Ondas Eletromagneticas [Modo de ... - ? Captulo 33: Ondas Eletromagnticas 33-3 Descrio

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  • UNIDADE 1 -

    Ondas Eletromagnticas

    e Equaes de Maxwell

  • Ondas Eletromagnticas

    Fsica IV LOB1021

  • Captulo 33: Ondas Eletromagnticas33-3 Descrio Qualitativa de uma Onda Eletromagntica

    O que uma onda?

  • Captulo 33: Ondas Eletromagnticas33-3 Descrio Qualitativa de uma Onda Eletromagntica

    O que uma onda?

  • Captulo 33: Ondas Eletromagnticas33-3 Descrio Qualitativa de uma Onda Eletromagntica

    O que uma onda?

  • Captulo 33: Ondas Eletromagnticas33-3 Descrio Qualitativa de uma Onda Eletromagntica

  • Captulo 33: Ondas Eletromagnticas33-3 Descrio Qualitativa de uma Onda Eletromagntica

  • Captulo 33: Ondas Eletromagnticas33-3 Descrio Qualitativa de uma Onda Eletromagntica

  • Captulo 33: Ondas Eletromagnticas33-3 Descrio Qualitativa de uma Onda Eletromagntica

    Ondas Longitudinais:

  • Captulo 33: Ondas Eletromagnticas33-3 Descrio Qualitativa de uma Onda Eletromagntica

    Ondas Transversais:

  • Captulo 33: Ondas Eletromagnticas33-3 Descrio Qualitativa de uma Onda Eletromagntica

  • Captulo 33: Ondas Eletromagnticas

  • Captulo 33: Ondas Eletromagnticas

  • Captulo 33: Ondas Eletromagnticas33-3 Descrio Qualitativa de uma Onda Eletromagntica

    ( )11 )0,( kxsenyxy m=

    )]([)0,( 11 +=+ xksenyxy m

    )]([)( 11 += xksenykxseny mm)()( 11 kkxsenykxseny mm += 2=k

    2

    =k

    Sabemos que:)]([),( vtxksenytxy m =

    Para x = x1 e t = 0, tem-se:

    Para x = x1 + e t = 0, tem-se:

    v

    No entanto:)0,()0,( 11 += xyxy

    (nmero de onda)

    A funo seno se repete primeiramente quando o ngulo acrescido de 2 radianos.

  • Captulo 33: Ondas Eletromagnticas33-3 Descrio Qualitativa de uma Onda Eletromagntica

    Tkv

    =

    2

    Ento:)]([),( vtxksenytxy m =

    Pode ser escrita, como:

    Mas:

    v

    Desse modo, tem-se:

    )(),( kvtkxsenytxy m =

    T

    kv 2= =kv

    (funo de onda senoidal)

  • A Lei de Gauss do magnetismoA lei de Gauss para campos magnticos uma maneira formal de

    se dizer que no existem monopolos magnticos:

    0. == dAnBBr

    O fluxo de Br

    atravs de qualquer superfcie fechada nula, j que no pode existir qualquer carga magntica isolada envolvida pela superfcie.

    A lei de Gauss do magnetismo vlida mesmopara estruturas mais complicadas que um dipolomagntico.

    Vemos que 0=B atravs das superfcies I e II da figura. As linhas de so fechadas.B

    r

    b

  • O magnetismo da Terra

    Em 1600, William Gilbert descobriu que a Terra era um m naturalpermanente com plos magnticos prximos aos plos norte e sul geogrficos: seu campo magntico pode ser aproximado pelo de umaenorme barra imantada ( um dipolo magntico) que atravessa o centrodo planeta. Uma vez que o plo norte da agulha imantada de uma bssola aponta na direo do plo sul de um m, o que denominado plo norte da Terra, na realidade, um plo sul do dipolo magntico terrestre.

  • O magnetismo da Terra

    A direo do campo magntico sobre a superfcie da Terra pode serespecificada em termos de dois ngulos: a declinao e a inclinaodo campo.

    O campo observado em qualquer local da superfcie varia com o tempo. Por exemplo, entre 1580 e 1820 a direo indicada pelas agulhas de uma bssola variou de 350 em Londres.

  • Campos magnticos induzidosVimos que um fluxo magntico varivel no tempo produz um campo

    eltrico. Ser que um fluxo eltrico varivel no tempo pode produzir umcampo magntico? A experincia diz que sim.

