numeros complexos

ENGENHARIA DE TELECOMUNICAÇÕES

Disciplina: Circuitos Elétricos II

Professor: Moacir de SouzaEndereço eletrônico: [email protected]

Conteúdo da Aula

1 - Números Complexos - Revisão Sucinta

2 - Funções Senoidais - Domínio do Tempo

3 - Fasores - Domínio da Freqüência

4 - Passagem do Domínio do Tempo para o Domínio da Freqüência e vice-versa

5 - Relações entre os fasores V e I para circuitos puramente resistivos, capacitivos e indutivos

6 - Impedância (Z) e Admitância (Y)7 - Exercícios - Listas de Exercícios

1 - NÚMEROS COMPLEXOS - REVISÃO1) Origem1.1 – Extrair raízes quadradas de números

negativos.

1.2 - Raízes de Polinômiosexemplo: x2 + 1 = 0 ∴∴∴∴

2) Aplicações

• Matemática (Álgebra, Geometria, Análise etc.)• Física (Cinemática, Astronomia etc.).• Engenharia de Telecomunicações.

(CORRENTE ALTERNADA)

i/jx)1(x =∴−=

1 - NÚMEROS COMPLEXOS - REVISÃO3) REPRESENTAÇÃO GRÁFICA (PLANO DE ARGAND-GAUSS)

0

Imaginário

Reala

bZ

θθθθ0

Imaginário

Reala

bZ

θθθθ0 < θθθθ < 900 900 < θθθθ < 1800

0

Imaginário

Reala

bZ

θθθθ

0

Imaginário

Reala

b

1800 < θθθθ < 2700

Z

θθθθ 2700 < θθθθ < 3600

1 - NÚMEROS COMPLEXOS - REVISÃO4) NOTAÇÕES

0

Imaginário

Reala

bZ

θθθθ

4.1 Forma retangular (ou cartesiana) ⇒⇒⇒⇒

4.2 Forma polar ⇒⇒⇒⇒

4.3 Forma trigonométrica ⇒⇒⇒⇒

4.4 Forma exponencial ⇒⇒⇒⇒

bjaZ +=θ∠= ZZ

)sencos( θθ jZZ +=θjeZZ =

θθ

sencos

ZbZa

==

θθθ sencos je j +=Identidade de Euler ⇒⇒⇒⇒θθθ sencos je j −=−

1 - NÚMEROS COMPLEXOS - REVISÃO5) RELAÇÕES MATEMÁTICAS NO PLANO DE ARGAND-

GAUSS

0

Imaginário

Reala

bZ

θθθθ

θθ

sencos

ZbZa

==

=∴=

+=

abtgarc

abtg

baZ

θθ

22

Estas relações possibilitam transformações entre as notações ⇒⇒⇒⇒ retangular para polar, polar para retangular etc.

1 - NÚMEROS COMPLEXOS - REVISÃO6) COMPLEXO CONJUGADO - Z*

bjaZ += ⇒⇒⇒⇒

θ∠= ZZ ⇒⇒⇒⇒

)sencos( θθ jZZ += ⇒⇒⇒⇒

θjeZZ = ⇒⇒⇒⇒

bjaZ −=*

θ−∠= ZZ*

)sencos(* θθ jZZ −=

θ−= j* eZZ

θθθ sencos je j +=

Seja θ+θ= senjcosy ⇒⇒⇒⇒ ∴θ+θ−=θ

cosjsend

yd

∴θ+θ=θ

cosjsenjd

yd 2 (Lembrete: j2 = -1 )

7) DEDUÇÃO DA IDENTIDADE DE EULER

1 - NÚMEROS COMPLEXOS - REVISÃO

8) RELAÇÕES MATEMÁTICAS IMPORTANTES

∴θ+θ=θ

)cossenj(jd

yd∴=

θyj

dyd ∴θ= dj

yyd

∴θ= djyyd Cjyln +θ=

Determinação da constante de integração C - para θθθθ = 00, tem-se: ⇒=∴+= 1y0senj0cosy 00 0CC0j1ln 0 =∴+=

Portanto, tem-se ∴θ= jyln θ+θ== θ senjcosey j (cqd)

j1j

j1j1jj1j1j)a 2 =−∴−=∴−=∴−=∴−=

)purorealnúmerouméx(ex0xx)b00j0 =∠=

)purorealnúmerouméx(ex180xx)c0180j0 −=∠=−

1 - NÚMEROS COMPLEXOS - REVISÃO

9) Primeira Lista de Exercícios - LE1 (OBRIGATÓRIA)

Livro“capa laranja”:Circuitos Elétricos-Joseph A. EdministerColeção Schaum.

