmento EF tem comprimento x. Determinar, em função de x, o volume de S. 2) (AFA) A área total da pirâmide regular de apótema A2, onde A1 e 2p são, respectivamente, apótema e perímetro de sua base, é a) p(A1 + A2)

b)

p

2 (A1 + A2) c) 2p(A1 + A2)

d) p(A1 +

A2

2 ) 3) (ITA) A aresta de um cubo mede x cm. A razão entre o volume e a área total do poliedro cujos vértices são os centros das faces do cubo será:

a) (9

3)x cm

b) (18

3)x cm

c) (6

3)x cm

d) (3

3)x cm

e) (2

3)x cm

4) (Fuvest) A base ABCD da pirâmide ABCDE é um retângulo de lados AB = 4 e BC = 3. As áreas dos triângulos

ABE e CDE são, respectivamente, 4 10 e 2 37 . Calcule o volume da pirâmide.

5) (Unicamp) A base de uma pirâmide é um triângulo eqüilátero de lado L = 6cm e arestas laterais das faces A= 4cm. a) Calcule a altura da pirâmide. b) Qual é o raio da esfera circunscrita à pirâmide? 6) (Fuvest) A base de uma pirâmide regular é um quadrado ABCD de lado 6 e diagonais AC e BD. A distância de seu vértice E ao plano que contém a base é 4. a) Determine o volume do tetraedro ABDE. b) Determine a distância do ponto B ao plano que contém a face ADE. 7) (PUC-SP) A base de uma pirâmide reta é um quadrado

cujo lado mede 8 2 cm. Se as arestas laterais da pirâmide medem 17cm, o seu volume, em centímetros cúbicos, é: a) 520. b) 640. c) 680. d) 750. e) 780. 8) (UECE) A face ABC do tetraedro VABC é um triângulo equilátero de lado 3cm e a reta passando pelo vértice V e perpendicular a esta face intercepta-a em seu centro O. Se a aresta VA do tetraedro é 5cm então a medida, em cm, do segmento VO é:

a) 15

b) 18

c) 20

d) 22 9) (Fuvest) A figura abaixo mostra uma pirâmide reta de base quadrangular ABCD de lado 1 e altura EF = 1.

2

Sendo G o ponto médio da altura EF e a medida do ângulo AGB, então cos vale:

a) 2

1

b) 3

1

c) 4

1

d) 5

1

e) 6

1

10) (Fuvest) A figura abaixo representa uma pirâmide de base triangular ABC e vértice V. Sabe-se que ABC e ABV são triângulos equiláteros de lado l e que M é o ponto médio do segmento AB. Se a medida do ângulo VMC é 60°, então o volume da pirâmide é:

a)

3l4

3

b)

3l8

3

c)

3l12

3

d)

3l16

3

e)

3l18

3

11) (UERJ) A figura do R3 representa uma pirâmide de base quadrada ABCD em que as coordenadas são A (0,0,0), B (4,2,4) e C (0,6,6), e o vértice V é eqüidistante dos demais.

A partir da análise dos dados fornecidos, determine: a) as coordenadas do vértice D e a medida de cada aresta de base; b) as coordenadas cartesianas do ponto V, considerando que o volume da pirâmide é igual a 72. 12) (UFSCar) A figura indica um paralelepípedo reto-

retângulo de dimensões 2 x 2 x 7 , sendo A, B, C e

D quatro de seus vértices.

A distância de B até o plano que contém A, D e C é igual a

a) 4

11

b) 4

14

c) 2

11

d) 2

13

e) 2

73

3

13) (UFSCar) A figura indica um paralelepípedo reto-retângulo de dimensões 5x5x4, em centímetros, sendo A, B, C e D quatro dos seus vértices.

a) Calcule a área do triângulo ABC. b) Calcule a distância entre o vértice D e o plano que contém o triângulo ABC. 14) (FMTM) A figura mostra um pedaço de papel recortado de forma a se poder construir uma pirâmide reta de base quadrada. As linhas internas indicam onde devem ser feitas as dobraduras. Os quatro triângulos são eqüiláteros, com medida do lado igual a 10 cm. A pirâmide construída terá volume, em cm3, igual a a) 25.

b)2

3500

. c) 50.

d)3

2125

e) 3250

. 15) (FUVEST) A figura representa uma pirâmide ABCDE, cuja base é o retângulo ABCD. Sabe-se que

