UNIVERSIDADE FEDERAL DA BAHIA

INSTITUTO DE GEOCIENCIAS

CURSO DE GRADUACAO EM GEOFISICA

GEO213 – TRABALHO DE GRADUACAO

MODELAGEM E MIGRACAO DE DADOS

SISMICOS UTILIZANDO OPERADORES

DIFERENCIAIS EXPLICITOS E IMPLICITOS

NEI DAVI COSTA FIGUEIREDO

SALVADOR – BAHIA

Julho – 2009

Modelagem e migração de dados sísmicos utilizando operadores diferenciais

explícitos e implícitos

por

Nei Davi Costa Figueiredo

GEO213 � TRABALHO DE GRADUAÇÃO

Departamento de Geologia e Geofísica Aplicada

do

Instituto de Geociências

da

Universidade Federal da Bahia

Comissão Examinadora

Dr. Reynam da Cruz Pestana - Orientador

Dra. Jacira Cirstina Batista de Freitas

Dr. Raimundo Mesquita

Data da aprovação: 06/07/2009

A Deus,

minha famılia, amigos

e aos irmaos no Senhor.

RESUMO

Este trabalho tem o objetivo de realizar a modelagem e a migracao sısmicas, utilizando

a equacao escalar completa da onda, em modelos simples e complexos. Como parte desse

objetivo, foram utilizados operadores diferenciais explıcitos e implıcitos na aproximacao das

derivadas parciais presentes na equacao da onda. Utilizamos na geracao de sismogramas

sinteticos e na migracao de secoes de afastamento nulo os metodos de diferencas-finitas de

quarta ordem, pseudo-espectral, operador diferencial convolucional e implıcito, para calculo

de derivadas espaciais. Em todos os resultados aqui apresentados foi usado o operador dife-

rencas-finitas de segunda ordem na aproximacao da derivada temporal presente na equacao

da onda.

A modelagem sısmica foi realizada em um modelo simples de tres camadas e em um

modelo mais complexo de intrusao salina, enquanto a migracao reversa no tempo de secoes

de afastamento nulo foi realizada em um modelo de velocidade constante com refletores

inclinados e no modelo do domo SEG-EAGE. Com relacao ao modelo dos refletores inclinados

com velocidade constante, variamos o afastamento entre os tracos visando avaliar o efeito

da dispersao numerica apresentado pelos diferentes operadores diferenciais. Como resultado

dos experimentos numericos realizados foi observado que os operadores diferenciais utilizados

sao eficazes na representacao de eventos de interesse nas secoes de tiro comum e nas secoes

migradas. Alem disso, os resultados aqui expostos demonstram que os operadores implıcitos

apresentam menor dispersao numerica quando comparado com o operador diferencas-finitas.

iii

ABSTRACT

In this work we carry out seismic modeling and migration using the scalar wave equation

for simple and complex models. As part of our objective, we tested explicit and implicit dif-

ferentiate operators to approximate the second order spatial derivatives present in the wave

equation. We generated synthetic seismograms and applied zero-offset reverse time migra-

tion using the fourth-order finite-difference scheme, pseudo-spectral method, convolutional

operator and implicit method to compute the spatial derivatives. For the time derivative,

we used the second order finite-difference scheme for all examples shown in this work.

The seismic modeling was made using a simple model with three layers and also with

a complex salt intrusion model. The zero-offset reverse time migration was applied in a

constant velocity model with reflectors with different dips and for the very well known SEG-

EAEG salt model. The results obtained with this work show the applicability of the explicit

and implicit operators for seismic modeling problem and the reverse time migration of the

dip reflectors dataset shows that the numerical dispersion can be reduced with respect to

schemes based on finite-differences.

iv

INDICE

RESUMO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iii

ABSTRACT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iv

INDICE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . v

INDICE DE FIGURAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . vii

INTRODUCAO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

CAPITULO 1 Conceitos fundamentais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.1 Processamento CMP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.1.1 Aquisicao de dados sısmicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.1.2 Nocoes sobre NMO, analise de velocidades e empilhamento . . . . . . 4

1.2 O modelo do refletor explosivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.3 Modelagem sısmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.3.1 Modelagem de grupos de tiro e de secoes de afastamento nulo . . . . 10

1.4 Migracao sısmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.4.1 Metodos de migracao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.4.2 Migracao reversa no tempo - RTM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

CAPITULO 2 Equacoes fundamentais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.1 Equacao escalar da onda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.2 Operadores diferenciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.2.1 Metodo de diferencas-finitas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.2.2 Metodo pseudo-espectral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.2.3 Operador diferencial convolucional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

2.2.4 Operadores espaciais implıcitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

CAPITULO 3 Aplicacao dos operadores diferenciais para modelagem

e migracao de dados sinteticos . . . . . . . . . . . . . . . . 38

3.1 Introducao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

3.2 Migracao reversa no tempo de secoes de afastamento nulo - Modelo de velo-

cidade constante com refletores inclinados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

3.3 Modelagem de secoes de tiro comum - Modelo de 3 camadas . . . . . . . . . 42

3.4 Modelagem de secoes de tiro comum - Modelo do domo . . . . . . . . . . . . 45

v

3.5 Migracao reversa no tempo de secoes de afastamento nulo - Modelo do domo

SEG-EAGE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

CAPITULO 4 Conclusoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

Agradecimentos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

APENDICE A Aproximacao de segunda e quarta ordens para a segunda

derivada utilizando o metodo de diferencas-finitas . . . . 57

Referencias Bibliograficas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

vi

INDICE DE FIGURAS

1.1 Geometria de aquisicao para (a) fonte comum, (b) receptor comum, (c) afas-

tamento comum e (d) ponto medio comum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.2 Representacao do CMP de um par fonte-receptor . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.3 Familia CMP oriunda da geometria sugerida na Figura 1.2 . . . . . . . . . . 6

1.4 Correcao NMO usando equacao 1.2. Antes (a) e depois (b) da correcao. . . . 6

1.5 (a) Famılia CMP cuja velocidade da hiperbole de reflexao e 4000 m/s; (b)

Famılia CMP corrigida de NMO com velocidade adequada; (c) Sobrecorrecao

devido a baixa velocidade; (d) Subcorrecao devido a alta velocidade. . . . . . 8

1.6 (a) Geometria de afastamento nulo e (b) modelo do refletor explosivo. . . . . 9

1.7 Secao em tempo de refletor inclinado onde θ e a inclinacao do refletor, A e o

primeiro e B e o ultimo indıcio de incidencia normal . . . . . . . . . . . . . . 11

1.8 Secao migrada do refletor inclinado onde θr e a inclinacao real do refletor . . 11

12

1.10 Hiperbole de difracao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.11 Colapso de difracao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.12 Cubos ilustrativos da construcao da secao migrada utilizando (a) extrapolacao

em profundidade e (b) extrapolacao em tempo reverso. . . . . . . . . . . . . 16

2.1 Esquema de pontos com campo de pressao conhecido requeridos para o ope-

radores de segunda (a) e quarta (b) ordens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

22

2.3 Curvas de dispersao no metodo de diferencas-finitas para diferentes valores de

alfa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.4 Curvas de dispersao no metodo de Fourier para diferentes valores de alfa . . 28

2.5 Filtro convolucional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

2.6 (a)Filtro convolucional truncado e (b) janela de truncamento . . . . . . . . . 32

2.7 Curvas de dispersao para comparacao do metodo implıcito com outros opera-

dores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

3.1 (a) Modelo dos refletores inclinados, (b) secao de afastamento nulo do modelo

dos refletores inclinados, secoes migradas para o modelo dos refletores inclina-

dos com afastamento entre tracos de 20 metros usando (c) operador implıcito

(2 − 1) e (d) operador implıcito (3 − 1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

vii

3.2 Secoes migradas para o modelo dos refletores inclinados com afastamento en-

tre tracos de 20 metros usando (a) diferencas-finitas de quarta ordem, (b)

operador convolucional com 7 coeficientes e (c) pseudo-espectral . . . . . . . 40

3.3 Secoes migradas para o modelo dos refletores inclinados com afastamento en-

tre tracos de 10 metros usando (a) operador implıcito (2 − 1), (b) operador

implıcito (3− 1), (c) diferencas-finitas de quarta ordem e (d) operador convo-

lucional com 7 coeficientes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

3.4 Secao migrada para o modelo dos refletores inclinados com afastamento entre

tracos de 10 metros usando operador pseudo-espectral . . . . . . . . . . . . . 42

3.5 Modelo de 3 camadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

3.6 Famılia de tiro comum utilizando o operador implıcito dos tipos (a) (2− 1) e

(b) (3 − 1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

3.7 Famılia de tiro comum utilizando o operador convolucional com (a) 3 coefici-

entes e com (b) 5 coeficientes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

3.8 Famılia de tiro comum utilizando o operador convolucional com (a) 7 coefici-

entes e o (b) operador pseudo-espectral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

3.9 Modelo do domo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

3.10 Famılia de tiro comum utilizando o operador implıcito dos tipos (a) (2− 1) e

(b) (3 − 1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

3.11 Famılia de tiro comum utilizando o operador convolucional com (a) 3 coefici-

entes e com (b) 5 coeficientes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

3.12 Famılia de tiro comum utilizando o operador convolucional com (a) 7 coefici-

entes e o (b) operador pseudo-espectral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

3.13 Modelo do domo - SEG-EAGE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

3.14 Secao de afastamento nulo do domo - SEG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

3.15 Secao migrada utilizando operador implıcito do tipo (2 − 1) . . . . . . . . . 50

3.16 Secao migrada utilizando operador implıcito do tipo (3 − 1) . . . . . . . . . 50

3.17 Secao migrada utilizando operador diferencas-finitas de quarta ordem . . . . 51

3.18 Secao migrada utilizando operador convolucional com 7 coeficientes . . . . . 51

3.19 Secao migrada utilizando operador pseudo-espectral . . . . . . . . . . . . . . 52

viii

INTRODUCAO

A geofısica e uma ciencia que reune conceitos empregados em Fısica, Matematica

aplicada e Geologia. Entretanto, apesar da multi-disciplinaridade na qual se enquadra, a

Geofısica e uma ciencia em si mesma e e responsavel pelo desenvolvimento de metodo-

logias para investigacao da subsuperfıcie. Com esse objetivo, diversos metodos geofısicos

(Magnetico, Eletrico, Eletromagnetico e Sısmico) sao utilizados para obtencao de informacoes

dos alvos exploratorios atraves de equipamentos adequados para realizacao das medidas.

Na sısmica de reflexao o meio fısico e excitado atraves de fontes artificiais de energia. A

energia da fonte se propagaga atraves do meio e, ao encontrar interfaces que separam meios

com diferentes valores de impedancia, parte dela e refletida e parte e transmitida. A fracao

refletida da energia e registrada em receptores que medem o tempo de percurso e a amplitude

da energia propagante. Esse registro e representado por tracos sısmicos que nada mais sao do

que funcoes temporais resultantes da convolucao do pulso que deu origem a propagacao com

a funcao refletividade da Terra. Entretanto, em dados reais os tracos sısmcos trazem consigo

ruıdos que prejudicam a visualizacao dos refletores nas estruturas em subsuperfıcie. Logo, e

necessario que o dado adquirido em uma campanha de aquisicao sısmica seja devidamente

tratado. O resultado, de acordo com o fluxograma convencional no processamento CMP, e a

secao empilhada. A secao empilhada nos permite ter nocao do posicionamento dos refletores

nos quais a energia da fonte foi refletida e captada pelos canais espalhados na superfıcie de

aquisicao. Atraves dela uma interpretacao e proposta e, baseado nessa interpretacao, um

modelo geologico e concebido.

Entretanto, na secao empilhada a posicao dos refletores nao e necessariamente represen-

tada como eles de fato estao em subsuperfıcie. Para resolver esse problema foi desenvolvido

um procedimento denominado migracao sısmica, que tem como objetivo principal reposicio-

nar os refletores mediante o colapso das difracoes. Agora, com uma secao mais confiavel, um

modelo geologico mais preciso pode ser concebido. Depois de tudo isso, convem investigar a

veracidade do modelo proposto atraves da geracao de sismogramas sinteticos. Tal processo

e denominado de modelagem sısmica.

A modelagem consiste na propagacao direta do campo de ondas em um modelo de

velocidades. Tal propagacao e feita atraves de metodos numericos e os sismogramas gerados

podem ser secoes de tiro comum e de afastamento comum, inclusive afastamento nulo. Um

dos objetivos deste procedimento e testar algoritmos de processamento sısmico e, conforme

citado acima, validar modelos em profundidade para auxiliar interpretes de dados geofısicos

1

2

na exploracao de oleo e gas. Tanto na modelagem quanto na migracao a equacao da onda e

utilizada na construcao dos algoritmos.

