aplicacao dos numeros complexos 2parte

Circuitos Série de Corrente Alternada 1 Simplício do Carmo


CIRCUITO RL SÉRIE - FORMULÁRIO

Lf2XL π= ⇔ LXL ω=

2L

2 XRZ += 2L

2R UUU += 22 QPS += 2

R2

AP WWW −=

2L

2 XZR −= 2L

2R UUU −= 22 QSP −= 2

R2

AP WWW −=

22L RZX −= 2

R2

L UUU −= 22 PSQ −= 22APR WWW −=

IU

Z = IZU ⋅= 2IZS ⋅= tIZW 2AP ⋅⋅=

I

UR R= IRUR ⋅= 2IRP ⋅= tIRW 2 ⋅⋅=

I

UX L

L = IXU LL ⋅= 2L IXQ ⋅= tIXW 2

LR ⋅⋅=

2I

SZ =

IU

S= IUS ⋅= tIUWAP ⋅⋅=

2I

PR =

IP

UR = IRUP ⋅= tIUW R ⋅⋅=

2L

I

QX =

IQ

UL = I⋅= LUQ tIUW LR ⋅⋅=

tI

WZ

2AP

⋅=

tI

WU AP

⋅=

t

WS AP= tSWAP ⋅=

tI

WR

2 ⋅=

tIW

UR ⋅=

tW

P = tPW ⋅=

tI

WX

2R

L⋅

= tI

WU R

L ⋅=

t

WQ R= tQWR ⋅=

ZR

cos =ϕ U

Ucos R=ϕ

SP

cos =ϕ APW

Wcos =ϕ

ϕ⋅⋅= cosIUP ϕ⋅⋅= senIUQ IUS ⋅= ϕ⋅= tgPQ

ϕ⋅= cosSP ϕ⋅= senSQ 22 QPS +=


CIRCUITO RC SÉRIE - FORMULÁRIO

⇔ C

1XC ω

=

2C

2 XRZ += 2C

2R UUU += 22 QPS += 2

R2

AP WWW −=

2C

2 XZR −= 2C

2R UUU −= 22 QSP −= 2

R2

AP WWW −=

22C RZX −= 2

R2

C UUU −= 22 PSQ −= 22APR WWW −=

IU


I


I

UX C

C = IXU CC ⋅= 2C IXQ ⋅= tIXW 2

CR ⋅⋅=

2I

SZ =

IU

S= IUS ⋅= tIUWAP ⋅⋅=

2I

PR =

IP


2C

I

QX =

IQ

UC = I⋅= CUQ tIUW CR ⋅⋅=

tI

WZ

2AP

⋅=

tI

WU AP

⋅=

t

WS AP= tSWAP ⋅=

tI

WR

2 ⋅=

tIW

UR ⋅=

tW

P = tPW ⋅=

tI

WX

2R

C⋅

= tI

WU R

C ⋅=

t

WQ R= tQWR ⋅=

ZR

cos =ϕ U

Ucos R=ϕ

SP

cos =ϕ APW

Wcos =ϕ



Cf21

XC π=


IS

U = IUS ⋅= tIUWAP ⋅⋅=

CIRCUITO RLC SÉRIE - FORMULÁRIO

Lf2XL π= ⇔ LXL ω= ; Cf2

1XC π

= ⇔ C

1XC ω

=

CL XXX −= ⇔ C

1CLX

2

ω−ω=

22 XRZ += 2X

2R UUU += 22 QPS += 2

R2

AP WWW −=

22 XZR −= 2X

2R UUU −= 22 QSP −= 2

R2

AP WWW −=

22 RZX −= 2R

2X UUU −= 22 PSQ −= 22

APR WWW −=

CL XXX −= CLX UUU −= CL QQQ −=

CL RRR WWW −=

IU


I


I

UX L

L = IXU LL ⋅= 2LL IXQ ⋅= tIXW 2

LLR ⋅⋅=

I

UX C

C = IXU CC ⋅= 2CC IXQ ⋅= tIXW 2

CRC⋅⋅=

I

UX X= IXUX ⋅= 2IXQ ⋅= tIXW 2

R ⋅⋅=

2I

SZ =

2I

PR =

IP


2L

LI

QX =

I

QU L

L = I⋅= LL UQ tIUW LLR ⋅⋅=

2C

CI

QX =

I

QU C

C = I⋅= CC UQ tIUW CCR ⋅⋅=

2I

QX =

IQ

U = I⋅= XUQ tIUW XR ⋅⋅=


CIRCUITO RLC SÉRIE - FORMULÁRIO

tI

WZ

2AP

⋅=

tI

WU AP

⋅=

t

WS AP= tSWAP ⋅=

tI

WR

2 ⋅=

tIW

UR ⋅=

tW

P = tPW ⋅=

tI

WX

2

RL

L

⋅=

tI

WU LR

L ⋅=

t

WQ LR

= tQW LR L⋅=

tI

WX

2

RC

C

⋅=

tI

WU CR

C ⋅=

t

WQ CR

= tQW CR C⋅=

tI

WX

2R

⋅=

tI

WU R

X ⋅=

t

WQ R= tQWR ⋅=

ZR

cos =ϕ U

Ucos R=ϕ

SP

cos =ϕ APW

Wcos =ϕ




CIRCUITO RL SÉRIE - FORMULÁRIO COM NOTAÇÃO COMPL EXA ALGÉBRICA

Para um circuito RL série vamos estabelecer as diferentes relações entre grandezas sob a forma de números complexos, apresentando-os com a notação complexa na forma rectangular ou algébrica que é equivalente à notação exponencial já apresentada. Para além das diferentes grandezas sob a forma de complexos (impedância, tensão, potência e energia) representam-se as partes reais e as partes imaginárias desses complexos que também representam grandezas eléctricas, assim como as distintas relações entre elas. Para se perceber estas relações convém consultar os diagramas vectoriais já apresentados. Recorde, por exemplo a equivalência entre as três notações complexas ( algébrica, exponencial e trigonométrica ) já apresentadas anteriormente.

