Versão On-line ISBN 978-85-8015-075-9Cadernos PDE

OS DESAFIOS DA ESCOLA PÚBLICA PARANAENSENA PERSPECTIVA DO PROFESSOR PDE

Produções Didático-Pedagógicas

SECRETARIA DE ESTADO DA EDUCAÇÃO

SUPERINTENDENCIA DA EDUCAÇÃO

DIRETORIA DE POLÍTICAS E PROGRAMAS EDUCACIONAIS

PROGRAMA DE DESENVOLVIMENTO EDUCACIONAL

Universidade Estadual de Maringá

PRODUÇÃO DIDÁTICA PEDAGÓGICA

NEIDE MASSARENTI NORONHA

RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS COMO ESTRATÉGIA DE ENSINO DA MATEMÁTICA PARA A APRENDIZAGEM DE FUNÇÃO EXPONENCIAL

Maringá ─ Paraná

2013

SECRETARIA DE ESTADO DA EDUCAÇÃO

SUPERINTENDENCIA DA EDUCAÇÃO

DIRETORIA DE POLÍTICAS E PROGRAMAS EDUCACIONAIS

PROGRAMA DE DESENVOLVIMENTO EDUCACIONAL

Universidade Estadual de Maringá

UNIDADE DIDÁTICA

NEIDE MASSARENTI NORONHA

Produção Didática Pedagógica, apresentada à Secretaria de Estado da Educação ─ SEED, na disciplina de Matemática, com subsídio metodológico para o conteúdo específico Função Exponencial, parte dos requisitos do Programa de Desenvolvimento Educacional ─ PDE, 2013/2014, em parceria com a Universidade Estadual de Maringá ─ UEM.

Orientador IES: Prof. Dr. Marcelo Carlos de Proença

Maringá ─ Paraná

2013

FICHA PARA IDENTIFICAÇÃO

PRODUÇÃO DIDÁTICO- PEDAGÓGICA

TURMA PDE/2013

Título: RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS COMO ESTRATÉGIA DE ENSINO DA MATEMÁTICA PARA A APRENDIZAGEM DE FUNÇÃO EXPONENCIAL

Autora

NEIDE MASSARENTI NORONHA

Disciplina/ Área MATEMÁTICA

Escola de Implementação do Projeto

COLÉGIO ESTADUAL PAIÇANDU - ENSINO FUNDAMENTAL, MÉDIO, NORMAL E PROFISSIONALIZANTE

Município da Escola PAIÇANDU

Núcleo Regional de Educação

MARINGÁ

Professor Orientador PROFESSOR DR. MARCELO CARLOS DE PROENÇA

Instituição de Ensino Superior

UNIVERSIDADE ESTADUAL DE MARINGÁ- UEM

Relação Interdisciplinar NÃO

Resumo

Este trabalho tem como base a utilização da resolução de problemas para favorecer a compreensão sobre o conteúdo de função exponencial dos alunos do 1º ano do Ensino Médio. Destaca-se que grande parte dos problemas que os alunos resolvem em sala de aula, devido ao contexto de definição e execução, reduz esse processo a uma simples exercitação, na qual o aluno vai se tornando mais ou menos especializado. Quando surge um problema que é necessário questionar, levantar hipóteses, apresentar estratégias, o aluno se depara com grandes dificuldades, não conseguindo resolvê-lo. Nesse sentido, o objetivo deste Projeto é analisar as dificuldades dos alunos no momento de elaborar estratégias para resolver problemas matemáticos bem como estimular a curiosidade e sua aproximação com a realidade do cotidiano. A estratégia de ação respalda-se na resolução de problemas, a qual dá suporte para implementar conceitos do conteúdo abordado.

Palavras- Chave RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS; MATEMÁTICA; ESTRATÉGIAS; ENSINO-APRENDIZAGEM.

Formato do Material Didático

UNIDADE DIDÁTICA

Público-Alvo ALUNOS DO PRIMEIRO ANO DO ENSINO MÉDIO

1. APRESENTAÇÃO

O estudo da função exponencial é, em geral, mal compreendido pelos alunos

devido a não compreensão das propriedades referentes à potenciação. Muitas

vezes, isso se deve também ao fato de esse conteúdo ser deixado para o final do

ano, quando não há muito tempo para uma forma de ensino diferenciada, como, por

exemplo, a aplicação de resolução de problemas, em que o aluno construirá

conceitos matemáticos articulados com outros conceitos por meio de uma série de

retificações e generalizações.

Destaca-se que o trabalho com base na abordagem da resolução de

problemas ganha significado quando os alunos se deparam com situações

desafiadoras e trabalham para desenvolver estratégias de resolução.

Diante disso, indaga-se: 'O trabalho fundamentado na abordagem da

resolução de problemas ajuda os alunos a superar essas dificuldades?'; 'Quais as

dificuldades apresentadas pelos alunos do 1º ano do Ensino Médio no momento de

desenvolver as estratégias para resolver problemas matemáticos com o tema função

exponenciais?'.

Na sala de aula, é possível trabalhar qualquer tema, o desafio reside

justamente em como abordá-lo com cada grupo de alunos e em especificar o que

podem aprender com ele. Salienta-se que podem ser trabalhadas as diferentes

possibilidades e interesses dos alunos de forma que ninguém fique desconectado e

cada um encontre um lugar para sua implicação e participação na aprendizagem.

Ao chegar ao Ensino Médio, geralmente os alunos estão acostumados com o

professor do Ensino Fundamental, que trazia tudo pronto e com o estudo isolado de

cada disciplina. Ademais, geralmente os conteúdos são repassados de forma

mecânica, através de repetições que se tornam cansativa e sem sentido. Ressalta-

se ainda que os pré-requisitos da Educação Fundamental causam enormes

dificuldades nos alunos para acompanharem o Ensino Médio de maneira eficaz.

