Investigando Alturas de Prédios e Investigando Alturas de Prédios e MonumentosMonumentos

MESTRADO MESTRADO

PROFISSIONALIZANTE EM PROFISSIONALIZANTE EM

ENSINO DE FÍSICA E DE ENSINO DE FÍSICA E DE

MATEMÁTICAMATEMÁTICA

UNIFRA

Aluna do Mestrado: Kátia Luciane Souza da Rocha

Professora E.E.E.M Dr. Fernando Abbott da cidade

de São Gabriel – RS

2009

Esse trabalho foi desenvolvido em uma turma de 28 alunos

da 8ª série do Ensino Fundamental da Escola Estadual de Ensino

Médio Dr. Fernando Abbott em São Gabriel – RS com o objetivo de

aplicar os conhecimentos de trigonometria para calcular a altura de

prédios e monumentos da cidade.

Escola Fernando AbbottEscola Fernando Abbott

Investigando Alturas de Prédios e Investigando Alturas de Prédios e Monumentos de São GabrielMonumentos de São Gabriel

Museu de Armas do Exército Monumento à Celestino

Temática:

Objetivos

Aplicar as definições de seno, cosseno e tangente de um ângulo na resolução de problemas;

Determinar o valor do seno, do cosseno e da tangente de um ângulo;

Calcular a altura de prédios, monumentos, árvores, etc...utilizando as noções de trigonometria;

Aplicar as razões trigonométricas no triângulo retângulo para resolver o problema.

1ª etapa:

Etapas para o desenvolvimento da temáticaEtapas para o desenvolvimento da temática

Os alunos leram o texto “Tales, o homem da Tales, o homem da

sombrasombra” disponível no apêndice do livro didático

dos alunos para dar início ao estudo do tema

proposto.

Tales, o homem da sombra

Tales, o homem da sombra

[...] Após alguns dias de uma viagem interrompida por numerosas escalas nas cidades à margem do rio, ele a

avistou. Erguida no meio de um platô, não longe da beira do rio, a pirâmide de Quéops! Tales nunca havia visto nada

tão imponente. Duas outras pirâmides, a de Quéfren e a de Miquerinos, se elevavam no platô; ao lado daquela

pareciam pequenas [...]

As dimensões do monumento superavam tudo que ele havia imaginado. [...] À medida que se aproximava,

seu andar foi ficando mais lento, como se o monumento, por sua simples massa conseguisse moderar sua marcha.

Sentou-se, vencido. Um felá[1] de idade indefinida acocorou-se ao seu lado. “Sabes estrangeiro, quantos mortos

custou esta pirâmide, que tu pareces admirar?”. “Milhares, sem dúvida.” [...]

Quaisquer que tenham sido os objetivos do faraó, uma coisa era certa: a altura da pirâmide era impossível de

ser medida. Era a construção mais visível do mundo habitado e a única que não podia ser medida. Tales resolveu

enfrentar o desafio [...] Quando o sol clareou o horizonte, Tales se levantou. Viu sua sombra se estender na direção

oeste; pensou que qualquer que fosse a pequenez de um objeto, sempre existia uma luz que o tornasse grande. [...]

“Como minha mão não pode efetuar a medição, meu pensamento vai fazê-lo”, prometeu-se. Tales observou

longamente a pirâmide, precisava encontrar um aliado “à medida” de seu adversário. Lentamente, seu olhar foi de

seu corpo à sua sombra, de sua sombra a seu corpo, depois voltou-se para a pirâmide. [...] Tratando de modo

semelhante o homem minúsculo e a gigantesca pirâmide, o Sol estabelece a possibilidade da medida comum. Tales

compenetrou-se dessa ideia: a relação que mantenho com minha sombra é a mesma que a pirâmide mantém com a

dela.

[...] Após alguns dias de uma viagem interrompida por numerosas escalas nas cidades à margem do rio, ele a

avistou. Erguida no meio de um platô, não longe da beira do rio, a pirâmide de Quéops! Tales nunca havia visto nada

tão imponente. Duas outras pirâmides, a de Quéfren e a de Miquerinos, se elevavam no platô; ao lado daquela

pareciam pequenas [...]

