Acoplamento spin-rbita

em processos pticos no lineares

Leonardo Silva Silveira

Niteri, dezembro de 2011

2

Leonardo Silva Silveira

Acoplamento spin-rbita

em processos pticos no lineares

Trabalho de monografia apresentado ao

curso de graduao em Fsica

Bacharelado, da Universidade Federal

Fluminense, como requisito parcial

concluso do curso.

Orientador: Prof. Dr. Antonio Zelaquett Khoury

Niteri RJ

09 de dezembro de 2011

3

S587 Silveira, Leonardo Silva. Acoplamento spin-rbita em processos pticos no

lineares / Leonardo Silva Silveira ; orientador: Antonio Zelaquett Khoury - Niteri, 2011.

42 f. : il. Trabalho de concluso de curso (Bacharelado) Universidade Federal Fluminense, Instituto de Fsica, 2011. Bibliografia: f. 41-42.

1. PTICA NO LINEAR. 2. PTICA QUNTICA. 3. CONVERSO PARAMTRICA I. Khoury, Antonio Zelaquett, Orientador. II.Universidade Federal Fluminense. Instituto de Fsica,Instituio responsvel. III.Ttulo. CDD 535.2

4

Aos meus pais, Rogrio e Rose, exemplos e pilares;

aos meus familiares e amigos; e memria de meu grande av Lus Silveira.

5

Agradecimentos

Neste espao quero deixar registrada minha gratido a todos que foram essenciais

durante a minha caminhada neste tempo de graduao.

Comeo dedicando meus agradecimentos ao professor Antonio Zelaquett, com

quem muito aprendi e a quem eu devo a maior parte dos conhecimentos adquiridos na

faculdade. Seu apoio, seus ensinamentos e, principalmente sua confiana depositada em

mim me permitiram crescer como profissional e como pessoa. Muito obrigado pela sua

orientao!

Agradeo tambm ao professor Daniel Jonathan que me orientou em estudos

tericos por um bom tempo e com quem adquiri muita base para a minha formao.

Obrigado pela pacincia e pelas oportunidades. Em voc, agradeo tambm aos demais

membros do grupo de ptica e Informao Quntica.

Muito obrigado, tambm, a todos os professores do IF-UFF pelos exemplos e

ensinamentos. Orgulho-me de poder dizer que estudei com pessoas realmente apaixonadas

pelo que fazem, como vocs o so. Mesmo correndo risco de parecer injusto, sou obrigado

a mencionar nomes de fundamental importncia: os professores Jorge S Martins, Jess

Lubin Rios, Wanda da Conceio, Roberto Meigikos e Paulo Acioly. Mais do que

mestres, eles se mostraram grandes amigos!

A graduao no teria a menor graa sem a Iniciao Cientfica que desenvolvi. E

nela conheci grandes pessoas: o Professor Carlos Eduardo (ainda tenho que me acostumar

a cham-lo assim, ao invs de Cadu), a Professora Malena Osrio da UFRJ, o

pesquisador francs Thierry Rouchon que muito me ajudou no domnio de tcnicas

experimentais, e a aluna de doutorado Carolina Borges. A todos vocs, muito obrigado

pela ajuda!

Dizem que na faculdade a gente aprende as maiores lies da vida. E o pior que

verdade. Mesmo sem perceber, a gente se deixa levar por um novo jeito de encarar o

mundo e as pessoas. No meu caso o maior aprendizado, acho que foi ter entendido o

sentido da definio: Amigos: a famlia que escolhemos. Jamais teria entendido, fora da

UFF, o real sentido da amizade! a eles, meus amigos, que dedico estas ltimas linhas de

agradecimento.

6

Em primeiro lugar, ao cara mais fantstico que a faculdade me apresentou: Antnio

Duarte. Do primeiro ao ltimo dia de graduao, ele foi amigo, analista, professor, aluno

(minha modstia haha)... Definitivamente, esse O CARA.

Allan Vieira, companheiro de laboratrio, de casa, de pr-vestibular. Est a uma

das maiores personalidades que a costa do sol revelou para o mundo! Com seu jeito

inconfundvel e irreverente, e sempre camuflado sob o intrigante mistrio do golpe

escondido, fazia at as provas de Eletro virarem motivos para dar risadas.

Entre as caronas da Las, os e-mails URGENTES do JC (Jos Carlos) e as

aplicaes macabras da Rogeriana, fui conhecendo e convivendo com pessoas incrveis

como o Samir, Pedro, Alice e Beatriz. A todos esses e aos demais que no citei, sou

imensamente grato pela amizade e pelo convvio que me proporcionaram.

E, se amigos so a famlia que escolhemos, ento j sei quem o meu irmo:

Rosembergue Jnior! Um homem de carter invejvel e grande capacidade de ajudar os

outros. Sem dvida, esse o meu exemplo! Quando crescer, quero ser igual a ele!

Brincadeiras parte, muito obrigado, Rosembergue, por tudo!

Deixo aqui, registrado tambm, o meu agradecimento a todos os familiares e

amigos de fora da UFF, que sempre me incentivaram e agiram de muita pacincia comigo

quando a vida social foi ficando escassa durante a faculdade.

Por fim, agradeo ao CNPq e a PROPPI UFF pelo apoio financeiro durante meu

projeto de Iniciao Cientfica.

7

A f e a razo constituem como que as duas asas

pelas quais o esprito humano se eleva para a contemplao da verdade.

(Joo Paulo II)

8

Resumo

Consideramos como meios pticos no lineares aqueles cuja resposta a um campo eltrico

aplicado seja proporcional a potncias do campo maiores que um. Num caso mais

especfico, cristais no lineares cujas polarizaes so proporcionais ao quadrado do

campo incidente atuam como mediadores da interao entre ftons, dando origem a

fenmenos como soma e subtrao de frequncias e gerao de segundo harmnico. Neste

trabalho, desejamos estudar o comportamento dos graus de liberdade de polarizao e

modo transversal do feixe de luz usado nesses processos. Estudamos os mtodos para

gerao e manipulao desses graus de liberdade, sobretudo dos modos Laguerre-

Gaussianos. Partiremos de conceitos pticos fundamentais como interferncia e difrao e

os utilizaremos como ferramenta para o diagnstico dos feixes produzidos nos processos

no lineares. Pretendemos, tambm, caracterizar os processos de estabilizao e o

funcionamento de um oscilador paramtrico ptico (OPO), dispositivo de grande potencial

na rea de ptica Quntica e cuja base de funcionamento o processo no linear

conhecido como converso paramtrica descendente. Por fim, descrevemos um

experimento para acoplar os graus de liberdade de polarizao e modo transversal em um

feixe laser, sem perdas tericas de energia.