    Por analogia com a lei de Faraday reformulada, podemosescrever:

    = dtdldB E 00.

    vr(Lei de Maxwell da induo)

    Consegue-se uniforme variando taxa constante

    dtdE

    Er

    corrente constante (figura (a)).

    no interior de um capacitor sendo carregado com uma

  • A lei de Ampre-MaxwellConsiderando as duas maneiras de se obter um campo magntico

    (uma corrente ou um campo varivel no tempo), podemos combinar as equaes correspondentes em uma s:

    Er

    envE i

    dtdldB 000. +=

    vr(Lei de Ampre-Maxwell)

    V-se que h duas diferenas entre os casos eltrico e magntico: a) no lao de circuitao (figura(b)), o sentido de induzido oposto ao do campo induzido, razo pela qual no aparece o sinal negativo na equao; b) as constantes e aparecem por causa da adoo do sistema SI de unidades.

    Br

    00Er

    Campos magnticos induzidos

  • ( )

    A Corrente de Deslocamento

    Observamos que o termo tem dimenso de corrente e o dt

    d E0

    dtdi Ed0=

    Para o caso de um capacitor sendo carregado (figura),mostra-se facilmente que ; ento podemos considerar a corrente fictcia como dando continuidade corrente real que est carregando o capacitor.

    chamamos de corrente de deslocamento :di

    iid =i

    Campos magnticos induzidos

    di

    Ento a lei de ampre_Maxwell fica:

    ( ) += denv iildB 0. vr

  • Alguns Teoremas:

  • Usando mais :

    podemos mostrar que :

  • As Equaes de MaxwellAs equaes de Maxwell so equaes bsicas do eletromagnetismo,

    capazes de explicar uma grande variedade de fenmenos e so a base do funcionamento de muitos dispositivos eletromagnticos. So elas:

    Forma integral Forma diferencial

    =0

    .envqdAnE

    r

    =0. dAnBr

    = dtdldE B

    rr.

    envE i

    dtdldB 000. +=

    vr

    0

    .

    = Err

    tBE

    =r

    rr

    tEJB

    +=r

    rrr000

    (1)

    (2)

    (3)

    (4)

    0. = Brr

  • As duas ltimas equaes mostram que variaes espaciais ou temporais do campo eltrico (magntico) implicam em variaes espaciais ou temporais do campo magntico (eltrico)

  • A Equao de uma Onda EletromagnticaVamos deduzir uma equao diferencial cujas solues descrevem

    uma onda eletromagntica e descobrir a sua velocidade de propagao no vcuo. Consideremos as equaes de Maxwell com .0== JTomando-se o rotacional de (3) e utilizando (1):

    2

    2

    00)()( tEB

    ttBE

    =

    =

    =r

    rrr

    rrrr

    Mas: EEErrrrrrr 2).()( =

    E como :0. = Err (5)

    Analogamente, tomando-se o rotacional de (4) e utilizando (2): 2

    2

    002

    tBB

    =r

    r (6)

    As equaes (5) e (6) equivalem a seis equaes escalares (uma para cada componente de e ) formalmente idnticas.E

    rBr

    2

    2

    002

    tEE

    =v

    v

  • A Equao de uma Onda EletromagnticaPara simplificar, consideremos que e estejam nas direes y e

    e z, respectivamente e ainda que e . Ento, as equaes (5) e (6) se simplificam para:

    Er

    Br

    ),( txEE yy = ),( txBB zz=

    2

    2

    002

    2

    tE

    xE yy

    =

    22

    002

    2

    tB

    xB zz

    = e

    Cada uma destas equaes formalmente idntica equao:

    que representa uma onda oscilando na direo y e propagando-se na direo x com velocidade v . Ento, as equaes (7) acima representam uma onda que se propaga na direo x com velocidade

    c10x0,31 800

    ==smv

    2

    2

    22

    2 1ty

    vxy

    = ,

    (7)

  • Ou seja, uma onda EM se propaga no vcuo com velocidade da luz.A equao de onda para um escalar qualquer (representando qualquer componente de ou ) :

    ,01 22

    22

    2

    =

    tcx

    cuja soluo do tipo:

    )(sen txkm =

    Er

    Br

    , com .c

    k =

    A Equao de uma Onda Eletromagntica

    A soluo mais geral para propagao numa direo genrica do espao :

