Curiosidades com números inteiros

Curiosidade 01

12345679 x 9 = 111111111

12345679 x 18 = 222222222

12345679 x 27 = 333333333

12345679 x 36 = 444444444

12345679 x 45 = 555555555

12345679 x 54 = 666666666

12345679 x 63 = 777777777

12345679 x 72 = 888888888

12345679 x 81 = 999999999

Curiosidade 02

9 x 9 + 7 = 88

9 x 98 + 6 = 888

9 x 987 + 5 = 8888

9 x 9876 + 4 = 88888

9 x 98765 + 3 = 888888

9 x 987654 + 2 = 8888888

9 x 9876543 + 1 = 88888888

9 x 98765432 + 0 = 888888888

Curiosidade 03

9 x 1 + 2 = 11

9 x 12 + 3 = 111

9 x 123 + 4 = 1111

9 x 1234 + 5 = 11111

9 x 12345 + 6 = 111111

9 x 123456 + 7 = 1111111

9 x 1234567 + 8 = 11111111

9 x 12345678 + 9 = 111111111

9 x 123456789 + 10 = 1111111111

Curiosidade 04

11 x 11 = 121

111 x 111 = 12321

1111 x 1111 = 1234321

11111 x 11111 = 123454321

111111 x 111111 = 12345654321

1111111 x 1111111 = 1234567654321

11111111 x 11111111 = 123456787654321

111111111 x 111111111 = 12345678987654321

Curiosidade 05

9 x 7 = 63

99 x 77 = 7623

999 x 777 = 776223

9999 x 7777 = 77762223

99999 x 77777 = 7777622223

999999 x 777777 = 777776222223

9999999 x 7777777 = 77777762222223

99999999 x 77777777 = 7777777622222223

Curiosidade 06

1 x 7 + 3 = 10

14 x 7 + 2 = 100

142 x 7 + 6 = 1000

1428 x 7 + 4 = 10000

14285 x 7 + 5 = 100000

142857 x 7 + 1 = 1000000

1428571 x 7 + 3 = 10000000

14285714 x 7 + 2 = 100000000

142857142 x 7 + 6 = 1000000000

1428571428 x 7 + 4 = 10000000000

14285714285 x 7 + 5 = 100000000000

142857142857 x 7 + 1 = 1000000000000

Curiosidade 07

9 x 9 = 81

99 x 99 = 9801

999 x 999 = 998001

9999 x 9999 = 99980001

99999 x 99999 = 9999800001

999999 x 999999 = 999998000001

Curiosidade 08

12 x 12 = 144, 21 x 21 = 441

13 x 13 = 169, 31 x 31 = 961

102x102 = 10404, 201x201 = 40401

103x103 = 10609, 301x301 = 90601

112x112 = 12544, 211x211 = 44521

122x122 = 14884, 221x221 = 48841

Curiosidade 09

99 = 9+8+7+65+4+3+2+1

100 = 1+2+3+4+5+6+7+8×9

134498697 = 1 + 2^3 + 4^5 + 6^7 + 8^9

1000 = 8 + 8 + 8 + 88 + 888

Curiosidade 10

45 = 8+12+5+20, 8+2=12-2=5x2=20÷2=10

100 = 12+20+4+64, 12+4=20-4=4x4=64÷4=16

225 = 1+23+45+67+89, 89-67=67-45=45-23=23-1=22

Curiosidade 11

5^2 + 2^1 = (5-2)^(2+1)

Notação: Para indicar que um número x está elevado a y, usei x^y, que é uma notação comum no meio científico.

Introdução aos números inteiros

Na época do Renascimento, os matemáticos sentiram cada vez mais a necessidade de um novo tipo de número, que pudesse ser a solução de equações tão simples como:

x + 2 = 02x + 10 = 04y + 4 = 0

As Ciências precisavam de símbolos para representar temperaturas acima e abaixo de 0ºC, por exemplo. Astrônomos e físicos procuravam uma linguagem matemática para expressar a atração entre dois corpos.

