modelagem matemÁtica: uma metodologia alternativa de
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MODELAGEM MATEMÁTICA: UMA METODOLOGIA ALTERNATIVA DE ENSINO
DA GEOMETRIA NA PERSPECTIVA DO CONHECIMENTO MATEMÁTICO PARA
OS ALUNOS DO 9° ANO
Maria Leni Maran1
Amarildo de Vicente2
Resumo: Este artigo apresenta os resultados da proposta de intervenção efetuada com alunos do 9ª ano de uma escola pública. Neste trabalho foram desenvolvidas atividades nos pressupostos da modelagem matemática explorando conceitos matemáticos relacionados mais especificamente à geometria e sua aplicabilidade na construção civil, utilizando o espaço físico escolar como ambiente de aprendizagem na construção de modelos matemáticos, como planta baixa e maquete da escola. Para a elaboração desta proposta considerou-se o sentimento de rejeição e de dificuldades que os alunos apresentam pela matemática e a possibilidade de amenizar os problemas de ensino aprendizagem desta disciplina utilizando a Modelagem Matemática como metodologia alternativa para o ensino de geometria no 9º ano. A problemática partiu de situações do cotidiano que promoveram a percepção dos alunos quanto à relevância da Matemática e sua aplicabilidade, nas mais diversas situações, despertando no aluno o interesse e o gosto pelo conhecimento matemático. Os resultados obtidos com a aplicação das atividades mostraram que os alunos melhoraram o desempenho, passando a gostar mais das aulas de Matemática contribuindo para uma aprendizagem mais efetiva. Palavras-chaves: Geometria. Modelagem Matemática. Metodologia Alternativa. INTRODUÇÃO
O grande desafio de ensinar Matemática hoje é despertar no aluno o gosto e
o interesse pelo saber Matemático, pois esta ciência carrega consigo o estigma de
ser difícil e abstrata, o que torna o seu aprendizado improdutivo, gerando com isso,
desmotivação e desinteresse dos alunos. Esse mau desempenho escolar perante a
Matemática se deve na maioria dos casos à abordagem tradicional e fragmentada
que se dá aos conteúdos. O professor expõe os mesmos sem demonstrar relação
com a realidade, enche o quadro de exercícios repetitivos, privilegiando cálculos e
memorizações de regras e fórmulas, ou seja, uma Matemática sem vida e sem
1Pós-Graduação em Fundamentos da Matemática, Graduação em Licenciatura Plena em Ciências-Habilitação
Matemática, Professora da Rede Pública Estadual do Paraná. 2Graduação em licenciatura Plena em Matemática, Doutorado em Engenharia de Produção, Professor do CCET
da UNIOESTE – Campus de Cascavel.
significado para o aluno, o que não contribui para a construção do seu
conhecimento. Diante disso, há necessidade de buscar novas metodologias ou
estratégias mais dinâmicas e interativas, que oportunizem, de fato, um ensino
aprendizagem da Matemática contextualizada, significativa e motivadora.
Diante da rejeição e dificuldades de aprendizagem que os alunos apresentam
pela matemática e na tentativa de amenizar os problemas de ensino aprendizagem
desta disciplina, busca-se desenvolver uma nova abordagem metodológica que
colabore para aquisição dos conhecimentos matemáticos, em especial os conteúdos
de geometria. Nesta abordagem não se prioriza a memorização, mas sim uma
aprendizagem mais sólida, por meio de atividades concretas relacionadas a
realidade do aluno, despertando o gosto e o interesse pelos conteúdos de
Matemática, utilizando a Modelagem Matemática como contribuição para tornar as
aulas mais interessantes e significativas.
A fim de cumprir o objetivo do trabalho proposto, durante a intervenção
pedagógica buscou-se desenvolver, por meio da Modelagem Matemática, conteúdos
de geometria, partindo de situações problemas do cotidiano que promovam a
percepção da relevância da Matemática perante a sua aplicabilidade nas mais
diversas situações, despertando no aluno o interesse e o gosto pela Matemática,
oportunizando assim a construção do conhecimento Matemático.
FUNDAMENTOS TEÓRICOS
Historicamente a Matemática tem sido a vilã das disciplinas escolares, sendo
responsável pelo grande número de reprovações e do baixo rendimento escolar,
constatados pelos exames nacionais que servem como indicativo de avaliação da
qualidade de ensino no nosso país.
A Matemática é vista pelos alunos como a mais difícil e a menos atraente das
disciplinas escolares. Mal se dão conta de que todos fazem uso da mesma em
várias situações do dia a dia que estão repletas de conceitos matemáticos, situando-
os no tempo e no espaço, de acordo com suas necessidades básicas; desde as
mais elaboradas que exigem os cálculos mais estafantes, como dos engenheiros ou
investidores financeiros, às mais corriqueiras das tarefas domésticas, como a
passadeira no ato de dobrar a roupa de forma adequada.
O insucesso de uma grande parte dos alunos em matemática é atribuído a
inúmeros fatores, entre os quais se destacam as metodologias e conteúdos muitas
vezes inadequados, que reduzem a motivação dos alunos e em pouco contribuem
para a aprendizagem.
Diante desse quadro é essencialmente importante que o professor reflita
sobre suas práticas pedagógicas, buscando quais metodologias ou qual a
metodologia seria a mais adequada a determinados conteúdos, para que não
aconteça apenas um repasse, e sim a aprendizagem dos mesmos. É necessário que
o conhecimento matemático contribua na formação do aluno, tornando-o um cidadão
reflexivo, crítico, criativo e transformador da sua realidade.
Por meio da Modelagem pretende-se apresentar uma alternativa pedagógica
que possibilite aos professores atuar efetivamente na aprendizagem dos alunos,
objetivando o desenvolvimento da capacidade de resolver problemas. Pretende-se
ainda propiciar o aprendizado concreto dos conteúdos de Matemática, ultrapassando
o ensino de técnicas de resolução, promovendo uma participação ativa do aluno no
seu processo de construção do conhecimento.
Acredita-se que através da Modelagem Matemática é possível se
desvencilhar das abordagens tradicionais, tornando as aulas mais dinâmicas e
eficientes, despertando no aluno o interesse e o gosto pela aprendizagem
matemática.
