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O pomo da discórdia

Daniel Zampieri Loureiro1, Dulcyene Maria Ribeiro

2

1Acadêmico do Curso de Matemática – Centro de Ciências Exatas e Tecnológicas da

Universidade Estadual do Oeste do Paraná 2Professora do Curso de Matemática, Doutora em Educação – Centro de Ciências

Exatas e Tecnológicas da Universidade Estadual do Oeste do Paraná

Caixa Postal 711 – 85.819-110 – Cascavel – PR – Brasil

[email protected]

Resumo. Este artigo tem por objetivo apresentar os estudos iniciais sobre as

curvas geométricas ciclóide, tautocrona braquistócrona3. Tais curvas geométricas

que atraíram a atenção de matemáticos do século XVII por suas propriedades

únicas, inúmeras vezes passam despercebidas no cenário atual por serem pouco

conhecidas, e pouco trabalhadas tanto nas escolas quanto nas universidades. Elas

apresentam propriedades que podem ser aplicadas a situações reais, tais como o

menor tempo percorrido por um objeto, caso da Braquistócrona, ou ainda objetos

que se deslocam em tempos iguais lançados de diferentes distâncias, caso da

Tautócrona. Por isso considera-se relevante o trabalho com essas curvas já que

nos proporcionam mostrar aplicações diretas da matemática no cotidiano.

Palavras chaves. Ciclóide, Braquistócrona, Tautocrona, Curvas Geométricas, História da matemática.

1. Introdução

As curvas, ciclóide, tautócrona e braquistócrona são pouco conhecidas, e pouco

trabalhadas tanto nas escolas quanto nas universidades. Elas apresentam propriedades

que podem ser aplicadas a situações reais, tais como o menor tempo percorrido por um

objeto ou ainda objetos que se deslocam em tempos iguais lançados de diferentes

distâncias. Por isso considera-se relevante o trabalho com essas curvas já que nos

proporcionam mostrar aplicações diretas da matemática no cotidiano.

Vale ressaltar que de certa forma os conteúdos de Geometria Analítica

relacionados às curvas, enfatizam as curvas fundamentais parábola, hipérbole e elipse,

tornando a Ciclóide e suas propriedades coadjuvantes no processo de ensino e

aprendizagem da matemática.

Objetiva-se nesse texto apresentar um estudo histórico sobre a ciclóide,

3 Trabalho que está sendo desenvolvido como pesquisa na Monografia cumprindo assim o requisito

necessário para obtenção de licenciado em matemática.

XXV SEMANA ACADÊMICA DA MATEMÁTICA ISSN 1981-8645

Curso de Matemática - Unioeste - Cascavel Pág. 1

braquistócrona e a tautocrona e as propriedades dessas curvas, como também sobre os

matemáticos que trabalharam com ela ao longo da história da matemática.

2. Surge a “Helena da Geometria”

O estudo das curvas sempre representou um fascínio na história de homens envolvidos

com a matemática, como os gregos antigos que se destacaram com seus estudos sobre

geometria. Ressaltam-se os trabalhos de Euclides em sua obra de primazia Os

Elementos. Seus sucessores Arquimedes (287 a.C. – 212 a.C.) e Apolônio de Perga (262

a.C. – 190 a.C.) também desenvolveram trabalhos de grande relevância aos estudos da

geometria.

A Medida de um Círculo, A Quadratura da Parábola e Sobre as Espirais são três

dos trabalhos de Arquimedes. Neles ele inaugura o método clássico4 para o estudo do π

(pi) e mostra que a área de um segmento parabólico é quatro terços da área de um

triângulo inscrito de mesma base e de vértice no ponto onde a tangente é paralela a base.

Segundo Eves (2004, p. 140) o terceiro trabalho de Arquimedes apresentou ainda as

propriedades da curva hoje conhecida como espiral de Arquimedes cuja equação polar é

. Arquimedes ao desenvolver seus tratados os fez em uma linguagem tão bem

acabada, objetiva e com tamanha originalidade que perduram como uma das

contribuições mais notáveis da matemática.

Apolônio de Perga, hodierno de Arquimedes, dá início aos estudos das

denominadas curvas cônicas: a elipse, a parábola e a hipérbole que na matemática atual

sobressaem-se em relação aos estudos de outras curvas não menos importantes.

A ciclóide foi estudada primeiramente no século XV por Nicholas Cusa (1401-

1464), quando estava tentando encontrar a área de um círculo pela integração. Nicholas

de Cusa era um padre alemão que se interessava por Geometria, Lógica e também por

Filosofia e Astronomia, mas foi Galileu quem deu esse nome à curva em 1599.

Os estudos sobre a ciclóide geraram polêmicas entre os matemáticos do século

XVII desde Mersenne (1588–1648) à família Bernoulli. Suas propriedades apresentam

tantas belezas e controvérsias matemáticas que a ciclóide passou a ser chamada de a

“Helena da Geometria” ou “Pomo da Discórdia”, intitulada dessa maneira pela

desarmonia gerada entre os matemáticos da época. Boyer conta que em 1615, Mersenne

tinha chamado a atenção dos matemáticos da época para a curva ciclóide. Em 1634

Mersenne propôs a Roberval (1602-1675) que estudasse a curva, o qual em 1634 pode

provar que a área sob um arco da curva é exatamente três vezes a área do circulo

gerador, em 1638 descobriu como traçar a tangente a curva em qualquer ponto,

problema que fora resolvido ao mesmo tempo também por Fermat e Descartes.

Ainda segundo Boyer em 1643 Torricelli (1608-1647), enviou a Mersenne a

quadratura da ciclóide, e em 1644 publicou uma obra intitulada De parabole que incluía

tanto a quadratura da ciclóide, quanto a construção da tangente. Ressalta-se o fato de

Torricelli não mencionar que Roberval havia chegado nesse resultado antes dele, e por

isso em 1646 Roberval escreveu uma carta acusando Torricelli de plágio, dele e de

Fermat, é relevante mencionar que isso fora um dos acontecimentos polêmicos gerados

4 Consiste em calcular o perímetro de polígonos inscritos e circunscritos de 12, 24, 48, e 96 lados,

chegando à conclusão de que o valor de π deve estar situado entre

e

(em notação decimal com

aproximação de duas casas eqüivale a dizer que π vale 3,14).



por essa curva, que merecidamente faz jus ao pseudônimo “Helena da Geometria” ou

“Pomo da Discórdia”.

Galileu (1564-1643) um dos primeiros a estudar a ciclóide propôs que arcos de

pontes fossem feitos com base em suas propriedades. Pascal por sua vez resolveu

problemas que relacionavam superfícies e volumes de revolução utilizando essa curva.

Jakob e Johann Bernoulli estudaram a curva do menor tempo sendo ela denominada

braquistócrona, que pode ser definida como segue. Dado dois pontos num plano

vertical, a alturas diferentes, é a trajetória que uma partícula material deve seguir no

plano para ir do ponto mais alto, ao ponto mais baixo no menor espaço de tempo

possível. Mostraram também que uma partícula material atinge um ponto dado da

trajetória num espaço de tempo que não depende do ponto de onde ela saiu, problema

esse chamado de problema da tautócrona, que também foi discutido por Huygens (1629-

1695) e Newton (1642-1727).

Também é relevante indagar qual o motivo dessas curvas serem tão pouco

trabalhadas e conhecidas na matemática atual.

3. Problema Novum, o desafio da Braquistócrona

Após o alvoroço que a ciclóide trouxe a sociedade matemática no decorrer do século

XV e XVII, Johann Bernoulli, professor de matemática em Gröningen e membro da

celebre revista Acta Eruditorum5, propôs como desafio que matemáticos determinassem

qual seria a curva de descida mais rápida. Desse modo, propôs em junho de 1696, o

seguinte problema:

PROBLEMA NOVUM,

ad cujus Solutionem Mathematici invitantur.

“Datis in plano verticali duobus punctis A et B, assignare mobili M viam AMB, per

quam gravitate sua descendens, et moveri incipiens a puncto A, brevissimo tempore

perveniant ad alterum punctum B.”

“Dados um plano vertical e dois pontos A e B sobre o plano, com A mais alto do que B,

e um ponto móvel M, determinar uma curva ao longo da qual uma partícula material

desliza no menor tempo possível de A até B, considerando apenas a ação da gravidade,

sem atrito”. (COELHO, 2008, p. 22)

5 Revista matemática fundada1682 na cidade de Leipzig por Otto Mencke e Gottfried Wilhelm Leibniz.



-

FIGURA 1: O problema da Braquistócrona6

Johann por sua vez noticiava possuir uma solução e provocava os matemáticos da

época para que em seis meses fizessem o mesmo, este receberia as glórias de sua

proclamação7.

Segundo Marques, Oliveira e Jafelice (2008, p. 256) em janeiro de 1697, Johann

publicou uma nova proclamação a qual mencionava que apenas Leibniz lhe comunicara

ter resolvido o desafio proposto. Frente a isso solicitou um adiamento do prazo até a

Páscoa para uma maior divulgação da questão junto do meio científico, o qual fora

aceito.

No decorrer do prazo foram apresentadas cinco soluções na Acta Eruditorum, de

1697, a do próprio Johann Bernoulli, a do seu irmão mais velho Jacob Bernoulli, a de

Leibniz, a de L’Hôpital e uma em anonimato, que posteriormente foi revelada ser de

Newton (idem).

Ainda segundo Marques, Oliveira e Jafelice (2008, p. 256), a ideia do problema

proposto por Johann era direcionar ao erro pela intuição, o percurso mais rápido de uma

esfera ao longo de um trajeto que una dois pontos a diferentes alturas, não é um plano

inclinado em linha reta como se pensa. A solução para esse problema é exatamente uma

das propriedades da ciclóide no caso a braquistócrona, nome dado por Galileu, que

havia se interessado por outras de suas propriedades no início de 1600.

4. Conclusão

Com base nesse trabalho espera-se conhecer mais sobre as curvas estudadas e não

estudadas na matemática escolar, as contribuições que a família Bernoulli e outros

matemáticos deixaram sobre os estudos das curvas iniciadas no séc. XVII, as disputas

6Fonte: A história dos problemas da tautocrona e da braquistócrona /

http://www.dominiopublico.gov.br/download/texto/cp056453.pdf

7 Que aquele que consiga solucionar este problema conquiste o prêmio que prometemos. Este prêmio não

é ouro nem prata (...) mas antes as honras, os elogios e os aplausos; (...) exaltaremos, pública e

privadamente, por palavra e por carta, a perspicácia do nosso grande Apollo.”Johann Bernoulli - proclamação de 1697. (MARQUES, OLIVEIRA, JAFELICE; 2008, p. 256)



matemáticas na época pelo reconhecimento matemático e as aplicações e propriedades

dessas curvas.

