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UNIVERSIDADE FEDERAL DA BAHIA

INSTITUTO DE GEOCIENCIAS

CURSO DE GRADUACAO EM GEOFISICA

GEO213 – TRABALHO DE GRADUACAO

ESTUDO COMPARATIVO EM MODELAGEM

SISMICA ENTRE TRACAMENTO DE RAIOS E

PROPAGACAO DE ONDAS

TIAGO FILGUEIRAS PEREIRA

SALVADOR – BAHIA

Dezembro – 2010

Estudo Comparativo em Modelagem Sısmica entre Tracamento de Raios e

Propagacao de Ondas

por

Tiago Filgueiras Pereira

GEO213 – TRABALHO DE GRADUACAO

Departamento de Geologia e Geofısica Aplicada

do

Instituto de Geociencias

da

Universidade Federal da Bahia

Comissao Examinadora

Dr. Wilson Mouzer Figueiro - Orientador

Dr. Eduardo Telmo Fonseca Santos

M.Sc. Michelangelo Gomes da Silva

Data da aprovacao: 21/12/2010

Dedico este trabalho a minha

famılia,

minha namorada e meus amigos.

RESUMO

Faz-se modelagens sısmicas acusticas para seis modelos bidimensionais de campos de veloci-

dades compressionais utilizando-se o programa de modelagem de campo de onda sısmica

TESSERAL. Os mesmo modelos sao, tambem, parametrizados por funcoes polinomiais,

realizando-se ajuste pelo metodo dos mınimos quadrados atraves de programa MATLAB.

Implementa-se uma tecnica de tracamento de raios nesses modelos polinomialmente parame-

trizados, obtendo-se os tracados dos raios e as curvas de tempos de transito que sao, entao,

comparadas aos sismogramas sinteticos gerados pelo programa de modelagem de campo de

onda sısmica.

iii

ABSTRACT

An acoustic seismic modeling is done on six bidimensional compressional velocity field models

using the seismic wave field modeling software TESSERAL. The same models are parame-

terized by polynomial functions using the least squares method contained in the MATLAB

program. Ray paths and traveltime curves are obtained by means of a ray tracing technique

that is implemented on these polynomially parameterized models. The traveltime curves are

then compared to the synthetic seismograms generated by the seismic wave field modeling

software.

iv

INDICE

RESUMO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iii

ABSTRACT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iv

INDICE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . v

INDICE DE FIGURAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . vii

INTRODUCAO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

CAPITULO 1 Fundamentos Teoricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.1 Tracamento de Raios em sua Teoria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.1.1 Equacoes do Raio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.2 Equacao da Onda Acustica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

CAPITULO 2 Experimentos Numericos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.1 Comentarios Gerais sobre o Funcionamento Interno do Programa de Modela-

gem de Campo de Onda Sısmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.2 Parametrizacao Polinomial dos modelos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.3 Tracamento de Raios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.3.1 Fluxograma do Algoritmo de Tracamento de Raios . . . . . . . . . . 8

CAPITULO 3 Modelos e suas Parametrizacoes . . . . . . . . . . . . . . . 9

3.1 Modelo M1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

3.1.1 Modelo M1 Parametrizado por Polinomio . . . . . . . . . . . . . . . . 9

3.2 Modelo M2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11


3.3 Modelo M3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11


3.4 Modelo M4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12


3.5 Modelo M5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15


3.6 Modelo M6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16


v

CAPITULO 4 Resultados obtidos pelo Tracamento de Raios . . . . . . . 18

4.1 Tracamento de Raios nos Modelos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

4.1.1 Raios Tracados em M1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

4.1.2 Curva de Tempos de Transito de M1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19











CAPITULO 5 Sismogramas Gerados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

5.1 Sismograma para M1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26






CAPITULO 6 Comparacoes dos Resultados e Interpretacoes . . . . . . . 30

6.1 Modelo M1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

6.2 Modelo M2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

6.3 Modelo M3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

6.4 Modelo M4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

6.5 Modelo M5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

6.6 Modelo M6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

CAPITULO 7 Conclusoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

Agradecimentos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

APENDICE A Ajuste Polinomial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

Referencias Bibliograficas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

ANEXO I Valores dos coeficientes dos polinomios para M2, M3, M4,

M5 e M6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

vi

INDICE DE FIGURAS

2.1 Fluxograma do Algoritmo de Tracamento de Raios . . . . . . . . . . . . . . 8

3.1 Modelo M1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

3.2 Modelo M1 Parametrizado por Polinomio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

3.3 Modelo M2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12


3.5 Modelo M3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13


3.7 Modelo M4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14


3.9 Modelo M5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15


3.11 Modelo M6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17


4.1 Raios Tracados em M1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

4.2 Curva de Tempos de M1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19




4.6 Curva de Tempo de M3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21







5.1 Sismograma do Modelo M1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26






vii

6.1 Sismograma e Curva de Tempos do Modelo M1 . . . . . . . . . . . . . . . . 30






viii

INTRODUCAO

O problema direto em sısmica consiste em, de posse do modelo sısmico (campo de velo-

cidades), encontrar a resposta sısmica. A chamada modelagem sısmica tem fundamental

importancia como ferramenta auxiliar na resolucao do problema principal, que e o problema

inverso. A ideia e comparar o dado sintetico gerado para um modelo sısmico com o dado

real que se quer inverter, ajustando o modelo ate que se atinja uma precisao aceitavel para

que este seja tomado como o que melhor representa a subsuperfıcie.

O princıpio da modelagem e a simulacao computacional da propagacao da energia sısmica no

meio geologico. Este princıpio e utilizado, tambem, em etapas da propria inversao sısmica,

como por exemplo na migracao pre-empilhamento em profundidade, onde a solucao da

equacao da onda e necessaria para depropagacao do campo de onda registrado e na geracao

das matrizes de tempo de transito. A equacao elastodinamica, que descreve a propagacao

da onda sısmica, nao tem solucao analıtica para meios complexos (Cerveny, 1987). As abor-

dagens mais comuns para a investigacao dos campos de ondas sısmicas em tais meios sao:

(a) Metodos baseados na solucao numerica direta da equacao elastodinamica, como dife-

rencas finitas e elementos finitos , e (b) Metodos baseados na aproximacao assintotica de

alta frequencia da equacao elastodinamica, como o Metodo do Raio.