Por ser a matemática um dos conhecimentos tão necessários e importantes
devido a sua presença em larga escala no cotidiano das pessoas, é contraditório o
fato dos alunos não gostarem da matemática escolar, de apresentarem dificuldades
de aprendizagem, de sentirem antipatia e até rejeição pela mesma, que
consequentemente implica no baixo rendimento, reprovação e evasão escolar.
Está-se atravessando um momento de grandes mudanças sociais provocadas
pelos avanços científicos e tecnológicos, e a deficiência na capacidade de pensar
matematicamente e de utilizar os conhecimentos desta disciplina compromete
seriamente qualquer projeto de desenvolvimento de um país. Em virtude disso, faz-
se necessário buscar novas metodologias de ensino que corresponda a esta
modernização, focalizando uma formação para a cidadania dos indivíduos, que
propiciem a sua ação e reflexão a respeito das situações da realidade.
Perante essa necessidade de reestruturação nos métodos utilizados no
ensino da Matemática, com vistas na melhoria do seu processo de ensino e
aprendizagem, tem-se desenvolvido investigações por meio de diferentes tendências
metodológicas, que segundo as Diretrizes Curriculares do Estado do Paraná,
(SEED, 2008, p.64), são: “Resolução de problemas, Modelagem Matemática, Mídias
Tecnológicas, Etnomatemática, História da Matemática. e Investigações
Matemáticas”. Dentre elas, elegemos a Modelagem Matemática como objeto do
nosso estudo.
De acordo com as Diretrizes Curriculares da Rede Pública de Educação
Básica do Estado do Paraná:
A modelagem matemática tem como pressuposto a problematização de situações do cotidiano. Ao mesmo tempo em que se propõe a valorização do aluno no contexto social, procura levantar problemas que sugerem questionamentos sobre situações de vida [...] por meio da modelagem matemática, fenômenos diários, sejam eles físicos, biológicos e sociais, constituem elementos para análises críticas e compreensões diversas do mundo (SEED, 2008, p.64).
A ideia de modelagem para Biembengut e Hein (2000) sugere a imagem de
um escultor modelando argila que através da técnica, intuição e criatividade produz
um objeto. Esse objeto é um modelo que representa uma coisa real ou imaginária.
Dependendo do contexto, a palavra modelo possui vários significados Segundo
Dicionário da Língua Portuguesa o termo modelo significa uma representação de
alguma coisa, um padrão ideal a ser atingido, ou um tipo especifico dentro de uma
série.
O ser humano sempre recorreu a modelos para interpretar fenômenos
naturais e sociais. A noção de modelo está presente em quase todas as áreas de
conhecimento: Arte, Arquitetura, Moda, Economia, Física, Química, Medicina,
Matemática e outras. Na Ciência, em especial na matemática, a noção de modelo é
fundamental. Seja qual for o problema, em geral quando quantificado, a sua
resolução requer uma formulação detalhada: o modelo matemático. Mas o que é um
modelo matemático?
Biembengut & Hein (2000, p.12) denominam como “um conjunto de símbolos
e relações matemáticas que procura traduzir, de alguma forma, um fenômeno em
questão ou problema de situação real”
Para Bassanezi (2010, p.174) “um modelo matemático é um conjunto
consistente de equações ou estruturas matemáticas, elaborado para corresponder a
algum fenômeno – este pode ser físico, biológico, social ou psicológico”. De maneira
geral, podemos dizer que um modelo é uma representação simplificada de algum fenômeno
ou situação real.
Para se chegar ao modelo, segundo D’Ambrósio (1986, p.65), “é necessário
que o indivíduo faça uma análise global da realidade na qual tem sua ação, onde
define estratégias para criar o mesmo”. E a determinação do tipo de modelo a ser
utilizado dependerá da situação analisada, das variáveis selecionadas e dos
recursos disponíveis. Esse processo exige do modelador o domínio e
desenvolvimento de conhecimentos matemáticos, e conforme Biembengut & Hein
(2007, p.46) “os modelos matemáticos sempre serão tão bem elaborados quanto de
Matemática dispuser o modelador.” Pois só assim poderá se utilizar dos conceitos e
procedimentos a serem explorados na criação do modelo matemático para
representar uma situação problema.
A Modelagem Matemática vem cada vez mais sendo estudada e utilizada por
professores que buscam novas metodologias visando aproximar a realidade do
aluno aos conhecimentos matemáticos, a partir da construção de modelos coerentes
com a situação real. Mas afinal, o que é Modelagem Matemática?
Para D’Ambrósio (1986, p.11) “Modelagem é um processo muito rico de
encarar situações reais, e culmina com a situação efetiva do problema real e não
como uma simples resolução formal de um problema artificial.”
Para Bassanezi (2010, p.16) “a modelagem matemática consiste na arte de
resolver problemas da realidade em problemas matemáticos e resolvê-los
interpretando suas soluções na linguagem do mundo real”
Na visão de Burak,
A Modelagem Matemática constitui-se em um conjunto de procedimentos cujo objetivo é estabelecer um paralelo para tentar explicar, matematicamente os fenômenos presentes no cotidiano do ser humano, ajudando-o a fazer predições e a tomar decisões (BURACK, 1992, p.62).
Para Barbosa, (2000, p.161) “a modelagem é um ambiente de aprendizagem
no qual os alunos são convidados a problematizar e investigar, por meio da
matemática, situações com referência na realidade”.
Para Biembengut & Hein
Modelagem matemática é o processo que envolve a obtenção de um
modelo. Este, sob certa óptica, pode ser considerado um processo artístico, visto que, para se elaborar um modelo, além de conhecimento de Matemática, o modelador precisa ter uma dose significativa de intuição e criatividade para interpretar o contexto, saber discernir que conteúdo matemático melhor se adapta e também ter senso lúdico para jogar com as variáveis envolvidas (2000, p.12).