As dimensões do monumento superavam tudo que ele havia imaginado. [...] À medida que se aproximava,

seu andar foi ficando mais lento, como se o monumento, por sua simples massa conseguisse moderar sua marcha.

Sentou-se, vencido. Um felá[1] de idade indefinida acocorou-se ao seu lado. “Sabes estrangeiro, quantos mortos

custou esta pirâmide, que tu pareces admirar?”. “Milhares, sem dúvida.” [...]

Quaisquer que tenham sido os objetivos do faraó, uma coisa era certa: a altura da pirâmide era impossível de

ser medida. Era a construção mais visível do mundo habitado e a única que não podia ser medida. Tales resolveu

enfrentar o desafio [...] Quando o sol clareou o horizonte, Tales se levantou. Viu sua sombra se estender na direção

oeste; pensou que qualquer que fosse a pequenez de um objeto, sempre existia uma luz que o tornasse grande. [...]

“Como minha mão não pode efetuar a medição, meu pensamento vai fazê-lo”, prometeu-se. Tales observou

longamente a pirâmide, precisava encontrar um aliado “à medida” de seu adversário. Lentamente, seu olhar foi de

seu corpo à sua sombra, de sua sombra a seu corpo, depois voltou-se para a pirâmide. [...] Tratando de modo

semelhante o homem minúsculo e a gigantesca pirâmide, o Sol estabelece a possibilidade da medida comum. Tales

compenetrou-se dessa ideia: a relação que mantenho com minha sombra é a mesma que a pirâmide mantém com a

dela.

Disso deduziu o seguinte: no instante em que minha sombra for igual à minha estatura, a sombra da pirâmide

será igual à sua altura! Aí estava a ideia procurada. Agora tinha de conseguir executá-la. Tales não podia efetuar

sozinho a operação. Precisavam ser dois. O felá topou ajudá-lo. Talvez tenha sido assim mesmo que a coisa

aconteceu. Como podemos saber? No dia seguinte, desde o nascer do Sol, o felá se dirigiu para o monumento e

sentou-se à imensa sombra da pirâmide. Tales traçou na areia uma circunferência de raio igual a sua altura, postou-

se no centro e ficou de pé bem reto. Depois fixou os olhos na ponta da sua sombra. Quando esta tocou a

circunferência, isto é, quando o comprimento de sua sombra ficou igual à sua altura, deu o grito combinado. O felá,

que estava à sua espera, fincou imediatamente uma estaca no lugar atingido pela extremidade da sombra da

pirâmide. Tales correu para a estaca. Juntos, sem trocar uma palavra, com a ajuda de uma corda bem esticada,

mediram a distância que separava a estaca da base da pirâmide.

Quando calcularam o comprimento da sombra, conheceram a altura da pirâmide! [...] Tales estava contente

de si. Com a ajuda do felá ele havia inventado uma artimanha. A vertical é inacessível? Posso obtê-la pela horizontal.

Não posso medir a altura porque ela se perde no céu? Medirei sua sombra aplainada no chão. Com o “pequeno”

medir o “grande”. Com o “acessível” medir o “inacessível”. Com o “próximo” medir o “distante”. [...] Duas condições: a

sombra deve ser igual à pirâmide e deve ser perpendicular a base. [...]

- A pirâmide de Quéops se encontra em Gizé, a 30º de latitude, no hemisfério Norte[...] Para que a sombra

seja igual ao objeto, os raios tem de estar inclinados a 45º. Ora, no verão, ao meio dia, em Gizé, os raios são quase

verticais. Não haverá sombra nenhuma durante todo um período do ano. Além disso, para que a sombra seja

perpendicular à base, tem de estar orientada norte-sul.