9

Abstract

In this work, we are interested in the interplay between polarization and transverse mode of

a light beam undergoing parametric amplification in a nonlinear crystal. First, we study the

methods for generating and manipulating these variables, specially the Laguerre-Gaussian

(LG) modes. We start with the fundamental concepts of optical interference and

diffraction, and use them to characterize the beams produced by the nonlinear process. We

describe an experiment to couple polarization and transverse mode in cavity free second

harmonic generation. In the future, we intend to operate an optical parametric oscillator

(OPO) with spin-orbit modes, and check the role played by mode entanglement on

quantum noise reduction.

10

Sumrio

1. Introduo ................................................................................................................. p. 09

2. Processos pticos no lineares ................................................................................. p. 13

2.1. Equaes e Maxwell em meios materiais .................................................... p. 13

2.2. Propagao da luz em cristais ...................................................................... p. 14

2.3. A converso paramtrica ............................................................................ p. 15

2.4. Gerao de segundo harmnico ................................................................... p. 16

3. Oscilador paramtrico ptico .................................................................................. p. 19

3.1. Converso paramtrica em cavidade ........................................................... p. 19

3.2. Montagem experimental .............................................................................. p. 20

3.3. Processo de estabilizao do OPO ............................................................... p. 21

4. Modos transversais ................................................................................................... p. 26

4.1. Momento angular orbital da luz ................................................................... p. 26

4.2. Modos transversais ...................................................................................... p. 27

4.3. Computao quntica nas variveis orbitais ................................................ p. 29

4.4. Interferometria com modos transversais ...................................................... p. 31

5. Acoplamento spin-rbita ......................................................................................... p. 33

5.1. Eficincia da gerao de modos LG ............................................................ p. 33

5.2. Acoplamento spin-rbita ............................................................................. p. 34

6. Concluses e perspectivas ........................................................................................ p. 37

7. Bibliografia ............................................................................................................... p. 38

p. 11

p. 15

p. 15

p. 16

p. 17

p. 18

p. 22

p. 23

p. 24

p. 25

p. 30

p. 30

p. 32

p. 33

p. 35

p. 37

p. 37

p. 38

p. 41

p. 42

11

Captulo 1

Introduo

Motivamos este trabalho no estudo do acoplamento spin-rbita em sistemas

pticos. Estudaremos principalmente processos pticos no lineares e, de forma mais

fundamental, buscaremos caracterizar o grau de liberdade associado ao momento angular

orbital da luz. Para comear a desenvolver tais discusses, razovel perguntar sobre o

objeto principal de nosso estudo: a luz feita de qu? Ou melhor, qual a natureza fsica da

luz? Essa pergunta exige uma resposta no trivial, sobretudo pela tentativa frustrada que

muitos tm de explicar a natureza da luz a partir da analogia com alguma outra entidade

fsica.

Isaac Newton (1643 - 1727) escreveu em seu famoso livro Opticks que "raios de luz

so corpos minsculos emitidos por substncias radiantes". Tal descrio previa que os

fenmenos pticos fossem explicados por conta da composio da luz por corpsculos, que

sob as leis da mecnica seriam responsveis por eventos como a propagao linear,

reflexo e refrao de raios luminosos. E se alm disso, considerarmos que raios de

diferentes cores so formados por corpsculos de diferentes massas, conseguimos prever

com sucesso, inclusive, a decomposio da luz branca ao passar por um prisma, fenmeno

explicado pela primeira vez pelo prprio Isaac Newton.

Contemporneo a Newton, Christiaan Huygens (1629 - 1695) j defendia uma

teoria diferente, na qual a luz seria uma onda em movimento, emitida por uma fonte em

todas as direes. De sua teoria nasce o famoso princpio de Huygens, que diz que cada

ponto de uma frente de onda se comporta como uma fonte luminosa que, portanto, emite

luz em todas as direes. A propagao da luz, sua reflexo e refrao so frutos da

interferncia dessas "ondas secundrias" geradas pela sua frente de onda e ajustadas de

acordo com cada situao: reflexo por uma superfcie, refrao entre meios de diferentes

densidades, etc. A teoria de Huygens ganhou fora justamente quando foi provado por

Thomas Young (1773 - 1829) e seu famoso experimento da dupla fenda que, de fato,

feixes luminosos tm propriedades de difrao e interferncia, prprias de fenmenos

ondulatrios.

Graas, principalmente, a James Clerck Mawell (1831 - 1879) hoje sabemos que a

luz apenas uma de tantas formas de energia eletromagntica, usualmente descritas pelas

12

ondas eletromagnticas. No incio do sculo seguinte, novas construes tericas foram

utilizadas para explicar os experimentos da radiao do corpo negro, por Planck, e do

efeito fotoeltrico, por Einstein. Essas construes se basearam, principalmente, na

hiptese de que a radiao interage com a matria de forma quantizada, isto , apenas

alguns valores pr determinados de energia podem ser transferidos nessa interao. J na

dcada de 1980, ganhou fora a teoria de quantizao da matria [18]. Essa teoria quntica

da luz muda completamente a discusso sobre a sua natureza: ela no abandona a descrio

ondulatria do fenmeno luminoso, mas sugere que a luz carregue energia de forma

discretizada formada por ftons (partculas sem massa de repouso e com energia h).

Voltando pergunta original, o que essa histria nos responde? A luz, afinal, feita

de qu? melhor descrita pela teoria ondulatria ou corpuscular? A resposta para essa

pergunta, alm de difcil, ainda tema de calorosas discusses no meio cientfico. Mas a

melhor resposta que podemos dar hoje parece ser: "nem uma coisa nem outra!". Ou

melhor, a luz uma entidade fsica que no pode ser comparada apenas com ondas, nem

apenas com partculas. Em outras palavras, a luz de natureza dual: ora se comporta como

onda, ora como partcula.

