CÔNICAS

Cônicas são curvas obtidas pela interseção de um plano com um

cone circular de duas folhas

• Parábola

• Elipse

• Hipérbole

• Circunferência

1.Parábola 1.1 Definição

Parábola é o lugar geométrico de

todos os pontos de um plano equidistantes de um ponto fixo e de

uma reta fixa desse plano.

Considere uma reta d e um ponto F não pertencente a d.

Na figura abaixo estão assinalados cinco pontos (P1, P2, V, P3 e P) que são equidistantes do ponto F e da reta d.

1.2 Elementos

1.3 Exemplos V(0,3) , F(0,4) e reta diretriz y=2

V(0,0), F(0,1) e reta diretriz y=-1

1.4 Identificação da Parábola

a) Uma equação do tipo Ax²+By=0 representa uma parábola de vértice na origem e eixo de simetria coincidente com o eixo y.

b) Similarmente, uma equação sob a forma Ay²+Bx=0 representa uma parábola de vértice na origem e eixo de simetria coincidente com o eixo x.

1.5 Equações Reduzidas (canônicas) Consideremos dois casos para V(0,0):

A igualdade expressa na definição de parábola é equivalente a

Outras Formas da Equação de Parábola

Para

As considerações abaixo foram feitas somente para os casos do eixo da parábola ser paralelo a um dos eixos coordenados.

Equações Paramétricas

Consideremos a equação reduzida da parábola cujo eixo é o dos y:

Nesta equação, onde x pode assumir qualquer valor real, se fizermos x = t (t é chamado de parâmetro) teremos

Então as equações paramétricas da parábola são, neste caso, dadas por:

São equações paramétricas da parábola com vértice V(0,0) e eixo Ox.

De forma semelhante, pode-se obter as equações paramétricas no caso do vértice da parábola não ser a origem do sistema.

2. Elipse 2.1 Definição

Elipse é o lugar geométrico de todos os pontos de um plano

cuja soma das distâncias a dois pontos fixos desse plano é

constante.

2.2 Elementos

2.3 Exemplo

a) Dados os focos A(3,0), B(-3,0) e um ponto dessa elipse C(0,4)

2.4 Identificação da Elipse

Uma equação do tipo Ax²+By=F representa uma elipse com centro na origem e eixos paralelos aos eixos cartesianos se:

• A e B concordam em sinal;

• A diferente de B

A elipse pode ser:

a) Real: se A, B e F concordam em sinal

b) Imaginária: se F tem sinal contrário ao de A e B;

c) Puntiforme: se F=0

2.6 Equações Reduzidas (canônicas)

Outras formas da Equação da Elipse

3. Hipérbole 3.1 Definição

Hipérbole é o lugar geométrico de todos os pontos de um plano

cuja diferença das distâncias, em valor absoluto, a dois pontos fixos desse plano é constante.

3.2 Elementos

3.3 Exemplos

Focos A(-3,0), B(3,0) e vértices C(2,0), D(-2,0)

b) Dados os focos A(0,1), B(0,-1) e vértices C(0,1/2), D(0,1/2)

3.4 Identificação da Hipérbole

Uma equação do tipo Ax²+Cy²=F representa uma hipérbole com centro na origem e eixos coincidentes aos eixos cartesianos, se e somente se, A e C têm sinais contrários e F não nulo.

Quando F for nulo e A e C têm sinais contrários, a hipérbole se degenera num par de retas reais e concorrentes.

3.5 Equações Reduzidas (canônicas)

Aplicações das Cônicas

As cônicas desempenham um papel importante em vários domínios da física, como a

Astronomia, a Economia, a Engenharia e em muitas outras situações. Devido a isso o

interesse pelo seu estudo seja tão antigo.

Vejamos alguns exemplos

Algumas aplicações das Cônicas

Suponhamos que temos uma lanterna direcionada para uma parede, então o feixe de luz emitido desenhará nessa parede uma curva cônica. Este fato acontece porque o feixe de luz emitido pela lanterna forma um cone, e também porque a parede funciona como um plano que corta o cone formado. Dependendo da inclinação da lanterna relativamente à parede, assim se obtém uma circunferência, uma elipse, uma parábola ou uma hipérbole.

Os Engenheiros da área da iluminação usam este fato, entre outros, para construírem candeeiros, lanternas, etc...

