o teorema espectral para operadores simÉtricos...

31 Encontro de Ensino, Pesquisa e Extensão, Presidente Prudente, 21 a 24 de outubro, 2013

Colloquium Exactarum, vol. 5, n. Especial, Jul–Dez, 2013, p. 31-37. ISSN: 2178-8332. DOI: 10.5747/ce.2013.v05.nesp.000050

O TEOREMA ESPECTRAL PARA OPERADORES SIMÉTRICOS Marco Antonio Travassos1, Fernando Pereira Sousa2

1Aluno do Curso de Matemática – CPTL/UFMS, bolsista do Grupo PET Matemática/CPTL/UFMS;

2Professor do Curso de

Matemática – CPTL/UFMS. E-mail [email protected]

RESUMO Neste presente trabalho trataremos sobre diagonalização de operadores, ou seja, dado um operador linear , queremos determinar uma base de , em relação a qual, a matriz de seja a mais simples possível. Na verdade esta matriz será uma matriz diagonal. Aqui estaremos interessados num tipo particular de operadores, os operadores simétricos. Na álgebra linear existe um resultado importante conhecido como o teorema Espectral para operadores auto-adjuntos. O teorema Espectral para operadores simétricos é um caso particular deste resultado e apresentaremos uma demonstração, para esse caso particular, de uma maneira mais simples e rápida. Também, apresentaremos uma demonstração do teorema espectral para operadores simétricos, no contexto das matrizes reais. Palavras-chave: Autovetores, diagonalização, operador adjunto, operadores simétricos, teorema espectral.

INTRODUÇÃO

O presente trabalho é sobre o teorema Espectral para operadores simétricos. A teoria

espectral tem como objetivo principal estudar espaços vetoriais e operadores lineares, buscando

descrever de forma simples a atuação dos operadores. Os teoremas espectrais são fundamentais

na álgebra linear, por garantirem a existência de uma base ortonormal de autovetores para alguns

tipos de operadores, isto implica que o operador seja diagonalizável, o que facilita bastante os

cálculos.

O objetivo desse trabalho é fazer a prova do teorema Espectral para operadores simétricos

de uma maneira simples e que possa ser compreendida integralmente por qualquer estudante

que tenha concluído um curso introdutório de álgebra linear.

O trabalho está organizado em duas secções, sendo que na primeira secção contém

algumas definições para que o leitor possa se familiarizar com o texto e também uma condição

necessária e suficiente para que seja um operador diagonalizável. Por fim, na segunda

secção apresentaremos o teorema Espectral para operadores simétricos e uma demonstração do

teorema Espectral para operadores simétricos no contexto das matrizes reais, que é o principal

objetivo deste trabalho.

mailto:[email protected]



METODOLOGIA

O trabalho é resultado de uma pesquisa teórica, desenvolvido através de discussões do

tema com o orientador e apresentações de seminários como parte das atividades do programa

PET - Matemática no estudo de Introdução à Álgebra Linear. O trabalho incluiu uma etapa de

leitura e resoluções de exercícios, desenvolvimento das atividades propostas e a tabulação dos

resultados obtidos. O estudo e as atividades desenvolvidas foram avaliados através da

apresentação de seminários de discussão.

RESULTADOS

1. Conceitos Básicos

Para que a leitura posterior deste trabalho seja feita de maneira mais rápida, decidimos

expor aqui os conceitos básicos que serão usados neste trabalho. Tais definições, proposições,

lemas e teoremas podem ser encontrados em , -. Uma observação a ser feita é que neste

trabalho estaremos considerando apenas espaços vetoriais de dimensão finita e munidos de

produto interno.

Definição 1. Seja um espaço vetorial de dimensão finita, munido de produto interno. Para cada

operador linear existe um único operador linear tal que ⟨ ( ) ⟩

⟨ ( )⟩ para quaisquer . O operador é chamado de operador adjunto de .

Quando dizemos que é um operador simétrico.

O resultado a seguir mostra como podemos obter a partir de uma representação

matricial de .