Ambas abordagens apresentam suas vantagens e desvantagens. Enquanto a primeira pode

ser tida como mais completa, a segunda exige menor capacidade computacional e tem im-

plementacao mais facil. E ainda, a variedade de metodos dentro de uma mesma abordagem

e muito grande, os quais tambem apresentam suas particularidades.

Assim, conhecer que tipos de resultados serao obtidos com a aplicacao de um dado metodo

de modelagem, desenvolvido atraves de uma determinada tecnica, e essencial para se fazer a

escolha apropriada tendo em vista os objetivos que se pretende alcancar. Uma comparacao

entre os resultados da modelagem feita num software cujos resultados ja sao confiaveis e

uma modelagem implementada no ambito academico e uma maneira de se verificar quais

resultados estao, de fato, sendo obtidos com essa tecnica implementada e apontar os pontos

nos quais deve ser aprimorada.

1

CAPITULO 1

Fundamentos Teoricos

Neste capıtulo sao apresentados os aspectos teoricos que serviram de base para o tracamento

de raios desenvolvido no trabalho. Tambem e apresentada a equacao acustica da onda, cuja

solucao numerica direta e obtida na modelagem de propagacao acustica de onda utilizando-se

o programa TESSERAL.

1.1 Tracamento de Raios em sua Teoria

A modelagem atraves do tracamento de raios sısmicos pode ser dividida em duas partes:

cinematica e dinamica. A parte cinematica consiste no computo dos raios sısmicos, frentes

de onda e tempos de transito. A dinamica refere-se aos valores vetoriais complexos das

amplitudes do vetor deslocamento, permitindo a geracao de sismogramas sinteticos.

A unica abordagem rigorosa para os sistemas de tracamento de raios, englobando tanto a

parte cinematica quanto dinamica, e a baseada na solucao assintotica para altas frequencias

da equacao elastodinamica. Um tıpico representante dessa abordagem e o Metodo do Raio

(Babich, 1956; e Karal e Keller, 1959), tambem chamado Teoria Assintotica do Raio ou

Metodo de Serie do Raio. Este metodo pode ser usado para investigar ondas compressi-

onais, cisalhantes e convertidas, contemplando as ondas transmitida e refletidas em meios

isotropicos ou anisotropicos, homogeneos ou heterogeneos. Existem ate extensoes a teoria

basica que descrevem efeitos de difracoes.

No presente trabalho, no entanto, interessa-nos apenas a parte cinematica do tracamento de

raios em meios isotropicos e heterogeneos. O problema pode ser atacado, portanto, com abor-

dagens mais simples, como o Princıpio de Fermat e a Lei de Snell, desde que as frequencias

sejam relativamente altas (comprimento de onda pequeno comparado com a escala das he-

terogeneidades), e o meio suficientemente suave (baixos gradientes de velocidades sısmicas).

Para tais condicoes, as abordagens citadas (Princıpio de Fermat e Lei de Snell) derivam re-

sultados coincidentes com os derivados da Teoria Assintotica do Raio (Cerveny, 1987). Nao

e do escopo deste trabalho mostrar as derivacoes, apenas apresentar os resultados, pois estes

foram utilizados para a realizacao do tracamento de raios.

2

3

1.1.1 Equacoes do Raio

Para modelos isotropicos bidimensionais de velocidades acusticas, V (x, z), os resultados men-

cionados correspondem ao sistema de equacoes do raio (Cerveny, 1987) dado por:{d ~X(τ)dτ

= ~P (τ)d~P (τ)dτ

= 12~5[

1V 2

],

(1.1)

onde ~X(τ) = (x(τ), z(τ)) e o vetor posicao dos pontos da trajetoria do raio; ~P (τ) e o vetor

tangente a trajetoria no ponto (x(τ), z(τ)), denominado vetor vagorosidade por ser o inverso

da velocidade; V = V (x, z) e a velocidade de propagacao da onda compressional no ponto

(x, z) do modelo e τ e um parametro do caminho seguido pelo raio. Este parametro, τ , nao

tem uma significacao fısica direta, sendo apenas um artifıcio matematico usado para facilitar

o caculo das derivadas, tem dimensao L2T−1 no sistema internacional e e definido por:

τ =

∫ t

0

V 2dt, (1.2)

onde t e o tempo de transito. Atraves de expansoes em serie de Taylor, considerando-se

apenas os dois primeiros termos, o sistema de equacoes (1.1) pode ser escrito da seguinte

forma: ~X(τ + δτ) = ~X(τ) + d ~X(τ)dτ· δτ = ~X(τ) + ~P (τ) · δτ

~P (τ + δτ) = ~P (τ) + d~P (τ)dτ· δτ = ~P (τ) + 1

2~5[

1V 2(x,z)

]· δτ.

(1.3)

Essas sao as equacoes usadas para calcular numericamente cada passo da trajetoria do raio,

e, ao final de cada passo, o vetor vagarosidade deve sofrer a seguinte atualizacao a fim de

satisfazer a equacao eiconal: ∥∥∥~P∥∥∥2

=√P 2x + P 2

z =1

V (x, z). (1.4)

O tempo gasto pelo raio para realizar a viagem ao longo da trajetoria desde a fonte, S, ate

um ponto (xN+1, zN+1) na superfıcie e calculado numericamente por:

T (xN+1, zN+1) =N∑i=0

1

Vi·∥∥∥ ~Xi+1 − ~Xi

∥∥∥2, (1.5)

onde Vi e a velocidade no ponto ~Xi.

