oscilações de grandes amplitudes num corpo que se move com...
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UNIVERSIDADE FEDERAL DE ITAJUB
INSTITUTO DE ENGENHARIA MECNICA
PROGRAMA DE PS-GRADUAO EM ENGENHARIA MECNICA
DISSERTAO DE MESTRADO
Oscilaes de Grandes Amplitudes num Corpo que se Move com Velocidade Constante
Autor: Jan Novaes Recicar
Orientador: Prof. Dr. Luiz Antonio Alcntara Pereira
Co-orientador: Prof. Ph.D. Miguel Hiroo Hirata
Itajub, Abril de 2007
UNIVERSIDADE FEDERAL DE ITAJUB
INSTITUTO DE ENGENHARIA MECNICA
PROGRAMA DE PS-GRADUAO EM ENGENHARIA MECNICA
DISSERTAO DE MESTRADO
Oscilaes de Grandes Amplitudes num Corpo que se Move com Velocidade Constante
Autor: Jan Novaes Recicar
Orientador: Prof. Dr. Luiz Antonio Alcntara Pereira
Co-orientador: Prof. Ph.D. Miguel Hiroo Hirata
Curso: Mestrado em Engenharia Mecnica
rea de Concentrao: Dinmica dos Fluidos e Mquinas de Fluxo
Dissertao submetida ao Programa de Ps-Graduao em Engenharia Mecnica como
parte dos requisitos para obteno do Ttulo de Mestre em Engenharia Mecnica.
Itajub, Abril de 2007
M.G. Brasil
UNIVERSIDADE FEDERAL DE ITAJUB
INSTITUTO DE ENGENHARIA MECNICA
PROGRAMA DE PS-GRADUAO EM ENGENHARIA MECNICA
DISSERTAO DE MESTRADO
Oscilaes de Grandes Amplitudes num Corpo que se Move com Velocidade Constante
Autor: Jan Novaes Recicar
Orientador: Prof. Dr. Luiz Antonio Alcntara Pereira
Co-orientador: Prof. Ph.D. Miguel Hiroo Hirata Composio da Banca Examinadora:
Prof. Dr. Srgio Viosa Mller - UFRGS Prof. Dra. Ana Lucia Fernandes de Lima e Silva - UNIFEI Prof. Ph.D. Miguel Hiroo Hirata (Co-orientador) - UNIFEI Prof. Dr. Luiz Antonio Alcntara Pereira (Orientador) - UNIFEI
Dedicatria
Aos meus pais, Vojtech e Maria Lygia, que sempre me incentivaram na formao e no
desenvolvimento cultural.
Agradecimentos
Ao meu Orientador, Professor Dr. Luiz Antonio Alcntara Pereira, pela competncia,
dedicao, pacincia e amizade.
Ao Professor Ph.D. Miguel Hiroo Hirata, pela sua valiosa ajuda na co-orientao deste
trabalho.
Ao Professor Dr. Jos Eugnio Rios Ricci, por seu apoio e por me apresentar ao grupo
de trabalho de Mtodo de Vrtices.
O rio atinge seus objetivos porque aprendeu a contornar obstculos
(Lao-Ts)
Resumo
RECICAR, J. N. (2007), Oscilaes de Grandes Amplitudes num Corpo que se Move com
Velocidade Constante, Itajub, 119p. Dissertao (Mestrado em Mquinas de Fluxo) -
Instituto de Engenharia Mecnica, Universidade Federal de Itajub.
Este trabalho analisa o escoamento de um fluido Newtoniano com propriedades
constantes ao redor de um corpo oscilante que se move com velocidade constante. A oscilao
do corpo perpendicular direo do escoamento. So apresentados resultados referentes
anlise da influncia da freqncia e da amplitude de oscilao de um cilindro circular sobre o
clculo das cargas aerodinmicas e sobre o nmero de Strouhal. A simulao numrica
realizada utilizando-se o Mtodo de Vrtices Discretos. Para cada incremento de tempo da
simulao, um nmero de vrtices discretos de Lamb gerado prximo superfcie do corpo;
a intensidade dos vrtices nascentes calculada para satisfazer a condio de escorregamento-
nulo. As cargas aerodinmicas so calculadas utilizando uma formulao integral derivada de
uma equao de Poisson para a presso. Trs tipos de regimes de escoamento so
identificados durante um aumento na freqncia de oscilao do corpo. O primeiro tipo
observado para baixas freqncias de oscilao do corpo; nesta situao o nmero de Strouhal
permanece quase constante correspondendo ao nmero de Strouhal de um corpo sem
oscilao. O segundo tipo corresponde a um regime de transio, onde aparentemente a
freqncia de emisso de vrtices no correlaciona com a freqncia de oscilao do corpo.
Finalmente para altas freqncias de oscilao do corpo a freqncia de emisso de vrtices
coincide com a freqncia de oscilao do corpo denominada de freqncia de lock-in.
Palavras-chave
Mtodo de vrtices, mtodo dos painis, cargas aerodinmicas, nmero de Strouhal,
corpo oscilante.
Abstract
RECICAR, J. N. (2007), Large Amplitude Oscillation in a Body which Moves with Constant
Velocity, Itajub, 119p. MSc. Dissertation - Instituto de Engenharia Mecnica,
Universidade Federal de Itajub.
The flow around a heaving body which moves with constant velocity in a quiescent
Newtonian fluid with constant properties is analyzed. For the circular cylinder is presented the
influences of the frequency and amplitude oscillation on the aerodynamics loads and on the
Strouhal number. For the numerical simulations, the Discrete Vortex Method is used. In the
vortex method the vorticity generated on the body surface is discretized and represented by a
cloud of particles carrying vorticity. Lamb vortices with a viscous core are used for that
matter. For each time step of the simulation, a number of discrete vortices are placed close to
the body surface; the intensity of them is determined such as to satisfy the no-slip boundary
condition. The aerodynamics loads are obtained using an integral equation derived from the
pressure Poisson equation. It is also possible to identify three different types of flow regime as
the cylinder oscillation frequency increases. The first type is observed for low frequency
range of the cylinder oscillation; in this situation the Strouhal number remains almost
constant. The first type is followed by an intermediate range of frequency, the transition
regime, where apparently the shedding frequency does not correlate to the frequency of the
cylinder oscillation. Finally in the third type, high frequency of cylinder oscillation, the vortex
shedding frequency is locked-in with the cylinder oscillation frequency.
Keywords
Vortex method, panels method, aerodynamics loads, Strouhal number, oscillating bluff
body.
i
Sumrio
SUMRIO_________________________________________________________________I
LISTA DE FIGURAS______________________________________________________ IV
LISTA DE TABELAS _____________________________________________________ VI
SIMBOLOGIA __________________________________________________________ VII
LETRAS LATINAS ______________________________________________________ VII
LETRAS GREGAS ______________________________________________________VIII
SUPERESCRITOS________________________________________________________ IX
SUBSCRITOS____________________________________________________________ IX
SIGLAS __________________________________________________________________ X
CAPTULO 1 _____________________________________________________________ 1
INTRODUO ___________________________________________________________ 1
CAPTULO 2 _____________________________________________________________ 6
REVISO BIBLIOGRFICA _______________________________________________ 6
2.1 ESCOAMENTO AO REDOR DE UM CORPO OSCILANTE O QUAL SE MOVE
COM VELOCIDADE CONSTANTE ----------------------------------------------------------------- 6
2.1.1 Referncias Utilizadas---------------------------------------------------------------------- 6
2.1.2 Referncias Gerais -------------------------------------------------------------------------- 7
2.2 O MTODO DE VRTICES------------------------------------------------------------------- 9
CAPTULO 3 ____________________________________________________________ 13
FORMULAO GERAL DO PROBLEMA E O MTODO DE VRTICES_______ 13
3.1 INTRODUO----------------------------------------------------------------------------------13
3.2 FORMULAO GERAL DO MTODO ---------------------------------------------------14
ii
3.3 HIPTESES SIMPLIFICADORAS ----------------------------------------------------------17
3.4 EQUAES E CONDIES DE CONTORNO QUE DEFINEM O MODELO------18
3.5 ADIMENSIONALIZAO DAS EQUAES--------------------------------------------19
3.6 O MTODO DE VRTICES------------------------------------------------------------------21
3.6.1 Equao do Transporte da Vorticidade -------------------------------------------------22
3.6.2 A Separao dos Efeitos Viscosos-------------------------------------------------------23
3.6.3 Conveco da Vorticidade ----------------------------------------------------------------23
3.6.4 Difuso da Vorticidade--------------------------------------------------------------------29
3.6.5 Gerao da Vorticidade -------------------------------------------------------------------30
3.6.6 Conservao da Circulao ---------------------------------------------------------------33
3.6.7 Cargas Aerodinmicas --------------------------------------------------------------------33
CAPTULO 4 ____________________________________________________________ 37
IMPLEMENTAO NUMRICA __________________________________________ 37
4.1 INTRODUO----------------------------------------------------------------------------------37
4.2 ALGORTMO GERAL DO MTODO ------------------------------------------------------37
CAPTULO 5 ____________________________________________________________ 46
ANLISE DOS RESULTADOS DA SIMULAO NUMRICA_________________ 46
5.1 INTRODUO----------------------------------------------------------------------------------46
5.1 PARMETROS UTILIZADOS NA SIMULAO NUMRICA-----------------------47
5.2 CILINDRO CIRCULAR -----------------------------------------------------------------------50
5.2.1 Cilindro circular sem oscilao ----------------------------------------------------------50
5.2.2 Cilindro circular oscilando----------------------------------------------------------------58
CAPTULO 6 ____________________________________________________________ 72
CONCLUSES E SUGESTES ____________________________________________ 72
6.1 INTRODUO----------------------------------------------------------------------------------72
6.2 CONCLUSES E SUGESTES--------------------------------------------------------------73
REFERNCIAS BIBLIOGRFICAS ________________________________________ 76
APNDICE A ____________________________________________________________ 82
OBTENO DA EQUAO DO TRANSPORTE DE VORTICIDADE 3D E 2D ___ 82
APNDICE B ____________________________________________________________ 86
DETALHES DO CLCULO DAS VELOCIDADES ____________________________ 86
APNDICE C ____________________________________________________________ 91
iii
DISTRIBUIO DA VORTICIDADE E DA VELOCIDADE INDUZIDA _________ 91
C.1 O VRTICE POTENCIAL--------------------------------------------------------------------92
C.2 O VRTICE LAMB----------------------------------------------------------------------------95
APNDICE D ____________________________________________________________ 98