A Matriz de Referência do Sistema de Avaliação da Educação Básica –

SAEB – e da Prova Brasil, avaliações que fornecem indicadores sobre a qualidade

da educação brasileira, estruturadas com foco em revoluções de problemas,

assinala que “o conhecimento matemático ganha significado quando os alunos têm

situações desafiadoras para resolver e trabalham para desenvolver estratégias de

resolução” (BRASIL, 2008, p.106). Esses sistemas avaliativos têm gerado

preocupação por parte dos professores e gestores escolares, já que os índices

apresentados pelos meios de comunicação apontam para a fragilidade do ensino da

Matemática em nossas escolas.

Essa constatação leva à observação de que é necessária a implementação

de ações mais aprofundadas, considerando a mudança dessa situação indesejável,

a qual se traduz nos resultados do processo de ensino aprendizagem da Matemática

atualmente.

Devem-se levar os alunos a perceber que é possível aprender a resolução de

problemas de forma lúdica, questionando, elaborando estratégias, cientes do por

que do processo de resolução e não apenas a aplicação de fórmulas para obter

resultado que não signifique nada para ele.

Carvalho et al. (2010) realizaram uma experiência com os alunos do segundo

ano do Ensino Médio com o tema Função Exponencial, o qual apontou que o ensino

baseado na resolução de problemas, diferentemente do ensino tradicional, propiciou

um ambiente altamente dinâmico e reflexivo, e os alunos continuaram com o mesmo

interesse quando passaram a tratar do conteúdo desejado.

Realça-se que uma alternativa viável para desenvolver o tema função

exponencial é usar como estratégia a resolução de problemas, tendo em vista que o

ensino tradicional comumente inibe os alunos a construírem seus conhecimentos.

Nesse sentido, essa atividade didática, realizada na segunda etapa do

PDE/2013 da Secretaria de Educação do Estado do Paraná, difere atividades

relacionadas à resolução de problemas envolvendo função exponencial, elaboradas

com a orientação do professor Dr. Marcelo Carlos de Proença, da UEM.

Esta unidade tem como objetivo geral favorecer a compreensão de alunos do

1º ano do Ensino Médio acerca do conteúdo de função exponencial mediante a

resolução de problemas com vistas a buscar novas estratégias de resolução,

levando estes a pensar e a maximizar o seu fazer quando engajados ativamente no

enfrentamento de desafios.

Podemos afirmar que, na escola de hoje, sem dúvida, há espaço para

aprendizagem mútua, em que professores e alunos são ao mesmo tempo

aprendentes e ensinantes; basta que estejamos dispostos a fazer cada vez melhor e

diferente.

2. OBJETIVOS

2.1 Objetivo Geral

Analisar, por meio da abordagem da resolução de problemas, as

estratégias utilizadas pelos alunos bem como os procedimentos de

resoluções.

2.2 Objetivos Específicos

Identificar os conhecimentos dos alunos por meio da abordagem de um

problema envolvendo conceito de função exponencial;

Elaborar e desenvolver uma sequência didática referente à abordagem

da resolução de problemas;

Analisar as dificuldades dos alunos em encontrar estratégias nas

resoluções de problemas.

3. RECURSOS/MATERIAIS

Quadro de giz, giz

Caderno

Laboratório de Biologia

Computador

Canetas, lápis, borracha

4. FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA

Os educadores matemáticos, atualmente, se preocupam com a questão de

resolução de problemas considerando a grande importância não só no ensino da

Matemática, como também no de outras disciplinas (PCN, 1997).

Nos Parâmetros Curriculares Nacionais – PCN – (BRASIL, 1998, p.40) consta

que:

[...] o ponto de partida matemática não é a definição, mas o problema, porque no processo de ensino e aprendizagem, conceitos, e idéias e métodos matemáticos devem ser abordados mediante a exploração de problemas, ou seja, de situações em que os alunos precisam desenvolver algum tipo de estratégias [...].

E ainda que:

[...] o problema certamente não é um exercício em que o aluno aplica de forma quase mecânica, uma fórmula ou um processo operatório. Só há problema se o aluno for levado a interpretar o enunciado da questão que lhe é posta e a estruturar a situação que lhe é apresentada (BRASIL, 1997, p.43).

Cada vez que se tem uma pergunta, se tem um problema, pois para

responder a qualquer pergunta se pratica o ato de pensar. A esse respeito, as

Diretrizes Curriculares de Matemática para a Educação Básica do Paraná (2008,

p.63) propalam que:

O professor deve fazer o uso de práticas metodológicas para a resolução de problemas, como exposição oral e resolução de exercícios. Isso torna as aulas mais dinâmicas e não restringe o ensino da matemática a modelos clássicos.

Os métodos de ensino ganharam muita ênfase na resolução de problemas.

Recomendam-se atividades em pequenos grupos, com a utilização de material

didático, bem como ambientes de sala de aula estimulantes para que os alunos

possam construir o conceito matemático a partir de situações vivenciadas por eles,

reais.

Acerca dessa questão, Echeverría (1998, p.480) pontua que

[...] para que possamos falar da existência de um problema, a pessoa que está resolvendo essa tarefa precisa encontrar alguma dificuldade que a obrigue a questionar-se sobre qual seria o caminho que precisaria seguir para alcançar a meta.

Entretanto, as situações-problemas propostas aos alunos devem ter

estruturas mais complexas que as de sua vivência cotidiana, pois ele consegue

resolver estas últimas à sua maneira.

Segundo Sternberg (2000, p.494),

Empenhamo-nos na resolução de problemas, quando precisamos superar obstáculos, a fim de responder a uma pergunta ou alcançar um objetivo. Se pudermos recuperar rapidamente uma resposta da memória, não temos um problema. Se não pudermos recuperar uma resposta imediata, então temos um problema para ser resolvido.

