metodologia para a modelagem s ismica utilizando …

METODOLOGIA PARA A MODELAGEM SISMICA UTILIZANDO FUNCOES

DE BASE RADIAL

Israel Nunes de Almeida Junior

Dissertacao de Mestrado apresentada ao

Programa de Pos-graduacao em Engenharia

Civil, COPPE, da Universidade Federal do

Rio de Janeiro, como parte dos requisitos

necessarios a obtencao do tıtulo de Mestre

em Engenharia Civil.

Orientadores: Webe Joao Mansur

Cleberson Dors

Rio de Janeiro

Julho de 2012


DE BASE RADIAL


DISSERTACAO SUBMETIDO AO CORPO DOCENTE DO INSTITUTO

ALBERTO LUIZ COIMBRA DE POS-GRADUACAO E PESQUISA DE

ENGENHARIA (COPPE) DA UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE

JANEIRO COMO PARTE DOS REQUISITOS NECESSARIOS PARA A

OBTENCAO DO GRAU DE MESTRE EM CIENCIAS EM ENGENHARIA

CIVIL.

Examinada por:

Prof. Webe Joao Mansur, Ph.D

Dr. Cleberson Dors, D.Sc.

Prof. Roberto Fernandes de Oliveira, D.Sc.

Dr. Cid da Silva Garcia Monteiro, D.Sc.

Dr. Josias Jose da Silva, D.Sc.

RIO DE JANEIRO, RJ – BRASIL

JULHO DE 2012

Se te fatigas correndo com

homens que vao a pe, entao

como poderas competir com os

que vao a cavalo? Se em terras

de paz nao te sentes seguro, que

faras na floresta do Jordao?

Jeremias 12.5

iv

Agradecimentos

A DEUS por todo seu amor, por todas as coisas que vivi e por cada etapa

concluıda e pelas que virao.

Aos meus pais Israel Nunes de Almeida e Idarcy Pedro de Menezes pelo amor

incondicional, carinho, paciencia e influencia. Chegar ate aqui so foi possıvel por

que voces sempre alimentaram os meus sonhos.

Aos meus orientadores Webe Joao Mansur por acreditar em mim e no meu po-

tencial e ao Cleberson Dors, pela amizade, dedicacao e entusiasmo neste trabalho.

Ensinamentos que obtive de voces vao alem de fundamentos tecnicos e teoricos.

Ao professor e amigo Cosme Ferreira da Ponte Neto que muito contribuiu para

minha formacao com seus conselhos e ensinamentos.

A todos os meus familiares.

Aos meus excelentes amigos. Especialmente a Domingos Marcelus, Diego Bar-

bosa, Edivaldo Junior, Franciane Peters, Leandro Di Bartolo, Denise Costa, Wilson

Duarte, Viviane Ferreira, Elias da Conceicao, Wilian Jeronimo, Pablo Oyarzun,

Cid Monteiro, Gilmar Teixeira, Raphael Correa, Dimas Rambo, Alvaro Neto, Ana

Carolina, Thiago Lacerda, Ana Beatriz, Edmundo Costa, Wellington Pereira, Jorge

Rebelo e todos do LAMEC (Laboratorio de Mecanica Computacional) e LAMEMO-

GC (Laboratorio de Metodos de Modelagem e Geofısica Computacional).

A Ivone, por todo suporte.

A todos os professores da pos-graduacao da UFRJ-COPPE/PEC.

Meu muito obrigado e minha sincera gratidao a minha noiva Nathaly Bastos,

pelo amor, carinho, ajuda, compreensao, zelo e amizade em todos os momentos.

A CAPES, pelo apoio financeiro.

v

Resumo da Dissertacao apresentado a COPPE/UFRJ como parte dos requisitos

necessarios para a obtencao do grau de Mestre em Ciencias (M.Sc.)


DE BASE RADIAL


Julho/2012

Orientadores: Webe Joao Mansur

Cleberson Dors

Programa: Engenharia Civil

Neste trabalho, foi desenvolvido a solucao no tempo da equacao da onda acustica,

para meios homogeneos e heterogeneos unidimensionais utilizando discretizacoes es-

paciais com Funcoes de Base Radial (FBR).

Como vantagem principal da utilizacao das FBR, comparativamente ao metodo

das diferencas finitas (MDF) para a solucao da equacao da onda acustica, pode-

se citar a possibilidade de utilizacao de espacamentos variaveis para as malhas de

pontos interpoladores nas FBR, o que permite otimizar a quantidade de pontos

reduzindo o custo computacional das analises com relacao ao MDF.

Para garantir a precisao e convergencia das aproximacoes com FBR, foi reali-

zado um estudo detalhado do chamado parametro livre, presente nestas funcoes, o

que resulta em uma metodologia para o calculo de tal parametro em problemas de

modelagem.

Foi demonstrado que utilizando tal metodologia foi possıvel minimizar o erro

associado ao calculo das derivadas espaciais utilizando as FBR resultando em um

metodo de marcha no tempo estavel e preciso.

A precisao da solucao no tempo com FBR, foi comprovada atraves de compara-

coes dos resultados para modelos simples, contemplando espacamentos regulares e

variaveis. Algumas estrategias foram avaliadas afim de otimizar a quantidade de

pontos do grid nas modelagens por FBR, o que resultou em reducao significativa do

custo computacional comparada ao MDF.

vi

Abstract of Dissertation presented to COPPE/UFRJ as a partial fulfillment of the

requirements for the degree of Master of Science (M.Sc.)

METODOLOGY FOR SEISMIC MODELING USING RADIAL BASIS

FUNCTIONS


July/2012

Advisors: Webe Joao Mansur

Cleberson Dors

Department: Civil Engineering

In this work, the solution was developed at the time of Acoustic Wave Equation

for heterogeneous media using unidimensional spatial discretizations with radial ba-

sis functions (FBR).In this work, the solution was developed at the time of Acoustic

Wave Equation for heterogeneous media using unidimensional spatial discretizations

with radial basis functions (FBR).

The main advantage of using FBR, as compared to the Finite Difference Method

(MDF) for the solution of the acoustic wave equation, is that we can cite the possi-

bility of using variable spacing for the grid of interpolator points in the FBR, which

allows optimization of the quantity of points, and thus reducing the computational

cost analysis with respect to the MDF.

In order to ensure accuracy and convergence of approaches to the FBR, a de-

tailed study of the named free parameter which is present in these functions, was

conducted. This resulted in a methodology for the calculation of this parameter in

model problems.

It was shown that in using this methodology, it was possible to minimize the

error associated with calculating spatial derivatives using the FBR, resulting in a

method of running time being stable and precise.

The accuracy of the solution in time with FBR, was confirmed through making

comparison of the results for simple models considering regular variable spacings.

Some strategies were evaluated in order to optimize the amount of points in the grid

on the FBR models, which resulted in significant reduction in computational cost

as compared to MDF.

vii

Sumario

Agradecimentos v

Lista de Figuras x

Lista de Tabelas xii

1 Introducao 1

1.1 Motivacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2 Revisao Bibliografica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.3 Objetivo e Estrutura da Tese . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2 Modelagem de Ondas Acusticas e Formulacao Numerica por Dife-

rencas Finitas 9

2.1 Equacao da Onda Acustica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.1.1 Operadores Espaciais e Temporais do MDF . . . . . . . . . . 12

2.1.2 Equacao da Onda Discretizada pelo Metodo das Diferencas

Finitas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.1.3 Estabilidade e Dispersao Numerica . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.1.4 Termo Fonte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

3 Modelagem de Ondas Acusticas com Funcoes de Base Radial 18

3.1 Conceitos Basicos de Funcoes de Base Radial (FBR) . . . . . . . . . 18

3.2 Formulacao Matematica das FBR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

3.3 Principais FBR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

3.4 Solucao da Equacao da Onda por FBR . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

3.5 Estabilidade e Convergencia Numerica . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

3.6 Condicoes de Contorno para FBR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

4 Metodologia para Calculo do Parametro Otimo das FBR 30

4.1 Metodologia para Determinacao do Parametro Livre . . . . . . . . . . 30

4.1.1 Funcional Para Funcao de Base Radial Gaussiana . . . . . . . 33

4.1.2 Definicao do Suporte Para FBR Gaussiana . . . . . . . . . . . 35

viii

4.1.3 Calculo do Parametro Livre Otimo . . . . . . . . . . . . . . . 37

4.1.4 Intervalo 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

4.1.5 Intervalo 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

4.1.6 Intervalo 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

4.2 Equacao Discretizada para Marcha no Tempo . . . . . . . . . . . . . 40

4.3 Condicoes de Contorno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

4.3.1 Condicoes de Contorno Naturais . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

5 Exemplos e Discussoes 44

5.1 Meio Homogeneo com Grid Equiespacado . . . . . . . . . . . . . . . . 46

5.1.1 Objetivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

5.1.2 Parametros do Modelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

5.1.3 Resultados Obtidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

5.2 Meio Homogeneo com Grid Aleatorio . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

5.2.1 Objetivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50



5.3 Meio Heterogeneo com 3 Camadas e Grid Equiespacado . . . . . . . . 53

5.3.1 Objetivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53



5.4 Meio Heterogeneo com 3 Camadas com Grid Irregular Otimizado . . 56

5.4.1 Objetivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56



6 Conclusoes 64

6.1 Trabalhos futuros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

Referencias Bibliograficas 66

A Operadores de Diferencas Finitas 71

B Formulacao da Equacao da Onda Acustica em termos de Pressao 74

ix

Lista de Figuras

1.1 Representacao de topografia irregular . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.2 Malha regular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.3 Malha irregular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.4 Representacao do suporte local adotado pelas FBR . . . . . . . . . . 8

2.1 Representacao do operador de segunda ordem no espaco e tempo . . . 12

2.2 Representacao da fonte sısmica, propagacao da onda no meio e regis-

tro das informacoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.3 a - Funcao fonte dada pela segunda derivada da Gaussiana para

fcorte = 30Hz, b - Fonte sısmica no domınio da frequencia. . . . . . . . 17

3.1 Representacao do centro da funcao de base radial . . . . . . . . . . . 19

3.2 Funcoes de Base Radial Gaussianas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

3.3 Funcoes de base radial quadratica inversa . . . . . . . . . . . . . . . . 23

3.4 Funcoes de Base Radial Multiquadraticas . . . . . . . . . . . . . . . . 24

3.5 Funcoes de base radial inversas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

3.6 Funcoes de base radial spline de placas finas . . . . . . . . . . . . . . 26

4.1 Suporte com 3 pontos do grid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

4.2 Grafico de c x τ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

4.3 Grafico de c x τ intervalo 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38



4.6 Suporte para condicao de contorno natural, 2 pontos . . . . . . . . . 41

5.1 Modelo Homogeneo - Espacamentos Iguais . . . . . . . . . . . . . . . 46

5.2 Traco Sısmico ao longo do tempo de analise na posicao 1240m (NX=125) 47

5.3 (a)-Janela dos instantes de tempo (0-1,5) segundos. (b)-Janela dos

instantes de tempo (8,8-10) segundos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

5.4 Snapshot no tempo 0.4s utilizando FBR com parametro de

FASSHAUER. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

x

5.5 (a) - Snapshot no tempo 0,4s. (b) - Detalhamento da frente de onda

no intervalo [2000m,2400m]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48


no intervalo [400m,1200m]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

5.7 Modelo Homogeneo - Espacamento Randomico . . . . . . . . . . . . . 50


5.9 (a)-Analise no intervalo (0,0-1,8) segundos. (b) - Analise no intervalo

(8.8-10,0) segundos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51


no intervalo [2000m,2400m]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52


no intervalo [400m,1200m]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

5.12 Modelo Heterogeneo com 3 camadas e Grid equiespacado . . . . . . . 53


5.14 (a)-Analise nos intervalos (0,0-2,0) segundos. (b) - Analise nos inter-

valos (7,0-9,0) segundos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54


no intervalo [2600m,3200m]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55


no intervalo [3600m,4800m]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

5.17 Modelo Heterogeneo com 3 camadas - Variacao brusca no espacamento 59


5.19 (a)-Analise nos intervalos (1,0-2,5) segundos. (b) - Analise nos inter-

valos (6,0-10,0) segundos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60


no intervalo [800m,2400m]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60


no intervalo [2800m,4400m]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

5.22 Modelo Heterogeneo com 3 camadas - Variacao suave no espacamento 61


5.24 (a)-Analise nos intervalos (1-2.5) segundos. (b) - Analise nos interva-

los (6-10) segundos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62


no intervalo [800m, 2000m]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62


no intervalo [200m, 1000m]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

xi

Lista de Tabelas

4.1 Expressoes para o Calculo do Parametro Livre c . . . . . . . . . . . . 31

5.2 Parametros do Modelo Homogeneo com Grid Irregular . . . . . . . . 50

xii

Capıtulo 1

Introducao

1.1 Motivacao

O fenomeno da propagacao de ondas e um tema de interesse em diversas areas da

ciencia e industria, como a Geofısica de Exploracao, na qual as ondas sısmicas sao

utilizadas para obter informacoes geologicas de sub-superfıcie, auxiliando na busca

por hidrocarbonetos.

Alem da aplicacao na industria do petroleo, que e o interesse do presente trabalho,

pode-se mencionar outras areas onde o fenomeno de propagacao de ondas e igual-

mente importante. Tais como, Medicina, onde deseja-se imagear o corpo humano

atraves de ondas ultra-sonicas, em Engenharia de Telecomunicacoes onde faz-se a

transmicao de informacoes atraves ondas de radio pelo ar, em Meio Ambiente, em

Acustica Submarina entre outras.