VELOCIDADE INDUZIDA POR UMA NUVEM DE VORTICES ________________ 98
iv
Lista de Figuras
Figura 1 Definio do problema---------------------------------------------------------------------14
Figura 2 Distribuio de fontes com densidade uniforme----------------------------------------25
Figura 3 Representao de um painel genrico do corpo ----------------------------------------26
Figura 4 Velocidade induzida pelo corpo ----------------------------------------------------------27
Figura 5 Fluxo de vorticidade atravs da parede --------------------------------------------------31
Figura 6 Vrtice de Lamb ----------------------------------------------------------------------------31
Figura 7 Algoritmo de implementao do programa OSCILLATION.FOR----------------38
Figura 8 Detalhe da distribuio de painis no cilindro circular --------------------------------48
Figura 9 Determinao da freqncia de emisso de vrtices -----------------------------------51
Figura 10 Clculo da amplitude mdia de LC -----------------------------------------------------52
Figura 11 Comparao dos resultados mdios de coeficiente de presso )C( P ---------------54
Figura 12 Cargas aerodinmicas integradas (sem oscilao) ------------------------------------54
Figura 13 Evoluo da vorticidade aps 800 iteraes (sem oscilao)------------------------55
Figura 14 Campo de velocidades e manchas de vorticidade-------------------------------------56
Figura 15 Campo de velocidade e vorticidade (trecho a - b ) --------------------------------56
Figura 16 Campo de velocidades e vorticidade ( LC mximo negativo)------------------------57
Figura 17 Campo de velocidades e vorticidade (trecho b - c )--------------------------------57
Figura 18 Amplitude mdia do CL em funo da amplitude de oscilao para 05,0= ---59
Figura 19 Amplitude mdia do CL em funo da amplitude de oscilao para 5,1= ------60
Figura 20 Cargas aerodinmicas integradas ( 0,1= e 3,0A = ) -------------------------------61
Figura 21 Distribuio do coeficiente de presso ( 0,1= e 3,0A = ) -------------------------61
Figura 22 Nmero de Strouhal de emisso de vrtices em funo do Strouhal do corpo----63
v
Figura 23 Nmero de Strouhal para amplitude de oscilao 5,0A = --------------------------65
Figura 24 Nmero de Strouhal para amplitude de oscilao 3,0A = --------------------------66
Figura 25 Freqncia de lock-in em funo da amplitude de oscilao do corpo----------67
Figura 26 Esteira para corpo parado (a) e corpo oscilando (b) ----------------------------------68
Figura 27 Esteira para 33t = , 5,0A = e 0,1= -------------------------------------------------68
Figura 28 Campo de velocidades e mancha de vorticidade --------------------------------------69
Figura 29 Esteira para 3,28t = , 5,0A = e 0,1= -----------------------------------------------69
Figura 30 Campo de velocidades e manchas de vorticidade-------------------------------------69
Figura 31 Padro da esteira para 4,31t = , 5,0A = e 0,1= -----------------------------------70
Figura 32 Campo de velocidades e manchas de vorticidade-------------------------------------70
Figura 33 Oscilao, velocidade, acelerao e sustentao para 5,1= e 15,0A = ---------71
Figura 34 Velocidade induzida sobre o ponto de controle do painel ---------------------------86
Figura 35 Painis utilizados nas verificaes das velocidades induzidas ----------------------87
Figura 36 Painel superior frontal --------------------------------------------------------------------88
Figura 37 Painel inferior frontal ---------------------------------------------------------------------88
Figura 38 Painel traseiro superior -------------------------------------------------------------------89
Figura 39 Painel inferior traseiro --------------------------------------------------------------------89
Figura 40 Painel horizontal superior ----------------------------------------------------------------90
Figura 41 Painel horizontal inferior -----------------------------------------------------------------90
Figura 42 Velocidade induzida pelo escoamento incidente uniforme --------------------------92
Figura 43 Velocidade induzida pelo vrtice potencial--------------------------------------------94
Figura 44 Velocidade induzida pelo vrtice de Lamb --------------------------------------------97
vi
Lista de Tabelas
Tabela 1 Parmetros utilizados na simulao numrica ------------------------------------------49
Tabela 2 Cilindro circular sem oscilao-----------------------------------------------------------53
Tabela 3 Estudo para baixas velocidades angulares de oscilao -------------------------------58
Tabela 4 Estudo para altas velocidades angulares de oscilao ---------------------------------59
Tabela 5 Corpo sem oscilao -----------------------------------------------------------------------62
Tabela 6 Corpo com oscilao de pequena amplitude--------------------------------------------62
Tabela 7 Corpo com oscilao de grande amplitude----------------------------------------------64
Tabela 8 Corpo com oscilao de mdia amplitude-----------------------------------------------66
vii
Simbologia
Letras Latinas
A Amplitude da oscilao do corpo
b Comprimento caracterstico
DC Coeficiente de arrasto
LC Coeficiente de sustentao
Cp Coeficiente de presso
d Dimetro do cilindro circular
D Fora de arrasto
f Freqncia associada a emisso de vrtices
Cf Freqncia de oscilao do corpo
K Elemento da matriz de influncia
KC Nmero de Keulegan-Carpenter
L Fora de sustentao
M Nmero de painis planos
Nv Nmero total de vrtices discretos presentes na esteira
p Campo de presses
Re Nmero de Reynolds
S Define fronteira da regio fluida
CS Superfcie do corpo
S Superfcie a grandes distncias
viii
St Nmero de Strouhal
0T Tempo caracterstico
t Referente ao tempo
U Velocidade do escoamento incidente
u Campo de velocidades
iu Vetor velocidade do escoamento incidente
cu Vetor velocidade induzida pelo corpo
vu Vetor velocidade induzida pela nuvem de vrtices
u Componente em x da velocidade
v Componente em y da velocidade
V Vetor velocidade do corpo
xV Componente em x do vetor velocidade do corpo
yV Componente em y do vetor velocidade do corpo
x Coordenada em x da partcula y Coordenada em y da partcula
dx Coordenada em x do vetor avano randmico
dy Coordenada em y do vetor avano randmico
0y Posio instantnea, em y , do corpo oscilante
0y& Componente em y do vetor velocidade do corpo
Y Trabalho especfico total
dZ Vetor avano randmico
Letras Gregas
Velocidade angular da oscilao do corpo
Constante Pi ( 141593.3 = ) Referente ao contorno do corpo
Massa especfica
Viscosidade cinemtica
ix
Viscosidade dinmica
t Incremento de tempo
Densidade de fontes
0 Raio do ncleo do vrtice de Lamb
Densidade de vrtices
Intensidade do vrtice
Representa um somatrio
Campo de vorticidades
Componente do vetor vorticidade
Domnio do escoamento
s Comprimento do painel
ngulo do painel
Posio de desprendimento dos vrtices discretos
Operador Nabla
2 Operador Laplaciano
Superescritos
* Designa varivel adimensional
Subscritos
Denota componente tangencial
n Referente a direo normal
Denota condies de escoamento no-perturbado
x
Siglas
UNIFEI Universidade Federal de Itajub
Captulo 1
INTRODUO
O estudo do escoamento incompressvel e em regime no-permanente de um fluido
Newtoniano com propriedades constantes ao redor de um corpo oscilante movendo-se com
velocidade constante de grande importncia para as anlises aerodinmicas e
hidrodinmicas em vrias reas da engenharia.
As oscilaes de pequena amplitude so importantes na anlise de corpos imersos tais
como trocadores de calor, ps de turbomquinas e asas de avio; e uma ateno especial deve
ser tomada na condio de lock-in, ou seja, na regio onde a freqncia de emisso de
vrtices a mesma da freqncia de oscilao do corpo.
As oscilaes de grandes amplitudes, por outro lado, so relevantes em corpos
localizados em ondas e correntes tais como risers, linhas de transmisso, ps de
helicpteros, etc.
O movimento oscilatrio de pequena amplitude modifica, principalmente, o campo
prximo superfcie do corpo tendo, como conseqncia, um importante efeito nas foras
aerodinmicas e na distribuio de presso. Se o movimento oscilatrio for de grande
amplitude observa-se, adicionalmente, a influncia do movimento na esteira do corpo, o qual
pode ser importante no estudo com vrios corpos ou na presena de uma superfcie.
2
O crescente avano na rea computacional tem permitido a realizao de simulaes
numricas mais refinadas ao redor de geometrias complexas levando-se em conta os efeitos
viscosos. Como geometrias complexas aqui se entendem: uma asa se movimentando nas
proximidades de uma superfcie plana, o escoamento ao redor de um conjunto de prdios
residenciais, o escoamento ao redor de cabos de uma rede de transmisso de energia, o
movimento das ps no interior da voluta de uma mquina de fluxo, etc.
Neste contexto, o Grupo de Mtodo de Vrtices da UNIFEI vem analisando desde 1997
situaes que envolvem: interferncia entre fronteiras slidas podendo ou no existir
movimento relativo entre elas; efeitos de oscilao de corpos e aspectos relacionados com
transferncia de calor. Para a anlise das situaes anteriormente mencionadas utiliza-se uma
classe geral de mtodos numricos denominados de Mtodos de Partculas. O Mtodo de
Vrtices Discretos, tema central deste trabalho, o representante mais conhecido dos
Mtodos de Partculas; neste mtodo a vorticidade presente no meio fluido discretizada e
representada por uma nuvem de vrtices discretos. Cada vrtice discreto presente na nuvem
de vrtices tem a sua trajetria acompanhada individualmente ao longo de toda a simulao, o
que caracteriza uma descrio puramente lagrangeana. Veja, por exemplo, os trabalhos de
Chorin (1973), Lewis (1999), Kamemoto (1994), Sarpkaya (1989), Alcntara Pereira et al.
(2002), Hirata et al. (2003) e Kamemoto (2004).
O presente trabalho se insere dentro das atividades que vem sendo desenvolvidas pelo
Grupo de Mtodo de Vrtices da UNIFEI contribuindo para o esclarecimento de uma classe
importante dos fenmenos fsicos: a oscilao de corpos imersos num meio fluido.
Em um trabalho anterior, Silva (2004) utilizou o Mtodo de Vrtices Discretos para
estudar as propriedades aerodinmicas de um escoamento ao redor de um corpo com a
restrio de pequenas amplitudes de oscilao. Diferentemente do presente trabalho, a
presena da oscilao do corpo foi considerada fazendo-se uma transferncia das condies
de contorno de uma posio atual do corpo para uma posio mdia por ele ocupada.