4

1.2 Equacao da Onda Acustica

Uma equacao que relaciona a pressao com sua velocidade de propagacao em meios acusticos

e a chamada equacao da onda de pressao e e dada por:

52p− 1

c2∂2p

∂t2= ~5ln(ρ)~5p, (1.6)

onde p = p(~x, t) e a pressao, ~x e o vetor posicao, t e o tempo, c e a velocidade de propagacao da

onda de pressao em (~x, t), ρ e a densidade em (~x, t), 52 o laplaciano relativo as dimensoes

espaciais, ~5 o operador gradiente, e ln o logaritmo neperiano. Quando ρ e constante, a

equacao (1.6) se reduz a:

52p− 1

c2∂2p

∂t2= 0. (1.7)

Esta e a chamada equacao da onda escalar acustica. A relacao pressao-deslocamento e dada

por:

p(~x, t) = −k5 ·~u(~x, t), (1.8)

onde ~x = (x, z), k e o modulo de compressao volumetrica, e ~u(~x, t) = (u1(~x, t), u2(~x, t)) e o

vetor deslocamento do ponto material situado em ~x no instante t.

CAPITULO 2

Experimentos Numericos

Visando-se a comparacao entre os tempos obtidos pelo tracamento de raios e os obtidos pela

modelagem da propagacao acustica de onda, as seguintes etapas foram realizadas: criacao de

seis modelos de velocidades sısmicas, obtencao dos sismogramas atraves de um programa de

modelagem de campo de onda sısmica, ajuste polinomial dos modelos, tracamento de raios

nos modelos ajustados e obtencao das curvas dos tempos calculados pelo tracamento.

Os modelos propostos nesse trabalho, que serao apresentados no proximo capıtulo, sao bidi-

mensionais, com as dimensoes de 32, 0 km no eixo horizontal x por 4, 0 km de profundidade

z. Estes modelos foram primeiro desenhados no programa de modelagem de campo de onda,

depois parametrizados para que o tracamento de raios pudesse ser feito.

2.1 Comentarios Gerais sobre o Funcionamento Interno do Pro-

grama de Modelagem de Campo de Onda Sısmica

Utilizando-se uma versao gratuita de demonstracao do programa Tesseral, os sismogramas

sinteticos foram obtidos atraves da opcao de mogelagem acustica com: as ondas superficiais

suprimidas, 107 receptores epacados de 300 m e apenas um tiro com a fonte localizada na su-

perfıcie em x = 16, 0 km. O programa utiliza diferencas finitas para calcular numericamente

a solucao da equacao acustica da onda, apresentada no capıtulo anterior e assim simular sua

propagacao.

O metodo das diferencas finitas consiste em substituir uma equacao diferencial por uma

equacao que envolva somente diferencas finitas. Assim, atraves de operadores de diferencas

finitas, calcula-se o valor de derivadas parciais de um campo, em um dado ponto, a partir de

medias ponderadas dos valores do campo em pontos vizinhos na malha (derivadas espaciais)

e em instantes consecutivos no tempo (derivadas temporais). Uma malha de pontos (grid) e

utilizada para a discretizacao do meio e do campo de onda. Tal metodo de solucao numerica

permite o calculo da onda em cada instante, possibilitando a visualizacao do instantaneo

(snapshot) da perturbacao que se propaga no meio, o que e de grande valia para modelagem

sısmica.

5

6

Outra grande vantagem do metodo e a possibilidade de se utilizar modelos com qualquer tipo

de geometria complexa e, alem disso, os resultados obtidos podem ter a precisao desejada,

contemplam todos os eventos sısmicos e dao as amplitudes corretas, gerando sismogramas

sinteticos completos. Entretanto, deve-se levar em consideracao a elevada demanda compu-

tacional, em termos de memoria e tempo de processamento.

2.2 Parametrizacao Polinomial dos modelos

A parametrizacao polinomial foi escolhida, pois essa suaviza o campo de velocidades e o torna

facilmente e infinitamente derivavel e integravel, o que convem para a tecnica de tracamento

de raios aplicada. Para parametriza-los, lancou-se sobre os modelos uma malha de 65 linhas

verticais e 21 linhas horizontais, espacadas de 0, 5 km. A partir dos valores da velocidade nos

nos dessa malha, fez-se o ajuste de uma funcao polinomial atraves da resolucao de sistemas

lineares de equacoes utilizando-se um programa MATLAB. Os modelos foram ajustados por

polinomios da forma:

V (x, z) = C0,0 + C1,0 · x+ C0,1 · z + C2,0 · x2 + C1,1 · xz + . . .+ Cm,n · xmzn (2.1)

ou seja,

V (x, z) =N∑

i+j=0

Ci,j · xizj (2.2)

Os polinomios tiveram 18 termos, correspondendo ao grau 5. Polinomios com mais termos

(maior grau) poderiam melhorar o ajuste, no entanto tentativas nesse sentido mostraram que

o alto grau originava artefatos matematicos indesejados no tracamento. Apenas o primeiro

modelo foi ajustado por um polinomio de grau 1 e unidimensional, devido a simplicidade

deste, como sera visto no capıtulo seguinte. O calculo dos coeficientes foi feito atraves do

Metodo dos Mınimos Quadrados (Menke, 1989), como explicado no Apendice A. Os coefici-

entes achados definirao, entao, os campos de velocidades usados no algoritmo de tracamento

de raios.

2.3 Tracamento de Raios

Existem duas classes principais de metodos para o tracamento: o bending method (metodo

do encurvamento) que calcula a trajetoria do raio atraves do seu encurvamento, mantendo-se

as posicoes da fonte e do receptor fixas (Figueiro e Madariaga, 1999) e o shooting method

(metodo do tiro), que mantem fixa apenas a posicao da fonte, na qual varia-se o angulo de

saıda do raio visando fazer com que este chegue no receptor de interesse. Neste trabalho uti-

lizamos este ultimo metodo e foram obtidos, entao, os tempos que os raios levam para atingir

7

a superfıcie, como se houvessem receptores cobrindo toda ela. O algoritmo de tracamento

de raios foi implementado em FORTRAN.