No caso da geofısica de exploracao, os dados obtidos atraves de levantamentos

sısmicos sao analisados atraves de uma sequencia de procedimentos, que envolvem

desde o processamento no tempo ou em profundidade, atenuacao de ruıdos, correcao

e analises de velocidades, etc, e por fim a migracao com o objetivo de encontrar a

posicao de refletores, ou a inversao para obtencao de propriedades do meio.

Do ponto de vista computacional, existem diversos metodos numericos empre-

gados com objetivo de realizar a modelagem computacional do fenomeno de propa-

gacao de ondas, dentre eles: Metodo dos Elementos Finitos (MEF) (BATHE (1996)),

Metodo das Diferencas Finitas (MDF) (MITCHELL (1969)), Metodo dos Elementos

de Contorno (MEC) (MANSUR (1983)), entre outros.

Classicamente, o metodo mais utilizado para simular a propagacao de onda e

MDF pela sua robustez, facilidade de implementacao e principalmente eficiencia

computacional. Por outro lado, uma das grandes dificuldades que existe no MDF e

que o metodo depende de um grid regular equiespacado e retangular em seu contorno

1

pela forma como o operador de diferencas finitas e tradicionalmente apresentado.

Isso causa algumas limitacoes, como por exemplo em levantamentos de transicao, os

quais apresentam topografia irregular ao longo da aquisicao conforme ilustrado na

figura 1.1. ou em regioes onde existe a necessidade de refinamento da informacao

em profundidade.

Figura 1.1: Representacao de topografia irregular

Alem disso, o MDF nao permite explorar adequadamente o conceito de refina-

mento de grid, uma vez que, o grid no MDF e equiespacado. Assim, mesmo sabendo

que o refinamento do grid e diretamente relacionado com a velocidade de propa-

gacao da onda localmente, ou seja, quanto maior a velocidade maior pode ser o

espacamento do grid, no MDF nao se pode classicamente tirar proveito disto.

Dentro desse contexto, explorar uma tecnica que possibilite utilizar grids nao

equiespacados e inclusive permita modelar meios com topografia de contorno irre-

gular seria de grande importancia para contornar esta limitacao do MDF.

Este e o caso dos metodos baseados nas chamadas Radial Basis Function (RBF)

ou Funcoes de Base Radial (FBR), que podem ser utilizados para a interpolacao de

grids irregulares.

Classicamente, as FBR sao utilizadas principalmente para interpolacao de dados,

sendo que as mesmas ganharam visibilidade a partir do trabalho de FRANKE (1982)

onde sao revistos varios algoritmos de interpretacao de dados dispersos. KANSA e

HON (2000) apresentaram uma solucao da equacao diferencial com base nas FBR e

KOWALCZYK e MROZOWSKI (2005) aplicaram as FBR na resolucao da equacao

de Helmholtz.

Dentre as aplicacoes nas quais as FBR tem demonstrado grande utilidade,

destacam-se:

• Construcao de Superfıcies Bidimensionais (BERTOLANI et al. (2010));

2

• Correcoes Topograficas (HAYASHI e DURNS (1999));

• Fenomeno de Gibbs (FORNBERG e FLYER (2006));

• Imagens Tomograficas (BREVE (2006));

• Modelagem de Superfıcie (SAVCHENKO et al. (1995));

• Processamento de Imagens (PARARI (2004));

• Propagacao de Ondas (GODINHO e TADEU (2009), ALHURI et al. (2009),

WONG et al. (2002), LI et al. (2010));

• Reconstrucao de Imagens (CARR e FRIGHT (1997), CARR et al. (2001));

• Redes Neurais (FERNANDES et al. (1999));

• Solucao Numerica de Equacoes Diferenciais Parciais (NARDINI e BREBBIA

(1982));

Ressalta-se que a utilizacao de metodos baseados em Funcoes de Base Radial

geralmente requer o desenvolvimento de estrategias para a escolha do chamado

parametro livre, que e inerente a maioria destas funcoes, alem do tratamento ade-

quado do domınio do problema a ser resolvido, no que diz respeito a quantidade de

pontos (Suporte) relacionados ao calculo das FBR.

Como motivacao, e importante destacar que as FBR constituem-se em um

metodo sem malha, nao dependente de conectividades, o que e vantajoso em re-

lacao a metodos como o Metodo dos Elementos Finitos e Metodo dos Elementos de

Contorno. Adicionalmente, a distribuicao de pontos em um domınio interpolado por

FBR pode assumir configuracaoes / distribuicoes irregulares de pontos, o que e um

ganho tambem em relacao ao Metodo das Diferencas Finitas. Desta forma, aplicar

as FBR para modelagem de ondas pode melhorar o desempenho computacional,

alem de permitir discretizar contornos irregulares com maior eficiencia do que uma

adaptacao utilizando variantes das formulacoes classicas do MDF.

3

1.2 Revisao Bibliografica

Nesta secao, apresenta-se uma revisao dos trabalhos encontrados na literatura consi-

derados os mais relevantes para a area de pesquisa abordada e para o desenvolvi-

mento dessa dissertacao de mestrado.

Entre os primeiros trabalhos a serem utilizados envolvendo o metodo das dife-

rencas finitas para modelagem de ondas acusticas em geofısica, podem-se citar

MITCHELL (1969), BOOR (1972) e ALFORD et al. (1974), os quais observaram

que o MDF mostrou-se suficientemente confiavel para representar de forma coerente

o fenomeno de propagacao de ondas sısmicas. Diversos outros trabalhos sobre o

assunto foram desenvolvidos como por exemplo COHEN e JOLY (1990), VIRIEUX

(1986), BARTOLO (2010) e etc, utilizando inclusive malhas intercaladas, mas man-

tendo espacamentos constantes.

Nos ultimos anos, os chamados metodos sem malhas ganharam destaque

na comunidade cientıfica em areas de modelagem de problemas fısicos

(DA CUNHA ROQUE (2007)). Como exemplo de trabalhos nesta area pode-se

citar o Metodo das Solucoes Fundamentais (FAIRWEATHER e KARAGEORGHIS

(1998)) no qual buscou-se solucoes fundamentais para subdomınios com objetivo

de analisar respostas nas regioes de bordas de problemas fısicos. Tambem pode-se

citar o trabalho de KANSA e HON (2000) o qual obteve uma solucao de equacoes

diferenciais com base nas FBR.

Atualmente, as Funcoes de Base Radial sao umas das tecnicas mais usadas para

aproximar dados dispersos, sendo que isto se deve a facilidade de implementa-las

e aos bons resultados apresentados ao longo do tempo em diversos trabalhos da

literatura. Segundo BUHMANN (2003), a interpolacao por FBR mostrou-se eficiente

com dados igualmente espacados e espalhados em um determinado domınio.

O primeiro trabalho sobre FBR a ter visibilidade e forte aplicacao em interpo-

lacao e atribuıdo a HARDY (1971), onde as funcoes de base radial foram utilizadas

para interpolar superfıcies de dados geograficos. FRANKE (1982) fez uma revisao

e comparacao entre varios metodos de interpolacao baseada nos seguintes criterios:

exatidao, facilidade de implementacao, tempo de execucao e esforco computacional e

classificou a aplicacao proposta por HARDY como uma das melhores e mais precisas

dentre as abordadas.

Em modelagem de fenomenos astrofısicos, um dos primeiros trabalhos foi o

de LUCY (1977) relativo ao metodo hidrodinamico de partıculas suavizadas. As

primeiras aplicacoes usando FBR em solucao de sistemas de equacoes diferenciais

foram realizadas por NARDINI e BREBBIA (1982), que utilizaram a funcao de base

radial na solucao de certos problemas modelados com o Metodo dos Elementos de

4

Contorno (MEC), visando a eliminacao de integrais de domınio.

STEAD (1984) examinou varios metodos para estimativa de derivadas parciais

com dados dispersos e concluiu que as FBR apresentaram resultados satisfatorios

em interpolacao de dados provenientes da modelagem de superfıcies.

Nos anos 90 surge o trabalho de KANSA (1990), que aplicaram as FBR para a

determinacao de solucoes aproximadas de equacoes diferenciais de derivadas parciais,

trabalho este que ficou conhecido como o metodo da colocacao assimetrica de Kansa.

Devido ao trabalho proposto por Kansa, KOWALCZYK e MROZOWSKI (2005)

utilizaram as FBR com malha variavel para resolver a equacao de Helmholtz em

Eletromagnetismo, assim como ROCCA et al. (2005) apresentaram uma solucao

dependente do tempo em problemas de conveccao-difusao.

Nas FBR, um parametro importante que surge na maior parte das funcoes e o

chamado parametro livre, que desempenha um papel fundamental para a precisao

das interpolacoes atraves destas. A escolha deste parametro e um fator decisivo,

pois controla o quanto “achatadas” as FBR podem ser, sendo que quanto maior o

achatamento, mais suaves sao as suas interpolacoes.

Na maioria dos trabalhos encontrados na literatura, os autores escolhem o

parametro livre por tentativa e erro ou por alguma equacao empırica como, por exem-

plo, aquelas apresentadas por HARDY (1971), FRANKE (1982), KANSA (1990),

FASSHAUER (2002) e MOUAT (2002). Um metodo muito utilizado na litera-

tura para a obtencao do parametro livre e o metodo da validacao cruzada que e a

base do algoritmo para a escolha do valor otimo deste parametro, o qual foi pro-

posto por RIPPA (1999) no cenario de interpolacao de dados dispersos com FBR

(FASSHAUER e ZHAN (2000)).

JIANGANG et al. (2008) apresentaram uma abordagem atraves da combinacao

da funcao de base radial com o Metodo dos Elementos Finitos, formulacao de

Galerkin. Uma importante aplicacao foi realizada por YEI-XING et al. (2009)

onde foi dado grande destaque para as funcoes Multiquadricas (MQ), sendo que

constatou-se a influencia do parametro livre na precisao das FBR para aproximacoes

em sistemas nao-lineares.

Uma classificacao que pode ser criada no ambito das FBR diz respeito a su-

portes, sendo que elas podem ser classificadas como globais (suporte global) ou

locais (suporte compacto ou local) quando estao definidas em todo o domınio ou

apenas em parte deste, respectivamente. BUHMANN (2000) explora as FBR com

suporte global e compacto para interpolacao de dados.

MORSE et al. (2001) abordaram a interpolacao de superfıcies com dados dis-

persos usando FBR com suporte compacto, objetivando torna-las adequadas para

5

sistemas com um grande numero de pontos espalhados na superfıcie do modelo.

Com o mesmo objetivo, LIN e YUAN (2006) aplicaram as propriedades do metodo

estatıstico de regularizacao atraves das FBR com suporte global e local, e analisaram

o tempo de processamento e a taxa de convergencia para cada suporte, extraindo o

tempo para o suporte local.

Na linha de propagacao de ondas, que e o foco deste trabalho, WONG et al.

aplicaram as FBR com suporte compacto na solucao de um sistema de equacoes de

hidrodinamica para aguas rasas. Alem disso, o referido autor realizou uma compara-

cao afim de verificar a eficiencia computacional entre a analise com suporte global

e local. ALHURI et al. (2009) fez uso das FBR tanto com suporte global como

local para resolver um sistema de aguas rasas em um modelo hidrodinamico para

ambientes marinhos, observando a eficiencia e a precisao do metodo ao comparar a

solucao analıtica e a solucao numerica.

Como trabalhos mais recentes envolvendo FBR para a modelagem de ondas acus-

ticas em meios homogeneos e heterogeneos, incluem LI et al. (2010) que aplicaram

FBR para a propagacao de ondas 3D e DEHGHAN e SHOKRI (2009) que pro-

puseram utilizar as funcoes de base radial para a solucao numerica da equacao de

onda unidimensional com uma condicao integral.

E oportuno citar tambem GODINHO e TADEU (2009) que aplicaram o metodo

das FBR em conjunto com o Metodo dos Elementos de Contorno para a modelagem

da propagacao de ondas acusticas em meios com variacoes espaciais de propriedades.

GODINHO et al. (2010) utilizaram tambem as FBR para a modelagem de ondas

em meios acusticos, com adocao de malhas irregulares e uma abordagem numerica

eficiente e precisa em relacao ao calculo do parametro livre, baseado no tipo de

funcao radial escolhida de modo a minimizar o erro associado a interpolacao.

6

1.3 Objetivo e Estrutura da Tese

O objetivo principal desse trabalho e a solucao da equacao acustica da onda, para

meios homogeneos e heterogeneos, utilizando Funcoes de Base Radial. Trata-se de

um metodo de implementacao relativamente simples e que ja mostrou ser excelente

para a resolucao de equacoes diferenciais (KANSA (1990)), mas que ainda e pouco

explorado em Geofısica.

Sera abordada a propagacao de ondas acusticas unidimenscionais em dis-

tribuicoes de domınio regulares, figura 1.2 e irregulares, figura 1.3, utilizando as

Funcoes de Base Radial para a interpolacao espacial do meio e o Metodo das Dife-

rencas Finitas para interpolacao temporal.

Ressalta-se que o foco principal do trabalho sera o desenvolvimento de uma

metodologia de solucao eficiente, voltada a modelagem de problemas geofısicos.

Para tal, sera utilizada como referencia a solucao da equacao da onda pelo MDF,

buscando-se avaliar comparativamente a precisao e desempenho computacional.

Figura 1.2: Malha regular

Figura 1.3: Malha irregular

Como alguns dos problemas principais apresentados pelas interpolacoes com FBR

originaram-se da escolha inadequada do parametro livre, objetiva-se tambem neste

trabalho realizar um estudo detalhado em relacao ao mesmo, visto que, este tem

influencia e importancia na convergencia das FBR. Desta forma, atencao especial

sera dada ao metodo de calculo do parametro livre, seguindo a metodologia proposta

por GODINHO et al. (2010), aplicada para funcoes radiais do tipo Gaussianas.