Na maioria das vezes o ensino da matemática é tratado como algo desinteressante

pelos alunos, o que pode ser explicado pelo fato de não estabelecerem um significado

histórico para o conhecimento matemático. Os alunos desconhecem como foi o

desenvolvimento científico e matemático de uma determinada época, como o homem

chegou a um dado conhecimento e as mudanças que este sofreu ao longo do tempo. Por

tudo isso, acredita-se que o conhecimento histórico pode ser uma poderosa ferramenta

na construção do conhecimento matemático.

5. Referências

ALENCAR, Hilário; SANTOS, Walcy. Geometria diferencial das curvas planas.

Disponível em:

<http://www.im.ufal.br/posgraduacao/posmat/download_files/Livro.Geometria.Difer

encial.das.Curvas.Planas02.07.2003.pdf>. Acesso: em 16 mai. 2011.

BOYER, Carl Benjamin, História da Matemática; tradução: Elza F. Gomide. São

Paulo, Edgard Blücher, 1974.

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braquistócrona. 2008. 106 f. Dissertação (Educação Matemática) - Instituto de

Geociências e Ciências Exatas, Universidade Estadual Paulista, Rio Claro, 2008.

Disponível em: <http://www.dominiopublico.gov.br/download/texto/cp056453.pdf>.

Acesso: em 16 mai. 2011.

CONTADOR, Paulo Roberto Martins. Matemática, uma breve história. 3 ed. São

Paulo: Livraria da Física, 2008.

CORRÊA, Wellington José. et al. Resolução do Problema da Braquistócrona usando o

Maple. (Ed) Simpósio Nacional de Ensino de Ciência e Tecnologia, 1, 2009. Ponta

Grossa, PR. Anais... Ponta Grossa: PPGECT / UTFPR, p. 1153-1167, 2009.

EVES, Howard. Introdução à história da matemática. Campinas, SP: Editora da

Unicamp, 2004.

GRABINSKY, Guillermo. La ciclóide. Disponível em: <http://laberintos.itam.mx/>.

Acesso em: 23 mar. 2011.

JUNIOR, José Ribamar A. de Souza. O cálculo variacional e o problema da

braquistócrona. 2010 44 f. Dissertação (Matemática) - Instituto de Geociências e

Ciências Exatas, Universidade Estadual Paulista, Rio Claro, 2010.

MARQUES, Danilo A. et al. Modelagem Matemática das Pistas de Skate. FAMAT em

Revista, 10, 2008, Uberlândia – MG, Universidade Federal de Uberlândia, p. 253 –

270, 2008. Disponível em: <http://www.cienciadoskate.com/paper/0278.pdf>.

Acesso em: 18 mai. 2011.

MENDES, Cláudio Martins. Curvas Parametrizadas. Disponível em:

<http://www.icmc.usp.br/~cmmendes/CalculoII/Calculo2Curvas.pdf >. Acesso em:

17 mai. 2011.



HISTÓRIA, TÉCNICAS E AS PROBLEMÁTICAS DO ENSINO

E APRENDIZAGEM DA DIVISÃO

Diogo Leandro Piano1, Daniel Zampieri Loureiro

1, Arleni Elise Sella Langer

2

1Acadêmicos do Curso de Matemática – Centro de Ciências Exatas e Tecnológicas da

Universidade Estadual do Oeste do Paraná 2Professora do Curso de Matemática, Mestra em Educação – Centro de Ciências Exatas

e Tecnológicas da Universidade Estadual do Oeste do Paraná

Caixa Postal 711 – 85.819-110 – Cascavel – PR – Brasil

[email protected]

Resumo: Este trabalho tem por objetivo apresentar conceitos históricos de alguns povos da antiguidade como os Babilônios e os Egípcios, acerca da divisão. Na

sequência serão apresentados também os diferentes tipos de problemas envolvendo

as técnicas de divisão como partilha, medida, comparação e o uso do método longo e o método breve. Busca-se também apontar questões que norteiam a

construção do conhecimento no que diz respeito às dificuldades de se aprender e

ensinar a divisão no âmbito escolar.

Palavras-chave: Divisão; Ensino; Aprendizagem.

1. Introdução

O frenesi pelo novo, pelas descobertas tecnológicas, pelos avanços científicos

fascina a humanidade nos dias atuais. Mas tão fascinante quanto o que se nota hoje

foram as descobertas e os avanços tanto nos campos da organização populacional, na

evolução do pensamento, na arte, na arquitetura, nas engenharias e acima de tudo nos

estudos matemáticos dos povos da antiguidade. Esses estudos tiveram importante

contribuição nos campos da geometria, da álgebra e da aritmética como as conhecemos

hoje.

Conhecer as técnicas e os processos utilizados para resolução das quatro

operações fundamentais pelos povos da antiguidade pode ser de grande relevância para

o ensino da matemática hoje. Muitas vezes o professor opta por não trabalhar algumas

passagens históricas do conteúdo da matemática perdendo dessa maneira a oportunidade

de compreender e transmitir a concepção inicial no processo de ensino e aprendizagem,

fazendo com que a manipulação simbólica fique mais ligada a memória do que aos reais

significados envolvidos na elaboração do conteúdo ensinado.

Buscamos assim investigar e compreender algumas técnicas utilizadas pelos

Babilônios e Egípcios para resolução do algoritmo da divisão. Para posteriormente

relacioná-las a alguma situação do ensino.

No que diz respeito aos conteúdos de matemática do ensino fundamental nada

causa mais terror nos professores menos preparados e nos alunos como a Divisão.



Muito se questiona sobre quando e em que etapa da vida escolar dos alunos deve ser

inserido tal conteúdo.

Mas instigar tipos de questionamentos dessa natureza é promover guerras

homéricas com educadores mais conservadores. As noções fundamentais de divisão

podem aparecer nos anos iniciais, não de maneira tão formal, mas sim, de forma a

moldurar as noções básicas de partição, já que muitos dos alunos aprendem a fazer a

divisão, utilizando o algoritmo, mas poucos entendem o processo.

Pretendemos nesse artigo apresentar algumas idéias sobre a divisão e seus

métodos de resolução, mostrar ainda como muitas vezes esse conteúdo acaba por ser

ensinado de maneira superficial, deixando uma lacuna no saber matemático de quem o

aprende.

2. Divisão na Antiguidade

Segundo [EVES, 2004], o aparecimento das primeiras formas de sociedade deu-se

às margens de grandes rios, como o Tigre e o Eufrates situados na Ásia e o Nilo na

África, em certas áreas do oriente antigo originou-se a matemática primitiva como uma

ciência prática que vinha contribuir para atividades ligadas à agricultura, a engenharia e

as práticas mercantis.

A Mesopotâmia é uma região situada, no vale dos rios Eufrates e Tigre. Habitada

inicialmente pelos sumérios, que desenvolveram um sistema de escrita, em torno do

quarto milênio a.C., que pode ser o mais antigo da história da humanidade, a escrita

cuneiforme. As antigas civilizações que habitavam o Sul da Mesopotâmia são

chamadas, frequentemente, de Babilônios.

Os babilônios criaram as primeiras tábuas de informação e de cálculo destinadas a

armazenar dados extraídos da observação astronômica embasados na disposição dos

astros no firmamento. Propagaram ainda seus métodos e operações aritméticas (adição,

subtração, multiplicação, divisão, potenciação, radiciação etc.), esses processos

aritméticos eram muitas vezes efetuados com a ajuda destas tábuas: de multiplicação, de

inversos multiplicativos, de quadrados e cubos e de exponenciais. As tábuas de inversos

eram usadas para reduzir a divisão à multiplicação, algumas dessas tábuas envolviam

problemas de geometria como os encontrados na tábua de Plimpton 3221 e na tábua

YBC 46522.

1 Tabula escrita no período babilônico antigo (aproximadamente entre 1900 e 1600 a.C.), os primeioros a

descrever seu conteúdo foram Neugebauer e Sachs em 1945. 2 Essa tábua faz parte da Yale Babylonian Collection da Universidade de Yale. É do antigo período da

Babilônia que vai de cerca de 2004 a 1595 a.C. A tábua continha originalmente 22 problemas dispostos

por grau de dificuldade, mas apenas 11 estão parcialmente conservados.



Figura 1: tábua YBC 4652

Fonte: História da Matemática no Egito /

http://www.ime.usp.br/~brolezzi/disciplinas/20062/mat341/grecianao.pdf

Figura 2: tábua Plimpton 322

Fonte: www.ime.usp.br/~leo/imatica/historia/babilonia.html

Quanto à civilização egípcia, desenvolveu-se no nordeste da África às margens do

rio Nilo, entre 3200 a.C. de extrema importância para a civilização egípcia o Nilo era

utilizado como via de transporte de pessoas e mercadorias, suas águas eram ainda

utilizadas para beber, pescar, irrigar as margens favorecendo a agricultura, mais nada foi

tão marcante nessa civilização quanto às contribuições matemáticas desse povo, foram

eles os responsáveis pela criação dos primeiros símbolos para representação

matemática.

Impulsionados pelas necessidades da vida cotidiana e em virtude das inundações

periódicas provocadas pelas enchentes do Nilo, que destruíam os marcos divisórios de

terra, os egípcios desenvolveram o estudo da geometria. Além da geometria

desenvolveram um sistema de numeração baseado no sistema decimal, símbolos

específicos representavam valores de 10 , 100, 1000, 10.000 e 100.000. Nos registros

encontrados por historiadores como no papiro de Rhind3 encontra-se uma tabela

3 O papiro Rhind tem data aproximada de 1650 a. C. É um texto matemático na forma de manual prático

que contém 85 problemas copiados em escrita hierática pelo escriba Ahmes de um trabalho mais antigo.



utilizada para transformações de frações gerais em somas de frações unitárias, esta

tabela mostra uma habilidade matemática por parte dessa civilização. Na divisão dos

egípcios o divisor é dobrado sucessivamente ao invés do multiplicando.

Uma das consequências do sistema de numeração egípcio é o caráter aditivo da

aritmética. Assim a multiplicação e a divisão eram em geral efetuadas por uma sucessão

de duplicações, com base no fato de que todo número pode ser representado por uma

soma de potências de 2.

Para a divisão egípcia é utilizada uma tabela com duas colunas, na primeira

coluna colocamos duplicações a partir do um, e na segunda coluna duplicações a partir

do divisor, e não tem necessidade de passar do valor do dividendo, por exemplo:

247 : 13

Primeira coluna: duplicação a partir do 1.

