Download - Numeros complexos
ENGENHARIA DE TELECOMUNICAÇÕES
Disciplina: Circuitos Elétricos II
Professor: Moacir de SouzaEndereço eletrônico: [email protected]
Conteúdo da Aula
1 - Números Complexos - Revisão Sucinta
2 - Funções Senoidais - Domínio do Tempo
3 - Fasores - Domínio da Freqüência
4 - Passagem do Domínio do Tempo para o Domínio da Freqüência e vice-versa
5 - Relações entre os fasores V e I para circuitos puramente resistivos, capacitivos e indutivos
6 - Impedância (Z) e Admitância (Y)7 - Exercícios - Listas de Exercícios
1 - NÚMEROS COMPLEXOS - REVISÃO1) Origem1.1 – Extrair raízes quadradas de números
negativos.
1.2 - Raízes de Polinômiosexemplo: x2 + 1 = 0 ∴∴∴∴
2) Aplicações
• Matemática (Álgebra, Geometria, Análise etc.)• Física (Cinemática, Astronomia etc.).• Engenharia de Telecomunicações.
(CORRENTE ALTERNADA)
i/jx)1(x =∴−=
1 - NÚMEROS COMPLEXOS - REVISÃO3) REPRESENTAÇÃO GRÁFICA (PLANO DE ARGAND-GAUSS)
0
Imaginário
Reala
bZ
θθθθ0
Imaginário
Reala
bZ
θθθθ0 < θθθθ < 900 900 < θθθθ < 1800
0
Imaginário
Reala
bZ
θθθθ
0
Imaginário
Reala
b
1800 < θθθθ < 2700
Z
θθθθ 2700 < θθθθ < 3600
1 - NÚMEROS COMPLEXOS - REVISÃO4) NOTAÇÕES
0
Imaginário
Reala
bZ
θθθθ
4.1 Forma retangular (ou cartesiana) ⇒⇒⇒⇒
4.2 Forma polar ⇒⇒⇒⇒
4.3 Forma trigonométrica ⇒⇒⇒⇒
4.4 Forma exponencial ⇒⇒⇒⇒
bjaZ +=θ∠= ZZ
)sencos( θθ jZZ +=θjeZZ =
θθ
sencos
ZbZa
==
θθθ sencos je j +=Identidade de Euler ⇒⇒⇒⇒θθθ sencos je j −=−
1 - NÚMEROS COMPLEXOS - REVISÃO5) RELAÇÕES MATEMÁTICAS NO PLANO DE ARGAND-
GAUSS
0
Imaginário
Reala
bZ
θθθθ
θθ
sencos
ZbZa
==
=∴=
+=
abtgarc
abtg
baZ
θθ
22
Estas relações possibilitam transformações entre as notações ⇒⇒⇒⇒ retangular para polar, polar para retangular etc.
1 - NÚMEROS COMPLEXOS - REVISÃO6) COMPLEXO CONJUGADO - Z*
bjaZ += ⇒⇒⇒⇒
θ∠= ZZ ⇒⇒⇒⇒
)sencos( θθ jZZ += ⇒⇒⇒⇒
θjeZZ = ⇒⇒⇒⇒
bjaZ −=*
θ−∠= ZZ*
)sencos(* θθ jZZ −=
θ−= j* eZZ
θθθ sencos je j +=
Seja θ+θ= senjcosy ⇒⇒⇒⇒ ∴θ+θ−=θ
cosjsend
yd
∴θ+θ=θ
cosjsenjd
yd 2 (Lembrete: j2 = -1 )
7) DEDUÇÃO DA IDENTIDADE DE EULER
1 - NÚMEROS COMPLEXOS - REVISÃO
8) RELAÇÕES MATEMÁTICAS IMPORTANTES
∴θ+θ=θ
)cossenj(jd
yd∴=
θyj
dyd ∴θ= dj
yyd
∴θ= djyyd Cjyln +θ=
Determinação da constante de integração C - para θθθθ = 00, tem-se: ⇒=∴+= 1y0senj0cosy 00 0CC0j1ln 0 =∴+=
Portanto, tem-se ∴θ= jyln θ+θ== θ senjcosey j (cqd)
j1j
j1j1jj1j1j)a 2 =−∴−=∴−=∴−=∴−=
)purorealnúmerouméx(ex0xx)b00j0 =∠=
)purorealnúmerouméx(ex180xx)c0180j0 −=∠=−
1 - NÚMEROS COMPLEXOS - REVISÃO
9) Primeira Lista de Exercícios - LE1 (OBRIGATÓRIA)
Livro“capa laranja”:Circuitos Elétricos-Joseph A. EdministerColeção Schaum.
Ler o Capítulo 4 e/ou o apêndice do livro do “RIEDEL” capa branca.