Pode-se assinalar que o exercício é uma atividade de adestramento no uso

de alguma habilidade/conhecimento matemático, enquanto o problema

necessariamente envolve invenção ou/ e criação significativa.

De acordo com Echeverría (1998, p.46),

[...] a idéia de que o raciocínio nesta matéria reflete e estimula o raciocínio em outras áreas do conhecimento e, por outro lado, á idéia de que um maior aprofundamento nos conhecimentos e procedimentos ajudaria o avanço em outras áreas científicas e tecnológicas e, inclusive, a resolução mais eficiente das tarefas cotidianas.

Portanto, é errôneo pensar que a resolução de problemas é uma questão

exclusiva da Matemática. O desafio é saber como se pode incentivar o aluno a

pensar e a raciocinar. Infelizmente, o aluno não é ensinado a desenvolver o

raciocínio lógico-dedutivo, mas sim a copiar modelos, padrões de respostas,

resultados. Assim, a Matemática tem um caráter tanto formativo, que auxilia na

estruturação do pensamento e do raciocínio lógico, quanto instrumental, utilitário, de

aplicação no dia-a-dia, em outras áreas dos conhecimentos e nas atividades

profissionais.

A solução de problemas, conforme Chi e Glaser (1992, p.250), “é uma

habilidade cognitiva complexa que caracteriza uma das atividades humanas mais

inteligentes”.

Destarte, auxiliar os alunos a aprender a aprender consiste em uma tarefa

que envolve tempo, pois é um processo longo de desenvolvimento de habilidades e

construção de conhecimentos.

Dante (2009, p.36) propõe que:

Ensinar a resolver problema è uma tarefa mais difícil do que ensinar conceitos, habilidades e algoritmos matemáticos. Não é um mecanismo direto de ensino, mas uma variedade de processos de pensamentos que precisam ser cuidadosamente desenvolvidos pelo aluno com o apoio e incentivo do professor.

Nesse sentido, além se garantir o clima de confiança em sala de aula, o

professor pode adotar várias estratégias para que o aluno se sinta à vontade para

lidar com o referido problema.

Na perspectiva de Echeverría (1998, p.45),

[...] aprender e resolver problemas matemáticos e a analisar como os especialistas e os não-especialistas resolvem esse tipo de tarefas pode contribuir para um aumento do conhecimento científico e tecnológico de maneira geral.

Desenvolver conceitos matemáticos, princípios e algoritmos através de um

conhecimento significativo e habilidoso é importante. Desta maneira, seria possível

mudar “a visão estreita de que a matemática é apenas uma ferramenta para resolver

problemas, para uma visão mais ampla de que a matemática é um caminho de

pensar e um organizador de experiências” (ONUCHIC, 1999, p.208).

Trata-se de uma percepção que entende a compreensão como um processo

de aprendizagem, gerada pelo aluno a partir de seu engajamento em construir

relações entre as várias ideias da Matemática contidas em um problema e a uma

variedade do contexto. Em outras palavras, significa que o professor deve solucionar

e / ou elaborar e propor os problemas que agucem o interesse dos alunos em querer

resolvê-los.

Para Onuchic (1999, p.216), ao abordar o ensino da 'Resolução de

Problemas' nas aulas, “o papel do professor muda de comunicador de conhecimento

para o de observador, organizador, consultor, mediador da aprendizagem”. Dessa

forma, é importante considerar as diferentes formas e os variados caminhos que os

alunos podem apresentar para a solução de uma mesma situação-problema.

Em consonância com Chi e Glaser (1992), “o problema é uma situação na

qual um indivíduo atua com o propósito de alcançar uma meta utilizando para tal

alguma estratégia em particular”. A partir dessa concepção, entende-se que existe

um problema quando há um objetivo a ser alcançado, mas ainda se enfrentará um

problema se ainda não se dispor dos meios para atingi-los.

De acordo com Polya (2006, p.5):

[...] uma grande descoberta resolve um grande problema, mas há sempre uma pitada de descoberta na resolução de qualquer problema. O problema pode ser modesto, mas se ele desafiar a curiosidade e puser em jogo as faculdades inventivas, quem o resolver por seus próprios meios, experimentara a tensão e gozara o

triunfo da descoberta.

Diariamente, o ser humano lida com resolução de problemas, dos mais

simples aos mais complexos. Hoje, com o avanço da psicologia cognitiva e sua

relação com a ciência, a resolução de problemas é entendida como uma

competência que pode e deve ser aprendida.

No entendimento de Musser e Shaughnessy (1997, p.188), a ênfase do

trabalho da Matemática na escola do passado recaía na aprendizagem de

algoritmos devido ao forte domínio da aritmética existente na época; porém na era

eletrônica a prioridade deve ser para o desenvolvimento e o uso de algoritmos para

resolver problemas. Nesse contexto, os autores citam cinco estratégias de

resoluções de problemas:

Tentativa e erro: aplicação de operações pertinentes às informações dadas.

Padrões: resoluções de casos particulares, encontrando padrões que podem

ser generalizados.

Resolver um problema mais simples: resolução de um caso particular ou um

recuo temporário de um problema complicado para uma versão resumida,

podendo vir acompanhado do emprego de um padrão.

Trabalhar em sentido inverso: partindo do resultado, realizar operações que

desfazem as originais.

Simulação: utilizada quando a solução do problema envolve a realização de

um experimento e executá-lo não seja prático.

Destaca-se que trabalhos pautados na Resolução de Problemas podem ser

desenvolvidos a partir de várias possibilidades.

A resolução de problemas, segundo Polya (2006, p.05-12), é desencadeada

pela passagem de quatro fases:

A compreensão do problema- refere-se à identificação do que o problema

está pedindo / perguntando; quais dados / informações são apresentados no

problema;

Estabelecimento de um plano: o aluno deve elaborar um plano, ou seja, criar

um plano de ação de modo a relacionar os dados do problema com o que ele

está pedindo;

A execução do plano: constitui-se no momento da efetivação de todas as

estratégias pensadas para a resolução do problema;

Retrospecto ou reflexão sobe a resolução: analisar a solução obtida,

repassando todo o problema para que os alunos possam fazer como

pensaram inicialmente a estratégia selecionada e o caminho trilhado para se

obter a solução.