Segunda coluna: duplicação a partir do divisor 13 até o 208, pois o

próximo número seria 416, que é maior que 247, e não seria necessário.

Resultado: a soma dos correspondentes da segunda coluna, que somam

247, são: 13,26 e 208, sobre a primeira coluna, assim: 247 : 13 = 1 + 2 + 16

= 19

“O processo egípcio de divisão não só elimina a necessidade de

aprender uma tábua de multiplicação, como também, como também se amolda tanto ao

ábaco que perdurou enquanto esse instrumento esteve em uso e mesmo depois” (EVES,

1997, p.73)

3. Os diferentes tipos de problemas

Compreender um conceito matemático envolve diversos aspectos, sejam eles pela

maneira que são expostos aos alunos, ou pelas estratégias e/ou procedimentos de

resolução apropriados, não deixando de usar de representações diversas relacionadas ao

conhecimento sobre o número, quantidades e algoritmos. Isso se torna um dos desafios

essências e ao mesmo tempo uma das dificuldades principais no ensino da matemática,

fazer com que tenha sentido o que se ensina para o aluno.

Muitos dos alunos desenvolvem grande parte de sua aprendizagem recorrendo a

procedimentos próprios não deixando de ter uma construção de conhecimento ativa.

Para o professor é importante conhecer essas formas de construção perante

determinados desafios que lhe são propostos, levando em consideração inclusive as

estratégias que os alunos utilizam para resolvê-los. A divisão é uma operação

matemática comumente associada a dificuldades, tanto no ensino quanto na

aprendizagem, para amenizar tais situações podem ser utilizadas táticas que incluam os

diferentes tipos de divisão, como: partilha, medida e comparação. Dessa maneira

procuraremos ponderar conceitos envolvidos na divisão.

Tem cerca de dezoito pés de comprimento por cerca de treze polegadas de altura, embora não tenha sido

encontrado desta forma. É uma fonte primária rica sobre a matemática egípcia antiga; descreve os

métodos de multiplicação e divisão dos egípcios, o uso que faziam das frações unitárias, seu emprego da regra da falsa posição, sua solução para o problema da determinação da área do círculo e muitas

aplicações da matemática a problemas práticos.

1 13

2 26

4 52

8 104

16 208



3.1. Ideia da partilha

Em uma determinada situação vamos considerar o seguinte problema matemático.

Se eu tenho um pacote com doze balas e quero dividi-las entre quatro crianças a

resposta encontrada será três balas para cada criança ou em outra interpretação três

balas por criança. O que sugere a seguinte indagação: Por que a resposta não é dada

somente em balas ou em crianças?

Para responder essa indagação a idéia utilizada para esse tipo de operação,

relaciona o conceito de divisão como partilha. Por exemplo, dado o nosso pacote de

balas quero dividi-las entre mim e meu amigo e a pergunta a se fazer é a seguinte:

quantas balas para cada um de nós dois? Assim a resposta será tantas balas para cada

um de nós dois, sendo essa a noção de partilha. Então a partilha acontece quando estou

dividindo duas grandezas de tipos diferentes, nesse caso a grandeza balas está sendo

dividida pela grandeza crianças, logo o resultado será uma grandeza diferente das

iniciais, assim a resposta para esta questão será a grandeza balas por crianças que é

denominada taxa.

Mesmo sendo matematicamente menos simples os alunos usam-na desde cedo

visto que a contagem não é necessária para este processo, e sim predizer o tamanho de

determinadas partes a serem partilhadas.

Fazendo com que o aluno trabalhe de maneira intuitiva, para que com o passar do

tempo familiarize-se com processos algébricos mais avançados.

3.2. Ideia da medida

Em um determinado recipiente cabiam 96 bombons, sendo que cada caixa era

capaz de conter 8 bombons. Quantas caixas dessas seriam necessárias para embalar

esses 96 bombons? É fácil ver que o resultado seriam 12 caixas, mas o que levaremos

em consideração é o pensamento por trás dessa operação e o método para a resolução.

Temos que o resultado é dado em caixas, isso nos remete a perceber que a ideia

empregada para a resolução é a de medida. Essa ideia consiste em formar grupos de

determinados tamanhos. Nesse caso o resultado aparece exatamente com a mesma

grandeza utilizada na pergunta, no contexto, quantas caixas utilizadas para embalar os

bombons.

Na ideia de medida o tamanho do todo é conhecido e o tamanho de cada parte

também; a operação, busca encontrar a quantidade de partes com esse determinado

tamanho.

3.3. Ideia de comparação

Além das ideias de partilha e da medida existe ainda a ideia da comparação. Na

comparação a pergunta básica é quantas vezes a medida de uma determinada grandeza é

maior do que outra medida de mesma grandeza. Vamos explicar esse raciocínio

utilizando o mesmo exemplo dos bombons.

Imaginando uma caixa com 8 bombons e ainda uma outra maior com 96. Quantas

vezes a caixa com 96 bombons é maior do que a com 8 bombons? Para essa questão

devemos pensar em quantas vezes a caixa com 8 bombons caberá dentro da outra com



96 bombons, sendo que o resultado obtido será de 12 vezes. Esse resultado será

chamado de razão.

Esta ideia de divisão envolve problemas de maior complexidade, aconselhando-se

só em um período de maior maturidade apresentá-lo aos alunos e em contextos

compreensíveis para eles.

4. Métodos de resolução

4.1. O método longo

O método longo consiste em efetuar as divisões apresentando os cálculos que

estão sendo efetuados. A cada multiplicação realizada na chave (divisor) teremos um

número correspondente que será subtraído do dividendo, obedecendo a ordem da

esquerda para direita4. Cada um desses cálculos serão apresentados na conta que segue,

como exemplo:

7926 12

Podemos notar que todos os passos da divisão estão sendo apresentados,

percebamos que 12 cabe 6 vezes dentro de 79 o que resulta em 79 - 72, a subtração

resulta em 07 agora baixamos 2 do dividendo e obteremos o 72, assim 12 cabe 6 vezes

dentro de 72 efetuamos a subtração e obtemos zero, baixando 6 do dividendo não

podemos mais dividir 6 por 12, consequentemente colocamos zero na chave, logo nossa

resposta será 660 na chave com resto 6.

Dessa maneira o método tende a facilitar a compreensão do que está sendo

calculado na operação propiciando a visualização dos cálculos efetuados.

4.2. O método breve

O método breve ou curto se contrapõe o método longo, sendo que este apresenta

somente os restos das subtrações realizadas, ou seja, as subtrações feitas ao dividendo

são efetuadas mentalmente, como exemplo:

4237 24

4.3. Divisão por estimativa

Nas fases iniciais da construção do conhecimento do aluno, grande parte do tempo

utilizado no processo de ensino e aprendizagem da divisão, discussões, técnicas e

4 A divisão é a única operação realizada nessa ordem (esquerda para a direita).

- 72 660

- 72 72

06

183 176 157

13



métodos são postos em prática com a gana de buscar a melhor maneira de se ensinar

com sucesso esse conteúdo.

Durante muito tempo inflamavam-se embates sobre o uso dos métodos curto ou

longo, entre o ocultar os cálculos buscando um raciocínio matemático mais aprimorado,

ou apresentá-los visando facilitar sua compreensão.

Recentemente em meio às discussões de qual método utilizar ganha força um

método alternativo intitulado, divisão por estimativa. Por meio dele a ênfase se detém

no cálculo mental, já que a ideia principal do método é dividir e efetuar sucessivas

subtrações.

Por exemplo se queremos, dividir 192 balas por 12 crianças, começamos

distribuindo 10 balas para cada criança, e subtraímos do dividendo as 120 balas

necessárias para isso. Assim temos que sobram 72 balas, posso imaginar que isso

permite que eu distribua ainda 3 balas para cada uma das crianças. Assim terei mais

uma subtração de 36 balas do dividendo, restando ainda 36 balas para serem

distribuídas. Dessa forma percebendo ainda que dessas 36 balas, podemos ainda

distribuir 3 balas para cada criança finalizando assim a operação.

192 12

5. As dificuldades no ensino-aprendizagem da divisão

Há tempos indagações sobre as dificuldades de se ensinar e aprender matemática

gera discussões de grande relevância no cenário educacional. Ao questionarmos alunos

quanto a conteúdos ditos básicos, que deveriam ser “claros”, encontraremos respostas e

olhares aterrorizados, pondo a prova que tais conteúdos não são de tão fácil absorção, a

destacar a divisão.

O pavor desse conteúdo não surpreende somente alunos, mas ataca de maneira

incisiva o ego e orgulho dos professores. Poucos são aqueles que admitem a dificuldade

de ao ensinar esse conteúdo. Nem todos conseguem progredir da identificação da

dificuldade para a procura de alternativas, embora sejam nessa direção as sugestões de

[FREIRE, 2005]:

Quando vivemos a autenticidade exigida pela prática de ensinar-aprender participamos de uma experiência total, diretiva, política, ideológica,

gnosiológica, pedagógica, estética e ética, em que a boniteza deve achar-se de

mãos dadas com a docência e com a seriedade. (FREIRE, 2005, p.24)

As quatro operações deveriam ser de domínio total por parte daquele que as

ensina mais por vezes a divisão prega peças desagradáveis em sala de aula, deixando

muitas vezes os professores em verdadeiras situações constrangedoras. O ponto em

questão seria qual é o problema do ensino e aprendizagem da divisão?

Não há como negar que o ensino da divisão é por vezes cansativo e angustiante,

pois parece exigir conhecimentos prévios seja por parte do aluno, seja por parte do

10

+ 03

03

-120

72

-36

36

-36

0 não restaram balas

Cada criança recebeu 16 balas



professor, um emaranhado de conhecimento que por vezes é fraco, superficial e

defasado.

No decorrer do tempo escolar, aprender matemática esteve ligada ao ensino da

aritmética e isso gerava a falsa ideia de que saber matemática se resumia em saber a

tabuada e saber fazer contas, fato este que ainda se destaca na ideologia contemporânea

de muitas escolas.

Não basta apenas saber o algoritmo da divisão, deve-se instigar o aluno a ser

crítico, apontador de problemas, consciente e apto a reconhecer quando e em quais

situações do cotidiano a divisão pode ser útil. “Multiplicar e dividir deve envolver

situações em que os alunos possam lidar com grupos equivalentes, com a disposição

retangular, com razões, comparações e produtos cartesianos” [CARVALHO e

GONÇALVES, 2003, s.p.].

Com o intuito de minimizar a deficiência no ensino da divisão o professor pode

utilizar de artifícios diversos, que possibilitem ao aluno expandir seu raciocínio lógico.

