inventarios vf

Métodos CuantitativosInventarios

Por Cristian OLIVA

Gestión de Inventarios

• DEFINICIÓN Y FUNCIÓN DE LOS INVENTARIOS

¡ INVENTARIOS Dinero En Forma De Productos ! Fundamentales Para Un Buen Servicio

Generan Costo De Capital Estancado

Seguros.. Protección. Administración. Oportunidad. Desvalorización.

Gestión de InventariosDEFINICIÓN Y FUNCIÓN DE LOS INVENTARIOSSe debe decidir:

¿Qué balance se desea entre la inversión en inventarios y el servicio al cliente? Entre menor es el inventario mayor es el número de agotamientos de existencias. Entre mayor es el inventario mejor es el servicio.

¿Qué balance se desea entre la inversión en inventarios y los costos asociados al cambio de nivel de producción?: El exceso de capacidad de equipo, tiempo extra, tiempo ocioso, la contratación, el entrenamiento y el despido de empleados. Pues estos últimos serán mayores si la producción debe fluctuar en respuesta a los cambios en las cuotas de venta.

¿Qué balance se desea entre la inversión en inventarios y costos de colocar pedidos para reponer inventarios?: Mientras menos sea el volumen para inventarios mas veces se deberá ordenar pedidos.

¿Qué balance se desea entre la inversión en inventarios y los costos de transporte? Mientras mayor el volumen de un pedido, normalmente, el costo unitario de transporte será menor.

Gestión de InventariosFALTA DE INVENTARIOS Costo Oportunidad De Negocio.

Ganancia Perdida.

Prestigio.

Oportunidad De Incremento Del

Capital.

Costos Totales $

Costos por tener Inventario Costo Mínimo Costos por no tener Inventario Nivel Optimo

Gestión de Inventarios Q Una Orden 1 1 0 1 años Q Q/2 Dos Ordenes 2 .25 .25 0 1/2 1 años

Gestión de Inventarios• CLASIFICACIÓN ABC• “ cualquiera sea el número de artículos diferentes en los inventarios”, una

pequeña cantidad de ellos responderá por la mayor parte del monto de dinero en inventarios. Regla 80-20.

Artículo A o de alto valor: aquellos artículos que en general no sobrepasan el 20% del total y cuyo valor de inventarios representa más del 70% del capital inmovilizado en inventarios.

Artículo B o valor medio : usualmente alrededor del 30 a 40% de los artículos cuyo valor total representa entre el 15 y 20% del total.

Artículo C o de bajo valor: normalmente entre un 60 a 70% de los artículos que representan un valor despreciable en los inventarios, usualmente entre un 5 y 10% del monto total.

COSTOS EN LOS INVENTARIOS

Los modelos de inventarios basan la elección de la "mejor política de inventarios" en la evaluación de una "medida de efectividad de la política" que generalmente está constituida por los costos que están asociados. Podemos distinguir los siguientes costos comunes a toda política de inventarios:

COSTOS EN LOS INVENTARIOS1. Costo de un lote (Fabricar o Comprar): Existirá un costo fijo cada vez que se ordene un lote (fabricar o comprar) que incluirá los costos de tramitación de compra o preparación de las máquinas de fabricación, al menos. Normalmente se designa a este costo por A o K.

Existirá un costo variable asociado a cada artículo ordenado (comprado o fabricado) que, si denotamos por Q la cantidad de artículos ordenados de acuerdo a la política de inventarios escogida, será denotado por V(Q), que en general es C*Q , a menos que existan descuentos por adquirir (o producir) en grandes cantidades;

En general caso el costo de un lote será : A + V(Q).

COSTOS EN LOS INVENTARIOS2. Costos de tener inventario :El mantener artículos guardados, obligará a asumir costos como ser: Embalaje protector, Impuestos, Seguros, Mermas, Daños, Manejo y capacidad de almacenamiento, etc., se requiere capital de trabajo para financiar los artículos.

Normalmente se supone un costo de h dólares por dólar en inventario durante un año, por cada artículo en inventario. Así se puede suponer h = i*C + W, donde i corresponde al costo del capital inmovilizado y W corresponde a los restantes gastos debido al hecho de almacenar, expresados por unidad de productos.