LXjR +=ZZZZ ⇔ ϕ⋅+= j2L

2 eXRZZZZ ⇔ )senjcos(.XR 2L

2 ϕ+ϕ+=ZZZZ

Sendo :

2L

2 XRZ += o módulo do complexo Z em que: Lf2XL π= ⇔ LXL ω=

R

Xtgarc L=ϕ o argumento do complexo Z

LXjR +=ZZZZ LR UjU +=UUUU QjP +=SSSS RWjW +=APAPAPAP

WWWW

2

L2 XZ −=R 2

L2 UU −=RU 22 QS −=P 2

R2

AP WW −=W

22 RZj −=LXj 2

R2 UUj −=LUj 22 PSj −=Qj 22

AP WWj −=RWj

LXjR +I

UjU LR += I)XjR(UjU LLR ⋅+=+ 2

L I)XjR(QjP ⋅+=+ tI)XjR(WjW 2LR ⋅⋅+=+

I

UR=R IR ⋅=RU 2IR ⋅=P tIR 2 ⋅⋅=W

I

UjX L

L =j IXjUj LL ⋅= 2L IXjQ ⋅=j tIXjWj 2

LR ⋅⋅=

2LI

QjPXjR

+=+ I

QjPUjU LR

+=+ I).UjU(QjP LR +=+ ϕ⋅⋅⋅+=+ jLRR etI)UjU(WjW

⋅=2I

PR IP=RU IRU ⋅=P tIUR ⋅⋅=W

2LI

QjXj =

IQj

UL =j IjQj ⋅= LU tIUjWj LR ⋅⋅=

LXjR +tI

WjW2

R

⋅

+= LR UjU +

tI

WjW R⋅

+=

tRWjW

QjP+

=+ RWjW + t)QjP( ⋅+=

tI

W2 ⋅

=R tI

W⋅

=RU t

W=P tP ⋅=W

tI

Wj2

R

⋅=LXj

tI

Wj R⋅

=LUj t

Wj R=Qj tQj ⋅=RWj


CIRCUITO RL SÉRIE - FORMULÁRIO COM NOTAÇÃO COMPLEXA

Lf2XL π= ⇔ LXL ω= ; R

Xtgarc L=ϕ ⇔

PQ

tgarc=ϕ

ϕ⋅+= j2L

2 eXRZZZZ ϕ⋅+= j2L

2R eUUUUUU ϕ⋅+= j22 eQPSSSS ϕ⋅−= j2

R2 eWWA

PAPAPAP

WWWW

º0j2

L2 eXZ ⋅−=RRRR º0j2

L2 eUU ⋅−=RRRRUUUU º0j22 eQS ⋅−=PPPP º0j2

R2

AP eWW ⋅−=WWWW

º90j22 eRZ ⋅−=LLLLXXXX º90j2

R2 eUU ⋅−=LLLLUUUU º90j22 ePS ⋅−=QQQQ º90j22

AP eWW ⋅−=RRRRWWWW

ϕ⋅= je

IUZZZZ ϕ⋅⋅= jeIZUUUU ϕ⋅⋅= j2 eIZSSSS ϕ⋅⋅⋅= j2 etIZA

PAPAPAP

WWWW

º0jR e

I

U⋅=RRRR º0jeIR ⋅⋅=RRRRUUUU º0j2 eIR ⋅⋅=PPPP º0j2 etIR ⋅⋅⋅=WWWW

º90jL e

I

U⋅=LLLLXXXX º90j

L eIX ⋅⋅=LLLLUUUU º90j2L eIX ⋅⋅=QQQQ º90j2

L etIX ⋅⋅⋅=RRRRWWWW

ϕ⋅= j

2e

I

SZZZZ ϕ⋅= jeISUUUU ϕ⋅= ⋅ jeIUS ϕ⋅⋅⋅= jetIUA

PAPAPAP

WWWW

º0j

2e

I

P ⋅=RRRR º0jeIP ⋅=RRRRUUUU º0jeIRU ⋅⋅=PPPP º0j

R etIU ⋅⋅⋅=WWWW

º90j

2e

I

Q ⋅=LLLLXXXX º90jeIQ ⋅=LLLLUUUU º90jeI ⋅⋅= LUQQQQ º90j

L etIU ⋅⋅⋅=RRRRWWWW

ϕ⋅

⋅= j

2AP e

tI

WZZZZ ϕ⋅⋅

= jAP etI

WUUUU ϕ⋅= jet

WAPSSSS ϕ⋅⋅= jetSAPAPAPAP

WWWW

º0j

2e

tI

W ⋅⋅

=RRRR º0jetI

W ⋅⋅

=RRRRUUUU º0jet

W ⋅=PPPP º0jetP ⋅⋅=WWWW

º90j

2R e

tI

W⋅

⋅=LLLLXXXX º90jR e

tI

W⋅

⋅=LLLLUUUU º90jR e

t

W⋅=QQQQ º90jetQ ⋅⋅=RRRRWWWW

Em valores absolutos (módulos), teremos:

ZR

cos =ϕ U

Ucos R=ϕ

SP

cos =ϕ APW

Wcos =ϕ

Z

Xsen L=ϕ

U

Usen L=ϕ

SQ

sen =ϕ AP

RW

Wsen =ϕ

ϕ⋅⋅= cosIUP ϕ⋅⋅= senIUQ IUS ⋅=

ϕ⋅= tgPQ



CIRCUITO RC SÉRIE - FORMULÁRIO COM NOTAÇÃO COMPLEXA

Cf2

1XC π

= ⇔ C

1XC ω

= ; R

Xtgarc C=ϕ ⇔

PQ

tgarc=ϕ

ϕ−⋅+= j2C

2 eXRZZZZ ϕ−⋅+= j2C

2R eUUUUUU ϕ−⋅+= j22 eQPSSSS

ϕ−⋅−=j2

R2 eWWA

PAPAPAP

WWWW

º0j2

C2 eXZ ⋅−=RRRR º0j2

C2 eUU ⋅−=RRRRUUUU º0j22 eQS ⋅−=PPPP º0j2

R2

AP eWW ⋅−=WWWW

º90j22 eRZ −⋅−=CCCCXXXX º90j2

R2 eUU −⋅−=CCCCUUUU º90j22 ePS −⋅−=QQQQ º90j22

AP eWW −⋅−=RRRRWWWW

ϕ−⋅= je

IUZZZZ ϕ−⋅⋅= jeIZUUUU ϕ−⋅⋅= j2 eIZSSSS ϕ−⋅⋅⋅= j2 etIZA

PAPAPAP

WWWW

º0jR e

I


º90jC eI

U −⋅=CCCCXXXX º90jC eIX −⋅⋅=CCCCUUUU º90j2

C eIX −⋅⋅=QQQQ º90j2C etIX −⋅⋅⋅=RRRRWWWW

ϕ−⋅= j

2e

I

SZZZZ ϕ−⋅= jeISUUUU ϕ−⋅= ⋅ jeIUS ϕ−⋅⋅⋅= jetIUA

PAPAPAP

WWWW

º0j

2e

I



º90j

2e

I

Q −⋅=CCCCXXXX º90jeIQ −⋅=CCCCUUUU º90jeI −⋅⋅= CUQQQQ º90j

C etIU −⋅⋅⋅=RRRRWWWW

ϕ−⋅⋅

= j2AP e

tI

WZZZZ ϕ−⋅⋅

= jAP etI

WUUUU ϕ−⋅= jet

WAPSSSS ϕ−⋅⋅= jetSAPAPAPAP

WWWW

º0j

2e

tI

W ⋅⋅

=RRRR º0jetI

W ⋅⋅

=RRRRUUUU º0jet


º90j

2R e

tI

W −⋅⋅

=CCCCXXXX º90jR etI

W −⋅⋅

=CCCCUUUU º90jR et

W −⋅=QQQQ º90jetQ −⋅⋅=RRRRWWWW


ZR

cos =ϕ U

Ucos R=ϕ

SP

cos =ϕ APW

Wcos =ϕ

Z

Xsen C=ϕ

U

Usen C=ϕ

SQ

sen =ϕ AP

RW

Wsen =ϕ

ϕ⋅⋅= cosIUP ϕ⋅⋅= senIUQ IUS ⋅=

ϕ⋅= tgPQ



CIRCUITO RLC SÉRIE COM CARÁCTER INDUTIVO FORMULÁRIO COM NOTAÇÃO COMPLEXA

Lf2XL π= ⇔ LXL ω= ; Cf2

1XC π

= ⇔ C

1XC ω

= CL XXX −= ⇔C

1CLX

2

ω−ω=

ϕ−⋅ je ϕ⋅ je

RX

tgarc=ϕ ⇔ R

XU

Utgarc=ϕ ⇔

PQ

tgarc=ϕ

ϕ⋅+= j22 eXRZZZZ ϕ⋅+= j2

X2

R eUUUUUU ϕ⋅+= j22 eQPSSSS ϕ⋅−= j2R

2 eWWAPAPAPAP

WWWW

º0j22 eXZ ⋅−=RRRR º0j2

X2 eUU ⋅−=RRRRUUUU º0j22 eQS ⋅−=PPPP º0j2

R2

AP eWW ⋅−=WWWW

º90j22 eRZ ⋅−=XXXX º90j2

R2 eUU ⋅−=UUUU º90j22 ePS ⋅−=QQQQ º90j22

AP eWW ⋅−=RRRRWWWW

CL XXX −= CLX UUU −= CL QQQ −=

CL RRR WWW −=

ϕ⋅= je

IUZZZZ ϕ⋅⋅= jeIZUUUU ϕ⋅⋅= j2 eIZSSSS ϕ⋅⋅⋅= j2 etIZA

PAPAPAP

WWWW

º0jR e

I


º90jL e

I

U⋅=LLLLXXXX º90j

L eIX ⋅⋅=LLLLUUUU º90j2L eIX ⋅⋅=LLLLQQQQ º90j2

LL etIX ⋅⋅⋅=RRRRWWWW

º90jC eI

U −⋅=CCCCXXXX º90jC eIX −⋅⋅=CCCCUUUU º90j2

C eIX −⋅⋅=CCCCQQQQ º90j2CC etIX −⋅⋅⋅=RRRRWWWW

º90jX e

I

U⋅=XXXX º90jeIX ⋅⋅=XXXXUUUU º90j2 eIX ⋅⋅=QQQQ º90j2 etIX ⋅⋅⋅=RRRRWWWW

ϕ⋅= j

2e

I

SZZZZ ϕ⋅= jeISUUUU ϕ⋅= ⋅ jeIUS ϕ⋅⋅⋅= jetIUA

PAPAPAP

WWWW

º0j

2e

I



º90j

2L e

I

Q⋅=LLLLXXXX º90jL e

I

Q⋅=LLLLUUUU º90jeI ⋅⋅= LULLLLQQQQ º90j

LL etIU ⋅⋅⋅=RRRRWWWW

º90j2C e

I

Q −⋅=CCCCXXXX º90jC eI

Q −⋅=CCCCUUUU º90jeI −⋅⋅= CUCCCCQQQQ º90jCC etIU −⋅⋅⋅=RRRRWWWW

º90j

2e

I

Q ⋅=XXXX º90jeIQ ⋅=XXXXUUUU º90jeI ⋅⋅= XUQQQQ º90j

X etIU ⋅⋅⋅=RRRRWWWW


CIRCUITO RLC SÉRIE COM CARÁCTER INDUTIVO FORMULÁRIO COM NOTAÇÃO COMPLEXA

ϕ⋅⋅

= j2AP e

tI

WZZZZ ϕ⋅⋅

= jAP etI

WUUUU ϕ⋅= jet

WAPSSSS ϕ⋅⋅= jetSAPAPAPAP

WWWW

º0j

2e

tI

W ⋅⋅

=RRRR º0jetI

W ⋅⋅

=RRRRUUUU º0jet


º90j2R

etI

WL ⋅

⋅=LLLLXXXX º90jR

etI

WL ⋅

⋅=LLLLUUUU º90jR e

t

W L ⋅=LLLLQQQQ º90jL etQ

L⋅⋅=RRRRWWWW

º90j2R

etI