)puroimaginárionúmerouméjx(ex90xxj)d090j0 =∠=
)puroimaginárionúmerouméjx(ex90xex270xxj)e
00 90j0270j0
−=−∠==∠=− −
2 - FUNÇÕES SENOIDAIS - DOMÍNIO DO TEMPO
1) IMPORTÂNCIA – PRINCIPAIS APLICAÇÕES
• A geração, transmissão, distribuição e consumo de energia elétrica são feitos na forma de tensões e correntesenoidais.
• A compreensão do funcionamento de circuitos em regimes senoidais torna possível prever o comportamento dos mesmos em regimes não-senoidais.
• A suposição de que o sistema está funcionando no regime senoidal quase sempre simplifica o projeto dos circuitos.
T
v(0)
2 - FUNÇÕES SENOIDAIS - DOMÍNIO DO TEMPO
2) REPRESENTAÇÃO - GRANDEZAS DE INTERESSE
t
v (t)
+ Vm
- Vm
Vm
b) AMPLITUDE ⇒⇒⇒⇒ Vm (volts)
)t(cosV)t(v m φ+ω=
c) PERÍODO ⇒⇒⇒⇒ T (segundos = s)
d) FREQÜÊNCIA ⇒⇒⇒⇒ f (ciclos/s = Hz)
T1f =
e) FREQÜÊNCIA ANGULAR ⇒⇒⇒⇒ ωωωω (rad/s) T2f2 π=π=ω
a) CICLO
2 - FUNÇÕES SENOIDAIS - DOMÍNIO DO TEMPO
f) ÂNGULO DE FASE ⇒⇒⇒⇒ φφφφ (graus)
Corresponde ao ângulo que determina o valor da função em t = 0 s:
∴φ+ω= )0(cosV)0(v m ∴φ= )(cosV)0(v m
]V
)0(v[cosarcm
=φ
OBS.: Para somar ωωωω t e φφφφ é necessário que ambos estejam na mesma unidade (de preferência em graus, pois φφφφ é normalmente expresso em graus).
radyx
rad180
0
0 π
)t(cosV)t(v m φ+ω=
Exemplo: Expressar 2 rad em graus
rad2x
rad180
0
0 π
06,1141416,3
)2(180x
)2(180x
≈=
∴=π
3 - FASORES - DOMÍNIO DA FREQÜÊNCIA
⇒θ+θ=θ senjcose)1 j θ=θ coseRe j
⇓
φ+ω+φ+ω=φ+ω )t(senj)t(cose)2 )t(j
)t(coseRe )t(j φ+ω=φ+ω
Portanto, tem-se:
∴φ+ω= )t(cosV)t(v m ∴= φ+ω eVRe)t(v )t(jm
eeVRe)t(v tjjm
ωφ=
FASOR: φ•
= jm eVV
4 - PASSAGEM DO DOMÍNIO DO TEMPO PARA O DOMÍNIO DA FREQÜÊNCIA E VICE-VERSA
4.1 - Domínio do tempo para o domínio da freqüência:
⇒φ+ω= )t(cosV)t(v mφ
•= j
m eVV
4.2 - Domínio da freqüência para o domínio do tempo :
⇒= φ•
jm eVV ∴= ωφ eeVRe)t(v tjj
m∴= ω•
eVRe)t(v tj
)t(cosV)t(v m φ+ω=∴= φ+ω eVRe)t(v )t(jm
5 - RELAÇÕES ENTRE OS FASORES V E I PARA CIRCUITOS PURAMENTE RESISTIVOS,
CAPACITIVOS E INDUTIVOS5.1 - Circuito Puramente Resistivo:
i (t)
v (t) R⇓
φ+ω= )t(cosI)t(i im
∴= )t(iR)t(v )t(cosIR)t(v im φ+ω=
Conclusão: de acordo com as expressões de i(t) e v(t), verifica-se que ambas
estão em fase, uma vez que o ângulo de fase é o mesmo (φφφφi).
No domínio da freqüência, tem-se: eeII ijm
φ•
= ijm eIRV φ
•=
•V•
Iφφφφi
ReIeIR
I
Vi
i
jm
jm == φ
φ
•
•
5 - RELAÇÕES ENTRE OS FASORES V E I PARA CIRCUITOS PURAMENTE RESISTIVOS,
CAPACITIVOS E INDUTIVOS5.2 - Circuito Puramente Indutivo:
⇓
φ+ω= )t(cosI)t(i im
∴=td)t(idL)t(vv (t)
i (t)
L
∴φ+ωω−= )t(senIL)t(v im
∴−φ+ω−ω= )90t(cos)1(IL)t(v 0im
)90t(cosIL)t(v 0im +φ+ωω=
Conclusão: de acordo com as expressões de i(t) e v(t), verifica-se que a tensão
está adiantada de 900 em relação à corrente.
