UNIVATES Física para a Engenharia IV

Resumo de aula: Ondas Eletromagnéticas (Baseado em HALLIDAY, D.; RESNICK, R.; WALKER, J. Fundamentos de física v.4: Óptica e Física Moderna. - 6a. ed.,

LTC Rio de Janeiro, 2002)

Revisão do eletromagnetismo: As Equações de Maxwell James Clerk Maxwell (1831-1879). A contribuição mais significativa que se pode citar de seu trabalho foi a de compilar e relacionar os estudos sobre a eletricidade e o magnetismo realizado por outros físicos da época, estabelecendo as relações matemáticas entre campos magnéticos e campos elétricos conhecidas como equações de Maxwell:

∫∑=

0ε

qSd.Err

Lei de Gauss para a eletrostática: Mostra que a carga

líquida no interior de uma superfície fechada, S, é proporcional ao fluxo de campo elétrico através desta superfície.

∫ = 0Sd.Brr

Lei de Gauss Para o Magnetismo: Mostra que o fluxo do

campo magnético através de uma superfície fechada é sempre nulo, portanto não se pode ter um monopólo magnético isolado.

∫ ∫−= Sd.Bdt

dd.E

rrlrr

Lei de Faraday: A Variação do fluxo do campo magnético

gera um campo elétrico ou uma força eletromotriz induzida. O sinal negativo refere-se à Lei de Lenz, e indica que o campo elétrico induzido se opõe à variação do fluxo magnético.

∫ ∫∑ += Sd.Edt

dµεiµd.B 000

rrlrr

Lei de Ampère-Maxwell: Uma corrente elétrica líquida

não nula ao longo de um trajeto fechado, e/ou a variação temporal do fluxo do campo elétrico através de uma superfície delimitada por um trajeto fechado, geram um campo magnético longo do trajeto fechado. Lembremos que:

• ε0=permissividade elétrica no vácuo=8,8.10-12C2/(N.m2) (m

F1

m

Farad1

m.N

C12

2

== )

• µ0=permeabilidade magnética no vácuo=4.π.10-7T.m/A (m

H1

m

Henry

A

m.T1 == )

A possibilidade de gerar ondas eletromagnéticas

A partir destas equações surgiu a idéia de que, se uma partícula que possui carga

elétrica (por exemplo os elétrons livres em um condutor metálico) for colocada a oscilar, será produzido um campo elétrico que varia no espaço que circunda o movimento oscilatório da partícula. Este campo elétrico variável produz um campo magnético também variável neste espaço e, este campo magnético variável produz outro campo elétrico variável, e assim sucessivamente. Surge assim uma perturbação eletromagnética que se afasta tridimensionalmente do ponto em que a carga vibra e se “auto-induz” constante e periodicamente, transportando energia ao longo do espaço.

2

Ora, esta idéia sugere, portanto, que é possível produzir ondas eletromagnéticas, constituídas por dois campos oscilantes perpendiculares entre si.

Características das ondas eletromagnéticas:

• A frequência de oscilação dos campos Br

e Er

é igual à frequência de oscilação da partícula carregada que gerou a onda;

• As ondas eletromagnéticas são transversais, pois as direções de oscilação dos

campos Br

e Er

são perpendiculares à direção de propagação da onda;

• Como o que vibra são campos, e não matéria, essas ondas podem se propagar no vácuo.

• Ainda é válida a relação v=λ.f. Porém, como no vácuo todas as ondas eletromagnéticas se propagam com velocidade c=3,00.108m/s1, usaremos c=λ.f.

• Como o formato das ondas é senoidal, a equação da onda elétrica e da onda magnética, para uma onda eletromagnética que se propaga ao longo do eixo x, como nas figuras, têm a forma2:

ωt)sen(kxBt)(x,Bωt)sen(kxEt)(x,E mzmy −=−=

Ex=Ez=0 Bx=By=0

1 c=299792458m/s exato por definição 2 Estas equações são soluções das equações diferenciais para o campo elétrico e para o campo

magnético: 2

z2

002z

2

2

2

002

y2

t

Bεµ

x

B

tyE

εµx

E

∂∂=

∂∂

∂

∂=

∂∂

x

y

z

x

y

z

x

y

z

x

y

z

3

• Os campos Br

e Er

estão em fase, como mostram as figuras ilustrativas acima, o que quer dizer que ambos assumem o máximo valor no mesmo local ao mesmo tempo.