Podemos utilizar a ideia do fton, por exemplo, como recurso fsico para a

implementao de processamentos de informao quntica, ou seja, podemos usar os

ftons como portadores dos q-bits (unidade bsica de informao quntica que

desempenha papel anlogo aos bits da computao clssica) [14]. H muito j se sabe que

o estado de polarizao dos ftons se encaixa bem nesse perfil de q-bits. Podemos

imaginar um fton com polarizao linear: h dois nveis distinguveis para esse caso

polarizao horizontal e vertical. Um estado de polarizao linear em uma direo

arbitrria pode ser descrito como:

cos( ) sin( )H V = +,

que uma superposio dos estados de polarizao horizontal e vertical.

Note que essa definio para o q-bit de polarizao d conta apenas dos estados de

polarizao linear. Se quisermos levar em conta, tambm as polarizaes circulares e

elpticas basta inserir uma fase relativa entre as componentes:

(1.1)

13

cos( ) sin( )iH e V = +.

Os estados de polarizao do fton ficam determinados por dois parmetros reais,

e . Esses parmetros podem ser pensados como as coordenadas angulares usuais de um

sistema esfrico de coordenadas, o que sugere que os estados de polarizao estejam

dispostos espacialmente na superfcie de uma esfera unitria. Essa representao

geomtrica conhecida como esfera de Poincar. Na esfera de Poincar, a linha do

equador reservada s polarizaes lineares e os plos s polarizaes circulares. Todo o

resto da superfcie , portanto, destinado s polarizaes elpticas.

Na viso da computao quntica, podemos pensar em uma representao esfrica

de q-bits. Essa representao anloga esfera de Poincar conhecida como esfera de

Bloch e os estados de q-bits esto dispostos sobre ela, segundo a equao

cos 0 sin 12 2

ie = +

,

onde o estado de um q-bit fica determinado pelos parmetros reais e . A representao

da esfera de Bloch ilustrada na figura 1.1.

Figura 1.1: Esfera de Bloch

Neste trabalho mostraremos, tambm, que outro grau de liberdade pode ser

associado ao fton e utilizado para a codificao e o processamento de informao: o modo

transversal. Tomando a primeira ordem das famlias de modos transversais, podemos tratar

esse grau de liberdade experimentalmente de forma anloga polarizao, o que ajuda a

(1.2)

(1.3)

14

determinar as operaes a serem feitas nesses q-bits, em termos das manipulaes j

conhecidas para os q-bits de polarizao. Dessa forma, a utilizao de ftons como

unidades bsicas de informao se torna bastante promissora para o progresso de

implementao de protocolos de informao quntica.

15

Captulo 2

Processos pticos no lineares

2.1 Equaes de Maxwell em meios materiais

As leis do eletromagnetismo clssico, para os campos eltrico e magntico , so descritas de forma completa pelas equaes de Maxwell, com sua forma diferencial bem

conhecida em livros didticos:

E , B 0,

E B ,

B J E ,

onde e so, respectivamente, a permeabilidade e a permissividade do vcuo, a densidade de cargas e a densidade de correntes.

Ao estudar o campo eletromagntico em um material, sujeito a efeitos de

polarizao e magnetizao, mais usual [3] reescrever as equaes acima como funo

explcita apenas das cargas e correntes livres e . Podemos dizer que as densidades totais de cargas e correntes so dadas por

, ,

onde o ndice b indica as cargas e correntes ligadas e a densidade de correntes produzidas pelo efeito de polarizao do material, por conta da incidncia de um campo

externo. Essas novas grandezas so definidas, em funo da polarizao P e da magnetizao M, por

(2.1)

(2.2)

16

P, M,

#$#% .

Podemos, ento, reescrever as equaes 2.2, da seguinte forma:

P, M #$#% .

Substituindo as expresses para densidades de cargas e correntes e utilizando as

definies usuais para o deslocamento de cargas D e para o campo auxiliar H,

( ), * + ,,

as equaes de Maxwell assumem a forma

D , B 0,

E B ,

H J- D .

2.2 Propagao da luz em cristais

A resposta de um meio aplicao de um campo externo dada pela polarizao

do material que, em geral, escrita como uma srie de potncias

( )(2) (3)0 ...P E EE EEE = + + +

.

(2.3)

(2.4)

(2.5)

(2.6)

(2.7)

17

Podemos separar essa expanso em um termo linear e outro no linear. No regime

de baixa potncia do campo incidente, o termo linear da polarizao se apresenta como

dominante

0LP E =

.

J, para o regime de altas intensidades, preciso levar em conta os efeitos de no-

linearidade da polarizao, descritos por

( )(2) (3)0 ...NLP EE EEE = + +

,

onde o primeiro termo do lado direito d conta dos fenmenos pticos no-lineares de

segunda ordem, dos quais destacamos a soma e subtrao de frequncias e a gerao de

segundo harmnico. Note que (n) so tensores que do conta dos efeitos de anisotropia dos

cristais. Se o meio for isotrpico, tais tensores se transformam em escalares [1].

2.3 A converso paramtrica

No processo conhecido como converso paramtrica, um cristal no linear atua

como mediador na interao de ftons de diferentes frequncias, em que a converso em

comprimentos de onda afetada pelas polarizaes dos feixes envolvidos no processo.

O primeiro caso que vamos considerar o esquematizado na figura 2.1, chamado

de converso paramtrica descendente (CDP). Lanamos sobre o cristal, um feixe com

frequncia 0 - chamado feixe de bombeamento - e um feixe de referncia de frequncia

1. Ao fazermos medidas nas intensidades que so emitidas pelo cristal, nos deparamos

com trs frequncias: 0, 1 e uma nova frequncia 2, tal que

0 1 2 = + .

Em geral, a intensidade do feixe 1 aumentada ao passar pelo cristal, o que sugere

que parte da energia carregada por 0 foi convertida em duas novas radiaes, de

frequncias 1 e 2, menores que a frequncia de bombeamento.

(2.10)

(2.8)

(2.9)

18

Figura 2. 1: Esquema de converso paramtrica descendente de tipo I (a) e II (b), em que parte da

intensidade do feixe de bombeamento convertida em feixes com frequncias menores.