COSTOS EN LOS INVENTARIOS3. Costos por no tener inventario :El no disponer de artículos cuando estos son necesarios (para el cliente o para proceso interno) representa costos para la empresa, al menos iguales al costo de oportunidad de tener el artículo pedido (margen de utilidad). En general se supone que el hecho de no tener artículos cuando éstos son solicitados genera dos tipos de costos; a saber: Un costo fijo por unidad que falta, que se presenta por incluirá la pérdida

de utilidad que el hecho genera, más los costos de imagen asociados.

Un costo variable (respecto al tiempo) por unidad que falta, que se representa por incluirá la pérdida debido a cada período de tiempo de retraso (normalmente multas o descuentos obligados).

TÉCNICAS DE LOTE ECONÓMICO

• Caso 1:

No se permiten faltantes (b=0) y tasa de producción infinita (P=)

Tiempo

Nivel deinventario𝐼𝑚𝑎𝑥=𝑄

T

D

Política óptima

𝐾 (𝑄 )= 𝐴𝐷𝑄 +𝐶𝐷+

12 h𝑄


• Caso 2:

No se permiten faltantes y tasa de producción finita (P≠)

Tiempo

Nivel deinventario

𝐼𝑚𝑎𝑥=𝑄 (1−𝐷/𝑃 )

T

PP-

D

D

Política óptima

𝐾 (𝑄 )= 𝐴𝐷𝑄 +𝐶𝐷+ 1

2h𝑄(1− 𝐷𝑃 )


• Caso 3:

Se permiten faltantes (b>0) y tasa de producción infinita (P=)

Tiempo

Nivel deinventario

T

D

0

b

Política óptima

𝐾 (𝑄 ,𝑏 )= 𝐴𝐷𝑄 +𝐶𝐷+

h (𝑄−𝑏)2

2𝑄 +(�̂� 𝑏2+2πbD)

2𝑄

TÉCNICAS DE LOTE ECONÓMICO• Caso 4:

Se permiten faltantes y tasa de producción finita (P≠)

Tiempo

Nivel deinventario

𝐼𝑚𝑎𝑥=𝑄 (1−𝐷/𝑃 )−𝑏

T

PP-

D

D

b

Política óptima

*

𝐾 (𝑄 ,𝑏 )= 𝐴𝐷𝑄 +𝐶𝐷+

h (𝑄(1− 𝐷𝑃 )−𝑏)2

2𝑄 (1− 𝐷𝑃 )+

(𝜋 𝑏2)

2𝑄 (1− 𝐷𝑃 )+𝜋 𝑏𝐷𝑄

Cantidad económico de pedidos de varios artículos con limitaciones de almacén

Método de resolución• Los pasos para resolver este problema son:• [Paso 1]. Calcular los valores óptimos no restringidos de las cantidades de

pedidos.

• [Paso 2]. Comprobar si los valores óptimos no restringidos satisfacen la restricción. Si la satisfacen entonces PARE; la solución es óptima. En caso contrario Ir a Paso 3.

• [Paso 3]. Usar el método de Lagrange para determinar los valores restringidos óptimos de las cantidades de pedido. Para un ≤0, calcular el tamaño del lote según la siguiente ecuación:

• El valor de disminuye de manera sucesiva mientras la restricción no se satisfaga y aumenta cuando la restricción se satisface estrictamente en la desigualdad y se obtiene cuando la restricción se satisface en la igualdad.

Ejemplo: Los datos siguientes describen cinco artículos de inventario.

Determine las cantidades óptimas de pedido.

