Versão On-line ISBN 978-85-8015-076-6Cadernos PDE

OS DESAFIOS DA ESCOLA PÚBLICA PARANAENSENA PERSPECTIVA DO PROFESSOR PDE

Artigos

1. NRE Franscisco Beltrão, Colégio Estadual Reinaldo Sass. elhaneff@seed.pr.gov.br

2. UNIOESTE- Universidade Estadual do Oeste do Paraná – Cascavel. smiloca@gmail.com

A arte das dobraduras: uma contribuição para o ensino da Geometria

Elhane de Fatima Fritsch Cararo1

Simone Miloca2

RESUMO O presente artigo objetiva apresentar o resultado de um trabalho desenvolvido durante o Programa de Desenvolvimento Educacional do Estado do Paraná – PDE. Contempla o estudo da geometria através das dobraduras, aliando o saber matemático a milenar arte do Origami. Propõe-se uma metodologia diferenciada visando auxiliar o processo ensino - aprendizagem da Geometria no 8º ano do Ensino Fundamental a partir do Origami, bem como, possibilitar ao educando, a manipulação de materiais e formas, descrever, interagir e compreender o espaço onde vive; utilizar noções básicas de geometria (reta, ponto, bissetriz, diagonais, mediatriz, ângulos, etc.), reconhecer os polígonos regulares e suas propriedades, fazendo interações com seu cotidiano, compreender o que são poliedros e ainda, utilizar-se adequadamente da linguagem matemática. Visto que para dinamizar as aulas de Matemática e possibilitar o desenvolvimento integrado e harmonioso do educando é imprescindível pô-lo em contato com as mais diversas situações cotidianas para que ele possa agir sobre elas de forma crítica e reflexiva e, através do conhecimento adquirido, compreendê-las e resolvê-las. A utilização de dobraduras (origami) como forma de sensibilização e compreensão dos conceitos e das formas geométricas, bem como atividades escritas, problemas, construções com material de desenho e, ainda, as mais diversas situações de interação, reflexão e compreensão do conteúdo a ser estudado desafia o aluno a organizar a forma de pensar e efetuar seus registros, permitindo que a geometria tenha com os alunos uma relação de cumplicidade. Palavras chave: Origami; dobraduras; polígonos; triângulos; quadriláteros.

ABSTRACT

This article presents the results of a work program during the State of Paraná Educational Development - PDE . Includes the study of geometry through bends , combining mathematical knowledge the ancient art of Origami . We propose a different methodology to assist the teaching-learning process of Geometry in 8th grade of elementary school from Origami as well, enabling the learner , the manipulation of materials and forms , describe , interact and understand the space where you live ; using some basic geometry (line, point , bisect , diagonal , perpendicular bisector , angles , etc. ) , recognize regular polygons and their properties , making interactions with your daily life, understand what they are polyhedra and, if used properly Language mathematics. Since to boost classes Mathematics and enable the integrated and harmonious development of the student is essential to put you in contact with the most diverse daily situations so that it can act on them in a critical and reflective manner and through the knowledge acquired , understanding -Las and resolve them . The use of paper folding ( origami ) as a way to raise awareness and understanding of concepts and geometric shapes , as well as written activities , problems , constructions with drawing materials and also the most diverse situations of interaction , reflection and understanding of the content being study challenges the student to organize the way we think and make their records , it is extremely important that the geometry has a relationship with the students of complicity .

Keywords: Origami; folding; polygons; triangles; quadrilaterals.

1. INTRODUÇÃO

Diante de tantas discussões acerca do ensino e aprendizagem da Geometria é

preciso buscar uma proposta que alcance, de maneira efetiva, o aprendizado dos

alunos. Várias discussões sobre o tema nos remetem a necessidade de buscar

uma metodologia capaz de levar nossos alunos a descobrirem a beleza que

existe no mundo da Matemática, como também compreenderem os conteúdos

matemáticos.

As dificuldades apresentadas pelos alunos na compreensão da Geometria,

bem como a falta de motivação que muitos estudantes apresentam em relação a

determinados conteúdos, fazem com que, muitos professores busquem novas

metodologias a fim de dinamizar o ensino da Geometria.

Por causar inquietação ao professor que, muitas vezes, percebe a falta de

domínio de conceitos básicos e a falta de motivação com que este conteúdo vem

sendo tratado, buscar metodologias diferenciadas que desperte o interesse do

aluno pelo importante mundo da geometria, torna-se desafiador e ao mesmo

tempo estimulante para o professor que almeja um ensino de qualidade.