Quando um corpo age com uma força sobre outro corpo, este reage com uma força de mesma intensidade e sentido contrário. Mas a tarefa não ficava somente em criar um novo número, era preciso encontrar um símbolo que permitisse operar com esse número criado, de modo prático e eficiente.

Sobre a origem dos sinais

A idéia sobre os sinais vem dos comerciantes da época. Os matemáticos encontraram a melhor notação para expressar esse novo tipo de número. Veja como faziam tais comerciantes:Suponha que um deles tivesse em seu armazém duas sacas de feijão com 10 kg cada. Se esse comerciante vendesse num dia 8 Kg de feijão, ele escrevia o número 8 com um traço (semelhante ao atual sinal de menos) na frente para não se esquecer de que no saco faltava 8 Kg de feijão.Mas se ele resolvesse despejar no outro saco os 2 Kg que restaram, escrevia o número 2 com dois traços cruzados (semelhante ao atual sinal de mais) na frente, para se lembrar de que no saco havia 2 Kg de feijão a mais que a quantidade inicial.Com essa nova notação,os matemáticos poderiam, não somente indicar as quantidades, mas também representar o ganho ou a perda dessas quantidades, através de números, com sinal positivo ou negativo.

O conjunto Z dos Números Inteiros

Definimos o conjunto dos números inteiros como a reunião do conjunto dos números naturais, o conjunto dos opostos dos números naturais e o zero. Este conjunto é denotado pela letra Z (Zahlen=número em alemão). Este conjunto pode ser escrito por:

Z = {..., -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4,...}Exemplos de subconjuntos do conjunto Z dos números inteiros(a) Conjunto dos números inteiros excluído o número zero:

Z* = {..., -4, -3, -2, -1, 1, 2, 3, 4,...}(b) Conjunto dos números inteiros não negativos:

Z+ = {0, 1, 2, 3, 4,...}(c) Conjunto dos números inteiros não positivos:

Z- = {..., -4, -3, -2, -1, 0}Observação: Não existe padronização para estas notações.

Reta Numerada

Uma forma de representar geometricamente o conjunto Z é construir uma reta numerada, considerar o número 0 como a origem e o número 1 em algum lugar, tomar a unidade de medida como a distância entre 0 e 1 e por os números inteiros da seguinte maneira:

Ao observar a reta numerada notamos que a ordem que os números inteiros obedecem é crescente da esquerda para a direita, razão pela qual indicamos com uma seta para a direita. Esta consideração é adotada por convenção, o que nos permite pensar que se fosse adotada outra forma, não haveria qualquer problema.Baseando-se ainda na reta numerada podemos afirmar que todos os números inteiros possuem um e somente um antecessor e também um e somente um sucessor.

Ordem e simetria no conjunto Z

O sucessor de um número inteiro é o número que está imediatamente à sua direita na reta (em Z) e o antecessor de um número inteiro é o número que está imediatamente à sua esquerda na reta (em Z).Exemplos:

(a) 3 é sucessor de 2

(b) 2 é antecessor de 3

(c) -5 é antecessor de -4

(d) -4 é sucessor de -5

(e) 0 é antecessor de 1

(f) 1 é sucessor de 0

(g) -1 é sucessor de -2

(h) -2 é antecessor de -1

Todo número inteiro exceto o zero, possui um elemento denominado simétrico ou oposto -z e ele é caracterizado pelo fato geométrico que tanto z como-z estão à mesma distância da origem do conjunto Z que é 0.Exemplos:

(a) O oposto de ganhar é perder, logo o oposto de +3 é -3.

(b) O oposto de perder é ganhar, logo o oposto de -5 é +5.