Artículo i

1 20 22 0,35 1

2 25 34 0,15 0,8

3 30 14 0,28 1,1

4 28 21 0,30 0,5

5 35 26 0,42 1,2

Área total disponible para almacenamiento W=25

Solución

Cálculos

0,00 50,14 106,46 54,77 62,61 65,83 280,86-5,00 9,22 14,44 8,63 14,90 12,11 27,24

-10,00 6,58 10,26 6,14 10,69 8,63 12,24-15,00 5,38 8,39 5,02 8,77 7,07 5,49-20,00 4,67 7,27 4,36 7,61 6,13 1,44-25,00 4,18 6,51 3,90 6,82 5,49 -1,33-22,50 4,41 6,86 4,11 7,18 5,78 -0,06-22,40 4,41 6,87 4,12 7,20 5,80 0,00

ߣ ܳ�ଵ ܳ�ଶ ܳ�ଷ ܳ�ସ ܳ�ହ ݓ� ܳ�ହ

ୀ�ଵ െ�ܹ�

Demanda variable en el tiempo

• Razones:– Un ítem puede ser usado como una componente

para producir un producto que se produce en ciertas ocasiones conocidas.

– Producción por contrato, el cual requiere que ciertas cantidades deben ser entregadas en fechas específicas.

– Variaciones estacionales en la demanda.

Demanda variable en el tiempo (Modelo de revisión periódica)

• Se asume que la demanda es conocida.• Se asume un número finito de periodos (día,

semanas).• Planificar para los siguientes periodos

respondiendo a cuánto se debe producir u ordenar de tal manera de llenar el inventario al inicio de cada uno de los periodos.

Ejemplo• demanda del periodo i=1,2,3,…n• Objetivo: Minimizar el costo total sobre el horizonte de planificación.Ejemplo: Un fabricante de aeronaves se especializa en la producción de aviones pequeños. Acaba de recibir un pedido de una gran corporación de 10 aviones jet ejecutivos

especiales para uso de la alta administración de la empresa. La orden pide que se entreguen tres aviones (que se pagarán) durante los meses del

próximo invierno (periodo 1), dos más en la primavera (periodo 2), tres en el verano (periodo 3) y los últimos dos durante el otoño (periodo 4).

La preparación de las instalaciones de producción para cumplir con las especificaciones de la corporación para fabricar estos aviones implica un costo de 2 millones de dólares.

El fabricante tiene la capacidad de producir los 10 aviones en un par de meses, cuando la temporada de invierno haya comenzado. Sin embargo, esto significaría mantener siete de ellos en inventario, a un costo de 200 mil dólares por avión por periodo, hasta la fecha de entrega programada.

Para reducir o eliminar estos costos sustanciales de mantener el inventario, tal vez valga la pena producir un número menor de aviones ahora y después repetir la preparación (aunque se incurra de nuevo en el costo de 2 millones de dólares) en algunos o todos los periodos subsecuentes con corridas de producción pequeñas.

La administración desea determinar el programa de producción menos costoso para satisfacer esta orden.

Gráfica

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.50

1

2

3

4

5

6

7

Política 1

Política 1

Periodos

Nive

l de

Inve

ntar

ios

Gráfica

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.50

1

2

3

4

5

6

7

Inventario con demanda variable en el tiempo

Política 1 Política 2

Periodos

Nive

l de

Inve

ntar

ios

Política

• De la figura anterior, se obtiene la siguiente conclusión.

• Cuando hay inventario no es óptimo producir pues existe una solución que la domina.

• Es el caso de la política azul que en el tercer periodo produce cuando hay una unidad de inventario, la política roja la domina.

• La razón es que ambas políticas producen la misma cantidad de veces pero la política roja tiene menos costos de inventario.

Heurística de Silver-Meal• Suponga que en el periodo se produce para los periodos , +1, …, ; . • Sea: El costo asociado a la preparación y almacenamiento para los mismos periodos.

• Se define el costo total asociado por periodo como:

• El algoritmo es el siguiente:• [Paso 0]. • [Paso 1]. Determinar el periodo que satisfaga las siguientes dos condiciones :

• Si se satisfacen las dos condiciones entonces la heurística dice que en el periodo se debe ordenar la cantidad .

• [Paso 2]. Hacer , entonces PARE; Se ha cubierto todo el horizonte de planificación. De lo contrario, vuelva al paso 1.

EjemploPeriodo i

1 10 20 1

2 15 17 1

3 7 10 1

4 20 18 3

5 13 5 1

6 25 50 1

Solución

• Iteración 1 (

• Por lo tanto, en el periodo =1 se deben ordenar 10+15+7 = 32 unidades.

• Hacer Como 4 es menor que 6, entonces volver a iterar.