Ler o Capítulo 4 e/ou o apêndice do livro do “RIEDEL” capa branca.

)puroimaginárionúmerouméjx(ex90xxj)d090j0 =∠=

)puroimaginárionúmerouméjx(ex90xex270xxj)e

00 90j0270j0

−=−∠==∠=− −

2 - FUNÇÕES SENOIDAIS - DOMÍNIO DO TEMPO

1) IMPORTÂNCIA – PRINCIPAIS APLICAÇÕES

• A geração, transmissão, distribuição e consumo de energia elétrica são feitos na forma de tensões e correntesenoidais.

• A compreensão do funcionamento de circuitos em regimes senoidais torna possível prever o comportamento dos mesmos em regimes não-senoidais.

• A suposição de que o sistema está funcionando no regime senoidal quase sempre simplifica o projeto dos circuitos.

T

v(0)


2) REPRESENTAÇÃO - GRANDEZAS DE INTERESSE

t

v (t)

+ Vm

- Vm

Vm

b) AMPLITUDE ⇒⇒⇒⇒ Vm (volts)

)t(cosV)t(v m φ+ω=

c) PERÍODO ⇒⇒⇒⇒ T (segundos = s)

d) FREQÜÊNCIA ⇒⇒⇒⇒ f (ciclos/s = Hz)

T1f =

e) FREQÜÊNCIA ANGULAR ⇒⇒⇒⇒ ωωωω (rad/s) T2f2 π=π=ω

a) CICLO


f) ÂNGULO DE FASE ⇒⇒⇒⇒ φφφφ (graus)

Corresponde ao ângulo que determina o valor da função em t = 0 s:

∴φ+ω= )0(cosV)0(v m ∴φ= )(cosV)0(v m

]V

)0(v[cosarcm

=φ

OBS.: Para somar ωωωω t e φφφφ é necessário que ambos estejam na mesma unidade (de preferência em graus, pois φφφφ é normalmente expresso em graus).

radyx

rad180

0

0 π

)t(cosV)t(v m φ+ω=

Exemplo: Expressar 2 rad em graus

rad2x

rad180

0

0 π

06,1141416,3

)2(180x

)2(180x

≈=

∴=π

3 - FASORES - DOMÍNIO DA FREQÜÊNCIA

⇒θ+θ=θ senjcose)1 j θ=θ coseRe j

⇓

φ+ω+φ+ω=φ+ω )t(senj)t(cose)2 )t(j

)t(coseRe )t(j φ+ω=φ+ω

Portanto, tem-se:

∴φ+ω= )t(cosV)t(v m ∴= φ+ω eVRe)t(v )t(jm

eeVRe)t(v tjjm

ωφ=

FASOR: φ•

= jm eVV

4 - PASSAGEM DO DOMÍNIO DO TEMPO PARA O DOMÍNIO DA FREQÜÊNCIA E VICE-VERSA

4.1 - Domínio do tempo para o domínio da freqüência:

⇒φ+ω= )t(cosV)t(v mφ

•= j

m eVV

4.2 - Domínio da freqüência para o domínio do tempo :

⇒= φ•

jm eVV ∴= ωφ eeVRe)t(v tjj

m∴= ω•

eVRe)t(v tj

)t(cosV)t(v m φ+ω=∴= φ+ω eVRe)t(v )t(jm

5 - RELAÇÕES ENTRE OS FASORES V E I PARA CIRCUITOS PURAMENTE RESISTIVOS,

CAPACITIVOS E INDUTIVOS5.1 - Circuito Puramente Resistivo:

i (t)

v (t) R⇓

φ+ω= )t(cosI)t(i im

∴= )t(iR)t(v )t(cosIR)t(v im φ+ω=

Conclusão: de acordo com as expressões de i(t) e v(t), verifica-se que ambas

estão em fase, uma vez que o ângulo de fase é o mesmo (φφφφi).

No domínio da freqüência, tem-se: eeII ijm

φ•

= ijm eIRV φ

•=

•V•

Iφφφφi

ReIeIR

I

Vi

i

jm

jm == φ

φ

•

•


CAPACITIVOS E INDUTIVOS5.2 - Circuito Puramente Indutivo:

⇓

φ+ω= )t(cosI)t(i im

∴=td)t(idL)t(vv (t)

i (t)

L

∴φ+ωω−= )t(senIL)t(v im

∴−φ+ω−ω= )90t(cos)1(IL)t(v 0im

)90t(cosIL)t(v 0im +φ+ωω=

Conclusão: de acordo com as expressões de i(t) e v(t), verifica-se que a tensão

está adiantada de 900 em relação à corrente.