Proposição 1. Para toda base ortonormal de e para todo operador linear em , temos que

, - (, - )

Para demonstrarmos a proposição acima, vamos precisar do seguinte resultado, cuja

demonstração omitiremos.

Lema 1. Seja * + uma base ortonormal de . Se , - é a matriz que

representa um operador em , com relação à base , ou seja, , - , então

⟨ ( ) ⟩, para todos .

Demonstração 1. Considere as matrizes , - , - e , - , - . Pelo Lema 1,

⟨ ( ) ⟩ e ⟨ ( ) ⟩, para todos .

Logo,

⟨ ( ) ⟩ ⟨

( )⟩ ⟨ ( ) ⟩



para todos , provando o resultado.

Pela Proposição 1, observamos que se é um operador simétrico em , então para toda

base ortonormal de temos

, - (, - )

Assim, é simétrico se, e somente se, , - é uma matriz simétrica. Observemos que o

fato de um operador ser simétrico não depende da base ortonormal escolhida. Portanto, se , -

for uma matriz simétrica em uma determinada base ortonormal , então , - será também

simétrica para qualquer outra base ortonormal .

Definição 2. Um operador linear é dito ser um operador ortogonal quando

Em outras palavras, é um operador ortogonal quando é invertível e .

Definição 3. Uma matriz ( ) é dita ser ortogonal quando

Em outras palavras, é uma matriz ortogonal se é invertível e .

Segue imediatamente da definição que uma matriz é ortogonal se, e somente se, a

matriz .

Proposição 2. Se e são bases ortonormais de , então a matriz mudança de base , - é

uma matriz ortogonal.

Proposição 3. Um operador linear admite uma base em relação á qual a matriz , - é

diagonal se, e somente se, essa base for formada por autovetores de .

Suponhamos que * + é uma base de tal que , - é diagonal, digamos,

, - [

]

Como, para cada ,

( ) ,

segue que é um autovalor de e é um autovetor de associado a . Portanto, é uma

base formada de autovetores de .



Reciprocamente, suponhamos agora que * + é uma base de formada

por autovetores de . Existem, então, números reais tais que, para cada ,

( ) . Observamos que os 's não são necessariamente todos distintos. Pela definição de

, - , temos

, - [

]

ou seja, , - é uma matriz diagonal.

Na demonstração da Proposição 3 fica claro que, se um operador linear tem uma

representação por uma matriz diagonal , - , então as entradas da diagonal principal de , - são

dadas pelos autovalores de . Mais ainda, a ordem em que os autovalores aparecem na diagonal

principal da matriz é a mesma em que seus respectivos autovetores são dados na base .

Se é um operador linear em um espaço de dimensão , a proposeção 3 nos diz que é

diagonalizável se, e somente se, tem autovetores linearmente independentes. Em particular,

se tem autovalores distintos, então é diagonalizável.

Vimos que é um operador diagonalizável se, e somente se, existe uma base de

formada por autovetores de .

Veremos que se é um espaço com produto interno e se é um operador

simétrico, então existe uma base ortonormal de formada por autovetores de . Em particular,

todo operador simétrico é diagonalizável.

Proposição 4. Seja um espaço vetorial de dimensão finita sobre . Se é um operador

simétrico e uma base de , então, todas as raízes do polinômio característico , - são

números reais.

2. O Teorema Espectral

O próximo resultado nos garante que todo operador simétrico é diagonalizável. Este

resultado é conhecido como Teorema Espectral e é um dos resultados mais importantes da

Álgebra Linear.

Teorema 1. Seja um espaço de dimensão finita sobre. Se é um operador simétrico,

então existe uma base ortonormal de tal que , - é diagonal.