Disso deduziu o seguinte: no instante em que minha sombra for igual à minha estatura, a sombra da pirâmide

será igual à sua altura! Aí estava a ideia procurada. Agora tinha de conseguir executá-la. Tales não podia efetuar

sozinho a operação. Precisavam ser dois. O felá topou ajudá-lo. Talvez tenha sido assim mesmo que a coisa

aconteceu. Como podemos saber? No dia seguinte, desde o nascer do Sol, o felá se dirigiu para o monumento e

sentou-se à imensa sombra da pirâmide. Tales traçou na areia uma circunferência de raio igual a sua altura, postou-

se no centro e ficou de pé bem reto. Depois fixou os olhos na ponta da sua sombra. Quando esta tocou a

circunferência, isto é, quando o comprimento de sua sombra ficou igual à sua altura, deu o grito combinado. O felá,

que estava à sua espera, fincou imediatamente uma estaca no lugar atingido pela extremidade da sombra da

pirâmide. Tales correu para a estaca. Juntos, sem trocar uma palavra, com a ajuda de uma corda bem esticada,

mediram a distância que separava a estaca da base da pirâmide.

Quando calcularam o comprimento da sombra, conheceram a altura da pirâmide! [...] Tales estava contente

de si. Com a ajuda do felá ele havia inventado uma artimanha. A vertical é inacessível? Posso obtê-la pela horizontal.

Não posso medir a altura porque ela se perde no céu? Medirei sua sombra aplainada no chão. Com o “pequeno”

medir o “grande”. Com o “acessível” medir o “inacessível”. Com o “próximo” medir o “distante”. [...] Duas condições: a

sombra deve ser igual à pirâmide e deve ser perpendicular a base. [...]

- A pirâmide de Quéops se encontra em Gizé, a 30º de latitude, no hemisfério Norte[...] Para que a sombra

seja igual ao objeto, os raios tem de estar inclinados a 45º. Ora, no verão, ao meio dia, em Gizé, os raios são quase

verticais. Não haverá sombra nenhuma durante todo um período do ano. Além disso, para que a sombra seja

perpendicular à base, tem de estar orientada norte-sul.

Essas condições só estão reunidas em dois dias por ano. Os astrônomos afirmam que a medida de Tales só

pode ter sido feita[...] no dia 21 de novembro ou 20 de janeiro [...]

- O teorema provavelmente é geral, mas a medida é bem particular. Quando Tales achou, concretamente?

[...]

- Ele só dispunha de uma corda e precisava de uma unidade de medida. Utilizou o tales, isto é, sua própria

estatura. Com a corda, cujo comprimento havia ajustado à sua estatura, mediu a sombra. Achou dezoito tales. Depois

mediu o lado da base, dividiu por dois e achou 67 tales. Adicionou e escreveu o resultado bem grande numa folha. A

pirâmide de Quéops mede 85 tales.

- Ora, em medida local, o tales valia 3,25 côvados egípcios, o que dá 276,25 côvados ao todo. Hoje sabemos

que a altura da pirâmide de Quéops é de 280 côvados. Ou 147 metros! [...]

Essas condições só estão reunidas em dois dias por ano. Os astrônomos afirmam que a medida de Tales só

pode ter sido feita[...] no dia 21 de novembro ou 20 de janeiro [...]

- O teorema provavelmente é geral, mas a medida é bem particular. Quando Tales achou, concretamente?

[...]

- Ele só dispunha de uma corda e precisava de uma unidade de medida. Utilizou o tales, isto é, sua própria

estatura. Com a corda, cujo comprimento havia ajustado à sua estatura, mediu a sombra. Achou dezoito tales. Depois

mediu o lado da base, dividiu por dois e achou 67 tales. Adicionou e escreveu o resultado bem grande numa folha. A

pirâmide de Quéops mede 85 tales.

- Ora, em medida local, o tales valia 3,25 côvados egípcios, o que dá 276,25 côvados ao todo. Hoje sabemos

que a altura da pirâmide de Quéops é de 280 côvados. Ou 147 metros! [...]

GUEDJ, Denis. O teorema do papagaio. Trad. Eduardo Brandão. São Paulo: Companhia das Letras, 1999. p. 42-44, 48,

52-56.

Alguns dados históricos de Tales de Mileto

Conta-se que um

faraó desafiou o

astrônomo

matemático grego

Tales a medir a altura

da grande Pirâmide

de Quéops.Tales de Mileto

Pirâmide de QuéopsPirâmide de Quéops

Noções prévias de trigonometria Noções prévias de trigonometria

para a compreensão dos para a compreensão dos

argumentos de Tales.argumentos de Tales.