• Como (ω/k)=λ.f então c=(ω/k)

• Desde que m

m

B

Ec = , as equações de onda para as ondas elétrica e magnética

estarão de acordo com as equações de Maxwell. Precisamos provar que esta relação é verdadeira.

A figura a seguir apresenta o espectro eletromagnético.

As Ondas eletromagnéticas e as equações de Maxwell

Para chegarmos à relação de interesse vamos partir do formato de onda eletromagnética representado anteriormente.

Figura A Figura B

Na figura A, acima, temos uma onda eletromagnética se propagando ao longo do eixo x. Na figura B temos os mesmos eixos representados onde estão destacados dois retângulos: um no plano xy (A1) e o outro no plano xz (A2). Ambos têm altura h e largura dx.

dx

x

z

y

h

Er

EdErr

+

Br

BdBrr

+ h

dx

4

Enquanto a onda se propaga vai passando pelos retângulos destacados e o fluxo magnético, ΦB, através de A1 varia, o que gera campos elétricos induzidos em torno do retângulo em xy (Lei de Faraday). Da mesma maneira o fluxo elétrico através de A2 varia, gerando um campo magnético em torno do retângulo em xz.

Pela Lei de Lenz o campo induzido em torno do retângulo em xy se opõe à variação do campo magnético através de A1.

Usando a Lei de Faraday:

∫ ∫−= Sd.Bdt

dd.E

rrlrr

nessa equação o termo ∫ Sd.Brr

é o fluxo magnético ΦB, e lr

d

representa cada pedacinho do perímetro do retângulo considerado. Podemos então escrever a Lei de Faraday como:

∫ Φ−= Bdt

dd.E lrr

Do lado esquerdo da equação acima temos um produto escalar entre o campo elétrico, que está na direção y, e os lados do retângulo. Então nesse lado da equação, percorrendo o perímetro do retângulo no sentido anti-horário, teremos:

dEhdxEhEdxEhdEEd .90cos.180cos..90cos..0cos.).(cos..Ed.E 0000 =++++==∫∫ θllrr

Do lado direito da equação temos BΦ−dt

d. ΦB é o fluxo magnético através da superfície

do retângulo A1, que é dado por ΦB=(B).(h.dx), onde B é o módulo do vetor indução magnética dentro do retângulo e (h.dx) é a área do retângulo. Fazendo a derivação indicada teremos:

dt

dB.dx.hΦ

dt

dB −=−

Retornando à equação de Faraday com os dois resultados obtidos teremos:

dt

dB

dx

dE

dt

dB.dx.hdE.h −=−= ou

Tanto E como B são funções de x e t, portanto as derivadas indicadas acima são derivadas parciais:

t

B

x

E

∂∂−=

∂∂

Lembremos que as equações horárias de E e B são dadas por:

ωt)sen(kxBt)(x,Bωt)sen(kxEt)(x,E mzmy −=−=

Ex=Ez=0 Bx=By=0 então

ωt)cos(kxE.kx

Em −=

∂∂

e ωt)cos(kx.B.ωt

Bm −−=

∂∂

Usando a igualdade obtida:

ωt)]cos(kx.B.ω[ωt)cos(kxE.kt

B

x

Emm −−−=−⇒

∂∂−=

∂∂

5

Realizando as simplificações teremos:

k.Em=ω.Bm ou k

ω

B

E

m

m = mas k

ωc = então

cB

E

m

m =

Usando a Lei da indução de Maxwell: No início deste texto vimos a lei de Ampère-Maxwell:

∫ ∫∑ += Sd.Edt

dµεiµd.B 000

rrlrr

Do lado direito da equação vemos a soma de dois termos. O primeiro refere-se à lei de Ampère, o segundo foi introduzido por Maxwell. Na situação que estamos analisando não há correntes elétricas, então ficaremos apenas com:

∫ ∫= Sd.Edt

dµεd.B 00

rrlrr

O termo ∫ Sd.Err

é o fluxo do campo elétrico ΦE, então podemos reescrever a lei de

Maxwell como:

∫ Φ= Edt

dµεd.B 00l

rr

Analogamente ao raciocínio desenvolvido para o retângulo do plano xy, vamos

analisar o retângulo no plano xz. O fluxo ΦE que atravessa o retângulo A2 também varia, gerando campo magnético induzido nos contornos do retângulo (reveja a figura!).