Mustto et al. (1998) apresentaram resultados para um cilindro girante considerando
altos nmeros de Reynolds e baixas freqncias de rotao, prevendo a ocorrncia do Efeito
Magnus. Utilizaram o Mtodo de Vrtices Discretos para o clculo dos avanos difusivos e
convectivos; o processo de gerao de vorticidade satisfaz a condio de escorregamento-nulo
e o Teorema do Crculo utilizado para satisfazer a condio de impenetrabilidade. O clculo
3
das cargas aerodinmicas feito com a utilizao das frmulas generalizadas de Blasius,
independente do conhecimento da distribuio das presses na superfcie do corpo.
Uma abordagem mais simples para este problema seria considerar o corpo fixo e deixar
oscilar o escoamento incidente, conforme o trabalho de Bodstein (2005). No entanto, a
restrio que se faz a esta abordagem que o fluido inteiro oscila com a mesma freqncia e
amplitude, o qual no verdade numa situao real, principalmente na regio da esteira do
corpo.
O presente trabalho tem como objetivo principal analisar o escoamento bidimensional,
incompressvel e em regime no-permanente de um fluido Newtoniano com propriedades
constantes que se realiza ao redor de um corpo, o qual apresenta um movimento de oscilao
de amplitude qualquer superposto ao movimento principal. O movimento de oscilao do
corpo transversal direo do escoamento, embora a metodologia desenvolvida possa ser
generalizada para uma oscilao qualquer. Escolheu-se um cilindro de seo circular como a
geometria a ser analisada.
Deste modo tem-se como finalidades: (a) definir os parmetros numricos que so
variveis na simulao numrica; (b) calcular a evoluo no tempo dos coeficientes de arrasto
e sustentao para o cilindro circular fixo e quando apresenta um movimento de oscilao
transversal direo do escoamento; (c) comparar os resultados numricos obtidos nesta
simulao com valores experimentais e com outros resultados numricos disponveis na
literatura; (d) preparar o algoritmo desenvolvido neste trabalho, a fim de que ele seja uma
referncia para o desenvolvimento de trabalhos futuros.
Os resultados para um cilindro circular fixo so apresentados e comparados com os
resultados experimentais e numricos disponveis na literatura. No caso do cilindro circular
oscilando transversalmente ao escoamento incidente, a comparao dos resultados feita
apenas considerando os resultados numricos disponveis na literatura. importante salientar
que apesar do nmero de Reynolds utilizado nas simulaes ser alto, nenhuma tentativa foi
feita de se incluir uma modelagem de turbulncia, o que pode ser considerado de acordo com
Alcntara Pereira et al. (2002).
Para o clculo das cargas aerodinmicas utilizada a formulao apresentada por
Shintani & Akamatsu (1994), que leva em considerao a contribuio de todos os vrtices
presentes na esteira. Nas simulaes efetuadas as cargas aerodinmicas integradas, tais como
4
os coeficientes de arrasto e de sustentao, a distribuio de presso e o nmero de Strouhal
apresentam uma boa concordncia com os resultados experimentais. Devido emisso
alternada dos vrtices, o coeficiente de sustentao oscila ao redor de zero, durante toda a
simulao numrica. A amplitude de oscilao deste coeficiente, porm, aumenta com a
oscilao do cilindro.
possvel identificar trs tipos de regimes de escoamento relacionados com a
freqncia de oscilao. O primeiro tipo, tipo I, observado para baixas freqncias de
oscilao do cilindro; nesta situao o nmero de Strouhal permanece quase constante. O
segundo tipo, tipo II, ocorre para valores intermedirios de freqncia de oscilao do
cilindro; nesta situao, aparentemente a freqncia de emisso de vrtices no se
correlaciona com a freqncia de oscilao do cilindro. Finalmente, no tipo III observa-se o
fenmeno de lock-in onde a freqncia de emisso de vrtices igualada com a freqncia
de oscilao do cilindro.
O captulo 2 apresenta uma reviso bibliogrfica referente a movimento de oscilao de
corpos e uma reviso sobre a evoluo do Mtodo de Vrtices.
O captulo 3 apresenta o modelo utilizado para a simulao do escoamento de um fluido
viscoso, bidimensional, incompressvel e em regime no-permanente em torno de um corpo
de forma arbitrria e conhecida, que se desloca numa regio fluida de grandes dimenses e
que apresenta um movimento de oscilao transversal direo do escoamento. A soluo
numrica para o modelo proposto obtida com a utilizao do Mtodo de Vrtices Discretos.
No captulo 4 encontra-se o algoritmo de implementao do Mtodo de Vrtices
Discretos, com comentrios sobre os parmetros numricos utilizados na simulao numrica.
Apresenta-se, tambm, a estrutura do programa computacional desenvolvido em linguagem
FORTRAN, podendo-se encontrar descries sobre as funes das rotinas de clculo
utilizadas, que auxiliam o programa principal.
No captulo 5 so apresentados e discutidos os resultados de simulaes numricas
feitas com o cilindro circular. Os resultados numricos encontrados so comparados com
outros resultados numricos e com resultados experimentais disponveis na literatura.
As concluses sobre os resultados obtidos nas simulaes numricas e as sugestes para
trabalhos futuros esto no captulo 6.
5
No apndice A apresenta-se a obteno da Equao do Transporte da Vorticidade a
partir da equao da continuidade e das equaes de Navier-Stokes. Alm disso, feita uma
interpretao fsica da Equao do Transporte da Vorticidade bidimensional e tridimensional.
No apndice B so mostrados detalhes do clculo das velocidades induzidas nos painis
planos considerando a oscilao do corpo em estudo.
No apndice C so apresentados os grficos da distribuio de velocidades tangenciais
induzidas e vorticidade, dos modelos potencial e de Lamb.
Uma das etapas do Mtodo de Vrtices consiste na determinao do campo de
velocidades em cada vrtice discreto. Para isto necessrio conhecer a velocidade induzida
pelos vrtices discretos uns nos outros, a velocidade devido ao escoamento incidente e a
influncia do corpo no campo de velocidades. O nmero de operaes envolvidas no clculo
das velocidades induzidas pelos vrtices, uns nos outros, da ordem de 2VN (sendo VN o
nmero de vrtices discretos na nuvem). No apndice D apresentado um algoritmo eficaz
para o clculo da interao vrtice-vrtice (Alcntara Pereira, 1999).
Captulo 2
REVISO BIBLIOGRFICA
2.1 ESCOAMENTO AO REDOR DE UM CORPO OSCILANTE O QUAL SE MOVE COM VELOCIDADE CONSTANTE
Neste captulo so realizados comentrios e apresentados os resumos de alguns
trabalhos disponveis na literatura, relacionados ao escoamento bidimensional, incompressvel
e em regime no-permanente de um fluido Newtoniano com propriedades constantes ao redor
de um corpo oscilante. Primeiramente so citadas as referncias utilizadas no
desenvolvimento do presente trabalho e posteriormente as referncias gerais, que pela sua
importncia no estudo, so comentadas.
2.1.1 Referncias Utilizadas
Meneghini & Bearman (1995) simularam numericamente o escoamento oscilatrio de
grandes amplitudes sobre um cilindro circular, porm, limitando o nmero de Reynolds em
200 . O mtodo utilizado para a simulao foi a formulao de vrtices em clulas
incorporando uma difuso viscosa.
7
Mustto et al. (1998) estudaram o escoamento ao redor de um cilindro circular com e
sem rotao. Os resultados apresentados dos coeficientes de arrasto e sustentao e o nmero
de Strouhal esto de acordo quando comparados com os valores numricos e experimentais
disponveis na literatura, porm, a oscilao do corpo transversal direo do escoamento no
foi considerada.
Morghental (2000) realizou estudos aerodinmicos em pontes extensas utilizando dois
mtodos numricos: o Mtodo de Vrtices Discretos e o Mtodo de Elementos Finitos. O
objetivo do trabalho foi verificar a viabilidade e a aplicabilidade das duas abordagens
numricas para determinar as propriedades bsicas aerodinmicas e simular os efeitos da
interao fluido-estrutura. Concluiu que o Mtodo de Vrtices Discretos tem um potencial de
se tornar uma ferramenta poderosa para a anlise aerodinmica de corpos rombudos, porm,
um tempo adicional ser gasto para calibrao dos parmetros numricos envolvidos na
simulao.
Silva (2004) estudou o escoamento sobre um corpo oscilante com a restrio de
pequenas amplitudes de oscilaes. Como a relao entre a amplitude de oscilao e o
comprimento caracterstico do corpo tende zero, as condies de contorno impostas sobre a
superfcie do corpo foram transferidas para uma posio mdia da superfcie discretizada do
corpo facilitando, assim, a implementao numrica do problema. As cargas aerodinmicas
distribudas e integradas foram calculadas para um aeroflio NACA 0012 e foi realizado um
estudo da influncia dos parmetros numricos sobre a oscilao do corpo. O presente
trabalho em relao ao da Silva (2004) considera os efeitos de oscilao de qualquer
amplitude sem mudar as matrizes de influncia. A tcnica utilizada consiste na mudana de
coordenadas do corpo durante a simulao numrica.
2.1.2 Referncias Gerais
Vrios estudos sobre a vorticidade gerada em corpos oscilantes foram realizados nas
ltimas dcadas.
Dalton & Chantranuvatana (1980) estudaram o movimento oscilatrio de um cilindro
circular sob o ponto de vista da distribuio de presso mdia no cilindro. Eles mostraram que
as caractersticas do escoamento dependem do nmero de Keulegan-Carpenter, KC, definido
8
na forma dA2KC = . medida que o cilindro se move em uma direo, uma esteira de
vrtices formada; para pequenos valores de KC (inferiores a 0,38) a separao do
escoamento no ocorre e no h formao de vrtices. Para valores de KC superiores a 5, um
par de vrtices formado e permanece simtrico no se espalhando durante o movimento.
Entretanto, medida que o cilindro reverte a direo, o par de agrupamentos se move em
direo ao cilindro, e se dissipa rapidamente, devido ao rpido aumento da velocidade relativa
entre o cilindro e fluido. Em seguida, um novo par de vrtices formado e o processo se
repete. Para valores de KC entre 5 e 15, um dos agrupamentos de vrtices se torna mais largo
que o outro, mas o espalhamento convencional e alternado ainda ocorre. Este estudo mostra
que a presena da esteira de vrtices no escoamento reverso afeta a distribuio de presso de
uma maneira compreensvel e previsvel. O trabalho conclui que para pequenos valores de KC
os resultados da distribuio de presso no se equivalem aos resultados para o caso do
cilindro sem oscilao e com o aumento de KC h uma diminuio da presso na parte
traseira do cilindro e na esteira.