Na visão de Sternberg (2000, p.310), as etapas do ciclo de resolução de

problema são:

Identificação do Problema: precisa-se tomar cuidado no momento de se

conhecer o objetivo para não falhar. Na maioria das vezes, as soluções dadas

aos problemas parecem ineficientes e não são capazes de resolvê-los. É

preciso fazer uma observação bem detalhada dos fatos para que se possa

enxergar e separar o que são problemas, suas causas e seus efeitos;

Definição e representação do problema: quando identificado o problema, é

preciso defini-lo e representá-lo para sua solução. Formulação de estratégia:

após a compreensão do problema, faz-se necessário planejar uma estratégia

para resolvê-lo, podendo envolver a análise e a síntese do problema. Não existe

uma única estratégia para tratar de um problema, depende muito das

preferências pessoais de quem está resolvendo. Para resolver um problema,

podem-se estabelecer planos diferentes que resultarão na mesma resposta;

Organização da Informação: para realizar a estratégia formulada, é necessário

organizar e reorganizar toda a informação disponível. Essa atividade é

desenvolvida durante todo o processo de resolução de problemas;

Alocação de recursos: os recursos existem e muitas vezes são limitados. É

necessário identificar quais os recursos a serem utilizados em todo o momento.

Se forem usados de forma incorreta, como mostram alguns estudos, resultarão

em frustrações no planejamento do trabalho em questão;

Monitoração: é fundamental que o aluno confira tudo ao longo do caminho se o

objetivo a ser atingido está próximo. Caso perceba que não está, deverá

reavaliar e tomar novos caminhos;

Avaliação: como se monitoriza um problema, é necessário avaliar a solução que

visa a obter resultados satisfatórios que nem sempre ocorrem imediatamente.

Mediante a avaliação, novos problemas podem ser reconhecidos, redefinidos e

poderão surgir novas estratégias que poderão ser usadas com maior eficiência.

Em se tratando de um problema em sala de aula, fazem-se necessários

alguns procedimentos para sua melhor compreensão.

Cabe ao professor propor aos alunos um problema que tenha mais de uma

solução. Deve-se trabalhar com os alunos, incentivando-os a se expressarem

livremente, pois além de garantir o clima de respeito e confiança, o professor poderá

auxiliar os grupos, tirando as dúvidas. O professor discutirá com os grupos de alunos

as estratégias de resoluções, validando se as mesmas são adequadas, verificando

também a racionalidade da resposta.

Caso não ocorra, possibilitar que seja revista a estratégia de resolução para

localizar o erro e reorganizar os dados em busca de nova resolução. Isso deverá

ocorrer em sala de aula, antes de abordar o conteúdo desejado pelo professor.

5. UNIDADE DIDÁTICA

Pretende-se desenvolver a Unidade Didática com os alunos do primeiro ano

do Ensino Médio, um grupo de aproximadamente quarenta alunos, no período da

manhã. A abordagem de ensino do Projeto terá por base a resolução de problemas.

Para tal, as aulas a serem desenvolvidas seguem as sequências de atividades: Aula

1 – Revisão de potenciação; Aula 2 – Apresentação do Projeto; Aula 3 – Visita à

Pastoral da Saúde, pesquisa de lactobacilos; Aula 4 – Medidas de capacidade; Aula

5 – Equações exponenciais; Aula 6 – Introdução de situação problemas; Aula 7 –

Função exponencial; Aula 8 – Resolução de novos problemas, envolvendo a

preparação do iogurte caseiro; Aula 9 – Avaliação do conteúdo para analisar por

meio da abordagem da resolução de problemas, as estratégias de procedimentos de

resolução dos alunos.

5.1 – Aula 1 – Revisão da Potenciação (02 h/aulas)

Objetivo: Rever a potenciação e suas respectivas propriedades para dar base

aos alunos antes do trabalho envolvendo o conceito de função exponencial.

Nessa aula, a professora pretende revisar as potências com expoentes

naturais, inteiros, racionais e suas respectivas propriedades.

Atividades

1 - Resolva a potenciação – Expoentes naturais:

2 - Sendo a base um número real não-nulo e o expoente um número

natural, tem-se: , e , calcule:

a)

e)

a)

f)

b)

g)

c)

h)

d)

i)

e)

b)

f)

c)

g)

d)

h)

3 - Resolva as propriedades das potências, cujo expoente é um número inteiro.

a) e)

b)

f)

c) g)

d) h)

4 - Considerando , tem-se que: não existe raiz em quando

e é par; a raiz é um número negativo quando e é ímpar. A

expressão é uma potência cuja base é um número real positivo, e o

expoente é um número racional, sendo e números inteiros e positivos.

a)

f)

b)

g)

c)

d)

e)

5 - Resolva as propriedades das potências, cujo expoente é um número racional.

a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

5.1 – Aula 2 - Apresentação do Projeto (02 h/aulas)

Objetivo: Compreender o desenvolvimento do Projeto e elaborar a

autorização a ser enviada aos pais e ou responsáveis.

A professora dessa Unidade Didática fará a apresentação dos objetivos

pretendidos no trabalho a ser desenvolvido com a participação dos aprendizes, e

através da fabricação do iogurte caseiro desenvolverão um trabalho sobre tal

iogurte.

Nessa aula, será confeccionado, juntamente com os alunos, o termo de

autorização que deverá ser assinado pelos pais e pela direção da escola para a

busca da receita do iogurte caseiro bem como dos lactobacilos na Pastoral da

Saúde.

