MODELAGEM MATEMÁTICA: UMA ALTERNATIVA PEDAGÓGICA PARA O ENSINO DE GEOMETRIA POR MEIO DA CONSTRUÇÃO DE MAQUETES

Autor: Dalva Sales Molina Serrano1

Orientador: Amauri Jersi Ceolim2

RESUMO

Este artigo visa demonstrar os resultados e discussões do processo de aplicação das atividades de implementação pedagógica realizada no Colégio Estadual Santo Inácio de Loyola-EFMN, Paraná, na turma de 4º ano do Curso de Formação de Docentes, no segundo semestre de 2011. A Implementação teve como tema de estudo “Modelagem Matemática no Ensino de Geometria. O objetivo foi o de investigar possíveis contribuições para a melhoria do ensino e aprendizagem da Matemática abordando a Modelagem Matemática como alternativa pedagógica nos conteúdos relacionados à geometria por meio da construção de maquetes, orçamento e planejamento, fazendo a relação com a construção real. Os resultados apontam que os alunos desenvolveram de modo significativo a capacidade de refletir-na-ação e de trabalhar em grupo, sendo que cada um deu a sua contribuição para o desenvolvimento dos trabalhos e estavam sempre se auxiliando.

Palavras – chave: Modelagem Matemática; Geometria; Maquetes

1 Introdução

Este artigo apresenta os resultados do projeto da implementação pedagógica

na escola, vinculado ao PDE (Programa de Desenvolvimento Educacional) da

Secretaria de Estado da Educação do Estado do Paraná. A proposta de trabalho foi

desenvolvida com alunos do 4º ano do curso de Formação de Docentes do Colégio

1 Professora de Matemática da Rede Estadual de Educação - Paraná2 Professor Me. da Universidade Estadual do Paraná (UNESPAR/FECILCAM - Campus de Campo Mourão)

Estadual Santo Inácio de Loyola – EFMN, na cidade de Fênix, Paraná na disciplina de

Matemática, sendo resultante da observação de que o ensino de matemática tem

trazido preocupações a professores, alunos, pais e à sociedade, diante do baixo

rendimento escolar constatado nas avaliações internas e externas (BRASIL, 2009).

Dessa forma consideramos necessário procurar alternativas metodológicas que

pudessem auxiliar na melhoria da aprendizagem desta disciplina. Dentre estas

alternativas optamos pela Modelagem Matemática como um recurso metodológico para

auxiliar na melhoria do processo ensino e aprendizagem.

A Modelagem Matemática, segundo Bassanezzi (2007, p. 7) “é a arte de

transformar problemas da realidade em problemas matemáticos e resolvê-los

interpretando suas soluções na linguagem do mundo real.”

Diante disso procuramos desenvolver um trabalho com a Modelagem

Matemática, mais especificamente a Modelagem em geometria. A proposta foi

trabalhada em quatro ações, sendo elas: Interação com o assunto, Matematização,

Modelagem Matemática e Avaliação.

Dessa forma a implementação pedagógica visou contribuir para um ensino e

aprendizagem significativos da matemática considerando-se que para Ausubel:

A aprendizagem significativa, seja por recepção, seja por descoberta, se opõe a aprendizado mecânico, repetitivo e memorístico. Compreende a aquisição de novos significados. A essência da aprendizagem significativa está em que as ideias expressas simbolicamente se relacionam de maneira não arbitrária, mas substancial com o que o aluno já sabe. O material que aprende é potencialmente significativo para ele (AUSUBEL in MASETTO, 2003, p. 42).

Compreendemos, neste artigo, a Aprendizagem Significativa como aquela que

envolve o aluno como pessoa, como um todo e acontece quando o que é proposto para

se aprender relaciona-se com seu dia a dia e experiências permitindo que o educando

possa formular perguntas e investigar o que lhe interessa ou lhe diga respeito. Com

esta concepção desenvolvemos a implementação pedagógica da qual apresentamos

neste trabalho o seu resultado.

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A produção do artigo cumpre as exigências do plano de trabalho do professor

PDE cujas atividades consistem, entre outras em, com o devido acompanhamento de

seu Orientador, elaborar um artigo pertinente ao seu objeto de estudo/problema

apresentando os resultados do Projeto de Intervenção Pedagógica na Escola devendo

estar de acordo com a sua área/disciplina de ingresso no Programa.