Obs.: Para as deduções apresentadas acima lembre-se que:

sen (x) = cos (x - 900) e cos (x + 900) = - sen (x) ⇒⇒⇒⇒ cos (x + 900) = - cos (x - 900)


CAPACITIVOS E INDUTIVOS

No domínio da freqüência, tem-se: eeII ijm

φ•

= )90(jm

0ieILV +φ

•ω=

∴ω=ω= φ

φ

•

•0

i

0i

90jj

m

90jjm eL

eIeeIL

I

V•Iφφφφi

•V

φφφφi+ 900

090LLjI

V ∠ω=ω=•

•

NOTAS

1) A relação entre os fasores de tensão e corrente corresponde à impedância (no caso de um circuito puramente resistivo, corresponde à resistência).

2) O termo ωωωω L corresponde à reatância indutiva.


CAPACITIVOS E INDUTIVOS5.3 - Circuito Puramente Capacitivo:

⇓

φ+ω= )t(cosV)t(v vm

∴=td

)t(vdC)t(i

∴φ+ωω−= )t(senVC)t(i vm

∴−φ+ω−ω= )90t(cos)1(VC)t(i 0vm

)90t(cosVC)t(i 0vm +φ+ωω=

Conclusão: de acordo com as expressões de i(t) e v(t), verifica-se que a corrente

está adiantada de 900 em relação à tensão.

Obs.: Para as deduções apresentadas acima lembre-se que:

sen (x) = cos (x - 900) e cos (x + 900) = - sen (x) ⇒⇒⇒⇒ cos (x + 900) = - cos (x - 900)

v (t)

i (t)

C


CAPACITIVOS E INDUTIVOS

No domínio da freqüência, tem-se: eeVV vjm

φ•

= )90(jm

0veVCI +φ

•ω=

∴ω

=ω

= −φ

φ

•

•0

0v

v90j

90jjm

jm e

C1

eeVCeV

I

V•V

φφφφv

•I

φφφφv+ 900

090C

1Cj

1Cj

I

V −∠ω

=ω

=ω−=•

•

NOTAS

1) A relação entre os fasores de tensão e corrente corresponde à impedância (no caso de um circuito puramente resistivo, corresponde à resistência).

2) O termo (1 / ωωωω C) corresponde à reatância capacitiva.

6 - IMPEDÂNCIA (Z) E ADMITÂNCIA (Y)

6.1 - Impedância (Z) : ∴= •

•

I

VZ XjRZ +=

R →→→→ parte real da impedância (RESISTÊNCIA)

X →→→→ parte imaginária da impedância (REATÂNCIA) - pode ser

capacitiva ( X < 0 ) ou indutiva ( X > 0 )

6.2 - Admitância (Y) : ∴=Z1Y BjGY +=

G →→→→ parte real da admitância (CONDUTÂNCIA)

B →→→→ parte imaginária da admitância (SUSCEPTÂNCIA)

OBS.: Unidade de Z, R e X no sistema internacional = ΩΩΩΩ (ohms)

OBS.: Unidade de Y, G e B no sistema internacional = S (siemens)

6 - IMPEDÂNCIA (Z) E ADMITÂNCIA (Y)6.3 - Para um circuito puramente RESISTIVO, tem-se :

1) Z = R

2) Y = 1 / R ⇒⇒⇒⇒ G = 1 / R

6.4 - Para um circuito puramente INDUTIVO, tem-se :

1) Z = j ωωωω L ⇒⇒⇒⇒ XL = ωωωω L (reatância indutiva)

2) Y = 1 / ( j ωωωω L ) ⇒⇒⇒⇒ B = - 1 / ( ωωωω L )

6.5- Para um circuito puramente CAPACITIVO, tem-se :

1) Z = - j / ( ωωωω C ) ⇒⇒⇒⇒ XL = - 1 / ( ωωωω C ) (reatância capacitiva)

CBCjY

Cj

1YZ1Y)2 ω=⇒ω=∴

ω−=∴=

7 - EXERCÍCIOS

v0(t)v1(t)

L1=1/10 H

1/10 F

1Ω

1/2ΩL2=1/5 H

1/2Ω

1) Calcular vo(t) para o estado permanente de corrente alternada do circuito abaixo, sabendo-se que v1(t) = 10 cos (10t + 200).OBS.: faça o cálculo pedido usando os seguintes métodos:a) Método das correntes de malhab) Método das tensões de nó

2) EPC: Ler, inclusive os exemplos resolvidos, as seguintes páginas doLivro de “capa branca” (Circuitos Elétricos- James W. Nilsson e Susan A.Riedel - Capítulo 9): 200 a 202 (introdução e seção 9.1); 207 a 220 (seções

9.4, 9.5, 9.6, 9.7, 9.8 e 9.9)

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