De acordo com Biembengut & Hein (2000, p.13), “Genericamente, pode-se
dizer que matemática e realidade são dois conjuntos disjuntos e a modelagem é um
meio de fazê-los interagir”. Essa interação, que permite representar um fenômeno
através da linguagem matemática (modelo matemático), envolve uma série de
procedimentos, que foram agrupados por Biembengut & Hein (2000, p.13), em três
etapas, subdivididas em subetapas:
1) Interação (reconhecimento da situação problema e familiarização com o
assunto a ser modelado – referencial teórico). Nesta etapa, a situação a ser
estudada será esboçada e para torná-la mais clara deverá ser feita uma pesquisa
sobre o assunto escolhido de modo direto (através de bibliografia especializada,
entre outros) ou indireto, in loco (através da experiência em campo, de dados
experimentais obtidos com especialistas da área).
2) Matematização (formulação do problema – hipótese e resolução do
problema em termos do modelo). Esta é a fase mais complexa e desafiadora, onde
se começa a estabelecer hipóteses para a solução do problema. É nesta fase que se
dará a tradução da situação problema para a linguagem matemática. Assim, a
intuição e a criatividade e a experiência acumulada são elementos indispensáveis.
3) Modelo matemático (interpretação da solução e validação do modelo –
avaliação). É nesta fase que é feita a interpretação do modelo sugerido, quanto a
sua validação. O modelo concluído deverá corresponder à situação-problema
apresentada, caso contrário, deverá ser retomado na segunda etapa.
Para o desenvolvimento de uma atividade com modelagem matemática,
Burak (2004), sugere cinco etapas, dentre elas, escolha do tema; pesquisa
exploratória; levantamento dos problemas; resolução dos problemas e o
desenvolvimento do conteúdo matemático no contexto do tema e análise crítica das
soluções.
Essas etapas devem sempre ser encaminhadas levando-se em consideração
os dois princípios propostos pelo autor: o interesse do grupo e a obtenção de
informações e dados do ambiente, onde se encontra o interesse do grupo. Durante
todo o processo da Modelagem, é muito importante a postura do professor, pois
assume o papel de mediador.
Sobre as razões para a inclusão de Modelagem no currículo, muito se tem
discutido. Conforme Blum,(1995, Apud BARBOSA, 2003, p.3).
Em geral, são apresentados cinco argumentos: - Motivação: os alunos sentir-se-iam mais estimulados para o estudo de matemática, já que vislumbrariam a aplicabilidade do que estudam na escola; - Facilitação da aprendizagem: os alunos teriam mais facilidade em compreender as ideias matemáticas, já que poderiam conectá-las a outros assuntos; - Preparação para utilizar a matemática em diferentes áreas: os alunos teriam a oportunidade de desenvolver a capacidade de aplicar matemática em diversas situações, o que é desejável para moverem-se no dia-a-dia e no mundo do trabalho; - Desenvolvimento de habilidades gerais de exploração: os alunos desenvolveriam habilidades gerais de investigação; - Compreensão do papel sociocultural da matemática: os alunos analisariam como a matemática é usada nas práticas sociais.
Segundo Bassanezi (2010, p.37), “Apesar de todos os argumentos favoráveis
ao uso da modelagem matemática, muitos colocam obstáculos, principalmente
quando aplicada em cursos regulares”, tais como:
- Dificuldade de cumprir programas pré-estabelecidos nos cursos regulares,
como a modelagem é um processo demorado isto pode não acontecer.
- Alguns professores de matemática colocam em dúvida se é de sua
competência, ensinar a resolver problemas estabelecendo conexões com outras
áreas.
- O uso da modelagem foge da rotina do ensino tradicional e o aluno não
acostumado a essa abordagem, pode-se perder ou tornar-se indiferente.
- Na modelagem o aluno passa ser o centro do processo de ensino-
aprendizagem, ou seja, ele é responsável pelos resultados obtidos e pela dinâmica
do processo, de modo que a aula poderá caminhar num ritmo mais lento.
- A formação heterogênea de uma classe pode ser um obstáculo na relação
dos conhecimentos teóricos adquiridos com a situação prática em estudo.
- O tema escolhido pode não ser interessante e motivador para todos.
- Os professores não se sentem habilitados a desenvolver a modelagem em
seus cursos, por falta de conhecimento do processo ou por medo de se encontrarem
em situações embaraçosas quanto às aplicações de matemática em áreas que eles
desconhecem.
- Os professores alegam falta de tempo para estudo sobre temas fora da
matemática e preparação das aulas que envolvem o tema em estudo.
Biembengut e Hein (2000, p.28) colocam que “a Modelagem, metodologia de
ensino aprendizagem que parte de uma situação/tema e, sobre os quais se
desenvolve questões que tentarão ser respondidas mediante o uso de ferramental
matemático”, mas consideram que, “apresenta o inconveniente de não sabermos,
inicialmente, por onde o modelo passará” o que pode comprometer o currículo oficial
estabelecido legalmente.
Diante disso, devem ser feitas algumas adaptações que tornem possível a utilização da modelagem matemática como metodologia de ensino aprendizagem sem, contudo, perder a linha mestra que é o favorecimento à pesquisa e posterior criação de modelos pelos alunos, e sem desrespeitar as regras educacionais vigentes. (idem, p.28)
Através das pesquisas bibliográficas dos autores supracitados percebe-se
que os professores que buscam novos caminhos para melhorar o processo ensino-
aprendizagem da Matemática têm na modelagem matemática um recurso de grande
potencial, considerando que o método permite realizar atividades interativas,
dinâmicas e significativas, onde através da intuição e criatividade o objetivo é levar o
aluno a aprender e a fazer modelos matemáticos. O professor deixa de ser o
detentor do conhecimento e passa ser o mediador, o instigador do melhor caminho
que possibilite a apropriação do conhecimento pelos próprios alunos, e através
dessa prática cooperativa possa aprender junto com eles.
A modelagem matemática como estratégia de ensino pode ser um meio para
despertar no aluno o interesse por conteúdos matemáticos que ainda desconhece e
confirmar aqueles que ele já sabe.
PROCEDIMENTOS METODOLOGICOS
Com a finalidade de dar significado aos conteúdos matemáticos, através de
um processo de interação entre professor e aluno, em que ambos possam
problematizar, e através de um ambiente colaborativo, refletir e construir
conhecimentos matemáticos, foi utilizada a Modelagem Matemática como
metodologia alternativa a ser desenvolvida neste trabalho de intervenção
pedagógica.