Williamson & Rosko (1988) classificaram vrios padres de nuvens de vrtices
relacionando com dois parmetros, o comprimento de onda do movimento oscilatrio e a
amplitude de oscilao do cilindro circular. Ambos os parmetros foram adimensionalizados
pelo dimetro do cilindro. Vrios padres de nuvens foram observados experimentalmente e
foram classificados em termos de vrtices, tais como, dois agrupamentos simples, dois pares
de agrupamentos, dois pares de agrupamentos e um agrupamento simples, e etc. Os principais
experimentos descritos no artigo foram efetuados com nmero de Reynolds baixos, mais
precisamente, 392Re = .
Badr et al. (1995) estudaram o caso de um cilindro circular colocado em um fluido
viscoso oscilando na direo normal ao eixo do cilindro, o qual considerado em repouso.
Assumem-se que o escoamento se iniciou de maneira repentina, a partir do repouso, e
permanecem simtrico sobre a direo do movimento. O mtodo utilizado pelos autores para
obteno da soluo baseado na integrao das equaes de Navier-Stokes atravs de um
procedimento numrico. A simulao numrica foi feita para grandes valores de tempo e para
nmeros de Reynolds moderados e altos. A comparao entre os resultados obtidos para
escoamentos viscosos e no-viscosos mostram uma melhor concordncia para valores maiores
de nmero de Reynolds e nmero de Strouhal. O escoamento mdio para grandes tempos foi
calculado e apresentou boa concordncia com previses anteriores baseadas na teoria da
9
camada limite. Nesse estudo, os resultados mostraram que a contribuio das foras de atrito
para o coeficiente de arrasto total DC relativamente pequena e que a diferena de fase entre
as solues para escoamentos viscosos e no-viscosos pequena no incio do movimento e
aumenta com o passar do tempo. A razo para isto que o campo de escoamento distante do
cilindro livre de vrtices para pequenos incrementos de tempo. Com o aumento dos
incrementos de tempo, os vrtices so espalhados a partir do cilindro causando mudanas na
estrutura do campo de escoamento. Essas mudanas fazem com que o escoamento distante do
cilindro desvie do escoamento potencial.
2.2 O MTODO DE VRTICES
Vrios mtodos numricos aplicam-se na simulao e na anlise do escoamento de um
fluido viscoso ao redor de corpos. Existem mtodos que utilizam descrio euleriana, por
exemplo, o Mtodo das Diferenas Finitas e o Mtodo dos Elementos Finitos. Mtodos que
utilizam a descrio lagrangeana, por exemplo, o Mtodo de Vrtices e mtodos baseados nas
descries euleriana e lagrangeana, juntas (Fronteira Imersa). Estes mtodos, com vantagens e
desvantagens, so sempre adequados para uma determinada faixa de aplicao.
O Mtodo de Vrtices apresenta algumas caractersticas marcantes das quais se
destacam: (a) a no necessidade de se criar uma malha de discretizao da regio fluida, (b) o
escoamento descrito apenas nas regies de interesse, ou seja, onde a vorticidade se encontra
concentrada: na camada limite e na esteira do corpo e (c) o mtodo no exige uma
considerao explcita das condies de contorno a grandes distncias do corpo.
Rosenhead (1931) estabeleceu os fundamentos da metodologia para simular
numericamente a evoluo da vorticidade num meio fluido. Muitos avanos e refinamentos do
mtodo, desde ento, foram realizados.
Ashurst (1977), utilizando uma nuvem de vrtices discretos, analisou e simulou
numericamente o comportamento e o desenvolvimento de camadas cisalhantes.
Lewis (1981), Arajo (1994a) e Arajo (1997b) em seus trabalhos consideraram o
escoamento em corpos rombudos, com arestas vivas. Assim, a simulao numrica utilizando
o mtodo de vrtices torna-se bastante simplificada, pois, em primeiro lugar, para estes corpos
10
os pontos de separao esto bem definidos permitindo que os desprendimentos da
vorticidade sejam fixados nas adjacncias dos mesmos e como conseqncia o nmero de
vrtices presentes na nuvem pequeno.
A simulao numrica do escoamento sobre corpos com superfcies suaves (crculos,
aeroflios, etc.) apresenta uma dificuldade associada ao fato de no se conhecer o ponto de
separao, que pode mudar durante a simulao. Para superar esta dificuldade necessrio
simular os processos de gerao e de transporte de vorticidade ao longo de toda a superfcie
do corpo, ou seja, torna-se necessrio simular o desenvolvimento da camada limite.
Vrios autores apresentaram alternativas para simular o escoamento ao redor de um
corpo. Uma destas alternativas se baseia no Mtodo dos Painis (Katz & Plotkin, 1991) para o
clculo da influncia do corpo no campo de velocidades no interior da esteira. Nesta linha de
estudo Lewis (1981) utiliza painis, sobre os quais, distribuem-se vrtices (Mtodo de
Martensen). Na simulao numrica, esta distribuio representada por um nico vrtice no
ponto mdio dos painis. Este procedimento apresenta imprecises em muitas situaes. Para
contornar parcialmente estas imprecises Lewis (1991) desenvolve um esquema que utiliza
sub-painis, Kamemoto et al. (1995) preferem distribuir fontes sobre os painis e Alcntara
Pereira (1999) em seu trabalho utiliza painis planos sobre os quais so distribudos vrtices
com densidade constante.
De acordo com o algoritmo de separao da parte viscosa proposto por Chorin (1973),
num mesmo incremento de tempo, assume-se que os fenmenos de conveco e de difuso da
vorticidade podem ser tratados independentemente um do outro. Assim sendo, o transporte da
vorticidade por conveco feito conhecendo-se o campo de velocidades.
De uma maneira geral, o campo de velocidades sobre os vrtices discretos composto
pelas contribuies do escoamento incidente, pela velocidade induzida pelo corpo e pela
velocidade induzida pela nuvem de vrtices presente na regio fluida.
A velocidade induzida pelo corpo determinada utilizando-se o Mtodo dos Painis.
Todos os trabalhos citados at aqui utilizam a Lei de Biot-Savart modificada para o clculo da
velocidade induzida pela vorticidade presente na regio fluida. Este clculo representa a
parcela dominante dos esforos computacionais requeridos nas simulaes numricas. Mustto
(1998) e Alcntara Pereira (1999) desenvolveram um algoritmo que reduziu muito este
esforo computacional. Detalhes deste algoritmo se encontram no apndice D.
11
Para simular o processo de difuso da vorticidade utiliza-se o Mtodo do Avano
Randmico. As bases tericas que fundamentam o Mtodo de Vrtice, utilizando este mtodo
para a simulao da difuso de vorticidade, so apresentadas no trabalho de Einstein (1956).
Vrios trabalhos utilizam o Mtodo do Avano Randmico para simular numericamente os
efeitos difusivos (Porthouse & Lewis (1981); Smith & Stansby (1988); Kamemoto et al.
(1995); Mustto et al. (1998); Hirata & Hirata (1998); Hirata & Alcntara Pereira (1999); etc.).
Um problema que surge relacionado com a conservao da circulao refere-se aos
vrtices que migram para o interior do corpo. Vrios esquemas foram propostos para
contornar esta dificuldade. Alguns autores preferem eliminar os vrtices que migram para o
interior do corpo e utilizar a lei de Conservao da Circulao para compensar a vorticidade
perdida, como pode ser visto nos trabalhos de Mustto (1998), Malta (1998) e Alcntara
Pereira (1999). Ricci (2002) preferiu refletir para o interior do fluido os vrtices discretos que
atravessam a superfcie do corpo.
As cargas aerodinmicas classificam-se, de uma maneira geral, em cargas distribudas
(por exemplo, a presso) e cargas integradas (por exemplo, as foras de arrasto e de
sustentao).
Lewis (1991) determinou o coeficiente de presso pela integrao do termo de presso
das equaes de Navier-Stokes. As cargas aerodinmicas integradas so calculadas
integrando-se o campo de presses. Mustto et al. (1998) apresentaram um algoritmo que
permite separar o termo de presso nas equaes de Navier-Stokes; este algoritmo completa
aquele utilizado para a separao dos efeitos viscosos (Chorin, 1973).
He & Su (1999) apresentaram uma nova formulao para a determinao da distribuio
de presses isolando o termo de presso das equaes de Navier-Stokes e acrescentando o
termo de acelerao convectiva, no considerado por Lewis (1991).
O clculo das cargas aerodinmicas integradas pode, no entanto, ser efetuado sem que
haja a necessidade da integrao da presso sobre a superfcie de um corpo isolado.
Utilizando-se uma forma estendida das frmulas de Blasius para escoamento em regime no-
permanente, pode-se obter estas cargas de maneira bastante elegante a partir de elementos
conhecidos durante a simulao numrica, ou seja, a intensidade dos vrtices discretos
presentes na esteira e as componentes da velocidade nos pontos por eles ocupados (Graham,
1980; Sarpkaya, 1989).
12
Shintani & Akamatsu (1994) apresentaram um mtodo simples para calcular a
distribuio de presses em um escoamento de um fluido viscoso em regime no-permanente,
baseado no Mtodo dos Elementos de Contorno. Tomando o divergente das equaes de
Navier-Stokes, aplicveis ao escoamento bidimensional, eles obtm uma equao de Poisson,
em termos da presso. Em seguida multiplicam esta equao pela funo de Green e integram
no domnio do escoamento. As integrais so discretizadas e resolvidas numericamente, em
funo de valores pertinentes ao campo do escoamento como, velocidade, posio dos
vrtices no campo e vorticidade gerada sobre a superfcie e a presente na nuvem.
Alcntara Pereira et al. (2002) apresentaram simulaes numricas mais refinadas
envolvendo os aspectos de turbulncia. Como contribuies principais deste trabalho tem-se:
uma modelagem sub-malha de turbulncia utilizando-se um modelo de Funo Estrutura de
Velocidade de Segunda Ordem adaptada ao Mtodo de Vrtices Discretos e o
desenvolvimento e implementao de um algoritmo numrico, para incluir, no contexto do
Mtodo de Vrtices, a modelagem de turbulncia. Foram apresentados os resultados para o
escoamento ao redor de um cilindro de seo circular e feitas comparaes entre os resultados
numricos obtidos, com e sem modelagem de turbulncia, com resultados numricos e
experimentais disponveis na literatura, para valores do coeficiente de arrasto e do nmero de
Strouhal.
Captulo 3
FORMULAO GERAL DO PROBLEMA E O MTODO DE VRTICES
3.1 INTRODUO
Este captulo apresenta a formulao matemtica necessria para a simulao numrica
de um escoamento bidimensional, incompressvel e em regime no-permanente de um fluido
Newtoniano, com propriedades constantes, em torno de um corpo de forma arbitrria e
conhecida, que se desloca numa regio fluida de grandes dimenses. O movimento do corpo
composto de um movimento retilneo com velocidade constante U sobre o qual
superposto um movimento oscilatrio de amplitude finita A e velocidade angular
constante , veja a figura 1.