A posicao da fonte foi colocada na superfıcie de observacao numa posicao central, ~S =

(x0, z0), com x0 = 16, 0 km e z0 = 0, 0 km. O tempo e o parametro τ tem seu valor inicial

nulo e o valor do passo, δτ , e arbitrado em 0, 015 km2/s. A direcao inicial do raio e definida

pelo angulo θ que o vetor vagarosidade ~P faz com a orientacao positiva do eixo horizontal

x. E este angulo foi feito variar de 0 a 180 graus, com passo de 0, 0001 grau. Assim o vetor

vagarosidade pode ser decomposto nas seguintes componentes:

Px =∣∣∣~P ∣∣∣ cos(θ) (2.3)

e

Pz =∣∣∣~P ∣∣∣ sen(θ). (2.4)

A partir das condicoes iniciais pode-se resolver o problema do tracamento de raios, utilizando-

se o sistema de equacoes (1.1), que fica:{~X(δτ) = ~X(0) + ~P (0) · δτ

~P (δτ) = ~P (0) + 12~5(

1V 2(x,z)

)τ=0· δτ,

(2.5)

onde pela equacao eiconal pode-se calcular ~P (0) = 1/V (x0, z0), daı em diante a posicao e o

vetor vagarosidade sao atualizados por:~X((n+ 1) · δτ) = ~X(n · δτ) + ~P (n · δτ) · δτ

~P (n · δτ) = ~P ((n− 1) · δτ) + 12~5(

1V 2(x,z)

)τ=(n−1)·δτ

· δτ. (2.6)

Lembrando que cada novo vetor vagarosidade calculado deve ter sua magnitude atualizada

de forma a atender a equacao eiconal, assim:

Px =Px

V (x, z) ·√P 2x + P 2

z

(2.7)

e

Pz =Pz

V (x, z) ·√P 2x + P 2

z

. (2.8)

O tempo e calculado atraves de:

T (xN+1, zN+1) = T (xN , zN) +1

VN

√(xN+1 − xN)2 + (zN+1 − zN)2, (2.9)

onde VN e a velocidade em (xN , zN).

8

2.3.1 Fluxograma do Algoritmo de Tracamento de Raios

Figura 2.1: Fluxograma do Algoritmo de Tracamento de Raios

CAPITULO 3

Modelos e suas Parametrizacoes

Todos os modelos, aqui considerados, representam campos bidimensionais de velocidades

sısmicas acusticas e sao isotropicos e heterogeneos. Estes, como ja dito no capıtulo anterior,

foram originalmente desenhados no programa de modelagem de campo de onda sısmica, por

isso, neste trabalho, nos referimos a tais modelos como os originais para distingui-los dos

parametrizados. Neste capıtulo apresentamos os modelos originais e os resultados de suas

parametrizacoes polinomiais. Os coeficientes do polinomio que parametriza o modelo M1

aparecem neste capıtulo, os dos polinomios relativos aos demais modelos no Anexo I.

3.1 Modelo M1

O primeiro modelo (Figura 3.1) foi escolhido para ter apenas camadas horizontais, para per-

mitir uma melhor visualizacao da suavizacao que a parametrizacao polinomial proporciona,

bem como facilitar as analises comparativas entre os resultados do tracamento de raios e o

sismograma gerado pela modelagem baseada na propagacao da onda. Este modelo, que foi

denominado M1, e o mais simples dentre os usados neste trabalho, apresentando variacao

apenas na direcao z, podendo ser interpretado geologicamente como constituıdo por 20 ca-

madas sedimentares de igual espessura, 200 m, e com velocidades que aumentam de 1, 5 ate

6, 5 km/s, sendo constantes dentro de cada camada.

3.1.1 Modelo M1 Parametrizado por Polinomio

A parametrizacao deste modelo (Figura 3.2) foi a mais simples, bastando um polinomio

unidimensional de dois termos. O ajuste polinomial foi muito bom devido a simplicidade do

modelo. A diferenca entre o modelo parametrizado para o original desenhado no Tesseral e

que este ultimo apresenta interfaces bem definidas a cada 200 metros, as descontinuidades de

velocidade separando as camadas. O modelo ajustado, e claro, nao apresenta tais interfaces

e sim uma variacao gradual na velocidade acustica de acordo com o polinomio:

V (x, z) = 1, 5 + 1, 25 · z. (3.1)

9

10

Figura 3.1: Modelo M1

Figura 3.2: Modelo M1 Parametrizado por Polinomio

11

3.2 Modelo M2

O modelo M2 (Figura 3.3) representa camadas que apresentam espessuras que variam la-

teralmente, podendo ser interpretado geoloicamente como correspondente a dobras suaves

originadas devido a esforcos tectonicos compressivos. As velocidades sısmicas variam de 1, 5

a 4, 5 km/s.


O resultado da parametrizacao polinomial deste modelo (Figura 3.4) apresentou uma distri-

buicao de velocidades proxima a do modelo original (Figura 3.3), no entanto, nas profundi-

dades mais rasas, especialmente proximo aos limites laterais do modelo, ocorrem velocidades

inferiores a 1, 5 km/s que e menor do que a velocidade mınima do modelo original.

3.3 Modelo M3

Este modelo (Figura 3.5) e constituıdo tambem por quatro camadas, com velocidades que vao

de 2,0 a 4,5 km/s. As duas primeiras interfaces apresentam curvas suaves que de forma geral

se acompanham, o que, geologicamente, pode-se interpretar como uma origem comum para

as curvaturas, seja esta de origem tectonica ou de cunho isostatico. Ja a terceira interface

difere significante das outras. A terceira camada, que apresenta uma velocidade tıpica de

folhelhos (3,6 km/s), se torna bem mais espessa na regiao central do modelo, alcancando

uma espessura maxima de mais de 2, 5 km em x = 12, 0 km.


A parametrizacao polinomial obtida para o modelo M3 (Figura 3.6) obteve razoavel cor-

respondencia com o modelo original. As diferencas existentes se referem a uma velocidade

mınima de 1, 5 km/s que aparece no topo do modelo parametrizado, enquanto o original

tinha 2, 0 km/s como a menor velocidade, e a espessura da segunda camada que permanece

mais uniforme no modelo parametrizado do que no original. Outra grande diferenca foi a sig-

nificativa variacao de velocidades que ocorre na regiao que corresponderia a terceira camada

do modelo original.