Neste trabalho utilizamos operadores diferenciais explıcitos e implıcito para resolver

a equacao da onda. Para a derivada temporal presente na referida equacao utilizamos a

aproximacao por diferencas-finitas de segunda ordem e usamos quatro operadores diferenciais

distintos para aproximacao das derivadas espaciais presentes na mesma equacao. Sao eles:

diferencas-finitas de quarta ordem (Alford, Kelly e Boore, 1974), pseudo-espectral (Kosloff e

Baysal, 1982), convolucional com 3, 5 e 7 coeficientes (Zhou e Greenhalgh, 1992) e implıcito

com dois e tres coeficientes (Kosloff, Pestana e Tal-Ezer, 2008; Figueiredo, Pestana e Kosloff,

2009). Testamos a validade dos operadores na geracao de sismogramas sinteticos em dois

modelos - o modelo de tres camadas e o modelo do domo. Alem disso, atraves da utilizacao

dos mesmos operadores, realizamos a migracao de secoes de afastamento nulo referentes ao

modelo de velocidade constante com refletores inclinados e modelo do domo SEG-EAGE.

Convem enfatizar que nosso objetivo e demonstrar a aplicabilidade dos referidos operadores

na modelagem e migracao sısmicas em modelos simples e complexos.

CAPITULO 1

Conceitos fundamentais

O objetivo da investigacao geofısica e extrair informacoes da Terra atraves de medidas

das suas propriedades fısicas. Em sısmica, mediante excitacao do meio fısico, os tempos

de percurso e a amplitude da energia sısmica propagante (onda sısmica) sao registrados em

canais receptores na forma de tracos sısmicos. Esses tracos sao submetidos a um fluxograma

de processamento com o objetivo de aumentar a razao sinal/ruıdo do dado e fornecer uma

imagem da subsuperfıcie. Neste capıtulo apresentaremos de maneira abreviada nocoes da

tecnica CMP (Common Mid Point), cujo resultado final e a secao sısmica empilhada. Discu-

tiremos tambem a modelagem e a migracao sısmicas para que possamos ter um entendimento

adequado a respeito do proposito dessas tecnicas.

1.1 Processamento CMP

1.1.1 Aquisicao de dados sısmicos

Uma secao sısmica e o resultado de varios experimentos de excitacao do meio a ser inves-

tigado. Esses experimentos sao realizados da seguinte maneira: o meio e excitado por um

pulso sısmico, gerado por um fonte de energia artificial, que se propaga como ondas atraves

das diversas camadas rochosas da Terra. A resposta do meio a excitacao criada e registrada

em canais receptores espalhados ao longo da superfıcie de aquisicao de acordo com diversos

arranjos geometricos (split - spread, end - on, etc.).

O sinal sısmico e registrado na superfıcie como uma serie temporal chamada de traco

sısmico. O grupo de tracos gravados pelos receptores para um determinada fonte e chamado

de famılia de tiro comum (Figura 1.1a). Apos os dados serem adquiridos conforme descrito,

podemos organizar os tracos da forma que for mais conveniente. Por exemplo, podemos

organizar os tracos gravados em um grupo de receptor comum e teremos uma famılia de

receptor comum (Figura 1.1b). Tambem podemos organizar todos os tracos gravados com

distancia entre fonte e receptor fixa, a famılia de afastamento comum (Figura 1.1c). Final-

mente, podemos ordenar os tracos de acordo com o ponto medio entre fonte e receptor, e,

assim, obter a famılia de ponto medio comum ou CMP (Figura 1.1d).

3

4

Superfície

Refletor

(a)

Superfície

Refletor

(b)

Superfície

Refletor

(c)

Superfície

Refletor

(d)

Figura 1.1: Geometria de aquisicao para (a) fonte comum, (b) receptor comum, (c)

afastamento comum e (d) ponto medio comum

A geometria de aquisicao mais simples seria a de afastamento nulo (fonte e receptor

colocados na mesma posicao), pois terıamos incidencia normal nas interfaces refletoras planas

e coincidencia de trajetorias ascendentes e descendentes. Entretanto, esse tipo de aquisicao

e operacionalmente complicada. Entretanto, apesar de inviavel na pratica, o modelo de

afastamento nulo e muito importante no processamento sısmico e da suporte ao modelo do

refletor explosivo, que sera discutido adiante.

1.1.2 Nocoes sobre NMO, analise de velocidades e empilhamento

No processamento CMP trabalha-se com os dados agrupados em famılias de ponto medio

comum. Nestas famılias temos a representacao do mesmo ponto em subsuperfıcie amostrado

diversas vezes para diversos afastamentos, conforme sugere a Figura 1.1d. Considerando

refletores planos, o efeito do afastamento aparece como um atraso no tempo de percurso da

energia sısmica. A Figura 1.2 e excelente para entendermos o efeito do afastamento sobre o

tempo de percurso, de onde podemos concluir que:

SDG2

= SG2+ (2MD)2

(vT (x))2 = x2 + (2vT ′(0))2

T (x)2 = T (0)2 + (x

v)2, (1.1)

onde x e a distancia entre fonte e receptor, v e a velocidade do meio acima da interface

refletora e T (0) e o tempo duplo ao longo da trajetoria MD.

5

SG

M

S’

D

2MD

x

Figura 1.2: Representacao do CMP de um par fonte-receptor

A equacao 1.1 descreve um hiperbole no plano x − T (x). Logo, sabendo que todos

os tracos de uma famılia CMP para refletores planos contem uma reflexao cuja origem e o

mesmo ponto em profundidade (Figura 1.1d) , podemos afirmar que o efeito do afastamento

visto nas famılias CMP e o carater hiperbolico das reflexoes descritas pela equacao (1.1). E

necessario corrigir esse efeito pois o nosso objetivo e obter uma representacao de uma secao

em tempo para a geometria de aquisicao mais simples, a geometria de afastamento nulo.

Assim, a diferenca entre o tempo de percurso que a energia leva para ser medida no receptor

[T (x)] e o tempo duplo da incidencia normal no afastamento nulo [T (0)], e chamada de NMO

(Normal Move-Out). Portanto, a correcao de NMO envolve calculo dos tempos de percurso

em afastamentos nulo (T (0)) e nao-nulos (T (x)) nas famılias CMP.

Vejamos como esse calculo ocorre. Consideremos um dado sısmico associado a geometria

sugerida na Figura 1.2, que foi gerado com afastamento entre fonte e receptores variando de

100 a 6000 metros, intervalo entre tracos de 50 metros e velocidade do meio de 4000 m/s.

Essa famılia CMP no domınio x− T (x) e mostrada na Figura 1.3.

Mediante analise da Figura 1.3, percebemos que o tempo duplo de incidencia normal e

o menor tempo na famılia CMP e, alem disso, o valor T (x) pode ser obtido mediante leitura

do grafico plotado. Portanto, dessa maneira a velocidade pode ser calculada com o auxılio da

equacao (1.1). Assim, desde que a velocidade de NMO seja estimada, os tempos de percurso

podem ser corrigidos para remover a influencia do afastamento e horizontalizar as hiperboles

(Figura 1.4).

6

T (0)

T (x)

xOffset (m)

t (s)

Figura 1.3: Familia CMP oriunda da geometria sugerida na Figura 1.2

T (0)

T (x)

xOffset (m)

t (s)

Δtnmo

( a )

Offset (m)

t (s)

( b )

Figura 1.4: Correcao NMO usando equacao 1.2. Antes (a) e depois (b) da correcao.

A equacao que descreve essa correcao e:

∆Tnmo = T (x) − T (0)

= T (0)

[

1 +

(

x

vnmoT (0)

)2]

1

2

− 1

(1.2)

7

Depois de aplicada a correcao NMO aos tracos das famılias CMP, eles sao somados

para gerar um unico traco empilhado que traz informacoes de um determinado ponto em

profundidade. A amplitude do traco empilhado e dividida pelo numero de tracos somados,

logo nao ha aumento de amplitude no empilhamento e ha aumento na razao sinal/ruıdo.

Seguindo o procedimento acima descrito, cada famılia CMP gera um unico traco empilhado

e quando os tracos gerados pelo empilhamento de cada famılia CMP sao colocados juntos,

temos a secao empilhada.

A secao empilhada representa o modelo em profundidade, entretanto possui algumas

limitacoes na presenca de estruturas geologicas mais complexas:

• Os mergulhos dos refletores representados na secao empilhada nao sao fidedignos.

• Antiformes aparecem muito abertas e sinformes muito estreitas.

• Presenca de hiperboles de difracao que diminuem a qualidade da imagem.

A secao empilhada sera tao melhor quanto forem as velocidades escolhidas para ho-

rizontalizar as hiperboles nas famılias CMP. Por exemplo, se tomarmos a famılia CMP da

Figura 1.3 e utilizarmos na correcao NMO uma velocidade menor que a velocidade do meio,

a hiperbole nao sera horizontalizada e teremos sobrecorrecao (Figura 1.5 c). Por outro lado,

se utilizarmos velocidade maior que a velocidade do meio teremos subcorrecao (Figura 1.5

d). Portanto, a correcao NMO e aplicada a famılias CMP usando valores constantes de

velocidade na equacao 1.2. A velocidade que melhor se ajusta a hiperbole de reflexao e a ve-

locidade que melhor aplica a correcao NMO, sendo esta a base para a analise de velocidades

convencional (Figura 1.5).

Uma outra maneira de fazer analise de velocidades e atraves de uma secao de coerencia

(semblance). Para um faixa de valores dos parametros T (0) e v da equacao (1.2) e cons-

truıda uma funcao bidimensional, usando a formula de coerencia semblance (equacao 1.3).

Na secao de coerencia, localizamos os pontos de maximo local, que correspondem a eventos

hiperbolicos. Os maximos locais dessa secao correspondem ao tempo de afastamento nulo,

T (0), e a velocidade de NMO, vnmo. Logo, com o auxılo do semblance, podemos mapear as

velocidades que melhor se ajustam as hiperboles de reflexao na secao CMP e horizontaliza-las

como e devido. Quanto melhor a determinacao das velocidades na analise de velocidade, me-

lhor sera a secao empilhada resultante. Alem de uma analise de velocidades adequada, uma

outra ferramenta para melhorar a secao empilhada e a migracao sısmica que sera discutida

adiante.

S(t0, v) =

∑

[∑

h U(t(h), h)]2

n∑ ∑

h[U(t(h), h)]2(1.3)

onde t(h) =√

t20 + (2h/v)2.

8

( a )

Offset (m)

t (s)

Offset (m)

t (s)

( b )

( c )

Offset (m)

t (s)

( d )

Offset (m)

t (s)

Figura 1.5: (a) Famılia CMP cuja velocidade da hiperbole de reflexao e 4000 m/s;

(b) Famılia CMP corrigida de NMO com velocidade adequada; (c) So-

brecorrecao devido a baixa velocidade; (d) Subcorrecao devido a alta

velocidade.

9

1.2 O modelo do refletor explosivo

Conforme visto anteriormente, a secao sısmica e o resultado de varios experimentos fısicos

de campo. Entretanto, sao utilizados diversos algoritmos de modelagem de secoes de afas-

tamento nulo e migracao sısmica que utilizam a solucao da equacao da onda no processo de

obtencao da imagem. Neste ponto surge um questionamento: como justificar a utilizacao da

equacao na modelagem e migracao de secoes de afastamento nulo se tais secoes nao corres-

pondem a um fenomeno fısico unico de propagacao? Esta resposta foi dada por Loewenthal,

Lu, Robertson e Sherwood (1976) atraves do modelo do refletor explosivo.

Sabendo que a referida secao simula o registro de acordo com a geometria de aquisicao

de afastamento nulo e que a energia propagante neste caso percorre caminhos iguais de

ida e volta, devido a incidencia normal nas interfaces refletoras (Figura 1.6 a), o modelo

do refletor explosivo considera as fontes posicionadas nos refletores, onde sao detonadas

simultaneamente no tempo t = 0. Ou seja, no referido modelo, a secao sısmica empilhada e

vista como resultado de um experimento fısico unico no qual a energia se propaga a partir

dos refletores e e registrada na superfıcie como um campo de pressao P (x, z = 0, t)(Figura

1.6 b).

Superfície

Refletor

(a)

Superfície

Refletor

(b)

Figura 1.6: (a) Geometria de afastamento nulo e (b) modelo do refletor explosivo.

Logo, a partir dessas informacoes, podemos tirar as seguintes conclusoes com relacao

ao modelo do refletor explosivo:

• Para que haja coincidencia de tempos de propagacao com os tempos duplos nas secoes

sısmicas empilhadas as velocidades devem ser divididas por 2.

• No modelo do refletor explosivo consideram-se somente as ondas ascendentes.

1.3 Modelagem sısmica

A modelagem sısmica e essencialmente uma simulacao do campo de ondas sısmicas, onde

sao determinadas as amplitude sısmicas e o tempo de percurso. O ingrediente principal do

10

processo de modelagem e a extrapolacao do campo de onda em um tempo t e registro da

secao sısmica em z = 0 (superfıcie). Essa extrapolacao e realizada atraves da equacao da

onda. Sao numerosos os objetivos da modelagem sısmica. Entre eles podemos destacar a

geracao de dados sinteticos para testar algoritmos e o entendimento de fenomenos estruturais

ou estratigraficos de interesse em exploracao.