1.1 Modelagem Matemática: uma alternativa pedagógica

A Modelagem Matemática é uma tendência da Educação Matemática que,

conforme as Diretrizes Curriculares da Educação Básica de Matemática fundamenta a

prática docente. As DCEs esclarecem que:

A Modelagem Matemática tem como pressuposto a problematização de situações do cotidiano. Ao mesmo tempo em que propõe a valorização do aluno no contexto social, procura levantar problemas que sugerem questionamentos sobre situações de vida. (DCEs, 2008, p. 64).

Segundo Bassanezi (2007), Modelagem em princípio, foi trabalhada em

Biomatemática, na década de 80 e na educação brasileira teve início com os cursos de

especialização para professores, em 1983, na Faculdade de Filosofia Ciências e Letras

de Guarapuava – FAFIG, hoje Universidade Estadual do Centro-Oeste – UNICENTRO.

Desde então pode ser observada a crescente presença de modelos matemáticos3 nas

ciências, no desenvolvimento de tecnologias e em outras instâncias da sociedade. Para

Espírito Santo et al. (2006), o marco inicial do processo de Modelagem, ainda que não

denominada como tal, foi a Idade Moderna, embora reconheçam que se pode percebê-

la de forma embrionária em tempos anteriores.

3 SODRÉ Ulysses. Modelos Matemáticos. Londrina: UEL, 2007. Modelo matemático ou simplesmente modelo, pode ser apresentado como uma representação de um sistema real, o que significa que um modelo deve representar um sistema e a forma como ocorrem as modificações no mesmo.

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Em termos simples, pode-se dizer que um modelo matemático é a

representação de uma situação em termos matemáticos. Para Bean (2001, p.52)

tradicionalmente, Modelagem Matemática é conceituada como o processo que visa a

produção de um modelo matemático. Ou, em outras palavras, Modelagem Matemática

é a abordagem de situações originárias de outros campos científicos ou do dia-a-dia por

meio da matemática. Nesse contexto, consideramos a Modelagem Matemática como

uma abordagem, por meio da Matemática, de uma situação ou problema da realidade,

no qual a escolha do assunto tem a participação dos alunos envolvidos. Para

Biembengut e Hein, 2009:

Um modelo pode ser formulado em termos familiares, utilizando-se expressões numéricas ou fórmulas, diagramas, gráficos ou representações geométricas, equações algébricas, tabelas, programas computacionais etc. Por outro lado, quando se propõe um modelo, ele é proveniente de aproximações nem sempre realizadas para se poder entender melhor um fenômeno, e tais aproximações nem sempre condizem com a realidade. Seja como for, um modelo matemático retrata, ainda que em uma visão simplificada, aspectos da situação pesquisada ( p.12).

A maioria dos educadores estão procurando uma nova forma de educação,

diferente da tradicional, pois a mesma, segundo Saviani (1988) é classificada como

intelectualista, e às vezes como enciclopédica, pois os conteúdos são separados da

experiência do aluno e das realidades sociais, sendo valorizada a educação

formalíssima e acrítica. Como uma tendência educacional crítica a Modelagem

Matemática encontra o seu espaço contrapondo-se à pedagogia tradicional. D’Ambrósio

(1989) analisando e refletindo sobre as possibilidades e perspectivas inovadoras que

podem abrir-se no ambiente da sala de aula para se ensinar matemática afirma que:

A Modelagem Matemática tem sido utilizada como uma forma de quebrar a forte dicotomia existente entre a matemática escolar formal e a sua utilidade na vida real. Os modelos matemáticos são formas de estudar e formalizar fenômenos do dia a dia. Através da modelagem matemática o aluno se toma mais consciente da utilidade da matemática para resolver e analisar problemas do dia-a-dia. Esse é um momento de utilização de conceitos já aprendidos. É uma

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fase de fundamental importância para que os conceitos trabalhados tenham um maior significado para os alunos, inclusive com o poder de torná-los mais críticos na análise e compreensão de fenômenos diários ( p.3).