12



3.4 Modelo M4

O modelo M4 (Figura 3.7) pode ser interpretado como um canal escavado no arenito preen-

chido com folhelho. Este e um modelo simples, de apenas duas velocidades diferentes, uma

13



que pode ser relacionada ao folhelho (3, 5 km/s) e outra ao arenito (4, 5 km/s). E um modelo

razoavelmente simetrico e que apresenta uma espessura maior na primeira camada na regiao

central, que chega a cerca de 2, 2 km.

14




A parametrizacao deste modelo (Figura 3.8) resultou em um campo com diferencas consi-

deraveis em relacao ao original. O ajuste polinomial criou curvaturas inexistentes original-

mente entre as camadas nas regioes proximas aos limites laterais do modelo, e houve grande

15

variacao nas velocidades dentro das camadas, que no modelo original tem velocidades cons-

tantes. A velocidade mınima, que no modelo original e 3, 0 km/s, chega a 2, 5 km/s no

modelo parametrizado.

3.5 Modelo M5

O modelo M5 (Figura 3.9) representa, esquematicamente, camadas sedimentares com uma

flexura no meio. Sao quatro camadas paralelas horizontais que mudam pra uma atitude de

inclinacao de cerca 30 graus por mais de 2 km para em seguida voltarem a horizontalidade.

As velocidades variam de 1, 5 a 5, 0 km/s e o modelo apresenta quinas nas mudancas de

atitude das camadas.



O modelo parametrizado (Figura 3.10) nao apresenta quinas, evidenciando que a parame-

trizacao suaviza nao so as descontinuidades das velocidades, como tambem a geometria,

deixando as camadas mais curvas. O intervalo de velocidades ficou bastante proximo do

original.

16


3.6 Modelo M6

O modelo M6 (Figura 3.11) pode ser interpretado geologicamente como um domo salino de

grandes dimensoes, que desloca as camadas sobrepostas e cria armadilhas de hidrocarbonetos

nos flancos do domo. O modelo apresenta grandes contrastes laterais devido a intrusao do

domo de sal (4, 8 km/s) que entra em contato lateral com arenito (4, 1 km/s) e com o folhelho

(3, 3 km/s). Uma cobertura sedimentar mais lenta (2, 8 km/s) sobrepoe o modelo.


Este foi o modelo de mais difıcil ajuste devido a sua complexidade (Figura 3.12). Em todo

caso, e possıvel identificar ainda o diapirismo salino, embora com pouca delimitacao. Este

resultado torna evidente a dificuldade de se representar modelos que apresentam contraste

nas duas direcoes (x e z) com a parametrizacao polinomial.

17



CAPITULO 4

Resultados obtidos pelo Tracamento de Raios

4.1 Tracamento de Raios nos Modelos

Neste capıtulo apresentamos os raios tracados para cada modelo e as respectivas curvas de

tempo de transito obtidas.

4.1.1 Raios Tracados em M1

O modelo M1 proporcionou um otimo resultado no tracamento de raios (Figura 4.1), como

ja esperado devido a simplicidade da funcao polinomial que o representa. O modelo sendo

completamente simetrico originou tracados simetricos, que iluminaram quase toda a sua

profundidade, condizendo com o grande numero de camadas que o modelo original tem. No

entanto, antes de x = 6, 0 km e depois de x = 26, 0 km nao ha retorno dos raios, restringindo

a iluminacao horizontal a regiao central do modelo.

Figura 4.1: Raios Tracados em M1

18

19

4.1.2 Curva de Tempos de Transito de M1

A simetria da curva de tempos de transito (Figura 4.2) tambem condiz com a simetria

do modelo. Observa-se, no entanto, que nao ha tempos duplos, muito menos triplos ou

multiplos como poderia se esperar. Para cada posicao x ha apenas um registro temporal.

A curva restringe-se a mesma regiao onde foi observado ocorrer a iluminacao horizontal no

tracamento, mostrando a coerencia do resultado.

Figura 4.2: Curva de Tempos de M1


No tracamento de raios deste modelo (Figura 4.3) ocorreu um comportamento anomalo dos

raios na regiao proxima a superfıcie, entre x = 6, 0 km e x = 15, 0 km. A explicacao mais

coerente para tal comportamento e que a velocidade da regiao pode ter alcancado valores

menores que 1 km/s. Assim, como no sistema de equacoes (1.3) que e usado para tracar

o raio, aparece o termo 5(1/V 2) cujo argumento assume valores altos para velocidades

menores que a unidade, e, portanto, sua variacao produz mudancas repentinas na direcao do

raio nesta regiao. Fora este artefato matematico, que sem duvida prejudicou o tracamento, o

resultado mostra corretamente a assimetria do modelo e as curvaturas dos raios se mostram

tambem em bom acordo com o modelo.


As instabilidades observadas no tracamento se refletem na curva de tempos (Figura 4.4).

Existe uma zona de sombra depois de x = 12, 0 km ate depois de x = 15, 0 km, bem como

20


tempos duplos em x = 6, 0 km e em x entre 11, 0 e 12, 0 km devido a regiao de baixa

velocidade ja citada.



O modelo M3 apresenta maior simetria do que o M2, o que ocasionou um tracamento tambem

mais simetrico (Figura 4.5). Observa-se uma boa iluminacao neste modelo.

21



A curva de tempos (Figura 4.6) mostra que os raios retornam cobrindo toda a superfıcie. A

curva e mais simetrica do que a de M2, como esperado, com a pequena assimetria evidenciada

na diferenca de tempo em x = 32 km e x proximo a 0 km. Esta ultima observacao esta

condizente com o modelo que tem a ultima interface mais rasa no lado direito.

Figura 4.6: Curva de Tempo de M3

22


Este modelo nao e rigorosamente simetrico e, portanto, apresenta pequenas assimetrias.

Os tracados dos raios (Figura 4.7), coerentemente, apresentam pouca assimetria. Os raios

retornam ao longo de toda a superfıcie do modelo, mostrando boa iluminacao.



Esta curva (Figura 4.8) e, de forma geral, simetrica, refletindo o grau de simetria do modelo

e do tracamento. Mostra boa iluminacao, indo de x = 0, 0 km a x = 32, 0 km, como previsto

pela observacao dos raios que retornam a superfıcie no tracamento.