Para gerar uma metodologia eficiente computacionalmente, sera adotado uma

configuracao de suporte local para as FBR, ou seja, por subdominios, conforme

ilustrado na figura 1.4, permitindo utilizar tanto distribuicoes regulares quanto irre-

gulares de pontos.

A fim de proporcionar um melhor entendimento e apreciacao da proposta central

deste trabalho e de fundamental importancia destacar a estrutura e organizacao do

7

Figura 1.4: Representacao do suporte local adotado pelas FBR

conteudo. O conteudo desta dissertacao e estruturado em 6 capıtulos, conforme

descrito a seguir.

Capıtulo 1: apresenta-se a motivacao principal desse trabalho, seguida da revisao

bibliografica e objetivos.

No Capıtulo 2: Sao apresentados os principais conceitos da equacao da onda

acustica, assim como sua solucao numerica pelo MDF. Questoes relevantes relativas

a estabilidade numerica do MDF e ao termo fonte utilizado para simular problemas

geofısicos sao obordadas.

No Capıtulo 3: introduz-se as Funcoes de Base Radial, bem como os con-

ceitos basicos, tipos de funcoes mais utilizadas na literatura e detalhes relevantes.

Apresenta-se a formulacao matematica das FBR que sera utilizada posteriormente

na equacao da onda acustica bem como a solucao da equacao da onda acustica por

FBR.

No Capıtulo 4: faz-se o estudo detalhado sobre o parametro livre relativamente

a metodologia utilizada neste trabalho para calcula-lo, voltada para as FBR Gaus-

sianas. Em seguida, apresenta-se as curvas obtidas para o parametro otimo atraves

de ajustes polinomiais dos valores discretos obtidos com a metodologia proposta.

No Capıtulo 5: apresentam-se os resultados da aplicacao das FBR na equacao da

onda acustica; analisam-se diferentes tipos de modelos geofısicos, diferentes domınios

comparando a precisao e eficiencia computacional das mesmas com relacao ao MDF.

No Capıtulo 6: apresentam-se as conclusoes e sugestoes para trabalhos futuros.

8

Capıtulo 2

Modelagem de Ondas Acusticas e

Formulacao Numerica por

Diferencas Finitas

2.1 Equacao da Onda Acustica

Em problemas geofısicos, principalmente os de propagacao de ondas, pode-se

assumir que a propagacao de ondas no meio fısico seja regido pela Equacao Acustica

da Onda. Nesta dissertacao, sera utilizada a Equacao da Onda Acustica em termos

do campo de pressoes 2.1 sendo que tal equacao e dada, conforme detalhada no

apendice B, por

∇2 p(x, y, z, t) −1

v2(x, y, z)∂2 p(x, y, z, t)

∂t2 = f (x, y, z, t) (2.1)

onde f (x,t) e a forca externa aplicada e 52 e o operador Laplaciano. Na representacao

1D, tem-se:

∂2 p(x, t)∂x2 −

1v2(x)

∂2 p(x, t)∂t2 = f (x, t) (2.2)

Onde p(x,t) e referente ao campo de pressoes no ponto x para um instante de

tempo t, v(x) e a velocidade de propagacao da onda acustica do meio. Sendo os

termos

∂2 p(x, t)∂x2 ;

∂2 p(x, t)∂t2

respectivamente, as derivadas de segunda ordem em relacao ao eixo x e ao tempo

t.

Segundo ROSA (2010), a equacao da onda 2.2 estabelece a forma como a pressao,

9

localizada em uma certa posicao x e no tempo t se relaciona com as medidas de

pressoes em pontos vizinhos.

Para que a equacao 2.2 apresente uma solucao unica em um determinado domınio

e necessario definir tambem condicoes iniciais e condicoes de contorno para este

domınio. As condicoes iniciais para o problema de ondas correspondem a prescricao

do campo de pressoes e suas derivadas temporais para todo o domınio, da seguinte

forma:

p(x, t = 0) = p0 (2.3)

∂p(x, t = 0)∂t

= p0 (2.4)

onde p0 e p0 sao os valores da pressao e sua primeira derivada temporal, prescritas

no domınio para todo o instante inicial da analise. Observa-se no caso da geofısica

que as condicoes iniciais sao tomadas como nulas, uma vez que o meio e considerado

em repouso antes da aplicacao da fonte sısmica.

Em relacao as condicoes de contorno, classicamente existem dois tipos de

condicoes de contorno a serem prescritas, as condicoes essenciais (Dirichlet) e as

condicoes naturais (Neumann), ou seja:

p = p em Γp (2.5)

∂p(x)∂n

= k.q em Γq (2.6)

onde p e q sao respectivamente os valores de pressao e fluxo prescritos nos contornos

Γp e Γq, respectivamente, sendo n o vetor normal ao contorno Γq, Destacando-se que

o contorno completo do domınio e dado por Γ = ΓpUΓq.

Com relacao ao termo fonte f (x,t), no caso de simulacoes sısmicas, o mesmo deve

ser escolhido de tal forma a representar um pulso sısmico real. Para isso, utiliza-se

uma fonte impulsiva f(t)δ(x− x f ) na equacao 2.2. A equacao da onda com a presenca

do termo referente a fonte sısmica, fica:

∂2 p(x, t)∂x2 −

1v2(x)

∂2 p(x, t)∂t2 = f (t)δ(x − x f ) (2.7)

onde a posicao da fonte e representada por x f e a funcao delta de Dirac δ(x − x f ) e

justamente uma funcao impulsiva na posicao de aplicacao da fonte.

Na literatura existe uma grande variedade de metodos numericos para a solucao

da equacao (2.7), contudo, como ja foi mencionado nessa dissertacao sera utilizado

10

o MDF como solucao de referencia numerica, devido a sua ja conhecida precisao

em modelagens sısmicas. O MDF e obtido atraves de combinacoes e truncamen-

tos da serie de Taylor (ZIENKIEWICZ e MORGAN (1983)) aplicadas diretamente

nas derivadas a serem aproximadas. Na pratica substituem-se as derivadas parciais

com a qual o problema e aproximado por aproximacoes truncadas. Certamente, e

o metodo mais simples de ser aplicado em malhas uniformes. Cabe destacar que

o MDF e amplamente utilizado para modelagem de ondas em geofısica, apresen-

tando baixo custo computacional quando comparado com outros a metodos como

por exemplo o Metodo dos Elementos Finitos (MEF).

Para realizar a modelagem numerica da equacao da onda 1D via MDF, utiliza-

se um grid numerico com espacamentos iguais a ∆x (na direcao x, com pontos i =

1, 2, 3, ...,Nx para representar o meio contınuo e uma discretizacao temporal com

incremento ∆t para representar os pontos no tempo, nos quais deseja-se obter a

solucao. A partir desta notacao, o modelo contınuo e transformado em um meio

discreto, possuindo Nx pontos na direcao x.

A seguir, apresenta-se a notacao indicial adotada para as discretizacoes numericas

da equacao da onda acustica:

x −→ i∆x; i = 1, 2, ...,Nx

t −→ n∆t; n = 1, 2, ...,Nt

Sendo assim, quanto a notacao das variaveis descritas, torna-se possıvel reescre-

ver o campo de pressao e a fonte impulsiva em uma notacao em termos discretos:

p(x, t) −→ pni (2.8)

f (t) −→ f n

11

2.1.1 Operadores Espaciais e Temporais do MDF

O MDF possibilita obter diferentes expressoes para a aproximacao das derivadas,

de acordo com a ordem do erro cometido por essas aproximacoes. A discretizacao es-

colhida para essa dissertacao e a de segunda ordem para ambas as derivadas espacial

e temporal, como ilustrado pela Figura 2.1.

Figura 2.1: Representacao do operador de segunda ordem no espaco e tempo

Sendo assim, para obter a equacao discreta de equilıbrio dinamico em um tempo t

qualquer, utilizam-se as seguintes aproximacoes para as derivadas espacial e tempo-

ral em termos do campo de pressoes p:

∂2 p(x, t)∂x2 =

1(∆x)2 [pn

i−1 − 2pni + pn

i+1] (2.9)

∂2 p(x, t)∂t2 =

1(∆t)2 [pi

n−1 − 2pni + pi

n+1] (2.10)

12

2.1.2 Equacao da Onda Discretizada pelo Metodo das Dife-

rencas Finitas

Para obter a equacao da onda discretizada pelo MDF substitui-se os operadores

das equacoes 2.9 e 2.10 na equacao 2.7 a fim com o objetivo de obter o operador

acustico em termos de pressoes no tempo n+1.

pin+1 =

(v(x).∆t)2

(∆h)2 [pni−1 − 2pn

i + pi+1n] − pi

n−1 + 2pni + f nδi (2.11)

A equacao 2.11 fornece o valor do campo de pressao no ponto i, para o tempo n+1,

em funcao dos valores das pressoes na vizinhanca deste ponto nos tempos anteriores

n e n-1, acrescido da fonte f n nos pontos ela e aplicado. Assim, considerando-se

esta expressao para os Nx pontos do grid, obtem-se um sistema de equacoes para a

marcha do tempo, que permite obter a solucao no domınio ao longo do tempo de

analise.

13

2.1.3 Estabilidade e Dispersao Numerica

Um metodo numerico estavel e aquele no qual quaisquer perturbacoes ou erros

na solucao nao sao amplificados. Os exemplos mais diretos para essas perturbacoes

e erros sao condicoes de fronteira ou iniciais aproximadas de forma incorreta, e o

acumulo de erros de arredondamento cometidos pelo computador durante os calculos.

O primeiro exemplo e evitado com uma correta discretizacao das condicoes auxi-

liares; o segundo nao pode ser evitado, devendo, portanto, ser controlado. Os erros

de arredondamento nao devem crescer sem limites, a ponto de influir desastrosa-

mente na solucao numerica. O acumulo desses erros pode ser evitado seguindo os

criterios de estabilidade dos metodos numericos((FORTUNA, 2000)).

A condicao geral de estabilidade para o MDF e dada pela expressao (FARIA

(1986))

∆t ≤∆xµvmax

(2.12)

onde µ e a constante que depende do operador de diferencas finitas adotado e do

numero de dimensoes do modelo, sendo que, na pratica a literatura indica que o valor

adequado para esta constante e 10 no caso de aproximacoes com erro detruncamneto

de 2a ordem no espaco; ∆t e o incremento de tempo, ∆x o espacamento do grid e

vmax e a maior velocidade do meio.

Por outro lado, para controlar a chamada dispersao numerica, deve-se limitar o

espacamento entre os pontos do grid, pois quanto maior a separacao entre os pontos

da malha, maior sera a dispersao das frentes de onda relacionadas a cada frequencia

que compoem o espectro do sinal.

A expressao que fornece os valores limites para espacamentos de grid para o MDF

e dada por (FARIA (1986)):

∆x ≤vmin

α fcorte(2.13)

sendo vmin e a menor velocidade de propagacao do modelo adotado, fcorte e a fre-

quencia de corte ou frequencia maxima utilizada pelas fontes aplicadas ao meio, e

α representa o numero mınimo de amostras necessario por comprimento de onda,

relativo a frequencia maxima, na pratica adotado como 5.

14

2.1.4 Termo Fonte

Na secao 2.1 foi considerado um termo fonte na equacao da onda acustica, com o

objetivo de simular problemas geofısicos. Desta forma, a funcao adotada para o

termo fonte deve atender a algumas caracterısticas para representar corretamente

uma fonte real, ou seja, uma fonte sısmica no tempo.

Figura 2.2: Representacao da fonte sısmica, propagacao da onda no meio e registrodas informacoes

Em geofısica, geralmente a fonte sısmica representa uma perturbacao sobre o

domınio fısico ilustrado conforme a figura 2.2, dentro do qual a repentina liberacao

de energia, representada por uma onda de pressao que se propaga atraves do meio,

produz uma variacao nos valores de pressao p. As propriedades mais importantes

de uma fonte sısmica sao:

• Energia;

• Conteudo de Frequencias;

• Forma da onda de saida da fonte;

• Repetibilidade;

• Aspecto de Resolucao;

• Custo e uso no campo.

Existe uma variedade de fontes sısmicas com diferentes nıveis de energia e fre-

quencia, embora a energia esteja frequentemente concentrada em uma banda limi-

tada de frequencias. Dentre os dispositivos que podem ser empregados na industria

para gerar uma fonte sısmica, lista-se abaixo os principais equipamentos utilizados

em um levantamento:

15

• Caminhoes contendo massa vibrante, Vibroseis;

• Canhao de agua, Water gun;

• Canhao de ar, Air gun;

• Centelhadores, Enegia Eletrica-Acustica;

• Fontes Explosivas em terra;

• Percussores de queda livre, como por exemplo Marretas ;

Em termos praticos, em aplicacoes Geofısicas diversos fatores definem o tipo de

fonte a ser utilizada, como por exemplo: o tipo de geologia da area a ser analisada, a

proximidade de regioes habitadas, a profundidade que se deseja que o sinal sısmico

alcance, ente outros fatores.

Nas modelagens numericas o termo fonte da equacao da onda empregado para

simular as fontes sısmicas utilizadas pela Geofısica, e uma funcao matematica que

possui uma determinada variacao ao longo do tempo. Diferentes tipos de funcoes

matematicas podem ser utilizadas para tal fim, embora seja conveniente que tais

funcoes possuam certas caracterısticas especiais descritas a seguir.

A funcao matematica utilizada como termo fonte deve preferencialmente ser limi-

tada, tanto no domınio do tempo quanto da frequencia. Uma funcao matematica

limitada e aquela que possui valores nao nulos apenas em um determinado intervalo

do seu domınio.