Relações Trigonométricas no Triângulo RetânguloRelações Trigonométricas no Triângulo Retângulo

Trigonometria é o estudo das relações

existentes entre as medidas dos ângulos e dos

lados de triângulos retângulos.

A palavra Trigonometria resultou da composição de três A palavra Trigonometria resultou da composição de três

palavras gregaspalavras gregas:

MedidaMetria

TrêsTri

ÂngulosGonos

Conceitos necessários para analisar as relações Conceitos necessários para analisar as relações trigonométricas de um Triângulo Retângulotrigonométricas de um Triângulo Retângulo

Triângulo retângulo é um triângulo que possui um ângulo reto (90º) e os outros dois ângulos agudos (menores que 90º).

C

A B

Os lados de um triângulo retângulo recebem nomes especiais que são dados de acordo com a posição em relação ao ângulo reto.

Hipotenusa

Cateto

C

A B

Cateto

C

A B

α

a

c

b

No triângulo retângulo abaixo tem-se:

a é a hipotenusa

b cateto oposto ao ângulo agudo α

c cateto adjacente ao ângulo agudo α

α é um ângulo agudo

c

b

No estudo da Trigonometria, os catetos recebem nomes especiais de acordo com a sua posição em relação ao ângulo sob análise.

Se estivermos operando

com o ângulo C, então o

lado oposto, indicado por

“c”, é o cateto oposto ao

ângulo C e “b” é o cateto

adjacente.

C

c

b

B

Se estivermos operando

com o ângulo B, então o

lado oposto, indicado por

“b”, é o cateto oposto ao

ângulo B e “c” é o cateto

adjacente

Considerando-se o ângulo agudo α tem-se as seguintes

Razões Trigonométricas entre os lados do Triângulo

Retângulo

α

A B

Ccateto oposto a α hipotenusa

cateto adjacente a α hipotenusa

cateto oposto a α cateto adjacente

= Seno de B

= Cosseno de B

= Tangente de B

Letra Lado Triângulo Vértice = Ângulo Medida

a Hipotenusa

                                       

A = Ângulo reto   A=90°

b Cateto B = Ângulo agudo B<90°

c Cateto C = Ângulo agudo C<90°

Assim, adotaremos que:

Ângulo Lado oposto Lado adjacente

                                       C c cateto oposto b cateto adjacente

B b cateto oposto c cateto adjacente

alt

ura

da

pir

âm

ide

bastão fincado

verticalmente

no chão.

comprimento da sombra da pirâmide

comprimento da

sombra do

bastão

Após recordar as noções de trigonometria ,a idéia de Tales foi de calcular a altura da pirâmide com base na proporção entre as sombras.

Como os triângulos possuem dois ângulos congruentes

então eles são semelhantes, logo possuem os lados

proporcionais.

(desconhecida) (conhecida)

altura da pirâmide sombra de pirâmide

altura da vara sombra da vara

(desconhecida) (conhecida)

Svarahp X hvara

Spirâmide

Logo:

alt

ura

da

pir

âm

ide

bastão fincado

verticalmente

no chão.

comprimento da sombra da pirâmide

comprimento da

sombra no

bastão

A seguir, também mediu o comprimento da sombra da pirâmide. Sua idéia era calcular a altura da pirâmide com base na proporção entre as sombras.

Algumas aplicações da trigonometria

Determinação

da altura de

um prédio.

Se um engenheiro

precisa saber a

largura de um rio

para construir uma

ponte, por

exemplo, o

trabalho dele é

mais fácil quando

ele usa os

conhecimentos de

trigonometria.

Sem a trigonometria ele demoraria anos para desenhar um mapa.

Um cartógrafo

(desenhista de

mapas) precisa

saber a altura de

uma montanha, o

comprimento de

um rio, etc.

Tudo isto é possível calcular mais facilmente com o uso da trigonometria.

Em grupos, os alunos

escolheram um bairro da

cidade e o percorreram

investigando estruturas

como igrejas, prédios,

prefeitura, torres,

monumentos, árvores...