AB = CD = 2

3

AD = BC = AE = BE = CE = DE = 1

AP = DQ = 2

1

Nessas condições, determine:

a) A medida de BP. b) A área do trapézio BCQP. c) O volume da pirâmide BPQCE. 16) (Fuvest) A pirâmide de base retangular ABCD e vértice E representada na figura tem volume 4. Se M é o ponto médio da aresta AB e V é o ponto médio da aresta EC , então o volume da pirâmide de base AMCD e vértice V é: a) 1 b) 1,5 c) 2 d) 2,5 e) 3 17) (IBMEC) A tenda de um circo é sustentada por um único pilar vertical, com suas pontas amarradas a quatro estacas fixadas no chão, dando ao circo a forma de uma pirâmide de base retangular. Para manter o pilar sempre perpendicular ao chão e a tenda esticada, quatro cabos de aço foram presos da ponta do pilar a cada uma das estacas, formando assim as arestas laterais da pirâmide. Na figura ao lado, estão representados o pilar (CD) e dois cabos de aço (AC e BC) presos a estacas não pertencentes ao mesmo lado do retângulo da base da pirâmide.

a) Fascinado com um número em que um trapezista pula do alto do pilar e é apanhado bem perto do chão, um garoto se interessou em calcular a altura do pilar. Para isso, ele obteve as medidas AD =40 m, BD = 90m e constatou que os ângulos BÂC e ABC são complementares. Determine para o garoto a altura do pilar. b) Durante a apresentação conjunta do homem que cospe fogo com os malabaristas incendiários, o garoto ficou assustado com a quantidade de fumaça que estava sendo emitida, e resolveu calcular o volume interno do circo, para saber quanto ar havia lá dentro para a fumaça se diluir. Para isso, o garoto constatou que o menor lado da base retangular do circo mede 50m. Calcule para o garoto o volume da pirâmide que delimita o espaço interno do circo. 18) (UFC) ABCDA1B1C1D1 é um paralelepípedo reto-retângulo de bases ABCD e A1B1C1D1, com arestas laterais AA1, BB1, CC1 e DD1. Calcule a razão entre os volumes do tetraedro A1BC1D e do paralelepípedo ABCDA1B1C1D1.

4

19) (UFSCar) As bases ABCD e ADGF das pirâmides ABCDE e ADGFE são retângulos e estão em planos perpendiculares. Sabe-se também que ABCDE é uma pirâmide regular de altura 3 cm e apótema lateral 5 cm, e que ADE é face lateral comum às duas pirâmides.

Se a aresta AF é 5% maior que a aresta AD, então o volume da pirâmide ADGFE, em cm3, é a) 67,2. b) 80. c) 89,6. d) 92,8. e) 96. 20) (FGV) As figuras A e B indicam, respectivamente, planificações de sólidos em forma de prisma e pirâmide, com todas as medidas sendo dadas em metros. Denotando por V1 e V2 os volumes do prisma e da pirâmide, respectivamente, conclui-se que V1 representa de V2

a) 25%. b) 45%. c) 50%. d) 65%. e) 75%. 21) (UEL) As superfícies de um cubo e de um octaedro regular interpenetram-se, dando origem à figura F mostrada abaixo. Sobre cada face do cubo elevam-se pirâmides que têm a base quadrada e as faces em forma de triângulos eqüiláteros. Os vértices das bases das pirâmides estão localizados nos pontos médios das arestas do cubo e do octaedro. A aresta do cubo mede 2 cm. Qual o volume do sólido limitado pela figura F ?

a) 12 cm3 b) 14 cm3 c) 16 cm3 d) 18 cm3 e) 20 cm3

22) (Vunesp) Cada aresta de um tetraedro regular de vértices A, B, C e D mede 1dm. M é um ponto da aresta AB, e N é um ponto da aresta CD.

a) Calcule a área total da superfície do tetraedro. b) Sabe-se que o menor valor possível para a distância de M a N ocorre quando eles são pontos médios das arestas. Obtenha o valor dessa distância mínima. 23) (Unicamp) Cada aresta de um tetraedro regular mede 6 cm. Para este tetraedro, calcule: a) a distância entre duas arestas opostas, isto é, entre duas arestas que não têm ponto comum; b) o raio da esfera inscrita no tetraedro. 24) (FAZU) Calcule o volume de uma pirâmide reta de 10m de altura, cuja base é um triângulo de lados 4cm, 6cm e 8cm.

a) 12 15 cm3

b) 8 5 cm3

c) 10 15 cm3

d) 10 3 cm3

e)20 3 cm3

5

25) (UFBA) Com relação a um prisma reto de base quadrada, é correto afirmar: 01. Cada diagonal de uma face divide-a em dois triângulos congruentes. 02. Existem exatamente 8 segmentos que ligam pares de vértices não pertencentes a uma mesma face. 04. Dadas duas faces não adjacentes e quatro vértices, dois em cada uma dessas faces, existe um plano que contém esses quatro vértices. 08. Dados dois vértices consecutivos, para cada n {1,3,5,7} existe um caminho poligonal que liga esses vértices e é formado por n arestas, cada uma percorrida uma única vez. 16. Se a medida do lado da base e a altura do prisma são números inteiros consecutivos, e o volume é um número primo p, então p é único. 32. Existem exatamente 24 pirâmides distintas cujas bases são faces do prisma e cujos vértices são também vértices do prisma. 26) (UFC) Considere o octaedro ABCDEF, representado ao lado. Nele, um besouro se desloca ao longo das suas arestas, do ponto A ao ponto F, de modo que não passa por qualquer dos vértices mais de uma vez. De quantos modos diferentes ele pode fazer isso?