Alguns desses artifícios foram apresentados no decorrer do artigo como por exemplo: a

ideia de partilha, de comparação, de medida e ainda o método longo e breve .

É necessário ficar claro que os problemas propostos em sala de aula pelos

professores, não deve expor os alunos somente a situações problemas onde o intuito

resuma-se a classificar qual ideia utilizar na resolução. Anseia-se que os alunos

expandam suas chances de resolução em diversos tipos de contextos sejam eles escolar

ou no cotidiano.

6. Considerações finais

As dificuldades no ensino e aprendizagem da operação de divisão estão longe de

serem solucionadas, seja pelo desinteresse dos alunos, seja pelo despreparo de alguns

professores ou por fontes de pesquisas escassas.

Cabe ao professor buscar maneiras diferenciadas, para instigar o aluno a derrubar

barreiras de preconceitos, que por inúmeras vezes, quando não sempre, impedem a

construção do conhecimento matemático.

O professor que realmente ensina, quer dizer, que trabalha os conteúdos no quadro da rigorosidade do pensar certo, nega, como falsa, a fórmula farisaica

do “faça o que mando e não o que eu faço”. Quem pensa certo está cansado

de saber que as palavras a que falta a corporeidade do exemplo pouco ou

quase nada valem. Pensar certo é fazer certo. (FREIRE, 2005, p. 34)

Um dos objetivos desse trabalho é mostrar o quão amplas são as ideias do

conteúdo da divisão, reflexos de povos que deixaram uma rica herança cultural,

incluindo a sua evolução, trazendo consigo mudanças na forma do pensamento

matemático, apresentando idéias e artifícios que com sabedoria podem e devem ser

utilizados em sala de aula.

Ressaltamos com veemência quão difícil foi encontrar material didático confiável,

para a elaboração desse artigo, o que mostra a complexidade de tal conteúdo. A divisão

pode parecer abstrata aos olhos dos alunos e aos olhos de alguns professores, o que

implica tanto esforço da parte de quem aprende quanto esforço da parte de quem a

ensina.

O que não se pode permitir é fechar os olhos para as dificuldades do ensino e

aprendizagem da divisão, “não podemos ser professores apenas por ser professores”,



devemos estar capacitados para ensinar certo e bem os conteúdos matemáticos,

buscando causar no aluno muito mais que curiosidades no ato de aprender, mas sim uma

realização que seja constituída de práticas e descobertas acerca da divisão.

7. Referências

CARVALHO, Alice; GONÇALVES, Henriqueta, Multiplicação e divisão: conceitos

em construção... Educação em Matemática nº 75, Novembro/Dezembro de 2003.

CORREIA, Carlos Eduardo Félix. Matemática, análise de erros e formação

continuada de professores polivalentes. São Paulo: Porto de ideias, 2010.

EVES, Howard. Introdução à História da Matemática. Campinas: Unicamp, 1997.

FREIRE, Paulo, Pedagogia da autonomia: saberes necessários à prática educativa. São

Paulo: Paz e Terra, 1996.

LUCHETTA, Valéria Oestete Jannis. História da matemática na Babilônia.

Disponível em: < http://www.ime.usp.br >. Acesso em: 06 abr 2011.

RIBEIRO, Dulcyene Maria, Historia da matemática no Egito. Texto não publicado

utilizado como subsídio na disciplina de História da Matemática, Licenciatura em

Matemática – UNIOESTE, 2011.

THEES, Andréa; LENNON Fábio. Resolução de equações algébricas. Disponível em:

<s3.amazonaws.com/ppt-download/equaes-algbricas-grupo-leibniz2797.ppt>.

Acesso em: 06 abr 2011



O teorema do ponto fixo de Banach e algumas aplicacoes

Andressa Fernanda Ost1 , Andre Vicente2

1Academica do Curso de Matematica - Centro de Ciencias Exatas e Tecnologicas -Universidade Estadual do Oeste do Parana - Cascavel - PR - Brasil

2Centro de Ciencias Exatas e Tecnologicas -Universidade Estadual do Oeste do Parana - Cascavel - PR - Brasil

andressa [email protected], [email protected]

Resumo. Neste trabalho estudamos o teorema do ponto fixo de Banach e algumasaplicacoes sobretudo na obtencao de solucao para sistemas de equacoes lineares, nademonstracao do teorema de Picard e na prova de resultados que garantem a existenciade solucoes para equacoes integrais.

Palavras Chaves. Teorema do ponto fixo de Banach, Analise Matematica.

1. IntroducaoEm diversos momentos, no estudo de aspectos referentes a Analise Matematica

e Aplicacoes, nos deparamos com resultados cujas demonstracoes envolvem o Teoremado Ponto Fixo de Banach. O fato interessante e que, alem de garantir a existencia eunicidade do ponto fixo, tal teorema fornece um processo iterativo que permite encontrarcomputacionalmente o ponto fixo e tambem estimar o erro de truncamento. Desta forma,ele torna-se uma importante ferramenta teorica e aplicada.

O objetivo central deste trabalho e apresentar o teorema do ponto fixo de Banach esua demonstracao, no entanto, destinaremos uma secao para a breve descricao de algumasaplicacoes. A primeira delas refere-se ao estudo de solucao para sistemas de equacoeslineares. A segunda aplicacao destina-se a demonstracao do teorema de Picard, o qual eum conhecido resultado que garante a existencia de solucao para um problema de valorinicial envolvendo uma equacao diferencial ordinaria. Por ultimo, aplicamos o teoremado ponto fixo de Banach ao estudo de equacoes integrais do tipo Fredholm e tambem deVolterra.

Os resultados contidos neste trabalho foram estudados pela academica num pro-jeto de iniciacao cientıfica. O trabalho esta dividido da seguinte forma: a secao 2 destina-se a demonstracao do teorema do ponto fixo de Banach e na secao 3 apresentamos asaplicacoes.



2. Resultado principalComo dito na introducao, nesta secao enunciaremos e demonstraremos o teorema

do ponto fixo de Banach, o qual segue abaixo.

Teorema 2.1 (Teorema do Ponto Fixo de Banach). Considere um espaco metrico X =(X, d), com X 6= ∅. Suponha que X e completo e seja f : X → X uma contracao emX . Entao f tem precisamente um ponto fixo.

Dem.: Vamos construir uma sequencia (xn)n∈N e mostrar que ela e de Cauchy, de modoque convirja no espaco completo X . Depois provaremos que o limite, x, e ponto fixo def e f nao possui mais pontos fixos.

Tomemos x0 ∈ X arbitrario e definimos uma sequencia iterativa (xn)n∈N daseguinte forma:

x0

x1 = f(x0)

x2 = f(x1) = f(f(x0))... =

...xn = f(xn−1) = f(f . . . (f(x0)) . . .).

Agora, provaremos que (xn)n∈N e de Cauchy. Pela definicao de contracao e observando adefinicao de (xn)n∈N temos:

d(xm+1, xm) = d(f(xm), f(xm−1))

≤ αd(xm, xm−1)

= αd(f(xm−1), f(xm−2))

≤ α2d(xm−1, xm−2)...

≤ αmd(x1, x0).

Assim, usando a desigualdade triangular e a formula da soma da progressaogeometrica obtemos, para n > m,

d(xm, xn) ≤ d(xm, xm+1) + d(xm+1, xm+2) + . . .+ d(xn−1, xn)

≤ αmd(x1, x0) + αm+1d(x1, x0) + . . .+ αn−1d(x1, x0)

= (αm + αm+1 + . . .+ αn−1)d(x0, x1)

= αm

(1− αn−m

1− α

)d(x0, x1).

Como 0 < α < 1, segue que 1− αn−m < 1, consequentemente

d(xm, xn) ≤αm

1− αd(x0, x1) (1)

para n > m. Agora, novamente usando o fato que 0 < α < 1, dado ε > 0 exite n0 ∈ Ntal que se m > n0 tem-se que

αm

1− αd(x0, x1) < ε. (2)



Portanto, se n > m > n0, entao de (1) e (2), segue que

d(xm, xn) < ε,

ou seja, (xn)n∈N e uma sequencia de Cauchy. Como X e completo concluımos que(xm)n∈N converge, digamos, xm → x, com x ∈ X .

Agora, vamos mostrar que este limite x e um ponto fixo da aplicacao f . Dadesigualdade triangular e da definicao de contracao temos

d(x, f(x)) ≤ d(x, xm) + d(xm, f(x)) ≤ d(x, xm) + αd(xm−1, x). (3)

Como xm → x, podemos fazer o segundo membro de (3) menor do que ε, para todoε > 0. Disto segue que d(x, f(x)) = 0, assim f(x) = x, ou seja, x e um ponto fixo de f .

Suponhamos agora que x′ tambem e ponto fixo de f , isto e, f(x′) = x′. Dadefinicao de contracao obtemos

d(x, x′) = d(f(x), f(x′)) ≤ αd(x, x′),

isto implica que d(x, x′) = 0, pois α < 1. Portanto x = x′, o que mostra que o ponto fixode f e unico.

�

3. Aplicacoes

Como dito anteriormente, neste trabalho tambem apresentamos algumasaplicacoes do teorema do ponto fixo de Banach. A primeira foi na demonstracao de umteorema que garante a existencia e unicidade de solucao para sistemas de equacoes lin-eares e como consequencia deste teorema obtem-se os metodos iterativos de Jacobi e deGauss-Seidel. Estes metodos, mediante hipoteses apropriadas, garantem a convergenciade uma sequencia iterativa para a solucao de sistema de equacoes lineares. O teorema quegarante a existencia e unicidade de solucao e:

Teorema 3.1. Sejam C = (cjk) uma matriz n× n e b = (b1, b2, . . . , bn)T dados. Se

n∑k=1

|cjk| < 1, (4)

para j = 1, 2, . . . , n, entao o sistema

x = Cx+ b,

com x = (ξ1, ξ2, . . . , ξn), possui uma unica solucao x. Esta solucao pode ser obtida comoo limite da sequencia iterativa (x(0), x(1), . . .), onde x(0) e arbitrario e

x(m+1) = Cx(m) + b,

para m = 0, 1, . . ..



Resumidamente a demonstracao consiste na construcao de um operador

T : X → Xx 7→ Tx = Cx+ b,

onde X e o espaco metrico Rn munido de metrica

d(x, y) = max1≤i≤n

|xi − yi|,

com x = (x1, x2, . . . , xn) e y = (y1, y2, . . . , yn). A condicao (4) garante que T e umacontracao. Maiores detalhes da demonstracao podem ser encontrados em [KREYSZIG,1978], pagina 309.