Existem diversas tecnicas de modelagem sısmicas: ha as que sao baseadas na integral

de Kirchhoff (Hilierman, 1970), diferencas-finitas (Alford, Kelly e Boore, 1974) e domınio

f − k (Sherwood et al., 1983). Convem enfatizar que os algoritmos baseados na equacao

acustica da onda sao convenientes para modelagens estruturais, os algoritmos baseados na

equacao elastica da onda sao convenientes para modelagem estratigrafica detalhada, modela-

gem baseada na equacao uni-direcional da onda nao inclui multiplas e modelagem utilizando

equacao completa da onda inclui multiplas (Yilmaz, 1987).

1.3.1 Modelagem de grupos de tiro e de secoes de afastamento nulo

Na modelagem de grupos de tiro a simulacao e do tipo bi-direcional, logo as famılias modela-

das nao contem apenas eventos primarios, mas tambem contem multiplas. Assim, podemos

afirmar que famılias de tiro sao campos de onda modelados. No caso de modelagem de secoes

de afastamento nulo o modelo do refletor explosivo e utilizado em uma propagacao do tipo

uni-direcional e as secoes geradas podem ser utilizadas para testar algoritmos de migracao

pos-empilhamento.

Modelando famılias de tiro podemos organiza-las em famılias CMP e, consequente-

mente, tambem podemos gerar secoes empilhadas. Entretanto, ha uma diferenca entre a

secao de afastamento nulo modelada usando o modelo do refletor explosivo e a secao gerada

a partir de tiros modelados. Para o modelo do refletor explosivo a modelagem e feita me-

diante utilizacao da equacao uni-direcional da onda, logo multiplas nao sao representadas.

No caso da modelagem de secoes de tiro e posterior construcao da secao empilhada, por

usar a equacao bi-direcional da onda, sao incluıdos eventos primarios e multiplas (Yilmaz,

1987).Visto que trata-se de modelagem do campo de ondas, nao apenas modelagem de tempo

de percurso, as famılias de tiro, as famılias CMP e a secao empilhada contem as difracoes

causadas pelas descotinuidades dos refletores no modelo em profundidade.

1.4 Migracao sısmica

Na secao empilhada a representacao dos eventos em subsuperfıcie parte do pressuposto de

que a incidencia normal resultante da geometria de afastamento nulo se da em refletores

planos e paralelos. Todavia, a Terra nao e constituıda apenas por camadas plano-paralelas.

Pelo contrario, na etapa da exploracao geofısica nao sao raras as vezes que nos deparamos

11

com fatores geologicos mais complexos, como grandes mergulhos, falhas e dobras. Portanto,

na maioria das vezes, uma secao empilhada de acordo com o modelo do refletor explosivo,

como uma amostragem do campo de pressao na superfıcie, P (x, z = 0, t), nao representa

fidedignamente o modelo em profundidade, P (x, z, t = 0).

0

A B

C

D

x

t

Figura 1.7: Secao em tempo de refletor inclinado onde θ e a inclinacao do refletor,

A e o primeiro e B e o ultimo indıcio de incidencia normal

Para facilitar o entendimento, consideremos o refletor inclinado na secao em tempo da

Figura 1.7. E notorio que um dos motivos pelo qual a secao empilhada nao representa bem

o modelo em profundidade, para o caso de refletores com mergulho, e que os segmentos AC

e BD sao tratados como se fossem de incidencia normal. Assim, a reflexao da secao em

tempo (CD) nao esta na sua verdadeira posicao. Dessa forma, a migracao sısmica tem como

objetivo fazer um mapeamento do domınio x− t para o domınio x− z (Figura 1.8).

, t

Figura 1.8: Secao migrada do refletor inclinado onde θr e a inclinacao real do refletor

12

Atentando para o exposto na figura 1.8 e considerando um meio de velocidade constante,

para que os eixos t e z sejam intercambiaveis (Yilmaz, 1987) devemos fazer as seguintes

consideracoes:

v =vreal

2

v = 1 → t = z

Logo, podemos afirmar que:

• O angulo do refletor no modelo em profundidade e maior ou igual que na secao em

tempo - θr ≤ θ. Assim, a migracao torna o refletor mais ıngreme.

• O comprimento do refletor no modelo em profundidade e menor ou igual que na secao

em tempo, ou seja, a migracao encurta o refletor.

Alem do falseamento do mergulho ha outra razao para as discrepancias na secao empi-

lhada: o espalhamento da energia por difracao. O efeito deste fenomeno na secao em tempo

e muito bem ilustrado pela abordagem feita em torno do exemplo ilustrativo da Figura 1.9.

Figura 1.9: Barreira portuaria, adaptado de Claerbout (1985).

Podemos descrever o ocorrido na Figura 1.9 da seguinte forma: uma onda plana se

propaga no oceano e incide sobre uma barreira portuaria com descontinuidade no ponto P ;

ao atingir o ponto de descontinuidade a energia e espalhada, propagando-se em frentes de

onda semi-esfericas ate ser registrada na areia da praia (z = 0), onde estao posicionados

receptores. Considerando que os receptores sao igualmente espacados podemos afirmar que

a energia propagante sera registrada primeiramente em (x3, z0) e depois em (x2, z0) e (x1, z0),

13

nessa ordem. E, obviamente, o registro nas coordenadas (x2, z0) e (x4, z0) ocorrera simul-

taneamente, ocorrendo o mesmo com o registro em (x1, z0) e (x5, z0). Assim, se plotarmos

uma secao em tempo do experimento acima descrito veremos que um ponto P em x− z gera

uma hiperbole em x − t, sendo essa a representacao do efeito de espalhamento da energia

por difracao (Figura 1.10).

X

Z

X

t

0

1

2

Figura 1.10: Hiperbole de difracao

Uma maneira de resolver esse problema e atraves do somatorio de hiperboles de difracao

via integral de Kirchhoff (Schneider, 1978). Entretanto, aqui consideraremos como resolver

este problema por continuacao descendente do campo de onda. Se colocarmos os canais

receptores da Figura 1.9 na profundidade z1, depois em z2 e finalmente em z3, estaremos

aproximando a linha de canais da barreira. A consequencia imediata disso e que o sinal sera

registrado em tempos cada vez menores e as hiperboles serao menos robustas a medida que

nos aproximamos da barreira (Figura 1.11).

Em outras palavras podemos dizer: usa-se a hiperbole obtida com os canais receptores

colocados na praia (Figura 1.9) para construir a hiperbole que seria obtida caso os canais

receptores fossem cada vez mais aproximados da fonte pontual na barreira. Esse processo

termina quando a hiperbole e colapsada (Figura 1.11d). No experimento do porto (Figura

1.9) isso ocorre quando os receptores sao colocados na barreira, ou, equivalentemente, quando

t = 0 (condicao de imagem no modelo do refletor explosivo).

14

X

t

0

1

2

X

t

0

1

2

X

t

0

1

2

X

t

0

1

2

a b c d

Figura 1.11: Colapso de difracao

Por fim, convem enfatizar que o experimento descrito pode ser simulado no computador.

Ou seja, mover os canais receptores da praia ate a barreira e como fazer o deslocamento dos

canais da superfıcie ate as interfaces refletoras, e a descontinuidade na barreira e equivalente

a pontos difratores nos refletores. Assim, a continuacao descendente do campo ascendente

registrado na superfıcie pode ser considerada equivalente ao posicionamento de canais recep-

tores no interior da Terra, em posicoes proximas a interfaces refletoras de interesse. Isso faz

com que ocorra na simulacao o colapso de difracoes de acordo com o visto na Figura 1.11.

1.4.1 Metodos de migracao

Metodos via integral de Kirchhoff

Nos primordios da aplicacao da migracao sısmica eram utilizados metodos estatısticos basea-

dos no somatorio de difracoes. Todavia, essa maneira de resolver o problema do espalhamento

da energia trazia consigo um problema: as amplitudes eram tratadas sem a aplicacao de pe-

sos adequados. Pensando nisso, French (1974) e Schneider (1978), mediante aplicacao da

equacao da onda, transformaram o metodo estatıstico do somatorio de difracoes no metodo

determinıstico da migracao via integral de Kirchhoff. A partir disso, faz-se uma integracao

aplicando correcoes de amplitude e fase ao longo da hiperbole de difracao, derivadas a partir

da equacao da onda e nao uma simples soma de amplitudes.

15

Metodos espectrais

Nos metodos espectrais o campo de ondas e convertido mediante transformada de Fourier

para o domınio frequencia-numero de onda f − k. O desenvolvimento desses metodos teve

inıcio com Stolt (1978) e esse tipo de migracao ficou conhecida como migracao Stolt. E bom

ressaltar que esse tipo de migracao exige velocidade constante em toda a secao.

Posteriormente, outros metodos mais precisos surgiram. Entre eles esta o metodo

“Phase Shift”, que e a migracao por mudanca de fase. Essa migracao, ao contrario de Stolt,

admite variacao vertical de velocidade (Gazdag, 1978). Mas, apesar do metodo “Phase Shift”

ser um avanco, ainda havia o problema da variacao lateral de velocidade em modelos com-

plexos. Assim, alguns anos depois surgiu o metodo “Phase Shift Plus Interpolation”, PSPI

(Gazdag e Sguazzero, 1984) - mudanca de fase e interpolacao.

Metodos por diferencas-finitas

Os metodos que utilizam diferencas-finitas na aproximacao das derivadas presentes na equacao

da onda tiveram inıcio com Claerbout (1970). Tais metodos caracterizam-se por sua recur-

sividade e por nao apresentarem restricoes relativas ao modelo de velocidades utilizado no

processo. Entretanto, ha que se ter cuidado com questoes relacionadas a estabilidade e

dispersao numerica nos algoritmos utilizados (Claerbout, 1970).

1.4.2 Migracao reversa no tempo - RTM

A base para migracao de secoes empilhadas e o modelo do refletor explosivo, conforme

descrito no item 1.2. De acordo com esse modelo a secao em tempo registrada na superfıcie

e uma aproximacao da secao empilhada ou de afastamento nulo que seria registrada na

regiao. O proposito da migracao, baseada no referido modelo, e recuperar as amplitudes no

tempo zero, corrigindo assim a posicao dos refletores.

Sendo assim, podemos afirmar que a extrapolacao do campo de ondas e uma etapa

basica em qualquer metodo de migracao baseado na equacao da onda. De maneira geral,

dois caminhos alternativos podem ser adotados para realizacao da referida extrapolacao: (a)

calculo do campo nas diversas profundidades, obtendo assim uma secao em tempo para cada

profundidade e armazenando as amostras no tempo zero de cada uma destas secoes (Figura

1.12 a) ou (b) calcular o campo nos diversos intervalos de tempo, utilizando propagacao no

tempo, a partir do tempo final da secao empilhada, utilizada como entrada nos processos

ate o tempo nulo (Figura 1.12b).

16

Seção Migrada

z

x

t

(a)

0

Seção Migrada

z

x

t

(b)

0

Figura 1.12: Cubos ilustrativos da construcao da secao migrada utilizando (a) ex-

trapolacao em profundidade e (b) extrapolacao em tempo reverso.

Neste trabalho escolhemos trabalhar com a propagacao em tempo reverso para migracao

de dados sısmicos. A migracao por extrapolacao inversa em tempo de secoes empilhadas, co-

nhecida como migracao reversa no tempo (RTM), considera a secao em tempo como condicao

de contorno na superfıcie e o campo e calculado iterativamente, do tempo final ate o tempo

inicial, quando os valores de amplitudes calculados representam a secao migrada.

Segundo Baysal, Kosloff e Sherwood (1983) o processo inicia-se com o campo zerado

para t > tf , onde tf e o tempo final na secao empilhada. E, alem disso, ele afirma que,

tomando a secao empilhada P (x, z = 0, t) como condicao de contorno e aplicando a marcha

reversa no tempo, podemos calcular os valores do campo de ondas para cada tempo ate

recuperarmos o modelo em profundidade no tempo nulo - P (x, z, t = 0).

Ainda segundo Baysal, Kosloff e Sherwood (1983), as vantagens da RTM em relacao a

migracao que utiliza continuacao do campo em profundidade sao basicamente as seguintes:

possibilidade de contemplar quaisquer variacoes de velocidade e evitar problemas com ondas

evanescentes.

Utilizando a equacao completa da onda pode-se realizar a migracao atraves de opera-

dores diferenciais que aproximem as derivadas espaciais e temporais presentes na equacao.

Aqui, utilizaremos a aproximacao por diferencas finitas de segunda ordem para as deriva-

das temporais e para as derivadas espaciais utilizaremos os seguintes operadores: diferencas

finitas de quarta ordem (Alford, Kelly e Boore, 1974), pseudo-espectral (Kosloff e Kessler,

1990; Kosloff e Baysal, 1982), convolucional (Zhou e Greenhalgh, 1992) e implıcito (Kosloff,

Pestana e Tal-Ezer, 2008; Figueiredo, Pestana e Kosloff, 2009). Todos estes operadores serao

detalhados no capıtulo 2.

CAPITULO 2

Equacoes fundamentais

2.1 Equacao escalar da onda

A equacao escalar da onda descreve a propagacao de um campo de pressao em meios

acusticos. Trata-se de uma equacao diferencial parcial linear de segunda ordem que possui

duas solucoes distintas, uma para o campo descendente e outra para o campo ascendente.