Neste trabalho, propõe-se uma metodologia diferenciada visando auxiliar o

processo Ensino- aprendizagem da Geometria no 8º ano do Ensino Fundamental

a partir do Origami, bem como possibilitar ao educando a manipulação de

materiais e formas, descrever, interagir e compreender o espaço onde vive. As

atividades envolvem a utilização de noções básicas de geometria (reta, ponto,

bissetriz, diagonais, mediatriz, ângulos, etc.), reconhecimento de polígonos

regulares e suas propriedades, fazendo interações com o cotidiano, compreensão

do que são poliedros e ainda, utilização adequada da linguagem matemática.

2. PROCEDIMENTOS METODOLÓGICOS

2.1. FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA

Pode-se considerar a Geometria uma ciência necessária para compreensão do mundo, da sociedade e das construções humanas. Ela facilita a resolução de problemas e está presente em nosso dia-a-dia, na natureza, arquitetura de prédios, casas, escolas, embalagens entre outros.

De acordo com Fainguelernt, “a geometria exige uma maneira específica

de raciocinar, uma maneira de explorar e descobrir. Não é suficiente conhecer

bem aritmética, álgebra ou análise para conseguir resolver situações em

Geometria”. (1999, p. 49). Desse modo, trabalhar a Geometria de forma

adequada no Ensino Fundamental, pode ajudar a desenvolver o raciocínio

abstrato e a resolução de problemas, bem como a tomada de decisão e

interpretação lógico matemática dos educandos.

Nas Diretrizes Curriculares da Educação Básica (DCEs) de Matemática do

Estado do Paraná tem-se a ideia de que a geometria influencia muito no

desenvolvimento humano: As ideias geométricas abstraídas das formas da natureza, que aparecem tanto na vida inanimada como na vida orgânica e nos objetos produzidos pelas diversas culturas, influenciaram muito o desenvolvimento humano. Em torno dos anos 300 a.C., Euclides sistematizou o conhecimento geométrico, na obra já citada Elementos. Seus registros formalizaram o conhecimento geométrico da época e deram cientificidade à Matemática. Nessa obra, o conhecimento geométrico é organizado com coesão lógica e concisão de forma, constituindo a Geometria Euclidiana que engloba tanto a geometria plana quanto a espacial. (PARANÁ, 2008, p.55)

Porém parece haver ainda resquícios do movimento da matemática

moderna na formação dos professores e no desenvolvimento de algumas

propostas curriculares para o ensino da matemática que minimizam o ensino da

Geometria a conceitos básicos pré estabelecidos e a formas geométricas, não

exploram a totalidade da Geometria em nosso dia-a-dia.

A construção das Diretrizes Curriculares do Estado do Paraná possibilitou a

discussão sobre o currículo no que diz respeito a Geometria e consequentemente

uma maior preocupação com essa área do conhecimento matemático. Segundo

as DCEs, os conteúdos de Geometria no ensino fundamental, devem ter como

referência o espaço, de modo que os alunos possam percebê-lo, analisá-lo,

representá-lo e também compreendê-lo: • os conceitos da geometria plana: ponto, reta e plano; paralelismo e perpendicularismo; estrutura e dimensões das figuras geométricas planas e seus elementos fundamentais; cálculos geométricos: perímetro

e área, diferentes unidades de medidas e suas conversões; representação cartesiana e confecção de gráficos; • geometria espacial: nomenclatura, estrutura e dimensões dos sólidos geométricos e cálculos de medida de arestas, área das faces, área total e volume de prismas retangulares (paralelepípedo e cubo) e prismas triangulares (base triângulo retângulo), incluindo conversões; • geometria analítica: noções de geometria analítica utilizando o sistema cartesiano; • noções de geometrias não-euclidianas: geometria projetiva (pontos de fuga e linhas do horizonte); geometria topológica (conceitos de interior, exterior, fronteira, vizinhança, conexidade, curvas e conjuntos abertos e fechados) e noção de geometria dos fractais. . (PARANÁ, 2008, p.56).

Não se pode negar o importante espaço que a geometria obteve dentro dos

currículos escolares nos últimos anos, porém a diferenciação se dá na forma de

abordar o ensino da Geometria.

Segundo Ponte: As investigações geométricas contribuem para perceber aspectos essenciais da atividade matemática, tais como a formulação e testes de conjecturas e a procura e demonstração de generalizações. A exploração de diferentes tipos de investigação geométrica pode também contribuir para concretizar a relação entre situações matemáticas, desenvolver capacidades, tais como a visualização espacial e o uso de diferentes formas de representação, evidenciar conexões matemáticas e ilustrar aspectos interessantes da história e evolução da matemática (PONTE, 2006, p.71).