Demonstração. Faremos a prova por indução sobre a dimensão de . Denotaremos a matriz , -

por . Se dim , o resultado é óbvio. Suponhamos que e que o resultado é válido para

espaços de dimensão . Seja um espaço vetorial tal que dim . Seja uma base de e

seja uma raiz complexa de polinômio . Pela Proposição 4, . Portanto, é um autovalor

de . Seja um autovetor unitário de associado a . Consideremos o subespaço

* ⟨ ⟩ +

Note que . Afirmamos que ( ) . De fato, seja . Como é um operador

simétrico, temos que

⟨ ( ) ⟩ ⟨ ( )⟩ ⟨ ⟩ ⟨ ⟩ ,

donde ( ) . Assim, podemos considerar o operador restrição

( ),

que é também um operador simétrico. Além disso, como dim , - , segue que dim .

Assim, podemos aplicar a hipótese de indução ao operador para garantir a existência de uma

base ortonormal * + de formada por autovetores de (logo de ).

Consequentemente, * + é uma base ortonormal de formada por autovetores de

. Daí, , - é diagonal.

Reciprocamente, se é uma base ortonormal de formada por autovetores. Então, pela

proposição 3 temos que , - é diagonal. Como , - é diagonal, então , - é simétrica. Logo,

é um operador simétrico.

O próximo resultado é a versão matricial do Teorema 1.

Teorema 2. Se ( ) é simétrica, então existe uma matriz ortogonal ( ) tal que

é diagonal.

Demontração. Seja ( ) uma matriz simétrica. Então o operador ( ) também

é simétrico. Pelo Teorema 1, existe uma base ortonormal de tal que , - é diagonal. Se

é a base canônica de , então

, - , - , - , - ,

sendo , - . Como e são bases ortonormais, segue da Proposição 2 que é uma

matriz ortogonal, ou seja, .

A recíproca deste resultado também é verdadeira. Para demonstra-la temos que provar

que . Por hipótese, existe uma matriz ( ) tal que é diagonal.

Entretanto, como é ortogonal então,

( )



( )

( )

( )

( )

Portanto, como queríamos demonstrar.

DISCUSSÃO

O teorema espectral para operadores simétricos é fundamental na álgebra linear por

garantir a existência de uma base ortonormal de autovetores para operadores simétricos. Isto

implica que o operador seja diagonalizável o que facilita os cálculos. Desta forma podemos fazer o

reconhecimento de cônicas, quádricas e tornar o cálculo de composição de funções reais mais

simples entre outras aplicações.

Neste trabalho estudamos operadores lineares em um espaço vetorial sobre os reais,

mas poderíamos estender esses resultados para um espaço vetorial sobre . Nesse último caso

os operadores são chamados de operadores hermitianos. O caso que tratamos aqui é um caso

particular do teorema Espectral para operadores auto-adjuntos. Os operadores auto-adjuntos são

compostos pelos operadores simétricos e os hermitianos. Também existem diversas

generalizações do teorema Espectral, bem como para operadores unitários, operadores normais e

operadores compactos auto-adjuntos em espaços de Hilbert.

CONCLUSÃO

Neste trabalho abordamos o assunto, diagonalização de operadores, Vimos que é

um operador diagonalizável se, e somente se, existe uma base de formada por autovetores de

. Concluímos que se é um espaço vetorial de dimensão finita sobre e se é um

operador simétrico, então existe uma base ortonormal de tal que a matriz de em relação à

base é diagonal. Acreditamos que nosso objetivo principal foi atingido e como resultado obteve

um texto claro, bem estruturado, acessível a diversos estudantes, mesmo que não possuam muito

conhecimento sobre o assunto. Este trabalho foi muito importante para os meus estudos, pois me

permitiu o aprofundamento neste tema bem como aperfeiçoar competências de investigação,

organização e comunicação da informação.



REFERÊNCIAS

1. HEFEZ, Abramo. Introdução à Álgebra Linear/Abramo Hefez; Cecília de Souza Fernandez. Rio de Janeiro: SBM, 2012. 328p. (Coleção PROFMAT, 01). 2. Coelho, Flávio Ulhoa. Um Curso de Álgebra Linear/Flávio Ulhoa Coelho, Mary Lilian Lourenço.-2. ed. rev. e ampl., 2. reimpr.-São Paulo: Editora da Universidade de São Paulo, 2010.-(Acadêmica, 34).

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