Modelando com ED de 1ª ordem– alguns modelos simples

1. O crescimento populacional:População - pessoas, animais, plantas, bactérias, ...

• Quando não restritos à limitações especiais, tendem a crescer à taxas proporcionais ao tamanho da população.

• Quanto maior é a população, mais rapidamente ela cresce.

As notas de aula nestas doze transparências são baseadas em H. Anton: Cálculo - um novo horizonte. Vol. 2. 1999. p.20 a p27.

Objetivo: Encontrar uma função que forneça o tamanho da

população em um instante de tempo qualquer.

Assim, se y = y(t) é a função que fornece o tamanho da

população em um instante t qualquer e sendo

• A taxa de crescimento dessa população é:

a taxa de crescimento proporcional ao tamanho da

população e K a constante de proporcionalidade, então dtdy

A equação diferencial de 1ª ordemé linear e a solução é

Se no instante inicial t0 a população inicial é y0, temos o problema de valor inicial:

0 kydtdy

e y(o)=y0kydtdy

ktCey solução geral e

kteyy 0é a solução do problema de valor inicial

kydtdy

e y(o)=y0

Exemplo (Anton, p.24): De acordo com os dados das Nações Unidas, a população mundial no começo de 1990 era de 5,3

bilhões (aproximadamente) e crescendo a uma taxa em torno

de 2% ao ano. Supondo exponencial o modelo de crescimento

(e mantida essa taxa anual) estimar a população mundial em:

a) 2010; b) 2015;

Exemplo (Anton, p.34 (número 42):

Uma quantidade y tem modelo de crescimento exponencial

y = y0ekt. Sabe-se que y = y1 quando t = t1. Encontrar k em

termos de y0, y1 e t1.

2. Farmacologia:•Quando um indivíduo ingere um remédio, este entra

na corrente sanguínea e é absorvida pelo organismo no

decorrer do tempo. Pesquisas médicas indicam que a

quantidade da droga presente nessa corrente tende a

decrescer a uma taxa proporcional à quantidade de droga

presente (quanto mais droga estiver na corrente sanguínea,

mais rapidamente ela será absorvida pelo organismo.

• Problema: Encontrar a quantidade de medicamento presente

no organismo no instante t.

onde k é positivo e o sinal negativo ocorre

porque y decresce com o tempo

Objetivo: Encontrar uma função que forneça a quantidade de

medicamento presente no organismo no instante t

Assim, se y = y(t) é a função que fornece a quantidade de

medicamento no organismo em um instante t e sendo

a taxa de decrescimento proporcional à quantidade

presente no organismo e K a constante de proporcionalidade,

então a taxa de decrescimento dessa quantidade é

dtdy

• Assim,Se a dosagem inicial da droga é conhecida e igual a y0 temos um problema de valor inicial

e y0 = y(0)

Resolvendo esse problema, encontramos

ktCey solução geral e

kteyy 0é a solução do problema de valor inicial

e y0 = y(0)

Modelos de crescimento exponencial

Definição: Dizemos que uma quantidade y = y(t) tem um

modelo de crescimento exponencial se ela crescer a uma

taxa que é proporcional ao tamanho da quantidade presente.

Neste caso temos o problema de valor inicial

kydtdy

e sendo y(o) = y0

kteyy 0Com solução:

Modelos de decaimento exponencial

Definição: Dizemos que uma quantidade y = y(t) tem um

modelo de decaimento exponencial se ela decrescer a uma

taxa que é proporcional ao tamanho da quantidade presente.

Neste caso:

kydtdy

e sendo y(o) = y0

Com solução: kteyy 0

Ex: (Anton, p.25): Decaimento radioativo (desintegração

espontânea de elementos radioativos). Experimentos têm

mostrado que a taxa de desintegração é proporcional à

quantidade de elemento presente. Portanto, a quantidade

y = y(t) de elemento radioativo é função do tempo com um

modelo de decaimento exponencial. Se 100 gramas do

carbono-14, cuja constante de decaimento é aproximadamente

0,000121, forem armazenados em uma caverna, quanto restará

do carbono após 1000 anos? Em quanto tempo quantidade de

Carbono estará reduzida pela metade?

Tempo de duplicação e meia vida

Se uma quantidade y tem um modelo de crescimento

exponencial então o tempo necessário para

duplicar o tamanho inicial é kT 2ln

kteyy 0

Se uma quantidade y tem um modelo de decrescimento

exponencial então o tempo necessário para

que o tamanho inicial seja reduzido pela metade (meia vida)

é

kteyy 0

kT 2ln

T 2T 3T

ty02y0

4y0

8y0

kteyy 0

t

T 2T 3T

ykteyy 0

y0

y0/2

y0/4y0/8