Envolver a percepção do espaço e a manipulação de formas pode ser o

diferencial que proporcionará ao educando uma visão completa acerca da

Geometria propiciando a abstração de fórmulas e a capacidade de representação

das mais variadas formas geométricas, bem como a resolução de cálculos de

áreas e perímetros.

O processo ensino aprendizagem deve ser constantemente avaliado e para

isso o professor dispõe de vários instrumentos de avaliação. Se os alunos não

demonstram interesse pela disciplina ou ainda não apresentam resultados

satisfatórios perante as avaliações, deve-se rever os conteúdos apresentados e

as formas de abordagem dos mesmos. É imprescindível que o professor busque a

formação continuada a fim de rever os conteúdos e metodologias com o objetivo

de melhorar a sua prática pedagógica. Sobre a formação do professor Lima

escreve: Evidentemente, apesar de todas essas deficiências, há algumas notáveis pessoas que por seu esforço, sua persistência, seu talento e sua grande vocação, conseguem superar os obstáculos e se tornarem grandes professores. Mas é bem maior, e muito grande, o número

daqueles que necessitam de reciclagem para melhorar seus conhecimentos e desempenhar com mais eficiência a importante tarefa de formar nossos jovens. (LIMA, 2001, p.170)

A formação continuada do professor pode provocar mudanças significativas

em seu fazer pedagógico, melhorando assim a aprendizagem de seus alunos. É

preciso que o professor vivencie a geometria como parte integrante da Ciência

Matemática e identifique-a em seu cotidiano, só assim propiciará que seu aluno

entre no mundo da geometria e através dela busque, compreenda e encontre as

possíveis resoluções de problemas que envolvam a análise e o raciocínio

matemático.

Ponte descreve sobre a diferenciação da matemática acadêmica e a

matemática escolar: Uma das distinções importantes entre a matemática acadêmica e a

matemática escolar é a que se refere ao papel e aos significados das

definições e demonstrações em cada um desses campos do

conhecimento matemático. Embora em ambos exista certamente a

necessidade de bem caracterizar os respectivos objetos, de validar as

afirmações a eles referidas e de explicar as razões pelas quais certos

fatos são aceitos como verdadeiros e outros não, a formulação das

definições e das provas e o papel que desempenham em cada um dos

contextos são, todavia, diferentes (PONTE, 2006, p.23).

Sendo assim, não basta o professor dominar os saberes matemáticos, mas

é necessário que se utilize de metodologias capazes de dar significados a estes

saberes, possibilitando a compreensão por parte dos alunos dos conteúdos

almejados pelo professor.

A constante preocupação pelo ensino e aprendizagem da Geometria tem

motivado a busca por novas metodologias, com o intuito de inovar e diversificar as

aulas para que se obtenha maior êxito referente a aprendizagem, interesse e

participação dos alunos, nas aulas de matemática. E, uma metodologia

diferenciada é a utilização de dobraduras no ensino da Geometria.

2.2. O ORIGAMI COMO RECURSO DIDÁTICO PEDAGÓGICO

As dobraduras ou o Origami tem origem japonesa, e quer dizer dobradura de

papel. A Figura 1 mostra exemplos de origamis.

Figura 1: Exemplos de Origamis

Fonte: a autora

Essa técnica era utilizada em rituais religiosos sob a forma de ornamentos

e pela classe nobre. Por muito tempo o origami foi considerado apenas uma

atividade artística, hoje a Geometria vê essa arte como aliada no processo ensino

e aprendizagem.

Segundo o professor Massao Okamura, pesquisador das origens do

origami, esta técnica teve início no século XVII pelos samurais e era restrito aos

adultos, principalmente pelo alto valor da matéria prima. Com a fabricação do

papel no Japão, a população Japonesa passa ter maior acesso a arte do origami

que foi sendo aprimorada e transmitida de pai para filho.

Segundo Rossoni (2005), durante a Era do Edo (1590-1868), o origami era

praticado por mulheres e crianças independente de sua classe social. E nesse

tempo foram criados aproximadamente setenta tipos de Origami, dentre eles o

tsuru (cegonha), sapo, navio, cesta, balão, homem dentre outros e foi na era Meiji

(1868-1912) que o origami voltou a ser ensinado nas escolas, após sofrer

influência alemã.

Enquanto no Japão as formas do origami eram mais figurativas imitando

formas de pessoas, animais, flores, pássaros, no ocidente os origamis

caracterizavam-se pelas formas geométricas.

O Origami proporciona ao aluno a manipulação das formas, pois ao dobrar,

desdobrar e recortar ele constrói suas próprias relações e percepções da

Geometria, comparando-a as formas vistas e utilizadas em seu dia a dia.