Na implementação da unidade didática, em primeira instância foi feita uma
pesquisa investigativa com abordagem quantitativa e qualificativa e os instrumentos
de coleta de dados foram um questionário aplicado aos alunos e através da
observação da professora.
A aplicação foi realizada no Colégio Estadual Léo Flach – Ensino
Fundamental e Médio - localizado no Bairro Padre Ulrico de Francisco Beltrão. O
público alvo foram alunos do 9º ano “C” do ensino fundamental do turno vespertino.
Neste trabalho foram desenvolvidas atividades com conceitos matemáticos
relacionados à geometria e seus desdobramentos compatíveis com o conteúdo
programático da série em questão. Os conteúdos foram trabalhados de acordo com
a necessidade, fazendo assim um paralelo entre o conhecimento científico e a
prática. Utilizou-se como referencial as etapas sugeridas pelos autores Biembengut
& Hein, que nortearam o trabalho e os encaminhamentos em sala de aula. A unidade
didática contou com atividades diversificadas, tendo como objetivo a construção de
modelos matemáticos em especial a construção da planta baixa e da maquete do
prédio escolar.
Para a avaliação dos resultados da proposta pedagógica foi aplicado um pré-
questionário e um pós-questionário, visando confrontar e verificar possíveis
alterações no processo ensino aprendizagem de matemática em relação aos
conteúdos de geometria.
RELATO DA EXPERIÊNCIA
A implementação ocorreu com os alunos do 9º ano “C” do período vespertino
do colégio Estadual Léo Flach e contou com a participação de 32 alunos. Todos os
alunos eram moradores do Bairro Padre Ulrico de Francisco Beltrão. Ressalta-se
que alguns deles são de classe média baixa e de baixa renda, e que a grande
maioria são carentes, não só no aspecto financeiro, como também no afetivo,
oriundos de famílias desestruturadas e com baixa escolaridade. A falta do
acompanhamento efetivo e afetivo dos familiares impacta no desempenho das
atividades escolares, dificultando os processos de ensino e aprendizagem.
O que se observou inicialmente em relação ao comportamento dos alunos em
sala de aula foi o alto grau de desinteresse; alguns apáticos a tudo, outros inquietos
e falantes com muita dificuldade de concentração; também havia alguns bastante
agressivos, antissociais e sem noção de limites. Apenas uma minoria apresentava
alguma perspectiva de futuro acreditando que estudar é o melhor caminho para se
obter sucesso profissional e realização pessoal. Diante do exposto é passível de
entender a grande dificuldade de aprendizagem que esses alunos apresentam,
principalmente em Matemática. Este fato justifica também os resultados do IDEB,
considerado como o mais baixo do município. Além das notas não serem muito
satisfatórias, o que mais pesa são os fatores, reprovação e evasão escolar.
Antes de iniciar as atividades foi aplicado um questionário para a avaliação
diagnóstica sobre a relação dos alunos com a matemática e o conhecimento prévio
que eles tinham a respeito dos conteúdos a serem trabalhados. Sobre os resultados
quanto à disciplina, grande maioria respondeu gostar de Matemática, mas que
tinham muita dificuldade de compreendê-la e muitos não conseguiam relacioná-la
com situações do cotidiano. Quanto aos conteúdos relacionados ao trabalho ficou
muito evidente o pouco conhecimento que eles tinham a respeito desses.
Após a avaliação diagnóstica, iniciou-se então a primeira atividade da
Unidade Pedagógica, que consistiu de questionamentos orais, com o objetivo de
induzi-los a refletirem sobre a importância da Matemática no cotidiano das pessoas.
A seguir foi dividida a turma em 6 grupos de 4 ou 5 elementos, para que
respondessem aos questionamentos. Foi estipulado um tempo para realização da
atividade, orientando que discutissem e chegassem a um consenso e que todos
deviam registrar as conclusões em seus cadernos.
Dos seis grupos apenas dois conseguiram concluir no tempo determinado e
de forma satisfatória. Nos demais grupos, percebeu-se que eles não tinham
estratégia de grupo, falavam paralelamente, desrespeitavam os colegas e por vezes
até a professora, e poucos participavam da discussão em questão. Fez-se
necessário, muitas intervenções para a conclusão da tarefa.
Na hora da apresentação dos grupos, mais uma frustração: devido às
respostas mal elaboradas e sem muita coerência ao que era proposto por parte de
dois grupos, os demais fizeram “piadinhas”, o que gerou uma indisciplina
generalizada. Diante do exposto, cogitou-se com a Direção e Pedagogos sobre a
mudança de turma para implementação, mas discutindo o problema com a Direção
considerou-se conveniente insistir e dar mais uma semana de tempo, pois talvez
diante desse quadro, seria essa turma que realmente precisava trabalhar
diferentemente da forma usual com que eles estavam habituados.
Depois de uma boa reflexão sobre os resultados não satisfatórios, a
professora proponente enfrentou o desafio de colocar em prática aquilo que havia
proposto fazer. Com o auxílio da equipe pedagógica conversaram com a turma antes
de aplicar a próxima atividade. Explicou-se novamente como seria a postura da
professora e qual deveria ser a deles na condução das próximas atividades. Foi
explicado também que no final de cada atividade eles seriam avaliados e quais
seriam os critérios de avaliação tanto individual como coletivamente e que dessa
forma a aprendizagem só poderia ocorrer de forma colaborativa.
No seguimento das atividades foi proposto aos alunos fazer o levantamento
das formas geométricas presentes no espaço escolar. Foram determinados alguns
ambientes e foi orientado que cada aluno elaborasse o registro das formas
observadas: sala de aula, ginásio de esportes, refeitório, biblioteca e sala de
informática.
Durante o passeio os alunos se empenharam nos registros de todas as
formas geométricas que avistavam. Em alguns momentos houve discussão entre
eles que recorreram à professora para esclarecer se era ou não era determinada
forma geométrica, principalmente quando se tratava de um sólido geométrico.
Aproveitou-se o momento para exemplificar as figuras planas e os sólidos
geométricos. Por exemplo, na biblioteca, através dos objetos como o aro do
ventilador, o acento das cadeiras e o globo terrestre para exemplificar a
circunferência, o círculo, o cilindro e a esfera.