A funcao dever ser limitada no domınio do tempo a fim de simular uma fonte

sısmica do tipo explosiva. Ja no domınio da frequencia, esta caracterıstica faz com

que se tenha um controle sobre a frequencia maxima ao qual o modelo numerico esta

submetido, denominada frequencia de corte fcorte. Tal frequencia influencia o grau

de refinamento da discretizacao empregado para a simulacao numerica, conforme

item 2.1.3.

Neste contexto, a fonte sısmica a ser associada com a equacao 2.7 e empregada

nas simulacoes numericas realizadas ao longo desta dissertacao e a derivada segunda

da Gaussiana (CUNHA, 1997), dada pela seguinte equacao:

f (t) =[1 − 2π (π fctd)2

]e−π(π fctd)2

(2.14)

onde

td = n∆t − t f (2.15)

16

corresponde ao tempo defasado, responsavel pela translacao temporal da fonte no

tempo, n e o numero de passos de tempo transcorridos e a variavel t f corresponde

ao perıodo da funcao Gaussiana, dado como:

t f =2√π

fcorte(2.16)

sendo fc a frequencia central da fonte, dada por:

fc =fcorte

3√π

(2.17)

onde fcorte e a frequencia de corte da fonte.

A seguir e ilustrado o comportamento no tempo na frequencia da fonte sısmica

para uma frequencia de corte de 30Hz. Na figura (2.3-a), e apresentado o grafico

descrevendo o comportamento da fonte ao longo do tempo, enquanto que na figura

(2.3-b) esta representado o modulo da transformada de Fourier para o domınio da

frequencia da fonte sısmica.

Figura 2.3: a - Funcao fonte dada pela segunda derivada da Gaussiana para fcorte =

30Hz, b - Fonte sısmica no domınio da frequencia.

O conhecimento e controle destes parametros e importante ja que o grau de

refinamento da discretizacao do modelo e influenciado pelo espectro de frequencia

aplicado no modelo.

17

Capıtulo 3

Modelagem de Ondas Acusticas

com Funcoes de Base Radial

3.1 Conceitos Basicos de Funcoes de Base Radial

(FBR)

As FBR enquadram-se nos chamados metodos sem malha, alem disso, quando

tratam-se de distribuicoes de pontos posicionados arbitrariamente, ou seja, corres-

pondentes a uma malha irregular, o metodo mais utilizado nos ultimos anos, e o

baseado nas FBR por apresentar excelentes propriedades interpoladoras.

As FBR representam uma classe de funcoes especiais, cujo nome funcao radial

sugere que os valores sao obtidos pela diferenca ou distancia r = ||x − xi|| entre

as coordenadas do ponto onde a funcao deve ser avaliada, ponto central x, e as

coordenadas dos pontos genericos xi conforme ilustra a figura 3.1. Essas funcoes sao

nao-linerares e os seus respectivos valores tendem a aumentar ou diminuir de acordo

com a simetria radial, dependendo diretamente da distancia (MARK (1996)). Uma

funcao radial e representada pela seguinte notacao:

ϕ(r) = ϕ(||x − xi||) (3.1)

onde r = (||x − xi||) denota a norma euclidiana entre dois pontos isso quer dizer que

o valor da funcao ϕ(||x − xi||) em um ponto somente depende da norma de r.

Alem disso, algumas propriedades que garantem a potencialidade das FBR sao

notorias, tais como: Dependencia radial, que e uma observacao muito importante,

pois o valor da funcao depende somente da distancia do ponto central a um ponto

generico; alem desta podem-se citar tambem o decaimento e suavidade de algumas

funcoes radiais que desempenham papel importante na precisao das interpolacoes.

18

Figura 3.1: Representacao do centro da funcao de base radial

3.2 Formulacao Matematica das FBR

A formulacao matematica das funcoes de base radial e simples. No contexto

de aproximacoes de funcoes, tem sua origem na teoria da interpolacao de dados.

A solucao do problema de interpolacao e obtida atraves de uma combinacao linear

de translacoes de uma funcao de base radial escolhida, conforme apresentado por

WONG et al. (2002). Suponha inicialmente que:

W = [(x1, f1), (x2, f2), ..., (xn, fN)] (3.2)

seja um conjunto de pontos, onde fi ∈ R corresponde ao valor de uma funcao f no

ponto xi ∈ R, para i=1, 2, 3, ...,N. Ressalta-se, que os pontos xi sao distintos, isto e

xi , x j, para i , j.

Uma interpolacao numerica e o processo de determinar uma funcao f capaz de

estimar o valor da funcao f em posicoes arbitrarias x ∈ R a partir do conjunto de

pontos e valores de W. Neste caso, os valores estimados pela funcao f , nas posicoes

xi, i=1, 2, 3, ...,N, devem ser iguais aos valores conhecidos fi.

Um outro aspecto e que, quando os dados estao arbitrariamente posicionados,

isto e, irregulamente espacados, e necessario adotar metodos de interpolacao que

lidem com esta questao, sendo que um metodo muito utilizado e o metodo baseado

nas Funcoes de Base Radial, formalizado pela seguinte equacao:

P(x, t) =

N∑j=1

ϕ j(x j, x)A j (3.3)

Sendo:

• P - funcao a ser interpolada;

• A j - pesos da interpolacao;

• ϕ j - funcao radial;

19

• N - numero total de pontos da interpolacao com FBR.

Lembrando que r = (||x − xi||) denota a norma euclidiana entre dois pontos, isso

quer dizer que o valor da funcao ϕ(||x− xi||) em um ponto somente depende da norma

de r. E por essa caracterıstica, que a funcao radial nao tem orientacao preferencial

e, o valor da funcao e igual para todos os pontos que possuem a mesma distancia

do ponto central que esta sendo analisado.

Uma vez escolhidas as funcoes radiais ϕ j(x j, x) podem-se determinar os valores

de amplitude A j com a seguinte operacao matematica:

P(xi, t) = fi, i = 1, 2, 3, ..N, (3.4)

Da equacao 3.4 resultara em um sistema de equacoes lineares segundo a equacao

3.3.

f (x1)f (x2)...

f (xN)

=

ϕ1(x1, x1) ϕ2(x2, x1) ... ϕ j(xN , x1)ϕ1(x2, x1) ϕ2(x2, x2) ... ϕ j(xN , x2)

... ... . ...

ϕ1(xN , x1) ϕ2(xN , x2) ... ϕ j(xN , xN)

A1

A2

...

AN

Dessa forma, o problema de determinar esses coeficientes A j e resolvido atraves

da solucao de um sistema de equacoes lineares, que na forma matricial e reescrito

como:

Φ ·A = P (3.5)

onde:

Φ =

ϕ1(x1, x1) . . . ϕN(xN , x1)

.... . .

...

ϕ1(x1, xN) · · · ϕN(xN , xN)

A =

A1...

AN

; P =

p1...

pN

Sendo assim, Φ(nxn) e a matriz simetrica da funcao de base radial composta

por todas as medidas em funcao da distancia Euclidiana r tanto para suporte

global como para suporte local; Φk representa a linha k da matriz Φ, ou seja,

[ϕ1(x1, xk), ϕ2(x2, xk) . . . ϕN(xN , xK)] e A e o vetor dos pesos.

Com o objetivo de resolver e determinar os valores do vetor dos pesos A, faz-se

20

necessario a seguinte manipulacao matematica:

A = Φ−1 P (3.6)

Apos obter os valores de A, pode-se obter as interpolacoes para pontos de inter-

esse dentro do intervalo contınuo [x1, xn].

21

3.3 Principais FBR

As Funcoes de Base Radial utilizam uma funcao base que recebe como parametro

de entrada a distancia Euclidiana r = ||x− xi||, e adicionalmente algumas das funcoes

radiais sao dependentes tambem de um parametro livre c.

Na literatura, encontra-se uma variedade de funcoes de base radial, sendo que, a

seguir sao apresentados as principais funcoes encontradas na literatura, descrevendo

os respectivos detalhes relativos ao seu comportamento.

1. Funcao de base radial gaussiana

As funcoes de base radial Gaussianas desrito pela equacao 3.7 sao funcoes

locais, e que apresentam regioes de influencia restrita com decaimento expo-

nencial com a distancia radial quando r cresce, o parametro livre c determina

a taxa de decaimento e regula a abertura da funcao. Como exemplo mostra-se

na figura 3.2 o comportamento para alguns valores do parametro livre.

ϕ(r) = exp(−cr2); c > 0 (3.7)

Figura 3.2: Funcoes de Base Radial Gaussianas

22

2. Funcao de Base Radial Quadratica Inversa

As funcoes de base radial Quadraticas Inversas tambem dependem do

parametro livre c conforme apresentado na equacao 3.8, possuindo caracterıs-

ticas similares as da funcao Gaussiana. Apresentam porem uma singularidade

r=0, exigindo portanto um tratamento especial em aplicacoes numericas.

ϕ(r) =1

(cr)2 ; c > 0 (3.8)

Figura 3.3: Funcoes de base radial quadratica inversa

23

3. Funcao de Base Radial Multiquadratica

As funcoes de base radial Multiquadraticas sao funcoes que crescem ao infinito

a medida que cresce a distancia radial r podendo por outro lado, tender a zero

se o raio tender a zero conforme a equacao 3.9. A funcao propriamente nao e

singular, mas as suas respectivas derivadas tendem a ser singulares quando r

ou parametro livre c tenderem a zero.

ϕ(r) =√

r2 + c2; c > 0 (3.9)

Figura 3.4: Funcoes de Base Radial Multiquadraticas

24

4. Funcao de Base Radial Multiquadratica Inversa

A Funcao de Base Radial Multiquadratica Inversa apresenta comportamento

similar ao da funcao Gaussiana. Contudo, pode ser uma funcao singular se c

for igual a 0.

ϕ(r) =1

√r2 + c2

; c > 0 (3.10)

Figura 3.5: Funcoes de base radial inversas

25

5. Funcao de Base Radial Spline de Placas Finas

As Funcoes de Base Radial Spline de Placas Finas sao funcoes limitadas e nao-

diferenciaveis. Estas funcoes tem como principal caracterıstica nao apresentar

dependencia do parametro livre c.

ϕ(r) = r2 ln(|r|) (3.11)

Figura 3.6: Funcoes de base radial spline de placas finas

As Funcoes de Base Radial Spline de Placas Finas sao funcoes limitadas e nao-

diferenciaveis. Estas funcoes tem como principal caracterıstica nao apresentar

dependencia do parametro livre c.

Claramente, pode-se testar varias funcoes de base radial. Nesse trabalho optou-

se por utilizar a funcao Gaussiana em conjunto com suas repectivas derivadas. Outro

item a ser destacado e que a funcao nao apresenta singularidade e segundo o trabalho

proposto por GODINHO e TADEU (2009) apresentou resultados interessantes para

aguas rasas, o que e um indicativo de seu potencial para aplicacoes em sısmica.

26

3.4 Solucao da Equacao da Onda por FBR

A discretizacao da equacao da onda por FBR tem a mesma estrutura daquela

desenvolvida para o MDF, conforme foi desenvolvido no apendice A e apresentado

no capıtulo 2. A equacao 2.1 utilizada para modelar a propagacao de ondas acusticas

em geofısica e representada pela seguinte expressao:

∇2 p(x, t) −1

v2(x)∂2 p(x, t)∂t2 = 0 (3.12)

Com o intuito de obter a solucao da propagacao de onda por FBR, a equacao

3.12 sera separada em duas partes. O primeira parte, vinculada ao operador espacial

∇2 p(x, t), sera discretizada por funcoes de base radial. A segunda, vinculada a parcela

temporal ∂2 p(x,t)∂t2 continua a ser discretizada pelos operadores de diferencas finitas de

segunda ordem.

Desta forma, para o operador temporal, conforme desenvolvido no apendice A,

adota-se a seguinte aproximacao:

∂2 p(x, t)∂t2 =

pn−1i − 2pn

i + pn+1i

∆t2 (3.13)

Para a outra parcela, referente ao operador espacial, adota-se a aproximacao

representada pela equacao matricial 3.3, resultando em:

∇2 p(x, t) = ∇2ΦkA (3.14)

Aplicando-se entao a equacao 3.6 para calcular o vetor dos pesos A, tem-se:

∇2Φk A = ∇2Φk Φk−1 P (3.15)

Definindo-se agora um novo operador, pode-se escrever 3.15, como:

∇2(Φk)A = BkP (3.16)

onde

Bk = ∇2(Φk) Φk−1 (3.17)

Substituindo (3.16) e (3.13) na equacao (3.12), tem-se:

27

BkP −1

v(x)2

pn−1i − 2pn

i + pn+1i

∆t2 = 0 (3.18)

Finalmente, isolando o termo correspondente ao campo de pressao no passo de

tempo (n+1 ) p(x, ti+1), pode-se definir a expressao de marcha no tempo para propa-

gacao de ondas acusticas por FBR:

pn+1i = (∆t.v(x))2(Bk P) − pn−1

i + 2pni (3.19)

28

3.5 Estabilidade e Convergencia Numerica

As Funcoes de Base Radial a priori nao tem uma demonstracao fechada para a

convergencia e estalidade numerica. A proposta realizada nessa dissertacao com o

objetivo de delinear as questoes de convergencia numerica, tem relacao direta com a

Funcao de Base Radial que esta sendo adotada e com o a metodologia utlizada para

encontrar o parametro livre c que e apresentado e discutido com maiores detalhes

no capıtulo 4.