Sobre o trabalho desenvolvido com o Origami, Lorenzato descreve:

Usando a régua e o compasso, é possível traçar linhas retas, construir um ângulo e sua bissetriz, obter retas perpendiculares, paralelas, diagonais e muitas outras figuras. Várias dessas construções podem ser feitas com as dobraduras, o que possibilita ao professor de matemática, em sala de aula, enfatizar a importância do lúdico na construção, comparação, estabelecimento de relações, medições, visualização e resolução de problemas. (LORENZATO, 2006, p. 99).

O Origami sendo uma construção motora, propicia ao aluno a apropriação

do espaço, a sala de aula torna-se um espaço privilegiado de situações bastante

proveitosas e interativas, podendo este, a partir da dobradura construir suas

próprias relações e significados relacionados a matemática.

Para fazer as interações entre a Geometria e a Álgebra, quando, por

exemplo, analisa a quantidade de papel ou a parte que representa aquela dobra

em relação ao todo, o aluno constrói seu próprio saber matemático,

fundamentado no material concreto que é a dobradura.

Em relação ao trabalho com o Origami Rêgo e Gaudêncio afirmam que:

O Origami pode representar para o processo de ensino/aprendizagem de Matemática um importante recurso metodológico, através do qual os alunos ampliarão os seus conhecimentos geométricos formais, adquiridos inicialmente de maneira informal por meio da observação do mundo, de objetos e formas que o cercam. Com uma atividade manual que integra, dentre outros campos do conhecimento, Geometria e Arte.

(RÊGO e GAUDÊNCIO, 2004, p.18). É preciso buscar na literatura moderna, na troca de experiência com outros

docentes, alternativas metodológicas motivadoras capazes de propiciar o

envolvimento do aluno com os conteúdos a serem trabalhados. Ponte (2006)

escreve que: "Na disciplina de matemática, como em qualquer outra disciplina

escolar, o envolvimento ativo do aluno é uma condição fundamental da

aprendizagem. O aluno aprende quando mobiliza os seus recursos cognitivos e

afetivos com vista a atingir um objetivo".

O aluno precisa sentir-se parte integrante do processo ensino e

aprendizagem e para isso o professor precisa orientá-lo para que juntos

ultrapassem as barreiras do comodismo, da desmotivação, do não querer

aprender e entendam que a geometria faz-se necessária e está presente nas

muitas situações cotidianas.

2.3. AÇÕES, IMPLICAÇÕES E OBSERVAÇÕES

Partindo das perspectivas apontadas nas Diretrizes Curriculares do Estado

do Paraná onde "almeja-se um ensino que possibilite aos estudantes análises,

discussões, conjecturas, apropriações de conceitos e formulação de ideias".

(PARANÁ, 2008, p.48), propôs-se que os alunos do 8º ano do Ensino

Fundamental iniciassem o conteúdo de geometria através de pesquisa sobre o

que é origami, um breve histórico a ser realizado no laboratório de informática do

Paraná digital. Em sala de aula, cada conteúdo foi trabalhado a partir de um

Origami, os alunos geralmente eram organizados em grupos de modo que

facilitasse o acesso ao material, a ajuda coletiva e a intervenção do professor

quando necessário. Os Origamis mais simples foram desenvolvidos utilizando

imagens e a explicação do professor que fazia as dobras do Origami e a turma

em seguida repetia. Os Origamis mais elaborados e com maior grau de

dificuldade foram desenvolvidos a partir de pequenos vídeos gravados no

pendrive e reproduzidos na tv multimídia. Essa metodologia conquistou os alunos,

pois, a medida que havia necessidade os vídeos eram pausados para que todos

atingissem o mesmo ponto ou ainda, se necessário era possível rever a dobras

quantas vezes fossem necessárias.

A partir de um roteiro de estudo os alunos desenvolveram as dobraduras,

fizeram o registro dos conteúdos relacionados á geometria em seu caderno,

anotando suas observações, análises e construindo o seu conhecimento a

respeito do conteúdo proposto.

A primeira atividade realizada foi a apresentação do projeto e a unidade

didática para a equipe pedagógica e professores utilizando slides, vídeos,

imagens e as dobraduras que se pretendia desenvolver durante o primeiro

semestre de 2014 com os alunos do 8º ano matutino. O trabalho despertou

interesse e curiosidade dos colegas de disciplina e principalmente dos colegas

professores que atuam na sala multifuncional I, devido a beleza das formas e de

certa forma a metodologia utilizada para desenvolver o estudo da geometria.

A segunda atividade proposta, introdução à geometria que envolveu textos

para leitura sobre a história da geometria, foi realizado no laboratório de

informática. A atividade despertou a curiosidade dos alunos e contribuiu para que

eles debatessem entre si um pouco da história da geometria. Nesta atividade fez-

se uma exposição e contextualização, utilizando a TV Multimídia.