A equacao bidimensional da onda para meios com densidade constante e:

1

c(x, z)2

∂2P (x, z, t)

∂t2=

∂2P (x, z, t)

∂x2+

∂2P (x, z, t)

∂z2, (2.1)

onde P (x, z, t) e o campo de pressao, c(x, z) e a velocidade de propagacao da onda no meio,

x e z sao as coordenadas espaciais e t e o tempo.

A equacao (2.1) tem sido muito utilizada para simulacoes de propagacao de ondas e

imageamento de estruturas em subsuperfıcie, sendo portanto util na exploracao de petroleo.

O que ocorre e que o campo de ondas gerado na superfıcie por uma fonte sısmica e utilizado

para obter informacoes das estruturas em subsuperfıcie em forma de energia refletida por

camadas com diferentes impedancias. O processo de obtencao da estrutura em subsuperfıcie

atraves do campo registrado na superfıcie e chamado de migracao, e a simulacao da resposta

sısmica a excitacao do meio fısico e chamada de modelagem.

Tanto na modelagem quanto na migracao, e necessario fazer extrapolacao do campo

de ondas atraves de metodos numericos. Essa extrapolacao pode ser feita em profundi-

dade, calculando o campo nas diversas profundidades, e em tempo, calculando o campo nos

diversos intervalos de tempo. Pode-se calcular o campo de ondas no tempo utilizando a

equacao completa da onda. Entretanto, para que isso seja possıvel, e necessario discretizar

o meio fısico e aproximar, mediante metodos numericos adequados e com grau de precisao

elevado, as derivadas parciais presentes na equacao da onda. Dessa maneira, os algoritmos

utilizados permitem extrapolacao direta (modelagem) ou inversa (migracao), e podem ser

implementados atraves da utilizacao de algoritmos diversos, como veremos a seguir.

17

18

2.2 Operadores diferenciais

2.2.1 Metodo de diferencas-finitas

Na pratica, cada operacao diferencial presente na equacao (2.1) pode ser substituıda por

uma aproximacao em diferencas-finitas mediante truncamento da serie de Taylor. Conforme

demonstrado no apendice A, os operadores de segunda ordem para o calculo das derivadas

espaciais e temporais sao dados por:

∂2P (x, z, t)

∂x2≈

P (x + ∆x, z, t) − 2P (x, z, t) + P (x− ∆x, z, t)

(∆x)2(2.2)

∂2P (x, z, t)

∂z2≈

P (x, z + ∆z, t) − 2P (x, z, t) + P (x, z − ∆z, t)

(∆z)2(2.3)

∂2P (x, z, t)

∂t2≈

P (x, z, t + ∆t) − 2P (x, z, t) + P (x, z, t − ∆t)

(∆t)2(2.4)

Para melhorar a precisao na aproximacao das derivadas, podemos aumentar a ordem

do operador acima e utilizar operadores de diferencas-finitas de quarta ordem. Como visto

tambem no apendice A, podemos escrever os operadores de quarta ordem da seguinte forma:

∂2P (x, z, t)

∂x2≈

−1

12(∆x)2[P (x + 2∆x, z, t) − 16[P (x + ∆x, z, t) + P (x− ∆x, z, t)] +

30P (x, z, t) + P (x− 2∆x, z, t)] (2.5)

∂2P (x, z, t)

∂z2≈

−1

12(∆z)2[P (x, z + 2∆z, t) − 16[P (x, z + ∆z, t) + P (x, z − ∆z, t)] +

30P (x, z, t) + P (x, z − 2∆z, t)] (2.6)

Solucao da equacao da onda utilizando operadores de diferencas-finitas

Para que os operadores de diferencas-finitas acima expostos possam ser aplicados para

solucao da equacao da onda e necessario que o meio fısico seja discretizado. Essa discre-

tizacao e feita mediante definicao de uma malha de pontos posicionados de maneira a re-

presentar adequadamente a distribuicao das propriedades fısicas em subsuperfıcie. Ou seja,

a cada ponto da malha de discretizacao utilizada esta associado um valor de determinada

propriedade fısica (velocidade, densidade, etc). Quanto mais refinada a malha maior a quan-

tidade de pontos sobre o modelo, e a derivada do campo de pressao calculado para cada

ponto fornecera uma melhor representacao da propagacao em subsuperfıcie e reconstituira

de forma satisfatoria as estruturas de interesse exploratorio. O calculo do campo de pressao e

feito ponto a ponto na malha discreta e a medida que a ordem do operador e aumentada mais

19

P(m,n) P(m+1,n)

P(m,n-1)

P(m,n+1)

P(m-1,n)

mÄxn

Äz

Äx

Äz

X

Z (a)

P(m,n) P(m+1,n)

P(m,n-1)

P(m,n+1)

P(m-1,n)

mÄx

nÄ

z

Äx

Äz

X

Z

P(m,n+2)

P(m+2,n)P(m-2,n)

P(m,n-2)

(b)

Figura 2.1: Esquema de pontos com campo de pressao conhecido requeridos para

o operadores de segunda (a) e quarta (b) ordens

pontos com campo de pressao conhecido sao requeridos para calculo das derivadas conforme

sugere a Figura 2.1.

Assim, para que esse calculo seja efetuado, as variaveis contınuas presentes na equacao

(2.1) devem ser substituıdas por variaveis discretas de acordo com a seguinte notacao:

P (x, z, t) = P (m∆x, n∆z, l∆t) = P lm,n

Substituindo as equacoes (2.2), (2.3) e (2.4) na equacao (2.1), utilizando a notacao acima,

podemos obter uma aproximacao de segunda ordem para a equacao da onda:

1

(c∆t)2(P l−1

m,n − 2P lm,n + P l+1

m,n) =1

(∆x)2(P l

m−1,n − 2P lm,n + P l

m+1,n) +

1

(∆z)2(P l

m,n−1 − 2P lm,n + P l

m,n+1) (2.7)

Rearrumando os termos da equacao (2.7), podemos calcular o campo em um determi-

nado instante a partir de valores do campo em instantes anteriores (Fernandes, 1998), de

acordo com a seguinte equacao:

P l+1m,n = 2P l

m,n − P l−1m,n + Ax[P

lm−1,n − 2P l

m,n + P lm+1,n] +

Az [Plm,n−1 − 2P l

m,n + P lm,n+1] (2.8)

onde Ax =(

c∆t∆x

)2e Az =

(

c∆t∆z

)2

De maneira analoga, podemos reescrever a equacao da onda utilizando operadores de

diferencas-finitas de quarta ordem para as derivadas espaciais e de segunda ordem para

20

derivadas temporais. Com esse fim, substituimos as equacoes (2.4), (2.5) e (2.6) na equacao

(2.1) e obtemos:

1

(c∆t)2(P l−1

m,n − 2P lm,n + P l+1

m,n) = −1

12(∆x)2[P l

m−2,n − 16(P lm−1,n + P l

m+1,n) +

30P lm,n + P l

m+2,n] −

1

12(∆z)2[P l

m,n−2 − 16(P lm,n−1 + P l

m,n+1) +

30P lm,n + P l

m,n+2] (2.9)

A equacao (2.9) pode ser escrita explicitamente como segue (Faria, 1986):

P l+1m,n =

Ax

12[16(P l

m−1,n + P lm+1,n) − (P l

m−2,n + P lm+2,n)] +

Az

12[16(P l

m,n−1 + P lm,n+1) − (P l

m,n−2 + P lm,n+2)] +

[

2 −5

2(Ax + Az)

]

P lm,n − P l−1

m,n (2.10)

Portanto, assim como na equacao (2.8), com a equacao (2.10) podemos calcular o

campo de onda em qualquer instante, conhecendo-o em instantes anteriores. E bom ressaltar

que a equacao (2.10) pode ser simplificada se optarmos pela definicao de uma malha de

discretizacao quadrada. Assim, para ∆x = ∆z = h, a equacao acima pode ser reescrita da

seguinte forma:

P l+1m,n = g[P l

m−2,n + P lm,n−2 − 16(P l

m−1,n + P lm,n−1 + P l

m+1,n + P lm,n+1) +

60P lm,n + P l

m+2,n + P lm,n+2] + 2P l

m,n − P l−1m,n (2.11)

onde:

g = −1

12

(

c∆t

h

)2

Estabilidade do metodo

Os operadores de diferencas-finitas, utilizados para solucionar a equacao da onda, nao podem

ser aplicados de forma indiscriminada. Pelo contrario, ha um limite de estabilidade para o

processo. Alford, Kelly e Boore (1974) definiram que, para precisao de segunda ordem das

derivadas espaciais e temporais, utilizando malha quadrada (∆x = ∆z = h), a condicao de

estabilidade e dada por:(

c∆t

h

)2

≤1

2, (2.12)

Na precisao de quarta ordem para derivadas espaciais e segunda ordem para derivadas

temporais, ainda para o caso de malha quadrada, a condicao de estabilidade e dada por

21

(Alford, Kelly e Boore, 1974):(

c∆t

h

)2

≤3

8(2.13)

Faria (1986) apresentou o desenvolvimento matematico para malhas retangulares (∆x 6=

∆z) para precisao de segunda e quarta ordens das derivadas temporais e espaciais, respecti-

vamente. Nesse caso, a condicao de estabilidade e dada por:

(

c∆t

∆x

)2

+

(

c∆t

∆z

)2

≤3

4, (2.14)

Baseado nas expressoes (2.12), (2.13) e (2.14), podemos afirmar que a estabilidade

tem relacao direta com a malha de discretizacao utilizada no processo e com o intervalo de

amostragem temporal. Assim, se para todos os casos acima considerarmos o intervalo de

amostragem espacial fixo e pre-definido, podemos entender a condicao de estabilidade como

uma restricao a rapidez com que a simulacao numerica e realizada. Segundo Fernandes

(1998), o intervalo de tempo entre dois passos consecutivos deve ser tal que a frente de onda

mais rapida nao se propague por uma distancia superior ao espacamento de celulas vizinhas

da malha de discretizacao. Logo, podemos afirmar que um esquema de diferencas-finitas

e dito estavel se a diferenca entre as solucoes teorica e numerica da equacao de diferencas

permanece inalterada com o incremento temporal, com ∆t fixo, para todos os pontos da

malha (Mitchell, 1969).

Dispersao numerica

Outro efeito que merece consideracao em simulacoes numericas para abordagens de pro-

blemas em sısmica de reflexao e a dispersao numerica. Uma forma de onda propagante e

caracterizada por dois conceitos geometricos basicos e fundamentais: frente de onda e raio

de onda (Telford, Geldart, Sheriff e Keys, 1976). No caso das ondas sısmicas a frente de

onda e a linha imaginaria que conecta todos os pontos que estao em fase. O conceito de

frente de onda, entretanto, nao nos permite concluir nada no que diz respeito a direcao de

propagacao. Portanto, com esse fim, surgiu o conceito de raio de onda. O raio de onda e a

linha imaginaria perpendicular a frente de onda e que indica a direcao de propagacao.

Nos experimentos sısmicos, o meio fısico e excitado por fontes artificiais que inserem

no meio um pulso energetico que se propaga percorrendo a subsuperfıcie ate ser captado

em canais receptores espalhados ao longo de uma superfıcie de aquisicao. As distancias

percorridas pela energia disparada pela referida fonte primaria sao muito grandes e os pontos

de observacao (receptores) tambem estao a grandes distancias. Assim, a frente de onda,

circular para meios homogeneos e isotropicos, tende a ser plana. Baseado no conceito de onda

plana podemos entender os conceitos de velocidade de fase e de grupo e, consequentemente,

22

estaremos aptos para avaliar o fenomeno de dispersao numerica, sendo este o nosso objetivo

neste topico. A figura a seguir e uma representacao ilustrativa da propagacao em meios

anisotropicos, onde os raios nao sao necessariamente perpendiculares as frentes de onda.

Nesta figura temos a representacao da frente de onda em dois instantes, t e (t + ∆t) com as

frentes de onda GG e HH, respectivamente. E bom ressaltar que representamos a propagacao

em meio anisotropico para evidenciar a distincao na representacao geometrica das velocidades

de fase e de grupo e facilitar didaticamente a nossa explanacao, pois em meios isotropicos as

velocidades em questao sao iguais e tal fato dificultaria nossa analise para compreensao do

fenomeno abordado. Vejamos a figura:

v

g

Figura 2.2: Representacao geometrica de velocidade de fase e de grupo. Adaptado

de Fernandes (1998).

Baseado na Figura 2.2, podemos escrever: OP = |g(φ)|t, onde g(φ) e a velocidade

de transporte da energia ou velocidade de grupo. Agora, considerando a representacao da

frente de onda por ondas planas, podemos afirmar que: RR′ = |v(θ)|∆t, onde v(θ) e o vetor

velocidade de fase (a onda plana mantem a mesma fase). Portanto, a partir dessa analise e

com o auxılio da Figura 2.2, podemos afirmar que a velocidade de fase e menor ou igual a

velocidade de grupo. As velocidades de fase e grupo sao definidas como:

cp =w(k)

k(2.15)

e

cg =∂w(k)

∂k, (2.16)

onde cp e a velocidade de fase, cg e a velocidade de grupo, w e a frequencia angular e k e o

numero de onda.