D´Ambrósio (1986, p. 31) afirma também que “o ciclo de aquisição de

conhecimento é deflagrado a partir da realidade, que é plena de fatos”. Nesse sentido,

entendemos que a construção do conhecimento matemático por meio da Modelagem

nos permite trazer a matemática abstrata para a realidade do aluno e a partir daí

construir as fórmulas e conceitos matemáticos. Biembengut e Hein (2009) referindo-se

a essência da Modelagem Matemática como um auxiliar para as teorias científicas,

esclarece que:

A Modelagem Matemática não é uma ideia nova. Sua essência sempre esteve presente na criação das teorias científicas e, em especial, na criação das teorias matemáticas. A história da ciência testemunha importantes momentos em que a modelagem matemática se fez presente (p.15).

Portanto, se a Modelagem Matemática auxiliou na criação das teorias da

Matemática, também pode facilitar a aprendizagem dos alunos nesta disciplina,

sobretudo por ser uma proposta de trabalho que permite ao aluno a construção de

conceitos matemáticos a partir de uma situação problema apresentada pelo professor,

que pode ser por meio de jogos, resolução de problemas etc.

Para uma melhor compreensão do que é Modelagem Matemática, Veleda e

Almeida (2010) apresentam um quadro com definições de Modelagem Matemática, a

partir de um levantamento feito por Broering (2009), que identificou 50 definições

diferentes de Modelagem Matemática citadas em trabalhos publicados nas edições IV e

V da CNMEM. Algumas definições sobre Modelagem Matemática são bastante

semelhantes e, por isso, Veleda e Almeida (2010) agruparam as mesmas conforme

estas semelhanças considerando termos e ideias que as identificaram.

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Caracterização de Modelagem Matemática

• Um meio de descrever e/ou estudar problemas da realidade;• Um processo (ou ferramenta) para compreender a realidade;• Um recurso didático que oportuniza tratar de problemas da realidade nas aulas de Matemática• Um ambiente de aprendizagem que oportuniza aos alunos investigar a realidade por meio da Matemática (p. 6).

Assim é possível chegarmos a uma definição de Modelagem Matemática que, de

acordo com o agrupamento de Veleda e Almeida (2010) estas definições têm em co-

mum o objetivo de apresentar a resolução de algum problema da realidade, por meio do

uso de teorias e conceitos matemáticos.

Também é preciso considerar que a Modelagem não pode ser percebida como

um modismo, ou uma novidade, pois o homem desde o princípio resolve as questões

relativas ao seu cotidiano com os recursos advindos do próprio meio, por isso sempre

procurou conhecer e entender este meio (BIEMBENGUT; HEIN 2009).

Portanto, “O trabalho pedagógico com a Modelagem Matemática possibilita a

intervenção do estudante nos problemas reais do meio social e cultural em que vive,

por isso, contribui para sua formação crítica” (DCEs, 2008, p. 65).

O ato de modelar surge de alguma inquietude. De uma situação – problema. Raramente um problema é individual, geralmente ele afeta um grupo que vive uma realidade similar. Daí a relevância, no ensino, de se tomar como tema algo que faça parte da realidade do aluno. É mais fácil para obtenção de dados e na elaboração de questões ( BARBOSA, 2004, p. 36).

Para se obter o modelo é necessário passar pelo processo da Modelagem

Matemática que conforme Biembengut e Hein (2009) é composto por três etapas: a)

Interação com o assunto: nesta etapa, a situação a ser estudada será delineada e para

torná-la mais clara deverá ser feita uma pesquisa sobre o assunto escolhido por meio

de livros ou revistas especializadas. b) Matematização: esta é a fase mais complexa e

desafiadora, pois é nesta que se dará a tradução da situação problema para a

linguagem matemática. Assim, a intuição e a criatividade são elementos indispensáveis.

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c) Modelo matemático: o modelo concluído deverá corresponder à situação-problema

apresentada.

Aguirre (2007) deixa mais claro este entendimento ao colocar que:

Um modelo matemático de um sistema real é um análogo matemático que representa algumas das características observadas em tal sistema. Evidentemente, há outros tipos de modelos além dos modelos matemáticos. Por exemplo, a maquete de um edifício também é um modelo, ainda que não seja matemático. É importante perceber que uma maquete possui algumas características da construção real, mas não todas. A mesma observação é válida para os modelos matemáticos. A pergunta é: quais características do sistema devem ser representadas de maneira aproximada pelo modelo? A resposta a esta pergunta não é única e depende do objetivo para o qual o modelo está sendo desenvolvido ( p. 51).