5.3 – Aula 3 – Visita à Pastoral da Saúde – Pesquisa dos lactobacilos

(02h/aulas)

Objetivo: Reconhecer os benefícios dos lactobacilos para a saúde e coleta da

receita do iogurte caseiro.

Com autorização dos pais e da escola, professor e alunos irão à Pastoral da

Saúde para a busca da receita do iogurte caseiro e dos lactobacilos. Em seguida, os

alunos irão ao laboratório de biologia para pesquisarem em dupla sobre os

lactobacilos e seus benefícios à saúde.

A professora deverá respeitar a iniciativa dos alunos e se necessário ajudá-

los a encontrar o site para a pesquisa. Os alunos farão um resumo do assunto,

registrando nos cadernos. A professora e os alunos discutirão o assunto exposto no

quadro, enfatizando os tópicos mais relevantes.

Os lactobacilos são importantes para o sistema digestivo e imunológico. Os

chamados alimentos probióticos representam saúde e proteção ao organismo.

Milhares de micro-organismos vivos agem permanentemente em nossa flora

intestinal e são responsáveis pela absorção dos nutrientes ingeridos através da

alimentação.

Esses “bichinhos” melhoram a integridade da parede intestinal e assimilam

alguns nutrientes importantes para o organismo, como o cálcio e o ferro; pontua-se

que de nada adianta seguir alimentação saudável se a flora intestinal não estiver

sadia.

Alimentos como o leite, iogurte, queijo fresco e a coalhada são fundamentais

em nosso dia-a-dia, porque contêm o melhor dos probióticos, os lactobacilos vivos,

os mesmos encontrados no leite fermentado.

Pesquisas mostram que os lactobacilos equilibram o funcionamento intestinal,

impedem a multiplicação de bactérias nocivas; inibem a produção de toxinas,

melhoram a digestão, fortalecem o sistema imunológico, além de prevenir o câncer

de colón (localizado no intestino grosso).

5.4 – Aula 4 – Medidas de capacidade (02 h/aulas)

Objetivo: Rever os conceitos de medidas de capacidades para favorecer a

compreensão dos alunos no trabalho com o iogurte caseiro.

De acordo com a receita do iogurte caseiro, para a qual são necessários 100

ml de lactobacilos para 1 litro de leite, faz-se necessária uma revisão de conteúdos

sobre medidas de capacidade para transformações de unidades.

Os múltiplos e submúltiplos do litro são obtidos multiplicando-se ou dividindo-

se o litro por 10, 100 ou por 1000.

Os múltiplos do litro (decalitro, hectolitro e quilolitro) são unidades pouco

usadas. São submúltiplos do litro: decilitro - equivale a ; centilitro –

equivale a ; mililitro – equivale a .

Atividades

Usando os submúltiplos do litro, resolva:

1- Expresse em mililitros.

2- Em uma jarra, havia 2 litros de leite. Retirei 350 ml de leite para fazer um doce.

Quantos litros de leite restaram na jarra?

Restaram de leite na jarra.

3 - Transformes as unidades:

a) d)

b) e)

c) f)

5.5 – Aula 5 – Equações Exponenciais (03h/aulas)

Objetivo: Favorecer a ampliação do conceito de potenciação por meio da

resolução de equações exponenciais.

Nessa aula, a professora apresentará aos alunos equações exponenciais em

que as incógnitas aparecem nos expoentes que podem ser resolvidos reduzindo-se

o 1º e 2º membros à potência de mesma base e outras usando alguns artifícios.

Resolva em as seguintes equações exponenciais.

a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

C.A

h)

i)

j)

5.6 – Aula 6 – Introdução de Situações Problemas (06h/aulas)

Objetivo: Propor problemas para posteriormente identificar as

dificuldades dos discentes em encontrar as estratégias.

No início da aula, será proposto aos alunos o seguinte problema

elaborado pela professora:

1 – Certa indústria pretende fabricar 256 litros de iogurte. Sabe-se que para um

litro de leite serão necessários 100 ml de lactobacilos. Qual a quantidade

necessária de lactobacilos para fabricar essa quantidade de iogurte?

Os alunos trabalharão em grupos para que possam trocar ideias e

experiências de como resolver o problema. A professora será a mediadora

entre os alunos, e estes registrarão nos cadernos as estratégias encontradas.

Em seguida, os alunos irão até a lousa para fazer o registro das estratégias

que utilizaram na resolução do problema proposto, o que permitirá identificar

suas dificuldades no processo de resolução.

Para se ter uma visão geral das estratégias, foram elaboradas possíveis

estratégias que poderão ser utilizadas pelos alunos. Seguem, abaixo, duas

delas:

1ª Estratégia: Regra de três.

Leite(l) Lactobacilos(ml)

1 - 100

256 - x

Resposta: Serão necessários 25.600 ml de bactérias.

2ª Estratégia: Tentativas e erros.

Leite

(litros) Lactobacilos (ml)

1.100 100

2.100 200

3.100 300

... ...

256.100 25600

Resposta: Serão necessários 25.600 ml de bactérias.

Em seguida, será proposto aos alunos outro problema:

2 – Sabendo que para fabricar 256 litros de iogurte são necessários 25600 ml

de lactobacilos, qual o intervalo (dias) necessário para a sua reprodução?

Os alunos trabalharão em grupos para discussão de como resolver o

problema proposto, apresentando suas estratégias. A professora será a

mediadora para auxiliá-los se necessário. Após os grupos terem resolvido o

problema, deverão apresentar suas estratégias na lousa. Desta forma, será

possível uma localização entre os alunos a respeito dos conhecimentos que

possuem de matemática e as estratégias que foram utilizadas.

Nessa aula, a professora terá a possibilidade de avaliar o processo de

resolução de problemas seguido pelos grupos. Assim, professora e alunos

poderão discutir sobre os aspectos que envolvem a compreensão do problema,

a apresentação de uma estratégia, a realização de cálculos matemáticos e a

apresentação de uma resposta ao problema.