Entretanto, como estamos representando a solucao numerica da equacao da onda por

operadores de diferencas-finitas, as referidas velocidades passam a ser funcao do espacamento

23

entre os pontos da malha, gerando dispersao numerica no sinal produzido. Para atestar a

veracidade desta afirmacao, representemos o campo de pressao presente na equacao da onda

por uma onda plana harmonica para o caso 1-D na forma:

P lm = ei(kmdx−wldt) (2.17)

Utilizando essa solucao na aproximacao de diferencas-finitas de segunda ordem mos-

trada na equacao (2.2), obtemos:

∂2P

∂x2= e−iwldte

ik(m+1)dx − 2eikmdx + eik(m−1)dx

dx2

= −4

dx2ei(kmdx−wldt)

[

sin2 kdx

2

]

(2.18)

Analogamente, podemos escrever:

∂2P

∂t2= −

4

dt2ei(kmdx−wldt)

[

sin2 wdt

2

]

(2.19)

Logo, substituindo (2.18) e (2.19) na equacao da onda de segunda ordem na forma

explıcita para o caso 1-D , temos:

w =2

dtsin−1

[

cdt

dxsin

kdx

2

]

(2.20)

Agora, a equacao (2.15) pode ser reescrita e podemos avaliar o comportamento disper-

sivo das simulacoes numericas atraves da seguinte expressao:

cp

c=

2

αkdxsin−1

[

α sinkdx

2

]

(2.21)

onde α = cdtdx

Assim, para a condicao de estabilidade na aproximacao de diferencas de segunda ordem

(2.12) para o caso 1-D, α deve ser menor ou igual a um (Kosloff e Kessler, 1990). A razao para

isso e que se α for maior que um, teremos um valor maior que a unidade no argumento do

seno da equacao 2.20 para o componente espacial de Nyquist (kdx = π). Entao, certos de que

α ≤ 1, podemos concluir que quando α = 1 nao existe dispersao numerica, conforme sugere

a Figura 2.3. Assim, variando os valores de α podemos estimar os valores para os quais a

dispersao e mınima, ou seja cp ≈ c. Alem disso, com o auxılio das curvas plotadas na Figura

2.3, pode-se notar que para kdx < π5(≈ 0, 63) os efeitos da dispersao sao suficientemente

24

pequenos. Portanto, sabendo que k = 2πλ

, podemos determinar o numero de pontos da

malha de discretizacao por comprimento de onda, conforme sugere a proxima expressao:

kdx =π

5⇒

2π

λdx =

π

5⇒ λ = 10dx (2.22)

Baseado nisso, podemos dizer que o comprimento de onda para o qual a dispersao

numerica e considerada suficientemente pequena e o de 10 pontos da malha, quando utiliza-

mos o operador diferencas-finitas de segunda ordem.

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5

cp/c

kdx

alfa 0.2alfa 0.4alfa 0.6alfa 0.8alfa 1.0

Figura 2.3: Curvas de dispersao no metodo de diferencas-finitas para diferentes

valores de alfa

2.2.2 Metodo pseudo-espectral

O metodo pseudo-espectral e um metodo de alta precisao que utiliza operadores diferencas-

finitas de segunda ordem na aproximacao das derivadas temporais e aplica a propriedade da

derivada na transformada de Fourier para calculo das derivadas espaciais (Kosloff e Kessler,

1990). Para compreensao do metodo, convem fazer uma breve revisao sobre a Transformada

de Fourier e, em particular, a propriedade da derivada.

25

Transformada de Fourier

A transformada de Fourier e uma ferramenta matematica que torna possıvel a mudanca de

domınio no qual uma determinada funcao existe. O sinal sısmico registrado nas aquisicoes

geofısicas e uma serie temporal que pode ser amostrada no domınio da frequencia de acordo

com a seguinte notacao:

S(w) = F [s(t)], (2.23)

onde F e a transformada direta de Fourier, s(t) e o sinal sısmico e S(w) e o sinal no domınio

transformado.

As transformadas direta e inversa de Fourier, podem ser escritas, respectivamente,

como:

S(w) =

∫ +∞

−∞

s(t)e−iwtdt (2.24)

s(t) =1

2π

∫ +∞

−∞

S(w)eiwtdw (2.25)

onde t e o tempo e w e a frequencia angular.

De maneira analoga, no domınio kx − x, podemos escrever:

S(kx) =

∫ +∞

−∞

s(x)e−ikxxdx (2.26)

s(x) =1

2π

∫ +∞

−∞

S(kx)eikxxdkx (2.27)

onde kx e o numero de onda.

Aplicacao da transformada de Fourier a solucao da equacao da onda

Para compreender a propriedade da derivada na transformada de Fourier e necessario derivar

a equacao (2.27) duas vezes em relacao a x, como segue:

∂s(x)

∂x=

1

2π

∫ +∞

−∞

(ikx)S(kx)eikxxdkx

∂2s(x)

∂x2=

1

2π

∫ +∞

−∞

−k2xS(kx)e

ikxxdkx

26

Logo, temos uma relacao de equivalencia aqui:

∂2s(x)

∂x2⇔ −k2

xS(kx) (2.28)

De maneira analoga, para o domınio w − t, podemos escrever:

∂2s(t)

∂t2⇔ −w2S(w) (2.29)

Portanto, podemos afirmar que o calculo de ∂2s(x)∂x2 e equivalente, no domınio trans-

formado, a multiplicar −k2x por S(kx). Utilizando essas relacoes de equivalencia, podemos

reescrever a equacao da onda (2.1) no domınio transformado de acordo com a seguinte ex-

pressao:

−w2

c2P (kx, z, w) = −k2

xP (kx, z, w) +∂2P (kx, z, w)

∂z2(2.30)

Rearrumando os termos da equacao (2.30), obtemos:

∂2P (kx, z, w)

∂z2+ k2

zP (kx, z, w) = 0 (2.31)

onde

kz = ±

√

w2

c2− k2

x, (2.32)

que e a relacao de dispersao.

Transformada rapida de Fourier (FFT - Fast Fourier Transform)

Conforme dito anteriormente, o metodo de Fourier utiliza a transformada rapida de Fou-

rier (FFT) para calcular as derivadas espaciais e a aproximacao por diferencas finitas para

derivadas temporais. O algoritmo de Fourier para calculo da segunda derivada pode ser

entendido de acordo com o seguinte esquema:

P lm,n → FFT → P → −k2

xP → FFT−1 →∂2P

∂x2

l

m,n,

ou seja:

Primeiro passo: Aplicacao da transformada direta de Fourier ao campo de pressao no

domınio (x, z, t).

27

Segundo passo: Multiplicacao do campo de pressao no domınio transformado por −k2x.

Terceiro passo: Aplicacao da transformada inversa de Fourier a −k2xP e consequente

obtencao da segunda derivada no domınio (x, z, t).

Analogamente, para o eixo z, temos:

P lm,n → FFT → P → −k2

z P → FFT−1 →∂2P

∂z2

l

m,n,

e os passos sao os mesmos acima descritos.

Portanto, representando a segunda derivada calculada pelo metodo de Fourier no eixo

x por Fxlm,n e no eixo z por Fzl

m,n, a equacao explıcita da onda no referido metodo e dada

por:

P l+1m,n = 2P l

m,n − P l−1m,n + c2

m,n∆t20(Fxlm,n + Fzl

m,n) (2.33)

Dessa forma, no metodo de Fourier tambem podemos calcular o campo de pressao em

qualquer instante conhecendo-o em instantes interiores.

Estabilidade e dispersao numerica

Para fins didaticos utilizaremos o caso 1-D nas consideracoes deste topico. Tomemos a

equacao (2.17) e a propriedade da derivada na transformada de Fourier. O resultado e o

seguinte:

∂2P

∂x2= −k2ei(kmdx−wldt) (2.34)

Substituindo esse resultado e a equacao (2.19) na equacao da onda unidimensional,

temos:

w =2

dtsin−1

(

kcdt

2

)

(2.35)

Portanto, podemos reescrever (2.15) para o metodo de Fourier e, consequentemente,

podemos avaliar o comportamento dispersivo atraves da seguinte relacao:

cp

c=

2

kcdtsin−1

[

kcdt

2

]

(2.36)

Segundo Kosloff e Kessler (1990) se dt for muito menor que 1 isso implicara em:

sin−1(

kcdt2

)

≈ kcdt2

. Substituindo tais consideracoes na relacao de dispersao em (2.36) obte-

mos wk

= c. Ou seja, velocidade de fase igual a velocidade do meio. Isso implica em ausencia

28

de dispersao numerica. Alem disso, sabendo que o argumento do seno deve ser menor que

1, podemos definir o limite de estabilidade como sendo dado por:

kmax(cdt

2) ≤ 1

Sabendo que kmax e dado pelo componente de Nyquist, temos:

π

dx

cdt

2=

π

2

cdt

dx=

π

2α ≤ 1 ⇒ α ≤

2

π(2.37)

Portanto, podemos avaliar o fenomeno de dispersao no metodo de Fourier plotando um

grafico da velocidade normalizada em funcao de kdx para diferentes valores de α.Vejamos:

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5

cp/c

kdx

alfa 0.2alfa 0.4alfa 0.6alfa 0.8alfa 1.0

Figura 2.4: Curvas de dispersao no metodo de Fourier para diferentes valores de

alfa

2.2.3 Operador diferencial convolucional

Neste topico pretendemos discutir o operador diferencial convolucional (Zhou e Greenhalgh,

1992). Trata-se de um operador utilizado na aproximacao de derivadas espaciais, com a

mesma forma do operador diferencas-finitas e com os mesmos benefıcios dos metodos de

diferencas-finitas convencional e de Fourier. Como veremos adiante, os resultados utilizando

o operador convolucional com cinco pontos sao aceitaveis e ao utilizar operadores longos (7

pontos) os resultados sao comparaveis ao metodo de Fourier.

29

A equacao escalar da onda e o operador diferencial convolucional

Representemos a segunda derivada com relacao a x na equacao escalar da onda (2.1) da

seguinte maneira:

ϕ(x, z, t) =∂2P (x, z, t)

∂x2(2.38)

Como nosso objetivo e calcular a segunda derivada atraves de um operador convoluci-

onal, podemos reescrever (2.38) como segue:

ϕ(x, z, t) = d2(x) ∗ P (x, z, t), (2.39)

onde “*” indica uma convolucao no eixo x e d2(x) e o operador diferencial convolucional

para a segunda derivada.

Sabendo que a convolucao na equacao (2.39) e equivalente a uma multiplicacao no

domınio de Fourier e lembrando da propriedade da derivada na transformada de Fourier

discutida na equacao (2.28), podemos escrever d2(x) no domınio transformado como:

d2(kx) = −k2x (2.40)

Para determinacao de d2(x) e calculo da segunda derivada, conforme sugerido pelas

equacoes (2.38) e (2.39), foi definido que:

d2(kx) =

{

−k2x se |kx| ≤ kxn

0 se |kx| > kxn

(2.41)

, onde kxn e o numero de onda de Nyquist.

Usando a transformada de Fourier

d2(x) =1

2π

∫ +∞

−∞

d2(kx)eikxxdkx

para x 6= 0, temos:

d2(x) =1

2π

∫ kxn

−kxn

−k2xe

ikxxdkx = −1

πx

([

k2xn −

2

x2

]

sin(kxnx) +2kxn

xcos(kxnx)

)

Logo, podemos escrever:

d2(0) =1

2π

∫ kxn

−kxn

−k2xe

ikxxdkx = −k3

xn

3π

30

Portanto, o operador diferencial convolucional para a segunda derivada em relacao a x

e:

d2(x) =

{

− 1πx

([

k2xn − 2

x2

]

sin(kxnx) + 2kxn

xcos(kxnx)

)

se x 6= 0

−k3xn

3πse x = 0

(2.42)

Raciocınio analogo pode ser aplicado ao eixo z e, baseado no que foi apresentado nas

equacoes (2.41) e (2.42), podemos reescrever a equacao escalar da onda (2.1):

1

c(x, z)2

∂2P (x, z, t)

∂t2= (d2(x) ∗ P (x, z, t)) + (d2(z) ∗ P (x, z, t)), (2.43)

onde “*” representa a operacao de convolucao.

Discretizacao do operador

Iniciemos nossas consideracoes para o operador d2(x). Sabendo que, no domınio discreto,

x = m∆x, podemos escrever:

kxn =π

∆x

kxnx = mπ

sin(kxnx) = sin(mπ) = 0

cos(kxnx) = cos(mπ) = (−1)m

Aqui, ∆x e o intervalo de amostragem no eixo x e m e o ındice de amostragem. Substi-

tuindo essas consideracoes em (2.42), obtemos o operador diferencial convolucional discreto.