Segundo Barbosa (2004, p. 1) “Muitas vezes, Modelagem é conceituada, em

termos genéricos, como a aplicação de matemática em outras áreas do conhecimento”

para o autor isso é “uma limitação teórica” e acrescenta “dessa forma, Modelagem é um

grande ‘guarda-chuva’, onde cabe quase tudo. Com isso, não quero dizer que exista a

necessidade de se ter fronteiras claras, mas de se ter maior clareza sobre o que

chamamos de Modelagem”.

A compreensão das ideias matemáticas torna-se mais fácil já que é possível o

estabelecimento de conexões com outros assuntos; Preparação para utilizar a

matemática em diferentes áreas; Desenvolvimento de habilidades gerais de exploração;

Compreensão do papel sócio-cultural da matemática, ou seja, os alunos analisam como

a matemática pode ser utilizada nas práticas sociais.

Barbosa (2004, p. 30) aponta o último argumento considerando que este “...

está diretamente conectado com o interesse de formar sujeitos para atuarem

efetivamente na sociedade e, em particular, capazes de analisar a forma como a

matemática é usada nos debates sociais”.

Este argumento para se incluir a Modelagem Matemática no ensino é bastante

significativo, uma vez que leva em consideração o interesse na formação matemática

do aluno para atuar na sociedade.7

Ainda conforme Barbosa (2004, p. 31), o ambiente de aprendizagem da

Modelagem pode ocorrer “por meio de três níveis e os alunos são convidados a indagar

ou investigar, por meio da matemática, situações advindas de outras áreas do seu

contexto social”.

Nível 1- Refere-se à problematização a partir da realidade concreta dos alunos. Eles irão investigar e refletir sobre o assunto; Nível 2- Apresentação de um problema aplicado: Os dados são coletados pelos próprios alunos durante o processo de investigação; Nível 3- Tema gerador: Os alunos coletam informações, formulam e solucionam o problema (BARBOSA, 2004, p. 31).

Para Barbosa (2004) estes níveis não apenas apresentam diferentes tipos, mas

essa classificação também pode representar o próprio caminho para o professor.

Segundo Biembengut e Hein (2009, p. 11) a ideia de Modelagem “(...) suscita a

imagem de um escultor trabalhando com argila, produzindo um objeto - o modelo”. Com

essa ideia percebe-se que o trabalho com Modelagem é dinâmico, envolve

planejamento conjunto dos sujeitos modeladores e exige criatividade e dedicação para

se chegar ao modelo.

Pode-se, também diante dos pressupostos teóricos abordados, definir

Modelagem Matemática como sendo um ramo da matemática que, a partir de

determinada situação, cria modelos que conduzem à identificação e solução de um

problema real do cotidiano (BIEMBENGUT; HEIN, 2009).

Com relação ao método denominado Modelação Matemática que utiliza a

essência da Modelagem é assim definido por Biembengut (2009, p. 18 - 19) um método

que usa a essência da Modelagem Matemática para ensinar, em cursos que tem o

programa (currículo) pré determinado. E o mesmo autor prossegue acrescentando que

“este método diferencia-se da Modelagem no ensino, pois se utiliza de um único tema

para extrair o conteúdo programático.

Biembengut e Hein (2009) sugerem que o professor pode desenvolver o

trabalho com a Modelagem da seguinte forma: Propor uma breve pesquisa e a partir

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desta, uma síntese: propor questionamentos sobre o assunto ou sugestões do que se

possa estudar; determinar, face ao que o aluno desconhece, do conteúdo programático

a ser desenvolvido e qual a questão a ser resolvida primeiro; passar a desenvolver o

conteúdo programático; propor exemplos semelhantes para que o conteúdo não se

restrinja ao modelo.

O trabalho com a Modelagem Matemática nesta perspectiva não deve ser

apenas um método de ensino e aprendizagem, mas conduz a uma participação efetiva

do aluno com seus conhecimentos matemáticos que fazem parte do contexto social em

que vive ou conhece, por isso pode possibilitar ao aluno a percepção da necessidade

do enfrentamento da sua realidade.

Isso ocorre quando o aluno problematiza, elabora suas próprias perguntas, faz

pesquisas, reflete e tira suas próprias conclusões. Isso conduz a uma aprendizagem

significativa a qual encontra apoio na Teoria da Aprendizagem Significativa proposta

por David Ausubel.