    ).( trkim e

    =rr

  • http://people.seas.harvard.edu/~jones/ap216/applets/emWave/emWave.html

    http://www.walter-fendt.de/ph11e/emwave.htm

    (uma onda eletromagntica)

    (a propagao de uma onda eletromagntica)

  • A equao de onda

    Utilizando as quatro equaes de Maxwell e um pouco de lgebra vetorial (com os teoremas de Gauss e Stokes), podemos obter as seguintes equaes de onda com fontes [ ]:0),(e0),( trJtr

  • A equao de onda

  • A equao de onda

  • A equao de onda

  • Em geral, qualquer funo peridica pode ser soluo de umaequao de onda pois poder ser expressa por uma Srie de Fourier

    Ex.: Onda quadrada

  • Ex.: Equao de onda unidimensional progressiva numa corda

    ( , ) ( , 0) ( ) ( )

    x x vty yy x t y x f x f x vt

    = =

    = = =

    0( ,0) ( , 0)

    ty x y x=

    =

    O perfil da onda no muda com o tempo.

    x

    vt

    y(x,t)

    x'

    y'(x',t)

    v : velocidade de translao de um pulso

  • 2 22

    2 2

    2 2

    2 2 2

    1 0

    f f x fvt x t x

    f fvt xf f

    x v t

    = =

    =

    =

    x x vt=

    2 2

    2 2 2

    1 0

    f f x fx x x x

    f fx v t

    = =

    =

    Equao de onda

    Ex.: Equao de onda unidimensional progressiva numa corda

    ou

  • cktkxEctxkEtxEy === ;)sin()(sin),( 00

    Ondas eletromagnticas planas

  • Ondas eletromagnticas

    (3 Eq. de Maxwell)

    Sejam: )sen(),(e)sen(),( tkxBtxBtkxEtxE mzmy ==

    cBE

    ckB

    E

    z

    y

    m

    m ===

    Bz transverso direo de propagao da onda:

  • Perodo:

    Freqncia:

    Comprimento de onda:

    Velocidade de uma onda:

    T

    1fT

    =

    v fk = =

    Freqncia angular: 2 f =

    Nmero de onda:

    2k

    =

    Ondas eletromagnticas

  • Captulo 33: Ondas Eletromagnticas33-4 Descrio Matemtica de uma Onda Eletromagntica

    mE E sen(kx t) (33-1) =

    mB B sen(kx t) (33-2) =

    O retngulo de dimenses dx e h pertence ao plano xy eest parado no ponto P do eixo x. Quando a ondaeletromagntica passa pelo retngulo o fluxo magntico Bque atravessa o retngulo varia e, de acordo com a Lei deInduo de Faraday, aparecem campos eltricos induzidosna regio do retngulo. Tomamos E e E + dE como sendo oscampos induzidos nos dois lados mais compridos doretngulo. Esses campos so, na realidade, a componenteeltrica da onda eletromagntica.

  • Captulo 33: Ondas Eletromagnticas33-4 Descrio Matemtica de uma Onda Eletromagntica

    Vamos agora aplicar a Lei de Induo de Faraday:

    BdE d sdt

    =

    O lado esquerdo da equao fica:

    E d s (E dE)h Eh hdE

    = + =O lado direito da equao fica:

    ( )B d Bhdxd dBhdxdt dt dt

    = =

    Logo:

    dBhdE hdxdt

    = dE dBdx dt

    = E Bx t

    =

    mE E sen(kx t) (33-1) =

    mB B sen(kx t) (33-2) = Como:

    Temos:

    m mkE cos(kx t) B cos(kx t) = m

    m

    2E T

    2B k T

    = = =

    m

    m

    E E cB B

    = =

  • Captulo 33: Ondas Eletromagnticas33-4 Descrio Matemtica de uma Onda Eletromagntica

    A figura mostra outro retngulo tracejado no ponto P,dessa vez no plano xz. Quando a onda eletromagnticapassa por esse novo retngulo o fluxo eltrico E queatravessa o retngulo varia e, de acordo com a Lei deInduo de Maxwell, aparecem campos magnticosinduzidos na regio do retngulo. Tomamos B e B + dB comosendo os campos induzidos nos dois lados mais compridosdo retngulo. Esses campos so, na realidade, a componentemagntica da onda eletromagntica.