27) (IBMEC) Considere um cone circular reto de altura 24 e raio da base 10. Suponha que o segmento AB seja uma corda da circunferência da base que diste 5 do seu centro C. Então, sendo V o vértice do cone, o volume do tetraedro ABCV é igual a

a) 200 3

b) 400 3

c) 600 3

d) 800 3

e) 1000 3 28) (Unicamp) Considere um cubo cuja aresta mede 10cm. O sólido cujos vértices são os centros das faces do cubo é

um octaedro regular, cujas faces são triângulos eqüiláteros congruentes. a) Calcule o comprimento da aresta desse octaedro regular. b) Calcule o volume do mesmo octaedro. 29) (IBMEC) Considere um cubo V1V2V3V4V5V6V7V8 de arestas medindo 2cm. De cada vértice do cubo é retirado um tetraedro ViAiBiCi (i = 1, 2, …, 8), sendo Ai, Bi e Ci pontos das arestas que concorrem em Vi tais que ViAi = ViBi = ViCi = x cm. A figura ilustra um dos tetraedros retirados.

Sabendo que o volume do sólido resultante após a retirada dos oito tetraedros é igual a 7cm3, pode-se concluir que

a) x = 3

63

b) x = 2

63

c) x = 3

33

d) x = 2

33

e) x = 3

23

30) (UnB) Considere um tetraedro regular com vértices A, B, C e D e arestas de comprimento igual a 17 cm, no qual M, N, O e P são os pontos médios das arestas AB, BC, CD e DA, respectivamente. Calcule, em centímetros, o perímetro do quadrilátero com vértices M, N, O e P, desprezando a parte fracionária de seu trabalho, caso exista. 31) (UFMG) Considere um tetraedro regular de vértices A, B, C e D, cujas arestas medem r. Considere, ainda, que M e N são pontos médios das arestas BD e CD, respectivamente.

6

CALCULE a área do triângulo AMN. 32) (Faap) Considere um tetraedro regular e um plano que o intercepta. A única alternativa correta é: a) a intersecção pode ser um quadrilátero. b) a interseção é sempre um triângulo. c) a interseção é sempre um triângulo equilátero. d) a intersecção nunca é um triângulo equilátero. e) a intersecção nunca é um quadrilátero. 33) (IBMEC) Considere uma pirâmide regular de vértice V e arestas laterais medindo 6cm, cuja base é um quadrado de

diagonais AC e BD . Se a área lateral desta pirâmide

totaliza 36cm2, então um possível valor para a medida do ângulo VAB é a) 45º. b) 60º. c) 75º. d) 90 º e) 105º. 34) (Fuvest) De cada uma das quatro pontas de um tetraedro regular de aresta 3a corta-se um tetraedro regular de aresta a. a) Qual o número de vértices, faces e arestas do poliedro resultante? b) Calcule a área total da superfície desse poliedro. 35) (UERJ) Dispondo de canudos de refrigerantes, Tiago deseja construir pirâmides. Para as arestas laterais, usará sempre canudos com 8 cm, 10 cm e 12 cm de comprimento. A base de cada pirâmide será formada por 3 canudos que têm a mesma medida, expressa por um número inteiro, diferente das anteriores. Veja o modelo abaixo:

A quantidade de pirâmides de bases diferentes que Tiago poderá construir, é: a) 10

b) 9 c) 8 d) 7

36) (FUVEST) Dois planos 21 e se interceptam ao

longo de uma reta r, de maneira que o ângulo entre eles

meça α radianos, 2

0

. Um triângulo equilátero

ABC, de lado ℓ, está contido em 2 , de modo que AB

esteja em r. Seja D a projeção ortogonal de C sobre o plano

1 , e suponha que a medida θ, em radianos, do ângulo

CÂD, satisfaça .4

6sen

Nessas condições, determine, em função de ℓ, a) o valor de α. b) a área do triângulo ABD. c) o volume do tetraedro ABCD. 37) (FEI) Em cada face de um tetraedro regular desenhou-se um trevo de 3 folhas estilizado, conforme indicado na figura. Se a medida da aresta do tetraedro é t, a soma das áreas de todas as folhas de todos os trevos desenhados é:

a) 3 t2/2

b) 3 t2/3

c) 3 t2/6

d) 3 t2/9

e) 3 t2/12 38) (ITA) Em relação a um sistema de eixos cartesiano ortogonal no plano, três vértices de um tetraedro regular

são dados por A = (0, 0), B = (2, 2) e C =(1- 3 ,1+ 3 ). O volume do tetraedro é

a) 3

8

b) 3

7

c) 2

33

d) 2

35

e) 8 39) (Unicamp) Em uma pirâmide de base quadrada, as faces laterais são triângulos eqüiláteros e todas as oito arestas são iguais a 1. a) Calcule a altura e o volume da pirâmide. b) Mostre que a esfera centrada no centro da base da pirâmide, e que tangencia as arestas da base, também tangencia as arestas laterais. c) Calcule o raio do círculo intersecção da esfera com cada face lateral da pirâmide. 40) (UFPE) Na figura a seguir o cubo tem aresta igual a 9cm e a pirâmide tem um vértice no centro de uma face e como base a face oposta. Se V cm3 é o volume da pirâmide,

determineV

3

1

.