Podemos resolver o lado esquerdo da equação, considerando que o perímetro do retângulo será percorrido novamente no sentido anti-horário:

dBhdxBhBdxBhdBBdB .90cos.0cos..90cos..180cos.).(cos..d.B 0000 −=++++==∫∫ θllrr

O fluxo do campo elétrico, ΦE, através da superfície do retângulo é dado por

ΦE=(E).(h.dx)

Onde E é o módulo do campo elétrico Er

e (h.dx) é a área do retângulo atravessada pelo campo elétrico. Derivando o fluxo ΦE em relação ao tempo, teremos:

dt

dEdx.hdx)]..(h[E

dt

d

dt

d ==Φ E

Retornando à equação de Maxwell com estas duas soluções teremos:

dt

dEµ.ε

dx

dB)

dt

dEdx.(hµ.εdB.h 0000 =−⇒=−

Considerando as derivadas parciais, como anteriormente: t

Eµ.ε

x

B00 ∂

∂=∂∂−

6

Basta agora derivar as equações de onda:

ωt)cos(kxωEt

Em −−=

∂∂

e ωt)cos(kxkBx

Bm −=

∂∂

Usando a igualdade obtida:

ωt)cos(kxωEµεωt)cos(kxkBt

Eµε

x

Bm00m00 −−=−−⇒

∂∂=

∂∂−

Simplificando e rearranjando a igualdade acima, teremos:

)ω

(µε

1

ωµεB

EωEµεkB

0000m

mm00m

k

k ==⇒=

Mas, anteriormente vimos que k

ωc = , portanto a equação acima se resume a:

cµε

1

B

E

00m

m =

Combinando o resultado obtido a partir da equação de Faraday com o resultado

obtido a partir da equação de Maxwell, teremos:

cB

E

m

m = cµε

1

B

E

00m

m =

0000

2

00 µε

1c

µε

1c

cµε

1c =⇒=⇒=

Provamos assim que as equações de onda senoidal propostas para descrever a

onda elétrica e a onda magnética são consistentes com as equações de Maxwell se

00µε

1c = .

Transporte de Energia e o Vetor de Poynting Como qualquer outro tipo de onda, as ondas eletromagnéticas transportam

energia e podem transferir esta energia a qualquer corpo sobre o qual venha a incidir. A Intensidade da onda eletromagnética é determinada da mesma maneira que a

das ondas mecânicas:

A

PI = e sua unidade no SI é W/m2.

Para ondas eletromagnéticas a Intensidade também pode ser determinada através

do valor médio de uma nova grandeza, chamada vetor de Poynting, Sr

: I= Sr

7

O vetor de Poynting [homenagem a Jonh Henry Poynting-(1852-1914)] representa a taxa instantânea de energia transportada pela onda por unidade de área, e é definido pela relação:

BEµ

1S

0

rrr×=

Como seu valor médio, Sr

, é a Intensidade da onda, I, seu valor instantâneo

também tem unidade W/m2.

O produto vetorial acima indica que Sr

é perpendicular tanto a Er

quanto a Br

,

sendo paralelo à direção de propagação da onda, na qual a energia está sendo transportada. Para identificar a direção de propagação de uma onda eletromagnética a partir da direção de vibração do campo elétrico e do campo magnético pode-se utilizar a regra da mão direita para o produto vetorial:

Alinha-se os quatro dedos da mão direita (exceto o polegar) com o primeiro

vetor indicado no produto (no caso o vetor Er

). Flexiona-se os 4 dedos no sentido em que aponta o segundo vetor que aparece no produto (nesse caso o

vetor Br

). A orientação do vetor resultante coincide com a direção apontada pelo polegar. O módulo do vetor resultante de um produto vetorial, por definição, pode ser

expresso por:

EBsenθsenθBEBES ==×=rrrrr

onde θ é o ângulo entre os vetores Er

e Br

.