Pesquisa de CampoPesquisa de Campo

• Selecionaram três estruturas a serem medidas posteriormente;

• Fizeram anotações utilizando um formulário que continha ítens que auxiliaram no desenvolvimento do projeto;

Os alunos providenciaram o

material necessário para medir as

alturas e construiram um

astrolabio com material de sucata

Transferidor de 180º

Canudinho de refrigerante ou um tubo de caneta

Percevejos ou fita adesiva.

Material utilizado para a Construção de um astrolábio alternativo

A construção é muito

simples: basta fixar com o

percevejo uma das

extremidades do canudinho

no centro do transferidor.

Desse modo, o canudinho

poderá girar em torno

desse pino, percorrendo

livremente a parte

graduada e permitindo

fazer a leitura dos ângulos

de elevação.

Igreja Matriz de São Gabriel - RS

Prédio da Maçonaria Praça Central

Monumentos EscolhidosMonumentos Escolhidos

pelos grupospelos gruposMonumentos EscolhidosMonumentos Escolhidos

pelos grupospelos grupos

Prefeitura de São Gabriel - RS

Monumento em Homenagem ao Arcanjo Gabriel

Silos de Arroz desativados

Imagem dos silos da Empresa Urbano

Usando o astrolábioUsando o astrolábio

Inicialmente, os alunos posicionaram-se a uma distância

“d” da estrutura escolhida.

Com o auxilio da trena,

verificaram qual distância

estavam da estrutura.

MediçãoMedição

Com o auxílio do astrolábio,

determinaram o ângulo de

elevação da estrutura

escolhida. Direcionaram a

linha de fé do transferidor

horizontalmente para um

ponto do prédio.

Mantiveram o instrumento fixo nessa posição e, girando o

canudinho de modo que ele aponte para o alto da estrutura

escolhida, observaram a medida do ângulo (α) indicada na

escala do transferidor.

O próximo passo era encontrar um modelo que

ilustrasse o que estavam observando e com o auxílio da

tabela trigonométrica, descobrir a altura da estrutura

observada.

Assim, era possível verificar que, multiplicando a

tangente do ângulo observado, pela distância que estavam

em relação à estrutura observada e adicionando a sua

própria altura , encontrariam a altura procurada.

O modelo matemático descrito foi: H = h + d. tgH = h + d. tgαα.

Ainda foi solicitado ao grupo que fizesse o

desenho da estrutura observada, e que este

desenho servisse como um modelo matemático

onde fosse possível verificar a existência do

triângulo retângulo na figura.

Prefeitura de São Gabriel - RS

6m

67º

1,62m

H = d * tg 67º + h

H = 6 * 2,14 + 1,62

H = 14,46 m

d

H

h

modelo matemático

Como exercício para verificar a compreensão dos

alunos em relação à medição realizada, utilizando as ideias

de Tales, solicitou-se que fizessem um desenho, com

legendas explicativas, sobre essa medição.

Desenho e cálculos

Logo depois, foi solicitado ao grupo que

respondesse como se pode medir a altura de uma árvore

num dia nublado, e também que determinasse a altura de

uma parede, de um poste ou de uma árvore, com o auxílio

das sombras, fazendo um desenho com legendas para

mostrar suas conclusões.

Cálculo da altura de um poste Cálculo da altura de um poste

Como fecho da temática

estudada solicitou-se que o

grupo de alunos construísse

uma maquete, reproduzindo

de modo mais fiel possível os

elementos envolvidos nessa

medição.

Finalizando a TemáticaFinalizando a Temática

Os alunos poderiam utilizar madeira, cartolina, linhas, pregos,

desde que mantivessem a proporção entre a construção real e

a maquete. Numa etiqueta, deveriam ser identificados o nome

e a altura do objeto real, bem como as medidas dos ângulos e a

respectiva escala.

Formulário para atividade do Projeto “Investigando Alturas”

Grupo:.............Escolha um nome para seu grupo... Seja criativo

Série: .............................................. Turma: ..................................

Componentes: ...........................................................,.............................................

Data do passeio investigativo: ...............................................

Estrutura observada:..............................................................................................

........................................................................................................................

Nome do produto:.............................................................................................

Altura Estimada: .............................................................................

Desenho: Desenhe a estrutura escolhida

Cálculo: Mostre como você procedeu com os cálculos

Altura Calculada: ..................................................................