Acrescentando, vale lembrar que na literatura existem varios trabalhos com as

Funcoes de Base Radial que mesmo sem uma prova fechada de convergencia e esta-

bilidade, apresentam resultados satisfatorios e consistentes.

3.6 Condicoes de Contorno para FBR

Nesta secao sao apresentadas as condicoes de contorno para o problema unidi-

mensional utilizando as Funcoes de Base Radial.

No caso da condicao de contorno Essencial ou condicao de contorno de Dirichlet,

apresentada no capıtulo 2, equacao 2.5, pode-se prescrever seus valores diretamente

nos pontos dos bordos, de forma simples e direta.

Ja as condicoes de contorno Naturais merecem atencao especial, por envolverem

derivadas em relacao a normal ao contorno (conforme visto na equacao 3.4), o que

exige uma aproximacao por FBR.

Assim, utilizando a equacao 2.6, associada a equacao 3.6 dos pesos de A e ao

valor de p dada pela equacao 3.5, chega-se a:

∂Φk

∂ηΦk−1 P = kq (3.20)

Definindo-se entao um novo operador:

Dk =∂Φk

∂ηΦk−1 (3.21)

Resulta em:

DkP = kq (3.22)

No capıtulo 4 sera apresentado a discretizacao do termo DkP pela FBR Gaussi-

ana, apos a definicao do suporte para esta funcao.

29

Capıtulo 4

Metodologia para Calculo do

Parametro Otimo das FBR

4.1 Metodologia para Determinacao do

Parametro Livre

No capıtulo 3, secao 3.3 foram apresentadas algumas Funcoes de Base Radial.

Observou-se que grande parte delas e composta por um parametro livre c na sua

equacao, e que este desempenha um papel importante para a precisao do metodo

interpolador.

Na literatura existem diversas equacoes utilizadas para calcular os valores deste

parametro. No entanto, nenhuma delas tem um embasamento matematico em ter-

mos de precisao numerica, uma vez que sao formulacoes que foram obtidas atraves

de exaustivos testes e estudos empıricos.

Na tabela 4.1, apresentam-se as principais equacoes utilizadas na literatura para

calcular o parametro livre c.

30

Tabela 4.1: Expressoes para o Calculo do Parametro Livre c

Referencia Parametro c Observacoesd distancia radial

HARDY (1971) c = 0, 815d

D distancia radial

FRANKE (1982) c = 1, 25D/√

N N numero total de pontosdo modelo.

cmax e cmin

KANSA (1990) c2 = c2min(c2

max/c2min)( j−1)/(N−1) valores empıricos.

j=1,2,...N N numero totalde pontos do modelo.

FASSHAUER (2002) c = 2/√

N N numero totalde pontos do modelo.

MOUAT (2002) c < 2/√

N N numero totalde pontos do modelo.

Como ja mencionado, uma das vantagens das FBR e sua elevada precisao para

interpolacao de funcoes. Contudo, nesse trabalho as FBR sao utilizadas para in-

terpolar tanto a funcao base (campo de pressao p) como suas derivadas primeira e

segunda, conforme visto na equacao da onda. Portanto, obter bons valores da in-

terpolacao do campo p, pode nao ser garantia de precisao em propagacao de ondas,

uma vez que e necessario tambem uma boa interpolacao das derivadas deste campo.

No presente trabalho, a estrategia adotada para contornar este problema e criar

uma relacao entre o parametro otimo c e parametros da malha que busquem mini-

mizar os erros de forma a melhorar a precisao da resposta para as derivadas do campo

de pressao p, presente na equacao da onda. Com o objetivo de obter o menor erro

possıvel destas derivadas do campo p, a seguinte estrategia e utilizada: minimizar

o erro cometido entre o calculo da derivada segunda espacial da equacao da onda

3.4 em relacao a derivada segunda de uma funcao analıtica conhecida, neste caso,

o pulso de Ricker, equacao 4.6 apresentado aseguir, de modo a obter uma relacao

entre o parametro livre otimo c e os parametros da malha. Para tanto, define-se um

funcional associado a este erro, conforme sera descrito a frente.

Apresenta-se abaixo todo o desenvolvimento para o calculo do parametro livre

otimo c.

31

O calculo do funcional a ser minimizado com o intuito de encontrar o menor erro

possıvel e descrito pela seguinte relacao:

E(c) =| Λ(Q(x j)) − Λ

Nn∑j=1

ϕ j(x j, x)A j

| (4.1)

onde,

Λ = ∇2 e o operador Laplaciano e Q(x j) uma funcao analıtica conhecida.

Como mencionado, utiliza-se como base o pulso de Ricker em funcao do tempo,

ou seja:

p(τ) = (1 − 2τ2)e−τ2

(4.2)

sendo

τ =t − ts

t0(4.3)

onde

t0 =1π f0

(4.4)

Sendo ts o tempo referente ao valor de pico do pulso e f0 a frequencia central

deste pulso. Realiza-se uma transformacao na equacao 4.2, utilizando-se a seguinte

relacao cinematica:

τ =d(x)v(x)

(4.5)

onde v(x) e d sao respectivamente a velocidade no ponto e o espacamento radial

entre os pontos. Com isto chega-se a:

Q(x) =

1 − 2(π f0d(x)

v(x)

)2 e−(π f0d(x)

v(x)

)2

(4.6)

Assim, a equacao 4.6 permitira obter uma referencia para minimizar o funcional

4.1, conforme sera apresentado adiante.

32

4.1.1 Funcional Para Funcao de Base Radial Gaussiana

Desenvolve-se agora os procedimentos em termos da funcao Gaussiana para en-

contrar o parametro otimo c. Inicialmente, redefine-se a funcao Gaussiana, equacao

3.3 de forma adimensional, como segue:

ϕ(x) = e−c′r2

h2 ; c′ = ch2 (4.7)

Com o objetivo de apresentar os resultados do parametro otimo de forma uni-

versal em termos adimensionais, escreve-se o parametro r da seguinte maneira:

r = (x − x0)h (4.8)

onde x − x0 sao distancias adimensionais, h e o fator de correcao para unidades

utilizadas no grid. x0 o ponto fixo da posicao das FBR e x a posicao ate os pontos

vizinhos que compoem o suporte radial.

Reescrevendo o parametro temporal adimensional τ, tem-se

τ =πh f0

v0(4.9)

sendo v0 a velocidade de propagacao da onda no ponto x0. E importante salientar

que em Geofısica existe uma restricao fısica, para os valores de τ relativa as questoes

de estabilidade numerica. Sendo assim, pode-se estabelecer os limites mınimo e

maximo para o parametro τ com o intuito de reduzir a dispersao numerica, o que

implica em h ≤ λn , onde λ e o comprimento de onda da frequencia de corte e n o

numero minimo de pontos por comprimento de onda.

Lembrando que

v = λf (4.10)

Entao, a relacao entre h e τ, torna:

τ ≤π

n(4.11)

Na pratica, valendo-se da experiencia obtida em metodos ja consagrados como

o MDF para as questoes de estabilidade, pode-se adotar valores de n entre 5 e 10.

Assim, para englobar com folga a respectiva faixa de variacao de τ, definem-se como

limites:

π

50≤ τ ≤ π (4.12)

33

Explicitando-se h na equacao do raio, equacao 4.8, ou seja, tornando r dimen-

sional, tem-se:

rh = x − x0 (4.13)

Com isto, a funcao analıtica Q(x), passa a ser:

Q(x) = (1 − 2(τrh)2)e−(τrh)2(4.14)

ou

Q(x) = (1 − 2(τ(x − x0))2)e−(τ(x−x0))2(4.15)

Explicitando agora h na equacao gaussiana, tem-se:

ϕ(x) = e−c′(x−x0)2(4.16)

Para calcular o erro relativo ao funcional, dado pela equacao 4.1, deve-se inicial-

mente calcular o valor analıtico das derivadas segundas da funcao Q(x) em relacao

a x, no ponto central do subdomınio, ou seja:

d2

dx2 Q(x) = −2τ2e−τ2(x−x0)2

(3 − 12τ2x2 + 24τ2xx0 − 12τ2x02 + 4τ4x4 (4.17)

−16τ4x3x0 + 24τ4x2x20 − 16τ4xx3

0 + 4τ4x40)

que avaliada para o ponto central x = x0, resulta em:

d2

dx2 Q(x) = −6τ2 (4.18)

Com isto, basta agora definir o suporte a ser adotado para a funcao radial, para

que se possa minimizar o funcional, definido na equacao 4.1, e obter os valores otimos

para o parametro livre na faixa de valores de τ dados pela equacao 4.12.

34

4.1.2 Definicao do Suporte Para FBR Gaussiana

O suporte escolhido para essa dissertacao envolve 3 pontos de grid, visando

realizar comparacoes com os resultados gerados pelo MDF de 2a ordem no espaco,

conforme ilustrado na figura 4.1.

Figura 4.1: Suporte com 3 pontos do grid

Levando a configuracao do suporte escolhido na equacao 3.15, tem-se primeira-

mente o termo:

∇2(φi, j) =

φ′′

11 φ′′

12 φ′′

13

φ′′

21 φ′′

22 φ′′

23

φ′′

31 φ′′

32 φ′′

33

e

φ−1i, j =

φ−1

11 φ−112 φ−1

13

φ−121 φ−1

22 φ−123

φ−131 φ−1

32 φ−133

P =

Pi−1

Pi

Pi+1

Fazendo agora o produto matricial de

∇2(φi, j) φi, j−1 (4.19)

Chega-se finalmente a

φ′′

11φ−111 + φ

′′

12φ−121 + φ

′′

13φ−131 φ

′′

11φ−112 + φ

′′

12φ−122 + φ

′′

13φ−132 φ

′′

11φ−113 + φ

′′

12φ−123 + φ

′′

13φ−133

φ′′

21φ−111 + φ

′′

22φ−121 + φ

′′

23φ−131 φ

′′

21φ−112 + φ

′′

22φ−122 + φ

′′

23φ−132 φ

′′

21φ−113 + φ

′′

22φ−123 + φ

′′

23φ−133

φ′′

31φ−111 + φ

′′

32φ−121 + φ

′′

33φ−131 φ

′′

31φ−112 + φ

′′

32φ−122 + φ

′′

33φ−132 φ

′′

31φ−113 + φ

′′

32φ−123 + φ

′′

33φ−133

Nomeando os termos da matriz acima, resulta em:

35

α4 α5 α6

α1 α2 α3

α7 α8 α9

Onde os parametros α1, α2, α3, sao os parametros de interesse para avaliar a

FBR no ponto i, dados por:

α1 = φ′′

21φ−111 + φ

′′

22φ−121 + φ

′′

23φ−131 (4.20)

α2 = φ′′

21φ−112 + φ

′′

22φ−122 + φ

′′

23φ−132 (4.21)

α3 = φ′′

21φ−113 + φ

′′

22φ−123 + φ

′′

23φ−133 (4.22)

Desta forma, obtendo-se os valores para α1, α2, α3 em cada pondo do grid, e

possivel realizar a marcha temporal usando a equacao 3.19.

36

4.1.3 Calculo do Parametro Livre Otimo

Apos a escolha do suporte, pode-se finalmente obter os valores do parametro

livre otimo em funcao do parametro τ atraves da minimizacao do funcional abaixo,

para cada valor de τ desejado.

E(c) =2

e−4c − 2e−2c + 1(ce−4c − 3τ2e−4c − 2c + 6e−2cτ2 (4.23)

+4c2e−2c − 4c2e−c−τ2+ 8c2e−c−τ2

τ2 + c − 3τ2)

Para resolver a funcao 4.23 escolheu-se o Metodo da Bissecao de modo a obter

as raizes do parametro otimo c. Este metodo consiste em percorrer o intervalo

referente a τ, equacao 4.12, utilizando o incremento de τ/100, de modo a obter a

curva apresentada pela figura 4.2.

Figura 4.2: Grafico de c x τ

A partir deste grafico gerou-se um polinomio interpolador, otimizado, para tornar

possıvel obter qualquer valor de c otimo no intervalo de τ definido pela equacao 4.12

com erro menor que 1, 0x10−3.

Para isto, foi necessario dividir o intervalo de τ em subintervalos para os quais

este limite de erro foi atendido com polinomios de grau ≤ 5, conforme segue:

37

4.1.4 Intervalo 1

O primeiro intervalo compreende os valores entre 0,0 e 0,6.

Figura 4.3: Grafico de c x τ intervalo 1

Neste intervalo, de acordo com a figura 4.3, o polinomio que melhor representou

os dados com restrincao de erro 0,001 foi:

c(τ) = −0, 000213359+0, 00645448τ+0, 931671τ2+0, 330507τ3−0, 438701τ4+0, 786846τ5

(4.24)

4.1.5 Intervalo 2

O segundo intervalo compreende os valores entre 0,6 e 1,2.


38



c(τ) = −3, 98727 + 17, 2817τ − 24, 505τ2 + 13, 4241τ3 − 0, 420037τ4 (4.25)

4.1.6 Intervalo 3

Finalmente, o terceiro intervalo compreende os valore entre 1,2 e 3,0.




c(τ) = −3, 98727 + 17.2817τ − 25, 505τ2 + 13, 4241τ3 − 0, 420037τ4 (4.26)

39

4.2 Equacao Discretizada para Marcha no Tempo

A expressao final para a equacao da onda acustica discretizada, em funcao dos

parametros α′s apresentados na secao 4.1.2, e dada por:

pn+1i = (∆t.v(x))2(α2 pn

i+1 + α1 pni + α3 pn

i−1) + 2pni − pn−1

i (4.27)

onde

α1 =−2c(400ce

200ch2 + (e

200ch2 − 1)

2h2)

(e200ch2 − 1)

2h4

(4.28)

α2 =400c2e

300ch2

(e200ch2 − 1)

2h4

(4.29)

α3 =400c2e

300ch2

(e200ch2 − 1)

2h4

(4.30)

Observa-se que os valores de α1, α2 e α3 sao obtidos atraves das propriedades dos

pontos do grid, calculando-se o valor de τ para cada ponto do grid e utilizando-se

entao as expressoes dos polinomios 4.24, 4.25 e 4.26 para obter o valor otimo do

parametro livre c necessario para avaliar as equacoes 4.28, 4.29 e 4.30.