Assim, conhecida a direção e o sentido do vetor,seu módulo pode ser determinado

por:

senθµ

EBBE

µ

1SS

00

=×==rrr

Como o ângulo entre Er

e Br

é de 90º, teremos o módulo do vetor de Poynting dado por:

0µ

EBS=

Conhecendo-se a relação entre Em e Bm e as equações de onda podemos utilizar, em um mesmo instante a relação:

cB

E

m

m = no mesmo instante de tempo c

EBc

B

Ec

B

E

B

E

m

m =⇒=⇒==

O módulo do vetor de Poynting fica expresso de uma maneira mais simples:

cµ

ES

0

2

=

Esta expressão fornece o valor do vetor de poynting a partir do valor de um campo

elétrico em um determinado instante, em um determinado local, e, como o campo varia senoidalmente no tempo, o valor do vetor de poynting também variará periodicamente. Por isso, mais importante que conhecer o vetor de poynting em um instante é conhecer o seu valor médio, que á a Intensidade da onda.

cµ2

EI

cµ

ωt)(kxsenE

cµ

ESI

0

2m

0

22m

0

2

=⇒−===

8

Em2 é o valor médio quadrático do campo elétrico e fornece o valor eficaz do campo

elétrico, que é dado por Erms, e expressa um campo elétrico constante que teria o mesmo efeito de Emsen(kx-ωt). A relação entre a amplitude do campo elétrico e o seu valor eficaz

é Em= rmsE2 .

O valor médio quadrático do seno de um ângulo vale ½.

cµ

E

2

1.

cµ

)E2(I

0

2rms

0

2rms ==

Vamos verificar ainda se a unidade de medida do vetor confere com a unidade da

intensidade:

Veja que as dimensões do vetor de poynting coincidem com as dimensões de

Intensidade (W/m2). Exemplos: Um observador está a 1,8m de uma fonte luminosa puntiforme, cuja potência é de

250W. Calcule os valores eficazes dos campos Er

e Br

na posição do observador. Suponha que a fonte irradia uniformemente em todas as direções.

Tm

sV

s

mm

V

c

EBc

B

E rmsrms

72

7

8

rms

2

87

20

rms202

rms0

2rms

10.6,1.

10.6,110.3

1,48

m

V48,1E

m)(1,8π4s

m.3.10

A

Tm.10π4.W250

πr4

cµ.PE

πr4

cµ.PE

A

P

cµ

EI

−−

−

====⇒=

=

//

//==⇒=⇒==

222

2

2

2

2

22

2

2

2

2

2

2

2

22

2

22

m

W1

m

1

s

J1

mJs

J1

sJm

(Nm)1

m

m.

sJ

N1]S[

mporrdenominadooenumeradorormultiplica:artifícioumusarvamosaqui

sJ

C.

C

N1

C

Js

C

.C

N1

V

A.

C

N1

s

m.

mA

sV

)C

N(

1]S[

s

m1[c]

Am

Vs1

A

mm

Vs

][m

Vs1

m

Wb1T1

A

Tm1][

C

N1[E]

=====

//

===

//

//

=

=

==⇒==⇒=

=

µµ

9

Pressão de radiação Além de transportar energia, as ondas eletromagnéticas transportam momento

linear. Este fato foi previsto teoricamente por Maxwell, mas somente foi possível observá-lo e medi-lo aproximadamente 30 anos depois, 1901-1903 por Nichols e Hull-Dartmouth Colege e por Lebedev na Rússia.

A previsão de Maxwell era de que, ao incidir sobre uma superfície a luz poderia ser totalmente absorvida, totalmente refletida ou parcialmente absorvida. A transferência de momento, a força e a pressão de radiação exercidas sobre a superfície estão resumidamente descritas no quadro abaixo. O ponto de partida aqui será determinar a energia transportada pela onda. Para isto vamos partir da expressão da intensidade da onda:

tAI∆∆E∆tA

∆E

A

PI =⇒==

Portanto a energia transportada pela onda depende da intensidade da onda no

local de interesse, do intervalo de tempo que a onda demora para passar nesse local e da área total sobre a qual a energia está distribuída.