41) (Fuvest) Na figura abaixo, ABCD é um tetraedro regular de lado a. Sejam E e F os pontos médios de AB e CD , respectivamente. Então, o valor de EF é:

a) 2a

b) 2

2a

c) 4

2a

d) 2

3a

e) 4

3a

42) (Mack) Na figura, a pirâmide de vértice A tem por base uma das faces do cubo ao lado k. Se a área lateral dessa

pirâmide é 4+4 2 , então o volume do sólido contido no cubo e externo à pirâmide é:

a) 8

b) 3

4

c) 3

16

d) 3

8

e) 16 43) (Vunesp) Na figura, os planos e são perpendiculares e se interceptam segundo a reta r. Os pontos A, B, C e D, com A e D em r, são os vértices de um quadrado e P é o ponto de interseção das diagonais do quadrado. Seja Q, em , o ponto sobre o qual cairia P se o plano girasse de 90° em torno de r, no sentido indicado na figura, até coincidir com .

Se AB = 2 3 , calcule o volume do tetraedro APDQ. 44) (UFSCar) Na figura, os pontos ACFH são os vértices de um tetraedro inscrito em cubo de lado 3. O volume do tetraedro é

8

a) 827

b) 8399

c) 9

d) 81327

e) 18 45) (UFBA) Na figura, os quadrados ABCD e A’B’C’D’, cujos lados medem 10 u.c., são as bases de um prisma reto de

altura igual a 5 3 u.c., e o ponto O é, ao mesmo tempo, o centro do quadrado ABCD e o vértice da pirâmide com base A’B’C’D’. A partir dessas informações, pode-se afirmar:

01. Qualquer plano que contenha uma face lateral da pirâmide faz um ângulo de 60º com o plano da base A’B’C’D’. 02. Qualquer aresta lateral da pirâmide faz um ângulo de 60º com o plano da base A’B’C’D’.

04. Existem uma aresta da pirâmide que é coplanar ao segmento DD’ e uma aresta da pirâmide que está contida numa reta reversa à reta que contém DD’. 08. A área do triângulo OC’D’ é igual a 50 u.a. 16. O volume do sólido compreendido entre o prisma

e a pirâmide é igual a 3

3500

u.v. 46) (VUNESP) Na periferia de uma determinada cidade brasileira, há uma montanha de lixo urbano acumulado, que tem a forma aproximada de uma pirâmide regular de 12 m de altura, cuja base é um quadrado de lado 100 m. Considere os dados, apresentados em porcentagem na tabela, sobre a composição dos resíduos sólidos urbanos no Brasil e no México.

Pais Orgânicos (%)

Metais (%)

Plásticos (%)

Papelão/papel

(%)

Vidro

(%)

Outros

(%)

Brasil 55 2 3 25 2 13

México 42,6 3,8 6,6 16,0 7,4 23,6

(Cempre/ Tetra Park América/EPA 2002) Supondo que o lixo na pirâmide esteja compactado, determine o volume aproximado de plásticos e vidros existente na pirâmide de lixo brasileira e quantos metros cúbicos a mais desses dois materiais juntos existiriam nessa mesma pirâmide caso ela estivesse em território mexicano. 47) (Fuvest) No cubo de aresta a seguir, X e Y são pontos médios das arestas AB e GH respectivamente. Considere a pirâmide de vértice F e cuja base é o quadrilátero XCYE. Calcule, em função de a:

a) o comprimento do segmento XY. b) a área da base da pirâmide. c) o volume da pirâmide.

48) (UFBA) No cubo representado , AB = 3 u.c., AI = 3

1 AE,

e o volume do tetraedro EFHI é igual a x u.v. Calcule x.

9

49) (UEL) Num cubo, considere os seguintes pontos: - M, determinado pela intersecção das diagonais AC e BD de uma das faces; - E, F, G e H, vértices consecutivos da face oposta à de M. Sobre o sólido cujas faces são EMF, FMG, GMH, HME e EFGH, é correto afirmar que: a) se trata de um poliedro com 12 arestas. b) se trata de um prisma de base triangular. c) seu volume é a terça parte do volume do cubo. d) seu volume é metade do volume do cubo. e) se trata de um tetraedro.