Alm da energia, a converso deve tambm conservar o momento linear, o que

implica em

0 1 2 k k k= +

.

Na CPD de tipo I, os feixes convertidos so polarizados linearmente e ambos em

uma direo ortogonal ao feixe de bombeamento. J no tipo II, os feixes convertidos tm

polarizaes ortogonais entre si.

2.4 Gerao de segundo harmnico

Outro processo de converso paramtrica pode ser concebido no sentido inverso

da CPD, isto , lanamos os feixes de frequncia 1 e 2 e vemos, como convertido, um

feixe de frequncia 0. Note que neste caso no h repartio da energia que entra no

cristal, mas a soma das energias de bombeamento que d origem a um feixe de energia

maior, sendo mantidas as relaes de conservao de energia (2.10) e (2.11).

Se os feixes de entrada tiverem a mesma frequncia, no difcil perceber que o

feixe de sada ter uma frequncia duas vezes maior, conforme esquema da figura 2.2. Este

processo conhecido como gerao de segundo harmnico (SHG, do ingls second

harmic generation).

(2.11)

19

Figura 2.2: Esquema de gerao de segundo harmnico dos tipos I(a) e II(b).

A SHG foi implementada no laboratrio de ptica Quntica do IF-UFF durante a

graduao do autor, seguindo o esquema ilustrado na figura 2.3. Nesse experimento,

usamos um cristal KTP no-linear de tipo II1. Utilizamos apenas um feixe laser de 1064nm

de comprimento de onda, polarizado a 45, o que equivale a dois feixes de mesma

intensidade com polarizaes horizontal e vertical. Basta notar que um campo orientado a

45 pode ser pensado como a soma de dois outros campos ortogonais sobre os eixos do

plano perpendicular direo de propagao.

Figura 2.3 Montagem experimental para a gerao de segundo harmnico.

1 Na SHG a relao entre as polarizaes dos feixes envolvidos a mesma que na CPD. Neste caso, o tipo II indica que os feixes de entrada devem ter polarizaes ortogonais, e a polarizao do feixe de sada ser paralela a uma das duas direes do bombeamento, dependendo da orientao do cristal.

20

O feixe de luz passa inicialmente por um conjunto lmina de meia-onda com

orientao livre mais PBS (Polarizing beam splitter) com o intuito de controlar a

intensidade total do feixe de entrada no experimento, j que o PBS permitir apenas a

transmisso da componente horizontal da polarizao do feixe inicial e a mudana na

orientao da lmina de meia-onda faz, na prtica, variar a intensidade dessa componente.

Em seguida, uma nova lmina de meia-onda orientada a 22,5 colocada no

caminho do feixe para girar sua polarizao para 452.

Figura 2.4: Montagem experimental para a gerao do segundo harmnico. Acima mostrada a foto do

feixe convertido, projetado sobre um anteparo, visto a olho nu.

Dois outros espelhos ajudam a alinhar o feixe antes que ele seja direcionado para a

converso e uma lente focaliza-o sobre a superfcie de incidncia do cristal. Essa

focalizao de extrema importncia. Com a focalizao, concentramos a energia

carregada pela luz em uma regio menor do cristal o que aumenta a eficincia do processo,

alm de garantir que no perderemos energia por conta do spot de luz ser maior que a

superfcie de incidncia do cristal.

2 O ngulo de orientao da lmina metade do ngulo fsico de rotao da polarizao.

21

Aps a passagem pelo cristal, inserimos um filtro de infravermelho, a fim de

fazer chegar no anteparo, apenas o feixe convertido. Tiramos uma fotografia do anteparo,

com o spot de luz verde, convertida no processo de SHG (figura 2.4).

22

Captulo 3

Oscilador Paramtrico ptico

No captulo anterior, falamos da existncia de um efeito da ptica no linear

caracterizado pela converso de frequncias de feixes luminosos. Esse processo, a

converso paramtrica, est na base de funcionamento do oscilador paramtrico ptico

(OPO), que formado por uma cavidade ptica, contendo um cristal no linear. Por

ocorrer dentro da cavidade, a converso paramtrica tem sua eficincia aumentada,

transformando o OPO em uma fonte intensa de feixes convertidos na CPD. Este

dispositivo tem despertado grande interesse entre os fsicos, principalmente por sua

aplicabilidade ao processamento de Informao Quntica.

Vamos, nesse captulo, apresentar de forma bastante simples o funcionamento do

OPO e sua montagem experimental, tal como implementada no LOQ-UFF (Figura 3.1),

alm do processo de estabilizao.

Figura 3.1: Fotografia da montagem do OPO no Laboratrio de ptica Quntica do IF-UFF.

23

3.1 Converso paramtrica em cavidade

Como j discutido no captulo anterior, cristais no lineares funcionam como

mediadores na interao entre feixes de diferentes frequncias, podendo haver a converso

dessas frequncias. Se fizermos incidir sobre o cristal apenas um feixe de frequncia /, teremos a converso de parte da energia carregada pelo feixe, dando origem a outras

frequncias que, assumindo o casamento de fase (2.10) e (2.11) sero emitidas num cone

de luz, tal que, para uma seo reta do feixe, h diferentes frequncias, para diferentes

valores da componente radial do vetor de onda, conforme mostra a figura 3.2. Esse

processo conhecido como CPD espontnea e pode ser descrito pela teoria de

perturbaes da mecnica quntica. Utilizando a interpretao quntica da luz, podemos

imaginar uma emisso cnica de ftons, de tal forma que ftons diametralmente opostos,

pertencentes a cones complementares pelo casamento de fase, esto fortemente

correlacionados (emaranhados) e, por isso, so chamados de ftons gmeos.

Figura 3.2: Esquema da converso paramtrica descendente (CPD) espontnea. Fonte: ref. [8].

Quando esse cristal posto dentro de uma cavidade ptica, o processo

constantemente realimentado de forma que as condies de contorno impostas pela

cavidade ptica priorizam a intensificao de uma frequncia especfica. Os ftons

convertidos com essa frequncia ficam aprisionados na cavidade, dando origem a feixes

convertidos intensos, uma vez atingida a condio de ressonncia.