O Mtodo de Vrtices Discretos utilizado na simulao numrica deste fenmeno.
Alm de simular o processo de gerao, conveco e difuso da vorticidade o algoritmo
desenvolvido do Mtodo de Vrtices permite o clculo das cargas aerodinmicas atuantes
sobre um corpo oscilante. Para a simulao do corpo, o algoritmo utiliza o Mtodo de Painis
de fontes com densidade uniforme e para simular a vorticidade so utilizados vrtices
discretos de Lamb. Um esquema de avano de Euler de primeira ordem simula a conveco
da vorticidade, ao passo que o Mtodo de Avano Randmico empregado para simular a
difuso da vorticidade. Para o clculo das cargas aerodinmicas utilizada a formulao
14
proposta por Shintani & Akamatsu (1994), que leva em considerao a contribuio de todos
os vrtices presentes na esteira.
3.2 FORMULAO GERAL DO MTODO
Considere na figura 1 um sistema de coordenadas )O( fixo ao corpo. Nestas
condies a superfcie do corpo CS definida pela equao escalar:
( ) 0,F = (3.1)
Considere em seguida um sistema de coordenadas inerciais )xoy( fixo, em relao
uma posio mdia ocupada pelo corpo .
Figura 1 Definio do problema
x
O
o
( ) 2 2 2C 0S : F , R 0 = + =
c
c
U0R
cS S S= U
y
+=22
0 yxr:S
( )tAcosyo =
( )tcosAyx
)y,x(Q
+==
15
Assim sendo, a equao (3.1) pode ser reescrita como:
( ) ( )( ) 0,F is
c =
= (3.2)
Com a finalidade de simplificar os desenvolvimentos e a implementao numrica
assume-se que o corpo oscila na direo perpendicular direo da velocidade incidente 1.
Assim sendo tem-se:
( )tcosAyo = (3.3)
Cf2= (3.4)
onde Cf a freqncia de oscilao do corpo.
A superfcie do corpo definida nas coordenadas inerciais por:
[ ] 0)x()t(yy)t,y,x(F:S 0ccc =+= (3.5)
e no caso particular de um corpo simtrico com relao , tem-se:
0)x()t(yy)t,y,x(F 0cc == m (3.6)
Um observador fixo no sistema ( )y,o,x dever observar que o corpo oscila com uma velocidade V cujos componentes so:
0Vx = (3.7a)
( )tsinAyV 0y == & (3.7b)
___________ 1 Note que a adio de outros movimentos oscilatrios lineares ou rotacionais no apresenta dificuldades conceituais.
16
A grandes distncias, a montante ( )x , o fluido move-se tal que:
Uu = (3.8a)
=v 0 (3.8b)
A grandes distncias, transversalmente ao corpo ( )= ye0x o movimento do fluido causado pela oscilao do corpo deve decair em intensidade e deve-se ver
praticamente:
Uu (3.9a)
0v (3.9b)
A grandes distncias, a jusante ( )+x , tem-se a esteira do corpo que influenciada pela oscilao do mesmo. Nas vizinhanas do corpo a influncia da oscilao do corpo se faz
sentir, principalmente, na direo transversal. A energia transferida ao fluido, pela oscilao
do corpo, observada pela velocidade induzida nas partculas de fluido. Mesmo desprezando
os efeitos da compressibilidade, a intensidade da velocidade induzida deve decair com a
distncia porque se observa o espalhamento da energia transferida em todas as direes. A
jusante espera-se que os efeitos causados pela oscilao sejam somados aos efeitos
convectivos associados velocidade U .
Para simular as situaes descritas anteriormente utiliza-se um caso particular do
Mtodo de Partculas, que o Mtodo de Vrtices. Este mtodo apresenta uma srie de
vantagens, como a inexistncia de uma malha de discretizao da regio fluida, uma exigncia
dos mtodos eulerianos, e seus problemas associados como a difuso e instabilidades
numricas. Outra vantagem a no especificao de condies na esteira, pois o
comportamento da esteira estabelecido automaticamente e a ateno do estudo dirigida
exclusivamente para as regies onde a vorticidade se faz presente, ou seja, o mtodo no
considera as regies onde nenhuma atividade importante acontece. O item 3.6 discutir mais
vantagens deste mtodo sobre os tradicionais mtodos eulerianos.
17
3.3 HIPTESES SIMPLIFICADORAS
A formulao matemtica desenvolvida baseia-se nas seguintes hipteses
simplificadoras, que se relacionam com a geometria, as propriedades dos fluidos e as
propriedades do escoamento:
H1 Escoamento bidimensional. O escoamento realiza-se em duas dimenses e a regio
fluida infinita estendendo-se a grandes distncias do corpo.
H2 Escoamento incompressvel. Os efeitos da compressibilidade so desprezados, isto , o
nmero de Mach assume valores muito menores que a unidade (em geral, Mach < 0,3).
H3 Fluido Newtoniano com propriedades constantes. Como conseqncia tem-se:
O desenvolvimento da camada limite e, desde que haja condies apropriadas, o
escoamento descola e h a formao da esteira;
A equao do movimento, que exprime o Princpio da Conservao da Quantidade
de Movimento Linear (PCQML), representada pelas equaes de Navier-Stokes;
A condio de contorno especificada sobre a superfcie do corpo a condio de
aderncia que, por sua vez, pode ser dividida em condio de impenetrabilidade e condio de
escorregamento-nulo.
H4 A formulao assume que o escoamento laminar. Embora as anlises que sero feitas
considerem nmero de Reynolds elevado, os aspectos de turbulncia no sero levados em
considerao. O modelo da Funo Estrutura de Velocidade de Segunda Ordem poder ser
incorporado formulao do problema, veja Alcntara Pereira et al. (2002) para se levar em
conta estes aspectos.
H5 A anlise ser restrita para o escoamento ao redor de um cilindro circular, embora
qualquer outra forma de geometria conhecida possa ser analisada.
18
3.4 EQUAES E CONDIES DE CONTORNO QUE DEFINEM O MODELO
As equaes que governam o fenmeno fsico descrito no item 3.1 so representadas
pelas expresses matemticas que representam os princpios de conservao. O Princpio da
Conservao da Massa (Equao da Continuidade) expresso por:
0DtD
t
=+=+ uu (3.10)
A hiptese H2 (escoamento incompressvel) permite que a equao da continuidade seja
simplificada, assumindo a forma:
0= u (3.11)
Considerando as hipteses anteriores, o Princpio de Conservao da Quantidade de
Movimento Linear dado pelas equaes de Navier-Stokes:
uuuu 2p1
t+=+
(3.12)
onde ( )v,uu o vetor velocidade, p representa o campo de presses, a massa especfica e o coeficiente de viscosidade cinemtica.
As condies de contorno na superfcie do corpo so fixadas atravs da condio de
aderncia. Desta maneira, a condio de impenetrabilidade exige que o componente normal
da velocidade da partcula seja igual ao componente normal da velocidade da superfcie e a
condio de escorregamento-nulo impe que o mesmo deve acontecer com os componentes
tangenciais destas velocidades:
( ) ( )nVnu = sobre CS , representa a condio de impenetrabilidade (3.13a)
( ) ( )Vu = sobre CS , representa a condio de escorregamento-nulo (3.13b)
19
onde n e so, respectivamente, os vetores unitrios normal e tangencial a superfcie CS em
cada ponto e o vetor )V,(V yxV refere-se velocidade da superfcie do corpo.
A grandes distncias, em S , assume-se que o escoamento em estudo tende para o
escoamento no perturbado:
Uu (3.14)
3.5 ADIMENSIONALIZAO DAS EQUAES
A adimensionalizao das equaes governantes e das condies de contorno em estudo
importante, pois contribui na formulao e na soluo do modelo indicando a dependncia
entre grandezas e ajudando na apresentao dos resultados, ou seja, mostrando uma relao
funcional entre as grandezas e sugerindo como as grandezas devem ser apresentadas.
Inicialmente definem-se as grandezas caractersticas do fenmeno estudado. Em geral,
tem-se que:
b o comprimento caracterstico, adota-se o dimetro do cilindro circular - d -.
U a velocidade caracterstica, adota-se a velocidade do escoamento incidente.
0T o tempo caracterstico, onde UbT0 =
Com a utilizao das grandezas caractersticas, as equaes e suas condies de
contorno podem ser adimensionalizadas. As grandezas, adimensionalizadas, tornam-se:
bxx* = coordenadas adimensionalizadas
byy* = coordenadas adimensionalizadas
bUT
T 0*0 = tempo adimensionalizado
20
btUt * = incremento de tempo adimensionalizado
Uuu* = componente da velocidade na direo do eixo dos x adimensionalizada
Uvv* = componente da velocidade na direo do eixo dos y adimensionalizada
2*
Upp = presso adimensionalizada
bU* = intensidade de um vrtice adimensionalizada
Ub* = velocidade angular adimensionalizada
b
0*0 = raio do ncleo do vrtice de Lamb adimensionalizado
UbRe = nmero de Reynolds
= b* operador Nabla adimensionalizado
22*2 b = operador Laplaciano adimensionalizado
Ub* = vorticidade adimensionalizada
O significado de algumas grandezas ficar mais claro com o desenvolvimento do texto.
Com estas definies, as condies de contorno, expressas pelas equaes (3.13a) e
(3.13b) e (3.14), podem ser escritas na forma adimensional.
( ) ( )nVnu = sobre CS (3.15a)
( ) ( )Vu = sobre CS (3.15b)
21
Uu (3.15c)
Do mesmo modo, as equaes (3.11) e (3.12) so escritas em termos adimensionais
como:
0* = *u (3.16)
****
uuuu 2****Re1p
t+=+
(3.17)
Observa-se que o asterisco (*) utilizado para indicar uma grandeza adimensionalizada
ser doravante omitido por comodidade de digitao e apresentao das equaes.
3.6 O MTODO DE VRTICES
O Mtodo de Vrtices, um caso particular dos Mtodos de Partculas, caracteriza-se
pela utilizao de um esquema puramente lagrangeano. Este mtodo consiste no
acompanhamento individualizado das partculas, os vrtices discretos, durante toda a
simulao numrica.
O Mtodo de Vrtices possui uma srie de vantagens que o tornam atraente em
situaes como a do problema proposto. A primeira destas vantagens refere-se ao fato da
vorticidade presente na regio fluida ser discretizada e simulada numericamente com a
utilizao de uma nuvem de vrtices discretos. A cada incremento de tempo da simulao
numrica, novos vrtices so gerados na fronteira slida cS da figura 1. Como conseqncia,
dispensa-se a utilizao de uma malha, o que exigido pelos mtodos eulerianos clssicos
como Mtodo de Diferenas Finitas, Mtodo dos Volumes Finitos e Mtodos de Elementos
Finitos. Nestes mtodos tradicionais uma malha deve ser gerada para discretizar a regio ou
domnio de interesse em sub-regies, onde as equaes que definem o modelo devem ser
satisfeitas.