Periodo

1 10 $20

2 15 $20+$1*15=$35

3 7 $20+$1*15+(1+1)*7=$49 16,33

4 20 $20+$1*15+(1+1)*7+(1+1+1)*20=$109

Solución (cont.)

• Iteración 2 (

• Por lo tanto, en el periodo =4 se deben ordenar 20 unidades.

• Hacer Como 5 es menor que 6, entonces volver a iterar.

Periodo

4 20 $18

5 13 $18+$3*13=$57

Solución (cont.)• Iteración 3 (

• Por lo tanto, en el periodo =5 se deben ordenar 13 unidades.• Hacer Como 6 es igual que 6, entonces:• Por lo tanto, en el periodo =6 se deben ordenar 25 unidades.

Periodo

5 13 $5

6 25 $5+$1*25=$30

Modelos probabilísticos de inventario:Modelos de revisión continua:

• Modelo probabilizado de cantidad económica de pedido.

Tiempo

Nivel deinventario

𝐼𝑚𝑎𝑥=𝐵+𝑄

T

D

B

𝐵+𝜇𝐿

L

• El tamaño de la reserva se determina de tal modo que la probabilidad de que se agote la existencia durante el tiempo de entrega no sea mayor que un valor especificado.

• La hipótesis del modelo es que tiene distribución normal con media y desviación estándar .

• o

𝑃 {𝑥𝐿≥𝐵+𝜇𝐿 }≤𝛼

Ejemplo

• Se cambian luces de neón en el campus de la U a una tasa de 100 unidades diarias. Estas luces de neón se piden en forma periódica. Cuesta $100 iniciar una orden de compra. Se estima que una luz de neón en el almacén cuesta $0.02 diarios. El tiempo de entrega, entre la colocación y la recepción de un pedido es de 12 días. Determine la política óptima de inventario para pedir las luces de neón.

Solución

• Como el tiempo de entrega es mayor que , se debe calcular la cantidad de ciclos incluidos en L

• Luego,

• El punto de reorden se presenta cuando la cantidad de inventario baja a:

• La política de inventario es:• Pedir 1000 unidades cuando el inventario baja a 200 unidades.• El costo diario de inventario para la política propuesta es:

Ejemplo modificado

• Si la demanda diaria es normal, con media de 100 luces y luces, determine el tamaño de la reserva tal que la probabilidad de que se agote la existencia sea menor que .

Solución• Sabemos que el tiempo efectivo de atraso es de 2 días.

Entonces

• De acuerdo a tabla de la distribución normal se tiene: • El tamaño de la reserva es:

• La política óptima de inventario con reserva es:• Comprar 1000 unidades cuando el nivel de inventario

sea de 223 unidades (=

Modelo probabilístico de cantidad económica de pedido

• Este modelo permite faltante durante la demanda.

R

Q

Q

Q

Ciclo 1

Tiempo de entrega Tiempo de entrega

Ciclo 2


• Pedir la cantidad siempre que el inventario baja al nivel .• Los valores óptimos de Q y R se determinan minimizando

el costo esperado por unidad de tiempo (preparación, almacenamiento, faltantes).

• El modelo tiene tres hipótesis:– La demanda no satisfecha durante el tiempo de entrega se

acumula.– No se permite más de un pedido vigente.– La distribución de la demanda durante el tiempo de entrega

permanece estacionaria con el tiempo.


• Definición:• función de distribución de probabilidades de

la demanda durante el tiempo de entrega.• Demanda esperada por unidad de tiempo.• Costo de almacenamiento por unidad por

unidad de tiempo.• Costo de faltante por unidad de inventario.• Costo de preparación por pedido.


• Costo de preparación:

• Costo esperado de almacenamiento:

• Costo esperado por faltante:

• Costo total por unidad de tiempo:


• Las soluciones para y óptimas se determinan resolviendo el siguiente sistema de ecuaciones:


• Las soluciones para y óptimas son:

Ejemplo

• Electro usa 1000 galones de resina por mes en el proceso de manufactura. Le cuesta $100 hacer un pedido para un lote nuevo. El costo de almacenamiento por galón y por mes es de $2, y el costo de faltante por galón es de $10. Los datos históricos indican que la demanda, durante el tiempo de entrega, es uniforme dentro del intervalo (0,100) galones. Determine la política óptima de pedidos para Electro.