Vejamos:

d2(m∆x) =

{

2m2∆x3 (−1)m+1 se m 6= 0

− π2

3∆x3 se m = 0(2.44)

O operador diferencial convolucional para o eixo z e obtido de maneira analoga e pode

ser escrito como:

d2(n∆z) =

{

2n2∆z3 (−1)n+1 se n 6= 0

− π2

3∆z3 se n = 0(2.45)

31

onde ∆z e o intervalo de amostragem na direcao z e n e o ındice de amostragem.

Segundo Zhou e Greenhalgh (1992), o operador d2, apresentado na sua forma discreta

nas equacoes (2.44) e (2.45), possui duas propriedades principais:

• O fator 1n2 contribui para um rapido decrescimo do operador d2, assim e possıvel calcular

os termos da convolucao espacial usando operadores convolucionais com poucos pontos;

• Os coeficientes do operador sao simeticos.

Operador de resposta impulsiva finita (RIF)

Apesar de o operador convolucional ser infinito em comprimento, sua amplitude decai ra-

pidamente para zero a medida que se afasta da origem (Fig. 2.5). Sendo assim, podemos

fazer truncamento por implementacao pratica de janelas de interesse no operador. Entre-

tanto, a utilizacao de uma janela retangular simples no truncamento do operador maximiza

o efeito Gibbs (oscilacao do espectro de amplitude de um filtro nas proximadades da regiao

de corte). Tal fato implica que as janelas de truncamento no operador devem ser definidas

de maneira a fazer com que as pequenas oscilacoes em torno da amplitude nula (Fig. 2.5)

a medida em que aumentamos o numero de pontos sejam, de fato, zeradas. Dessa forma,

reduziremos as implicacoes do efeito Gibbs. Neste trabalho utilizamos a janela , dada pela

seguinte expressao (Scheuer e Oldenburg, 1988):

W (k) =

[

2α − 1 + 2(1 − α) cos2

(

πk

2(mx + 2)

)]β2

, (2.46)

onde |k| = 0, 1, 2, . . . ,mx, mx e o comprimento do truncamento uni-lateral no numero de

amostragem, α e β sao constantes que definem o tipo de janela utilizada - retangular (α = 1

ou β = 0), do tipo Hanning (α = 0.5, β = 6) ou do tipo Hamming (α = 0.54, β = 6). Assim,

o operador convolucional para a janela w e dado por:

d2(m∆x) = d2(m∆x)W (m) (2.47)

O erro espectral do operador d2 pode ser expresso como:

e(kx) = d2(kx) − FFT [d2], (2.48)

onde FFT [d2] e a transformada de Fourier do operador convolucional truncado.

E bom ressaltar que o princıpio para a escolha da janela de truncamento citada an-

teriormente e a minimizacao do erro na equacao (2.48) e um operador modificado possui

32

(2mx+1) pontos. Alem disso, convem lembrar que, segundo Zhou e Greenhalgh (1992), um

operador com (2mx+1) pontos corresponde aproximadamente ao esquema diferencas-finitas

de ordem (2mx).

0 10 20 30 num of points

-1.0

-0.5

0

0.5A

mpl

itude

Filter : 31 points

Figura 2.5: Filtro convolucional

( a ) ( b )

Figura 2.6: (a)Filtro convolucional truncado e (b) janela de truncamento

33

Equacao escalar da onda na forma explıcita

Neste ponto, podemos reescrever a equacao (2.43) explicitamente, utilizando operador dife-

rencas-finitas de segunda ordem no calculo das derivadas temporais e operador diferencial

convolucional para as derivadas espaciais, de acordo com a seguinte expressao:

P l+1m,n = 2P l

m,n − P l−1m,n +

c2m,n∆t2 (∆x

mx∑

i=−mx

d2(i∆x)P lm−i,n +

∆zmz∑

j=−mz

d2(j∆z)P lm,n−j), (2.49)

onde mx e mz sao os comprimentos uni-laterais do operador ao longo dos eixos x e z,

respectivamente.

Usando a simetria do operador convolucional d2 podemos reescrever a equacao (2.49)

como:

P l+1m,n = 2P l

m,n − P l−1m,n +

c2m,n∆t2 ([∆xd2(0∆x) + ∆zd2(0∆z)]P l

m,n +

∆x

mx∑

i=1

d2(i∆x)[P lm−i,n + P l

m+i,n] +

∆zmz∑

j=1

d2(j∆z)[P lm,n−j + P l

m,n+j ]) (2.50)

Tanto na modelagem quanto na migracao utilizamos a equacao (2.50). Segundo Zhou

e Greenhalgh (1992), pode-se demonstrar que a condicao de estabilidade da equacao (2.50)

e dada por:

|Vmax∆tk| ≤ 2, (2.51)

onde Vmax e a velocidade maxima do meio investigado e k e definido por:

k =

√

|FFT [d2(m∆x)]|+ |FFT [d2(n∆z)]| (2.52)

34

2.2.4 Operadores espaciais implıcitos

Todos os metodos numericos para aproximacao de derivadas parciais mostrados anterior-

mente sao explıcitos. Ou seja, calcula-se o campo de pressao em determinado instante a

partir dos valores do referido campo em instantes anteriores. No esquema que apresentare-

mos neste topico sao utilizados operadores de derivadas espaciais implıcitos na aproximacao

das derivadas espaciais de segunda ordem. Esse esquema, proposto para solucao da equacao

da onda, com operadores implıcitos de segunda e quarta ordens, consegue reduzir significa-

tivamente o efeito de dispersao numerica nos resultados obtidos. Assim, vejamos como as

aproximacoes sao feitas.

Seja uma funcao P (x) contınua. Admitindo-se uma discretizacao para essa funcao,

podemos estabelecer a seguinte notacao:

x = mdx → P [m] = P (x = mdx)

Pode-se demonstrar que uma aproximacao recursiva para a derivada segunda da funcao

P [m] pode ser escrita como (Kosloff, Pestana e Tal-Ezer, 2008):

∂2Pm

∂x2=

a0 + a1∆1 + a2∆2 + . . . + aN∆N

1 + b1∆1 + b2∆2 + . . . + bM∆M

Pm, (2.53)

onde ∆kPm = Pm+k + Pm−k.

Considerando M ≤ N , a equacao (2.53) pode ser escrita como:

∂2Pm

∂x2= (c0 + . . . + cN−M∆N−M +

d0

1 + β0∆0

+

. . . +dM−1

1 + βM−1∆1)Pm (2.54)

Os coeficientes em (2.54) podem ser relacionados aos coeficientes em (2.53). A equacao

(2.54) e mais conveniente para efeito de calculo, enquanto a equacao (2.53) e mais adequada

para determinacao dos coeficientes. Os primeiros termos c0 + . . . + cN−M∆N−M , formam um

operador explıcito. Mas cada termodj

1+βj∆1

resulta em um sistema tridiagonal de equacoes.

Os coeficientes al e bl da equacao (2.53) sao calculados atraves de ajuste no domınio

espectral, de acordo com a seguinte equacao:

−(k2)L = a0 + 2a1cos(kLdx) + 2a2cos(2kLdx) +

. . . 2aNcos(NkLdx) + 2b1(k2)Lcos(k1dx) +

. . . 2bM(k2)Lcos(MkLdx) + (−1)Lε (2.55)

35

onde L = 1 . . . N + M + 2.

Os termos a0, a1, . . . , aN , b1, . . . , bM sao os coeficientes a serem determinados e ε e o

erro. Os N + M + 2 componentes de numero de onda kL estao dentro do intervalo 0 ≤ kL <

kmax < πdx, onde kmax e definido pelo usuario. Esse valor e definido com o objetivo de obter

o melhor compromisso entre a precisao no ajuste e o menor comprimento de onda que se

pode propagar na malha com uma menor dispersao numerica. O sistema (2.55) e resolvido

iterativamente e, em cada tempo, os valores de kL sao selecionados nos pontos extremos da

funcao erro (Kosloff, Pestana e Tal-Ezer, 2008).

Utilizamos neste trabalho um operador de derivadas com dois termos no numerador e

um termo no denominador (operador 2−1) para determinar o operador de derivada espacial

de segunda ordem. A partir de (2.54), esse operador e dado por:

Dx =1

dx2

a0 + a1∆x

1 + b1∆x

= A(1 +B

1 + b1∆x

), (2.56)

onde A = a1

b1∆x2 e B = a0b1a1

− 1

Em nossa aplicacao usamos os seguintes valores para os termos da equacao (2.56):

A∆x2 = 12, 003

B = −1, 20211

b1 = 0, 101057

O caso de tres termos no numerador e um termo no denominador (operador 3 − 1)

tambem resulta na resolucao de um sistema de equacoes tridiagonal para obter as derivadas.

Utilizamos na precisao ate 85% do valor do numero de onda de Nyquist. Neste caso,

Dx =1

dx2

a0 + a1∆x + a2∆2x

1 + b1∆x

= A

(

1 + C∆x +B

1 + b1∆x

)

(2.57)

onde α = A∆x2 = a1

b1− a2, C = a2

b1/α e B = a0

α− 1.

Em nossa aplicacao usamos os seguintes valores para os termos da equacao (2.57):

A∆x2 = 1, 9034

B = −2, 30089

C = 0, 271368

b1 = 0, 245524

36

Para avaliar as equacoes (2.56) e (2.57) temos que resolver um sistema de equacoes. A

matriz do operador 1 + b1∆x e tridiagonal. Desde que a decomposicao LU deste operador e

pre-calculada, o calculo da derivada segunda e obtida de forma eficiente, fazendo com que

este metodo tambem seja relativamente rapido em termos computacionais.

Precisao dos operadores de derivada segunda

Consideremos a aplicacao do operador de derivada espacial a funcao f [m] = eikmdx para

diferentes valores de k, e denotemos o resultado dessa aplicacao como −k2f [m]. A velocidade

de fase numerica normalizada e dada por cf = k/k. A velocidade de fase normalizada, para

diferentes operadores, e plotada versus numero de onda. Na Figura (2.7) (fd−4) representa

o operador de diferencas-finitas de quarta ordem, enquanto (3 − 1) denota um operador

obtido de (2.55) com N = 3 e M = 1. No caso ideal o operador deveria conseguir um

valor de velocidade de fase igual a 1 ate o numero de onda de Nyquist, kfdx = π. No

calculo do operador, o maximo valor do numero de onda (kmax) foi ajustado para fornecer

o maximo erro da velocidade de fase normalizada menor que 0.5%, considerando-se a faixa

0 ≤ kL ≤ kmax.

Figura 2.7: Curvas de dispersao para comparacao do metodo implıcito com outros

operadores

37

Nota-se na Figura (2.7) que a inclusao de mais um termo implıcito no operador de

derivada melhora de forma significativa a sua precisao. Em particular, o operador 3 − 1

produz uma boa resposta. Tambem nota-se que o operador 3 − 0 tem uma resposta melhor

do que o operador de diferencas-finitas de quarta ordem, possuindo um numero menor de

coeficientes.

CAPITULO 3

Aplicacao dos operadores diferenciais para

modelagem e migracao de dados sinteticos

3.1 Introducao

Neste capıtulo apresentaremos os resultados obtidos na modelagem direta de secoes de tiro

comum e na migracao reversa no tempo de dados sısmicos sinteticos 2-D atraves da aplicacao

dos operadores descritos no capıtulo anterior. Nosso objetivo aqui e examinar a aplicabili-

dade dos operadores de derivada segunda, visando melhorar a eficiencia na modelagem e na

migracao reversa no tempo. Para obter os resultados gerados utilizamos a aproximacao por

diferencas-finitas de segunda ordem para a derivada temporal presente na equacao da onda

em todos os casos. A base de nossa discussao aqui e, entretanto, ressaltar a eficiencia dos ope-

radores na aproximacao das derivadas espaciais presentes na equacao da onda comparando

seus resultados.

3.2 Migracao reversa no tempo de secoes de afastamento nulo -

Modelo de velocidade constante com refletores inclinados

Iniciaremos nossa exposicao atraves do uso dos operadores na migracao reversa no tempo em

um modelo simples de refletores inclinados (Figura 3.1a). O modelo dos refletores inclinados

simula diversas inclinacoes de um refletor em um meio com velocidade constante. Utilizamos

esse modelo para mostrar que todos os operadores aqui apresentados atuam bem tanto no

reposicionamento dos refletores quanto no colapso de difracoes. Adicionalmente, avaliaremos

como se comportam no tocante a dispersao numerica. A secao em tempo de afastamento nulo

para o modelo foi gerada atraves do pacote de processamento sısmico gratuito denominado

Seismic Unix (SU).

A Figura (3.1b) mostra a secao sısmica correspondente ao modelo do refletor inclinado

(Figura 3.1a). As Figuras (3.1c), (3.1d), (3.2a), (3.2b) e (3.2c) mostram as secoes migradas

com afastamento entre tracos de 20 metros e nas Figuras (3.3a), (3.3b), (3.3c), (3.3d) e

(3.4) temos as secoes migradas para afastamento entre tracos de 10 metros, todas referentes

38

39

ao modelo dos refletores inclinados. Os operadores utilizados na aproximacao das derivadas

espaciais para migracao reversa no tempo foram: implıcito (2−1) e (3−1) , diferencas-finitas

de quarta ordem, convolucional com 7 coeficientes e pseudo-espectral.