    Vamos agora aplicar a Lei de Induo de Maxwell:

    E0 0

    dB d sdt

    =

    O lado esquerdo da equao fica:

    B d s (B dB)h Bh hdB

    = + + = O lado direito da equao fica:

    ( )E d Ehdxd dEhdxdt dt dt

    = =

    Logo:

    0 0dEhdB hdxdt

    =

    0 0B Ex t

    =

    mE E sen(kx t) (33-1) =

    mB B sen(kx t) (33-2) = Como:

    Temos:

    m 0 0 mkB cos(kx t) E cos(kx t) =

  • Captulo 33: Ondas Eletromagnticas33-4 Descrio Matemtica de uma Onda Eletromagntica

    A figura mostra outro retngulo tracejado no ponto P,dessa vez no plano xz. Quando a onda eletromagnticapassa por esse novo retngulo o fluxo eltrico E queatravessa o retngulo varia e, de acordo com a Lei deInduo de Maxwell, aparecem campos magnticosinduzidos na regio do retngulo. Tomamos B e B + dB comosendo os campos induzidos nos dois lados mais compridosdo retngulo. Esses campos so, na realidade, a componentemagntica da onda eletromagntica.

    Vamos agora aplicar a Lei de Induo de Maxwell:

    E0 0

    dB d sdt

    =

    O lado esquerdo da equao fica:

    B d s (B dB)h Bh hdB

    = + + = O lado direito da equao fica:

    ( )E d Ehdxd dEhdxdt dt dt

    = =

    Logo:

    0 0dEhdB hdxdt

    =

    0 0B Ex t

    =

    mE E sen(kx t) (33-1) =

    mB B sen(kx t) (33-2) = Como:

    Temos:

    m

    m 0 0 0 0

    E 1 1B ( / k) c

    = =

    0 0

    1c =

  • Mathematical Description of Travelling EM Waves

    Electric Field: ( )sinmE E kx t=

    Magnetic Field: ( )sinmB B kx t=

    Wave Speed:0 0

    1c

    =

    Wavenumber:2k

    =

    Angular frequency:2

    =T

    Vacuum Permittivity: 0

    Vacuum Permeability: 0

    All EM waves travel a c in vacuum

    Amplitude Ratio: m

    m

    E cB

    = Magnitude Ratio: =E cB

    EM Wave Simulation

  • Captulo 33: Ondas Eletromagnticas33-4 Descrio Matemtica de uma Onda Eletromagntica

  • L

    ~

  • Ondas Eletromagnticas

  • Ondas eletromagnticas

    Problema 1

    Um certo laser de hlio-nenio emite luzvermelha em uma faixa estreita de comprimentosde onda em torno de 632,8 nm, com umalargurade 0,0100 nm. Qual a largura, emunidades de frequncia, da luz emitida?

  • Um certo laser de hlio-nenio emite luz vermelha em uma faixa estreita decomprimentos de onda em torno de 632,8 nm, com uma largurade 0,0100nm. Qual a largura, em unidades de frequncia, da luz emitida?

    nm)0100,08,632( =+=

    HzGHzmm

    smf 5,71075,01010)108,632(/103 1092

    229

    8

    =

    =

    ===== 2221 cfcfc

    ddfccf

    !1074,4)108,632(

    103 149

    8

    Hzf

    = mas:

    Note que:

    =

    =

    ffff

  • Captulo 33: Ondas Eletromagnticas33-5 Transporte de Energia e o Vetor de Poynting

    Ondas Eletromagnticas transportam energia.

    Elas podem transferir essa energia para os objetos que se encontram em

    seu caminho.

  • Captulo 33: Ondas Eletromagnticas33-5 Transporte de Energia e o Vetor de Poynting

  • B

    Erea A

    dx

    c Direode propagao

    Captulo 33: Ondas Eletromagnticas33-5 Transporte de Energia e o Vetor de Poynting

    A taxa de transporte de energia por unidade de rea por parte de uma onda

    eletromagntica descrita por um vetor S, denominado Vetor de Poynting.

    O vetor de Poynting dado por:

    0

    1S E B

    =

    /

    inst inst

    energia tempo potnciaSrea rea

    = =

    Definimos a intensidade S como a taxa de transferncia de energia porunidade de rea (W/m2):

  • Captulo 33: Ondas Eletromagnticas

    Como ExB so mutuamente perpendiculares em uma onda

    eletromagntica, o mdulo de ExB E.B. Assim, o mdulo de S :

    0

    1S EB=

    Onde S, E e B so valores

    instantneos.