Solución en clases

Modelos de un periodo• Notación:• 𝑓(): función de distribución de la demanda durante el periodo.• 𝐷: Variable aleatoria que representa la demanda durante el

periodo.• ℎ: Costo de almacenamiento por unidad por el periodo.• 𝜋:Costo de faltante por unidad de inventario durante el

periodo.• 𝐴: Costo de preparación por pedido.• : costo de compra por unidad (producción).• : cantidad pedida.• : cantidad a la mano, antes de hacer un pedido.• Dada la cantidad óptima , la política de inventario establece

pedir si en caso contrario no se coloca pedido.

Modelos de un periodo: Modelo sin preparación

• Hipótesis:– La demanda se presentan en forma instantánea al

comenzar el periodo inmediatamente después de que se recibe el pedido.

– No se incurre en costos de preparación.

D<Q

Q-D

QD

D>Q

D-Q

DQ


• El costo esperado para el periodo es:

O bien,

Entonces,

Ejemplo• El propietario de una tienda expendedora de periódicos

desea determinar la cantidad de diarios el Sur que deben entregarle diariamente temprano por la mañana. A él le cuesta $0,30 el ejemplar, y lo vende en $0,75. La venta de periódicos suele ser entre las 07:00 a.m. y las 08.00 a.m. Los periódicos que no se vendieron al finalizar el día se reciclan a un costo de $0,05 el ejemplar. ¿Cuántos ejemplares le deben entregar cada mañana, suponiendo que la demanda diaria se puede aproximar con una distribución normal con promedio de 300 ejemplares y desviación estándar de 20 ejemplares?

Solución en clases



• Las condiciones necesarias de la optimalidad son:

Si es convexa entonces también son suficientes,

Ejemplo• El propietario de una tienda expendedora de periódicos desea

determinar la cantidad de diarios el Sur que deben entregarle diariamente temprano por la mañana. A él le cuesta $0,30 el ejemplar, y lo vende en $0,75. La venta de periódicos suele ser entre las 07:00 a.m. y las 08.00 a.m. Los periódicos que no se vendieron al finalizar el día se reciclan a un costo de $0,05 el ejemplar. ¿Cuántos ejemplares le deben entregar cada mañana, suponiendo que la demanda diaria se puede aproximar con una función de distribución de probabilidades discretas?

D 200 220 300 320 340

F(D) 0,1 0,2 0,4 0,2 0,1

Solución en clases

Modelos de un periodo: Modelo con preparación

• Hipótesis:– La demanda se presentan en forma instantánea al

comenzar el periodo inmediatamente después de que se recibe el pedido.

– Se incurre en costos de preparación.

D<Q

Q-D

QD

D>Q

D-Q

DQ

Modelos de un periodo: Modelo con preparación (política s-S)


A

Ss 𝑠1

𝐸 {𝐶 (𝑆)}

𝐸 {𝐶 (𝑆)}

pedir

No pedir

Solución: Tres casos

• Caso 1: . La política óptima es pedir unidades.

• Caso 2: La política óptima es no pedir.

• Caso 3: (x>S). La política óptima es no pedir.

• En resumen:

• Si

Ejemplo• La demanda diaria de un artículo durante un solo periodo se

presenta en forma instantánea al iniciar ese periodo. La función de distribución de probabilidades de la demanda es uniforme, entre 0 y 10 unidades. El costo unitario de almacenamiento del artículo durante el periodo es $0,50, y el costo unitario de penalización por carencia del mismo es de $4,50. El costo unitario de compra es de $0,50. Se incurre en un costo fijo de $25 cada vez que se coloca un pedido. Determinar la política óptima de inventario para ese artículo.