50) (UFC) Num tetraedro ABCD vale a igualdade DA = DB

= DC = a e o triângulo ABC é eqüilátero com AB = b. O comprimento da altura do tetraedro baixada do vértice A é igual a:

a) 2

ba

b) ab

c) a

ba3b 22

d) 22

22

ba4

ba3.b

e) ba

ba4.a

22

51) (UECE) Numa pirâmide quadrangular regular, uma

aresta da base mede 2 2 cm e uma aresta lateral mede

22 cm. O volume dessa pirâmide, em cm3, é:

a) 7 2

b) 8 2

c) 9 2

d) 10 2 52) (FGV) O ângulo indicado na figura B, é igual a

a) arccos - 5

1

b) arccos 5

1

c) arccos - 25

24

d) arcsen 25

24

e) arcsen 1 53) (AFA) O apótema de uma pirâmide regular, com base

hexagonal, é 9 3 cm. Se a sua área lateral é o triplo da área de sua base, então, o seu volume, em cm3, é

a)

3 323

4 .

b)

81 35

4 .

c) 81 3 .

d) 324 2 . 54) (FUVEST) O cubo ABCDEFGH possui arestas de comprimento a.

O ponto M está na aresta AE e AM = 3 ME.

Calcule: a) O volume do tetraedro BCGM.

10

b) A área do triângulo BCM. c) A distância do ponto B à reta suporte do segmento

CM. 55) (Fuvest) O número de faces triangulares de uma pirâmide é 11. Pode-se, então, afirmar que essa pirâmide possui: a) 33 vértices e 22 arestas. b) 12 vértices e 11 arestas. c) 22 vértices e 11 arestas. d) 11 vértices e 22 arestas. e) 12 vértices e 22 arestas. 56) (Vunesp) O prefeito de uma cidade pretende colocar em frente à prefeitura um mastro com uma bandeira, que será apoiado sobre uma pirâmide de base quadrada feita de concreto maciço, como mostra a figura.

Sabendo-se que a aresta da base da pirâmide terá 3m e que a altura da pirâmide será de 4m, o volume de concreto (em m3) necessário para a construção da pirâmide será a) 36. b) 27. c) 18. d) 12. e) 4. 57) (Unicamp) O sólido da figura ao lado é um cubo cuja aresta mede 2cm.

a) Calcule o volume da pirâmide ABCD1. b) Calcule a distância do vértice A ao plano que passa pelos pontos B, C e D1. 58) (UFMG) Observe a figura.

Nessa figura, a base da pirâmide VBCEF é um quadrado inscrito no círculo da base do cone de vértice V. A razão entre o volume do cone e o volume da pirâmide, nesta ordem, é: a) /4 b) /2 c) d) 2 e) 2 /2 59) (UERJ) Observe as figuras a seguir:

(I)

(II) A figura I mostra a forma do toldo de uma barraca, e a figura II, sua respectiva planificação, composta por dois trapézios isósceles congruentes e dois triângulos. Calcule: a) a distância h da aresta AB ao plano CDEF; b) o volume do sólido de vértices A, B, C, D, E e D, mostrado na figura I, em função de h.

11

60) (UFMG) Observe esta figura:

Nessa figura, estão representados um cubo, cujas arestas medem, cada uma, 3 cm, e a pirâmide MABC , que possui três vértices em comum com o cubo. O ponto M situa-se sobre o prolongamento da aresta BD do cubo. Os segmentos MA e MC interceptam arestas desse cubo, respectivamente, nos pontos N e P e o segmento ND mede 1 cm. Considerando-se essas informações, é CORRETO afirmar que o volume da pirâmide MNPD é, em cm3

a) 6

1

b) 4

1

c) 2

1

d) 8

1

61) (PASUSP) Os papiros mostram que os egípcios antigos possuíam diversos conhecimentos matemáticos. Eles sabiam que o volume da pirâmide equivale a um terço do volume do prisma que a contém. A maior pirâmide egípcia, Quéops, construída por volta de 2560 a.C., tem uma altura aproximada de 140 metros e sua base é um quadrado com lados medindo aproximadamente 230 metros. Logo, o volume da pirâmide de Quéops é de aproximadamente (em milhões de metros cúbicos):

a) 1,2 b) 2,5 c) 5 d) 7,5 e) 15

62) (FUVEST) Pedrinho, brincando com seu cubo mágico, colocou-o sobre um copo, de maneira que - apenas um vértice do cubo ficasse no interior do copo, conforme ilustra a foto; - os pontos comuns ao cubo e ao copo determinassem um triângulo eqüilátero. Sabendo-se que o bordo do copo é uma circunferência de

raio 2 3 cm , determine o volume da parte do cubo

que ficou no interior do copo.