Na terceira atividade os alunos através de pesquisa direcionada no

laboratório de informática, pesquisaram a história do Origami e algumas

curiosidades envolvendo esta arte. Na sala de aula assistiram pequenos vídeos

sobre curiosidades do Origami e um debate sobre seu contexto histórico e as

curiosidades pesquisadas por eles foi feito. Esta atividade empolgou os alunos

que já pensavam em fazer as dobraduras, aguçou ainda mais o interesse pela

disciplina de matemática. Ao conhecer a história do Origami os alunos

questionaram sobre a cultura da época e se envolveram com interesse nas

atividades.

A confecção dos Origamis iniciou-se a partir da quarta atividade, onde as

dobraduras envolveriam a definição dos polígonos, os elementos de um polígono,

principais polígonos, diagonais, polígonos convexos e não convexos e ângulos.

2.3.1. ATIVIDADES DESENVOLVIDAS EM SALA Todas as atividades apresentadas a seguir estão descritas na produção didático-

pedagógica: A Arte das Dobraduras: Uma contribuição para o Ensino da

Geometria, que faz parte do programa PDE.

1) Confecção do quadrado em Origami como mostra a Figura 2.

Figura 2: Confecção do quadrado

Fonte: a autora

Os alunos organizados em grupo tiveram facilidade em fazer as dobras

propostas, e ao dobrar foram descobrindo as propriedades do quadrado, seus

vértices, diagonais, perímetro e a área. Desenvolveram as atividades com

dedicação e demonstraram ter compreendido todos os conteúdos trabalhados.

A atividade partiu do tutorial, conforme Figura 3. Após confecção do

quadrado a turma relacionou a dobradura com o conteúdo, partindo de

questionamentos como: Descrever as três propriedades do quadrado; O que são

vértices do quadrado? Descreva em seu caderno, depois pinte com o lápis de cor

os vértices do quadrado, Quantos são os vértices do quadrado? Dobrando o

quadrado ao meio como mostra o passo 5 e 6 da ilustração 14, obtemos uma

linha que podemos chamar de diagonal do quadrado; O que é diagonal do

quadrado? Trace as diagonais possíveis do quadrado de papel; Quantas

diagonais você conseguiu desenhar no quadrado de papel? Teste a fórmula das

diagonais para ver se você encontrará o mesmo resultado.

Tais questionamentos, com possibilidade de visualização e orientação do

professor, fizeram com que os alunos desenvolvessem os objetivos propostos

para a atividade, conhecer as propriedades do quadrado e seus elementos. Ainda

com o Origami foi possível calcular o perímetro do quadrado e posteriormente a

área do quadrado, chegando a dedução da fórmula para o cálculo da área do

quadrado.

Figura 3: Tutorial para confecção do quadrado em Origami Utilize régua, tesoura, lápis e papel.

Meça 15 cm em dois dos lados do papel.

.

Dobre de forma que consiga marcar os outros dois lados do quadrado que deseja montar.

Com a tesoura recorte os lados conforme mostra a figura.

Vire o papel e comece a dobrar como mostra a figura.

Desdobre, agora faça a mesma coisa com o outro lado, desdobre novamente.

Pegue uma das pontas do papel e leve até o centro marcado pelas duas dobras anteriores.

Faça o mesmo com as outras três pontas.

Desvire e está ponto seu quadrado de origami.

.

Fonte: a autora

2) Construindo triângulos em Origami:

Figura 4: Confecção de triângulos

Fonte: a autora

A confecção dos triângulos deu-se a partir de tutoriais, os triângulos

construídos foram: o triângulo escaleno, conforme Figura 5, triângulo isósceles,

conforme Figura 6 e o triângulo equilátero conforme Figura 7, as dobraduras

foram simples, e percebeu-se que os alunos divertiam-se ao realizarem as

dobras, ao mesmo tempo, que compreendiam conceitos como diagonal,

perpendicular, paralelo, além do objetivo proposto que era a visualização das

propriedades e elementos dos triângulos. Nesta atividade os alunos utilizaram o

transferidor para medir ângulos, tendo dificuldade para iniciar o uso deste, mas no

decorrer das atividades, os alunos em grupos, se ajudavam, tiravam dúvidas e a

partir das atividades desenvolvidas com o segundo triângulo (isósceles) já

demonstravam maior facilidade em manusear o transferidor. Utilizaram régua para

comprovar as medidas dos lados do triângulo, bem como a altura dos mesmos,

fazendo a classificação dos triângulos quanto aos ângulos e aos lados, fizeram

comprovação da soma dos ângulos internos de um triângulo, o perímetro e a área

das figuras desenvolvidas. Para desenvolver a dobradura do triângulo equilátero

há a possiblidade de assistir o vídeo de aproximadamente 4 minutos que

demonstra os passos para a construção da dobradura, disponível no endereço: <

http://www.youtube.com/watch?v=FECtMrk8x9w> , acesso em outubro de 2013.