Eles observaram também que a estrutura dos telhados do ginásio de esportes
e das passarelas de acesso aos blocos era composta de muitos triângulos e que os
quadriláteros era a forma poligonal mais presente em quase todos os ambientes,
com exceção do telhado. Voltando à sala de aula, os grupos se reuniram e fizeram
um relatório detalhado das formas geométricas observadas em cada espaço
visitado. No final foi solicitado que cada grupo socializasse as informações com os
demais grupos. Diferentemente da 1ª atividade, a maioria dos alunos participaram
ativamente demonstrando muito interesse e satisfação na realização desta atividade.
Nessa atividade a fala de dois alunos chamou a atenção. -“Olhar matematicamente
esse ginásio... Nunca tinha pensado nisto!” - “Engraçado né, eu também nunca
enxerguei matemática aqui. Agente vem aqui só pra fazer física e jogar bola”.
A atividade seguinte teve início com a apresentação do recorte de vídeo:
Matemática na Construção – “A matemática em toda parte” - parte 2. Os alunos
assistiram atentamente demonstrando curiosidade e interesse pelas explicações e
demonstrações da aplicabilidade de vários conceitos de matemática na área da
construção civil. A turma foi organizada em grupos para debaterem e responderem
algumas questões referentes ao vídeo. Durante o debate os alunos solicitaram para
assistir ao vídeo novamente para esclarecer alguns pontos que não tinham
observado na primeira vez que assistiram. Dois grupos precisaram assistir três
vezes para concluírem as suas observações, sendo que não havia entrosamento e
colaboração de todos os integrantes, tendo mais dificuldades e levando mais tempo
pra finalizar a tarefa. No encerramento desta atividade cada grupo apresentou suas
conclusões e com a mediação da professora foi elaborada uma resposta conjunta
para cada questão onde todos registraram individualmente em seus cadernos.
Durante a apresentação ainda havia alguns resquícios de indisciplina já observado
na primeira atividade. Casos isolados e contornados.
Na sequência das atividades propôs-se o desafio, para cobrir uma superfície
plana, e questionou-se sobre quais combinações de ladrilhos com formato poligonal
regular era possível se formar. Para resolver este desafio, eles precisavam construir
polígonos regulares e montar o preenchimento de uma superfície plana,
experimentando e manipulando os mesmos, com o propósito de perceberem quais
deles e que combinações poderiam ser utilizadas para recobrir superfícies. Para
fazer este experimento foi necessário primeiro ensinar os alunos a construírem os
polígonos regulares. Utilizando régua, compasso e transferidor, os alunos seguiam
as orientações passo a passo da professora no quadro, desenhando um triângulo
equilátero, um quadrado, um pentágono regular, um hexágono regular e um
octógono regular. Essa tarefa de construção foi muito cansativa para a professora,
pois a todo o momento era solicitada devido à dificuldade que eles tinham de
manipular os instrumentos de desenho geométrico. Mas ao mesmo tempo produtiva
para os alunos. Eles demonstravam satisfação ao concluir cada desenho. Ao final de
cada figura desenhada foram estimulados a medirem os ângulos internos de cada
polígono. No final das aulas alguns alunos vinham expressar o seu contentamento
em relação a aula, dizendo: “Valeu professora, a sua aula hoje estava muito boa!”
“Parabéns professora! Obrigado por dar aulas tão interessantes e gostosas!”.
Foram utilizadas seis aulas só para a aprendizagem da construção dos
modelos em sala de aula e mais nove aulas no laboratório de ciências para a
construção e reprodução dos modelos em papel cartão coloridos, recorte,
manipulação e experimentação das possibilidades de ladrilhamento de uma
superfície plana. Ao final de cada experimentação bem sucedida os alunos faziam a
colagem montando um painel com vários mosaicos representando as possíveis
combinações de ladrilhamento com polígonos regulares. Alguns grupos também
colaram as combinações que não satisfaziam as condições para um revestimento de
encaixes perfeitos. Em dois grupos houve uma discussão porque eles pensavam
que a combinação dos polígonos, octógono, pentágono e hexágono era possível, só
não estavam se encaixando bem porque alguém não tinha recortado o modelo
direito, e por causa da falta de capricho de um, todos perderiam nota. Aproveitou-se
o momento para instigar que investigassem em todos os ladrilhamentos já formados,
se havia alguma regularidade em relação aos ângulos em torno de um ponto nos
encaixes dos vértices desses polígonos. A partir dessa orientação eles perceberam
que existia uma condição matemática que possibilitava os encaixes perfeitos: a
soma dos ângulos internos ao redor de cada vértice do ladrilhamento precisa ser
igual a 360º. Portanto a soma dos ângulos internos ao redor do vértice formado pelo
octógono, pentágono e hexágono era 363º, e essa diferença de 3º é que não
permitia o encaixe perfeito entre eles.
Dos seis grupos formados, dois não apresentaram todas as possibilidades
encontradas pelos demais e um não justificou o motivo de não terem conseguido
formar combinações com quatro tipos de polígonos regulares. Durante a
apresentação dos grupos é que foi possível fazer essa verificação. O
desenvolvimento desta atividade foi trabalhoso e demandou bastante esforço e
dedicação em todos os sentidos, iniciando com a organização dos materiais e
finalizando com a avaliação.
Ao finalizar esta primeira parte foi possível observar alguns avanços de
relacionamento, de disciplina e de predisposição para a aprendizagem apresentados
pelos alunos. Esses são indicativos dos efeitos positivos que essa metodologia de
trabalho proporcionou.
A segunda parte da unidade didática teve início com a turma dividida em
grupos. Foi proposto que enumerassem os procedimentos de cada etapa de uma
construção segundo a ordem de relevância para o grupo e que relacionassem os
profissionais envolvidos nas mesmas. Foi uma atividade bem motivadora, pois os
alunos demonstraram muito interesse e durante as discussões expressaram seus
desejos de planejar e construir a sua casa própria. Alguns começaram a esboçar a
planta de sua casa. Os alunos participaram e empenharam-se na realização da
atividade. A maioria foi criteriosa em enumerar as etapas pensando em todos os
detalhes, iniciando com a aquisição, documentação e preparo do terreno, até a
decoração, ajardinamento e limpeza. Ao final todos apresentaram e com a
mediação da professora que através de um consenso foi feito um relatório final das
etapas e todos fizeram o registro em seus cadernos. Um aluno comentou: “Esse eu
vou guardar para quando construir minha casa”.