• O som emitido por um avião a jato supersônico tem a forma de um cone, pelo que, ao chocar com a Terra vai formar uma curva cônica. Assim, dependendo da inclinação do avião relativamente à Terra, vamos obter elipses, parábolas ou hipérboles. A audio-metria usa este fato, entre outros, para saber a que distância da Terra o avião pode ultrapassar a velocidade do som.

• A superfície formada pela água dentro de um copo é elíptica, sendo circular apenas no caso em que o copo está direito, isto é, está alinhado com o nível, na horizontal.Se animarmos o copo com um movimento rotativo sobre si próprio, a superfície do líquido nele inserido será a de um parabolóide. Esta técnica é frequentemente usada para se obter este tipo de superfície.

• Na Astronomia, Kepler mostrou que os planetas do sistema solar descrevem órbitas elípticas, as quais têm o sol num dos focos.

• Também os satélites artificiais enviados para o espaço percorrem trajetórias elípticas, mas nem todos os objetos que circulam no espaço têm órbitas elípticas. Existem cometas que percorrem trajetórias hiperbólicas, os quais ao passarem perto de algum planeta com grande densidade, alteram a sua trajetória para outra hipérbole com um foco situado nesse planeta. Como a parábola é um caso de equilíbrio entre a elipse e a hipérbole (lembrem-se que a excentricidade da parábola é igual a um), a probabilidade de existir algum satélite com órbita parabólica é quase nula. Mas isso não impede a existência de satélites com esta trajetória.

• Também as trajetórias dos projéteis, num ambiente sob a ação da força da gravidade, são parabólicas. Já no ambiente terrestre, onde existe a resistência do ar, essas trajetórias são elípticas, mais propriamente, arcos de elipses. No entanto, por vezes, as diferenças entre as trajetórias elípticas e as parabólicas são quase indiscerníveis, pelo que, o leitor-cibernauta mais interessado poderá facilmente verificar estes fatos tomando atenção ao jacto de água de uma mangueira, cuja a abertura está inclinada para cima. A balística (ciência que estuda as trajetórias de projéteis) faz uso deste fato para determinarem o local da queda de um projétil.

• Fazendo uso da propriedade refletora da parábola, Arquimedes construiu espelhos parabólicos, os quais por refletirem a luz solar para um só ponto, foram usados para incendiar os barcos romanos quando as invasões de Siracusa. Lembre-se que a concentração de energia gera calor. • De fato, as propriedades refletoras das cônicas, e não somente as da parábola, têm contribuído para a construção de telescópios, antenas, radares, faróis, ópticas dos carros, lanternas, etc... Na verdade, alguns dos objetos mencionados também obedecem à propriedade refratora das cônicas. Esta propriedade está intimamente ligada à propriedade refletora, pelo que os seus estudos são mais idênticos. Só para dar uma amostra de objetos mais vulgares que usam a propriedade refratora das cõnicas, mencionamos os seguinte: os óculos graduados, as lupas e os microscópios.

• A partir da propriedade refletora das parábolas, os engenheiros civis construíram pontes de suspensão parabólica. Se imaginarmos os cabos que prendem o tabuleiro da ponte como raios de luz, facilmente verificamos que o cabo principal, aquele que passa pelos pilares da ponte, tem forma de uma parábola.

• As extremidades das asas do famoso avião britânico spitfire, usado com grande sucesso na II grande Guerra, eram arcos de elipses. Embora a razão da sua escolha se prenda ao fato de se obter mais espaço para transportar munições, este tipo de asa diminuía a resistência do ar, favorecendo melhores performances ao avião em vôo.

• O sistema de localização de barcos denominado por LORAN (LOng RAnge Navigation), faz uso das hipérboles confocais, onde os radares estão nos focos. A ideia é baseada na diferença de tempo de recepção dos sinais emitidos simultaneamente pelos dois pares de radares, sendo um dos radares comum aos dois pares. O mapa assim construído apresenta curvas hiperbólicas. Esta técnica foi usada na II grande Guerra, para detectar barcos japoneses.

Referências

http://www.educ.fc.ul.pt/icm/icm99/icm26/aplicacoes.htm

Acesso em 28/06/2012 ás 20h30min

VENTURI, Jacir J. Cônicas e quádricas – Curitiba – Editora da UFPR , 2003, Quinta Edição. WINTERLE, Paulo. Vetores e geometria analítica. São Paulo – Makron Books - 2000