40

4.3 Condicoes de Contorno

4.3.1 Condicoes de Contorno Naturais

Apresenta-se agora as condicoes de contorno em termos discretizados, uma vez

que no capıtulo 3, item 3.6 apresentou-se a formulacao matematica para as condicoes

de contorno utilizando as FBR.

Para as condicoes de contorno naturais, foi utilizado um suporte de dois pontos,

conforme a figura abaixo.

Figura 4.6: Suporte para condicao de contorno natural, 2 pontos

Portanto, da equacao 3.20, tem-se na forma discreta que:

∂Φ

∂x· Φ −1P = kq (4.31)

Sendo que, na forma matricial, a derivada primeira da funcao Φ, e expressa por:

ϕ′11 ϕ′

12

ϕ′

21 ϕ′

22

Na matriz acima, a primeira linha esta relacionada com o bordo esquerdo e a

segunda linha com o bordo direito, sendo assim, pode-se escrever.

Para o bordo esquerdo:

[ϕ′

11 ϕ′

12

]· Φ −1P = kq

e para o bordo direito:

[ϕ′

21 ϕ′

22

]· Φ −1P = kq

Resolvendo primeiramente para o bordo esquerdo, realiza-se as operacoes acima

em termos matriciais, o que resulta em:

(ϕ′

11ϕ−111 + ϕ

′

12ϕ−121 )pn

1 + (ϕ′

11ϕ−112 + ϕ

′

12ϕ−122 )pn

2 = kq (4.32)

41

Renomeando os coeficientes, tem-se:

β1E = ϕ′

11ϕ−111 + ϕ

′

12ϕ−121

e

β2E = ϕ′

11ϕ−112 + ϕ

′

12ϕ−122

o que transforma a equacao 4.32, em:

β1E · pn1 + β2E · pn

2 = kq (4.33)

Isolando o termo pn1, tem-se:

pn1 =

kq − β2E · pn2

β1E(4.34)

Realizando-se toda manipulacao algebrica, da mesma forma feita para α1, α2 e

α3 obtem-se por fim as seguintes expressoes para os coeficientes β1E e β2E da equacao

discretizada 4.33.

β1E =2c′(x0 − x)

(−1 + e2c′(x0−x)2

h2 )h2(4.35)

β2E = −2c′(x0 − x)e

c′(x0−x)2

h2

(−1 + e2c′(x0−x)2

h2 )h2(4.36)

Para o bordo direito considerando-se o mesmo procedimento matematico, tem-se

que:

βNx−1D · pnNx−1 + βNx D · pn

Nx= kq (4.37)

e isolando o termo pnNx

, tem-se:

pnNx

=kq − βnD · p

Nx−1n

βn+1D(4.38)

Apos toda manipulacao algebrica, obtem-se as seguintes expressoes para os coe-

42

ficientes βNx−1D e βNx D da equacao discretizada 4.38.

βNx−1D = −2c′(x0 − x)e

c′(x0−x)2

h2

(−1 + e2c′(x0−x)2

h2 )h2(4.39)

βNx D =2c′(x0 − x)

(−1 + e2c′(x0−x)2

h2 )h2(4.40)

43

Capıtulo 5

Exemplos e Discussoes

Neste capıtulo sao apresentados alguns exemplos utilizando a equacao da onda

acustica discretizada pelas Funcoes de Base Radial e o Metodo das Diferencas Fini-

tas. O principal objetivo e analisar o comportamento da propagacao de ondas em

modelos unidimensionais utilizando a formulacao por FBR, juntamente com a analise

do parametro c e comparar com os resultados com os obtidos com o MDF.

As condicoes de contorno utilizadas para o exemplos rodados foram a condicao

de contorno de Dirichlet ou condicao de contorno Essecial para o bordo esquerdo a

condicao de contorno Natural para o bordo direito.

E importante observar que para todos os exemplos analisados foram feitos testes

de convergencia para o MDF, atraves da adocao de incremento de tempo 10 vezes

menor que o apresentados, de modo a assegurar que as solucoes de referencia destes

estavam adequadas.

Primeiramente, testa-se a propagacao de ondas em um meio homogeneo uti-

lizando um parametro livre de acordo com a formulacao proposta por FASSHAUER

(2002), conforme descrito na tabela 4.1. O objetivo e avaliar detalhadamente a in-

fluencia do parametro livre e destacar a sua importancia comparando os resultados

com o obtido no MDF.

Posteriormente, sao apresentadas as primeiras solucoes com o valor do parametro

livre proposto conforme o capıtulo 4. Sao apresentados modelos homogeneos e het-

erogeneos com espacamentos iguais, todos eles comparados com os resultados obti-

dos pelo MDF. Por fim, apresenta-se um exemplo para modelos com espacamentos

variaveis e espacamentos calculados randomicamente.

Observa-se que em todos os graficos e snapshots apresentados nos exemplos, as

curvas na cor vermelho representam os resultados obtidos com o MDF e as curvas

na cor preta representam os resultados obtidos com a FBR utilizando a metodologia

proposta. O computador usado para gerar os resultados foi um INTEL CORE II

44

DUO 2.1GHz, com 4Gbytes de memoria RAM.

45

5.1 Meio Homogeneo com Grid Equiespacado

5.1.1 Objetivo

O objetivo desse primeiro exemplo e comparar a modelagem sısmica em um meio

homogeneo, utilizando FBR com o parametro livre de FASSHAUER (2002) com as

FBR utilizando o parametro livre proposto e tendo como referencia o MDF.

5.1.2 Parametros do Modelo

A tabela (5.1), descreve os parametros empregados na modelagem. Observa-se

que para ambos os modelos foram utilizados os mesmos parametros.

Figura 5.1: Modelo Homogeneo - Espacamentos Iguais

Tabela 5.1: Parametros do Modelo Homogeneo discretizado pelo metodo das Dife-rencas Finitas e Funcoes de Base Radial

Parametros Valor RegiaoTamanho do Modelo 5000 m

Espacameto 10m

Numero de Pontos 501

Velocidade 1500 m/s Meio Homogeneo

Frequencia de Corte 15Hz

Posicao da Fonte 2490m Meio do Modelo

Incremento de Tempo 0,001s

Tempo Total de Analise 10s

46

5.1.3 Resultados Obtidos

A figura 5.2 apresenta o traco sısmico no ponto Nx=125, posicao=1240m ao longo

do tempo de analise. A figura (5.3) apresenta o detalhamento do traco da figura

5.2, mostrando o resultado para uma faixa no inıcio e outra no final da analise.

Nesta figuras, pode-se notar que o resultado apresentado pelas FBR produz uma

defasagem que aumenta gradativamente ao longo do tempo de analise. Ja para as

amplitudes, os resultados sao praticamente iguais entre as FBR e MDF.

Figura 5.2: Traco Sısmico ao longo do tempo de analise na posicao 1240m (NX=125)

Figura 5.3: (a)-Janela dos instantes de tempo (0-1,5) segundos. (b)-Janela dosinstantes de tempo (8,8-10) segundos.

A figura 5.4 mostra o evento instantaneo (snapshot) utilizando as FBR com o

parametro livre de FASSHAUER (2002), onde observa-se que houve instabilidade

47

numerica dos resultados ja para tempos iniciais, conduzindo a valores que tendem

ao infinito. Ressalta-se que foi utilizado o domınio global para gerar os resultados

com o parametro de FASSHAUER.

As figuras 5.5(a) e 5.6(a) mostram eventos instantaneos (snapshots) dos campos

de pressoes nos tempos 0.4s e 8s obtidas com as FBR e com o MDF, onde observa-se

mais uma vez a defasagem crescente ao longo do tempo de analise. Ressalta-se que

o tempo de processamento utilizando o MDF foi de 4,52s e com FBR de 5,58s.

Ao observar as figuras 5.5(b) e 5.6(b) verifica-se a presenca defasagem. Tal

defasagem so e originada apos multiplas reflexoes nas bordas do modelo.

Figura 5.4: Snapshot no tempo 0.4s utilizando FBR com parametro deFASSHAUER.

Figura 5.5: (a) - Snapshot no tempo 0,4s. (b) - Detalhamento da frente de onda nointervalo [2000m,2400m].

48

Figura 5.6: (a) - Snapshot no tempo 8,0s. (b) - Detalhamento da frente de onda nointervalo [400m,1200m].

49

5.2 Meio Homogeneo com Grid Aleatorio

5.2.1 Objetivo

Neste exemplo, o objetivo e mostrar que as FBR com o parametro livre proposto

apresentam bons resultados para pontos distribuıdos aleatoriamente. Para tal, no-

vamente comparam-se os resultados obtidos com aqueles provenientes do MDF, para

um grid equiespacado.


Neste segundo exemplo,foram utilizados pontos distribuıdos aleatoriamente para

as FBR e pontos equiespacados para o modelo homogeneo descrito pelo MDF con-

forme a tabela 5.2. Os valores randomicos foram gerados a partir do grid equies-

pacado do MDF, pertubando-se cada ponto em no maximo 1m em torno da posicao

original. A excessao disto foram os pontos de aplicacao da fonte sısmica e de leitura

do traco, que permaneceram em suas posicoes originais.

Figura 5.7: Modelo Homogeneo - Espacamento Randomico

Tabela 5.2: Parametros do Modelo Homogeneo com Grid Irregular

Parametros Valor-FBR Valor-MDF RegiaoTamanho do Modelo 5000 m 5000 m

Espacameto Randomico 10m

Numero de Pontos 501 501

Velocidade 1500 m/s 1500 m/s Meio Homogeneo

Frequencia de Corte 15Hz 15Hz

Posicao da Fonte 2490m 2490m Meio do modelo



50


Neste exemplo, apresenta-se o traco sısmico no ponto Nx=125, posicao=1240m

ao longo do tempo de analise, conforme ilustrado na figura 5.8. Nas figuras 5.9(a) e

5.9(b) apresentam detalhamento do traco sısmico, mostrando o resultado para uma

faixa no inıcio e outra no final da analise. Nesta figuras, nota-se que o resultado

apresentado pelas FBR produz uma defasagem que aumenta gradativamente ao

longo do tempo de analise. Ja para as amplitudes, os resultados sao iguais entre as

FBR e MDF.


Figura 5.9: (a)-Analise no intervalo (0,0-1,8) segundos. (b) - Analise no intervalo(8.8-10,0) segundos.

As figuras 5.10(a) e 5.11(a) mostram eventos instantaneos (snapshots) dos cam-

51

pos de pressoes nos tempos 0,4s e 8,0s obtidos em um meio homogeneo com grid

equiespacado para o MDF e para a FBR.

Ao observar as figuras 5.10(b) e 5.11(b) verifica-se a presenca de defasagem. Tal


Ressalta-se que o tempo de processamento utilizando o MDF foi de 4,52s e com

FBR de 4,86s.

Figura 5.10: (a) - Snapshot no tempo 0,4s. (b) - Detalhamento da frente de ondano intervalo [2000m,2400m].


52

5.3 Meio Heterogeneo com 3 Camadas e Grid

Equiespacado

5.3.1 Objetivo

Neste exemplo, o objetivo e avaliar o comportamento da propagacao de ondas

em meios heterogeneos com a formulacao por FBR utilizando o parametro livre

proposto e comparar com a propagacao de onda simulada por MDF.


Neste exemplo, utilizaram pontos equiespacados para modelo heterogeneo tanto

para FBR como para o MDF conforme indica a tabela 5.3.

Figura 5.12: Modelo Heterogeneo com 3 camadas e Grid equiespacado

Tabela 5.3: Parametros do Modelo Heterogeneo com Grid equiespacado

Parametros Valor MDF|FBR RegiaoTamanho do Modelo 5000 m

Espacameto 10m


Velocidade 1 1500 m/s (10-1600)m, ∆x=10m




Posicao da Fonte 2490m



53


A figura 5.13 apresenta o traco sısmico no ponto Nx=125, posicao=1240m ao

longo do tempo de analise. A figura (5.14) apresenta detalhamento do traco da

figura 5.13, mostrando o resultado para uma faixa no inıcio e outra no final da

analise. Nesta figuras, pode-se notar que o resultado apresentado pelas FBR produz

uma defasagem que aumenta gradativamente ao longo do tempo de analise. Ja para

as amplitudes, os resultados sao praticamente iguais entre as FBR e MDF.


Figura 5.14: (a)-Analise nos intervalos (0,0-2,0) segundos. (b) - Analise nos inter-valos (7,0-9,0) segundos.

As figuras 5.15(a) e 5.16(a) mostram eventos instantaneos (snapshots) do campo

de pressao nos instantes de tempo 0,4s e 4,0s para um meio heterogeneo com grid

54

equiespacado para a modelagem por MDF e grid para as FBR.

Ao observar as figuras 5.15(b) e 5.16(b) verifica-se a presenca de defasagem. Tal


Ressalta-se que o tempo de processamento utilizando o MDF foi de 4,37s e com

a FBR de 4,56s.



55

5.4 Meio Heterogeneo com 3 Camadas com Grid

Irregular Otimizado

5.4.1 Objetivo

Neste ultimo exemplo, apresenta-se um modelo heterogeneo composto por 3 ca-

madas. O objetivo e utilizar um grid com transicao entre as camadas acontecendo

de forma brusca e outro com espacamento suave do grid para as FBR respeitando

o criterio de estabilidade. Como referencia, usa-se um modelo heterogeneo com

espacamentos iguais para o MDF.