63) (UNIFESP) Quatro dos oito vértices de um cubo de aresta unitária são vértices de um tetraedro regular. As arestas do tetraedro são diagonais das faces do cubo, conforme mostra a figura.

a) Obtenha a altura do tetraedro e verifique que ela é igual a dois terços da diagonal do cubo. b) Obtenha a razão entre o volume do cubo e o volume do tetraedro. 64) (Mack) Remove-se, do cubo da figura, a pirâmide triangular ABCD. Obtém-se, dessa forma, um sólido de volume:

12

a) 3

14

b) 5

11

c) 5

18

d) 3

20

e) 5

16

65) (FEI) São dados dois planos paralelos distantes de 5cm. Considere em um dos planos um triângulo ABC de área 30cm2 e no outro plano um ponto qualquer O. O volume do tetraedro ABCO é: a) 10cm3 b) 20cm3 c) 30cm3 d) 40cm3 e) 50cm3 66) (Unitau) Se dobrarmos convenientemente as linhas tracejadas das figuras a seguir, obteremos três modelos de figuras espaciais cujos nomes são:

a) tetraedro, octaedro e hexaedro. b) paralelepípedo, tetraedro e octaedro. c) octaedro, prisma e hexaedro. d) pirâmide, tetraedro e hexaedro. e) pirâmide pentagonal, prisma pentagonal e hexaedro.

67) (FEI) Seja ABCD um tetraedro regular e X, Y e Z os pontos médios das arestas AB, AC e AD respectivamente. Considere as afirmações: I. O triângulo XCD é isósceles II. O triângulo XBD é retângulo III. O triângulo XYA é equilátero Assinale a alternativa correta: a) Somente a I e II são verdadeiras. b) Somente a I e III são verdadeiras. c) Somente II e III são verdadeiras. d) Todas são verdadeiras. e) Somente I é verdadeira. 68) (Unicamp) Seja P um ponto do espaço eqüidistante dos vértices A, B e C de um triângulo cujos lados medem 8cm, 8cm e 9,6cm. Sendo d(P, A) = 10cm, calcule: a) o raio da circunferência circunscrita ao triângulo ABC; b) a altura do tetraedro, não regular, cujo vértice é o ponto P e cuja base é o triângulo ABC. 69) (AFA) Seja uma pirâmide de base quadrada com arestas de mesma medida. O arc cos do ângulo entre as faces laterais que se interceptam numa aresta é

a) -3

2

b) -3

1

c) 3

1

d) 3

2

70) (UFC) Sejam P1 e P2 dois pontos quaisquer interiores a um tetraedro regular. Sejam d1, a soma das distâncias de P1 às faces do tetraedro regular, e d2, a soma das distâncias de P2 às faces do tetraedro regular. Mostre que d1 = d2. 71) (NOVO ENEM) Um artesão construiu peças de artesanato interceptando uma pirâmide de base quadrada com um plano. Após fazer um estudo das diferentes peças que poderia obter, ele concluiu que uma delas poderia ter uma das faces pentagonal. Qual dos argumentos a seguir justifica a conclusão do artesão? a) Uma pirâmide de base quadrada tem 4 arestas laterais e a interseção de um plano com a pirâmide intercepta suas arestas laterais. Assim, esses pontos formam um polígono de 4 lados. b) Uma pirâmide de base quadrada tem 4 faces triangulares e, quando um plano intercepta essa pirâmide,

13

divide cada face em um triângulo e um trapézio. Logo, um dos polígonos tem 4 lados. c) Uma pirâmide de base quadrada tem 5 faces e a interseção de uma face com um plano é um segmento de reta. Assim, se o plano interceptar todas as faces, o polígono obtido nessa interseção tem 5 lados. d) O número de lados de qualquer polígono obtido como interseção de uma pirâmide com um plano é igual ao número de faces da pirâmide. Como a pirâmide tem 5 faces, o polígono tem 5 lados. e) O número de lados de qualquer polígono obtido interceptando-se uma pirâmide por um plano é igual ao número de arestas laterais da pirâmide. Como a pirâmide tem 4 arestas laterais, o polígono tem 4 lados. 72) (PUC-SP) Um imperador de uma antiga civilização mandou construir uma pirâmide que seria usada como seu túmulo. As características dessa pirâmide são 1°) Sua base é um quadrado com 100 m de lado. 2°) Sua altura é de 100 m. Para construir cada parte da pirâmide equivalente a 1000 m3, os escravos, utilizados como mão-de-obra, gastavam, em média, 54 dias. Mantida essa média, o tempo necessário para a construção da pirâmide, medido em anos de 360 dias, foi de a) 40 anos. b) 50 anos. c) 60 anos. d) 90 anos. e) 150 anos. 73) (Mack) Um objeto, que tem a forma de um tetraedro regular reto de aresta 20cm, será recoberto com placas de ouro nas faces laterais e com placa de prata na base. Se o preço do ouro é R$ 30,00 por cm2 e o da prata, R$ 5,00 por cm2, das alternativas dadas, assinale o valor mais próximo, em reais, do custo desse recobrimento. a) 24000 b) 12000 c) 16000 d) 18000 e) 14000 74) (UNIFESP) Um poliedro é construído a partir de um cubo de aresta a > 0, cortando-se em cada um de seus cantos uma pirâmide regular de base triangular eqüilateral (os três lados da base da pirâmide são iguais). Denote por x, 0 < x ≤ a/2, a aresta lateral das pirâmides cortadas.

a) Dê o número de faces do poliedro construído. b) Obtenha o valor de x, 0 < x ≤ a/2, para o qual o volume do poliedro construído fique igual a cinco sextos do volume do cubo original. A altura de cada pirâmide

cortada, relativa à base eqüilateral, é x 3 .