A atividade seguinte iniciou-se através de um diálogo relacionando a atividade
anterior em que os profissionais de cada etapa da construção no desempenho de
suas funções fazem uso de alguns conhecimentos matemáticos. O objetivo dessa
conversa inicial foi de motivá-los para abordar grandezas e medidas como um dos
conhecimentos mais importantes e muito utilizados por esses profissionais.
Em seguida foi realizado o desafio do “olhômetro”. Cada aluno participou
individualmente dando o seu palpite sobre as dimensões do piso da sala de aula e o
mesmo foi registrado no quadro. Em seguida, com o auxílio da trena e de dois
alunos, foi conferida a medida correta sendo considerado vencedor, no caso foram
três alunos, os que mais se aproximaram da resposta certa. Este desafio foi uma
das atividades mais fáceis de aplicar até o momento. Demorou menos de uma aula
para realizá-la e foi muito dinâmica e motivadora para os alunos.
Após esse desafio, os alunos foram organizados em grupo e utilizando
unidades de referência não convencionais como passo e palmo, realizaram algumas
medidas como: largura da sala, comprimento do quadro, altura da porta,
comprimento da mesa do professor, largura da carteira do aluno, comprimento das
janelas. Os alunos fizeram as estimativas com devidos registros e quando todos os
grupos terminaram essa atividade foi feito a socialização dos resultados fazendo o
registro de cada grupo no quadro, acrescentando a medida correta de cada objeto
medido. Entrou em discussão, neste momento, a importância de alguns aspectos
históricos, destacando a necessidade de se ter um sistema padronizado de medidas.
Esta atividade foi muito produtiva, houve a participação ativa dos alunos em todos os
momentos.
A atividade seguinte teve inicio com a apresentação do vídeo “Unidade de
Medidas”, com o objetivo de reforçar e ampliar o conceito sobre padrão de medidas,
e motivar os alunos para o estudo das unidades de medidas de superfícies. Os
alunos assistiram atentamente demonstrando curiosidade e interesse pelas
explicações e demonstrações sobre conceitos de grandezas e medidas.
A turma foi organizada em grupos para debaterem e responderem algumas
questões referentes ao vídeo. Durante o debate os alunos solicitaram para assistir
ao vídeo novamente para esclarecer alguns pontos que não tinham observado na
primeira vez que assistiram. Para conclusão da atividade cada grupo apresentou
suas conclusões e com a mediação da professora foi elaborada uma resposta
conjunta para cada questão onde todos registraram individualmente em seus
cadernos. Durante a apresentação houve alguns momentos de discussão e estresse
entre alguns integrantes de grupos diferentes, pois novamente a dificuldade de
elaboração de uma resposta adequada para os questionamentos provocou essa
situação. Diante desta situação fez-se necessário, algumas intervenções de forma
bem incisiva para mediar essa discussão. Os alunos envolvidos tiveram prejuízo de
nota na avaliação da atividade nos quesitos: participação e respeito. Diante da
situação apresentada, percebeu-se que era preciso mudar os critérios de
distribuição dos componentes nos grupos, pois a escolha democrática praticada até
então, colaborou para a formação de grupos homogêneos com habilidades muito
parecidas e que aqueles que apresentavam dificuldades de aprendizagem e de
relacionamento eram discriminados pelos demais.
Na próxima atividade foram retomados alguns pontos da atividade anterior e
desafiado os alunos a confeccionarem o metro quadrado em papel pardo, subdividi-
lo em decímetros quadrados e em centímetros quadrados. Esta atividade foi
desenvolvida na sala de multiuso do colégio por apresentar um espaço maior e mais
apropriado para essa atividade. Durante a construção os alunos participaram
ativamente com muito empenho, colaborando e compartilhando alguns materiais que
eram insuficientes para todos os grupos.
Após a construção do metro quadrado os alunos fizeram e apresentaram um
relatório escrito da atividade explicando o que é e o que representa um metro
quadrado, citando e exemplificando algumas situações de aplicações corriqueiras, e
também fazendo as relações centesimais existente entre os submúltiplos e o metro
quadrado. Pelos relatórios apresentados, verificou-se que o trabalho contribuiu para
a compreensão e construção dos conceitos relacionados à medida de superfícies.
Na sequência foi organizado e proposto aos grupos que utilizassem os quadrados
confeccionados para medirem a área de algumas superfícies pré-selecionadas e
organizadas pela professora. Cada dois grupos mediram duas superfícies iguais
para fazer a comparação e validação dos modelos. Durante a execução desta tarefa
houve a necessidade do auxílio de mais dois profissionais da escola no
acompanhamento e controle dos alunos durante as medições em alguns ambientes
menos movimentados do espaço físico escolar. Esta foi mais uma atividade que
exigiu organização e disciplina para que se tivesse um desempenho satisfatório.
A próxima atividade iniciou-se desafiando os alunos que a partir da fórmula do
retângulo deduzissem a área do triângulo, do paralelogramo, do losango e do
trapézio. Para deduzir as fórmulas das áreas desses polígonos foi orientado que
usassem sempre o mesmo procedimento: desenhar o polígono no papel
quadriculado com as medidas indicadas e recortá-lo de maneira que se possa
compor um retângulo, e assim, através da fórmula da área do retângulo, deduzir a
fórmula dos demais polígonos indicados. Ao final cada grupo apresentou as fórmulas
encontradas relatando e demonstrando os procedimentos. Com a mediação da
professora foi comparado, analisado e validado os resultados encontrados
elaborando um relatório final relacionando cada figura geométrica com sua fórmula
de área. Cada aluno registrou os dados encontrados para posterior utilização. Foi
uma atividade muito interessante e envolvente, pois todos os alunos participaram
ativamente e através da resolução de algumas situações problemas demonstraram
que perceberam a importância e o significado desses conceitos.