    Como existe uma relao entre E e B (E/B=c), podemos trabalhar com

    apenas uma dessas grandezas. Escolhemos trabalhar com E, j que a

    maior parte dos instrumentos usados para detectar ondas

    eletromagnticas sensvel componente eltrica da onda e no

    componente magntica. Usando a relao B=E/c, reescrevemos a

    equao acima.2

    0

    1S Ec

    =

    Fluxo Instantneo de Energia

  • Ondas eletromagnticas

    Transporte de energiaAs densidades de energia eltrica e magntica por unidade de volume so (de Fsica III):

    20

    02

    2

    21

    2),(como E

    cEtru

    cEB B

    === r

    0

    22

    0 2),(e

    21),(

    BtruEtru BE ==

    rr

    A densidade total de energia armazenada no campo de radiao 2

    0),(),(),( Etrutrutru BE =+=rrr

    0

    2

    2),(

    BtruB =

    r

    E Bu u=

  • Ondas eletromagnticas

    Transporte de energiaComo )(sin),( 220

    2 trkEtrE = rrr

    A mdia temporal da densidade de energia dada por

    200

    21

    0

    2200

    20 2

    1)(sin1 EdttrkT

    EEuT

    ===

    =

    444 3444 21

    rr

    Intensidade da radiao (dada por energia/rea/tempo)

    2002

    1 Eccuts

    Uts

    UI ==

    =

    l

    l

  • Ondas eletromagnticas Transporte de energia

    x

    z

    y

    kr

    0Er

    0Br

    sdr

    tc=l

    U

    Por outro lado

    ktrkc

    EBE )(sin220 = r

    rrr

    2000

    20

    21

    2|| Ec

    cEBE ==

    rr

  • Ondas eletromagnticas Transporte de energia

    x

    z

    y

    kr

    0Er

    0Br

    dansd =r

    tc=l

    U

    Definindo BESrrr

    0

    1

    0Er

    0Br S

    r

    200

    0 211|| EcBESI

    ===

    rrr

    Sr

    o vetor de Poynting e

    =A

    danSdt

    dU r

  • Ondas eletromagnticas Transporte de energiaSe a potncia fornecida pela fonte Pf temos

    =A

    f danSP r

    Emisso isotrpica

    SrSnS == rr

    24 RP

    SI f

    ==

    Ondas eletromagnticas esfricas

  • Captulo 33: Ondas Eletromagnticas

    33-5 Transporte de Energia e o Vetor de Poynting

    Quando olhamos para a Estrela Polar (Polaris) recebemos a luz de uma

    estrela que est a 431 anos-luz da Terra e emite energia a uma taxa 2,2x103 vezes

    maior que o Sol (Psol = 3,90 x 1026 W). Desprezando a absoro da luz pela

    atmosfera terrestre, determine os valores rms do campo eltrico e do campo

    magntico da luz que chega at ns.

    Exemplo 33-1

    Resposta (a): 3rmsE 1,24 10 V / m=

    Resposta (b): 12rmsB 4,1 10 T=

  • Captulo 33: Ondas Eletromagnticas

    Idias chave:

    1. O valor rms do campo eltrico est relacionado intensidade luminosa

    2. Como a fonte est muito distante e emite ondas com igual intensidade em todas

    as direes, a intensidade I a uma distncia r da fonte est relacionada potncia

    da fonte.

    3. Os mdulos do campo eltrico e do campo magntico de uma onda

    eletromagntica em qualquer instante e em qualquer ponto do espao esto

    relacionados pela equao E/B=c. Assim, os valores rms desses campos tambm

    esto relacionados por Erms/Brms=c.

    2

    0

    1rmsI Ec

    =

    s2

    PI4 r

    =

  • Captulo 33: Ondas Eletromagnticas

    2

    2

    2

    4

    4

    s rms

    o

    s orms

    P EIr c

    P cEr

    = =

    =

    Substituindo os valores conhecidos:31, 24 10 /rmsE x V m=

    312

    8

    1, 24 10 / 4,1 103 10 /

    rmsrms

    E x V mB x Tc x m s

    = = =

  • Captulo 33: Ondas Eletromagnticas33-6 Presso de Radiao

    Japo lana sonda que viaja impulsionada pela luz do Sol

    http://g1.globo.com/ciencia-e-saude/noticia/2010/05/japao-lanca-sonda-que-viaja-impulsionada-pela-luz-do-sol.html

  • Captulo 33: Ondas Eletromagnticas