Solución en clases

Política óptima

𝐾 (𝑄 )= 𝐴𝐷𝑄 +𝐶𝐷+ 1

2h𝑄(1− 𝐷𝑃 )

𝑓 𝑜𝑐𝑖𝑜=(1− 𝐷𝑃 ) 𝜌=𝐷𝑃

Comentarios• Las expresiones anteriores consideran costos de preparación

pero no tiempos de preparación.• Si existe tiempo de preparación “” entonces la solución

anterior sigue siendo factible y óptima si:

• En caso contrario, la solución óptima es aquella en la cual la máquina alterna entre preparación y producción con la longitud del ciclo.

Ejemplo

• Considere una facilidad con una tasa de producción P=90 artículos por semana, una tasa de demanda D=50 artículos por semana, un costo de preparación A=$2000, un costo de mantención h=$20 por artículo por semana sin tiempos de preparación.

Solución

𝑡𝑐𝑖𝑐𝑙𝑜=√ 2𝑃𝐴h𝐷(𝑃 −𝐷)

=√ 2∗90∗200020∗50(90−50)

=3 𝑠𝑒𝑚𝑎𝑛𝑎𝑠 .𝑄∗=√ 2 𝐴𝐷

h (1− 𝐷𝑃 )=√ 2∗2000∗50

20∗(1− 5090

)=150𝑎𝑟𝑡 í 𝑐𝑢𝑙𝑜𝑠

𝐼𝑚𝑎𝑥=𝑄(1− 𝐷𝑃 )=150∗(1− 5090 )=66,6

semanas

Nivel deinventario

𝐼𝑚𝑎𝑥=66,6

3

9040

1,66

50

Ejemplo

• Considere una facilidad con una tasa de producción P=90 artículos por semana, una tasa de demanda D=50 artículos por semana, un costo de preparación A=$2000, un costo de mantención h=$20 por artículo por semana con tiempos de preparación de 2 semanas (mantención y limpieza).

Solución

𝑡 𝑐𝑖𝑐𝑙𝑜=𝑠

1−𝜌=2𝑠𝑒𝑚𝑎𝑛𝑎𝑠

1− 59

=2𝑠𝑒𝑚𝑎𝑛𝑎𝑠

49

=4.5 𝑠𝑒𝑚𝑎𝑛𝑎𝑠𝑄∗=𝑡𝑝𝑟𝑜𝑑𝑢𝑐𝑐𝑖𝑜𝑛∗𝑃=2.5∗90=225 𝑎𝑟𝑡 í 𝑐𝑢𝑙𝑜𝑠

𝐼𝑚𝑎𝑥=𝑄(1− 𝐷𝑃 )=225∗(1− 5090 )=100𝑎𝑟𝑡 í 𝑐𝑢𝑙𝑜𝑠

semanas

Nivel deinventario

𝐼𝑚𝑎𝑥=100

4.5

9040

2.5

50

Diferentes tipos de artículos• Considere una sola máquina pero con diferentes tipos de artículos

(ítems).• La demanda del ítem es . • La máquina es capaz de producir el ítem a una tasa .• El costo de preparación para el ítem es .• Supuesto: Costo de preparación independiente de la secuencia.• Determinar el mejor ciclo de producción que contenga una sola

corrida por cada ítem.• Por ello, las longitudes de los ciclos de los n artículos deben ser

idénticos.• La longitud del ciclo determina la longitud de cada corrida de

producción.

Diferentes tipos de artículos• Sea el tiempo de ciclo.• Por lo tanto:

La longitud de la corrida de producción del ítem es:

El nivel de inventario es cero cuando se inicia la corrida de producción del ítem .Durante la corrida de producción, el nivel de inventario se incrementa a una tasa . El nivel máximo de inventario que se alcanza es .Durante el periodo de ocio, el nivel de inventario disminuye a una tasa .Nivel de inventario promedio para el ítem es:

Diferentes tipos de artículos• El costo promedio por unidad de tiempo debido a preparación por ítem es .• Por lo tanto el costo promedio por unidad de tiempo debido a mantención de

inventario y preparación es:

• La longitud de ciclo óptimo es:

Ejemplo:Ítems 1 2 3 4

50 50 60 60

400 400 500 400

20 20 30 70

2000 2500 800 0

La longitud de ciclo óptimo es:

meses

• El tiempo de ocio es 0,595 meses.• El costo promedio por unidad de tiempo es = 2155+2559+1627+2213=8554.

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