A força exercida pela pressão de radiação pode ser determinada pela segunda lei

de Newton:

dt

qdF

rr

=

Se a força é constante a taxa de variação da quantidade de movimento linear também é constante, e podemos escrever:

∆t

q∆F

rr

=

A previsão de transferência de momento linear feita por Maxwell é de que, no caso

de haver absorção total c

∆E∆q = e no caso de haver reflexão total

c

∆E2∆q = .

Então é possível determinar a força exercida pela radiação em cada caso. Para

absorção total c∆t

E∆F = e para reflexão total

∆tc

∆E2F = . Usando a expressão obtida para a

energia a partir da Intensidade teremos para absorção total c

IAF

ct∆

At∆IF =⇒

//= e para

a reflexão total c

IA2F

ct∆

At∆I2F =⇒

//= .

Como pressão é força exercida sobre área podemos determinar a pressão de

radiação para o caso de absorção total cA

IA

A

Fp

''== e para o caso de reflexão total

cA

IA2

A

Fp

''== , onde A’ é a área de impacto da radiação sobre o objeto. No caso de

termos um feixe paralelo de radiação (feixe de ondas planas) incidindo completamente sobre a superfície do objeto, A’ será a própria área A e a pressão de radiação poderia

ainda ser simplificada: c

Ip = e

c

I2p = . Podemos resumir estas situações em um quadro:

10

Energia, momento linear, força e pressão de radiação transferidos e exercidos sobre superfícies sobre as quais incide um feixe de ondas planas.

Absorção total Absorção ou

reflexão parcial Reflexão total

Energia transportada

∆E=I.∆t.A ∆E=I.∆t.A ∆E=I.∆t.A

Momento linear transferido c

∆E∆q =

c

∆E<∆q<

c

∆E2

c

∆E2∆q =

Força exercida c

IAF =

c

IA<F<

c

IA2

c

IA2F =

Pressão de radiação exercida c

Ip =

c

I<p<

c

I2

c

I2p =

Exemplo: O Sol fornece cerca de 1000W/m2 de energia para a superfície da Terra. (a) Calcule a potência total incidente sobre um telhado de 8,00mx20,0m. (b) Determine a pressão de radiação e a força de radiação sobre o telhado,

supondo que sua cobertura e um absorvedor perfeito. Resolução: (a) A intensidade informada indica a potência por unidade de área. Podemos portanto determinar a potência de incidência em uma ares determinada por:

I=P/A � P=I.A=(1000W/m2).(8,00.20,0m2)=1,60.105W Este valor indica que a cada segundo são absorvidos pelo telhado 1,60.105J de

energia! (b) Como temos um absorvedor total a pressão de radiação na superfície sobre a qual incide é determinada por: P=I/c=(1000W/m2)/(3.108m/s2)=3,33.10-6N/m2 Como pressão é p=F/A, F=p.A F=p.A=(3,33N/m2).(8,00.20,0m2)=5,33.10-4N

11

Polarização

A polarização para ondas eletromagnéticas consiste em obter ondas cujo campo elétrico vibra em um único plano. As antenas de transmissão de TV, por exemplo, podem estar posicionadas vertical ou horizontalmente. Em consequência as antenas receptoras deverão ser posicionadas com a mesma orientação, para poderem captar a vibração elétrica das ondas transmitidas e enviar o sinal para o decodificador. Na figura abaixo temos uma onda polarizada no plano xy, portanto o campo elétrico somente apresenta componentes nesse plano.

A onda magnética também estará oscilando em um único plano, xz, então também é plano-polarizada. Mas como temos um grande número de detectores de radiação eletromagnética sensíveis às ondas elétricas, nos ateremos à polarização elétrica. As fontes convencionais de luz, como uma lâmpada, por exemplo, emitem luz em todas as direções a partir de átomos (devido a elétrons excitados), cuja vibração e emissão ocorre de forma independente. Sendo assim a radiação emitida não é polarizada, pois teremos ondas sendo emitidas com o campo elétrico oscilando em todas as direções possíveis. Orientação do vetor campo elétrico relativo a um feixe de ondas eletromagnéticas emitidas a partir de uma fonte não polarizada. Nas antenas transmissoras de rádio e TV, cargas oscilantes em um fio longo geram, em torno do fio, um campo magnético, que tornam a gerar um campo elétrico e assim sucessivamente.