Figura 5: Tutorial para confecção do triângulo escaleno

Corte um quadrado de lado 15 cm.

Dobre ao meio (em uma das diagonais) como mostra a figura:

Desdobre:

Encoste um dos lados do quadrado na linha diagonal que você marcou:

Faça o mesmo do outro lado:

Dobre ao meio conforme a figura:

Fonte: a autora

Figura 6: Tutorial para confecção do triângulo isósceles

Corte um quadrado de lado 14 cm.

Dobre ao meio (em uma das diagonais) como mostra a figura:

Desdobre:

Encoste um dos lados do quadrado na linha diagonal que você marcou, faça o mesmo do outro lado:

Dobre a ponta da figura para cima conforme a figura:

Vire a dobradura: Está pronto seu triângulo!

Fonte: a autora

Figura 7: Tutorial para confecção do triângulo isósceles

Corte uma folha de papel em forma de retângulo com dimensões 13 x 12 cm.

Dobre ao meio como mostra a figura. (base é a parte menor).

Desdobre:

Faça a dobra como mostra a figura:

Dobre o vértice inferior direito até encontrar a ponta da dobra anterior:

Dobre o vértice superior direito de modo que a ponta encoste na parte colorida:

Da mesma forma, traga o vértice superior esquerdo em direção ao centro da figura, onde o a dobra encosta na parte colorida:

Desdobre:

Refaça as dobras, na ordem abaixo, sobrepondo os lados:

Dobre a ponta inferior da direita para a esquerda, no vinco anterior:

Pegue a ponta direita superior e dobre novamente no vinco já feito anteriormente:

Pegue a ponta da esquerda e insira na abertura como se fosse fechar um envelope: Pronto!

Fonte: a autora

3) Trissecção de um ângulo

Figura 8: Trissecção de um ângulo

Fonte: a autora

A Atividade desenvolvida, ilustrada na Figura 8, é uma adaptação realizada

a partir do Livro Explorando Geometria com Origami de Eduardo Cavacami e

Yolanda Kioko Saito Furuya). Um dos famosos problemas da Antiga Grécia era a trissecção de um ângulo qualquer com régua e compasso. Esse problema é impossível com régua e compasso, mas é solúvel com o Origami. A construção dada a seguir é creditado a Hisashi Abe, conforme publicado em 1980 no Japão.(CAVACAMI e FURUYA, 2008, p. 16).

A pequena história contada para os alunos, e logo depois a confecção da

trissecção do ângulo, despertou-lhes o interesse e o encanto pela história da

matemática e pela comprovação que poderia ser realizada por eles em sala de

aula. A atividade foi desenvolvida com interesse por todos os alunos,

necessitando de maior acompanhamento para que as dobras fossem realizadas

com o máximo de precisão, ao terminar a dobradura, foi comprovado que

realmente o ângulo inicial havia sido dividido em três ângulos com medidas

congruentes.

A trissecção de um ângulo deu-se a partir de um tutorial, como mostra a

Figura 9.

Figura 9: Tutorial para trissecção de um ângulo através do Origami Corte um quadrado de papel (15cm de lado). E anote nos vértices os pontos A,B,C e D.

Faça uma dobra para construir um ângulo menor que 90º. Anote o ponto E.

Determine uma paralela GF a AD, fazendo uma dobra no papel. Anote os pontos F e G.

Dobre o ponto B sobre o ponto F e o ponto C sobre o ponto G, formando assim uma linha paralela. Anote os pontos H e I que são também, os respectivos pontos médios de FB e GC.

Dobre de forma a levar o ponto F ao segmento EB e o ponto B ao segmento HI (esta dobra é dada pelo axioma 6 de Huzita).

Marque os pontos H', F' e B'

Trace o segmento F'B'.

Trace os segmentos B'B e H'B.

Trace por B' uma paralela a HB, com extremidade em N.

Os triângulos BB'N, BB'H e BF'H' são congruentes, com os ângulos em B congruentes.

Fonte: a autora

4) Confecção da borboleta em Origami

Figura 10: Confecção da borboleta

Fonte: a autora

Para confeccionar a borboleta, Figura 10, utilizou-se como tutorial um

pequeno vídeo de aproximadamente 5 minutos, disponível em:

<http://www.youtube.com/watch?v=v-E3p5_5nvs>, acesso em novembro de 2013.