Para o modelo discretizado pelo MDF utiliza-se um grid equiespacado seguindo

o criterio de estabilidade exposto no capıtulo 2, o que resulta em um espacamento

de 10m.

Para a modelagem utilizando FBR construiu-se um grid irregular, com espaca-

mento entre os pontos de 10m para a regiao com velocidade de 1500m/s, 20m para

a regiao com 3000m/s e 30m para a regiao com 4500m/s.

Duas opcoes foram simuladas para as interfaces entre as camadas: a primeira

com mudanca brusca do espacamento, ou seja, muda-se o espacamento de 10m para

20m na regiao de transicao de velocidade de 1500m/s para 3000m/s e 20m para 30m

na regiao de transicao de velocidade de 3000m/s para 4500m/s. A segunda com um

escalonamento suave (10, 12, 14, 16 ,18 e 20) nas regioes de transicao de velocidade

de 1500m/s para 3000m/s e escalonamento suave (20, 22, 24, 26, 28 e 30) nas regioes

de transicao de velocidade de 3000m/s para 4500m/s conforme esquematizado na

tabela (5.5) e (5.6). A ideia e verificar como se comporta a precisao do metodo para

variacoes brusca de espacamento do grid.

56

Tabela 5.4: Parametros do Modelo Heterogeneo - MDF


Espacameto 10m









Tabela 5.5: Parametros do Modelo Heterogeneo da FBR - Grid Irregular Brusco


Espacameto Variavel


Velocidade 1 1500 m/s (10 - 1060 )m, ∆x=10m







57

Tabela 5.6: Parametros do Modelo Heterogeneo da FBR - Grid Irregular Otimizado


Espacameto Variavel


Velocidade 1 1500 m/s (10 - 1600 )m, ∆x=10m(1612, 1626, 1642, 1660)m

Velocidade 2 3000 m/s (1680-2380)m, ∆x=20m(2402, 2426, 2452, 2480)m






58


• Opcao 1 - Grid Com Variacao Brusca no Espacamento.

Figura 5.17: Modelo Heterogeneo com 3 camadas - Variacao brusca no espacamento


longo do tempo de analise. A figura (5.19) apresenta o detalhamento do traco

da figura 5.18, mostrando o resultado para uma faixa no inıcio e outra no final

da analise. Nesta figuras, pode-se notar que o resultado apresentado pelas

FBR produz uma defasagem que aumenta gradativamente ao longo do tempo

de analise. Ja para as amplitudes, os resultados sao praticamente iguais entre

as FBR e MDF.


As figuras 5.20(a) e 5.21(a) mostram eventos instantaneos (snapshots) do

campo de pressao no tempo 0.4s e 4.0s para um meio heterogeneo com grid

equiespacado para a modelagem por MDF e grid intercalado para as FBR.

Ao observar as figuras 5.20(b) e 5.21(b) verifica-se a presenca defasagem.

Tal defasagem so e originada apos multiplas reflexoes nas bordas do modelo.

Ressalta-se que o tempo de processamento utilizando o MDF foi de 4,37s

e com FBR de 3,66s.

59

Figura 5.19: (a)-Analise nos intervalos (1,0-2,5) segundos. (b) - Analise nos inter-valos (6,0-10,0) segundos.



60

• Opcao 2 - Grid com Variacao Suave no Espacamento.

Figura 5.22: Modelo Heterogeneo com 3 camadas - Variacao suave no espacamento


longo do tempo de analise. As figuras (5.24(a) e (b)) apresentam amplicacoes

do traco da figura 5.23, mostrando o resultado para uma faixa no inıcio e outra

no final da analise. Nesta figuras, pode-se notar que o resultado apresentado

pelas FBR produz uma defasagem que aumenta gradativamente ao longo do

tempo de analise. Ja para as amplitudes, os resultados sao praticamente iguais

entre as FBR e MDF.


As figuras 5.25(a) e 5.26(a) mostram eventos instantaneos (snapshots) do

campo de pressao no tempo 0.4s e 1.0s para um meio heterogeneo com grid

equiespacado para a modelagem por MDF e grid intercalado para as FBR.

Ao observar as figuras 5.25(b) e 5.26(b) verifica-se a presenca defasagem.

Tal defasagem so e originada apos multiplas reflexoes nas bordas do modelo.

Outra observacao importante, e a comparacao entre os resultados da modela-

gem utilizando a opcao 1 (Grid Com Variacao Brusca no Espacamento) com a

opcao 2(Grid com Variacao Suave no Espacamento). Nota-se, que o resultado

61

Figura 5.24: (a)-Analise nos intervalos (1-2.5) segundos. (b) - Analise nos intervalos(6-10) segundos.

foi praticamente o mesmo para ambos os grids apresentando uma leve variacao

entre os modelos quando comparados com o MDF.

Ressalta-se que o tempo de processamento utilizando o MDF foi de 4,37s

e com FBR de 3,41s.

Figura 5.25: (a) - Snapshot no tempo 0,4s. (b) - Detalhamento da frente de ondano intervalo [800m, 2000m].

62

Figura 5.26: (a) - Snapshot no tempo 1,0s. (b) - Detalhamento da frente de ondano intervalo [200m, 1000m].

Observa-se no primeiro e segundo exemplos que para um modelo homogeneo com

grid equiespacado e randomico, o tempo de processamento das FRB foi maior do que

o tempo de processamento utilizando o MDF, sendo 21.83% e 7.52% para o primeiro

e segundo exemplos, respectivamente. Verificou-se ainda um pequena defasagem ao

longo de multiplas reflexoes nas bordas do modelo.

O mesmo ocorreu no terceiro exemplo, o qual apresenta modelos heterogeneos

com grid equiespacado, onde tempo de processamento das FBR foi maior que a do

MDF, cerca de 4.34%.

Diferentemente, no quarto exemplo, em que o tempo de processamento das FBR

nos modelos heterogeneos com grid irregular otimizado com espacamento brusco foi

cerca de 16.24% mais rapido e com espacamento suave, 21.96% mais rapido.

Vale destacar que, para esse modelos o numero de pontos do modelo para a FBR

e menor do que a do MDF, conforme as Tabelas do item 5.4. Destaca-se ainda

que a presenca da defasagem foi observada tambem nesses modelos. No entanto,

na otimizacao com grid suave a defasagem foi menor comparado com os demais

exemplos.

63

Capıtulo 6

Conclusoes

Neste trabalho foi desenvolvido a solucao da equacao acustica da onda, para

meios homogeneos e heterogeneos utilizando o Metodo das Diferencas Finitas e as

Funcoes de Base Radial. Todas as equacoes de onda foram derivadas a partir de

aproximacoes desenvolvida em relacao ao campo de pressao de onda P.

Foi desenvolvida a solucao da equacao da onda por FBR, o termo vinculado ao

operador espacial foi discretizado popr funcoes de base radial, enquanto, o operador

temporal foi discretizado pelos operadores de diferencas finitas de 2a ordem.

Os resultados deste estudo demonstraram semelhanca ao MDF, metodo utilizado

como comparacao. Foi observado, ainda, que em todos os exemplos analisados houve

um acrescimo de defasagem entre os resultados do MDF e FBR, o que pode ser

atribuıdo a precisao do calculo dos polinomios que aproximam o parametro otimo

c pelo metodo proposto, uma vez que eles foram utilizados com uma precisao da

ordem 10−3.

As FBR permitiram a criacao de grids com espacamento variavel, que produziram

um ganho no custo computacional em relacao ao MDF para exemplos complexos.

Foi possıvel verificar que tanto utilizando-se aproximacao aleatoria de pontos

como para meio heterogeneo com variacao de propriedades, os resultados apresenta-

ram o mesma diferenca em relacao a fase, mantendo-se a amplitude ao longo

da analise. Alem disso, vale destacar o ganho em relacao numero de pontos no

modelo mais complexo e no tempo de processamento, conforme o exemplo 5.4.3, em

destaque, o grid com variacao suave do espacamento.

Por fim, concluiu-se que a metodologia desenvolvida foi eficiente tanto para

domınios regulares como irregulares para problemas de propagacao de ondas uni-

dimensionais em geofısica.

64

6.1 Trabalhos futuros

Uma vez que a formulacao por FBR obteve bons resultados, pretende-se dar

seguimento as pesquisas efetuadas neste trabalho, principalmente nas seguintes eta-

pas:

• Aprimorar o calculo do parametro otimo melhorando a precisao dos polinomios

interpoladores, com o objetivo de verificar a questao da defasagem;

• Aplicacao para outras funcoes de base radial;

• Aumento da ordem do operador espacial;

• Refinar a malha;

• Problemas 2D e 3D;

• Acoplamento com o MDF.

65

Referencias Bibliograficas

ALFORD, R. M., KEELY, K. R., BOORE, D. M., 1974, “Accuracy of Finite-

Difference Modeling of the Acoustic wave Equation”, Geophysics, v. 39,

pp. 834–842.

ALHURI, Y., TAIK, A., NAJI, A., 2009, “Multiquadric and compactly supported

radial basis functions for shallow water equations”, Geophysics Reseasch,

v. 11.

BARTOLO, L. D., 2010, Modelagem sısmica anisotropica atraves do metodo das

diferencas finitas utilizando sistemas de equacoes em segunda ordem. Tese

de Doutorado, UFRJ, Rio de Janeiro-RJ, Outubro.

BATHE, K. J., 1996, Finite Element Procedures. New Jersey, Prentice Hall.

BERTOLANI, M. N., LOEFFLER, C. F., MENANDRO, F. M., et al., 2010, “De-

sempenho de Funcoes de Base Radial de Suporte Compacto na Constru-

cao de Superfıcies Bidimensionais”, Mecanica Computacional, v. XXIX,

pp. 8503–8519.

BOOR, D., 1972, Finite-Difference Methods for Seismic Wave Propagation in Het-

erogeneous Materials. New York, Academic Press.

BREVE, F. A., 2006, Classificacao de Imagens Tommograficas de Ciencia dos

Solos Utilizando Redes Neurais e Combinacao de Classificadores. Tese de

Mestrado, Universidade Federal de Sao Carlos, Sao Carlos, Fevereiro.

BUHMANN, M. D., 2003, Radial Basis functions: Theory and Implemetantions.

Cambridge University Press.

BUHMANN, M. D., 2000, “A new class of radial basis functions with compact

support”, Mathematics of computation, v. 70, pp. 307–318.

CARR, J., FRIGHT, W., 1997, “Surface Interpolation with radial basis func-

tions for medical imaging”, IEEE transactions on medical imaging, v. 16,

pp. 96–107.

66

CARR, J., BEATSON, R., CHERRIE, J., et al., 2001, “Reconstruction and rep-

resentation of 3D objects with radial basis functions”, ACM New York,

Internatonal Conference onComputer graphics and Interactive Technique,

pp. 1–10.

COHEN, G., JOLY, P., 1990, “fourth order shemes for the heterogeneous acoustics

equation”, Computer methods in applied mechanicsand engeneering, v. 80,

pp. 397–407.

CUNHA, P. E. M., 1997, Estrategias eficientes para migracao reversa no tempo

pre-empilhamento 3-D em profundidade pelo metodo das diferencas finitas.

Tese de Mestrado, UFBA, Salvador-Bahia, Dezembro.

DA CUNHA ROQUE, C. M., 2007, Metodos sem Malha para a Analise de Placas

e casca Compositas. Tese de Doutorado, Faculdade de Engenharia da

Universidade do Porto, Porto.

DEHGHAN, M., SHOKRI, A., 2009, “A meshless method for numerical solution of

the one-dimensional wave equation with an integral condition using radial

basis functions”, Springer Science, v. 52, pp. 461–477.

FAIRWEATHER, G., KARAGEORGHIS, A., 1998, “The method of fundamental

solutions for elliptic boundary value problems”, ADVANCES IN COM-

PUTATIONAL MATHEMATICS, v. 9, pp. 69–95.

FARIA, E. L., 1986, Migracao antes do empilhamento utilizando propagacao reversa

no tempo. Tese de Mestrado, UFBA, Salvador-Bahia, Abril.

FASSHAUER, G. E., ZHAN, J. G., 2000, “On choosing Optimal shape parameters

for RBF approximation”, Mathematics Subject Classification.

FASSHAUER, G. E., 2002, “Newton Iteration with Multiquadrics for the Solution

of Nonlinear PDEs”, Computers and Mathematics with Applications, v. 43,

pp. 423–438.

FERNANDES, M. A. C., NETO, A. D. D., BEZERRA, J. B., 1999, “Aplicacao

das Redes RBF na Detecao Inteligente de sinais Digitais”, IV Congresso

Brasileiro de Redes Neurais, pp. 226–230.

FORNBERG, B., FLYER, N., 2006, “The Gibbs Phenomenon for Radial Basis

Functions”, pp. 1–15.

FORTUNA, A. O., 2000, Tecnicas Computacionais para Dinamica dos Fluidos:

Conceitos Basicos e Aplicacoes. Sao Paulo, Editora Edusp.

67

FRANKE, R., 1982, “Scattered data Interpolation: Tests of Some Methods”,

Mathamatics of Computation, v. 38, pp. 181–199.

GODINHO, L., TADEU, A., 2009, “Um modelo BEM-RBF para a simulacao da

propagacao de ondas acusticas em meios heterogeneos”, Congresso de

Metodos Numericos em Ingenieria.