Módulo de um número Inteiro

O módulo ou valor absoluto de um número Inteiro é definido como sendo o maior valor (máximo) entre um número e seu elemento oposto e pode ser denotado pelo uso de duas barras verticais | |. Assim:

|x| = max{-x,x}

Exemplos:

(a) |0| = 0

(b) |8| = 8

(c) |-6| = 6

Observação: Do ponto de vista geométrico, o módulo de um número inteiro corresponde à distância deste número até a origem (zero) na reta numérica inteira.

Soma (adição) de números inteiros

Para melhor entendimento desta operação, associaremos aos números inteiros positivos a idéia de ganhar e aos números inteiros negativos a idéia de perder.

ganhar 3 + ganhar 4 = ganhar 7 (+3) + (+4) = (+7)perder 3 + perder 4 = perder 7 (-3) + (-4) = (-7)ganhar 8 + perder 5 = ganhar 3 (+8) + (-5) = (+3)perder 8 + ganhar 5 = perder 3 (-8) + (+5) = (-3)

Atenção: O sinal (+) antes do número positivo pode ser dispensado, mas o sinal (-) antes do número negativo nunca pode ser dispensado.Exemplos:

(a) -3 + 3 = 0

(b) +6 + 3 = 9

(c) +5 - 1 = 4

Propriedades da adição de números inteiros

Fecho: O conjunto Z é fechado para a adição, isto é, a soma de dois números inteiros ainda é um número inteiro.Associativa: Para todos a,b,c em Z:

a + ( b + c ) = ( a + b ) + c2 + ( 3 + 7 ) = ( 2 + 3 ) + 7

Comutativa: Para todos a,b em Z:a + b = b + a3 + 7 = 7 + 3

Elemento neutro: Existe 0 em Z, que adicionado a cada z em Z, proporciona o próprio z, isto é:z + 0 = z7 + 0 = 7

Elemento oposto: Para todo z em Z, existe (-z) em Z, tal quez + (-z) = 09 + (-9) = 0

Multiplicação (produto) de números inteiros

A multiplicação funciona como uma forma simplificada de uma adição quando os números são repetidos. Poderiamos analisar tal situação como o fato de estarmos ganhando repetidamente alguma quantidade, como por exemplo, ganhar 1 objeto por 30 vezes consectivas, significa ganhar 30 objetos e esta repetição pode ser indicada por um x, isto é:

1 + 1 + 1 + ... + 1 + 1 = 30 x 1 = 30Se trocarmos o número 1 pelo número 2, obteremos:

2 + 2 + 2 + ... + 2 + 2 = 30 x 2 = 60Se trocarmos o número 2 pelo número -2, obteremos:

(-2) + (-2) + ... + (-2) = 30 x (-2) = -60Observamos que a multiplicação é um caso particular da adição onde os valores são repetidos.Na multiplicação o produto dos números a e b, pode ser indicado por axb, a.b ou ainda ab sem nenhum sinal entre as letras.Para realizar a multiplicação de números inteiros, devemos obedecer à seguinte regra de sinais:

(+1) × (+1) = (+1)

(+1) × (-1) = (-1)

(-1) × (+1) = (-1)

(-1) × (-1) = (+1)

Com o uso das regras acima, podemos concluir que:Sinais dos números Resultado do produto

iguais positivodiferentes negativo

Propriedades do produto de números inteiros

Fecho: O conjunto Z é fechado para a multiplicação (produto), isto é, a multiplicação de dois números inteiros ainda é um número inteiro.Associativa: Para todos a,b,c em Z:

a x ( b x c ) = ( a x b ) x c2 x ( 3 x 7 ) = ( 2 x 3 ) x 7

Comutativa: Para todos a,b em Z:a x b = b x a3 x 7 = 7 x 3

Elemento neutro: Existe 1 em Z, que multiplicado por todo z em Z, proporciona o próprio z, isto é:z x 1 = z7 x 1 = 7

Elemento inverso: Para todo inteiro z diferente de zero, existe um inverso z-1=1/z em Z, tal quez x z-1 = z x (1/z) = 19 x 9-1 = 9 x (1/9) = 1