Na pratica o teorema acima e empregado para resolver sistemas da forma:

Ax = c,

onde A = (aij) e uma matriz n× n e c = (γ1, γ2, . . . , γn) e um vetor no Rn conhecidos.Decomposicoes apropriadas da matriz A nos levam aos dois metodos iterativos:

Iteracao de Jacobi:

ξ(m+1)j =

1

ajj(γj −

n∑k=1k 6=j

ajkξ(m)k )

onde ajj 6= 0 para j = 1, 2, . . . , n, que convergem para a solucao se

n∑k=1k 6=j

|ajk| < |ajj|. (5)

Iteracao de Gauss-Seidel

ξ(m+1)j =

1

ajj(γj −

j−1∑k=1

ajkξ(m+1)k −

n∑k=j+1

ajkξ(m)k )

onde ajj 6= 0 para j = 1, 2, . . . , n, que converge para a solucao se

n∑k=1

|cjk| < 1. (6)

As condicoes (5) e (6) estao associadas a (4).

Outra aplicacao do teorema do ponto fixo de Banach consiste na prova de um teo-rema de existencia e unicidade de solucao para um problema de valor inicial de primeiraordem, mais precisamente: {

x′ = f(t, x)x(t0) = x0

(7)

onde x0 e um ponto dado e f e uma funcao conhecida. Assim temos o teorema de Picard:



Teorema 3.1 (Teorema de Picard). Seja f contınua em um retangulo

R = {(t, x)|t− t0| ≤ a, |x− x0| ≤ b}

e portanto limitada em R, digamos

|f(t, x)| ≤ c

para todo (t, x) ∈ R. Suponha que f satisfaca a condicao Lipschitziana em R, comrespeito ao segundo argumento, isto e, existe uma constante k tal que para (t, x), (t, v) ∈R, tem-se

|f(t, x)− f(t, v)| ≤ k|x− v|.

Se

β < min

{a,b

c,1

k

}entao existe uma unica solucao de (7) no intervalo [t0 − β, t0 + β].

Dem.: Ver [KREYSZIG, 1978], pagina 315.

A ultima aplicacao apresentada refere-se ao estudo de existencia e unicidade desolucoes para algumas equacoes integrais, mais precisamente, no teorema de equacoesintegrais de Fredholm e de equacoes integrais de Volterra.

Uma equacao de Fredholm e uma equacao da forma

x(t)− µ∫ b

a

k(t, τ)x(τ)dτ = v(t) (8)

onde v e k sao funcoes conhecidas, µ uma constante real e x : [a, b]→ R e a funcao a serdeterminada. Usando o teorema do ponto fixo de Banach prova-se o seguinte resultado:

Teorema 3.2. Sejam k ∈ C([a, b]× [a, b]) e v ∈ C([a, b]). Se

|µ| < 1

c(b− a), (9)

onde |k(t, τ)| ≤ c, ∀ (t, τ) ∈ [a, b]× [a, b]. Entao existe uma unica solucao u : [a, b]→ Rde (8).


A hipotese (9) esta relacionada a hipotese de contracao do teorema do ponto fixode Banach.

Outra classe de equacoes integrais que sao estudadas com frequencia e cujademonstracao de resultados de existencia e unicidade esta associado ao teorema do pontofixo de Banach, sao as equacoes do tipo Volterra, ou seja, equacoes da forma:

x(t)− µ∫ t

a

k(t, τ)x(τ)dτ = v(t), (10)

onde k e v sao funcoes conhecidas. Assim temos o seguinte resultado:



Teorema 3.3. Sejam v contınua em [a, b] e k contınua na regiao triangular R do planotτ dado por a ≤ τ ≤ t, a ≤ t ≤ b. Entao a equacao (10) possui uma unica solucao em[a, b] para todo µ.


Note a diferenca entre as equacoes de Fredholm e Volterra, na primeira o limitesuperior da integral e uma constante b, e na segunda e uma variavel t, isto acarreta emuma hipotese sobre µ no primeiro caso que nao e necessario no caso das equacoes tipoVolterra.

Referencias

KREYSZIG, E. Introductory functional analysis with applications. Canada: John Wiley& Sons, 1978.

LIMA, E. L. Analise Real: Funcoes de uma variavel. IMPA, 10 ed., Rio de Janeiro, 2009.

LIMA, E. L. Espacos Metricos. IMPA, 4 ed., Rio de Janeiro, 2007.



Interação entre Escola Básica e Ensino Superior através do Projeto PIBID/Matemática/Foz

José Ricardo Souza1, Kelly Roberta Mazzutti Lübeck1, Renata Camacho Bezerra1

Elenice Ana da Silva de Alencar 2, Rosana Gagliotti de Dio3

1Colegiado do Curso de Matemática – Centro de Engenharias e Ciências Exatas

(CECE) da Universidade Estadual do Oeste do Paraná R. Tarquinio Joslin dos Santos, 1300, Pólo Universitário – Foz do Iguaçu – PR - Brasil

{josericardo1012, kellyrobertaml, renatacamachobezerra}@gmail.com 2Colégio Estadual Ipê Roxo, Rua Claudio Gonzales Gavilã, nº 83, Cidade Nova

Foz do Iguaçu – PR – Brasil [email protected]

3Colégio Estadual Barão do Rio Branco, Rua Silvino Dal Bó, nº 85, Polo – Centro Foz do Iguaçu – PR – Brasil [email protected]

Resumo: O objetivo deste artigo é apresentar as discussões e atividades desenvolvidas pelo Projeto PIBID/Matemática/Foz, em especial no que tange a análise da realidade de dois colégios públicos de Foz do Iguaçu, através da investigação realizada com o auxílio de seus Projetos Políticos Pedagógicos e de reuniões com docentes das escolas envolvidas. Os bolsistas do Programa realizaram a leitura e a reflexão acerca destes projetos para, a partir destes dados, fundamentar o plano de ações que visa intervir positivamente na qualidade do processo de ensino-aprendizagem destas instituições especificamente na área da matemática. Pode-se afirmar que as realidades, as aspirações e as dificuldades são singulares e que por este motivo um trabalho que objetive a melhoria da qualidade da educação deve considerar estas especificidades.

Palavras chave: Educação. Interação. Matemática.

1. Apresentação do Programa PIBID

Este artigo foi desenvolvido com a colaboração dos bolsistas acadêmicos1 que participam do Programa Institucional de Bolsa de Iniciação à Docência – PIBID/2011

1 Bolsistas PIBID: Aline Soares da Silva, Anne Karoline Assis Barbosa, Azuaite Aramis Schneider, Carlos Henrique Lange, César Henrique Santa Cruz do Carmo, Debora Daiana Klering Wiest, Evandro Carlos Andretti, Francisco Rafael Cáceres, José Guilherme Simion Antunes, Juliana Raupp dos Reis, Luciano Lucas Ramires, Maiara Aparecida Sassi Cristan, Marcos Castelli, Patrícia Farinéa da Rocha.



do curso de Licenciatura em Matemática da Unioeste, campus de Foz do Iguaçu. O projeto do PIBID é um programa apoiado pela Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior - CAPES.

Um dos grandes desafios apresentados para a atual “nova” sociedade, que alcançou status e reconhecimento como nova classe consumidora, a qual impulsionou o desenvolvimento deste país fazendo com que este atingisse o patamar de país emergente, diz respeito à melhoria da educação, em todos os seus níveis de ensino. Isto mostra que os desafios propostos para a educação requerem atenção de todos os eixos sociais. Em especial, a Universidade Estadual do Oeste do Paraná – UNIOESTE – através de seu Plano de Desenvolvimento Institucional (PDI), apresenta seus objetivos e metas enquanto instituição “formadora de saberes” e coloca como visão: “Ser reconhecida como uma universidade pública, de referência na produção e socialização do conhecimento, comprometida com a formação de profissionais para atuar com base em princípios éticos para o exercício da cidadania” (PDI, 2007, p. 4). Isto mostra a preocupação desta instituição com a formação comprometida de seus profissionais.

Sabendo que boa parte dos acadêmicos ingressantes nas licenciaturas abandona o curso e muitos concluintes não atuam como docentes na Educação Básica surgem então, dentro da Universidade Estadual do Oeste do Paraná, diversos projetos a fim de que esta situação seja superada. Dentre eles a instituição conta com o Programa Institucional de Bolsa de Iniciação à Docência (PIBID), apoiado pela Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior (CAPES) e a Diretoria de Educação Básica Presencial (DEB).

O PIBID têm dentre seus objetivos:

a) incentivar a formação de docentes em nível superior para a Educação Básica; b) contribuir para a valorização do magistério; c) elevar a qualidade da formação inicial de professores nos cursos de licenciatura, promovendo a integração entre a Educação Superior e a Educação Básica; d) inserir os licenciandos no cotidiano de escolas da rede pública de educação, proporcionando-lhes oportunidades de criação e participação em experiências metodológicas, tecnológicas e práticas docentes de caráter inovador e interdisciplinar que busquem a superação de problemas identificados no processo de ensino-aprendizagem; e) incentivar escolas públicas de Educação Básica, mobilizando seus professores como co-formadores dos futuros docentes e tornando-as protagonistas nos processos de formação inicial para o magistério; f) contribuir para a articulação entre teoria e prática necessárias à formação dos docentes, elevando a qualidade das ações acadêmicas nos cursos de licenciatura (BRASIL, 2010).

O PIBID, edital de 2011, desenvolvido pela Unioeste, através da Pró-Reitoria de Graduação – PRG – intitula-se “Vivências e Experiências nas Escolas: Construindo a Profissão Docente”, e aliados a este projeto são desenvolvidos vários subprojetos,



divididos nos cursos oferecidos pela instituição, como História, Química, Educação Física, Letras, Enfermagem e Matemática. Será sobre este último que trataremos mais detalhadamente.

O Subprojeto de Licenciatura em Matemática conta com um coordenador de área, 14 acadêmicos bolsistas de iniciação, dois supervisores docentes, um de cada colégio onde serão desenvolvidas as principais ações do projeto e, também, a equipe ainda conta com outros dois docentes da Unioeste.

As atividades iniciaram-se no mês de julho de 2011, e dentre os objetivos deste subprojeto está a inserção dos bolsistas em dois colégios públicos de Foz do Iguaçu: Colégio Estadual Ipê Roxo e Colégio Barão do Rio Branco para que haja a integração dos acadêmicos da graduação com o futuro ambiente de trabalho. A escolha destes colégios se deu por distintas razões. A localização geográfica (periferia e centro), a diferença de IDEB (embora os números aparentemente sejam próximos - 3,9 e 3,4 - estes números são resultados de vários indicativos e, portanto, muito significativos) e a modalidades de ensino médio distintas (enquanto uma oferece o ensino médio tradicional e EJA a outra oferece o ensino médio tradicional e a modalidade magistério e um curso de complementação pedagógica.

