AMEI EscolarMatemática9º AnoResumo nº1Os números reais. Inequações (parte 1)

Os números irracionais. O conjunto dos números reais

São números naturais os números que usamos para contar, ou seja, todos os números positivos e inteiros. O conjunto dos números naturais representa-se por .

0 é o conjunto dos números naturais mais o 0.

São números inteiros os números que não possuem uma parte decimal. O conjunto dos números inteiros representa-se por .

Conteúdos desta unidade: Os números

irracionais. O conjunto dos números reais;

Operações e problemas com números reais. Equações e problemas de 1º grau (revisões);

Inequações e intervalos de números reais. Monotonia da adição;

Resolução de inequações. Monotomia parcial da multiplicação.

0

Exemplos:

5 6 0 0 8,5 - 7 0 152 0

Exemplos:-5 - 6,25 0 8,5 7

São números racionais todos os números inteiros mais os números fraccionários (frações, números com dízimas finitas ou infinitas periódicas). Uma dízima finita periódica é uma dízima infinita em que uma certa parte se repete sempre (período) e que se coloca entre parênteses. O conjunto dos números racionais representa-se por .

São números reais todos os números racionais mais os números irracionais. São exemplos de números irracionais as raízes e números como (pi) e (phi), ou seja, todos os números que

possuem uma dízima infinita não periódica. O conjunto dos números reais representa-se por .

Todos os números reais podem ser representados na recta real. A recta real tem de ter obrigatoriamente representado os números 0,

e e os números que forem necessários representar. A recta

real é muito útil para colocar números por ordem crescente ou decrescente.

Exemplos:-5 0,5

Exemplos:

-7 0,8

----------------------------|----------------------------> 0

Resumindo:

Na vida prática, normalmente, usamos valores aproximados para os números irracionais e também para os racionais.

Exercício resolvido:Calcule de 500 euros.

x 500 = x = = 333,333333….

Não faz sentido responder com mais de duas casas decimais.

R: de 500 euros são 333,33 euros.

Operações e problemas com números reais. Equações e problemas do 1º grau (revisões)

Exercícios 1:1. Completa usando os sinais .

-1…. -75,68 …. …. 2,5 …. 9,8 …. ….

…. - …. 8,99(9) …. …. 0 …. 354 …. …. -8 …. ….

2. Representa na recta real os seguintes números.

------------------------------------------|------------------------------------------> 0

3. Escreve com duas casas decimais o valor de:a) x 450 b) x 45c) x 60

Exercício resolvido - Adição e subtracção de números representados por fracções

Apresentação da expressão Reduz-se ao mesmo denominador

Soma-se os numeradoresTorna-se a fracção irredutível

Apresentação da expressão Reduz-se ao mesmo denominador

Subtrai-se os numeradoresTorna-se a fracção irredutível

Exercício resolvido - Multiplicação de números representados por fracções

Apresentação da expressão Multiplica-se os denominadores e os numeradores

Torna-se a fracção irredutível

Nota: = =

Exercício resolvido - Divisão de números representados por fracções

Apresentação da expressão Troca-se o denominador pelo multiplicador da segunda fracção, e multiplica-se

os denominadores e os numeradores Torna-se a fracção irredutível

Regras das Potências

an = a x a n vezes 35 = 3x3x3x3x3a1= a 41 = 4a0 = 1 com a 0 60 = 1a-m = m com a 0 7-1 = 1 ou -5 = 5

Produto de potências com a mesma baseam x an = am+nQuociente de potências com a mesma baseam : an = am-n, a 0Potência de um produto(a x b)m = am x

bmPotência de um quociente(a : b)m = am : bm, b 0Potência de uma potência(am)n = amxn

Exercícios 2:1. Resolve:1.1)

Exercícios 2:1.2) 2-1 x 30 + 52 x 31

1.3) 2-3 - -1

1.4) - (51)0 x -1 x

2. O Pedro tem uma taça com rebuçados. O Pedro comeu dos rebuçados da taça e o António comeu dos restantes.2.1 Qual a fracção do número inicial de rebuçados comeu o António?