Propriedade mista (distributiva)

Distributiva: Para todos a,b,c em Z:a x ( b + c ) = ( a x b ) + ( a x c )3 x ( 4 + 5 ) = ( 3 x 4 ) + ( 3 x 5 )

Potenciação de números inteiros

A potência an do número inteiro a, é definida como um produto de n fatores iguais. O número a é denominado a base e o número n é o expoente.

an = a × a × a × a × ... × aa é multiplicado por a n vezes

Exemplos:a. 25 = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 32b. (-2)³ = (-2) x (-2) x (-2) = -8c. (-5)² = (-5) x (-5) = 25d. (+5)² = (+5) x (+5) = 25

com os exemplos acima, podemos observar que a potência de todo número inteiro elevado a um expoente par é um número positivo e a potência de todo número inteiro elevado a um expoente ímpar é um número que conserva o seu sinal.Observação: Quando o expoente é n=2, a potência a² pode ser lida como: "a elevado ao quadrado" e quando o expoente é n=3, a potência a³ pode ser lida como: "a elevado ao cubo". Tais leituras são provenientes do fato que área do quadrado pode ser obtida por A=a² onde a é é a medida do lado e o volume do cubo pode ser obtido por V=a³ onde a é a medida do lado do cubo.

Potenciação com o browser

Para obter a potência Mn em seu navegador, como 125, digite (ou copie) a linha de comando:

javascript:Math.pow(12,5)exatamente da forma como está escrito, na caixa que aparece em seu browser com o nome do arquivo que está sendo acessado neste momento (location=endereço). Após isto, pressione a tecla ENTER. Você verá uma nova janela com a resposta

248832Para sair da janela com a resposta, pressione o botão Voltar (Back) de seu browser.

Radiciação de números inteiros

A raiz n-ésima (de ordem n) de um número inteiro a é a operação que resulta em um outro número inteiro não negativo b que elevado à potência n fornece o número a. O número n é o índice da raiz enquanto que o número a é o radicando (que fica sob o sinal do radical). Leia a observação seguinte para entender as razões pelas quais não uso o símbolo de radical neste trabalho.Observação: Por deficiência da linguagem HTML, que até hoje não implementou o sinal de raiz n-ésima, usarei Rn[a] para indicar a raiz n-ésima de a. Quando n=2, simplesmente indicarei a raiz de ordem 2 de um número inteiro a como R[a].Assim, b é a raiz n-ésima de a se, e somente se, a=bn, isto é:

b=Rn[a] se, e somente se, a=bn

A raiz quadrada (de ordem 2) de um número inteiro a é a operação que resulta em um outro número inteiro  não negativo que elevado ao quadrado coincide com o número a.Observação: Não existe a raiz quadrada de um número inteiro negativo no conjunto dos números inteiros. A existência de um número cujo quadrado é igual a um número negativo só será estudada mais tarde no contexto dos números complexos.Erro comum: Frequentemente lemos em materiais didáticos e até mesmo ocorre em algumas aulas aparecimento de:

R[9] = ±3mas isto está errado. O certo é:

R[9] = +3Observamos que não existe um número inteiro não negativo que multiplicado por ele mesmo resulte em um número negativo.A raiz cúbica (de ordem 3) de um número inteiro a é a operação que resulta em um outro número inteiro que elevado ao cubo seja igual ao número a. Aqui não restringimos os nossos cálculos somente aos números não negativos.Exemplos:

(a) R³[8] = 2, pois 2³ = 8.

(b) R³[-8] = -2, pois (-2)³ = -8.

(c) R³[27] = 3, pois 3³ = 27.

(d) R³[-27] = -3, pois (-3)³ = -27.

Observação: Ao obedecer a regra dos sinais para o produto de números inteiros, concluímos que:(a) Se o índice da raiz for par, não existe raiz de número inteiro negativo.(b) Se o índice da raiz for ímpar, é possível extrair a raiz de qualquer número inteiro