Oscilações e

Ressonância

Oscilador Harmônico Simples

𝑭𝒓𝒆𝒔𝒕

Para este modelo, iremos supor que a mola não possuí massa e a Força Restauradora é diretamente proporcional à posição em relação ao ponto de equilíbrio

𝑭𝒓𝒆𝒔𝒕 = −𝒌𝒙

𝑭𝒓𝒆𝒔𝒕

𝑭𝒓𝒆𝒔𝒕

𝑭𝒓𝒆𝒔𝒕

Segunda Lei de Newton

𝑚𝑑2𝑥(𝑡)

𝑑𝑡2= −𝑘𝑥(𝑡)

Força Resultante Força Restauradora

𝑚𝑑2𝑥(𝑡)

𝑑𝑡2= −𝑘𝑥(𝑡)

𝑚𝑑2𝑥(𝑡)

𝑑𝑡2= −𝑘𝑥(𝑡)

𝑑2𝑥(𝑡)

𝑑𝑡2= −

𝑘

𝑚𝑥(𝑡)

𝑑2𝑥(𝑡)

𝑑𝑡2= −

𝑘

𝑚𝑥(𝑡)

• Duas constatações óbvias

• Esta é uma equação diferencial • A solução dela é uma função x(t) que satisfaça a equação

anterior

𝑑2𝑥(𝑡)

𝑑𝑡2= −

𝑘

𝑚𝑥(𝑡)

• Ela nos diz que se derivarmos duas vezes essa função x(t), obteremos essa mesma função multiplicada por uma constante

• Qual a função que ao ser derivada, fica sempre muito parecida ?!

𝑑2𝑥(𝑡)

𝑑𝑡2= −

𝑘

𝑚𝑥(𝑡)

• Ela nos diz que se derivarmos duas vezes essa função x(t), obteremos essa mesma função multiplicada por uma constante

• Qual a função que ao ser derivada, fica sempre muito parecida ?!

• 𝑥 𝑡 = 𝑒λ𝑡 • λ é alguma constante

𝑑2𝑥(𝑡)

𝑑𝑡2= −

𝑘

𝑚𝑥(𝑡)

• Vamos colocar essa possível solução na equação diferencial e ver o que acontece

• 𝑥 𝑡 = 𝑒λ𝑡

𝑑2𝑒λ𝑡

𝑑𝑡2= −

𝑘

𝑚𝑒λ𝑡

𝑑2𝑒λ𝑡

𝑑𝑡2= −

𝑘

𝑚𝑒λ𝑡

𝑑2𝑒λ𝑡

𝑑𝑡2= −

𝑘

𝑚𝑒λ𝑡

λ2𝑒λ𝑡 = −𝑘

𝑚𝑒λ𝑡

𝑑2𝑒λ𝑡

𝑑𝑡2= −

𝑘

𝑚𝑒λ𝑡

𝑚λ2𝑒λ𝑡 = −𝑘

𝑚𝑒λ𝑡

𝑚λ2𝑒λ𝑡 = −𝑘

𝑚𝑒λ𝑡

λ2𝑒λ𝑡 +𝑘

𝑚𝑒λ𝑡 = 0

λ2𝑒λ𝑡 +𝑘

𝑚𝑒λ𝑡 = 0

λ2𝑒λ𝑡 +𝑘

𝑚𝑒λ𝑡 = 0

• Fatorando 𝑒λ𝑡

λ2𝑒λ𝑡 +𝑘

𝑚𝑒λ𝑡 = 0

• Fatorando 𝑒λ𝑡

(λ2+𝑘

𝑚)𝑒λ𝑡 = 0

(λ2+𝑘

𝑚)𝑒λ𝑡 = 0

(λ2+𝑘

𝑚)𝑒λ𝑡 = 0

(λ2+𝑘

𝑚) 𝑒λ𝑡= 0

=0 ≠0

(λ2+𝑘

𝑚) 𝑒λ𝑡= 0

=0 ≠0

(λ2+𝑘

𝑚) = 0

(λ2+𝑘

𝑚) = 0

• Resolvendo essa equação do segundo grau, obtemos como raízes

λ = −𝑖𝑘

𝑚

E

λ = 𝑖𝑘

𝑚

𝑥1 𝑡 = 𝑐1𝑒−𝑖

𝑘𝑚

t

𝑥2 𝑡 = 𝑐2𝑒𝑖

𝑘𝑚

t

• Pelo princípio da superposição, a solução geral é a

soma das soluções independentes

𝑥 𝑡 = 𝑐1𝑒−𝑖

𝑘𝑚

t + 𝑐2𝑒

𝑖𝑘𝑚

t

• Pelo princípio da superposição, a solução geral é a

soma das soluções independentes

𝑥 𝑡 = 𝑐1𝑒−𝑖

𝑘𝑚

t + 𝑐2𝑒

𝑖𝑘𝑚

t

• Usando a fórmula de Euller

𝑒𝑖𝑥 = cos 𝑥 + 𝑖𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑒−𝑖𝑥 = cos 𝑥 − 𝑖𝑠𝑒𝑛 𝑥

• Pelo princípio da superposição, a solução geral é a

soma das soluções independentes

𝑥 𝑡 = 𝑐1𝑒−𝑖

𝑘𝑚

t + 𝑐2𝑒

𝑖𝑘𝑚

t

• Usando a fórmula de Euller

𝑒𝑖𝑥 = cos 𝑥 + 𝑖𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑒−𝑖𝑥 = cos 𝑥 − 𝑖𝑠𝑒𝑛 𝑥

• Reorganizando tudo, chegamos em....

𝑥 𝑡 = 𝑐1 cos𝑘𝑚 𝑡 + 𝑐2𝑠𝑒𝑛

𝑘𝑚 𝑡

Oscilador Forçado e Amortecido

𝑚𝑑2𝑥(𝑡)

𝑑𝑡2= −𝑘𝑥 𝑡 − 𝑐

𝑑𝑥

𝑑𝑡+ 𝐹(𝑡)

Força Resultante

Força Restauradora

Força Dissipativa

Força Externa

Efeito de Ressonância

𝑚𝑑2𝑥(𝑡)

𝑑𝑡2= −𝑘𝑥 𝑡 − 𝑐

𝑑𝑥

𝑑𝑡+ 𝐹(𝑡)

Força Resultante

Força Restauradora

Força Dissipativa

Força Externa

• Força externa do tipo

𝐹 𝑡 = 𝐹0𝑠𝑒𝑛(ω𝑡)

Efeito de Ressonância

𝑚𝑑2𝑥(𝑡)

𝑑𝑡2= −𝑘𝑥 𝑡 − 𝑐

𝑑𝑥

𝑑𝑡+ 𝐹(𝑡)

Força Resultante

Força Restauradora

Força Dissipativa

Força Externa

• Força externa do tipo

𝐹 𝑡 = 𝐹0𝑠𝑒𝑛(ω𝑡)

Efeito de Ressonância

𝑚𝑑2𝑥(𝑡)

𝑑𝑡2= −𝑘𝑥 𝑡 − 𝑐

𝑑𝑥

𝑑𝑡+ 𝐹0𝑠𝑒𝑛(ω𝑡)

Força Resultante

Força Restauradora

Força Dissipativa

Força Externa

Efeito de Ressonância

• Não vou resolver essa

equação diferencial, mas

tá resolvida AQUI

Efeito de Ressonância