Dando sequência à implementação, iniciou-se a terceira parte da unidade
propondo que os alunos fizessem um estudo sobre planta baixa, pesquisando na
internet, em jornais, revistas e panfletos de construtoras, para escolherem o
desenho de uma planta baixa, juntamente com a representação de sua planta alta e
que fizessem o recorte delas a fim de terem noção de como fariam a próxima
atividade. Como a maioria dos alunos são carentes, e para garantir a realização da
atividade, o material necessário para a pesquisa foi organizado e fornecido pela
professora e pela escola. Para complementar e enriquecer esta atividade os alunos
assistiram ao vídeo: Arquiteto e Engenheiro Civil, da série “Qual é a sua profissão”
em que os profissionais atuantes falam de suas profissões, da importância e quais
conceitos matemáticos são utilizados no exercício de suas funções. Para avaliar a
atividade foi proposto um questionário referente ao vídeo. Pelas respostas
apresentadas percebeu-se que entenderam a aplicação dos conceitos de escalas e
medidas, pois conseguiram exemplificar situações reais em que se utilizam os
mesmos.
Na sequência foi proposto para que desenhassem a planta baixa da sala de
aula, utilizando as escalas: 1:50 e 1:100. Nesta atividade os alunos apresentaram
certa dificuldade para traçar as paredes e manusear os esquadros e também nas
representações da espessura, deixando-as perpendicular e paralela. Mas com a
mediação e auxílio da professora as dificuldades foram superadas.
A seguir cada grupo fez, em sala de aula, o esboço da planta baixa de um dos
blocos, que foi assim definido por sorteio: Grupo 1 e Grupo 6 - Bloco 1 – onde fica a
administração, o pedagógico, a biblioteca e os laboratórios do colégio. Grupo 2 –
Bloco 2 – 1º piso – Salas de aula. Grupo 3 – Bloco 3 – 2º piso – Salas de aula.
Grupo 4 – Bloco 4 - Cozinha e refeitório. Grupo 5 – Bloco 5 – Ginásio de esportes.
Depois se deslocaram até os ambientes estipulados anteriormente e fizeram as
medições necessárias com devidos registros e posteriormente elaboraram a planta
baixa de um bloco da estrutura do colégio, utilizando a escala 1:100.
Após elaboração da planta baixa na escala 1:100 foi comparada com a planta
real do projeto na escala 1:200 e feitas as devidas conversões das medidas para
validar os resultados obtidos. A professora auxiliou na correção e avaliação dos
resultados. Dois grupos precisaram refazer os desenhos, pois além de estarem com
algumas medidas desproporcionais não consideraram a espessura das paredes que
era de 3 mm, (medida da espessura do isopor prensado, que foi o material escolhido
para a confecção das paredes da maquete). Para esta atividade foi utilizado papel
milimetrado, o que facilitou muito o desenho das retas paralelas e perpendiculares
como também maior precisão nas medidas. Foi uma atividade muito trabalhosa e
envolvente, exigindo muita interação professora/alunos. Os grupos se mostraram
interessados e participativos, dialogando, refletindo, analisando e buscando
soluções para as dúvidas que surgiam.
A quarta parte da unidade iniciou-se com o estudo dos triângulos através de
pesquisas, vídeos e experimentações. Este estudo visou a percepção da presença
do triângulo retângulo no dia a dia e a importância de sua aplicabilidade nas
estruturas que exigem rigidez e sustentação, como a tesoura dos telhados e a
travessa usada nos portões, por exemplo. Na sequência os alunos foram
encaminhados ao laboratório de informática onde pesquisaram na internet sobre: a
função do telhado; os tipos de telhas ou outras coberturas mais usadas e a
inclinação recomendada pelos fabricantes de coberturas de telhado. Depois dessa
pesquisa foram propostas algumas situações problemas relacionadas à inclinação
do telhado, utilizando conceitos envolvendo o triângulo retângulo como: Teorema de
Pitágoras e relações trigonométricas.
Finalizado o estudo dos principais conceitos geométricos necessários para a
construção de uma obra, na quinta e última parte da unidade, foi proposto aos
alunos que utilizassem a planta baixa elaborada anteriormente e confeccionassem a
maquete da mesma. Cada grupo construiu a maquete de um dos blocos
previamente definidos no momento da elaboração da planta baixa. Para a confecção
da maquete foram utilizadas placas de isopor para a base, isopor prensado para as
paredes, papel micro ondulado para o telhado, palitos de churrasco para as colunas
das passarelas, palitos de picolés para os portões e grades, tesoura, estilete, colas
para isopor e para madeira, cartolina, tintas guache e outros. Pelo aspecto dinâmico
e interativo, esta atividade exigiu muita disposição da professora, sendo solicitada
em muitos momentos pelos grupos para auxiliar na resolução dos problemas que
surgiam. Dois dos seis grupos terminaram no tempo previsto e de maneira
satisfatória; quatro grupos precisaram retocar ou refazer a representação das portas
e janelas assim como o acabamento na pintura das paredes; dois precisaram
também refazer a estrutura do telhado, pois não calcularam corretamente a sua
inclinação. Percebia-se nitidamente a desproporcionalidade no telhado da maquete
de um deles, como eles mesmos avaliaram criticamente: “Tá mais parecido com o
“Chalé” (comparando com uma casa de danças do município) do que com o nosso
Colégio”. Foi necessário retomar alguns conteúdos estudados e através de uma
situação real como essa, aproveitou-se o momento para refletir com os alunos sobre
a importância e a aplicabilidade dos mesmos, reforçando e dando significado aos
conceitos abordados.
Concomitante ao trabalho de intervenção escolar, a unidade didática
elaborada pela professora PDE, foi disponibilizada no Grupo de Trabalho em Rede
(GTR), para que os professores participassem, analisassem e dessem suas
contribuições.
No encerramento das atividades, houve a exposição da maquete e dos
trabalhos realizados no projeto para a comunidade escolar no laboratório de ciências
do colégio.
RESULTADOS
O questionário investigativo teve a finalidade de comparar o comportamento
perante a Matemática e o conhecimento dos alunos antes e depois da intervenção
pedagógica. De um conjunto de dez questões, alguns dos resultados mais
relevantes do questionário, estão apresentados nos gráficos a seguir.