GODINHO, L., DORS, C., JR., S., et al., 2010, “Solution of time-domain acoustic

wave propagation problems using a RBF interpolation model with ’a pri-

ori’ estimation of the free parameter”, Wave Motion, v. 19, pp. 149–161.

HARDY, R. L., 1971, “Multiquadrics Equations of Topography and Other Irregular

Surface”, Journal of geophysics, v. 176, pp. 1905–1915.

HAYASHI, K., DURNS, D., 1999, “Variable grid finite-difference modeling includ-

ing surface topography”, Massachusetts Institute of Technology.

JIANGANG, Y., RUI, G., YONGWEI, T., 2008, “Hybrid radial basis func-

tion/finite element modelling of journal bearing”, Tribology International,

v. 41, pp. 1169–1175.

KANSA, E. J., 1990, “a scattered data approximation scheme with applications

to computational fluid-dynamics”, Mathamatics of Computation, v. 19,

pp. 149–161.

KANSA, E., HON, Y. C., 2000, “Circumventing the Ill-Conditioning Problem With

Multiquadric Radial Basis Functions: Applications to Elliptic Partial

Differential Equations”, Computers and Mathematics With Applications,

v. 39, pp. 123–137.

KOWALCZYK, P., MROZOWSKI, M., 2005, “Mesh-free approach to Helmholtz

equation based on radial basis functions”, Journal of Telecommunications

and information technology, v. 2, pp. 71–74.

LI, K., HUANG, Q., LIN, L., 2010, “A meshless method for 3-D wave propagation

Problems”, DIPED-2010 Proceedings.

LIN, Y., YUAN, M., 2006, “Convergence rates of compactly supported radial basis

function regularization”, University of Wisconsin-Madison and Georgia

Institute os Technology.

LUCY, L., 1977, “A numerical approach to the testing of the fission hypothesis”,

The astronomical journal, v. 82.

68

MANSUR, W. J., 1983, A Time-Stepping Technique to Solve Wave Propaga-

tion Problems Using the Boundary Element Method. Tese de Doutorado,

UFRJ, Rio de Janeiro-RJ, September.

MARK, J., 1996, “Introduction to Radial Basis Function Network”, Center for

Cognitive Science.

MITCHELL, A. R., 1969, Computational Methods in Partial Differential Equa-

tions. New York, John Wiley and Sons.

MORSE, B., YOO, T., RHEINGANS, P., et al., 2001, “Interpolating Implicit Sur-

faces From Scattered Surface Data Using Compactly supported Radial

Basis Functions”, IEEE Computer Society.

MOUAT, C. T., 2002, “RBF collocation”, Department of Mathematics and Statis-

tics, University of Canterbury, Christchurch, New Zealand, v. 28, pp. 2–

20.

NARDINI, D., BREBBIA, C. A., 1982, “A new approach to free vibration analysis

using boundary elements”, Boundary Element Methods in Engineering,

pp. 312–326.

NUSSENZVEIG, H. M., 2005, 2 Fluidos, Oscilacoes, Onda e Calor. Brasil, Editora

Edgard Blucher.

PARARI, A. E. C., 2004, Modelagem e Visualizacao de Objetos a mao Livre Usando

Superfıcies Implıcitas Variacionais. Tese de Mestrado, UFRJ, Rio de

Janeiro, Junho.

RIPPA, S., 1999, “An algorithm for selecting a good value for the parameter c in

radial basis function interpolation”, Advances in Computational Mathe-

matics, v. 11, pp. 193–210.

ROCCA, A. L., ROSALES, A. H., POWER, H., 2005, “Radial basis function

Hermite collocation approach for the solution of time dependent convec-

tion?diffusion problems”, Engineering Analysis with Boundary Elements,

v. 29, pp. 359–370.

ROSA, A. L. R., 2010, Analise do Sinal Sısmico. Brasil, SBGF.

SAVCHENKO, V., PASKO, A., OKUNEV, O., et al., 1995, “Function representa-

tion of solids reconstructed from scattered surface points and contours”,

computer graphics, v. 14, pp. 181–188.

69

STEAD, S., 1984, “Estimation of gradients from scattered data”, Rocky Mountain

Journal of Mathematics, v. 14, pp. 265–279.

VIRIEUX, J., 1986, “P-SV wave propagation in heterogeneous media: Velocity

stress finite-difference method”, Geophysics, v. 52, pp. 889–901.

WONG, S., Y.C.HON, GOLBERG, M., “Compactly supported radial basis func-

tions for shallow water equations”, School of science and tecnology, Open

University of Hong Kong, pp. 1–28.

WONG, S., HON, Y., M.A, G., 2002, “Compactly Supported Radial Basis Func-

tions for shallow water equations”, Applied Mathematics and Computa-

tion, v. 127, pp. 79–101.

YEI-XING, W., LING, X., XIAO-QIAN, C., 2009, “The radial basis function shape

parameter chosen and its application in engneering”, Collage of Aerospace

and Materials Engineering National University of Defense Technology, pp.

79–84.

ZIENKIEWICZ, O., MORGAN, K., 1983, Finite Elements and Approximation,

2Ed. New York, John Wiley and Sons.

70

Apendice A

Operadores de Diferencas Finitas

• Expansoes em Serie de Taylor

Apresenta-se de forma simples a Serie de Taylor. Supoem-se que uma funcao

f, definida em um intervalo [a,b] de interesse e que possua derivadas ate ordem n

contınuas no intervalo. Assim, a serie de Taylor permite escrever:

f (x±λ4x) =

∞∑n=0

(±λ4x)n f n(x)n!

(A.1)

considerando λ = 1, tem-se:

f (x − ∆x) = f (x) − ∆xd f (x)

dx+

(∆x)2

2!d2 f (x)

dx2 −(∆x)3

3!d3 f (x)

dx3 + ... − O(∆x)n (A.2)

f (x + ∆x) = f (x) + ∆xd f (x)

dx+

(∆x)2

2!d2 f (x)

dx2 +(∆x)3

3!d3 f (x)

dx3 + ... + O(∆x)n (A.3)

Por outro lado, cosiderando λ = 2:

f (x − 2∆x) = f (x) − 2∆xd f (x)

dx+

(2∆x)2

2!d2 f (x)

dx2 −(2∆x)3

3!d3 f (x)

dx3 + ... − O(∆x)n (A.4)

f (x + 2∆x) = f (x) + 2∆xd f (x)

dx+

(2∆x)2

2!d2 f (x)

dx2 +(2∆x)3

3!d3 f (x)

dx3 + ... + O(∆x)n (A.5)

Onde o O(∆n)n representa a ordem do erro local de truncamento.

• Operadores de Diferencas Finitas

71

O Metodo das Diferencas Finitas (MDF) e uma das tecnicas mais aplicadas em

modelagem de ondas.

O MDF pode ser utilizado para resolver problemas de valor de contorno e valor

inicial, envolvendo equacoes diferenciais ordinarias ou parciais. A tecnica consiste

em discretizar o domınio fısico do problema, utilizando-se um grid ou malha (Nuvem

de Pontos) igualmente espacada sobre este domınio.

O objetivo deste metodo numerico consiste na aproximacao das derivadas da

equacao diferencial governante do problema, atraves da expansao truncada da serie

de Taylor.

O Metodo das Diferencas finitas, de acordo com a expansao em Series de Tay-

lor, para valores proximos a um determinado ponto da malha, podem ser obtidas

as expressoes para aproximacao das respectivas derivadas da equacao que rege o

fenomeno. Os operadores de diferencas finitas tem como base a expansao em serie

de Taylor de uma funcao f e o erro cometido pela aproximacao da ordem O().

Supondo que f seja contınua no intervalo [a, b] de interesse e que possua derivadas

contınuas neste intervalo, o Teorema de Taylor permite escrever:

f (x + ∆x) = f (x) + ∆x∂ f (x)∂x

+(∆x)2

2!∂2 f (x)∂x2 +

(∆x)3

3!∂3 f (x)∂x3 +

(∆x)4

4!∂4 f (x)∂x4 + · · ·+ O(∆xr)

(A.6)

e

f (x−∆x) = f (x)−∆x∂ f (x)∂x

+(∆x)2

2!∂2 f (x)∂x2 −

(∆x)3

3!∂3 f (x)∂x3 +

(∆x)4

4!∂4 f (x)∂x4 − · · ·+ O(∆xr)

(A.7)

Onde O(∆xr) representa a ordem r do erro local de truncamento das series.

Para obter entao aproximacoes para a derivada primeira de f pode-se por exemplo,

extrair diretamente de (A.6) e (A.7), tal que:

∂ f (x)∂x

=f (x + ∆x) − f (x)

∆x+ O(∆x) (A.8)

e

∂ f (x)∂x

=f (x) − f (x − ∆x)

∆x+ O(∆x) (A.9)

sendo que (A.9) representa o operador de diferencas progressivas (forward differ-

ences) e A.8 diferencas atrasadas (backward diffrerences), ambos com erro de 1o or-

dem. Caso se deseje obter um operador de segunda ordem para a primeira derivada,

72

deve-se combinar as expressoes (A.6) e (A.7) de forma a eliminar a segunda derivada

de f . Bastando para isso subtrair as duas expressoes e explicitar a primeira derivada

omitindo o termo relacionado a ordem do erro. Com isto, chega-se ao seguinte op-

erador de diferencas centrais (central differences):

∂ f (x)∂x

=f (x + ∆x) − f (x − ∆x)

2∆x(A.10)

Ainda utilizando as expansoes (A.6) e (A.7), pode-se combina-las para que a

primeira derivada de f seja eliminada, assim obtendo um operador de segunda or-

dem para a segunda derivada. Esse procedimento e feito de modo semelhante ao

caso anterior, mas somando-se as duas expansoes, chegando-se a:

∂2 f (x)∂x2 =

f (x + ∆x) − 2 f (x) + f (x − ∆x)(∆x)2 (A.11)

Para obter um operador de quarta ordem, basta aplicar a derivada segunda na

expressao (A.11), talque:

∂2

∂x2

(∂2 f (x)∂x2

)=∂2 f (x + ∆x)

∂x2 − 2∂2 f (x)∂x2 +

∂2 f (x − ∆x)∂x2 (A.12)

onde

∂2 f (x + ∆x)∂x2 =

f (x + 2∆x) − 2 f (x + ∆x) + f (x)(∆x)2 (A.13)

∂2 f (x)∂x2 =

f (x + ∆x) − 2 f (x) + f (x − ∆x)(∆x)2 (A.14)

∂2 f (x − ∆x)∂x2 =

f (x) − 2 f (x − ∆x) + f (x − 2∆x)(∆x)2 (A.15)

Substituindo as expressoes (A.13), (A.14) e (A.15) em (A.12) obtem-se o seguinte

operador, de quarta ordem.

∂2 f (x)∂x2 =

112(∆x)2

[f (x + 2∆x) − 16 ( f (x + ∆x) + f (x − ∆x)) − 30 f (x) + f (x − 2∆x)

](A.16)

73

Apendice B

Formulacao da Equacao da Onda

Acustica em termos de Pressao

A equacao acustica da onda pode ser deduzida baseada na teoria acustica, onde a

lei de Hooke estabelece uma relacao entre pressao e variacao volumetrica NUSSEN-

ZVEIG (2005).

P = −k(∇.−→u ) (B.1)

onde P=P(x,z,t) e a variacao da pressao em relacao a pressao ambiente, k=k(x,z)

e o modulo de compressao adiabatico do meio e −→u =−→u (x,z,t) e o vetor deslocamento

das partıculas.

Pode-se relacionar a variacao da pressao com a aceleracao da partıcula atraves

da segunda lei de Newton:

ρ∂2

∂x2−→u = −∇P (B.2)

onde ρ=ρ(x,z,t) e a densidade do meio. Derivando-se a expressao B.2 em relacao

ao tempo, tem-se que:

∂2

∂t2 P = −k[∂2

∂t2 (∇.−→u )] (B.3)

invertendo os operadores de derivacao na equacao B.3, tem-se:

∂2

∂t2 P = −k[∇.(∂2

∂t2−→u )] (B.4)

sendo que, pode-se assumir a segunda lei de Newton, representada pela B.2 na

expressao B.4, obtendo-se:

∂2

∂t2 P = −k[∇.(−1ρ∇ρ)] (B.5)

74

feito isso, pode-se resolve-la em termos do divergente. Atraves destas operacoes,

chega-se a equacao B.6:

∂2

∂t2 P = k[∇(1ρ

).∇P +1ρ∇.∇P] (B.6)

Sendo que, pela lei de Leibnis, o gradiente de 1/ρ e dado pela expressao B.7:

∇1ρ

= −∇ρ

ρ2 (B.7)

Substituindo B.7 em B.6, tem-se que:

∂2

∂t2 P = k[∇ρ

ρ2 .∇P +1ρ∇.∇P] (B.8)

Sabendo que o modulo acustico k=ρc2 e substituindo na equacao B.8, obtem-se

a expressao:

∂2

∂t2 P = ρc2[∇ρ

ρ2 .∇P +1ρ∇.∇P] (B.9)

Eliminando os termos comuns e reorganizando a equacao B.9, tem-se:

1c2

∂2

∂t2 P = [∇ρ

ρ.∇P + ∇.∇P] (B.10)

Sendo que ∇.∇P=∇2P, pode-se substituir na equacao B.10.

∇2P −1ρ∇ρ.∇P =

1c2

∂2P∂t2 (B.11)

Considerando a densidade constante, o segundo termo da equacao B.11 torna-se

nulo. Logo, tem-se que a equacao B.11 transforma-se em:

∇2P =1c2

∂2P∂t2 (B.12)

Que e justamente a Equacao Acustica da Onda com densidade constante em

termos de Pressao.

75

metodologia para a modelagem s ismica utilizando …

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