500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500 5000 5500 6000 6500 7000 7500

0.0

Distância (m)

Profundidade (m)

500

1000

1500

2000

2500

3000

( a )

500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500 5000 5500 6000 6500 7000 7500

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

1.4

1.6

1.8

Distância (m)

Tempo (s)

( b )

500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500 5000 5500 6000 6500 7000 7500

0.0

Distância (m)

Profundidade (m)

( c )

500

1000

1500

2000

2500

3000

500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500 5000 5500 6000 6500 7000 7500

0.0

Distância (m)

Profundidade (m)

( d )

500

1000

1500

2000

2500

3000

Figura 3.1: (a) Modelo dos refletores inclinados, (b) secao de afastamento nulo do

modelo dos refletores inclinados, secoes migradas para o modelo dos

refletores inclinados com afastamento entre tracos de 20 metros usando

(c) operador implıcito (2 − 1) e (d) operador implıcito (3 − 1)

40

500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500 5000 5500 6000 6500 7000 7500

0.0

Distância (m)

Profundidade (m)

( a )

500

1000

1500

2000

2500

3000

500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500 5000 5500 6000 6500 7000 7500

0.0

Distância (m)

Profundidade (m)

( b )

500

1000

1500

2000

2500

3000

500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500 5000 5500 6000 6500 7000 7500

0.0

Distância (m)

Profundidade (m)

( c )

500

1000

1500

2000

2500

3000

Figura 3.2: Secoes migradas para o modelo dos refletores inclinados com afasta-

mento entre tracos de 20 metros usando (a) diferencas-finitas de quarta

ordem, (b) operador convolucional com 7 coeficientes e (c) pseudo-

espectral

41

500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500 5000 5500 6000 6500 7000 7500

0.0

Distância (m)

Profundidade (m)

( a )

500

1000

1500

2000

2500

3000

500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500 5000 5500 6000 6500 7000 7500

0.0

Distância (m)

Profundidade (m)

( b )

500

1000

1500

2000

2500

3000

500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500 5000 5500 6000 6500 7000 7500

0.0

Distância (m)

Profundidade (m)

( c )

500

1000

1500

2000

2500

3000

500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500 5000 5500 6000 6500 7000 7500

0.0

Distância (m)

Profundidade (m)

( d )

500

1000

1500

2000

2500

3000

Figura 3.3: Secoes migradas para o modelo dos refletores inclinados com afasta-

mento entre tracos de 10 metros usando (a) operador implıcito (2− 1),

(b) operador implıcito (3− 1), (c) diferencas-finitas de quarta ordem e

(d) operador convolucional com 7 coeficientes

42

500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500 5000 5500 6000 6500 7000 7500

0.0

Distância (m)

Profundidade (m)

500

1000

1500

2000

2500

3000

Figura 3.4: Secao migrada para o modelo dos refletores inclinados com afastamento

entre tracos de 10 metros usando operador pseudo-espectral

Os resultados obtidos com o operador implıcito do tipo (2 − 1) (Figura 3.1c) foi se-

melhante ao obtido com o diferencas-finitas de quarta ordem (Figura 3.2a). Aumentando o

numero de coeficientes no operador implıcito para (3− 1) ha uma melhora significativa com

relacao ao efeito de dispersao numerica (Figura 3.1d). O resultado obtido com o operador

implıcito do tipo (3−1) e semelhante ao resultado gerado com o operador convolucional com

7 coeficientes (Figura 3.2b), que e equivalente a um esquema de diferencas-finitas de sexta

ordem.

Alem disso, e notorio que a diminuicao do afastamento entre os tracos (refinamento da

malha de discretizacao) produz resultados excelentes. Conforme visto nas Figuras (3.3a) a

(3.4), o operador implıcito do tipo (2 − 1) utilizando afastamento entre tracos de 10 metros

apresenta melhor resultado que o diferencas-finitas de quarta ordem para o mesmo afasta-

mento. Adicionalmente, o resultado com o operador implıcito do tipo (3 − 1) (Figura 3.3b)

foi semelhante aos gerados com o operador convolucional com 7 coeficientes (Figura 3.3d) e

pseudo-espectral (Figura 3.4). Entendemos que os melhores resultados foram obtidos com

o metodo implıcito, convolucional e pseudo-espectral. Assim, utilizaremos estes operadores

para a modelagem de tiros nos proximos itens e utilizaremos o operador pseudo-espectral

como referencia em termos de qualidade da imagem gerada.

3.3 Modelagem de secoes de tiro comum - Modelo de 3 camadas

Consideremos o modelo de tres camadas da Figura (3.5). O modelo possui 338 pontos em x

e 210 em z, com espacamento de 40 e 20 metros em x e z, respectivamente. O campo gerado

foi registrado na superfıcie atraves de receptores espalhados por todo o modelo, separados a

43

cada 40 metros. A fonte foi posicionada na parte central do modelo em (6, 0), coordenada em

quilometros. O intervalo de amostragem temporal utilizado no registro foi de dt = 2.0ms e

foram coletadas 1000 amostras por traco. O modelo utilizado e composto por tres camadas

isotropicas, cujas velocidades estao expostas na tabela (3.1) em (m/s). Utilizamos esse

modelo simples (Figura 3.5) para observar o desempenho dos operadores implıcito (Figura

3.6a e 3.6b), convolucional (Figura 3.7a, 3.7b e 3.8a) e pseudo-espectral (Figura 3.8b) na

modelagem de secoes de tiro comum. Foram gerados paineis de tiro comum utilizando 2

e 3 coeficientes no numerador do operador implıcito e 3, 5 e 7 coeficientes no operador

convolucional.

Camada Velocidade (m/s)

1 2000

2 2500

3 3000

Tabela 3.1: Parametros do modelo

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13Distância (km)

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

3.5

4.0

Profundidade (km)

Figura 3.5: Modelo de 3 camadas

44

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13Distância (km)

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

3.5

4.0

4.5

5.0Tempo (s)

( a )

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13Distância (km)

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

3.5

4.0

4.5

5.0Tempo (s)

( b )

Figura 3.6: Famılia de tiro comum utilizando o operador implıcito dos tipos (a)

(2 − 1) e (b) (3 − 1)

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13Distância (km)

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

3.5

4.0

4.5

5.0Tempo (s)

( a )

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13Distância (km)

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

3.5

4.0

4.5

5.0Tempo (s)

( b )

Figura 3.7: Famılia de tiro comum utilizando o operador convolucional com (a) 3

coeficientes e com (b) 5 coeficientes

45

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13Distância (km)

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

3.5

4.0

4.5

5.0Tempo (s)

( a )

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13Distância (km)

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

3.5

4.0

4.5

5.0Tempo (s)

( b )

Figura 3.8: Famılia de tiro comum utilizando o operador convolucional com (a) 7

coeficientes e o (b) operador pseudo-espectral

As figuras (3.6) a (3.8) mostram que nossa aproximacao da equacao completa da onda

garante uma apresentacao adequada dos eventos sısmicos de interesse em um sismograma.

Alem disso, oferece a possibilidade de comparar os operadores propostos em termos de

eficiencia na aproximacao e dispersao numerica associada a propagacao em meio discretizado.

Portanto, analisando os resultados obtidos podemos perceber que o operador implıcito do

tipo (2−1) (Figura 3.6a) apresenta resultado parecido com o do operador convolucional com

3 coeficientes (Figura 3.7a) e inferior ao do operador convolucional com 5 coeficientes (Figura

3.7b). Aumentando o numero de coeficientes do operador implıcito para (3−1) (Figura 3.6b)

obtemos resultado equivalente ao obtido utilizando 7 coeficientes no operador convolucional

(Figura 3.8a). Tal fato sugere que um melhor ajuste dos parametros do operador implıcito

nos conduziria a resultados proximos ao obtido com o operador pseudo-espectral (Figura

3.8b).

3.4 Modelagem de secoes de tiro comum - Modelo do domo

Consideremos agora um modelo mais complexo, o domo da Figura (3.9). O modelo possui

338 pontos em x e 210 em z, com espacamento de 40 e 20 metros em x e z, respectivamente. O

campo gerado foi registrado na superfıcie atraves de receptores espalhados por todo o modelo,

separados a cada 40 metros. A fonte foi posicionada na posicao (2, 0) do modelo, coordenada

em quilometros. Essa coordenada de posicionamento da fonte foi escolhida por se tratar de

uma regiao com muitas reflexoes e onde o alto contraste de velocidade devido a presenca do

sal nao prejudica a qualidade dos sismogramas gerados. O intervalo de amostragem temporal

46

utilizado no registro foi de dt = 2.0ms e foram coletadas 1000 amostras por traco.

Esse modelo do domo foi utilizado para demonstrar que os operadores se comportam

de maneira satisfatoria na modelagem de tiros em modelos complexos e com alto contraste

de velocidade. Assim como no item anterior, os resultados foram obtidos com os operadores

implıcitos (Figura 3.10a e 3.10b), convolucional (Figura 3.11a, 3.11b e 3.12a) e pseudo-

espectral (Figura 3.12b) na modelagem das secoes.

vel (m/s)

Figura 3.9: Modelo do domo

47

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13Distância (km)

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

3.5

4.0

4.5

5.0Tempo (s)

( a )

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13Distância (km)

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

3.5

4.0

4.5

5.0Tempo (s)

( b )

Figura 3.10: Famılia de tiro comum utilizando o operador implıcito dos tipos (a)

(2 − 1) e (b) (3 − 1)

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13Distância (km)

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

3.5

4.0

4.5

5.0Tempo (s)

( a )

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13Distância (km)

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

3.5

4.0

4.5

5.0Tempo (s)

( b )

Figura 3.11: Famılia de tiro comum utilizando o operador convolucional com (a) 3

coeficientes e com (b) 5 coeficientes

48

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13Distância (km)

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

3.5

4.0

4.5

5.0Tempo (s)

( a )

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13Distância (km)

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

3.5

4.0

4.5

5.0Tempo (s)

( b )

Figura 3.12: Famılia de tiro comum utilizando o operador convolucional com (a) 7

coeficientes e o (b) operador pseudo-espectral

Como visto nas Figuras (3.10) a (3.12), os operadores apresentam resultados confiaveis

na modelagem em meios fısicos complexos. Esses resultados mostram que todos os opera-

dores discutidos aqui sao precisos para a simulacao do campo de ondas em meios diversos.

O operador implıcito apresentou resultados aceitaveis (Figuras 3.10a e 3.10b) se compara-

dos com o operador convolucional (Figuras 3.11a,3.11b e 3.12a) e pseudo-espectral (Figura

3.12b), demonstrando assim sua equivalencia quanto ao resultado final obtido com os opera-

dores explıcitos citados. Logo, tomando como referencia o operador pseudo-espectral base-

ado nos resultados obtidos com os outros modelos, podemos afirmar que todos os operadores

apresentam resposta satisfatoria.

3.5 Migracao reversa no tempo de secoes de afastamento nulo -

Modelo do domo SEG-EAGE

Nesta secao usaremos mais um modelo (domo SEG-EAGE, Figura 3.13) que representa uma

situacao geologica de interesse em exploracao geofısica. Trata-se de um domo de sal cercado

de diversas estruturas de falhas geologicas. Esse modelo de sal possui 1290 amostras em x,

300 amostras em z e dx = dz = 12, 2m. A secao em tempo de afastamento nulo (Figura

3.14) referente a este modelo possui 1290 tracos, espacamento entre tracos de 12, 2m, 2504

amostras temporais e intervalo de amostragem temporal de 2ms. Nosso objetivo e avaliar

o comportamento dos operadores no posicionamento correto dos eventos sısmicos na secao

migrada mediante marcha reversa no tempo. Este modelo, juntamente com a secao de

afastamento nulo , servira como dado de entrada para a migracao reversa.

49

vel (feet/s)

Figura 3.13: Modelo do domo - SEG-EAGE

0Distância (kft)

0.0

2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44 46 48 50

Tempo (s)

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

3.5

4.0

4.5

5.0

Figura 3.14: Secao de afastamento nulo do domo - SEG

50

0Distância (kft)

0.0

2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44 46 48 50

1.0

2.0

3.0

4.0

5.0

6.0

7.0

8.0

9.0

10.0

11.0

Profundidade (kft)

Figura 3.15: Secao migrada utilizando operador implıcito do tipo (2 − 1)

0Distância (kft)

0.0

2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44 46 48 50

1.0

2.0

3.0

4.0

5.0

6.0

7.0

8.0

9.0

10.0

11.0

Profundidade (kft)

Figura 3.16: Secao migrada utilizando operador implıcito do tipo (3 − 1)

51

0Distância (kft)

0.0

2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44 46 48 50

1.0

2.0

3.0

4.0

5.0

6.0

7.0

8.0

9.0

10.0

11.0

Profundidade (kft)

Figura 3.17: Secao migrada utilizando operador diferencas-finitas de quarta ordem

0Distância (kft)

0.0

2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44 46 48 50

1.0

2.0

3.0

4.0

5.0

6.0

7.0

8.0

9.0

10.0

11.0

Profundidade (kft)

Figura 3.18: Secao migrada utilizando operador convolucional com 7 coeficientes

52

0Distância (kft)

0.0

2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44 46 48 50

1.0

2.0

3.0

4.0

5.0

6.0

7.0

8.0

9.0

10.0

11.0

Profundidade (kft)

Figura 3.19: Secao migrada utilizando operador pseudo-espectral

53

Foram realizadas migracoes com o operador implıcito dos tipos (2 − 1) (Figura 3.15) e

(3− 1) (Figura 3.16), com o operador diferencas-finitas de quarta ordem (Figura 3.17), com

o operador convolucional com 7 coeficientes (Figura 3.18) e com o metodo pseudo-espectral

(Figura 3.19). Os resultados mostram que os quatro operadores aqui apresentados atuam

bem na reconstituicao do modelo em profundidade atraves da migracao por marcha reversa

no tempo. As estruturas de interesse exploratorio (dobras a esquerda do domo e falhas em

torno do domo, inclusive abaixo do mesmo) sao muito bem reconstruıdas e, tanto o topo

como a base da intrusao sao bem delineadas. Dessa forma, podemos afirmar que os resultados

aqui apresentados sao satisfatorios em termos de qualidade da imagem gerada no final do

processo.