A novidade foi aprovadíssima pelos alunos, pois eles podiam parar o vídeo a

medida que achassem necessário, voltar e rever as imagens a qualquer

momento, além de ter a opção de acessar o vídeo em casa, caso quisessem fazer

o Origami novamente.

Com o Origami da borboleta os alunos trabalharam a área e o perímetro do

quadrado, as diagonais do quadrado definição de diagonais, definição de trapézio,

bem como o cálculo da área e perímetro do trapézio. Os alunos demonstraram

interesse pela atividade, do início ao fim, puderam viajar pela imaginação, além

de se apropriarem dos conteúdos propostos.

5) Confeccionando uma mola maluca

Figura 11: Confecção da mola maluca

Fonte: a autora

Para confeccionar a mola maluca, Figura 11, utiliza-se de um vídeo de

aproximadamente 7 minutos como tutorial, disponível no endereço:

<http://www.youtube.com/watch?v=uUkMtg4SZYQ>, acesso em novembro de

2013. As dobraduras são simples, porém é necessário confeccionar mais ou

menos 60 a 80 peças para encaixe, essas peças devem ter a mesma medida para

que o encaixe ocorra de maneira satisfatória. Em grupos os alunos

desenvolveram as peças individuais e após, cada grupo, foi completando a mola

com as peças que construíram, a atividade foi muito interessante, despertou o

interesse e a participação dos alunos nas atividades propostas Além de

compreenderem o conteúdo proposto de forma satisfatória, trabalharam

identificando os polígonos presentes na dobradura, calcularam a área e o

perímetro dos polígonos identificados, traçam as diagonais e com o auxílio da

professora chegaram a fórmula do cálculo do número de diagonais de um

polígono. Foi gratificante ver que realmente eles compreenderam tal fórmula e

que a atividade proporcionou de forma lúdica a aprendizagem de conteúdos

propostos além de possibilitar a integração dos alunos.

6) Fazendo um sapo em Origami

Figura 12: Confecção do sapo em Origami

Fonte: a autora Como na confecção da mola maluca, o Origami do sapo que pula (Figura 12)

despertou o interesse e a curiosidade dos alunos, a metodologia para desenvolver

o Origami foi a utilização de vídeo de aproximadamente 5 minutos, disponível em

<http://www.youtube.com/watch?v=Y-muMqUw1HI>, acesso em outubro de 2014.

Uma metodologia aprovada por todos os alunos que após desenvolverem o

Origami, brincaram fazendo com que a Matemática fosse vista de forma curiosa e

divertida. A atividade possibilitou o reconhecimento dos polígonos apresentados

no Origami, o cálculo de área e perímetro e a soma dos ângulos internos de

triângulos e quadriláteros.

7) Confecção do cubo

Figura 13: Confecção do cubo em Origami

Fonte: a autora

A atividade desenvolvida utilizou-se de um vídeo de aproximadamente 8

minutos, disponível em: <http://www.youtube.com/watch?v=A8EyLFWXV_0>,

acesso em outubro de 2014. Confeccionamos um cubo diferente que chamou a

atenção dos alunos, o Magic Rose Cube ( Rosa cubo mágico), o que despertou o

interesse dos alunos, foi o fato de o cubo confeccionado poderia transformar-se

em uma rosa e depois, voltar a forma de cubo e vice-versa, como visualiza-se na

Figura 13. Com o origami, foram trabalhados o conceito de figuras

tridimensionais, poliedros, no caso do cubo, o que são faces, vértices, arestas,

diferenciação de polígonos e poliedros, cálculo de área total da figura e volume.

8) Confecção do tetraedro em Origami

Figura 14: Confecção do Tetraedro

Fonte: a autora

O origami foi desenvolvido na sala através de um tutorial, demonstrado

abaixo nas figuras 15, 16 e 17.

Figura 15: construção das faces Dobre o quadrado ao meio, depois desdobre.

Dobre encostando um dos vértices na marca deixada pela primeira dobra, desdobre.

Dobre fazendo com que o lado do quadrado encoste na marca deixada pela 2ª dobra.

Dobre dividindo o outro ângulo da base em dois.

Dobre ao meio de maneira que a base maior encoste na base menor, cuide para que o canto esquerdo fique sobre a linha do meio.

Dobre a ponta da esquerda sobre a base até o limite da dobra que está no lado debaixo.

Dobre a pontinha que ficou do lado direito para cima.

Dobre a ponta do lado esquerdo, colocando a na aba que está embaixo como um envelope. Faça quatro triângulos iguais a esse (pode ser de cores diferentes)

Fonte: a autora

Figura 16: peças de encaixe Dobre cada quadrado em quatro partes iguais e depois recorte.