O PIBID dentro do curso de Matemática pretende atender a todos os níveis da Educação Básica, fazendo-o da seguinte maneira: as séries iniciais com alunos do magistério e as séries finais do ensino fundamental e o ensino médio com os próprios alunos dos colégios selecionados.

Nesta primeira etapa do projeto (PIBID/Matemática/Foz) dentre as leituras realizadas estão os Projetos Políticos Pedagógicos dos colégios, para que os acadêmicos e docentes conheçam as propostas pedagógicas das escolas de aplicação do projeto. Em nenhum momento o objetivo destas leituras foi à comparação entre os dois colégios, mas sim uma aguçada investigação de suas realidades, possibilidades, anseios e projetos, para que, ao compreender o histórico e a realidade de cada instituição, se possam conhecer as raízes dos problemas e dificuldades existentes nestes locais.

2. Caracterização das Instituições

Foram os resultados do Índice de Desenvolvimento da Educação Básica- IDEB os motivos primordiais para a escolha destas escolas para a participação no projeto, além é claro, da localização das instituições e de sua disponibilidade para com o desenvolvimento de projetos de formação de novos professores.

Segundo o MEC:

O Índice de Desenvolvimento da Educação Básica (IDEB) foi criado em 2007 para medir a qualidade de cada escola e de cada rede de ensino. O indicador é calculado com base no desempenho do estudante em avaliações do Inep e em taxas de aprovação. Assim, para que o IDEB de uma escola ou rede cresça é preciso que o aluno



aprenda, não repita o ano e frequente a sala de aula2.

De acordo com este parâmetro, que varia de zero a dez, utilizado pelo MEC para a avaliação da qualidade da educação, o Colégio Estadual Ipê Roxo tem nota 3,4 de acordo com a pesquisa realizada em 2009, sendo que a média do município de Foz do Iguaçu, em que esta instituição está inserida, é de 3,9, no mesmo período. A nota está abaixo da média paranaense que é de 4,1, em se tratando de Anos Finais do Ensino Fundamental e 3,9 com relação ao Ensino Médio.

No caso desta instituição existem fatores externos que refletem no seu resultado no IDEB, principalmente fatores sócio-econômicos e culturais, o que decorre desde a sua fundação. A instituição está localizada no bairro Cidade Nova, que surgiu de um projeto de desfavelamento e sua comunidade é formada basicamente por famílias de baixa renda, encontrando-se aí diversos problemas de ordem social e econômica que indubitavelmente afetam o ambiente escolar, já que muitos alunos do colégio ficam sozinhos durante o dia, estando vulneráveis a atividades ilícitas.

A escola está consciente de que os problemas extra-escolares afetam o desenvolvimento de seus alunos e que “além dos problemas sociais que a comunidade apresenta, existe ainda a falta de acompanhamento da vida escolar por parte das famílias, influenciando nos grandes índices de reprovação e evasão escolar” (PPP Ipê Roxo, 2011, p.5) e, portanto, direciona suas ações através de projetos que visam minimizar tais dificuldades, oportunizando novas e mais valiosas experiências.

O Colégio Barão do Rio Branco, localizado na área central de Foz do Iguaçu atende além dos Anos Finais do Ensino Fundamental e Médio, também a modalidade profissionalizante magistério e a de Educação para Jovens e Adultos – EJA – e, por este motivo, possui uma clientela formada por muitos alunos trabalhadores e, além disso, oriunda de países que fazem fronteira com o Brasil.

O Colégio Barão do Rio Branco atingiu a nota 3,9 no período observado de 2009 e, portanto, encontra-se dentro da média municipal, porém ainda abaixo da média estadual. A principal causa de preocupação com relação a esta nota é que a instituição é um centro formador de docentes da Educação Infantil e Anos Iniciais do Ensino Fundamental da região, pois oferece o curso de Magistério, adquirindo assim, um papel relevante na própria qualidade de educação básica do município.

Não faz parte do objetivo deste trabalho julgar os meios em que ocorrem as avaliações do MEC, nem mesmo se o IDEB é uma fonte confiável como quantificador da qualidade da educação básica brasileira, porém, dentro do PPP do Colégio Barão do Rio Branco, fica evidente uma ressalva em relação a este quantificador que o IDEB concede aos colégios. A escola afirma que:

Uma questão que consideramos primordial está relacionada ao entendimento de qualidade de ensino que se vincula a concepção

2 Disponível em: <http://portal.mec.gov.br/index.phpoption=com_content&view=article& id=180&Itemid=336. Acessado em 01/08/2011, às 08:05 horas.



tradicional e conservadora de educação, cuja qualidade é medida mediante provas e exames individuais que não consideram o processo e sim os resultados finais, desconsiderando as condições de escola (salas de aula lotadas, espaço físico por vezes inadequado, pouca segurança), currículo, avaliação, as condições de trabalho (falta de professores e funcionários, salários insuficientes) e a formação dos profissionais em educação dentre outros. (PPP Barão do Rio Branco, 2011, p. 13).

Transparece através destas inquietações apresentadas pela escola que possivelmente a avaliação dos parâmetros de qualidade é inadequada por desconsiderar os vários aspectos relacionados com o processo de ensino-aprendizagem

Destacamos, ainda, que o colégio Barão do Rio Branco manteve a modalidade magistério no final dos anos 90 e começo dos anos 2000 através de iniciativas e luta da comunidade escolar, mesmo contrariando a legislação vigente que decretou o fim do ensino médio profissionalizante. Esta fase marcou o colégio no sentido da capacidade crítica de sua comunidade escolar, tornando-o um colégio líder nas lutas de sua classe.

3. Conclusões

O trabalho se encontra ainda em seus primeiros passos, a partir do conhecimento das realidades singulares das escolas participantes, pretendemos direcionar as atividades deste subprojeto para auxiliá-las na superação de suas dificuldades específicas da área de matemática e consideramos essencial conhecermos os anseios das escolas participantes para que o trabalho seja participativo/colaborativo.

O Programa Institucional de Bolsa de Iniciação à Docência, tem o intuito de aproximar o acadêmico com o seu futuro ambiente de trabalho, fazendo com que a equipe de 14 participantes influencie e contribua diretamente na realidade escolar, com a elaboração de atividades diferenciadas que chamam a atenção do aluno e fazem com que eles sejam participantes ativos na construção do conhecimento.

Ao final da realização desse projeto, pretendemos transformar a realidade escolar das duas instituições envolvidas (Colégio Estadual Ipê Roxo – Ensino Fundamental e Médio e Colégio Estadual Barão do Rio Branco – Ensino Fundamental, Médio, Normal e Profissional) para que estas possam melhorar a qualidade da educação oferecida aos alunos, principalmente no tocante a matemática, bem como aprimorar o aprendizado no que diz á nossa formação superior, Licenciatura em Matemática.

4. Referências

PPP - Ipê Roxo , Projeto Político Pedagógico do Colégio Estadual Ipê Roxo – Ensino

Fundamental e Médio. Foz do Iguaçu, 2011.

PPP- Barão do Rio Branco. Projeto Político Pedagógico do Colégio Estadual Barão

do Rio Branco – Ensino Fundamental, Médio, Normal e Profissional. Foz do Iguaçu,



2011.

PARANÁ. Resolução nº 114, de 20 de dezembro de 2007. Aprova o Plano de

Desenvolvimento Institucional da Unioeste – PDI. Cascavel, 20 de dez. de 2007.

BRASIL. Portaria nº 260, de 30 de dezembro de 2010. Aprovar as normas do

Programa Institucional de Bolsa de Iniciação à Docência – PIBID. Coordenação De

Aperfeiçoamento De Pessoal De Nível Superior – CAPES. Brasília, 30 de dez. de 2010.



Aplicação de programação linear binária a um problema de distribuição de tarefas.

Diogo Leandro Piano1, Amarildo de Vicente2

1Acadêmico do Curso de Matemática – Centro de Ciências Exatas e Tecnológicas da Universidade Estadual do Oeste do Paraná

[email protected] Professor do Curso de Matemática – Centro de Ciências Exatas e Tecnológicas da

Universidade Estadual do Oeste do ParanáCaixa Postal 711 – 85.819-110 – Cascavel – PR – Brasil

[email protected]

Resumo. Este trabalho tem por objetivo apresentar conceitos sobre programação linear inteira utilizando uma aplicação em um problema de sequenciamento de tarefas. Busca-se também mostrar como a programação linear é útil em situações práticas que podem surgir em indústrias proporcionando assim, economia e maiores ganhos.

Palavras chaves. Programação linear, sequenciamento, otimização.



1. IntroduçãoAtualmente, um ramo muito explorado por pesquisadores é a programação matemática. Dentre as linhas de pesquisa que envolvem programação matemática podemos destacar a programação linear(PL), que possui ampla aplicação prática. Com o desenvolvimento de pesquisas nesta área, desde a última metade do século passado têm sido desenvolvidos algoritmos de programação linear eficientes e adequados para a resolução de uma ampla variedade de problemas envolvendo ações de decisão em várias áreas, especialmente em casos em que se trabalha com variáveis quantificadas.

Como exemplos de aplicação desse modelo podemos citar: o sequenciamento na distribuição e produção de produtos; a seleção de alimentos que pessoas devem utilizar de maneira que atenda a quantidade de nutrientes e o menor custo; a aplicação em rotas de transporte para que façam a entrega em menor tempo e custo possível; a organização agrícola, para que se escolham os alimentos a serem plantados de modo que respeitem as características do solo, do mercado comprador e dos equipamentos disponíveis; o planejamento de curto prazo em aproveitamento hidroelétrico; a localização de industrias para que seus gastos na entrega de produtos sejam minimizados, entre outras aplicações. Um aspecto positivo que também deve ser considerado é o fato de a programação linear ser uma teoria de otimização significativamente completa, contando com códigos para computadores que podem suportar problemas de grandes dimensões.

Neste trabalho será feita uma aplicação de programação linear inteira em um problema de sequenciamento de tarefas.

2. Embasamento teóricoDe acordo com Goldbarg e Luna (2005), temos um problema de programação linear inteira (PLI), quando todas as variáveis do modelo para a resolução do problema não podem assumir valores contínuos, sendo possível somente a utilização de valores discretos.