Buscando antecipar as possíveis estratégias de resolução que os alunos

podem apresentar, elencaram-se duas delas:

1ª Estratégia: Tentativas e erros.

- 1º Instante=100ml - 2º Instante=200ml

Então, o segundo instante dividido pelo primeiro instante é 2, tem-se:

100.2=200 800.2=1600 6400.2=12800

200.2=400 1600.2=3200 12800.2=25600

400.2=800 3200.2=6400 25600.2=51200

Resposta: O tempo necessário para sua reprodução está no 8º dia.

2ª Estratégia: Tabela

A professora proporá uma estratégia de resolução, a da montagem de

uma tabela tal que uma coluna constitui-se no número de dias (d), e a outra

coluna no número de volume de lactobacilos (v). A professora solicitará aos

alunos que apresentem valores para a tabela. Estando por base apenas

valores de até cinco dias, a professora pedirá aos alunos para analisar a

sequência formada pelos números de volumes de bactérias e perguntará se

existe alguma relação matemática entre esses números. Abaixo, segue a

tabela.

Dias Volume(ml)

0 100

1 200

2 400

3 800

4 1600

5 3200

... ...

d v

Espera-se que os alunos percebam que os números da tabela poderiam

ser elevados a um expoente; se não conseguirem, a professora dará dicas para

continuarem os cálculos da tabela, pedindo que façam alguma relação entre os

dados iniciais de modo a obter a expressão

matemática.

Segue abaixo como ficará a obtenção da expressão.

Dias Volume(ml)

0 100

1 200

2 400

3 800

4 1600

Padrão:

Resposta: O tempo necessário para sua reprodução está no 8º dia.

5 3200

... ... ...

d v

Pretende-se que os alunos percebam que os dias podem ser

transformados em potência de base 2. Por meio da expressão matemática,

pode-se dar resposta ao problema.

Desse modo, será possível ter condições de apresentar aos alunos um

exemplo de função exponencial.

5.7 – Aula 7 – Função Exponencial (06h/aulas)

Objetivo: Apresentar o conteúdo de função exponencial e favorecer a

sua identificação, leitura e interpretação por meio de seus gráficos.

Para uma expressão do tipo , denominados: base, ao numero real ;

expoente, ao número natural ; potência ao resultado da operação.

O estudo da função exponencial será feito em dois casos:

1º Caso – Função crescente

A base é um número real maior que 1: a>1

2º Caso – Função decrescente

A base é um número real, maior que 0 e menor que 1: 0<a<1

A função exponencial tem como características:

A curva da função passa pelo ponto (0,1).

O seu domínio é o conjunto dos reais .

O seu conjunto imagem é

A função é crescente para a base maior que .

A função é decrescente para a base maior que 0 e menor que

Após o desenvolvimento do conceito sobre função exponencial, a

professora incentivará os alunos a construírem os gráficos, os quais são

representações das coordenadas e curvas que ligam os pontos das ordenadas

(y) e abscissas (x) para representação de um fenômeno qualquer.

Em seguida, a professora solicitará aos alunos para que construam os

gráficos em grupos, tendo a professora como mediadora. Após a construção, a

professora pedirá para analisar nos gráficos o domínio, conjunto imagem e o

porquê o gráfico não intercepta o eixo horizontal: Os alunos farão o registro nos

cadernos. A professora fará uma discussão desse conteúdo juntamente com os

alunos, chegando à conclusão de que o domínio é o eixo das abscissas (x)

representado pelo conjunto dos números reais, enquanto a imagem é o eixo

das ordenadas (y), em que os números são sempre positivos com ausência do

zero, porque a representação do gráfico não corta e nem tangencia o eixo x.

Com isso, não há existência de zeros ou raízes da função.

Por exemplo, para que os alunos compreendam que o gráfico da função

não corta o eixo x, a professora proporá valores de

e x=- 1000 para que eles percebam que os valores de y estão

tendendo a resultar no valor zero.

Mediante isso, os alunos resolverão individualmente os gráficos da

função exponencial:

a)

x

2 4

1 2

0 1

-1

-2

-3

b)

x

3

2

1

0 1

-1 2

-2 4

c)

x

1

0 1

3

-1 9

5.8 – Aula 8 – Resolução de novos problemas envolvendo a preparação

do iogurte caseiro (06h/aulas)

Objetivo: Promover problemas relacionados com a experiência do

iogurte caseiro, e os alunos poderão resolvê-los por meio de diferentes

estratégias.

A atividade inicial dessa aula será baseada na retomada do problema da

aula 6, problema 2, cujo enunciado informa que para fabricar 256 litros de

iogurte são necessários 25600 ml de lactobacilos. Querendo saber o tempo

necessário para a reprodução dos lactobacilos, os alunos construirão o gráfico

desse problema, individualmente, mediante a tabela já confeccionada, que foi

uma das estratégias do problema da aula mencionada. Os alunos farão o

registro do gráfico no caderno, em seguida a professora discutirá com eles

acerca do domínio dessa função, pois esta trata de problema do cotidiano e

não de caráter matemático. A docente fará indagações aos alunos “sobre o

porquê” dos domínios serem diferentes e pedirá a eles que registrem em seus

cadernos as respostas para chegarem a uma conclusão. Seguidamente, a

professora verificará quais respostas foram mais condizentes com o assunto e

fará o registro na lousa.

Em seguida, serão apresentadas aos alunos três atividades, que

seguem abaixo. A professora solicitará aos alunos que tentem resolvê-las por

meio da estratégia da tabela, encontrando, assim, a fórmula matemática, e que

utilizem os conhecimentos específicos de função exponencial aprendidos até

então nas aulas.

A professora proporá a construção dos gráficos, discutindo com os

alunos o domínio, a imagem e se a função é crescente ou decrescente.