CAPITULO 4

Conclusoes

Mostramos a aplicabilidade dos operadores diferenciais na modelagem sısmica, atraves

da geracao de sismogramas sinteticos, e na migracao reversa no tempo, atraves da reconsti-

tuicao do modelo em profundidade utilizando a condicao de imagem do modelo do refletor

explosivo. Os operadores tiveram sua precisao comprovada na aproximacao da equacao

completa da onda e forneceram bons resultados.

Demonstramos que a utilizacao dos operadores diferencas-finitas de quarta ordem,

pseudo-espectral, convolucional e implıcito na modelagem sısmica foi efetiva no sentido de

que os eventos sısmicos de interesse em um sismograma sao adequadamente apresentados

tanto para um modelo geologico simples de tres camadas quanto para um modelo de uma

intrusao salina, que constitui uma situacao geologica mais complexa e de interesse na ex-

ploracao geofısica. Em ambos os casos, os operadores mostraram-se precisos. Concluimos

tambem que um melhor ajuste do operador implıcito certamente fornecera resultados com-

patıveis com o operador pseudo-espectral.

Atraves de um modelo de velocidade constante com refletores inclinados (Figura 3.1a),

vimos que os operadores apresentam resultados satisfatorios para diversos espacamentos en-

tre tracos na secao de afastamento nulo. De acordo com o exposto nas figuras (3.1c - 3.2d),

o simples aumento na quantidade de coeficientes no numerador do operador implıcito ( de

2 para 3 coeficientes) gerou uma melhora significativa nos resultados em relacao ao metodo

de diferencas-finitas de quarta ordem, apresentando um grau de proximidade elevado com o

operador convolucional com 7 coeficientes (equivalente ao diferencas-finitas de sexta ordem),

podendo ser melhorado para alcancar resultados equivalentes ao operador pseudo-espectral.

Associado a esse aumento no numero de coeficientes, refinamos a malha de discretizacao tra-

balhando com um afastamento entre tracos equivalente a metade do usado anteriormente,

e os resultados foram expressivos quanto a qualidade da imagem em todos os casos. Alem

disso, utilizamos tambem para a migracao reversa no tempo pos-empilhamento o modelo do

domo da SEG-EAGE (Figura 3.13) para demonstrar que os operadores sao precisos para alto

grau de complexidade em modelos geologicos de interesse exploratorio. Nesse ponto, demons-

tramos a funcionalidade e precisao das aproximacoes aqui utilizadas, pois todas as estruturas

de interesse contidas no modelo em profundidade foram devidamente reconstruıdas.

54

55

Portanto, podemos afirmar que os operadores atuam de forma precisa na aproximacao

das derivadas espaciais presentes na equacao da onda, com vistas a sua solucao diferencial,

tanto na propagacao direta no tempo (modelagem) quanto na marcha reversa temporal (mi-

gracao), fornecendo uma boa reconstituicao do modelo em profundidade livre de dispersao,

quando expandidos de forma adequada.

Agradecimentos

A Deus, de quem sao todas as coisas e para quem existo (1 Corıntios 8:6). A Ele meu

coracao e grato por todo o suprimento e encorajamento ao longo desta jornada. Baseado

nisso, como o apostolo Paulo eu posso declarar:“Ele e quem a todos da vida, respiracao e

tudo mais”(Atos 17:25b). Ao querido Senhor Jesus Cristo seja dada a honra devida pela

conclusao dessa etapa, pois Ele tem sido minha vida todos os dias!

Aos meus pais, Rau e Leca, pela dedicacao e empenho em meio a restricoes variadas.

Sem eles nada disso seria possıvel. Toda a eternidade e necessaria para expressar a gratidao

que sinto, pois eles foram os canais usados por Deus para suprir tudo o que foi necessario

nessa trajetoria. Neles encontrei amor, apoio e disponibilidade sem limites! Como sou grato

ao Senhor Amado por ter me dado voces!

A meus irmaos, Iria e Thiago, que estiveram presentes em todas as etapas da minha

vida e com os quais sempre compartilhei tudo. Foram eles que sempre tiveram que me aturar

quando estava tenso e rir com minhas historias de viagens, professores e colegas. Amo voces

e sou grato pela paciencia que tem comigo ate hoje.

A minha esposa, Carla, que sempre foi para mim um apoio. Alguem com quem posso

contar para tudo e que possui o equilıbrio e estabilidade que me falta em situacoes de pressao

extrema. Voce e para mim um presente do Senhor Amado!

Aos irmaos e irmas no Senhor, a respeito dos quais o salmista declara:“Quanto aos

santos que ha na Terra, sao eles os notaveis nos quais tenho todo o meu prazer”(Salmos

16:3). Faco das palavras do salmista as minhas!

Ao professor Reynam, por ter me orientado e por todo o apoio e paciencia ao longo

desses anos de convivencia. A ele devo quase tudo que sei em sısmica. A minha expectativa

e que Deus te abencoe ao maximo com Sua doce presenca!

A banca examinadora por ter aceitado o convite.

A ANP pelo apoio financeiro.

Aos amigos e colegas com quem convivi ao longo do curso e que ja fazem parte da

minha historia, entre os quais estao os colegas da turma 2005.1 e os que conheci e por quem

desenvolvi apreco ao longo dos anos de convivencia.

56

APENDICE A

Aproximacao de segunda e quarta ordens

para a segunda derivada utilizando o metodo

de diferencas-finitas

Considerando o caso unidimensional e um meio discretizado, a expansao em serie de

Taylor de uma funcao P (x) e dada por:

P (x + ∆x) = P (x) + ∆x∂P (x)

∂x+

(∆x)2

2!

∂2P (x)

∂x2+

(∆x)3

3!

∂3P (x)

∂x3. . . , (A.1)

e

P (x− ∆x) = P (x) − ∆x∂P (x)

∂x+

(∆x)2

2!

∂2P (x)

∂x2−

(∆x)3

3!

∂3P (x)

∂x3. . . (A.2)

Se somarmos as expansoes acima, podemos obter aproximacoes para derivadas pa-

res.Vejamos:

P (x + ∆x) + P (x− ∆x) = 2P (x) + (∆x)2∂2P (x)

∂x2+ 2

(∆x)4

4!

∂4P (x)

∂x4. . . (A.3)

Desprezando os termos de ordem superior a 2 e rearrumando a expressao (A.3), podemos

escrever:

∂2P (x)

∂x2≈

P (x + ∆x) − 2P (x) + P (x− ∆x)

(∆x)2(A.4)

Logo, a expressao (A.4) e uma aproximacao de segunda ordem para a segunda derivada

da funcao P em relacao a x, conforme querıamos demonstrar.

Para melhorar a precisao na aproximacao da derivada segunda, basta aumentar a ordem

do operador de diferencas-finitas.Tomemos a equacao (A.3) e representemos os termos de

ordem superior a 2 por 0(∆x)4, de acordo com a seguinte expressao:

0(∆x)4 = 2(∆x)4

4!

∂4P (x)

∂x4+ 2

(∆x)6

6!

∂6P (x)

∂x6+ 2

(∆x)8

8!

∂8P (x)

∂x8+ . . . (A.5)

57

58

Desprezando os termos de ordem superior a 4, podemos reescrever a expressao acima:

0(∆x)4 = 2(∆x)4

4!

∂4P (x)

∂x4= 2

(∆x)4

4!

∂2

∂x2

[

∂2P (x)

∂x2

]

(A.6)

Substituindo a expressao (A.4) na expressao (A.6) acima, podemos escrever:

2(∆x)4

4!

∂4P (x)

∂x4= 2

(∆x)4

4!

∂2

∂x2

[

P (x + ∆x) − 2P (x) + P (x− ∆x)

(∆x)2

]

, (A.7)

onde:∂2P (x + ∆x)

∂x2≈

P (x + 2∆x) − 2P (x + ∆x) + P (x)

(∆x)2(A.8)

∂2P (x− ∆x)

∂x2≈

P (x)− 2P (x− ∆x) + P (x− 2∆x)

(∆x)2(A.9)

Assim, substituindo o termo entre colchetes da equacao (A.7) pelas aproximacoes da-

das em (A.4), (A.8) e (A.9), obtemos o operador de diferencas-finitas de quarta ordem.Dessa

forma, desprezando os termos de ordem superior a 4 na equacao (A.3) e substituindo na

mesma a equacao (A.7), depois de serem feitas as devidas aprximacoes, obtemos uma ex-

pressao de diferencas de ordem 4 para calcular a derivada segunda de P em relcao a x:

∂2P (x, z, t)

∂x2≈ −

1

12(∆x)2[P (x + 2∆x, z, t) − 16[P (x + ∆x, z, t) + P (x− ∆x, z, t)] +

30P (x, z, t) + P (x− 2∆x, z, t)] (A.10)

Analogamente, podemos escrever:

∂2P (x, z, t)

∂z2≈ −

1

12(∆z)2[P (x, z + 2∆z, t) − 16[P (x, z + ∆z, t) + P (x, z − ∆z, t)] +

30P (x, z, t) + P (x, z − 2∆z, t)] (A.11)

Dessa forma, temos a aproximacao de ordem 4 para a segunda derivada de P em relacao

a x e z.

Referencias Bibliograficas

Alford, R.; Kelly, K. e Boore, D. (1974) Accuracy of finite-difference modeling of the acoustic

wave equation, Geophysics, 39:834–842.

Baysal, E.; Kosloff, D. e Sherwood, J. (1983) Reverse time migration, Geophysics, 48:1514–

1524.

Claerbout, J. F. (1970) Coarse grid calculations of waves in inhomogeneous media with

application to delineation of complicated seismic structure, Geophysics, 35:407–418.

Claerbout, J. F. (1985) Imaging the earth’s interior, Blackwell Scientific Publications.

Faria, E. L. (1986) Migracao antes do empilhamento utilizando propagacao reversa no tempo,

Dissertacao de mestrado, Universidade Federal da Bahia.

Fernandes, R. A. R. (1998) Modelagem e migracao para meios anisotropicos utilizando a

equacao acustica completa da onda, Dissertacao de mestrado, Universidade Federal da

Bahia.

Figueiredo, N. D.; Pestana, R. e Kosloff, D. (2009) Migracao reversa no tempo usando

derivadas espaciais calculadas implicitamente, In: Resumos Expandidos, 11o. Congr.

Intern. da SBGf, vol. 1, Salvador, SBGf.

Gazdag, J. (1978) Wave equation migration with the phase-shift method, Geophysics,

43:1324–1351.

Gazdag, J. e Sguazzero, P. (1984) Migration of seismic data by phase-shift plus interpolation,

Geophysics, 49:124–131.

Kosloff, D. e Baysal, E. (1982) Forward modeling by a fourier method, Geophysics, 47:1402–

1412.

Kosloff, D. e Kessler, D. (1990) Seismic numerical modeling, cap. 6, Elsevier Science Pu-

blishers.

Kosloff, D.; Pestana, R. e Tal-Ezer, H. (2008) Numerical solution of the constant density

acoustic wave equation by implicit spatial derivative operators, In: Resumos Expandidos,

SEG.

Loewenthal, D.; Lu, L.; Robertson, R. e Sherwood, J. (1976) The wave equation applied to

migration, Geophysical Proccessing, 24:380–399.

Schneider, W. (1978) Integral formulation for migration in two and three dimensions, Ge-

ophysics, 43:49–76.

59

60

Stolt, R. H. (1978) Migration by fourier transform, Geophysics, 43:23–48.

Telford, W. M.; Geldart, L. P.; Sheriff, R. E. e Keys, D. A. (1976) Applied Geophysics,

Cambridge Un. Press, Cambridge.

Yilmaz, O. (1987) Seismic data processing, SEG, New York.

Zhou, B. e Greenhalgh, S. (1992) Seismic scalar wave modeling by a convolutional differen-

tiator, Bulletin of the seismological society of America, 82:289–303.