75) (Unirio) Um prisma de altura H e uma pirâmide têm bases com a mesma área. Se o volume do prisma é a metade do volume da pirâmide, a altura da pirâmide é: a) H/6 b) H/3 c) 2H d) 3H e) 6H 76) (Fuvest) Um telhado tem a forma da superfície lateral de uma pirâmide regular, de base quadrada. O lado da base mede 8m e a altura da pirâmide 3m. As telhas para cobrir esse telhado são vendidas em lotes que cobrem 1m2. Supondo que possa haver 10 lotes de telhas desperdiçadas (quebras e emendas), o número mínimo de lotes de telhas a ser comprado é: a) 90 b) 100 c) 110 d) 120 e) 130 77) (UFC) Um tetraedro regular tem arestas medindo

6 cm. Então a medida de suas alturas é igual a:

a) 21

cm b) 1 cm

c) 23

cm d) 2 cm

e) 25

cm 78) (Unicamp) Um tetraedro regular, cujas as arestas medem 9 cm de comprimento, tem vértices nos pontos A, B, C e D. Um plano paralelo ao plano que contém a face

14

BCD encontra as arestas AB, AC e AD, respectivamente, nos pontos R, S e T. a) Calcule a altura do tetraedro ABCD. b) Mostre que o sólido ARST também é um tetraedro regular. c) Se o plano que contém os pontos R, S e T dista 2 centímetros do plano da face BCD, calcule o comprimento das arestas do tetraedro ARST. 79) (Cesgranrio) Uma folha de papel colorido, com a forma de um quadrado de 20 cm de lado, será usada para cobrir todas as faces e a base de uma pirâmide quadrangular regular com altura de 12 cm e apótema de base medindo 5 cm. Após se ter concluído essa tarefa, e levando-se em conta que não houve desperdício de papel, a fração percentual que sobrará dessa folha de papel corresponde a: a) 20% b) 16% c) 15% d) 12% e) 10% 80) (Unirio) Uma pirâmide está inscrita num cubo, como mostra a figura. Sabendo-se que o volume da pirâmide é de 6 m3, então, o volume do cubo, em m3, é igual a:

a) 9 b) 12 c) 15 d) 18

e) 21 81) (PUCCamp) Uma pirâmide regular de base hexagonal é tal que a altura mede 8cm e a aresta da base mede

2 3 cm. O volume dessa pirâmide, em centímetros cúbicos, é:

a) 24 3

b) 36 3

c) 48 3

d) 72 3

e) 144 3 82) (FUVEST) Uma pirâmide tem como base um quadrado de lado 1, e cada uma de suas faces laterais é um triângulo eqüilátero. Então, a área do quadrado, que tem como vértices os baricentros de cada uma das faces laterais, é igual a

a) 9

5

b) 9

4

c) 3

1

d) 9

2

e) 9

1

15

Gabarito

1) V(x) = 12

x25 3

. 2) Alternativa: A 3) Alternativa: B 4) 24 5) a) 2cm b) 4cm 6) a) A = 24 b) d = 4,8 7) Alternativa: B 8) Alternativa: D 9) Alternativa: B 10) d) Como o triângulo VAB é eqüilátero de lado l, VM é

altura e vale 2

3l

. Então a altura h da pirâmide pode ser

obtida pelo sen60o: sen60o = VMh

h = VM.sen60o

h= 2

3l

2

3

= 43l

. Então o volume da pirâmide é

43l

4

3l

31

2

= 16

3l3

11) a) D = (–4, 4, 2) b) V = (2, 7, –1) ou V = (–2, –1, 7) Padrão de resposta oficial: a) Coordenadas de D: AD = BC D = (-4, 4, 2) Medida de cada lado |AB| = 6 b) V = 72 => h = 6 |VH| = 6

VH perpendicular ao plano do quadrado e |VH| = 6 H = (A+C)/2 = (0, 3, 3). VH // AD x AB = (12, 24, -24) VH = (-2, -4, 4) ou VH = (2, 4, -4) V (2, 7, -1) ou V (-2, -1, 7) 12) Alternativa: B 13)

a) 2

575cm2

b) 57

5720cm

14) Alternativa: B

15) a) 4

10

b) 16

9

c) 64

33

16) Alternativa: B Note que a nova altura é metade da altura original e a nova base é 3/4 da base original. Assim, o novo volume é

2

1 .

4

3 .4 = 1,5.