No Laboratrio de ptica Quntica do IF-UFF, trabalha-se com um OPO do tipo II,

isto , parte do feixe de bombeamento / converte-se em dois feixes com polarizaes ortogonais, chamados de sinal /0 e complementar /1 (figura 3.3). A condio de ressonncia para a emisso de luz em uma cavidade desse tipo que a distncia L entre os

espelhos seja prxima a mltiplos inteiros dos comprimentos de onda que oscilam na

cavidade.

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Figura 3.3: Esquema do funcionamento de um OPO, como fonte intensa de

feixes convertidos (sinal e complementar). Fonte: ref. [8].

3.2 Montagem experimental

O experimento consiste em direcionar luz de 532nm de comprimento de onda para

a cavidade do OPO, que converter parte dessa energia em dois outros feixes de 1064nm

com polarizaes ortogonais. O esquema da montagem experimental mostrado na figura

3.4. O feixe de 532nm sai do laser e colimado por um conjunto de lentes. Passa por uma

lente que focaliza o feixe no cristal e entra na cavidade semi-monoltica, em que um dos

espelhos a face de entrada do cristal. Aqui importante perceber que a entrada na

cavidade atravs de um espelho semi-refletor, ou seja, uma parte da luz incidente

refletida e a chamaremos de luz rejeitada pelo OPO. Esse feixe rejeitado medido no

DET-2 e de grande importncia para o processo de estabilizao, como ser mostrado

mais frente.

Figura 3.4: Esquema do experimento do OPO tipo II, montado no Laboratrio

de ptica Quntica do IF-UFF.

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A transmisso de luz verde (532nm) pela cavidade medida pelo DET-1: o feixe

verde que sai do OPO encontra um filtro que o reflete e, ento, chega ao detector. O

infravermelho convertido passa por um divisor de feixes polarizador, a fim de separar o

sinal do complementar.

claro que queremos um OPO que seja ressonante, isto , que atinja a condio de

ressonncia para que a luz possa ser emitida. Com essa finalidade, usamos dispositivos

eletrnicos para dar graus de liberdade que possibilitem variar o comprimento da cavidade

em ordens de grandeza distintas: alm de um ajuste milimtrico no prprio espelho,

colocamos um parafuso micromtrico na base de sustentao do mesmo, proporcionando

variaes um pouco menores no alinhamento; inserimos no espelho, tambm, um PZT

(cermica piezoeltrica) que faz variaes da ordem de nanmetros; e, por fim, um ajuste

ainda mais fino conseguido a partir de um controlador de temperatura.

3.3 Processo de estabilizao do OPO

O experimento no IF-UFF prev uma montagem que permita medidas de

correlaes entre os feixes que saem do OPO. Para isso h necessidade de que o OPO

emita o sinal e o complementar de maneira intensa e aproximadamente contnua, e isso s

ser conseguido com todo o processo de estabilizao concludo. Por isso, demos, agora,

especial ateno ao processo de estabilizao do OPO. Esse processo composto dos

seguintes passos: alinhamento do OPO, estabilizao eletrnica da cavidade e estabilizao

trmica.

Alinhamento do OPO:

Nessa primeira parte, utilizamos um gerador de funes devidamente programado

para variar a diferena de potencial no tempo, de acordo com uma funo do tipo rampa,

fazendo variar periodicamente o volume do PZT fixado ao espelho. Um detector que capta

a intensidade do feixe de 532nm que est sendo transmitido pela cavidade (DET 1)

ligado ao osciloscpio, conforme a Figura 3.5. Olhando para o osciloscpio, percebemos

que a transmisso de luz verde tem um perfil peridico e, de fato, a cavidade estar

realmente alinhada quando os picos de ressonncia observados chamados de picos de

Airy estiverem maximizados.

26

Figura 3.5: Montagem para a visualizao dos picos de Airy e alinhamento do OPO.

Esse perfil peridico aparece devido variao de tenso no PZT que faz variar o

comprimento da cavidade, passando assim por algumas condies de ressonncia. Se

houver algum erro de alinhamento, poder haver vrios modos espaciais em ressonncia na

cavidade, gerando picos de ressonncia secundrios no osciloscpio. Desejamos eliminar

essa ressonncia secundria o que significa otimizar o alinhamento da cavidade. Para isso,

inserimos dois espelhos entre o colimador e o OPO, formando um periscpio. Ajustando,

ento, os graus de liberdade desses dois espelhos at que os picos secundrios tenham

sumido, temos o OPO alinhado.

Figura 3.6: Montagem para a obteno do sinal de erro.

Estabilizao da cavidade:

Agora ser crucial contar com o sinal de erro, sinal eletrnico obtido com a

utilizao de um conjunto de dispositivos eletrnicos como o da Figura 3.6. Variando o

ganho do PID (responsvel pela variao da amplitude do sinal de erro) buscamos o sinal

27

mais adequado para possibilitar a estabilizao e, uma vez obtido um bom sinal de erro,

desligamos o gerador de funes que varia a tenso no PZT.

Na figura 3.7 mostramos a tela do osciloscpio com os picos de Airy aps o

alinhamento (canal 1) e o perfil de um bom sinal de erro, obtido com a ajuda do feixe

rejeitado pela cavidade (canal 2).

Figura 3.7: Tela do osciloscpio fornecendo os picos de Airy

e o sinal de erro, para a cavidade j alinhada.

Variamos manualmente a tenso no PZT at encontrar no osciloscpio um mximo

de ressonncia e, ento ligamos o PID para acionar o sistema eletrnico de estabilizao

que ir fixar o comprimento da cavidade prximo ao valor ideal. Quando isso acontece,

vemos que a cavidade transmite luz verde a uma intensidade constante, ou seja, ela se

tornou uma fonte contnua de luz intensa.