Alguns exemplos clássicos de programação linear inteira que surgem na literatura são: o problema da mochila e o problema do caixeiro viajante. O problema do caixeiro viajante consiste em um caixeiro que tenha de visitar n cidades diferentes, iniciando e encerrando sua viagem na primeira cidade. Suponha, também, que não importa a ordem com que as cidades são visitadas e que de cada uma delas pode-se ir diretamente a qualquer outra. O problema procura descobrir a rota que torna mínima a viagem total. O problema da mochila tem por objetivo encher uma mochila sem ultrapassar um determinado limite de peso, sendo que o produto carregado seja de maior valor.

Pode-se dizer que uma das mais importantes aplicações da programação linear inteira envolve os problemas de sequenciamento de tarefas. Existem várias abordagens sobre este tema. Uma delas, que será tratada neste trabalho, é conhecida como flow-shop permutacional. Este processo consiste na seguinte formulação: suponha que se deseja fazer a configuração de m máquinas distintas, sendo que elas realizarão um conjunto de n diferentes tarefas em uma determinada ordem. O tempo gasto para o processamento de todas as tarefas depende da ordem em que elas são processadas, pois cada tarefa a ser realizada nas máquinas necessita de tempos diferentes e dependendo da sequência de realização das tarefas não haverá a melhor utilização do tempo.



Portanto, quando é realizada a programação da produção em um problema desta natureza, decide-se a ordem de processamento das tarefas em cada máquina, de forma a minimizar o tempo de processamento de todas as tarefas.

3. Material e metodologiaO problema que está sendo discutido tem por objetivo utilizar um modelo de programação linear inteira a fim de fazer uma distribuição de tarefas em m máquinas em série, sendo que estas tarefas devem ser executadas em uma certa sequência de operações, de forma que o tempo de execução total das mesmas seja o menor possível.

Este problema pode ser resolvido usando o seguinte modelo de programação linear inteira:

Minimizar zsujeito a:z≥x i , m , i=1,2,..., n ,

x i , j1−t i , j1≥ x i , j , i=1,2,..., n , j=1, 2, ..., m−1 ,

x i ,1≥ti ,1 , i=1,2,... ,n ,

x i , j−ti , j≥xk , j−M 1− y j , i , k ,xk , j−t k , j≥x i , j−M y j ,i ,k ,j=1,2,... ,m , i=1, 2,... ,n−1, k=i1,2, ... ,n , y j ,i , k binária.

Para exemplificar a ideia do problema será feita uma ilustração considerando o número de máquinas m = 3 e o número de atividades n = 3. A seguir temos um quadro que contém os tempos de processamento (em minutos) de cada atividade em determinada máquina.

Quadro 1: tempos de processamento em cada máquina.

MÁQUINAS

ATIVIDADES M1 M2 M3

A1 3 2 1

A2 3 3 4

A3 1 4 2

Exemplo 1: Para os tempos no quadro acima, se pegarmos por exemplo a sequência de atividades na ordem A1, A2, A3, temos que o tempo total de processamento das atividades nas três máquinas é igual a 15 minutos.

Aplicando-se o modelo anterior para resolver este problema conclui-se que a melhor sequência é A3, A2, A1, cujo tempo total de processamento é de 13 minutos.



4. ConclusãoSe utilizarmos um algoritmo de resolução para a otimização de certo problema como o exposto no trabalho, pode-se ter uma boa economia de tempo no processamento de uma sequência de tarefas. Por exemplo, comparando-se o resultado da ilustração exposta que é de 13 minutos com o tempo gasto no exemplo 1, tem-se uma redução de aproximadamente 13%. Podemos até pensar que essa quantidade de economia é pequena, mas quando aplicado a um problema com uma quantidade de variáveis mais elevada, tem-se valores muito mais consideráveis de economia no processamento das tarefas.

5. ReferênciaGOLDBARG, Marco Cesar; LUNA, Henrique Pacca Loureiro. Otimização

combinatória e programação linear. 2ª Ed. Rio de Janeiro: Campus, 2005.



Analise estatıstica de dados de medidas repetidas provenientesde um experimento para avaliar a qualidade pos-colheita de

banana Prata - Ana ∗

Simone Silmara Werner Gurgel do Amaral1 , Sara Regina Kulzer 2 ,Simone Aparecida Miloca2 , Silvia Renata Machado Coelho 2 ,

Cesar Goncalves de Lima 1

1Departamento de Ciencias ExatasLCE-ESALQ-USP

Avenida Padua Dias, 11 - 13418900 - Piracicaba - SP - Brasil

2Centro de Ciencias Exatas e TecnologicasUniversidade Estadual do Oeste do Parana

85819-110 - Cascavel - PR - [email protected], [email protected], [email protected]

Resumo. A banana e uma fruta consumida em todo o mundo, que devido ao seupadrao respiratorio e altamente perecıvel, de forma que tecnicas de armazemento desteproduto sao objeto de estudo de inumeros trabalhos. O objetivo deste trabalho e apre-sentar uma analise estatıstica de dados de um experimento para verificar a qualidadede banana Prata-Ana durante o armazenamento. Os dados foram obtidos de um ex-perimento realizado para testar o efeito de diferentes imersoes nas modificacoes fısico-quımicas do fruto em 10 diferentes ocasioes. O modelo empregado foi o de parcelassubdivididas no tempo que e o modelo mais simples para o caso de medidas repetidas.Inicialmente foram realizados os testes de normalidade, e de esferecidade da matriz devariancias de forma a satisfazer as pressuposicoes do modelo. A analise realizada per-mitiu identificar diferencas de comportamento entre o grupo Testemunha e os demaisno decorrer do tempo.

Palavras Chaves. armazenamento, parcelas subdivididas no tempo, teste de esfereci-dade de Mauchly.

1. Introducao

A banana e a fruta mais consumida no mundo, e altamente energetica e uma im-portante fonte de vitaminas e sais minerais. A producao brasileira e a segunda em nıvel

∗Este trabalho e parte da monografia (Licenciatura em Matematica) do primeiro autor



mundial, mas apresenta altos ındices de perdas na pos-colheita. A sua fase de amadu-recimento e marcada por um grande aumento na taxa respiratoria e producao de etileno,o que caracteriza o fruto como climaterico, e o torna altamente perecıvel (CHITARRAe CHITARRA, 2005). No sentido de se obter uma melhor uniformizacao do grau deamadurecimento do fruto, alguns tratamentos podem ser aplicados as frutas logo apos acolheita.

O objetivo deste trabalho e apresentar uma analise estatıstica de dados de umexperimento para verificar a qualidade de banana Prata-Ana durante o armazenamento.

No sentido de se fazer uma analise estatıstica correta, faz-se necessario um conhe-cimento teorico que possibilite sua aplicacao bem como o conhecimento teorico do pro-blema a ser estudado. No estudo do armazenamento de um produto, por exemplo, deve-seconsiderar que ele sera realizado no decorrer do tempo, caracterizando um experimentocom medidas repetidas, e para isso, o planejamento alem do delineamento experimentalum esquema de distribuicao no tempo. Nesse caso, e razoavel considerar que exista umacorrelacao entre as diferentes observacoes feitas em uma mesma unidade experimental,de forma que o modelo linear classico nao e adequado neste caso, por pressupor a inde-pendencia entre observacoes. O modelo mais simples para ensaios com medidas repetidase o modelo de parcela subdividida, dado por:

yijk = µ+ αi + γij + βk + (αβ)ik + εijk (1)

na qual yijk e o valor observado para a variavel resposta; µ e uma constante comum a todasas observacoes; αi e o efeito do i-esimo tratamento, γij e o erro associado as parcelas comγij ∼ N(0, σ2

a) ; βk e o efeito do k-esimo tempo ; (αβ)ik e o efeito da interacao doi-esimo tratamento com o k-esimo tempo e εijk e o erro associado as subparcelas, comεijk ∼ N(0, σ2). Ao considerarmos tal modelo, aplicamos nas parcelas os nıveis dofator primario na qual sao tomadas medidas repetidas em ocasioes sucessivas (o fatorsecundario e o tempo), e admite-se que essas medidas tomadas em ocasioes distintas temvariancias homogeneas e sao igualmente correlacionadas, o que nem sempre ocorre napratica.

De acordo com Huynh e Feldt (1979) uma condicao necessaria e suficiente paraque possa ser empregada a analise de variancia univariada no esquema de parcelas sub-divididas para um experimento com medidas repetidas, e que a matriz de covarianciasentre os tempos satisfaca a condicao de esfericidade ou circularidade, o que e equivalentea especificar que as variancias entre pares de erros sejam todas iguais. Para testar talcondicao, Mauchly (1940) propos o teste de esfericidade que verifica se uma populacaonormal multivariada apresenta variancias iguais e correlacoes nulas. Caso o teste de esfe-ricidade de Mauchly resulte em nao significativo, conclui-se que a matriz de covarianciase do tipo esferica podendo o experimento ser analisado na forma de parcela subdivida;caso contrario recomenda-se o uso da analise multivariada de perfis, ou a utilizacao daanalise univariada adotando-se modelos mistos que permitem a incorporacao de estruturasmais complexas para matriz de covariancias, sendo o modelo de parcelas subdivididas umcaso particular de modelos mistos (De KETELAERE, et al.,2003).

Dentre os muitos programas disponıveis para realizacao da analise de medidasrepetidas, o software R (R Development Core Team, 2009), que e um software livre,conta com a colaboracao de inumeros pesquisadores renomados de todo o mundo. Este eo software utilizado neste trabalho.



2. Material e Metodos

Os dados utilizados neste trabalho sao provenientes de um experimento realizado noLaboratorio de Saneamento da UNIOESTE, Campus Cascavel, no ano de 2007. Pararealizacao do mesmo foram utilizadas bananas do cultivar Prata Ana, provenientes dopomar nao comercial localizado no municıpio de Corbelia, aleatoriamente agrupadas emvinte parcelas, formadas por dez subparcelas, sendo a subparcela formada por um fruto,totalizando duzentos frutos. As bananas foram submetidas a cinco tratamentos, que con-sistiram na imersao dos frutos em diferentes solucoes:

T - (Testemunha) agua clorada a temperatura ambiente durante tres minutos.OS5% - oleo de soja na concentracao de 5% durante tres minutos.OSL5% - oleo de soja na concentracao de 5%, acrescido de leite em po, durantetres minutos.OS10% - oleo de soja na concentracao de 10% durante tres minutos.OSL10% - oleo de soja na concentracao de 10%, acrescido de leite em po, durantetres minutos.