17) a) 60m (use h2 = m.n) b) 120.000m3 (lembre-se que AB = 130m é uma diagonal da base da pirâmide, e não um lado) 18)

16

)(

)(

1111

11

DCBABCDAV

DBCAV =

3

13/

xyz

xyz

19) Alternativa: C 20) Alternativa: E 21) Alternativa: A

22) a) A área é 3 dm2.

b) O valor da distância mínima é 2

2

dm.

23) a) 3 2 cm

b) r = cm

26

24) Alternativa: B 25) Resposta: 57 26) Resp: 28 Resolução: Do ponto A o besouro pode alcançar os pontos B, C, D e E, na primeira etapa. Vejamos quantos caminhos, saindo de A e passando por B, chegam até F:

Percebe-se que há 7 caminhos diferentes. Analogamente, há 7 caminhos diferentes saindo de A, passando por C, até F; há 7 caminhos diferentes saindo de A, passando por D, até F; há 7 caminhos diferentes saindo de A, passando por E, até F. Logo, há 7.4 = 28 caminhos diferentes de A para F, nas condições do problema. 27) Alternativa: A

28) a) 5 2 cm

b) 3

500

cm3 29) Alternativa: B 30) Perímetro = 34cm

31) A = 16

11r 2

(o triângulo AMN é isósceles, com AN = AM = altura das faces equiláteras e MN base média) 32) Alternativa: A 33) Alternativa: C 34) a) F = 8, V = 12, A = 18

b) AT = 7a2 3 35) Alternativa: A

36) a) 4

b) 8

62

c) 16

3

37) Alternativa: B 38) Alternativa: A

39) a) h =2

2 e V =

6

2

b) Basta mostrar que a distância do centro da base é a mesma para as 8 arestas. De início, a distância do centro às

4 arestas da base é R = 2

1. Além disso, a distância do

centro da base à qualquer vértice é 2

2pois essa distância

ou é h ou é metade da diagonal do quadrado da base. Assim, as distâncias do centro à qualquer aresta lateral é a

altura do triângulo isósceles de lados 2

2,

2

2e 1, que

além de tudo é retângulo. Essa altura vale 2

1 também.

c) R = 6

3

40) Resposta: 81cm3 41) Alternativa: B 42) Alternativa: C

43) V = 3 44) Alternativa: C

17

45) Resposta: 13

46) Resposta: 2000m3 e 3600m3

47) a) XY = a 2

b) área da base = 2

6a2

c) Volume = 4

2a3

48) x = 3 u.v. 49) Alternativa: C 50) Alternativa: D 51) Alternativa: B 52) Alternativa: A 53) Alternativa: D

54) a) 6

3a

b) 8

5 2a

c) 41

415a

55) Alternativa: E 56) Alternativa: D

57) a) V = 3

4 cm3

b) 2 cm 58) Alternativa: D 59) a)

m 7,12

4,3BM

m 5,12

3M'B

h'BB

h2 + 1,52 = 1,72 h = 0,8 m

b)

volume = V = V(prisma) + V(pirâmide)

h3

32AB

2

h3V

h24

2

h3V

8hV

60) Alternativa: B 61) Alternativa: B

62) 9 2 cm3

63) a) h =3

32 portanto, equivale a

3

2 da diagonal, que é

3 .

b) razão = 3 64) Alternativa: D 65) Alternativa: E 66) Alternativa: E 67) Alternativa: D 68) a) R = 5cm

b) h = 5 3 cm (note que o pé da altura pedida coincide com o circuncentro O do triângulo) 69) Alternativa: B

18

70) Solução: Seja ABCD um tetraedro regular. Seja P um ponto qualquer interior a esse tetraedro. Considere as pirâmides ABCP, ABDP, BCDP e ACDP. A soma dos volumes dessas quatro pirâmides é igual ao volume do tetraedro. Sejam h1, h2, h3 e h4, respectivamente, as alturas dessas pirâmides e h, a altura do tetraedro. Temos:

.31

31

31

31

31

4321 hShShShShS ABCACDBCDABDABC

Como o tetraedro é regular, os triângulos ABC, ABD, BCD e ACD são todos congruentes. Logo h1 + h2 + h3 + h4 = h. Como h1, h2, h3 e h4 são as distâncias de P às quatro faces do tetraedro, provamos que independente da posição de P essa soma é constante e igual à altura do tetraedro. Assim, sendo P1 e P2 pontos quaisquer no interior do tetraedro, d1 = d2 = h 71) Alternativa: C 72) Alternativa: B 73) Alternativa: C 74) a) 14

b) 2

a

75) Alternativa: E 76) Alternativa: A 77) Alternativa: D

78) a) 3 6 cm b) se o plano RST é paralelo ao plano BCD, então RS//BC, ST//CD e RT//BD e então os triângulos ARS, AST, ART e RTS são eqüiláteros e congruentes, portanto ARST também é tetraedro regular.

c) 9 - 6 cm 79) Alternativa: E 80) Alternativa: D

81) Alternativa: C 82) Alternativa: D