Observa-se total coerencia do tracado dos raios (Figura 4.9) com a elevacao das camadas na

parte direita do modelo. Os raios retornam mais cedo na regiao direita e mostram iluminacao

um pouco melhor nessa area.


A assimetria da curva de tempo deste modelo (Figura 4.10) e a esperada pelo fato das cama-

das estarem mais rasas na parte direita, e esta de acordo com a observacao feita visualizando-

se o tracado dos raios. A curva mostra a melhor iluminacao na parte direita, tambem como

23



esperado. Uma zona de sombra acontece em valores de x menores que 4, 0 km.


No tracamento deste modelo (Figura 4.11), que como ja dito e o mais complexo, pode-se

observar um cruzamento de raios na profundidade de cerca de 3, 0 km, em x entre 3, 0 e

4, 0 km. Isso evidencia uma regiao caustica, ou seja, onde os raios se afunilam, cruzando-se

eventualmente. Tal fenomeno pode ser indesejavel no tracamento, principalmente na parte

24


dinamica devido as amplitudes infinitas que aparecem em tais regioes. Como no presente

trabalho restringimos-nos a parte cinematica, e os raios que passam por essa zona caustica

nao retornam a superfıcie, tal zona nao acarretou problemas ao tracamento realizado.


25


A curva de tempo (Figura 4.12) nao reflete a complexidade do modelo, e razoavelmente

simetrica e ha zona de sombra apenas a partir de pouco antes de x = 31, 0 km. Como

esperado, a regiao de cruzamento de raios identificada no tracamento nao causou problemas

nos tempos obtidos.


CAPITULO 5

Sismogramas Gerados

Neste capıtulo apresenta-se uma possıvel interpretacao para cada sismograma gerado, que

sao analisados juntamente com os snapshots obtidos na modelagem, os quais nao sao aqui

mostrados para nao sobrecarregar o trabalho.

5.1 Sismograma para M1

No sismograma gerado para o modelo M1 (Figura 5.1), pode-se observar pelo menos 9

hiperboles indicativas de interfaces planas, das 19 que o modelo possui. As demais pro-

vavelmente nao tiveram amplitudes altas o suficiente para a identificacao devido ao baixo

contraste de impedancia e a perda de energia nas reflexoes anteriores. Nota-se ainda que as

hiperboles ultrapassam a onda direta, como era esperado, ja que o modelo tem velocidades

crescentes com a profundidade e uma grande dimensao horizontal.

Figura 5.1: Sismograma do Modelo M1

26

27


Observa-se neste sismograma (Figura 5.2) que primeiramente aparece a onda direta e, mais

abaixo desta e sem ultrapassa-la, a reflexao referente a primeira interface. Depois as reflexoes

das outra duas interfaces aparecem, ultrapassando a onda direta. Ha tambem o aparecimento

de multiplas para fora dos limites da onda direta.



Neste sismograma (Figura 5.3) pode-se notar que a reflexao causada pela primeira interface

nao ultrapassa a onda direta, mas fica cada vez mais proxima dela com o aumento do offset.

Ja a segunda reflexao ultrapassa a primeira reflexao e a onda direta a partir de 1,5 segundos.

A ultima reflexao tambem a ultrapassa, apresentando uma curva mais aberta que as demais

devido a maior velocidade da ultima camada. Percebe-se, tambem, a presenca de multiplas

abaixo das reflexoes.


O sismograma gerado para o modelo M4 (Figura 5.4) mostra a onda direta, uma reflexao

abaixo desta na parte central com difracoes nas laterais. Os eventos que ultrapassam a onda

direta foram interpretados como devido a refracao, ja que nesse caso, a onda caminha na

interface com a velocidade da segunda camada que e maior que a da primeira.

28




O sismograma referente ao modelo M5 (Figura 5.5), apresenta, abaixo da onda direta, uma

hiperbole originada por uma reflexao plana ate x = 17, 0 km, para valores maiores de x

aparecem difracoes devido a quina onde as camadas assumem uma inclinacao, a partir daı

ha reflexoes da parte inclinada seguida de outras difracoes provocadas por uma nova quina

onde as camadas voltam a ser planas e se encontram mais rasas. Multiplas e reflexoes

primarias originadas nas duas interfaces mais profundas ultrapassam a onda direta.

29



O sismograma de M6 (Figura 5.6) mostra uma sombra na reflexao da terceira camada devido

ao domo, o que pode ser evidenciado pelas difracoes que ocorrem indicando a presenca deste.

Pode-se observar tambem que entre x igual a 4, 0 km e x igual a 12, 0 km os primeiro eventos

obtidos sao devido a refracao da onda na cabeca do domo. Ha tambem a presenca de

multiplas e de reflexoes provindas das paredes do domo de sal.


CAPITULO 6

Comparacoes dos Resultados e Interpretacoes

Apresentamos aqui os resultados das superposicoes das curvas de tempos de transito

obtidas pelo tracamento de raios (que aparecem em verde nas figuras) e os sismogramas para

cada modelo. Assim, foi possıvel analisar qualitativamente, ao comparar as curvas com os

registros dos sismogramas, quais provaveis eventos sısmicos formaram essas curvas de tempos

obtidas.

6.1 Modelo M1

O resultado (Figura 6.1) para o primeiro modelo, M1, mostra que os tempos obtidos pelo

tracamento de raios correspondem aos primeiros eventos registrados no sismograma em cada

receptor, nao aparecendo nenhum dos eventos que vem depois. A curva de tempos de transito

comeca, entao, pela onda direta e, a medida que esta ultima e ultrapassada pelas reflexoes - o

que acontece nos tempos maiores que 1,5 segundos - a curva passa a representar as reflexoes.