Skovsmose (2000) considera três tipos diferentes de conhecimento que estão

relacionados ao trabalho com a Modelagem Matemática: o conhecimento matemático

em si; o conhecimento tecnológico, que se refere a como construir e usar um modelo

matemático; o conhecimento reflexivo, que se refere à natureza dos modelos e os

critérios usados em sua construção, aplicação e avaliação.

Considera-se, diante de todas as conceituações que Modelagem Matemática

pode ser entendida como “um dos possíveis caminhos de uma nova forma de

estabelecer, nos espaços escolares, a inserção da maneira de pensar as relações dos

conhecimentos matemáticos e a sociedade mais participativa e democrática”

(CALDEIRA, 2009, p. 1).

Ao representar uma situação real por meio de um modelo matemático existem

vários procedimentos e de acordo com Biembengut e Hein (2009, p.13-14), esses

procedimentos podem ser agrupados em três etapas, (Interação, Matematização e

Modelo Matemático). Estas etapas são subdivididas em seis sub-etapas.

A figura a seguir apresenta o esquema proposto por Biembengut e Hein (2009,

p. 15).

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Figura 1: Etapas e subtemas da Modelagem MatemáticaFonte: Biembengut e Hein (2009, p.15)

O esquema da Figura 1 explica os procedimentos que são adotados no trabalho

com a Modelagem Matemática sendo:

Primeira Etapa: Interação - Reconhecimento da situação - problema;

Familiarização com o assunto a ser modelado - referencial teórico. Nesta etapa, a

situação a ser discutida deve ser a delimitação do tema que é feita com o uso de

pesquisas em livros, jornais, revistas e por dados obtidos juntos a especialista da área.

Ao estar ciente da situação a ser estudada, deve-se estudar o assunto, investigar tudo

o que conseguir sobre ele.

Segunda Etapa: Matematização - Formulação do problema - hipótese;

Resolução do problema em termos do modelo - aplicação. Depois de reconhecer a

situação problema, esta etapa caracteriza-se na formulação do problema, ou seja, a

tradução da situação problema para a linguagem matemática que é feita utilizando

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Interação Matematização Modelo Matemático

situação formulação interpretação

familiarização resolução validação

conceitos que os alunos já possuem ou vão adquirir. O objetivo principal desta etapa do

processo de modelar é chegar a um conjunto de expressões aritméticas, fórmulas,

equações algébricas, gráficos, representações ou programa computacional que levem a

solução ou permitam a dedução de uma solução. Depois de formulado a situação

problema cabe agora à resolução, tendo a necessidade das entidades matemáticas

usadas na formulação.

Terceira Etapa: Modelagem Matemática-Interpretação da solução; Validação do

modelo - avaliação. Nesta etapa deve-se avaliar o modelo e verificar o quanto ele se

aproxima da situação problema apresentada (ou o quanto ele se aproxima da

realidade). Após tal avaliação, deve-se verificar o grau de confiabilidade na sua

utilização.

Caso o modelo não atenda as necessidades que o geraram, o processo deve

ser corrigido na segunda etapa (matematiza cão) mudando ou ajustando a formulação

do problema (BIEMBENGUT; HEIN, 2009).

Pode-se considerar diante de toda pesquisa realizada sobre Modelagem

Matemática que este método ou proposta de trabalho pode levar o aluno à construção

do conhecimento, porém é preciso que a participação e a criatividade individual seja

estimulada para que se possa obter resultados satisfatórios em relação ao aprendizado

de Matemática.

Assim, com esse suporte teórico, o projeto em questão teve como meta

investigar possíveis contribuições para a melhoria do ensino e aprendizagem da

Matemática abordando a Modelagem Matemática como alternativa pedagógica nos

conteúdos relacionados à geometria por meio da construção de maquetes, orçamento e

planejamento, fazendo a relação com a construção real.

Esta alternativa tornou-se possível, pois a Modelagem Matemática possibilita

abordar situações com exemplos tirados do contexto social, podendo levar o aluno a

sentir-se motivado e interessado pelo tema de modo diferente do habitual, ou seja, a

Modelagem propicia a compreensão do papel sociocultural da matemática (BARBOSA,

2004).