2.2 Sobraram 9 rebuçados. Quantos rebuçados havia inicialmente na taça?

3. Para a quinta vai uma mulher que leva uma caixa com 4 cestas. Cada cesta leva 4 galinhas e por cada galinha há 4 ovos. Quantos ovos há?

Exercício resolvido - Como resolver uma equação do primeiro grau por etapasApresentação da equação

Tira-se os parêntesesSepara-se as fracções

Tira-se os denominadores (2) (2) (1) (1) (6)

Muda-se os termos em x para um membro e os termos independentes para outroSimplifica-se os dois membrosDivide-se o membro dos termos independentes

pelo coeficiente de xApresenta-se a solução

Como resolver um problema com uma equação por etapasLê-se com atenção o enunciado do problema, de modo que sejam capazes de o expor, usando as tuas próprias palavrasA idade actual de um pai é cinco vezes a idade do

filho. Daqui a cinco anos o pai terá o triplo da idade do filho.Qual é a idade actual de cada um?Escolhe-se a incógnita e forma-se uma equação

relacionando a incógnita com os dados do problemax = idade do filho

ActualmenteDaqui a 5 anos

Paix

x + 5

Filho5x

5x + 5

5x + 5 = 3(x + 5)Resolve-se a equação5x + 5 = 3(x + 5) 5x + 5 = 3x + 15

Interpreta-se a solução obtida no contexto do problema e dá-se uma resposta5 é a idade actual do filho.

5 x 5 = 25 é a idade actual do pai.R: O pai tem 25 anos e o filho tem 5 anos.

Exercícios 3:1. Resolve cada uma das seguintes equações e apresenta o seu conjunto-solução.1.1) 2(x - 1) - = 0

1.2) 1 -

1.3)

2. Actualmente, a idade da mãe é seis vezes a idade do filho. Daqui a vinte e quatro anos a mãe terá o dobro da idade do filho. Qual é a idade actual de cada um?

3. A soma de três números naturais consecutivos é 33. Quais são esses números?

Inequações e intervalos de números reais.

Uma inequação “é” uma equação, cujo sinal de igualdade (=) é

substituído por um sinal de desigualdade ( .

O conjunto-solução de uma inequação é um intervalo de números reais. A inequação pode também ser representada na recta real.

Exemplos:x 1 é uma inequaçãox 5 é uma inequaçãox 6 é uma inequaçãox 8 é uma inequação

Exemplos:x 1 lê-se “x é maior que 1” ou seja x poderá ser qualquer números maior que 1S = usamos parênteses abertos porque 1 não pertence ao conjunto-solução e porque se usa sempre parênteses abertos no infinito

----------------------------|-----o-----------------------> 0 1 Usamos bolinha aberta na representação na recta real porque 1 não pertence ao conjunto-solução.

x 6 lê-se “x é menor ou igual que 6” S = usamos parênteses fechados porque 6 pertence ao conjunto-solução.

----------------------------|----------------------------> 0 6 Usamos bolinha fechada na representação na recta real porque 6 pertence ao conjunto-solução.

Resolução de inequações: monotonia da adição e monotonia parcial da multiplicação

A monotonia da adição é uma propriedade que se aplica em inequações do tipo a + x b. Esta propriedade consiste em:

adicionando ou subtraindo a ambos os membros de uma

Exercícios 4:1. Representa sob a forma de intervalo e na recta real:1.1)

1.2)

1.3)

1.4)

Exemplo:a b a+c b+c

inequação um número, obtém-se uma inequação equivalente à dada.

A monotonia parcial da multiplicação é outra propriedade que se aplica em inequações que consiste em: multiplicando ou dividindo ambos os membros de uma inequação por um número, obtém-se uma inequação equivalente à dada. Mas quando se multiplica ou

divide por um número negativo, o sinal de desigualdade inverte-se.

Podemos assim concluir que a resolução de uma inequação é muito

semelhante à resolução de uma equação.

Exemplos:a b e c 0ac bc

mas quando

a b e c 0ac bc

Exercícios 5:1. Resolve as seguintes inequações.1.1)

1.2)

1.3)

Exercícios 5:1.3)

1.4)

1.5)

1.6)

2. Determina x sabendo que o perímetro do rectângulo representado na figura abaixo é menor que 50 cm.

l = 2x

c = 3x + 1