Figura 6.1: Sismograma e Curva de Tempos do Modelo M1

30

31

6.2 Modelo M2

Na comparacao deste modelo (Figura 6.2), observa-se que, apesar da zona de sombra ja

devidamente explicada, a curva de tempos de transito obtida esta em bom acordo como o

sismograma. Esta curva permanece apenas um pouco abaixo dos primeiros eventos regis-

trados no sismograma. Os tempos duplos em x = 6, 0 km e em x entre 11, 0 e 12, 0 km,

coincidentemente sobrepoem eventos sısmicos do sismograma, no entanto, como ja explicado

no capıtulo 4, tratam-se apenas de artefatos matematicos.


6.3 Modelo M3

A curva de tempos de transito obtida para este modelo sobrepoe a onda direta inicialmente e

depois passa a sobrepor a reflexao referente a segunda interface, passando, a partir do tempo

de cerca de 4 segundos, a acompanhar a reflexao da terceira interface (Figura 6.3). A super-

posicao nao e perfeita, a curva permanece um pouco acima desses eventos, principalmente a

partir de 3 segundos.

32


6.4 Modelo M4

Neste modelo, temos o resultado (Figura 6.4) mostrando uma curva de tempos de transito

que, como nos modelos anteriores, comeca sobrepondo a onda direta, mas logo nos primeiros

tempos, fica um pouco abaixo desta, mostrando uma leve concavidade para cima. A partir

de cerca de 2,5 segundos, a curva passa a sobrepor as refracoes que ultrapassam a onda direta

em ambos os lados.


33

6.5 Modelo M5

Para o modelo M5, observa-se que, como nos demais modelos, ha uma boa superposicao

entre a curva de tempos de transito e os primeiros eventos do sismograma (Figura 6.5). A

curva acompanha a assimetria do sismograma, comecando com uma superposicao da onda

direta, que logo nos tempos iniciais, cerca de 0,5 segundos, fica um pouco abaixo desta, como

se apresentasse uma transicao ate passar a acompanhar as reflexoes, o que acontece a partir

de 2,5 segundos no lado direito e a partir de cerca de 3,5 segundos no lado esquerdo.


6.6 Modelo M6

Este modelo, mesmo sendo o mais complexo, apresenta uma otima concordancia com os

primeiros registros do sismograma (Figura 6.6). Como observado para o demais modelos, a

curva acompanha inicialmente a onda direta, depois passa a acompanhar os eventos que a

ultrapassam. No lado direito, esses eventos compreendem reflexoes por volta de x = 23, 0

km e no lado esquerdo refracoes , que para valores de x menores que 11, 0 km e maiores que

8, 0 km foram interpretadas como originadas na cabecas do domo, e reflexoes para tempos

maiores que 3,5 segundos.

Observa-se que a curva permanece um pouco abaixo dos eventos interpretados como refracoes

do domo. No entanto, os indicadores da presenca de um domo salino, como a interrupcao

na reflexao da terceira camada e as difracoes nao apareceram na curva.

34


CAPITULO 7

Conclusoes

Os resultados comparativos apresentados no ultimo capıtulo mostraram, desde o primeiro

modelo, que as curvas de tempo de transito obtidas pelo tracamento de raios feito corres-

pondem, basicamente, aos primeiros registros do sismograma em cada receptor. Nao houve

a multiplicidade de tempos esperada e observou-se que a curva de tempos, de modo geral,

constitui-se inicialmente pela onda direta e depois por partes de eventos distintos. Nota-se

ainda que, na maior parte dos modelos, enquanto ainda acompanha a onda direta, a curva

comeca a ficar um pouco mais abaixo desta a medida que o tempo aumenta, isso se deve

ao fato de o tracado do raio passar a ser curvo diferenciando-se do trajeto reto que a onda

direta faz.

A superposicao entre a curva de tempos de transito e esses primeiros registros dos sismogra-

mas nao foi perfeita. Mas o sucesso obtido foi surpreendente, tendo em vista que os modelos

parametrizados apresentam muitas diferencas em relacao aos modelos desenhados no Tesse-

ral. As diferencas apareceram nao so pelas dificuldades do ajuste polinomial para modelos

mais complexos, mas como da propria natureza da parametrizacao feita, que substitui um

modelo de camadas com velocidade constante dentro delas e descontinuidades nas interfaces,

por um modelo onde as velocidades variam suavemente.

As curvas de tempos de transito nao contemplam as difracoes. As refracoes aparecem apenas

em casos especıficos. Na verdade, no tracamento feito, nao ha nem reflexoes propriamente

ditas, pois o modelo parametrizado nao apresenta interfaces, no sentido de superfıcies (curvas,

no caso 2D) de descontinuidade das velocidades, assim os raios apenas sao curvados de acordo

com a variacao da velocidade em cada posicao, dada pela funcao polinomial que a representa.

Os raios que atingem um ponto de retorno e voltam a superfıcie e que representam as ondas

refletidas e, em alguns casos, podem representar as ondas refratadas.

Portanto, a conformidade das curvas de tempo de transito com os sismogramas, feitas

as ressalvas, evidencia a coerencia e correcao do tracamento de raios sısmicos aqui feito.

Constituindo-se num metodo de modelagem rapido e eficiente, porem limitado por nao con-

templar todos os eventos sısmicos.

Assim, o presente estudo proporcionou o conhecimento de quais resultados podem, de fato,

ser obtidos usando as tecnicas de parametrizacao e tracamento empregadas. Estudos futuros

35

36

de mesma natureza comparativa podem ser feitos usando outras tecnicas de parametrizacao,

que tambem permitam o tracamento de raios, como a parametrizacao trigonometrica, na

tentativa de contemplar mais eventos, permitindo uma modelagem mais completa.

Agradecimentos

Agradeco a todas as pessoas que amo pelo suporte e por me transmitirem confianca so

pelo fato de existirem. Aos meus pais por todo o amor que me concederam. A minha irma,

minha namorada e amigos, pela paciencia que tiveram durante essa fase de dedicacao a este

trabalho.

A Wilson M. Figueiro, meu orientador, pela disposicao, disponibilidade e paciencia que

teve ao indicar os melhores caminhos a seguir para alcancar meu objetivo. Ao professor

Max Argolo, com quem trabalhei durante um ano do curso. A todos os professores do curso

de Geofısica da UFBa pelos ensinamentos. A ex-coordenadora Jacira pelo carinho e ajuda

sempre concedida. Ao tambem ex-coordenador, Amin Bassrei, pelos valiosos conselhos, e ao

atual coordenador, Alberto Brum, pela boa vontade mostrada para a solucao de problemas

dos alunos.