A segunda vantagem est associada ao fato de que cada partcula seguida
individualmente desde sua gerao at o fim da simulao numrica. Desta maneira, no h a
22
necessidade de se especificar explicitamente as condies de contorno nas fronteiras onde a
vorticidade no gerada.
Outra vantagem reside no fato de que os clculos so direcionados apenas para as
regies onde a nuvem de vrtices se faz presente, ou seja, na camada limite e na esteira
viscosa.
A conservao da circulao deve ser obedecida durante toda a simulao e as
intensidades dos vrtices nascentes so determinadas de tal modo que a condio de
escorregamento-nulo dada pela equao (3.13b) seja satisfeita. Maiores detalhes sero
discutidos no algoritmo geral do mtodo descrito no captulo 4.
3.6.1 Equao do Transporte da Vorticidade
O Mtodo de Vrtices um mtodo numrico utilizado para a simulao do escoamento
de um fluido Newtoniano ao redor de um corpo. Este escoamento governado pelas equaes
da continuidade simplificada (equao 3.11) e Navier-Stokes (equao 3.12). A anlise das
equaes de Navier-Stokes, definida pela equao (3.12) mostra a presena do termo de
presso, que representa certa dificuldade na manipulao das equaes, quando se tenta obter
uma soluo. Tomando-se o rotacional em ambos os lados da equao e em seguida
utilizando-se da definio da vorticidade, da equao da continuidade e da hiptese H1
(escoamento bidimensional), obtm-se a equao do transporte da vorticidade (Batchelor,
1970):
=+ 2
Re1
tu (3.18)
onde u o vetor velocidade do escoamento incidente,
=UdRe o nmero de Reynolds
baseado no dimetro do cilindro e representa, em duas dimenses, o nico componente
no-nulo do vetor vorticidade, que definido como:
u = (3.19)
Nota-se que o termo correspondente variao da vorticidade devido deformao das
linhas de vorticidade, no se faz presente. Veja detalhes no apndice A.
23
A evoluo da vorticidade governada pela equao (3.18). O lado esquerdo desta
equao representa a variao temporal da vorticidade, ou seja, contm os termos que
representam o fenmeno da conveco da vorticidade, enquanto que o lado direito representa
os efeitos da viscosidade nesta evoluo, ou seja, contm os termos necessrios para descrever
a difuso da vorticidade.
3.6.2 A Separao dos Efeitos Viscosos
Numericamente, cada incremento de tempo, t , feito de maneira discreta. O
Algoritmo de Separao da Parte Viscosa, Viscous Splitting Algorithm, inicialmente
proposto por Chorin (1973), assume que, dentro do mesmo incremento de tempo, a difuso da
vorticidade pode ser aproximadamente calculada independentemente da sua conveco.
Com esta aproximao, a implementao numrica do Mtodo de Vrtices passa a ser
bastante simplificada se a intensidade e a posio dos vrtices forem conhecidas.
Assim sendo, o fenmeno da conveco da vorticidade governado pela equao:
0t
=+ u (3.20)
e o fenmeno da difuso da vorticidade governado pela equao:
Re1
t 2= (3.21)
Os processos de conveco e de difuso realizam-se sucessivamente, dentro de um
mesmo intervalo de tempo t e no limite, quando 0t , convergem para a equao (3.18).
3.6.3 Conveco da Vorticidade
A anlise da equao (3.20) que governa a conveco da vorticidade mostra que esta
convectada materialmente, ou seja, a vorticidade transportada por conveco como se fosse
uma partcula de fluido (Helmholtz, 1858):
24
0t
DtD
=+
= u (3.22)
Deste modo para a conveco da nuvem de vrtices deve-se calcular o campo de
velocidades e conseqentemente, o movimento de um vrtice arbitrrio )i( pode ser calculado
integrando-se a equao para a sua trajetria. Assim sendo, o transporte da vorticidade por
conveco escrito em sua forma lagrangeana como:
( )t,dt
d (i)(i)(i) xux = (3.23)
onde (i)x o vetor posio do vrtice arbitrrio )i( no instante t e ( )t,(i)(i) xu representa a velocidade induzida por todo o escoamento na posio (i)x ocupada pelo vrtice neste
instante. Tem-se Nv1,i = ; Nv o nmero total de vrtices na nuvem.
Conhecendo-se a velocidade ( )t,(i)(i) xu , a soluo numrica da equao (3.23) pode ser obtida pelo esquema de avano de primeira ordem de Euler que corresponde a uma primeira
aproximao soluo da equao do avano convectivo:
t)t,()t()tt( )i()i()i()i( xuxx +=+ (3.24)
A velocidade u formada pelas contribuies do escoamento incidente, iu , pela
velocidade induzida pelo corpo, cu , e pela velocidade induzida pela nuvem de vrtices
discretos presente na regio fluida, vu .
vci uuuu ++= (3.25)
No caso mais comum, o escoamento incidente, iu , representado pelo escoamento
uniforme, na direo do eixo x . Em termos de componentes, tem-se 1u i = e 0vi = .
A contribuio do corpo simulada utilizando o Mtodo dos Painis (Katz & Plotkin,
1991), que permite simular corpos de formas arbitrrias e conhecidas. O Mtodo dos Painis
consiste em se discretizar a superfcie de um corpo com a utilizao de segmentos (ou painis
planos) sobre os quais so distribudas singularidades. Neste trabalho a superfcie do corpo
25
simulada por um conjunto de painis planos sobre os quais se distribuem fontes com
densidade uniforme, ( )x , veja a figura 2 (Katz & Plotkin, 1991).
Figura 2 Distribuio de fontes com densidade uniforme
Para um sistema de coordenadas fixo num painel, conforme a figura 3 (Katz & Plotkin,
1991), os componentes u e v da velocidade induzida por uma distribuio uniforme de
fontes sobre um ponto P so:
22
21
2
1
rrln
4
rrln
2u == (3.26a)
( )12 2v = (3.26b)
x
y
( ) uniformex =
26
Figura 3 Representao de um painel genrico do corpo
A seguinte equao:
[ ]{ } { }RHSSSIGMACOUPS = (3.27a)
ou a sua forma matricial equivalente:
=
m
3
2
1
m
3
2
1
2m1m
m33231
m221
m112
RHSS...
RHSSRHSSRHSS
...
5.0......KK...............
K......KKK......5.0KK......K5.0
(3.27b)
constitui um sistema linear de equaes algbricas, cuja incgnita representa a densidade de
fontes, onde:
[ ]COUPS : a matriz de influncia. Os coeficientes j,iK representam a velocidade normal induzida no ponto de controle de um painel genrico i por uma distribuio uniforme de
fontes com densidade unitria localizada sobre o painel j ;
{ }SIGMA : o vetor incgnita;
x
y
( )y,xP
1r2r
12
27
{ }RHSS : o vetor coluna lado direito, veja mais detalhes no captulo 4 e no apndice B.
O clculo da velocidade induzida pelo corpo feito no sistema de coordenadas fixas ao
corpo )O( . Portanto, a velocidade do escoamento na superfcie do corpo escrita como:
jiu )t(yU)t;,( 0&= (3.28)
A equao (3.28) mostra que o efeito da oscilao do corpo, representado pelo
componente j , provoca uma distribuio de singularidades adicional na superfcie do corpo.
Naturalmente, as velocidades induzidas devido a estas singularidades, tambm
influenciam no clculo dos efeitos convectivos e das cargas aerodinmicas.
A velocidade induzida pelo corpo, de acordo com os clculos do Mtodo dos Painis,
indicada por [ ]),(vc),,(uc , que representa a velocidade induzida no vrtice )i( , localizado em ),( , conforme mostrado na figura 4.
Figura 4 Velocidade induzida pelo corpo
Mas como )t(x )i( = e )t(y)t(y 0)i( += , escreve-se que:
)t;,(uc)t,y,x(uc )i( = (3.29a)
x
O
o
U
y
(i)
vc(,)
uc(,)
( )tAcosyo =
28
)t(y)t;,(vc)t,y,x(vc 0)i( &+= (3.29b)
O clculo da velocidade induzida pela nuvem de vrtices discretos presente na regio
fluida a etapa que consome maior tempo de CPU, pois o nmero de operaes realizadas
pelo processador da ordem do quadrado do nmero de vrtices discretos presentes no
escoamento.
De maneira geral, os componentes nas direes x e y da velocidade total, induzida no
vrtice k pelos demais vrtices so calculados pelas expresses:
=
=V
j,kVN
N
kj1j
Vjk Uu (3.30a)
=
=V
j,kVN
N
kj1j
Vjk Vv (3.30b)
As expresses acima revelam que um vrtice no induz velocidade sobre ele mesmo. O
componente x da velocidade induzida em um vrtice k por um vrtice j (de intensidade
unitria), igual ao componente x da velocidade induzida no vrtice j pelo vrtice k , com
sinal contrrio. De forma anloga, o componente y da velocidade induzida em um vrtice k
por um vrtice j (de intensidade unitria), igual ao componente y da velocidade induzida
no vrtice j pelo vrtice k , com sinal contrrio. Observando esta particularidade, Mustto et
al. (1998) e Alcntara Pereira (1999) desenvolveram um algoritmo que calcula apenas os
componentes em x e em y da velocidade induzida no vrtice k pelo vrtice j . Maiores
detalhes so apresentados no apndice D.
As solues para as equaes (3.30a) e (3.30b) implicam na utilizao de um modelo de
vrtice que incorpora um ncleo de raio o , ao vrtice livre. Vrios modelos podem ser
adotados com esta finalidade os quais foram bastante explorados por (Hirata & Alcntara
Pereira, 1999).
O modelo adotado no presente trabalho o vrtice de Lamb (Panton, 1984) o qual
assume uma distribuio normal para a vorticidade no interior do ncleo do vrtice. Mais
29
detalhes podem ser vistos no trabalho de Mustto, (1998) e de Alcntara Pereira, (1999).
Tambm, no apndice C so apresentados os grficos da distribuio de velocidades
tangenciais induzidas e vorticidades dos modelos potencial e de Lamb.
