PESQUISA OPERACIONAL- OTIMIZAÇÃO COMBINATÓRIAPROBLEMAS DE OTIMIZAÇÃO EM REDESProf. Angelo Augusto Frozza, M.Sc.

ROTEIRO

Esta aula tem por base o Capítulo 6 do livro de Taha (2008):

Otimização em Redes

CPM e PERT

OTIMIZAÇÃO EM REDES

Definições

Rede Conjunto de nós conectados por arcos (ramos).

Uma rede é descrita pela notação (N, A), sendo N o conjunto de nós e A o conjunto de arcos.

P.ex.:

N = {1, 2, 3, 4, 5}A = {(1, 2), (1, 3), (2, 3), (2, 5), (3, 4), (3, 5), (4, 2), (4, 5)}

OTIMIZAÇÃO EM REDES

Definições

OTIMIZAÇÃO EM REDES

Definições

Rede

Associado com cada rede está um fluxo P.ex.: fluxo de produtos de petróleo em uma tubulação ou

fluxo de automóveis em rodovias;

O fluxo em uma rede é limitado pela capacidade de seus arcos, que pode ser finita ou infinita.

OTIMIZAÇÃO EM REDES

Definições

Rede

Um arco é orientado (ou dirigido) se ele permitir fluxo positivo em uma direção e fluxo zero na direção oposta;

Uma rede orientada é aquela na qual todos os arcos são orientados;

Um caminho é uma sequência de arcos distintos que ligam dois nós passando por outros nós, independente da direção de fluxo em cada arco;

Um caminho forma um ciclo (ou loop) se conectar um nó a si mesmo, passando por outros nós;

OTIMIZAÇÃO EM REDES

Definições

Rede

Uma rede conectada é uma rede tal que todos os pares de nós estão ligados por no mínimo um caminho;

Uma árvore é uma rede conectada sem ciclos, formada por um subconjunto de todos os nós;

Uma árvore geradora é uma árvore que liga todos os nós da rede;

OTIMIZAÇÃO EM REDES

Exemplos

Projetos de rede de tubulação em geral (petróleo, água fluídos industriais etc.);

Determinação do caminho mais curto (trajetos);

Determinação da capacidade máxima de tubulações;

Determinação de cronograma de um projeto;

E muitos outros....

OTIMIZAÇÃO EM REDES

Algoritmos de otimização em redes

Árvore geradora mínima

Algoritmo do caminho mas curto

Algoritmo do fluxo máximo

Algoritmo de caminho crítico (COM – Critical Path Method)

Algoritmo capacitado de rede de custo mínimo

CPM E PERT

CPM – Critical Path Method ou Método do caminho crítico

PERT – Program Evaluation and Review Techniqueou Técnica de Revisão e Avaliação de Programa

São métodos baseados em rede, desenvolvidos para auxiliar no planejamento, na programação e no controle

de projetos.

CPM E PERT

Um projeto é definido como um conjunto de atividades inter-relacionadas, sendo que cada atividade consome tempo e recursos;

O objetivo do CPM e do PERT é fornecer meios analíticos para programar as atividades;

CPM E PERT Em primeiro lugar, se definem as atividades do projeto, suas

relações de precedência e seus requisitos de tempo;

Em seguida, as relações de precedência entre as atividades deverão ser representadas por uma rede;

A terceira etapa envolve cálculos específicos para desenvolver uma programação temporal para o projeto;

Durante a execução do projeto, pode ser que as coisas não ocorram conforme o planejado, assim como algumas atividades podem ser adiantadas ou atrasadas; Quando isso ocorre, a programação deve ser revisada para

refletir a realidade.

CPM E PERT

PERT e CPM são técnicas independentes;

CPM Considera durações determinísticas para as atividades;

PERT Considera durações probabilísticas;

CPM E PERT

Representação em rede

Cada atividade do projeto é representada por um arco que aponta na direção do desenvolvimento de um projeto;

Os nós da rede estabelecem as relações de precedência entre as diferentes atividades;

CPM E PERT

Representação em rede

As três regras para construir a rede: Regra 1: Cada atividade é representada por um, e somente um, arco;

Regra 2: Cada atividade deve ser identificada por dois nós finais distintos;

Regra 3: Para manter as relações corretas de precedência, é preciso responder às seguintes perguntas quando cada atividade for adicionada à rede:

a) Quais atividades devem preceder imediatamente a atividade atual?

b) Quais atividades devem vir após a atividade atual?c) Quais atividades devem ocorrer concorrentemente com a

atividade atual?

CPM E PERT

Representação em rede

Regra 2: Cada atividade deve ser identificada por dois nós finais distintos;

Uma atividade fictícia pode ser usada para representar duas atividades concorrentes, A e B;

Por definição, uma atividade fictícia é representada por um arco tracejado e não consome nem tempo nem recursos;

São usadas para fornecer nós finais exclusivos para as atividades e satisfazer a regra 2;

CPM E PERT

Representação em rede

Regra 2: Cada atividade deve ser identificada por dois nós finais distintos;

Uma atividade fictícia pode ser usada para representar duas atividades concorrentes, A e B;

Por definição, uma atividade fictícia é representada por um arco tracejado e não consome nem tempo nem recursos;

São usadas para fornecer nós finais exclusivos para as atividades e satisfazer a regra 2;

CPM E PERT

Representação em rede

As três regras para construir a rede: Regra 3: Para manter as relações corretas de precedência, é preciso

responder às seguintes perguntas quando cada atividade for adicionada à rede:

a) Quais atividades devem preceder imediatamente a atividade atual?

b) Quais atividades devem vir após a atividade atual?c) Quais atividades devem ocorrer concorrentemente com a

atividade atual?