A condução dessas atividades se dará levando-se em consideração o

processo de resolução seguido pelos alunos. Assim, busca-se verificar a

compreensão, o uso da estratégia da tabela, a execução de cálculos com a

função exponencial e os conceitos previamente estudados e como apresentar a

resposta. Os alunos serão orientados a resolver essas atividades com base no

processo de resolução de problemas.

Atividades

Atividade 1

“Os alunos do primeiro ano do Colégio Estadual Paiçandu pretendem fabricar

iogurte caseiro. Sendo 40 alunos matriculados, qual a quantidade necessária de

iogurte que terão que fabricar, sabendo que cada aluno receberá 200 ml de

iogurte?”.

Seguem abaixo as possíveis estratégias encontradas pelos alunos:

1ª Estratégia – Regra de três

1 aluno – 200ml do iogurte

40 alunos – x

X=8000 ml ou 8 litros

Resposta: Serão necessários 8 litros de iogurte.

2ª Estratégia – Quadro ou tabela.

Poderá acontecer, também, dos alunos usarem a tabela.

Aluno Iogurte

1 200ml

2 400ml

3 600ml

Fórmula matemática:

Resposta: Serão necessários 8000 ml ou 8 litros de iogurte.

... ...

40 8000ml

... ...

a i

Atividade 2

“Para preparar oito litros de iogurte, qual a quantidade necessária de

lactobacilos?”.

Seguem as possíveis estratégias encontradas pelos alunos:

1ª Estratégia – Regra de três.

1 litro de iogurte – 100ml de lactobacilos

8 litros de iogurte – x

X=800ml+100ml (matriz)

X=900ml de lactobacilos

Resposta: Para 8 litros de iogurte, serão necessários 900ml de lactobacilos.

2ª Estratégia - Quadro ou tabela.

Essa atividade poderá ser resolvida pelos alunos também através de uma

tabela. A professora terá que lembrá-los de não se esquecerem de reservar a

matriz dos lactobacilos, que no caso, seriam 800ml de lactobacilos mais 100ml

da matriz.

Iogurte

(litros) Lactobacilos

1 100 ml 1x100=100

2 200 ml 2x100=200

Fórmula matemática:

E=i x 100

3 300 ml 3x100=300 Resposta: Para 8 litros, serão necessários 800ml de lactobacilos + 100ml da matriz, totalizando, então, 900ml.

4 400 ml 4x100=400

5 500 ml 5x100=500

6 600 ml ...

7 700 ml

8 800 ml

... ...

i e E=i x 100

Atividade 3

“Qual o tempo necessário para a reprodução dos lactobacilos para a

fabricação do iogurte?”.

Seguem as estratégias encontradas pelos alunos bem como a

construção do gráfico, domínio, imagem e se a função é crescente ou

decrescente.

1ª Estratégia – Tentativas e erros.

Se o primeiro instante 0 é 100ml, no 1º dia serão necessários 200ml.

Dividindo o 2º termo pelo 1º termo, são dois.

Então:

100.2=200

Resposta: O tempo necessário para a reprodução de 900ml de lactobacilos está entre o 3º e 4º dia.

200.2=400

400.2=1600

1600.2=3200

2ª Estratégia – tabela / tentativas e erros.

Intervalos de

tempo (dias)

Volume de

bactérias (ml)

0 100

1 200 Fórmula matemática:

Resposta: O tempo necessário para a reprodução de 900ml de lactobacilos está entre o 3º e o 4º dia.

2 400

3 800

4 1600

5 3200

... ... ...

d V

5.9 – Aula 9 – Avaliação (03h/aulas)

Objetivo: Avaliar os conhecimentos adquiridos pelos alunos bem como

as estratégias utilizadas por eles.

Para avaliar o trabalho desenvolvido na sequência didática, em especial

no trabalho na abordagem da resolução de problemas, foi montada uma

avaliação contendo três problemas, os quais foram elaborados para avaliar os

conhecimentos adquiridos pelos alunos no uso da estratégia para obtenção das

fórmulas matemáticas (padrão), o uso do conceito de função exponencial e a

construção de gráficos.

A elaboração dos problemas se deu de forma diferente do que

comumente se encontra nos livros didáticos, em cujos enunciados das

atividades se apresenta uma lei da função que pouco contribui no

entendimento desse conceito.

Volumes de Bactérias

X dias

Será comunicado aos alunos que utilizem as estratégias discutidas nas

aulas, como o uso das tabelas e do conceito de função exponencial, assim

como deverão encontrar a expressão matemática.

Seguem os problemas que comporão a referida avaliação, bem como as

estratégias e gráficos que os alunos poderão utilizar, sendo possível encontrar

caminhos não pensados para resolver os problemas propostos.

1) Resolva as atividades:

a) Certo tipo de vegetal se desenvolve dobrando a sua altura mensalmente.

Compreende-se que sua altura inicial é de 1mm; sendo assim, determine a

expressão exponencial, a altura y(mm) em função do tempo t (meses) e

construa o gráfico cartesiano dessa função.

Segue abaixo a estratégia – tabela

Período(t) Altura(y)

t=0 1mm

t=1 mês 2mm

t=2 meses 4mm

t=3 meses 8mm

t=4 meses 16mm Resposta: A expressão exponencial

, que representa o

crescimento do vegetal em função

do tempo.

t=5 meses 32mm

... ...

t=x meses mm

Gráfico

A união dos pontos é

possível, pois o vegetal

cresce continuamente.

b) Um professor de Biologia acompanhou o crescimento de uma planta circular

que tinha 1 cm de diâmetro. Durante suas observações, a planta triplicava

mensalmente. Qual será seu diâmetro no final do terceiro mês? Construa o

gráfico.

Segue abaixo a estratégia – tabela

Tempo(meses) Diâmetro(cm)

0 1

Padrão:

1 3

2 9

3 27

Resposta: O diâmetro da folha no

final do 3º mês é 81 cm de

diâmetro.