3.6.4 Difuso da Vorticidade
O processo de difuso da vorticidade o responsvel pela manifestao dos efeitos da
viscosidade. Na equao (3.21) este fato est implcito atravs do nmero de Reynolds. A
soluo da equao que governa a difuso da vorticidade obtida atravs de um esquema
puramente lagrangeano. A alternativa utilizada representada pelo Mtodo de Avano
Randmico, que foi inicialmente obtida por Einstein (1956) e utilizado por vrios
pesquisadores como, por exemplo, Lewis (1991). Com este mtodo o processo de difuso da
vorticidade deixa de ser estritamente determinstico, alis, uma caracterstica dos escoamentos
com nmero de Reynolds elevado.
Considere um vrtice )i( da nuvem, que no instante )t( , encontra-se localizado em
)t()i(x . O Mtodo de Avano Randmico exige que cada vrtice da nuvem sofra um avano
randmico definido por ( )dd y,xdZ . Se o avano convectivo for calculado utilizando-se o esquema de avano de primeira ordem de Euler dado pela equao (3.24), o vrtice )i( dever
ser posicionado como
dZxuxx ++=+ t)t,()t()tt()i()i()i()i( (3.31)
Os componentes dx e dy do vetor avano randmico dZ , na forma adimensional, so
definidos como (Alcntara Pereira, 2002):
( )[ ]Q2cosP1ln
Ret4x )i(d
= (3.32a)
( )[ ]Q2sinP1ln
Ret4y )i(d
= (3.32b)
onde P e Q so nmeros randmicos tal que ( ) 1QeP0
30
3.6.5 Gerao da Vorticidade
A vorticidade tambm gerada sempre que um fluido viscoso se movimenta junto a
uma fronteira slida. As equaes de Navier-Stokes (3.12) podem ser colocadas na seguinte
forma:
u = p1
DtD (3.33)
Como o escoamento bidimensional (hiptese H1) e supondo que o escoamento
realiza-se no semi-plano superior e que o eixo real representa uma das superfcies slidas
( )0y = , onde a condio de aderncia especificada, tem-se:
y
xp
= (3.34)
A equao (3.34) governa a gerao da vorticidade numa superfcie slida coincidente
com o eixo dos x. A derivada do lado direito da equao representa o fluxo de vorticidade em
0y = . Como no existe fluido para 0y < , este fluxo de vorticidade representa a quantidade
de vorticidade que est sendo gerada na superfcie. A equao (3.34) permite que esta
vorticidade gerada seja quantificada pelo seu lado esquerdo. Em outras palavras, se o
gradiente de presso favorvel haver uma gerao de vorticidade, j que o fluxo passa a ser
positivo. Alternativamente, se o gradiente de presso desfavorvel haver uma destruio de
vorticidade, j que o fluxo passa a ser negativo.
A figura 5 ilustra graficamente este processo.
31
Figura 5 Fluxo de vorticidade atravs da parede
Na implementao numrica este processo equivalente utilizao da condio de
escorregamento-nulo dada pela equao (3.13b).
Para garantir a condio de escorregamento-nulo sobre o ponto de controle de cada
painel distribuem-se vrtices nascentes de Lamb, (veja apndice C), de acordo com a figura 6:
Figura 6 Vrtice de Lamb
Alm da posio de gerao dos vrtices, outras variveis importantes so: a camada
protetora (pro) e o percentual de deslocamento da posio de gerao dos vrtices em relao
superfcie discretizada (gap). A camada protetora consiste em envolver o corpo de forma a
determinar uma regio dentro da qual no permitida a permanncia de vrtices. Esta camada
localizada dentro de uma regio retangular e, qualquer vrtice que ultrapassar esta regio
tem sua posio investigada com a finalidade de averiguar se o mesmo se encontra no interior
Fluxo de vorticidadeatravs da fronteira
y
aderncia
Superfcie slida0y =x
Gradiente de pressoao longo da fronteira
y
xp
Fluxo de vorticidadeatravs da fronteira
y
aderncia
Superfcie slida0y = 0y =x
Gradiente de pressoao longo da fronteira
y
xp
0
Painl
Vrtice de Lamb
Ponto de Controle
0
Painl
Vrtice de Lamb
Ponto de Controle
32
da camada protetora ou no; em caso positivo, a singularidade deslocada para fora do corpo
de uma posio determinada pelo valor ( )gap+ em relao superfcie discretizada.
Alguns autores, como Ricci (2002), utilizam-se de uma camada protetora prxima
superfcie do corpo, que em princpio evitaria que os vrtices discretos migrassem para o
interior do corpo. Outros autores preferem eliminar os vrtices e utilizar a Lei de Conservao
da Circulao para compensar a vorticidade perdida (Alcntara Pereira, 2002).
A alternativa que adotada neste trabalho consiste na utilizao de uma camada
protetora e reflexo dos vrtices de volta ao escoamento.
importante frisar que qualquer que seja o esquema adotado, o Princpio da
Conservao da Circulao no pode ser violado. O balano da vorticidade na regio fluida
deve ser constante durante toda a simulao numrica.
De maneira similar montagem da equao matricial de fontes, a seguinte equao:
[ ]{ } { }RHSVGAMMACOUPV = (3.35a)
ou a sua forma matricial equivalente:
=
m
3
2
1
m
3
2
1
mm2m1m
m33231
m22221
m11211
RHSV...
RHSVRHSVRHSV
...K......KK
...............K......KKK......KKK......KK
(3.35b)
constitui um sistema linear de equaes algbricas, cuja incgnita representa a intensidade de
vrtices, onde:
[ ]COUPV : a matriz de influncia. Os coeficientes j,iK representam a velocidade tangencial
induzida no ponto de controle de um painel genrico i , por um vrtice de Lamb com
intensidade unitria, localizado sobre o painel j ;
{ }GAMMA : o vetor incgnita;
33
{ }RHSV : o vetor coluna lado direito, que para o escoamento potencial, leva em conta a contribuio do escoamento incidente. A partir da presena de vrtices livres no meio fluido,
este vetor atualizado conforme descrito no captulo 4.
3.6.6 Conservao da Circulao
Na teoria potencial a condio de conservao da circulao imposta ao longo do
domnio fluido , e expressa por:
==C
0 dSu (3.36)
Considerando a nuvem de vrtices, a conservao global da circulao calculada pela
equao (4.5) conforme apresentado no captulo 4.
3.6.7 Cargas Aerodinmicas
Entende-se como carga aerodinmica, a ao que o fluido em movimento ao redor de
um corpo, exerce sobre sua superfcie. As grandezas de maior interesse relacionadas com as
cargas aerodinmicas so: a distribuio de presses sobre a superfcie do corpo (cargas
distribudas) e as foras de arrasto e de sustentao (cargas integradas).
O clculo do campo de presses feito considerando a metodologia proposta por
Kamemoto (1993), onde se aplica o operador divergente nas equaes de Navier-Stokes e
com o auxlio da equao da continuidade obtm-se uma equao de Poisson para a presso,
que resolvida utilizando-se um Mtodo de Painis.
Com este procedimento, o campo de presses, em qualquer ponto da regio fluida, pode
ser calculado integrando-se a funo de Bernoulli, definida por Uhlman (1992) como:
u=+= u,2
upY2
(3.37)
34
Shintani & Akamatsu (1994) apresentaram outra formulao que pode ser melhor
combinada com o Mtodo de Vrtices Discretos, uma vez que torna-se necessrio conhecer
apenas o campo de velocidades e o campo de vorticidade. A equao dada por:
( ) ( ) = CC S iiS ii dSGRe1dGdSGYYH nun (3.38)
onde:
1H = em (no domnio do escoamento)
ou
5.0H = em CS (na superfcie do corpo)
e G corresponde soluo fundamental da equao de Laplace.
As integrais presentes na equao (3.38) so resolvidas numericamente. No trabalho de
Ricci (2002) pode-se encontrar a deduo da equao que permite determinar o valor da
presso no ponto i :
( ) ( )( ) ( )
( ) ( )( ) ( ) +
=
+
++
2
i2
i
ii2
i2
i
iyix
Si dyyxx
yyuxxv1YdS
yyxx
yynxxn21HY
( ) ( )( ) ( ) +
S2
i2
i
ixiy dSyyxx
yynxxn1
Re1 (3.39)
que discretizada, para ser resolvida numericamente, toma a forma:
( ) ( )( ) ( )= =+
++
M
ij1;jjj2
ij2
ij
ijyjijxji YSyyxx
yynxxn21HY
( ) ( )( ) ( )
( ) ( )( ) ( ) = = +
+
+
Nv
1j
M
ij1;jjj2
ij2
ij
ixjiyjj2
ij2
ij
ijjijj Syyxx
yynxxnRe
1yyxx
yyuxxv1 (3.40)
35
A equao (3.39) pode ser resolvida pelo Mtodo de Painis agrupando o primeiro e o
ltimo somatrio nas matrizes de influncia Ap (matriz de presso) e Ad (matriz lado direito),
respectivamente. Assim, a equao (3.40) pode ser escrita do seguinte modo:
( ) ( )( ) ( ) = == ++
=
Nv
1j
M
1jjji,j2
ij2
ij
ijjijjM
1jjji, Adyyxx
yyuxxv1YAp
21 (3.41)
O lado direito da equao anterior, por sua vez, pode ser escrito da seguinte forma:
( ) ( )( ) ( ) = =++
=
Nv
1j
M
1jjji,j2
ij2
ij
ijjijji Adyyxx
yyuxxv1Ld (3.42)
A aplicao da equao (3.41) nos M painis que discretizam a superfcie do corpo
conduz ao seguinte sistema de equaes matriciais:
[ ]{ } { }LdYAp = (3.43)
Uma vez conhecidos os valores da incgnita Y para os M painis, obtm-se os valores
do coeficiente de presso para cada segmento:
1YC iPi += (3.44)
j que a velocidade sobre a superfcie do corpo nula.
As foras aerodinmicas so obtidas pela integrao da presso ao longo do corpo. A
fora de arrasto atua em cada painel na direo do escoamento incidente, ao passo que a fora
de sustentao atua em cada painel na direo normal a este. Assim, as referidas foras so
dadas por:
( )=
=M
1jjjj sinSppD (3.45)
( )=
=M
1jjjj cosSppL (3.46)
36
onde jp a presso no ponto de controle do painel j e p a presso do escoamento no
perturbado.
A adimensionalizao das equaes anteriores leva obteno dos coeficientes de
arrasto e sustentao, respectivamente dados por:
( ) ==
==M
1jjjP
M
1jjjjD sinSCsinSpp2C (3.47)
( ) ==
==M
1jjjP
M
1jjjjL cosSCcosSpp2C (3.48)
Captulo 4
IMPLEMENTAO NUMRICA
4.1 INTRODUO
Este captulo apresenta o algoritmo de implementao do Mtodo de Vrtices Discretos
utilizado para a simulao numrica do escoamento bidimensional, incompressvel e em
regime no-permanente de um fluido Newtoniano, com propriedades constantes em torno de
um corpo oscilante de forma arbitrria e conhecida, que se desloca numa regio fluida de
grandes dimenses. Apresenta-se, tambm, a estrutura do programa computacional
desenvolvido em linguagem FORTRAN e as descries sobre as funes das rotinas de
clculo utilizadas, que auxiliam o programa principal.