A questão inicial perguntou o que os alunos achavam da disciplina de
Matemática, as respostas correspondem ao apresentado no Gráfico 1.
Gráfico 1 – Gosto pela disciplina de Matemática
Conforme o gráfico percebe-se que no início apenas dois responderam que
gostam da Matemática e que ela é a disciplina favorita e no final o índice subiu para
dez; dezoito alunos responderam inicialmente que gostam, mas sentem dificuldades
de aprender, e no final o número baixou para dezessete. Este quadro praticamente
não mudou. Quanto a não gostar e não conseguir aprender, antes oito alunos
respondeu esta questão e no término da intervenção o número de alunos caiu para
um ponto, o medo e a aversão foram solucionados.
Das disciplinas curriculares a mais apreciada pelos alunos é Artes, mas eles
consideram a Matemática importante e conseguem justificar dizendo que:
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
Gosto muito. É minha
disciplina favorita.
Gosto, mas tenho
dificuldade de aprender.
Não gosto e não consigo aprender.
Tenho medo e aversão pela
mesma.
Antes
Depois
Aluno 1 - Ela é importante para toda a vida, pois tudo o que fazemos tem
matemática envolvida.
Aluno 2 - Porque em tudo você vai usar a matemática por mais que você não
perceba.
Aluno 3 - Ela é importante para todo dia, por exemplo, no trabalho, nas tarefas
domésticas e no planejamento pessoal.
Aluno 4 - Sim, porque em qualquer atividade que vamos fazer e em qualquer
lugar a matemática está presente.
Aluno 5 - Sim, porque usamos diariamente. Precisamos saber matemática
porque ela é muito importante para as nossas escolhas.
Aluno 6 - Acho importante, pois a matemática está em toda a parte, por onde
olhamos a matemática está presente.
Essas são algumas das respostas mais significativas dadas pelos alunos.
Quanto aos conteúdos matemáticos mais difíceis os dados coletados estão
expressos no Gráfico 2
Gráfico 2 – Conteúdos matemáticos mais difíceis
No gráfico percebe-se que os alunos mudaram bastante de opinião entre o
antes e o depois do processo de intervenção, o que a princípio consideravam difícil,
ao final acabou sendo menos difícil e vice e versa. Isto leva a concluir que o
processo de ensino aprendizagem é dinâmico podendo reverter à posição negativa
0
2
4
6
8
10
12
14
16
As operações com números
reais
As equações A geometria Tudo
Antes
Depois
de acordo com o enfoque, ou seja, conforme a abordagem que se dá aos conteúdos.
Nesse caso a modelagem matemática contribuiu para a mudança constatada.
Gráfico 3 – Refere-se sobre as formas geométricas que compõem a bandeira
nacional brasileira.
De acordo com o gráfico percebe-se que inicialmente apenas três alunos
responderam corretamente todas as formas e ao final o número aumentou
significativamente para 29 alunos.
Pelas respostas dadas no primeiro questionário ficou muito evidente o pouco
conhecimento que eles tinham a respeito dos conteúdos relacionados ao trabalho
proposto. Para se ter uma ideia da defasagem dos conhecimentos básicos em
geometria, os únicos quadriláteros que eles conseguiam citar eram: quadrado e
retângulo, e ainda não diferenciavam um do outro. Eles se referiam a circunferência,
ao círculo e a esfera como “redondo”, e a maioria das demais formas geométricas
eles praticamente desconheciam.
CONCLUSÃO
A avaliação dos resultados da proposta pedagógica apresentou os dados
coletados junto aos alunos e o procedimento adotado nas aulas. A aplicação do pré-
0
5
10
15
20
25
30
Responderam correto as
três formas
Responderam correto duas
formas
Responderam apenas uma
forma correta
Responderam todas
incorretas
Não responderam
Antes
Depois
questionário e do pós-questionário confrontou as possíveis alterações no processo
ensino aprendizagem de Matemática em relação aos conteúdos trabalhados. Os
avanços observados são indicativos dos efeitos positivos que essa metodologia de
ensino e aprendizagem pode proporcionar.
Mostrou-se que por meio da Modelagem Matemática é possível aplicar e
atribuir significado aos conteúdos matemáticos, incentivando a pesquisa,
promovendo a habilidade em formular e resolver problemas, estimulando a
criatividade e o espírito de cooperação, demonstrando a utilidade desta disciplina,
possibilitando a conexão da Matemática com a realidade vivida, oportunizando
assim, através destes objetivos a construção do conhecimento matemático.
REFERÊNCIAS
BARBOSA, Jonei Cerqueira; CALDEIRA, Ademir Donizeti; ARAÚJO, Jussara de Loiola. Org. Modelagem Matemática na Educação Brasileira: pesquisas e práticas educacionais. Recife: SBEM, 2007.
BARBOSA, Jonei Cerqueira. Modelagem Matemática na sala de aula. Perspectiva, Erechim (RS), v. 27, n. 98, p. 65-74, junho/2003. Disponível em: http://www.uefs.br/nupemm/perspectiva.pdf. Acesso em 19/05/2012.
BASSANEZI, Rodnei Carlos. Ensino – aprendizagem com modelagem matemática: uma nova estratégia. São Paulo: Contexto, 2010.
BIEMBENGUT, Maria Salett; HEIN, Nelson. Modelagem Matemática no Ensino. São Paulo: Contexto, 2000.
BURAK, Dionisio. Modelagem Matemática e a sala de aula. In: ENCONTRO PARANAENSE DE MODELAGEM EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA, 2004, Londrina. Anais Londrina: UEL, 2004. 1 CD-ROM.
______________. Modelagem matemática: ações e interações no processo de ensino aprendizagem. 1992. 329f. Tese. (Doutorado) – Faculdade de Educação, Universidade Estadual de Campinas, 1992.
D”AMBRÓSIO, Ubiratan. Da realidade à ação: reflexões sobre educação e matemática- São Paulo: Summus.
PARANÁ, SEED. Diretrizes Curriculares da Rede Pública da Educação Básica do Estado do Paraná – Matemática. Curitiba, 2008.