WC −⋅

⋅=CCCCXXXX º90jR

etI

WC −⋅

⋅=CCCCUUUU º90jR e

t

W C −⋅=CCCCQQQQ º90jC etQ

C−⋅⋅=RRRRWWWW

º90j

2R e

tI

W⋅

⋅=XXXX º90jR e

tI

W⋅

⋅=XXXXUUUU º90jR e

t

W⋅=QQQQ º90jetQ ⋅⋅=RRRRWWWW


ZR

cos =ϕ X

RU

Ucos =ϕ

SP

cos =ϕ APW

Wcos =ϕ

ZX

sen =ϕ U

Usen X=ϕ

SQ

sen =ϕ AP

RW

Wsen =ϕ

RX

tg =ϕ R

XU

Utg =ϕ

PQ

tg =ϕ AP

RW

Wtg =ϕ



Sendo:

potênciadeFactorcos ⇒ϕ ; ⇒ϕ ângulo de desfasagem (fase) entre a tensão e a corrente No exemplo ilustrado º0>ϕ . Significa que a corrente está em atraso em relação à corrente (

circuito com carácter indutivo ), dado que CL XX > .

P ⇒ Potência activa em Watts (W) Q ⇒ Potência reactiva em Volt.Ampèrereactivo (VAR) S ⇒ Potência aparente em Volt.Ampère (VA)


No sentido de aplicar os conhecimentos apresentados anteriormente, vamos resolver dois exercícios

em que se determinam, relativamente a circuitos série de corrente alternada, as grandezas em valor

absoluto e com notação complexa, fundamentando a resolução dos mesmos. Propõe-se a resolução

de um terceiro exercício.

EXERCÍCIO 1. Considere o circuito RL série , indicado e os dados nele referenciados:

Sabendo que o factor de potência do circuito, medido com um fasímetro, é de cos ϕϕϕϕ = 0,87.

Determine:

1.1. A potência aparente do circuito (S), medida pelo método voltamperimétrico;

1.2. A potência reactiva do circuito (Q), medida com um varímetro;

1.3. A tensão de alimentação do circuito (U);

1.4. A impedância do circuito (Z);

1.5. A tensão medida nos terminais da resistência (UR);

1.6. A tensão nos terminais da bobina (UL);

1.7. O valor óhmico da resistência do circuito (R);

1.8. O valor da reactância indutiva da bobina (XL).

Resolução:

1. Consideremos os dados P = 800 W ; I = 4 A ; f = 50 Hz ; cos ϕ = 0,87

e os diagramas de impedâncias, de tensões e de potências indicados:


1.1. Como um dos dados do problema é a potência activa P, para se determinar a potência

aparente, temos de relacionar o factor de potência dado ϕcos através do diagrama

(triângulo) das potências. Assim:

VA54,91987,0

800cos

PS

SP

cos ==ϕ

=⇔=ϕ

1.2. R2222 VA38,4538,2055536400008,84555380054,919PSQ ==−=−=−=

ou por: 493,0senº54,2987,0cos =ϕ⇒=ϕ⇒=ϕ RVA33,453493,054,919senSQ =×=ϕ⋅=

1.3. V230V88,2294

54,919IS

UIUS ≅===⇔⋅=

1.4. Ω=== 5,574

230IU

Z

1.5. V2004

800IP

UR ===

1.6. V33,1134

33,453IQ

UL ===

1.7. Ω=== 504

200I

UR R

1.8. Ω=== 33,284

33,113I

UX L

L

Nota:

Qualquer outra questão pedida seria facilmente resolvida, tendo em atenção os diagramas

apresentados. Para tal não nos podemos esquecer que se pode relacionar lados homólogos dos

triângulos, para se obter as grandezas pedidas.

Tendo resolvido o exercício/problema proposto, considerando os valores absolutos ou módulos

das grandezas, vamos agora resolvê-lo, tendo em atenção a notação complexa para as

grandezas em causa, fundamentando as explicações durante a resolução para facilitar a sua

compreensão.