Alinhamento e Estabilizao para o infravermelho:

Note que at aqui o processo de estabilizao da cavidade s levou em conta o feixe

de luz verde (feixe de bombeamento e sinal de erro), nada foi feito sobre a estabilizao do

infravermelho gerado no OPO. O grande objetivo dessa etapa justamente conseguir fazer

com que o OPO se torne uma fonte de luz contnua e intensa para o infravermelho. Na

realidade, estabilizar a cavidade para o verde implica (ou pelo menos, quase) na

estabilizao da mesma para o infravermelho, pois se na observao dos picos de Airy,

observarmos tambm o sinal captado por um detector de infravermelho colocado depois do

OPO, veremos que no mesmo instante em que a cavidade passa por uma condio de

ressonncia para o verde, bem prximo dali (dentro ainda do pico de verde) aparecem

28

picos no infravermelho, acusando que para ele, tambm foi atingida a condio de

ressonncia, conforme mostra a tela do osciloscpio da figura 3.8; e com um detalhe

adicional: em geral, aprecem vrios picos de infravermelho dentro de um nico pico de

verde.

Figura 3.8: Tela do osciloscpio fornecendo um dos picos de Airy (canal 1)

e os picos de ressonncia para o infravermelho referentes a essa ressonncia do verde. (canal 2).

Portanto, aps a estabilizao da cavidade observando apenas a intensidade do feixe

verde transmitido, podemos repetir o mesmo processo s que agora com o detector de

infravermelho ligado ao osciloscpio. Na maioria das vezes, ao terminarmos a

estabilizao da cavidade (olhando para o verde), atentamos para o sinal de intensidade dos

feixes de infravermelho (sinal e complementar, separados por um divisor de feixe

polarizado PBS mostrados em canais diferentes do osciloscpio) e percebemos que

praticamente no h transmisso para esse comprimento de onda. Isso acontece porque,

mesmo que muito pequena, ainda existe uma diferena entre o ponto de ressonncia do

verde e do infravermelho. Os picos de ressonncia para o infravermelho so muito mais

finos que os picos de verde, o que indica que necessria uma preciso muito maior para

tal comprimento de onda. Como a cavidade j est estabilizada e queremos ajustar uma

diferena de tamanho que realmente minscula quando comparada variao de

comprimento causada pelas variaes de tenso do PZT, recorremos a um grau de

liberdade bem mais refinado: a temperatura. Com a ajuda de um Peltier podemos ajustar a

estabilizao de temperatura da cavidade, o que causa uma variao pequena no

comprimento da mesma. Variamos a temperatura at que a intensidade dos feixes sinal e

complementar assumam um valor constante diferente de zero, e o OPO funcione como

29

fonte intensa de dois feixes de infravermelho. Essa situao representada na figura 3.9,

em que as intensidades do verde e do infravermelho transmitidos pela cavidade so

aproximadamente constantes.

Figura 3.9: Tela do osciloscpio fornecendo as intensidades aproximadamente constantes no tempo para o verde (canal 1) e para o infravermelho (canal 2).

30

Captulo 4

Modos transversais

bem sabido entre os fsicos que a luz carrega energia e momento linear. Tambm

de conhecimento de todos que um feixe de luz possui momento angular intrnseco,

associado ao spin dos ftons que o formam. Agora, no entanto, vamos considerar que o

momento angular total de um feixe seja escrito como

2 3 4 567 3 897 : 48567 ,

onde o primeiro termo do lado direito, independente da coordenada de posio, o

momento angular intrnseco e o segundo termo d conta de um momento angular orbital

(MAO) [9].

Nesta seo vamos discutir o sentido fsico desse momento angular orbital e ver

como descrever esses feixes, em funo dos modos transversais Hermite-Gaussianos e

Laguerre-Gaussianos.

4.1 Momento angular orbital da luz

Bem sabemos que um feixe de luz formado de ftons, cada um com energia ;/ e momento linear ;

31

Esses feixes com MAO j so largamente utilizados em sistemas como pinas

pticas, por permitir a aplicao de torque matria, ao interagir com ela.

Figura 4.1: Em (a) um feixe de onda plana, com o vetor de onda paralelo direo de propagao.

Em (b) um feixe com frente de onda helicoidal, em que o vetor de onda gira em torno da direo de propagao. Fonte: ref. [13].

Os feixes de lasers com frente de onda plana, em geral, so caracterizados em

termos dos modos Hermite-Gaussianos [7]. Esses modos tm simetria retangular e so

descritos por dois ndices m e n, que do, respectivamente, os nmeros de ns nos eixos x e

y; so representados pela notao HGmn. Por outro lado, os feixes com frente de onda

helicoidal so mais bem descritos pelos modos Laguerre-Gaussianos, denotados por LGlp,

onde l representa o nmero de hlices entrelaadas e p o nmero de ns na direo radial.

A figura 4.2 apresenta exemplos desses modos transversais.

Figura 4.2: Exemplos de modos HG e LG.

32

4.2 Modos transversais

Os modos HG e LG surgem como solues para a equao paraxial

BCDB

BCEB 2ik

CI 0,

onde representa o perfil transversal de um feixe laser que se propaga ao longo da direo z com divergncia lenta. Em [12], essa equao resolvida para o caso do feixe gaussiano.

Neste trabalho vamos destacar duas famlias de solues para a equao paraxial.

Resolvendo a 4.1 em coordenadas retangulares encontramos a expresso

K,MN7O PQRSN>O *T U2W

SN>OX *? U2Y

SN>OX Z[\^_`NaO[8bc

\^_BdNaO[

R^Q^eB fKge

aadh,

na qual *T e *? so os chamados polinmios de Hermite. Essas solues descrevem os j apresentados modos Hermite-Gaussianos (HG). A ordem dos modos dada por N n m. Usando, agora, coordenadas cilndricas, surge a expresso para os modos Laguerre-

Gaussianos (LG):

lm N7O Aop

SN>O qrsSN>Ot

|A|Llm U srSN>OX Z

[ w`NaO[8bxw

BdNaOyNsy|A|y+O fKgea

adyAzh.

A ordem dos modos LG dada por N 2p |l|, onde p o ndice que d conta do nmero de anis que aparecem na distribuio de intensidade e l o ndice azimutal, tambm

chamado de helicidade ou carga topolgica.