4.2 ALGORTMO GERAL DO MTODO
Para a simulao numrica do problema formulado no captulo 3 foi desenvolvido o
programa computacional OSCILLATION.FOR em linguagem FORTRAN, baseado no
programa Mtodo de Vrtices Discretos desenvolvido por Alcntara Pereira (1999). As
principais modificaes foram a incluso das singularidades do tipo fontes, um novo sistema
de equaes matriciais para a gerao dos vrtices de Lamb e as rotinas de transferncia de
38
coordenadas. O diagrama em blocos do algoritmo que implementa esta soluo mostrado na
figura 7.
Figura 7 Algoritmo de implementao do programa OSCILLATION.FOR
A seguir ser explicada a finalidade de cada rotina utilizada no programa
OSCILLATION.FOR para que ele possa ser compreendido por um usurio.
POS_BODY
COMP_UM_VM
RHSV
CONSERV
GAUSSPIV (V)
MOD_M
ITERATIVO
AVERAGE
INDATA
DATAPREP
COUPS
RHSS
COUPV
RHSV
MODCOUP
GAUSSPIV (S)
GAUSSPIV (V)
GENERATION
POS_BODY
COMP_UM_VM
RHSS
GAUSSPIV (S)
COMP UC VC
PRESSURE
DIFUSION
CONVEC
POS_BODY
REFLECTION
POS_INERTIAL
M
A
I
N
.
F
O
R
ITERATIVO
2
3
1
4
5
6
7
8
9
10
11 25
26
27
28
2916
15
14
13
12
17
18
19
20
21
22
23
24
39
Rotina INDATA
Esta rotina tem como finalidade a leitura de todos os dados necessrios para a simulao
numrica do escoamento ao redor de um corpo oscilante de forma qualquer e conhecida.
O arquivo de entrada INPUT.DAT aberto pela rotina para a leitura dos seguintes
parmetros utilizados no programa computacional:
M => nmero de painis planos que representam a superfcie discretizada do corpo
stop => nmero total de incrementos de tempo
save => intervalo de tempo para salvar os arquivos de sada
start => instante de tempo para o incio do clculo das cargas aerodinmicas
U => velocidade do escoamento incidente
=> ngulo de ataque do escoamento incidente
t => incremento de tempo
=> posio de desprendimento dos vrtices sobre cada painel plano
pro => espessura da camada protetora
gap => deslocamento de cada ponto de controle em direo a superfcie real
0 => raio do ncleo do vrtice de Lamb
Re => nmero de Reynolds
A => amplitude de oscilao
=> velocidade angular
Em seguida, no arquivo PANELS.DAT so lidas as coordenadas dos pontos extremos
de cada painel do corpo em anlise.
40
Rotina DATAPREP.FOR
A rotina DATAPREP.FOR recebe o valor dos pontos extremos de cada painel e a partir
deles calcula para cada painel o valor do ponto de controle, do ngulo de orientao, o
comprimento do painel e os pontos de desprendimento do vrtice discreto de Lamb. Esta
rotina tambm imprime no arquivo DISCRET.DAT a geometria discretizada do corpo.
Rotina COUPS.FOR
A prxima etapa consiste do clculo dos coeficientes da matriz de influncia de fontes
pela rotina COUPS.FOR. Estes coeficientes so mostrados na equao matricial (3.27b), que
pode ser escrita como:
( )[ ]{ } { })RHSS(SS,SK kM
1jjjk =
=
(4.1)
Na equao matricial acima ( )jk S,SK uma matriz de influncia, onde cada elemento da matriz representa a induo de velocidade normal sobre o ponto de controle do painel
genrico k por todos os outros painis de fontes. Para a montagem dos coeficientes assume-
se que a densidade de cada fonte igual a unidade.
Os coeficientes da matriz de influncia de fontes no sofrem variao ao longo da
simulao numrica, porque dependem apenas da geometria do corpo. No presente trabalho
os coeficientes da matriz de influncia de fontes so calculados no sistema de coordenadas
fixo ao corpo. A matriz de influncia montada impondo-se a condio de impenetrabilidade
(condio de Neumann) sobre o ponto de controle de cada painel.
Rotina RHSS.FOR
O lado direito da equao matricial um vetor coluna de M elementos, que leva em
considerao a velocidade normal induzida pelo escoamento incidente e pela nuvem de
vrtices discretos sobre o ponto de controle de cada painel. Para um painel genrico M , o
valor de )S(RHSS k na primeira vez em que ele calculado, no instante ( )t0t = , considera apenas a induo de velocidade normal do escoamento incidente, uma vez que no existe
vrtice livre no meio fluido.
41
Durante o processo iterativo, o vetor coluna lado direito da equao matricial (4.1)
corresponde ao somatrio da velocidade normal induzida pelo escoamento incidente )v,u( ,
veja apndice B, e pelos vrtices discretos de Lamb )v,u( j,kj,k no ponto de controle do painel
genrico k com ngulo de inclinao k . No problema analisado tem-se a seguinte equao
para o vetor coluna lado direito de fontes:
( ){ })cos(v)sin(u)cos(yv)sin(u)S(RHSS kj,kkj,kkokk ++= & (4.2)
A influncia da oscilao do corpo est representada na equao (4.2) pelo termo 0y&
cujo valor calculado pela equao (3.7b).
Rotina COUPV.FOR
A prxima etapa consiste do clculo dos coeficientes da matriz de influncia dos
vrtices nascentes de Lamb pela rotina COUPV.FOR. Estes coeficientes so mostrados na
equao matricial (3.35b), que pode ser escrita como:
( )[ ]{ } { })RHSV(SS,SK kM
1jjjk =
=
(4.3)
Na equao matricial acima ( )jk S,SK uma matriz de influncia, onde a linha k representa a induo de velocidade tangencial sobre o ponto de controle do painel genrico k
por todos os vrtices de Lamb nascentes. Estes vrtices discretos de Lamb so posicionados
tangenciando o ponto de controle dos painis de acordo com uma linha normal ao ponto de
controle do painel e que passa pelo centro do ncleo do vrtice, conforme mostra a figura 6.
No instante inicial, ( )t0t = , e a cada novo incremento de tempo, t , h a gerao de vorticidade sobre a superfcie discretizada do corpo. Deste modo, o sistema de M equaes
algbricas e M incgnitas mostrado na equao (4.3), deve ser resolvido.
Os coeficientes da matriz de influncia de vrtices no sofrem variao ao longo da
simulao, porque dependem apenas da geometria do corpo. No presente trabalho os
coeficientes da matriz de influncia de vrtices so calculados no sistema de coordenadas fixo
ao corpo. A matriz de influncia montada impondo-se a condio de escorregamento-nulo
sobre o ponto de controle de cada painel.
42
Rotina RHSV.FOR
O lado direito da equao matricial um vetor coluna de M elementos. Para um painel
genrico k , o valor de )S(RHSV k na primeira vez em que ele calculado, no instante
( )t0t = , considera apenas a induo de velocidade tangencial do escoamento incidente, veja apndice B, uma vez que no existe vrtice livre no meio fluido.
Em todos os incrementos de tempo seguintes, este vetor atualizado devido aos z
vrtices discretos de Lamb que induzem velocidade )v,u( j,kj,k sobre o ponto de controle do
painel genrico k com ngulo de inclinao k . No problema analisado tem-se a seguinte
equao para o vetor coluna lado direito de vrtices:
( ){ })sin(v)cos(u)sin(yv)cos(u)S(RHSV kj,kkj,kkokk += & (4.4)
Novamente, a influncia da oscilao do corpo representada na equao (4.4) pelo
termo 0y& tem seu valor calculado pela equao (3.7b).
Rotina MODCOUP.FOR
Esta rotina acrescenta 1 linha e 1 coluna na matriz de influncia de vrtices, dada pela
equao (4.3), para imposio da conservao da circulao global, obedecendo a seguinte
equao:
( ) ( ) = =
=+M
1j
N
1klivresvrticesknascentesvrticesj
0V
(4.5)
Aproveita-se esta rotina para o clculo dos coeficientes da matriz de presso COUPP.
Esta matriz corresponde ao termo do lado esquerdo da equao (3.40) representado por j,iAp .
Rotina GAUSSPIV.FOR
As equaes matriciais (3.41), (4.1) e (4.3) so ento resolvidas pela rotina
GAUSSPIV.FOR, que utiliza o Mtodo de Eliminao de Gauss com Condensao Pivotal
43
Parcial, fornecendo para o programa principal o vetor coluna incgnita com as densidades
fontes e intensidades de vrtices sobre cada painel.
Rotina GENERATION.FOR
A vorticidade gerada sobre a superfcie do painel plano genrico j , em cada incremento
de tempo, sofre um processo de aglutinao instantnea formando um vrtice discreto. Cada
vrtice discreto que gerado localiza-se a uma pequena distncia sobre uma normal que
passa pelo ponto de controle do painel (figura 6). Este processo denominado de difuso
primria (Alcntara Pereira, 1999). O vrtice discreto formado possui um ncleo viscoso e o
modelo que vem sendo utilizado o modelo original do vrtice de Lamb (Panton, 1984). A
rotina GENERATION realiza o processo de desprendimento dos vrtices discretos.
Rotina COMP_UM_VM.FOR
A rotina COMP_UM_VM.FOR acionada para calcular os componentes da velocidade
induzida no ponto de controle dos painis planos devidos presena dos vrtices discretos
desprendidos e dos vrtices discretos presentes na nuvem de vrtices, para a correo dos
vetores coluna das equaes (4.2) e (4.4).
Rotina COMP_UC_VC.FOR
A COMP_UC_VC.FOR realiza o clculo dos componentes da velocidade total induzida
em cada vrtice discreto de Lamb da nuvem, levando-se em conta a influncia do escoamento
incidente, do corpo presente no escoamento (representado por painis de fontes com
distribuio uniforme de densidade) e de todos os vrtices discretos que formam a nuvem em
cada instante de tempo. Nesta rotina tem-se o clculo, portanto, do campo de velocidades.
Rotina PRESSURE.FOR
O clculo das cargas aerodinmicas integradas e das distribudas feito pela rotina
PRESSURE.FOR, que calcula a presso instantnea atuante no ponto de controle de cada
painel mais as foras i