Assim, tendo em vista a resolução com notações complexas, teremos de atender aos dados do

problema:

P = 800 W ; I = 4 A ; f = 50 Hz ; cos ϕ = 0,87 Vamos considerar os diagramas de impedâncias, de tensões e de potências, em notação

complexa, e o esquema de raciocínio, já apresentados anteriormente com o objectivo de

sistematizar ideias:

1.1. Como um dos dados do problema é a potência activa P = 800 W, para se determinar a

potência aparente, temos de relacionar o factor de potência dado ϕcos através do

diagrama (triângulo) das potências. Assim, porque o factor de potência ϕcos é um

número real, teremos de calcular a potência aparente S em módulo e só depois

poderemos apresentá-la com notação complexa:

VA54,91987,0

800cos

PS

SP

cos ==ϕ

=⇔=ϕ

A potência aparente sob a forma complexa será: ϕ⋅= jeSSSSS Então, teremos de determinar o ângulo de desfasagem ϕ , a partir do ϕcos , através da

função inversa.

cos ϕ = 0,87 87,0cos 1−=ϕ⇒ =ϕ⇔ 29,54º º30≅

)º30senjº30(cos.54,919e54,919eS º30jj +=⇔⋅=⇔⋅= ϕ SSSSSSSSSSSS


1.2. Para se determinar a potência reactiva Q na forma complexa, teremos de determinar o

seu módulo. A partir do diagrama das potências e aplicando o Teorema de Pitágoras,

teremos:

R2222 VA38,4538,2055536400008,84555380054,919PSQ ==−=−=−=

Ou por:

5,0senº30 =ϕ⇒=ϕ ; RVA77,4595,054,919senSQ =×=ϕ⋅=

Note-se que esta pequena diferença no resultado, deve-se ao facto de termos feito

arredondamento nos cálculos e também pelo facto de que o argumento φ foi aproximado

para 30º. Efectivamente, se o argumento fosse 30º, teríamos como valor exacto para o

factor de potência cos ϕ = 0,866 em vez de cos ϕ = 0,87, como é dado no enunciado do

problema.

Correspondendo, a potência reactiva Q à parte imaginária do complexo ϕ⋅= jeSSSSS

(potência aparente ), teremos para a potência reactiva em notação complexa:

77,459j)º90senjº90(cos77,459e77,459eQ º90jº90j =⇔+⋅=⇔⋅=⇔⋅= QQQQQQQQQQQQQQQQ

A partir da notação complexa na forma trigonométrica da potência aparente SSSS, podemos

obter a sua representação algébrica, permitindo esta explicitar a potência activa P (parte

real de SSSS) e a potência reactiva Q (parte imaginária de SSSS).

Se: 77,459j800)5,0j87,0(.54,919)º30senjº30(cos.54,919 +=⇔+=⇔+= SSSSSSSSSSSS

Como: QjP +=SSSS

Então: P = 800 e Q = j 459,77 460j≅

1.3. A partir dos diagramas das tensões e das potências apresentados, tem-se para a tensão

de alimentação do circuito:

º30jº30jº0j

º30je230e88,229

e

e54,919 ⋅=⇔⋅=⇔⋅

⋅=⇔= UUUUUUUUUUUUIIIISSSSUUUU

4

ou: )º30senjº30(cos.230 +=UUUU Portanto a tensão de alimentação tem um valor absoluto ou módulo de U = 230 V e um

argumento de φ = 30º.

1.4. De igual modo, a partir dos diagramas das impedâncias e das tensões apresentados,

tem-se para a impedância do circuito:

º30jº0j

º30je5,57

e

e230 ⋅=⇔⋅

⋅=⇔= ZZZZZZZZIIIIUUUUZZZZ

4ou: )º30senjº30(cos.5,57 +=ZZZZ

Portanto a impedância do circuito tem um valor absoluto ou módulo de Z = 57,5 Ω e um

argumento de φ = 30º.



na resistência:

º0jº0j

º0je200

e

e800 ⋅=⇔⋅

⋅=⇔= RRRRRRRRRRRR UUUUUUUUIIIIPPPPUUUU

4

ou:

200)º0senjº0(cos.200 =⇔+= RRRRRRRR UUUUUUUU

Portanto a tensão aplicada à resistência tem um valor absoluto ou módulo de UR = 200 V

e um argumento de φ = 0º, o que corresponde à parte real da tensão de alimentação

complexa UUUU.


na bobina:

º90jº0j

º90je94,114

e

e77,459 ⋅=⇔⋅

⋅=⇔= LLLLLLLLLLLL UUUUUUUUIIIIQQQQUUUU

4

ou:

115j94,114j)º90senjº90(cos.94,114 ≅⇔=⇔+= LLLLLLLLLLLL UUUUUUUUUUUU

Portanto a tensão aplicada à bobina tem um valor absoluto ou módulo de UL = 114,94 V e

um argumento de φ = 90º, o que corresponde à parte imaginária da tensão de

alimentação complexa UUUU.

1.7. A partir dos diagramas das impedâncias e das tensões apresentados, tem-se para a

resistência do circuito:

⇔⋅=⇔⋅

⋅=⇔= º0jº0j

º0je50

e

e200 RRRRRRRRIIII

UUUURRRR RRRR4

)º0senjº0(cos.50 +=RRRR 50=⇔ RRRR

Portanto a resistência do circuito tem um valor absoluto ou módulo de R = 50 Ω e um

argumento de φ = 0º, o que corresponde à parte real do complexo impedância ZZZZ.