Er

Ilustração do processo de sucessão de campos elétricos e magnéticos.

12

A figura ao lado indica o campo magnético gerado perpendicularmente ao plano da página

(⊗�representa o campo entrando na página; ��representa o campo emergindo da página) e o campo elétrico paralelo à antena emissora (que está no plano da página), através das linhas de força elétricas representadas.

A figura ao lado ilustra o

processo de transmissão, utilizando uma representação esquemática para o circuito oscilante e para o feixe de ondas eletromagnéticas emitidas. Como todas as ondas geradas possuem a mesma orientação do campo elétrico, diz-se que este tipo de fonte produz um feixe de ondas coerente.

Podemos polarizar um feixe de ondas não coerente fazendo-o incidir sobre uma superfície polarizadora que consiste em uma placa, constituída por moléculas de cadeias longas e alinhadas paralelamente umas às outras. Quando o feixe de luz não polarizada incide sobre a placa, as ondas cujos campos elétricos estão alinhados com as moléculas do polarizador, são absorvidas por elas e as ondas cujos campos elétricos oscilam perpendicularmente a elas são transmitidas.

Para um feixe não coerente propagando-se ao longo da direção x, cada um dos

vetores Er

que não é nem paralelo nem perpendicular à orientação do polarizador apresentará dois componentes: Ey e Ez. Veja a figura a seguir:

Na figura ao lado vemos a decomposição de um dos vetores

Er

nas direções y e z. A direção das linhas esquematizadas no polaróide, indica a direção na qual ele permite a transmissão do campo elétrico- chamada direção de polarização. No caso todos os componentes no eixo z são absorvidos, sendo transmitidos apenas os componentes em y.

Luz não polarizada

Polarizador

Feixe polarizado

Er

Er

Er

Er

Er

y

Ey

Ez z

13

Considerando θ o ângulo entre o vetor Er

e a direção de polarização da placa, y,

vemos que os componente transmitido e absorvido do vetor são dados por: Ey=Ecosθ Ez=Ecosθ Nessa situação, quando o feixe atravessa um polarizador, como aproximadamente

metade dos componentes dos vetores Er

será absorvido, a intensidade da luz transmitida, I, será aproximadamente a metade da luz incidente, I0:

2

II 0

m =

Quando utilizamos duas placas polarizadoras o primeiro polaróide é chamado polarizador, permitindo a passagem de I0/2. O segundo é chamado de polaróide analisador e a intensidade da luz que nele incide é Im. A intensidade da luz transmitida através dele, I dependerá do ângulo entre as direções de polarização dos dois polarizadores e da intensidade máxima do campo elétrico das ondas transmitidas.

A lei que descreve a relação entre a radiação incidente, Im, e a radiação

transmitida, I, no analisador é conhecida como Lei de Malus. Para deduzir a expressão, consideramos:

• I ∝ Im;

• Im é proporcional a Em2 – vimos na equação da intensidade a partir do vetor de

poynting;

• E ∝ cosθ

• I ∝ cos2θ

• quando o ângulo entre os dois polaróides é 90º temos I=0;

• quando o ângulo entre os dois polaróides é 0º temos I=Im; Portanto a Lei de Malus pode ser expressa pela relação:

I=Imcos2θ Onde θ é o ângulo entre as duas direções de polarização

consideradas. Exemplo: Duas placas polarizadoras estão dispostas de forma que o ângulo entre suas direções de polarização é zero, portanto a intensidade da radiação transmitida é máxima, Im. Sob que ângulo se deve girar uma das placas para que a intensidade da onda transmitida seja a metade da intensidade máxima? De acordo com o enunciado, queremos I=Im/2. Mas I é dado pela lei de Malus: I=Imcos2θ.

Então igualamos: 002

mm 135ou45)

2

1arccos(cosI

2

I±=θ±==θ⇒θ/=

/

Polarizador Er

mEr

θ

Er

mcosθ

Analisador