Dobre o quadrado menor em quatro partes.

Dobre fazendo com que cada vértice do quadrado menor chegue até o centro.

Dobre ao meio. Faça seis encaixes iguais a esse.

Fonte: a autora

Figura 17: montagem do tetraedro

Você vai precisar de 4 triângulos (as faces)e 6 peças de encaixe.

Comece com um triângulo, encaixe as peças de encaixe como em um envelope e continue até formar as 4 faces.

Depois de encaixar todas as peças, seu tetraedro está pronto.

Fonte: a autora

As peças foram construídas individualmente e após, encaixadas formando

o tetraedro, a atividade contou com a participação de todos os alunos. Foram

trabalhadas atividades que envolveram a relação de Euler e a planificação do

tetraedro. 9) Finalização das atividades e exposição do material confeccionado

Figura 18: algumas peças confeccionadas

Fonte: a autora

As amostras produzidas em sala de aula chamaram a atenção e

encantaram a todos que as visualizavam, despertando a curiosidade do como

fazer, proporcionando assim uma visão diferenciada para o estudo da

matemática. A Figura 15 mostra algumas delas.

3. CONSIDERAÇÕES FINAIS Neste trabalho realizado com uma turma do colégio Estadual Reinaldo

Sass, as dobraduras (origami) foram utilizadas como forma de sensibilização e

compreensão dos conceitos e das formas geométricas. As atividades propostas

permitiram situações de interação, reflexão e compreensão do conteúdo

estudado, possibilitou ao aluno organizar a forma de pensar e efetuar seus

registros, permitindo que a geometria tenha com os alunos uma relação de

cumplicidade.

As atividades desenvolvidas também contribuíram na integração da turma

devido a dinâmica do trabalho desenvolvido em equipe.

É gratificante para qualquer professor atingir o objetivo desejado quando se

planeja uma aula. Fiquei muito contente com os resultados atingidos,

principalmente por poder através deste desmistificar o ensino da matemática e

tornando o divertido e prazeroso.

As amostras produzidas em sala de aula, chamaram a atenção e

encantaram a todos que as visualizavam na exposição, despertando a curiosidade

do como fazer, além de proporcionar uma visão diferenciada para o estudo da

matemática.

Resultados parciais deste trabalho podem ser vistos nos ANAIS da XXVIII

Semana Acadêmica da Matemática, com o título “Origami e Geometria: Uma

Proposta de Trabalho”. O trabalho apresentado despertou a atenção de

acadêmicos e professores do curso de Matemática da UNIOESTE, trazendo um

novo olhar para o ensino da Geometria e consequentemente para o ensino da

Matemática.

4. REFERÊNCIAS BERGAMINI, D. Redatores da LIFE. As Matemáticas. Rio de Janeiro: José Olympio, 1969. BRASIL, Secretaria de Educação Fundamental. Parâmetros Curriculares Nacionais: Matemática. Brasília: MEC /. SEF, 1998.

CARARO, E. F. F; MILOCA, S. Origami e Geometria: Uma Proposta de Trabalho. In: ANAIS da XXVIII Semana Acadêmica da Matemática. 2014.

FAINGUELERNT, E. K. Educação Matemática: Representação e Construção em Geometria. Porto Alegre: Artes Médicas, 1999.

GARBI, G. G. A Rainha das Ciências: um passeio histórico pelo maravilhoso mundo da matemática. São Paulo: Editora Livraria da Física, 2007. LIMA, E. L. Matemática e ensino. Rio de Janeiro: Sociedade Brasileira de Matemática, 2001. LORENZATO, S. Por que não ensinar Geometria? In : Educação Matemática em Revista SBEM , ano 3, p.3-13, jan/jun.1995.

PARANÁ, Secretaria de Estado da Educação. Diretrizes Curriculares da Educação Básica: Matemática. Curitiba: SEED, 2008.

PONTE, J. P. da. Investigações matemáticas na sala de aula/ João Pedro da Ponte, Joana Brocardo, Hélia Oliveira. - 1ª ed., 2ª reimp. - Belo Horizonte : Autêntica, 2006. RÊGO, R.G.; RÊGO, R.M; GAUDENCIO Jr, S. A geometria do Origami: atividades de ensino através de dobraduras. João Pessoa: Editora Universitária/ UFPB, 2004. ROSSONI, D. F. A Matemática do Origami: Uma proposta de trabalho para o 3º ciclo do Ensino Fundamental (6ª série). Cascavel: Trabalho de conclusão de curso apresentada ao curso de Matemática da Universidade Estadual do oeste do Paraná, 2005.