1.8. A partir dos diagramas das impedâncias e das tensões apresentados, tem-se para a

reactância indutiva da bobina:

⇔⋅=⇔⋅

⋅=⇔= º90j

º0j

º90je75,28

e

e115LLLLLLLL

LLLLLLLL XXXXXXXX

IIIIUUUUXXXX

4)º90senjº90(cos.75,28 +=LLLLXXXX 75,28j=⇔ LLLLXXXX


Portanto a reactância indutiva da bobina tem um valor absoluto ou módulo de XL = 28,75

Ω e um argumento de φ = 90º, o que corresponde à parte imaginária do complexo

impedância ZZZZ.

Note-se que cada uma das questões pedidas podiam ter sido obtidas através de

expressões equivalentes, a partir das grandezas homólogas ( lados correspondentes dos

diagramas / triângulos ), relacionando a grandeza pedida com a grandeza correspondente

do outro diagrama, conforme foi exemplificado nos formulários apresentados e justificados

anteriormente. Por exemplo:

º90jº0j

º90je75,28

e

e115 ⋅=⇔⋅

⋅=⇔= LLLLLLLLLLLLLLLL XXXXXXXXIIII

UUUUXXXX4

ou:

º90jº0j

º90je75,28

e6

e460 ⋅=⇔⋅

⋅=⇔= LLLLLLLL2222LLLL XXXXXXXXIIIIQQQQXXXX

1

Note-se que ao definir uma grandeza complexa na sua representação exponencial,

também a poderemos definir na sua representação trigonométrica ou algébrica. Deste

modo, poderemos como já foi exemplificado na questão 1.2. determinar as grandezas

pedidas correspondentes às partes reais e imaginárias de uma grandeza complexa.

Vamos concretizar, o explicado anteriormente.

Sabe-se que: ⇔⋅= ϕjeSSSSS QjP)senj(cos.S +=⇔ϕ+ϕ= SSSSSSSS

Então: 77,459j800)5,0j87,0(.54,919)º30senjº30(cos.54,919 +=⇔+=⇔+= SSSSSSSSSSSS

Como: QjP +=SSSS

Teremos: P = 800 e Q = j 459,77 460j≅

Em módulos, teremos:

P = 800 W (parte real do complexo S)

Q = 460 VAR (parte imaginária do complexo S)

Sendo:

P ⇒ Potência activa (W) ; Q ⇒ Potência reactiva (VAR) ; S ⇒ Potência aparente(VA)

Se: 115j200)5,0j87,0(.230)º30senjº30(cos.230 +=⇔+=⇔+= UUUUUUUUUUUU

Como: LR UjU +=UUUU

Então: UR = 200 e UL = 115j


UR = 200 V (parte real do complexo U)

UL = 115 V (parte imaginária do complexo U)

Sendo:

UR ⇒ Tensão aplicada à resistência (V) ;

UL ⇒ Tensão aplicada à bobina (V) ;

U ⇒ Tensão aplicada ao circuito (V) .


Se: 75,28j50)5,0j87,0(.5,57)º30senjº30(cos.5,57 +=⇔+=⇔+= ZZZZZZZZZZZZ

Como: LXjR +=ZZZZ

Então: R = 50 e XL = j 28,75


R = 50 Ω (parte real do complexo Z)

XL = 460 Ω (parte imaginária do complexo Z)

Sendo:

R ⇒ Resistência (Ω) ; XL ⇒ Reactância indutiva (Ω) ; Z ⇒ Impedância (Ω)

EXERCÍCIO 2.

Considere um receptor monofásico constituído por uma resistência de 12 Ω, uma bobina ideal de

120 mH de coeficiente de auto-indução e um condensador de 220 µF de capacidade, associados

em série e alimentado por uma rede de corrente alternada monofásica de tensão 230 V e de

frequência 50 Hz.

Determine:

2.1. A reactância indutiva da bobina;

2.2. A reactância capacitiva do condensador;

2.3. A reactância do receptor;

2.4. A impedância do receptor;

2.5. A intensidade de corrente no receptor;

2.6. A tensão na resistência do receptor;

2.7. A tensão na bobina;

2.8. A tensão no condensador;

2.9. A potência que seria medida com um wattímetro intercalado no circuito/receptor,

indicando como se designa essa potência;

2.10. A potência reactiva associada à bobina;

2.11. A potência reactiva associada ao condensador;

2.12. A potência que seria medida com um varímetro intercalado no circuito/receptor, indicando

como se designa essa potência;

2.13. A potência aparente do receptor, indicando como poderia medi-la;

2.14. O factor de potência do receptor/circuito;

2.15. O ângulo de desfasagem entre tensão e corrente, indicando o carácter do circuito e a

grandeza que está em avanço;

2.16. O valor da energia activa medida por um contador , durante 10 h de funcionamento;

2.17. O valor da energia reactiva medida por um contador, durante 10 h de funcionamento;

2.2. Confirme as identidades seguintes:

2.2.1. P = S . cos ϕ

2.2.2. Q = S . sen ϕ

2.2.3. Q = P . tg ϕ


Resolução: Consideremos o esquema de referência e os diagramas vectoriais respectivos:

2.1. Ω=×=×××=π= 68,3712,031412,05014,32Lf2XL

2.2. Ω==×

=××××

=π

=−

48,146908010

22031410

102205014,32

1Cf2

1X

66

6C

2.3. Ω==−= 23,214,48 - 37,68XXX CL

2.4. Ω==+=+= 12,2624,6822,2312XRZ 2222

2.5. A80,812,26

230ZU

I ===

2.6. V6,1058,812IRUR =×=⋅= 2.7. V58,3318,868,37IXU LL =×=⋅=

2.8. V42,1278,848,14IXU CC =×=⋅= ; V16,2048,82,23IXUX =×=⋅=


2.9. W28,9298,86,105IRUP =×=⋅= Potência Activa

2.10. RVA9,29178,858,331I =×=⋅= LL UQ 2.11. RVA3,11218,842,127I =×=⋅= CC UQ 2.12. RVA61,17968,816,204I =×=⋅= XUQ Potência Reactiva 2.13. VA20248,8230IUS =×=⋅= Potência Aparente

2.14. 459,02024

28,929SP

cos ===ϕ Factor de Potência

2.15. º65,62459,0cos459,0SP

cos 1 =ϕ⇔=ϕ⇒==ϕ − ângulo de desfasagem

O circuito tem carácter indutivo ( º0XX CL >ϕ⇔> )

A tensão está em avanço de 62,65º em relação à corrente.

2.16. KWh293,9Wh8,92921028,929tPW ==×=⋅= Energia Activa 2.17. hKVA966,17hVA1,179661061,1796tQW RRR ==×=⋅= Energia Reactiva 2.2. Podemos confirmar os valores das potências activa e reactiva, através de: 2.2.1. W02,929459,08,8230cosIUP =××=ϕ⋅⋅= 2.2.2. RVA31,1797888,08,8230senIUQ =××=ϕ⋅⋅= 2.2.3. RVA8,1795933,102,929tgPQ =×=ϕ⋅= Note-se que as ligeiras diferenças de resultados são justificadas pelas aproximações feitas

relativamente aos resultados das grandezas intervenientes nas fórmulas utilizadas.

Podia ter-se obtido os resultados das diferentes grandezas recorrendo a fórmulas equivalentes

que facilmente são obtidas a partir dos diagramas vectoriais.

Tendo resolvido o exercício/problema proposto, considerando os valores absolutos ou módulos

das grandezas, vamos agora resolvê-lo, tendo em atenção a notação complexa para as

grandezas em causa.


Tendo em vista a notação complexa, teremos de atender aos dados do problema: R = 12 Ω ; L = 120 mH ; C = 220 µF ; U = 230 V ; f = 50 Hz Podemos referenciar-nos neste esquema para sistematização de raciocínio e respectivos

diagramas que resume o circuito RLC série, em termos de impedâncias, tensões e potências.

2.1. Temos a reactância indutiva da bobina dada por: XL = XL . e j90º ⇔ XL = j XL

Logo:

XL ⇔=×=ω=π= º90jº90jº90jº90j e.68,37e).12,0314(e.L.e.Lf2 XL= j 37,68 2.2. Temos a reactância capacitiva do condensador dada por: XC = XC . e -j90º ⇔ XC = - j XC

Logo:

XCº90jº90j

6º90jº90j e.48,14e.

10220314

1e.

C1

e.Cf2

1 −−−

−− =××

=ω

=π

=

ou: XC= - j 14,48 2.3. Para a reactância do receptor, teremos: X = XL- XC = (XL – XC) . e j 90º ou:

X = j (XL – XC) porque o circuito do receptor tem carácter indutivo (XL > XC) Logo, ter-se-á: X = XL- XC = (37,68 – 14,48) . e j 90º = 23,2 . e j 90º ⇔ X = j 23,2


2.4. Para a impedância do receptor, ter-se-á: )XX(jReXR CLj22 −+=⇔⋅+= ϕ ZZZZZZZZ

Sendo: RX

tgarc=ϕ

RX

tgarc=ϕ ===12

2,23tgarc

RX

tgarc 62,65º

º65,62jº65,62j22RX

tgarcj22 e12,26e2,2312eXR ⋅=⋅+=⋅+=ZZZZ

Apresentando a impedância na forma algébrica, teremos:

2,23j12XjR)XX(jR CL +=+=−+=ZZZZ

2.5. Para a intensidade de corrente no receptor, ter-se-á:

º0jº0jº65,62j

º65,62j

j

je80,8e

12,26230

e12,26

e230

eZ

eU ⋅=⋅=⋅

⋅=⋅

⋅=ϕ

ϕIIII 80,8=⇔ IIII

2.6. Para a tensão aplicada à resistência do receptor, teremos:

6,105e6,105eeIR º0jº0jº0j =⇔⋅=⋅×=⋅⋅= RRRRRRRR UUUU(( (( UUUU 8,8

)

12

2.7. Para a tensão nos terminais da bobina, teremos:

⇔⋅=⋅×=⋅⋅= º90jº90jº90jL e58,331e)8,868,37(eIXLLLLUUUU 58,331j=LLLLUUUU

2.8. Para a tensão nos terminais do condensador, teremos:

⇔⋅=⋅×=⋅⋅= −−− º90jº90jº90jC e42,127e)8,848,14(eIXCCCCUUUU 42,127j−=CCCCUUUU

Para a tensão nos terminais da associação bobina-condensador, teremos:

⇔⋅=⋅×=⋅⋅= º90jº90jº90j e16,204e)8,82,23(eIXXXXXUUUU 16,204j=XXXXUUUU 2.9. Para a potência activa, teremos:

⇔⋅=⋅×=⋅⋅= º0jº0jº0jR e28,929e)8,86,105(eIUPPPP 28,929=CCCCUUUU

2.10. Para a potência reactiva associada à bobina, ter-se-á:

⇔⋅=⋅×=⋅⋅= º90jº90jº90jL e9,2917e)8,858,331(eIULLLLQQQQ 9,2917j=LLLLQQQQ

2.11. Para a potência reactiva associada ao condensador, ter-se-á:

⇔⋅=⋅×=⋅⋅= −−− º90jº90jº90jC e3,1121e)8,842,127(eIUCCCCQQQQ 3,1121j−=CCCCQQQQ

2.12. A potência reactiva do circuito, será:

⇔⋅=⋅×=⋅⋅= º90jº90jº90jX e61,1796e)8,816,204(eIUQQQQ 61,1796j=QQQQ


2.13. A potência aparente do circuito, será:

ϕ⋅= ⋅ jeIUSSSS 65,62je302( )8,8 ⋅= × 65,62je2024 ⋅= representação exponencial

61,1796j28,929QjP)QQ(jP CL +=+=−+=SSSS representação algébrica Recorde que também se poderia obter a representação algébrica a partir das

representações exponencial e trigonométrica. Concretizando, teremos:

QjPsenSjcos.S)senj(cosSeSeI jjU +=ϕ⋅+ϕ=ϕ+ϕ⋅=⋅=⋅= ϕϕ⋅SSSS

31,1797j02,929

)888,0j459,0(.2024)º65,62senjº65,62(cos2024e2024 65,62j

+=

+=+⋅=⋅=

SSSS

SSSS

Como é óbvio, há ligeiras diferenças nos resultados que são justificadas pelas

aproximações de cálculos que são feitas.

2.14. O factor de potência é definido por ϕcos . Como já é sabido o ângulo de desfasagem ϕ , facilmente se pode achar o seu valor.

459,0º65,62coscos ==ϕ

No entanto, o factor de potência podia ser obtido a partir dos valores absolutos ou

módulos das grandezas definidas nos diagramas vectoriais das impedâncias, das tensões

e das potências, já determinadas.

⇔===ϕ 459,012,26

12ZR

cos ⇔===ϕ 459,0230

6,105U

Ucos R 459,0

202428,929

SP

cos ===ϕ

2.15. O ângulo de desfasagem já foi determinado na alínea 2.4. Podia ser determinado

recorrendo às funções inversas. Por exemplo:

RX

tgarc=ϕ ; R

XU

Utgarc=ϕ ;

PQ

tgarc=ϕ

ZR

cosarc=ϕ ; U

Ucosarc R=ϕ ;

SP

cosarc=ϕ

º65,62459,0cos459,0SP

cos 1 =ϕ⇔=ϕ⇒==ϕ −

Ou:

º65,62459,0cosarc459,0SP

cos =ϕ⇔=ϕ⇒==ϕ

2.16. A energia activa consumida pelo circuito durante 10 h de funcionamento será:

=⋅⋅= º0jetPWWWW (929,28 x 10). e j0º = 9292,8. e j0º ou: 8,9292=WWWW


2.17. A energia reactiva associada a trocas de energia no circuito, que não se traduzem em

consumo real, durante 10 h de funcionamento será:

=⋅⋅= º90jetQRRRRWWWW (1796,61 x 10). e j 90º

= 1,179966 . e j 90º ou: j

17966,1

=RRRRWWWW A questão 2.2. refere-se às confirmações, em valores absolutos das grandezas:

ϕ⋅⋅= cosIUP ; ϕ⋅⋅= senIUQ ; ϕ⋅= tgPQ As mesmas já foram confirmadas, na resolução anterior do problema.

EXERCÍCIO 3 ( PROPOSTO):

Fez-se um ensaio laboratorial com um circuito RLC série , de que resultaram os valores das

grandezas indicados na figura seguinte:

Determine:

3.1. O valor óhmico da resistência do circuito (R);

3.2. As reactâncias indutiva e capacitiva (XL e XC);

3.3. A reactância do circuito (X);

3.4. A impedância do circuito (Z);

3.5. A tensão nos terminais da resistência (UR);

3.6. As potências reactivas parciais da bobina e do condensador (QL e QC) ;

3.7. A potência reactiva total do circuito (Q), indicando se o circuito tem carácter indutivo,

capacitivo ou resistivo;

3.8. A potência aparente do circuito (S);

3.9. A tensão aplicada ao circuito (U);

3.10. O factor de potência do circuito (cos ϕϕϕϕ) e o ângulo de desfasagem (ϕϕϕϕ), indicando se a

corrente está em atraso ou avanço em relação à tensão;

3.11. As energias activa, reactiva e aparente durante 30 minutos de funcionamento (W , WR WAP );

3.12. O valor da capacidade a introduzir no condensador variável para que o circuito se torne

ressonante.


EXERCÍCIO 4 ( PROPOSTO):

Fez-se um ensaio laboratorial com um circuito RLC série , tendo-se medido os valores das

seguintes grandezas:

A5,2I;V8,197U;86,0cos R ===ϕ

Determine: 1.1. A potência activa do circuito; 1.2. A potência aparente; 1.3. A tensão aplicada ao circuito; 1.4. A resistência do circuito; 1.5. A impedância do circuito; 1.6. A reactância do circuito; 1.7. A tensão aplicada à reactância do receptor; 1.8. A potência reactiva do circuito. Sugestão: Comece por fazer um esquema de raciocínio que lhe permita obter as expressões

pretendidas, tendo como referência as grandezas dadas e recorrendo aos diagramas

vectoriais. Só depois é que concretize os valores das grandezas dadas e calculadas, para dar

resposta ao pretendido.

Tente fazer uma aplicação em Excel, de modo a que seja feita a programação do exercício

proposto.

aplicacao dos numeros complexos 2parte

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