O modo fundamental

Se fizermos } ~ 0 na equao 4.2 e 0 na 4.3, encontraremos o chamado modo fundamental, descrito pela equao

N, , O UsX+ s +

NIO Z[\^_`NaO[8bc>yfKge

aadyc

\^_BdNaOh,

(4.3)

(4.4)

(4.5)

(4.2)

33

onde o raio de curvatura dado por

RNzO U1 >dB>X e a largura do feixe escrita como

NO s U1 >>dBX+ s

,

tal que o parmetro chamado de cintura do feixe e sua determinao de crucial importncia para os clculos de uma boa colimao do feixe laser a ser usado nos

experimentos. Neste trabalho, utilizamos o mesmo mtodo utilizado em [8], conhecido

como mtodo da faca para determinar .

4.3 Computao quntica nas variveis orbitais

Analisemos agora apenas os modos HG e LG de primeira ordem. interessante

notar que esses modos se comportam de forma anloga, respectivamente, aos estados de

polarizao linear e circular. Da mesma forma que a polarizao circular, os modos LG

podem ser escritos como superposio de modos HG, conforme mostra a figura 4.3.

Figura 4.3: Assim como os estados de polarizao linear, os modos HG de primeira ordem formam uma base de estados para a computao quntica.

Podemos pensar os modos HG de primeira ordem como uma base para codificar e

processar informao. Assim como no caso da polarizao, poderamos associar o estado

|0 ao modo HG10 e o estado |1 ao modo HG01 e qualquer q-bit de modo transversal dado por

| cosN 2 O|0 Z sinN 2 O |1,

(4.6)

(4.7)

(4.8)

34

que a expresso para um q-bit disposto sobre a esfera de Bloch (figura 1.1) e a coordenada angular nessa representao (dobro do ngulo fsico).

Vamos destacar aqui duas manipulaes imediatas que podem ser feitas com os

modos de primeira ordem: a rotao dos modos HG e a converso de modos.

Na primeira, utilizamos um elemento conhecido como prisma de Dove que, por

reflexes internas, permite girar a orientao de um modo HG de acordo com a inclinao

do prisma. Note que essa operao equivalente realizada por uma lmina de meia onda

em um estado de polarizao.

Figura 4.4: Esquema ilustrativo do funcionamento

de um prisma de Dove.

J o conversor de modos [17] realiza, nos modos de primeira ordem, uma

transformao semelhante de uma lmina de quarto de onda na polarizao: ele

transforma os modos HG em LG, e vice-versa. A forma de construo desses conversores

variada, com inmeros exemplos na literatura, como o conversor de lentes cilndricas [13]

e o de lente nica [8].

Figura 4.5: Esquema do funcionamento de um conversor de modos de lentes

cilndricas, com duas lentes (a) e o de lente nica (b). Fonte: ref. [8].

35

Os conversores funcionam baseados na defasagem imposta s componentes do

modo HG ao passar pela lente cilndrica. Chamamos de conversor aquele que impe uma defasagem . Os parmetros fsicos a serem controlados para regular essa defasagem so a distncia focal da lente e a distncia entre as lentes (no caso do conversor de lente

nica, a distncia da lente ao espelho plano posto em z=0).

4.4 Interferometria com modos transversais

A interferometria se torna um meio til de avaliar e detectar o modo com o qual se

est operando. Demos sequncia, neste trabalho, a um estudo dos perfis de interferncia

entre diferentes modos. importante conhecer esses padres para que ganhemos uma

forma eficaz de identificar a presena de um modo no gaussiano em um feixe, em especial

naqueles convertidos nos processos no lineares. Vamos identificar os padres de

interferncia de um modo LG com um feixe gaussiano. Para isso, construmos um

interfermetro de Mach-Zehnder, conforme ilustrado na figura 4.6.

Figura 4.6: Interfermetro de Mach-Zehnder com um dos

braos produzindo modos LG.

Usamos como fonte um laser de 532nm. O feixe de luz passa por um conjunto de

lmina de meia onda e PBS para fazermos o controle da intensidade e depois, a sua parte

com polarizao horizontal, entra no interfermetro. A porta de entrada um BS (beam

splitter), que transmite metade da intensidade incidente e reflete a outra metade em uma

36

direo ortogonal. A parte que segue pelo brao A do interfermetro passa pela rede de

difrao produzindo diversas ordens do modo LG, das quais uma ser selecionada pela ris

posicionada logo a seguir. Note que a utilizao da mscara de difrao implica em perda

de intensidade luminosa, j que vamos selecionar apenas uma ordem. Isso pode

comprometer o padro de interferncia, pois o feixe gaussiano teria uma intensidade muito

maior que o feixe de modo LG. Por isso, colocamos um atenuador (espelho semi-refletor)

no brao B do interfermetro, o que nos permite controlar a diferena de intensidades entre

os braos do interfermetro. Por fim, ao se juntarem no segundo BS, os feixes interferem e

o padro de interferncia captado por uma cmera CCD.

A figura 4.7 mostra os resultados obtidos para duas ordens de modos LG.

possvel notar que a presena do modo LG faz surgir bifurcaes no padro de

interferncia e que o nmero de bifurcaes d a ordem do modo LG em questo. Esses

resultados so importantes porque a partir deles podemos usar o interfermetro como

aparato de medida de modos LG.

Figura 4.7: Padres de interferncia de um modo gaussiano

com um modo LG de primeira ordem (a) e de segunda ordem (b).

37

Captulo 5

Acoplamento spin-rbita

5.1 Eficincia da gerao de modos LG

Em geral, um feixe laser tem frente de onda aproximadamente plana e um perfil

gaussiano de intensidades. Para gerar os modos LG com esse feixe precisamos recorrer a

transformaes fsicas capazes de produzir singularidades de fase. Essas transformaes

so possveis utilizando, principalmente, as mscaras de difrao como a mostrada na

figura 5.1. O uso das mscaras especialmente indicado pela facilidade de trabalhar com

elas. Basta fazer o feixe incidir sobre a bifurcao da mscara e posteriormente selecionar

o modo desejado, usando uma ris, como j foi feito na seo 4.4.

Figura 5.1: Para a produo dos modos LG, usamos mscaras de difrao,

como a mostrada acima, de forma que as ordens de difrao coincidem com as ordens do modo LG.

claro que, por conta da conservao da energia do feixe incidente sobre a

mscara, ao selecionarmos um modo LG estaremos pegando apenas uma frao da

intensidade do feixe laser, ou seja, esse processo gera uma grande perda de energia. H de

se levar em conta que a ordem de difrao mais intensa justamente a ordem 0 (central),

que, como visto na figura 5.1 ainda um modo gaussiano [6]. Isso faz perceber que a

maior parte da intensidade no transformada em feixes com modos LG.