4 81

... ...

x

X(meses)

Y(mm)

Gráfico

c) No dia 1º de março, dois amigos formaram uma comunidade no facebook. No

dia posterior, cada um dos “fundadores” convidou três novos amigos para se

incluírem à comunidade. No terceiro dia, cada novo integrante convidou três

novos amigos para participarem da comunidade e assim respectivamente, até o

final do mês, de forma que todos os convidados aceitem a proposta de

comunidade e que ninguém receba o convite de mais de uma pessoa.

1- Quantos membros ingressarão na comunidade no dia 4? E no dia 5?

2- Qual o total de membros que a comunidade possuirá no dia 5?

3- Qual a fórmula matemática que relaciona o número de membros (y) que

ingressarão na comunidade (x)?

X(meses)

Diâmetro(cm)

4 – Construa o gráfico.

Seguem as estratégias.

1ª estratégia - diagrama

1º de janeiro 2º de janeiro 3º de janeiro 4º de janeiro 5º de janeiro

} 9 } 27

} 9 } 27

} 9 } 27

} 9 } 27

} 9 } 27

} 9 } 27

2ª estratégia – tabela

X (dias) Y (amigos)

1 2

2 6

3 18

4 54

5 162

... ... ...

Respostas

1- 54, 162.

2- 2+6+18+54+162=242.

3- .

Y (amigos)Y

X (dias)

6. ORIENTAÇÕES METODOLÓGICAS

O presente Projeto fundamenta-se na utilização da abordagem de

ensino baseada na resolução de problemas para a explanação sobre o

conteúdo de função exponencial.

Primeiro, serão apresentados exercícios para revisão de potenciação e

unidades de capacidade, requisitos necessários para a introdução da função

exponencial.

Na sequência, serão apresentados aos alunos o Projeto e a coleta de

informações a serem feitas sobre a receita do iogurte. A Pastoral da Saúde,

entidade que cuida da saúde e da alimentação das pessoas carentes, será

acionada para fornecer a receita do iogurte caseiro, pois este é fabricado com

lactobacilos e se objetiva saber quais bactérias executam a função láctica, cujo

produto final é o ácido láctico.

Os alunos serão levados ao laboratório de Biologia, onde pesquisarão os

benefícios dos lactobacilos para a saúde após homogeneizados ao leite.

No decorrer desta Unidade Didática, serão propostos problemas aos

alunos, que deverão resolvê-los encontrando pelos seus próprios meios um

caminho de resolução. Cada grupo relatará para a turma as estratégias

utilizadas para resolver os problemas, apontando as dificuldades encontradas.

O professor será o mediador para a discussão dos alunos e fará uma nova

abordagem para a resolução caso estes não consigam chegar à resposta

correta.

Finalmente, o professor elaborará uma avaliação que servirá para

analisar os conhecimentos dos alunos e para averiguar as estratégias

utilizadas, principalmente se houve a apropriação do conteúdo por parte dos

alunos.

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

BRASIL. MEC. Parâmetros Curriculares Nacionais 1º e 2º ciclo do Ensino Fundamental. Brasília: MEC, 1997. BRASIL. MEC. Parâmetros Curriculares Nacionais 3º e 4º ciclo do Ensino Fundamental. Brasília: MEC, 1998. CARVALHO, E. R.; CARVALHO, L. M. R.; CALFA, A. R. P.; ALVES, S. G.; Resolução de Problemas como uma alternativa de ensino do tópico Função Exponencial: Comparação com o ensino tradicional do mesmo tópico. In: ENCONTRO NACIONAL DE EDUCAÇÃO MATEMÁTICA, X., 2010. SALVADOR - BA. Anais... SALVADOR: SBEM, 2010. CHI, M.T.H.; GLASER, R. A capacidade para a solução de problemas. In: STERNBERG, R. As capacidades intelectuais humanas: uma abordagem em processamento de informações. Trad. Dayse Batista. Porto Alegre: Artes Médicas, 1992, p.250-280. DANTE, L.R. Formulação e Resolução de Problemas de Matemática. São Paulo: Ática, 2009, 36p. ECHEVERRÍA, M. P. P. A solução de problemas em matemática. In: POZO, J. I. (Org.). A solução de problemas: aprender a resolver, resolver para aprender. Porto Alegre: Artmed, 1998, 177p, p.43-65. MUSSER, G.L; SHAUGHNESSY, J.M. Estratégias de resolução de problemas na matemática escolar. In: KRULIK, S.; REYS, R. E. (Org.). A resolução de problemas na matemática escolar. Trad. Hygino H. Domingues e Olga Corbo. São Paulo: Atual, 1997, p.188-2001. ONUCHIC, L. R. Ensino-Aprendizagem de Matemática através da resolução de problemas. IN: BICUDO, M. A. V. (Org.). Pesquisa em Educação Matemática, Concepções e Perspectivas. São Paulo: Unesp, 1999, p.213-231. PARANÁ. Secretaria de Estado da Educação. Diretrizes Curriculares da Educação Básica de Matemática. Curitiba: SEED/DEB, 2008. POLYA, George. A arte de resolver problema. Trad. Heitor Lisboa de Araújo. São Paulo: Interciência, 2006, p.04-13. SILVA, Claudio Xavier; FILHO, Benigno Barreto. Matemática Aula por Aula – 1ª Série Ensino Médio – São Paulo: FTD, 2005. SMOLE, Kátia Stocco; DINIZ, Maria Ignez. Matemática Ensino Médio. São Paulo: Saraiva, 2010.

STERNBERG, R. Psicologia cognitiva. Trad. Maria Regina Borges Osório. Porto Alegre: Artmed, 2000, 494p. WIKIPÉDIA. Iogurte. Disponível em: http://pt.wikipedia.org/wiki/Iogurte. Acesso em 03 de junho de 2013.