Para cada um dos tratamentos foram utilizadas quatro parcelas, avaliadas em 10 ocasioes,sendo a primeira delas realizada imediatamente apos a aplicacao dos tratamentos (Tempo0) e as seguintes realizadas a cada dois dias (Tempo 2, Tempo 4, Tempo 6, Tempo 8,Tempo 10, Tempo 12, Tempo 14, Tempo 16, Tempo 18). Em cada uma das ocasioesos frutos foram avaliados quanto a Acidez Total Titulavel (ATT) (SILVA et al., 1996),expressa em g de acido malico 100−1 g da amostra e Solidos Soluveis Totais (SST) porleitura refratometrica direta em ◦Brix (MEDINA, 2004), sendo a relacao SST/ATT obtidapelo quociente entre essas variaveis.

Para verificar a normalidade dos dados utilizou-se o teste de Normalidade deKolmogorov-Smirnov por meio da funcao ks.test do pacote stats, e para verificar a ne-cessidade de transformacao utilizou-se a funcao boxcox disponıvel no pacote MASS.

Para verificar a possibilidade de utilizacao do modelo de parcela subdividida notempo, utilizou-se o teste de esferecidade de Mauchly, por meio da funcao mauchly.testtambem disponıvel no pacote stats. Sendo a condicao de esferecidade satisfeita utilizou-se o pacote dae para realizar o ajuste do modelo apresentado na expressao 1 em que yijk eo valor observado para a variavel SST/ATT na escala transformada; µ e uma constantecomum a todas as observacoes; αi e o efeito da i-esima imersao, γij e o erro associadoas parcelas; βk e o efeito do k-esimo tempo ; (αβ)ik e o efeito da interacao do i-esimaimersao com o k-esimo tempo e εij e o erro associado as subparcelas. Nesse caso temosi = 1, ..5, k = 1, 2, ..., 10, j = 1, ..., 4.

No programa R o erro associado as parcelas e especificado como Error(parcela)e o erro associado as subparcelas nao precisa ser especificado pois resultara da diferencaentre a variabilidade total e a variabilidade especificada no modelo. Para verificacao doefeito principal de imersoes, que foi aplicado as parcelas utilizou-se o erro associado aparcela, e para verificar o efeito do tempo e da interacao tempo×imersoes utilizou-seo erro associado as subparcelas. Para o efeito significativo da interacao, o que indicauma relacao de dependencia entre os dois fatores, deve-se utilizar o resıduo associado assubparcelas como denominador do teste F para verificar o efeito do tempo em cada umadas imersoes, e para verificar o efeito das imersoes em cada tempo deve-se utilizar umacomposicao dos erros (BARBIN, 2003) dada por:



QMErro∗ =QMErro(A) + (b− 1)QMErro(B)

b(2)

em que QMErro(A) representa o quadrado medio do resıduo associado as parcelas;QMErro(B) representa o quadrado medio do resıduo associado as subparcelas; b repre-senta o numero de nıveis do fator aplicado as subparcela, nesse caso ocasioes. O Erroobtido por meio da expressao 2 esta associado a p graus de liberdade, o qual pode sercalculado pela formula de Sattertwait:

p =[QMErro(A) + (b− 1)QMErro(B)]2

QMErro(A)2

nA+ [(b−1)QMErro(B)]2

nB

(3)

em que nA e o numero de graus de liberdade associado ao Erro(A), e nB e o numero degraus de liberdade associado ao Erro(B).

3. Resultados

Ao realizar o teste de normalidade para os dados referente a relacao SST/ATT, obteve-se p-valor < 0, 0001, indicando a necessidade de tentar uma transformacao de variavel.A Figura 1 da esquerda apresenta o grafico boxcox e o intervalo sugerido para λ, emque λ representa o parametro da transformacao de box cox. Nesse caso optou-se pelatransformacao y0.55, sendo novamente realizado o teste de Kolmogorov-Smirnov. O p-valor = 0,4171 sugere que os dados da variavel transformada tem distribuicao normal.O qq-plot da variavel transformada (Figura 1) indica uma boa aderencia a distribuicaonormal.

Figura 1: Grafico boxcox para a variavel original e grafico normal de probabili-dades para a variavel transformada

A figura 2 apresenta uma visao geral dos dados na escala transformada em funcaodos tratamentos empregados, e dos tempos de avaliacao. Ao realizar o teste de Mauchlyobteve-se o valor p = 0, 6229, indicando que a matriz de covariancia nesse caso e daforma esferica podendo ser empregado o modelo de parcela subdividida no tempo.



Figura 2: Perfis medios de SST/ATT (escala transformada) por imersao, ao longodo tempo.

Conforme observa-se na tabela 1, houve efeito significativo da interacao, bemcomo dos efeitos principais dos fatores Imersoes e Tempo. A tabela 2 apresenta os valoresobtidos para os Quadrados Medios, F calculados e valor p para o desdobramento dostempos em cada uma das imrsoes empregadas. Observa-se que o efeito do tempo apenasnao foi significativo para o grupo Testemunha, com p = 0.3092, para os demais gruposo efeito do tempo foi significativo, indicando que houveram diferencas entre os valoresmedios observados da variavel SST/ATT transformada com decorrer do tempo.

Tabela 1: Analise de Variancia para a variavel (SST/ATT)0,55 utilizando o modelode parcela subdividida no tempo

Causas de Variacao g.l. Quadrado Medio F Calculado valor pImersoes 4 17.36 17.68 < 0.0001Erro (Parcela) 15 0.99Tempo 9 40.252 25.26 < 0.0001Imersoes:Tempo 36 3.30 2.07 0.0015Erro (Subparcela) 135 1.59

Tabela 2: Analise de Variancia do desdobramento do tempo em cada uma dasimersoes para a variavel (SST/ATT)0,55 utilizando o modelo de parcelasubdividida no tempo

Causas de Variacao g.l. Quadrado Medio F Calculado valor pTempo(T) 9 1.89 1.19 0.3092Tempo(OS5%) 9 9.73 6.11 < 0.0001Tempo(OSL5%) 9 13.19 8.27 < 0.0001Tempo(OS10%) 9 14.45 9.06 < 0.0001Tempo(OSL10%) 9 14.20 8.91 < 0.0001

T: Testemunha, OS: Oleo de Soja e OSL: Oleo de Soja + Leite



A tabela 3 apresenta os valores resultados obtidos para o desdobramento dasImersoes em cada ocasiao. O QMErro∗ utilizado como denominador da estatıstica F,foi o valor 1, 53 com 148 graus de liberdade. Foi observado efeito das imersoes nos tem-pos 6, 10, 12, 14 e 18. No tempo 0 nao foi observado efeito significativo das imersoeso que indica que os grupos eram iguais no inıcio do experimento. Os resultados do testede Tukey para comparacao das medias das imersoes em cada tempo esta apresentado natabela 4.

Tabela 3: Analise de Variancia do desdobramento das imersoes em cada umadas ocasioes para a variavel (SST/ATT)0,55 utilizando o modelo deparcela subdividida no tempo

Causas de Variacao g.l. Quadrado Medio F Calculado valor pImersoes(Tempo0) 4 0.788 0.52 0.7248Imersoes(Tempo2) 4 1.534 1.00 0.4082Imersoes(Tempo4) 4 1.836 1.2 0.3133Imersoes(Tempo6) 4 7.648 5.00 0.0008Imersoes(Tempo8) 4 2.817 1.84 0.1239Imersoes(Tempo10) 4 4.849 3.17 0.0156Imersoes(Tempo12) 4 8.302 5,43 0.0004Imersoes(Tempo14) 4 9.498 6.21 0.0001Imersoes(Tempo16) 4 1.605 1.05 0.3841Imersoes(Tempo18) 4 8.195 5.36 0.0005

Tabela 4: Medias de (SST/ATT)0.55 por imersao e por ocasiao.

ImersoesOcasioes T OS5% OSL5% OS10% OSL10%Tempo 0 4.97 4.04 4.58 5.12 4.34Tempo 2 5.29 5.73 4.56 5.37 6.24Tempo 4 5.15 5.94 4.77 5.53 4.19Tempo 6 6.04b 7.81ab 7.91ab 6.19b 9.38a

Tempo 8 7.28 6.81 7.40 8.98 8.07Tempo 10 5.56b 7.35ab 7.70ab 8.45a 7.93ab

Tempo 12 6.22b 9.23a 9.68a 9.62a 8.95a

Tempo 14 6.20c 7.74bc 8.41ac 10.21a 9.37ab

Tempo 16 6.04 6.89 7.64 6.59 7.38Tempo 18 5.38b 9.02a 8.40a 8.46a 7.59ab

Letras diferentes nas linhas indicam diferenca significativa (Tukey: α = 5%)

4. Conclusoes

O modelo de parcelas subdividida no tempo ajustou-se aos adequadamente aos dadosutilizados neste trabalho. O software R mostrou-se adequado, possibilitando todas asanalises realizadas neste trabalho.



Referencias

BARBIN, D. Planejamento e Analise Estatıstica de Experimentos Agronomicos. 1. ed.Arapongas,PR: MIDAS, 2003. v. 1. 208 p.

CHITARRA, M. I. F. e CHITARRA, A. B. Pos-colheita de frutas e hortalicas: fisiologiae manuseio. 2a ed. Revisada. Lavras: UFLA, 2005.

De KETELAERE, B., LAMMERTYN, J., MOLENBERGHS, G., NICOLAI, B., DeBAERDEMAEKER, J. Statistical models for analyzing repeated quality measure-ments of horticultural products. Model evaluations and practical example. Mathe-matical Biosciences, 185 (2), 169-189, 2003.

HUYNH, H. & FELDT, L.S. Conditions under which mean square rations in repeatedmeasurements designs have exact F-distributions. Journal of the American Statisti-cal Association, Boston, v.65, n . 322, p 1582-1589, 1970.

MAUCHLY, J. W. (June 1940). Significance Test for Sphericity of a Normal n-VariateDistribution. The Annals of Mathematical Statistics, 11 (2): 204209. 1940.doi:10.1214/aoms/1177731915

MEDINA, V.M.; MORAES JUNIOR, A.T.; BARBOSA, K.C., SILVA, S,O. Climatizacaode bananas com ethephon. Revista Brasileira de Fruticultura. abril, 1996. v.18. n.1,p. 43-53.

R Development Core Team. R: A Language and Environment for Statistical Computing,R Foundation for Statistical Computing,Vienna, Austria, 2009, ISBN 3-900051-07-0, http://www.R-project.org

SILVA, A. P.; EVANGELISTA, R.M.; VIEITES, R.L. Uso de pelıculas de amido ede sacos de polietileno na conservacao pos colheita de bananas armazenadas sobrefrigeracao. Revista Brasileira de Fruticultura, v. 18 n.1, Cruz das Almas,1996.



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