E aos colegas pela importante ajuda que me deram, sem a qual receio que nao seria

possıvel essa realizacao.

37

APENDICE A

Ajuste Polinomial

Para a parametrizacao polinomial dos modelos de velocidades sısmicas compressionais, utiliza-

se as informacoes das velocidades dos nos de uma malha regular, discretizando o modelo.

Assim podemos representar a informacao extraıda como uma matriz M :

MT =

x1 x1 . . . x1 x2 x2 . . . x2 . . . xn xn . . . xn

z1 z2 . . . zm z1 z2 . . . zm . . . z1 z2 . . . zm

v1,1 v1,2 . . . v1,m v2,1 v2,2 . . . v2,m . . . vn,1 vn,2 . . . vn,m

(A.1) onde vk,l e a velocidade no ponto (xk, zl). Procura-se ajustar um polinomio, atraves

dos pontos da matriz M, que tem a forma:

v(x, z) =N∑

i+j=0

ci,j · xizj. (A.2)

Combinando as equacoes (A.1) e (A.2), produz-se o sistema de equacoes:

N∑i+j=0

ci,j · xikzjl = vk,l (A.3)

onde temos que k ∈ {1, 2, 3, . . . , n} e l ∈ {1, 2, 3, . . . , n}. Matricialmente a equacao (A.3)

pode ser expressa como:

Ac = v, (A.4)

38

39

onte temos:

A =

1 x1 z1 x21 x1 · z1 z21 x31 x21 · z1 x1 · z21 z31 . . . zN1...

......

......

......

......

......

...

1 x1 zm x21 x1 · zm z2m x31 x21 · zm x1 · Z2m z3m . . . zNm

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1 xk z1 x2k xk · z1 z21 x3k x2k · z1 xk · z21 z31 . . . zN1...

......

......

......

......

......

...

1 xk zm x2k xk · zm z2m x3k x2k · zm xk · z2m z3m . . . zNm. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1 xn z1 x2n xn · z1 z21 x3n x2n · z1 xn · Z21 z31 . . . zN1

......

......

......

......

......

......

1 xn zm x2n xn · zm z2m x3n x2n · zm xn · z2m z3m . . . zNm

(A.5),

que e a matriz que contem a forma polinomial,

cT = (c0,0 c1,0 c0,1 c2,0 c1,1 c0,2 c3,0 c2,1 c1,2 c0,3 · · · c0,N) (A.6)

e o vetor dos coeficientes e

vT = (v1,1 · · · v1,m · · · vk,1 · · · vk,m · · · vn,1 · · · vn,m) (A.7)

e o vetor das velocidades nos nos da discretizacao.

A solucao para a equacao (A.4) e dada pelo metodo de mınimos quadrados (Menke, 1989):

c = (ATA)−1ATv, (A.8)

Referencias Bibliograficas

BABICH, V.M., 1956. Ray Method of Computing the Intensity of Wave Fronts. Dokl. Akad.

Nauk USSR.

CERVENY , V.; 1987. Ray Method for Three-Dimensional Seismic Modeling. Petroleum

Industry Course, The Norwegian Institute of Technology.

FIGUEIRO, W. M. AND MADARIAGA, R. I.; 1999. Three-dimensional two-point ray

tracing problem in the presence of caustics. In: 6th International Congress of the Brazilian

Geophysical Society, Rio de Janeiro.

KARAL, F. AND J. KELLER, 1959, Elastic Wave Propagation in Homogeneous media.

J.Acoust.Soc. Am. 31, 694-705.

MENKE, W.; 1989. Geophysical Data Analysis: Discrete Inverse Theory. International

Geophysics Series, Academic Press, Volume 45.

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ANEXO I

Valores dos coeficientes dos polinomios para

M2, M3, M4, M5 e M6

Tabela I.1: CoeficientesM2 M3 M4 M5 M6

C0,0 0,7495513304 1,1523785443 2,6666306594 1,2798386660 3,1187724157

C1,0 0,4032230189 -0,0754451742 0,3143881025 0,2714733018 -0,3758945677

C0,1 1,5775562387 2,9644072153 1,8257154881 -0,3955789227 -0,2327699172

C2,0 -0,0641211422 0,0216144282 -0,0516464360 -0,0530135719 0,0716735928

C1,1 -0,3756516388 0,0016695280 -0,1660778134 -0,1461164743 0,1814534164

C0,2 0,2824782588 -1,1765752341 -0,5705552156 0,6924982391 0,5980583831

C3,0 0,0042580036 -0,0014216669 0,0025698840 0,0037130218 -0,0051828536

C2,1 0,0225668074 -0,0079704486 0,0143834918 0,0192222105 -0,0129581230

C1,2 0,1038240866 0,0139353550 0,0306214719 0,0184483410 -0,0362668503

C0,3 -0,1932561484 0,2110174587 0,0657821840 0,0182359236 -0,2222506117

C4,0 -0,0001268765 0,0000314862 -0,0000390846 -0,0001072926 0,0001597012

C3,1 -0,0002591426 0,0005480499 -0,0005807719 -0,0005054706 0,0002533532

C2,2 -0,0066550967 -0,0003690781 -0,0007683800 -0,0041603946 0,0031262604

C1,3 -0,0015678465 -0,0018931190 -0,0041317714 0,0043027555 -0,0026140064

C0,4 0,0188345103 -0,0110343533 -0,0000000101 -0,0285900973 0,0309036658

C5,0 0,0000013967 -0,0000001723 -0,0000000101 0,0000010889 -0,0000017638

C4,1 -0,0000039859 -0,0000101690 0,0000090167 0,0000036255 -0,0000011800

C3,2 0,0001242613 0,0000097525 -0,0000023581 0,0000782534 -0,0000497025

41

estudo comparativo em modelagem s´ismica entre … · m.sc. michelaˆngelo gomes da silva data da...

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