CPM E PERT

Representação em rede

As respostas para as perguntas da Regra 3 podem exigir a utilização de atividades fictícias para garantir as precedências corretas entre as atividades.

Por exemplo: Considere o seguinte segmento de um projeto:

1. A atividade C começa imediatamente após a conclusão de A e B;2. A atividade E só começa após a conclusão de B.

CPM E PERT

Representação em rede

Faça os exercícios sobre representação de redes. Conjunto 6.5A do livro Problema número 1 Problema número 6 Problema número 8

CPM E PERT

Cálculos do caminho crítico

O resultado final do COM é a construção da programação temporal para o projeto;

CPM E PERT

Cálculos do caminho crítico

Para atingir esse objetivo de modo conveniente, executamos cálculos especiais para produzir as seguintes informações:

1. Duração total necessária para concluir o projeto;

2. Classificação das atividades do projeto como críticas e não críticas;

Uma atividade é crítica se não houver nenhum “espaço de manobra”, ou folga, na determinação de seus tempos de início e conclusão;

Uma atividade não crítica permite certa folga na programação, de modo que o tempo de início da atividade pode ser adiantado ou atrasado dentro de limites sem que afete a conclusão do projeto como um todo.

CPM E PERT

Cálculos do caminho crítico

Para fazer todos os cálculos necessários, define-se um eventocomo o ponto no tempo em que as atividades são concluídas e outras iniciadas;

Em termos de rede, um evento corresponde a um nó;

Defina-se: j = tempo mais cedo da ocorrência do evento j j = tempo mais tarde da ocorrência do evento j Dij = duração da atividade (i, j)

CPM E PERT

Cálculos do caminho crítico

As definições do tempo mais cedo e do tempo mais tarde da ocorrência do evento j são especificadas em relação às datas de início e conclusão do projeto inteiro;

Os cálculos do caminho crítico envolvem dois passos: Primeiro: o cálculo no sentido nó inicial - nó final do projeto,

denominado forward pass, que determina os tempos mais cedo de ocorrência dos eventos

Segundo: o cálculo no sentido nó final – nó inicial, denominado backward pass, que determina os tempos mais tarde de ocorrência dos eventos;

CPM E PERT Cálculos do caminho crítico

Forward pass (tempos mais cedo de ocorrência, ) Os cálculos começam no nó 1 e continuam recursivamente até o nó

final n;

Etapa inicial: determine 1 = 0 para indicar que o projeto começa no tempo 0;

Etapa geral: dado que os nós p, q, ...., e v são ligados diretamente ao no j por atividades de entrada (p, j), (q, j), ..., e (v, j), e que os tempos de ocorrência mais cedo dos eventos (nós) p, q, ..., e v já foram calculados, a ocorrência mais cedo do evento j é calculada como:

, = max { p + Dpj, q + Dqj, ..., v + Dvj}

O forward pass vai estar concluído quando n no nó n tiver sido calculado.

j representa o caminho (duração) mais longo até o nó j.

CPM E PERT Cálculos do caminho crítico

Backard pass (tempos mais tarde de ocorrência, ) Após a conclusão do forward pass, os cálculos do backward pass

começam no nó n e terminam no nó 1;

Etapa inicial: determine n = n para indicar que os tempos mais cedo e mais tarde da ocorrência do último nó do projeto serão os mesmos;

Etapa geral: dado que os nós p, q, ...., e v são ligados diretamente ao no j por atividades de entrada (j, p), (j, q), ..., e (j, v), e que os tempos mais tarde de ocorrência dos nós p, q, ..., e v já foram calculados, a ocorrência mais tarde do nó j é calculada como:

, = min {p - Djp, q - Djq, ..., v - Djv}

O backard pass vai estar concluído quando 1 no nó 1 for calculado. 1 = 1 (= 0)

CPM E PERT Cálculos do caminho crítico

Com base nos cálculos precedentes, uma atividade (i, j) será crítica se satisfazer três condições:

1. i = i2. j = j

3. j - i = j - i = Dij

As três condições declaram que os tempos mais cedo e mais tarde da ocorrência dos nós finais i e j são iguais, e que a duração Dij se ajusta “rigidamente” ao espaço de tempo especificado.

Portanto, uma atividade que não satisfaça as três condições é não crítica.

Por definição, as atividades críticas de uma rede devem constituir um caminho ininterrupto que abranja toda a rede, do início ao fim.

CPM E PERT

Exercício

CPM E PERT

Exercícios

Faça os exercícios sobre representação de redes. Conjunto 6.5B do livro Problema número 1 Problema número 2 Problema número 3

CPM E PERT

O que você pode aprofundar no estudo de CPM:

Para saber mais sobre resolver problemas de COM, procure estudar também: Regras para construção da programação temporal Formulação do problema de CPM em Programação Linear

Estes dois tópicos são cobertos pelo livro de TAHA (2008).

CPM E PERT

O que mais você pode aprofundar

A diferença entre CPM e PERT é que no PERT, a duração de uma atividade se baseia em três estimativas: Tempo otimista, a, que ocorre quando a execução vai muitíssimo

bem; Tempo mais provável, m, que ocorre quando a execução transcorre

sob condições normais; Tempo pessimista, b, que ocorre quando a execução vai muitíssimo

mal.

Dê uma olhada no livro de TAHA (2008) sobre como resolver problemas de PERT.

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

TAHA, H. A. Pesquisa Operacional. 8. ed. São Paulo: Pearson, 2008.