Na tese [8] mostrado o processo de gravao de dois tipos de mscaras: as de

amplitude e as de fase. As mscaras de amplitude so gravaes de franjas escuras

permitindo a passagem da luz em apenas algumas regies, como um filme fotogrfico [15].

Essas mscaras tm uma eficincia muito baixa: apenas cerca de 5% da intensidade inicial

38

aproveitada nos modos LG de primeira ordem. Alm disso, elas no apresentam bons

resultados para feixes muitos intensos.

J as mscaras de fase so gravadas em forma de relevo sobre uma pelcula

transparente, de modo que a refrao dos feixes e a espessura varivel da placa do origem

singularidade de fase (modos LG) no feixe incidente. Essas mscaras suportam feixes

mais intensos e tem uma eficincia prxima a 20%.

Figura 5.2: Mscaras de amplitude (eficincia de 5%) e

mscaras de fase (eficincia de 20%).

Essa perda de intensidade muito ruim para alguns experimentos, em especial,

envolvendo a converso paramtrica onde a energia de bombeamento essencialmente

importante. Por isso, mostraremos na prxima seo uma maneira de gerar um feixe que

acople polarizao e modos LG, sem ter que passar por mscaras de difrao e,

teoricamente, sem perdas de energia.

5.2 Acoplamento spin-rbita

Utilizamos como inspirao as propostas de [16], para aproximar um modo HG de

primeira ordem por dois spots de modos gaussianos defasados de . O esquema geral do experimento mostrado na figura 5.3. O feixe gaussiano do laser entra, atravs de um

PBS, em um interfermetro de Mach-Zehnder. Um dos braos do interfermetro tem um

espelho sob um estgio de translao micromtrico e o outro ligado a um PZT, que gera

variaes mais finas, da ordem de nanmetros. Na sada, colocamos outro PBS, mas de

forma que os feixes no se juntem, cheguem lado a lado3, se propagando em direes

paralelas.

3 Pelas propriedades de transmisso e reflexo de um PBS, fcil perceber que, nesse caso, s h uma porta possvel de sada para o interfermetro, no havendo, assim, perdas de energia pela passagem nos dois PBSs utilizados.

39

Figura 5.3: Experimento do acoplamento spin-rbita, para a gerao

do feixe acoplado sem o uso de mscaras de difrao.

Os dois spots gaussianos que saem do interfermetro tm polarizaes ortogonais.

Fazemos esse feixe passar por uma lmina de meia onda orientada a 22,5. Os spots

passam a ter polarizaes 45.

Em seguida, construdo um interfermetro de Michelson. A entrada, pelo PBS,

vai dividir o feixe em duas partes iguais, sendo em cada brao, dois spots com a mesma

polarizao. Se a diferena de fase for exatamente igual a , ento temos em cada brao um modo HG10, sendo cada brao com uma polarizao ortogonal ao outro. Note que a

diferena de caminho no primeiro interfermetro fundamental para que essa descrio

funcione, por isso colocamos graus de liberdade nos espelhos do Mach-Zehnder: em um,

foi posto um parafuso micromtrico, responsvel por controlar a separao entre os spots

gaussianos; e no outro espelho colocamos um PZT para controlar a fase relativa entre os

spots.

Colocamos em cada brao uma lmina de quarto de onda que, aps as duas

passagens ser responsvel por girar a polarizao em 90 a fim de fazer os feixes sarem

pela porta ortogonal que entraram.

Em cada brao do interfermetro de Michelson implementamos um conversor de

lente nica, tal qual mostrado da seo 4.3. Com isso, os modos HG sero transformados

L A S E R

40

em LG. Portanto, na sada do Michelson teremos um feixe que superpe modos LG de

primeira ordem com polarizaes ortogonais.

interessante notar justamente que a polarizao est diretamente associada ao

spin dos ftons que compem o feixe e o MAO, descrito pelo modo LG, d conta do

momento orbital desses ftons [11]. O feixe produzido nesse experimento acopla, ento,

momento angular intrnseco (spin) e orbital, e pode ser usado em processos no lineares,

principalmente com a proposta de fazer aritmtica de momento angular com vrtices

pticos [18].

41

Captulo 6

Concluses e perspectivas

Este trabalho reproduz boa parte dos estudos realizados como projeto de Iniciao

Cientfica no Laboratrio de ptica Quntica do IF-UFF. Trabalhamos inicialmente com a

caracterizao terica e implementao experimental de processos pticos no lineares,

como a converso paramtrica descendente e a gerao de segundo harmnico. Esse estudo

permitiu um melhor entendimento do oscilador paramtrico ptico (OPO), nosso passo

seguinte do trabalho. Buscamos dominar o processo de estabilizao do OPO, bem como

os parmetros de alinhamento e ajustes eletrnicos e trmicos. Essas etapas nos deixaram

aptos a trabalhar no futuro com medidas de correlaes e outros estudos acerca do OPO,

problemas a serem abordados na ps-graduao.

Foi feito tambm um estudo sobre modos transversais e sua ligao com momento

angular orbital (MAO) da luz. Dominar as variveis orbitais de um feixe tem se mostrado

um caminho promissor tanto para estudos fundamentais de ptica quntica, quanto para a

implementao de portas e algoritmos qunticos usando q-bits fotnicos. Do ponto de vista

experimental, este trabalho tratou principalmente da gerao e deteco desses modos,

usando sistematicamente interfermetros do tipo Michelson e Mach-Zehnder. Agora

estamos aptos a investir na construo de dispositivos de computao quntica, usando

principalmente trs graus de liberdade como q-bits: polarizao, modo transversal e

direo de propagao.

Por fim, elaboramos uma proposta experimental para estudar o acoplamento das

variveis de spin e momento angular orbital na gerao de segundo harmnico.

A implementao dessa proposta, bem como a investigao do acoplamento spin-

rbita da luz no OPO, far parte do projeto de ps-graduao a ser desenvolvido no

Laboratrio de ptica Quntica do IF-UFF.

42

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