Obs.: Para as deduções apresentadas acima lembre-se que:
sen (x) = cos (x - 900) e cos (x + 900) = - sen (x) ⇒⇒⇒⇒ cos (x + 900) = - cos (x - 900)
5 - RELAÇÕES ENTRE OS FASORES V E I PARA CIRCUITOS PURAMENTE RESISTIVOS,
CAPACITIVOS E INDUTIVOS
No domínio da freqüência, tem-se: eeII ijm
φ•
= )90(jm
0ieILV +φ
•ω=
∴ω=ω= φ
φ
•
•0
i
0i
90jj
m
90jjm eL
eIeeIL
I
V•Iφφφφi
•V
φφφφi+ 900
090LLjI
V ∠ω=ω=•
•
NOTAS
1) A relação entre os fasores de tensão e corrente corresponde à impedância (no caso de um circuito puramente resistivo, corresponde à resistência).
2) O termo ωωωω L corresponde à reatância indutiva.
5 - RELAÇÕES ENTRE OS FASORES V E I PARA CIRCUITOS PURAMENTE RESISTIVOS,
CAPACITIVOS E INDUTIVOS5.3 - Circuito Puramente Capacitivo:
⇓
φ+ω= )t(cosV)t(v vm
∴=td
)t(vdC)t(i
∴φ+ωω−= )t(senVC)t(i vm
∴−φ+ω−ω= )90t(cos)1(VC)t(i 0vm
)90t(cosVC)t(i 0vm +φ+ωω=
Conclusão: de acordo com as expressões de i(t) e v(t), verifica-se que a corrente
está adiantada de 900 em relação à tensão.
Obs.: Para as deduções apresentadas acima lembre-se que:
sen (x) = cos (x - 900) e cos (x + 900) = - sen (x) ⇒⇒⇒⇒ cos (x + 900) = - cos (x - 900)
v (t)
i (t)
C
5 - RELAÇÕES ENTRE OS FASORES V E I PARA CIRCUITOS PURAMENTE RESISTIVOS,
CAPACITIVOS E INDUTIVOS
No domínio da freqüência, tem-se: eeVV vjm
φ•
= )90(jm
0veVCI +φ
•ω=
∴ω
=ω
= −φ
φ
•
•0
0v
v90j
90jjm
jm e
C1
eeVCeV
I
V•V
φφφφv
•I
φφφφv+ 900
090C
1Cj
1Cj
I
V −∠ω
=ω
=ω−=•
•
NOTAS
1) A relação entre os fasores de tensão e corrente corresponde à impedância (no caso de um circuito puramente resistivo, corresponde à resistência).
2) O termo (1 / ωωωω C) corresponde à reatância capacitiva.
6 - IMPEDÂNCIA (Z) E ADMITÂNCIA (Y)
6.1 - Impedância (Z) : ∴= •
•
I
VZ XjRZ +=
R →→→→ parte real da impedância (RESISTÊNCIA)
X →→→→ parte imaginária da impedância (REATÂNCIA) - pode ser
capacitiva ( X < 0 ) ou indutiva ( X > 0 )
6.2 - Admitância (Y) : ∴=Z1Y BjGY +=
G →→→→ parte real da admitância (CONDUTÂNCIA)
B →→→→ parte imaginária da admitância (SUSCEPTÂNCIA)
OBS.: Unidade de Z, R e X no sistema internacional = ΩΩΩΩ (ohms)
OBS.: Unidade de Y, G e B no sistema internacional = S (siemens)
6 - IMPEDÂNCIA (Z) E ADMITÂNCIA (Y)6.3 - Para um circuito puramente RESISTIVO, tem-se :
1) Z = R
2) Y = 1 / R ⇒⇒⇒⇒ G = 1 / R
6.4 - Para um circuito puramente INDUTIVO, tem-se :
1) Z = j ωωωω L ⇒⇒⇒⇒ XL = ωωωω L (reatância indutiva)
2) Y = 1 / ( j ωωωω L ) ⇒⇒⇒⇒ B = - 1 / ( ωωωω L )
6.5- Para um circuito puramente CAPACITIVO, tem-se :
1) Z = - j / ( ωωωω C ) ⇒⇒⇒⇒ XL = - 1 / ( ωωωω C ) (reatância capacitiva)
CBCjY
Cj
1YZ1Y)2 ω=⇒ω=∴
ω−=∴=
7 - EXERCÍCIOS
v0(t)v1(t)
L1=1/10 H
1/10 F
1Ω
1/2ΩL2=1/5 H
1/2Ω
1) Calcular vo(t) para o estado permanente de corrente alternada do circuito abaixo, sabendo-se que v1(t) = 10 cos (10t + 200).OBS.: faça o cálculo pedido usando os seguintes métodos:a) Método das correntes de malhab) Método das tensões de nó
2) EPC: Ler, inclusive os exemplos resolvidos, as seguintes páginas doLivro de “capa branca” (Circuitos Elétricos- James W. Nilsson e Susan A.Riedel - Capítulo 9): 200 a 202 (introdução e seção 9.1); 207 a 220 (seções
9.4, 9.5, 9.6, 9.7, 9.8 e 9.9)