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Portanto nas atividades com Modelagem Matemática é importante que se

problematize situações do cotidiano sendo a questão ambiental uma dessas situações,

pois, como afirma D’Ambrósio, 2001:

A questão ambiental se apresenta com urgência como tema central dos programas escolares. Dificilmente, essas questões poderão ser abordadas sem matemática. Isso implica a apresentação de novos conteúdos e metodologias que permitam capacitar o aluno para o fazer matemático, como aquilo que a modelagem possibilita ( p. 17).

Levando em consideração estas afirmações desenvolvemos a Implementação

Pedagógica utilizando a Modelagem Matemática como metodologia de ensino, partindo

dos pressupostos teóricos formulados por Barbosa (2004); Bassanezi (2007);

Biembengut e Hein (2009); D’Ambrósio (2001) e DCEs (2008) que embasaram a ação.

2 Discussão e análise das atividades de modelagem desenvolvidas com os alunos

A Proposta Pedagógica foi desenvolvida em uma turma de alunos do 4º ano do

Curso de Formação de Docentes do Colégio Estadual Santo Inácio de Loyola - EFMN,

na cidade de Fênix Paraná. A proposta foi trabalhada em quatro ações, sendo elas:

Interação com o assunto, Matematização, Modelagem Matemática e Avaliação. Na

primeira ação, a proposta foi apresentada aos professores, equipe pedagógica e

direção e também aos alunos para que eles tivessem conhecimento de que estariam

participando de um programa do governo estadual (Programa de Desenvolvimento

Educacional - PDE) que visa a melhoria da qualidade educacional. Os alunos

mostraram-se interessados e surgiram muitas perguntas. Eles quiseram saber como é

feita a escolha para participar do Programa de Desenvolvimento Educacional (PDE) e

porque a proposta tinha que ser desenvolvida na escola. Esta curiosidade foi bastante

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produtiva, uma vez que proporcionou a oportunidade de esclarecer a eles sobre a

importância da formação continuada do professor.

A segunda ação constou do trabalho de interação do assunto. Consideramos

necessário investigar, inicialmente, o conhecimento dos alunos sobre Modelagem

Matemática e desenvolver um trabalho demonstrativo acerca do assunto, antes de

propormos as atividades com maquetes que havíamos planejado. Realizamos, assim,

uma pesquisa para coleta de dados, por meio de questionário sócio econômico e

cultural, para se ter um diagnóstico antes do início das atividades com a finalidade de

obter informações sobre o conhecimento dos alunos acerca de Modelagem Matemática.

De acordo com as respostas concluímos que os alunos consideram, pelo menos a

maioria, que não existem muitas dificuldades para se aprender matemática e todos os

alunos consideram a Matemática importante para a sua formação pessoal e prática

social. Certamente isto ocorre porque eles veem como a Matemática está presente em

suas vidas.

A maioria dos alunos não ouviu falar em Modelagem Matemática, apesar de ser

um assunto já bem debatido e utilizado só, recentemente, após a publicação das DCEs

no Paraná, os professores da Rede Estadual passaram a se interessar por esta

proposta metodológica. Assim, justifica-se o desconhecimento dos alunos, mesmo no

quarto ano de Formação de Docentes.

Pelas respostas observamos que os professores desta turma nem sempre

utilizam de novas metodologias. Assim para que o ensino e aprendizagem da

Matemática se torne interessante ao aluno, despertando interesse pelo estudo,

proporcionando uma interação com o professor e seus colegas na busca do melhor

entendimento e compreensão da Matemática, o professor deve adotar novas

metodologias.

Todos os alunos acreditam que metodologias diferenciadas trazem vantagem

para o ensino e aprendizagem de Matemática. Sobre esta questão, assim coloca

Masseto ( 2003):

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A diferenciação e a variedade de técnicas quebram a rotina das aulas e assim os alunos se sentem mais animados em frequentá-las. Além disso, facilitam a participação e incentivam as atividades dinâmicas durante o período das aulas, levando os aprendizes a saírem da situação passiva de espectadores da ação individual do professor (MASSETO, p. 17).

Com relação aos indicadores sobre quais seriam os principais obstáculos para

a implementação de novas metodologias no ensino de matemática na escola, como o

aluno podia optar por mais de uma resposta todos eles colocaram vários itens que

seriam obstáculos para a implementação de novas metodologias no ensino de

matemática na escola. Porém as respostas escolhidas são praticamente as mesmas.

No entanto as dificuldades dos professores foi o item mais assinalado. Acerca deste

assunto, assim coloca Krasilchik (2004):

O docente, por falta de autoconfiança, de preparo, ou por comodismo, restringe-se a apresentar aos alunos, com o mínimo de modificações, o material previamente elaborado por autores e produzido industrialmente, o professor abre mão de sua autonomia e liberdade, tornando-se simplesmente um técnico (KRASILCHIK, 184).

Todos os alunos concordam que Metodologias diferentes ajudam no processo

ensino aprendizagem. Esta questão sempre é debatida em cursos de formação para

professores, os quais percebem a dificuldade existente no trabalho com a matemática.

Vários estudiosos também ressaltam o quanto é importante o uso de diferentes

metodologias de ensino, mas a educação tradicional ainda apresenta certa resistência

quanto à utilização de novas propostas de ensino.

Na sequência realizamos uma atividade sobre Modelagem Matemática. Esta

atividade tratou-se de realizar o Cálculo da Área da Superfície corporal. Teve como

objetivo calcular com os alunos a área da superfície do corpo de uma pessoa e

esperou-se com isso estimular a reflexão dos mesmos a respeito de como é possível

realizar esta tarefa.

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Esta forma de trabalhar favorece o aprendizado do aluno e desperta para

questões da realidade e do cotidiano. A proposta de trabalho envolveu as três fases da

Modelagem Matemática.

Com o propósito de motivar os alunos a fazerem o cálculo da superfície

corporal utilizando estratégias próprias indagamos: É possível medir a área da

superfície corporal? Como isso pode ser feito?

Após esta problematização ocorreu segundo Biembengut e Hein (2009) a

Interação que é o reconhecimento da situação (problema) e a familiarização com o

assunto a ser modelado (referencial teórico). Para isso formamos equipes com cinco

integrantes cada uma.

Inicialmente cada grupo escolheu uma estratégia para realizar esta atividade

utilizando o material disponível: Barbante e régua. Apenas um aluno por equipe foi

escolhido para que sua pele fosse medida ocorrendo assim a Matematização, ou seja,

Formulação do problema (hipóteses), resolução do problema em termos de modelo.

Eles encontraram algumas dificuldades para iniciar as medidas, pois

consideravam que o corpo era muito irregular, isto é, diferente dos objetos que eles

usavam no dia-a-dia e nas aulas de matemática.

Aos poucos sugiram ideias de que se fizessem a medição por partes,

resolveram fazer membro a membro. Mesmo assim ainda tiveram dificuldades em

relacionar as partes do corpo humano com os poliedros usados nas aulas de

matemática. Uma equipe entendeu que as partes pareciam cones (perna, braço, pé),

outra considerou que estas partes não se pareciam com cone, pois faltava a ponta e,

por isso, foram atrás de verificar com que poliedro assemelhava-se. Então resolveram

que tronco de cone encaixar-se-ia melhor. Pesquisaram sobre a fórmula, desenharam

cada parte, calcularam a área e somaram.

Uma equipe multiplicou os membros por dois e depois somou. Todas as

equipes consideraram a cabeça como esfera, e nenhuma pensou em planificar as

partes desenhadas.

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Observamos que, como Biembengut e Hein (2009) esclarecem, esta foi a etapa

da matematização na qual houve a formulação e a resolução do problema que é a

tradução da situação-problema para a linguagem matemática.

Constatamos que esta atividade proporcionou aos alunos a oportunidade de

aprenderem ou melhorarem seus conhecimentos em geometria uma vez que foi

necessário fazerem analogias de partes do corpo com formas geométricas para

poderem fazer o cálculo e chegarem a uma conclusão.

Realizamos as mesmas medições utilizando a fórmula matemática e os alunos

puderam concluir que havia aproximações dos resultados entre os dois modos de

medir. Conforme colocam Biembengut e Hein (2009) na conclusão do modelo é

necessário uma avaliação a fim de se analisar em que nível este se aproxima da

situação-problema para então validar esse modelo.

Diante desta atividade de medição da superfície corporal, realizada pelos

alunos, e das aproximações com a realidade, percebemos que matemática e a

realidade são diferentes, porém é possível fazer uma aproximação através da

Modelagem, como colocam Biembengut e Hein (2009) “a modelagem é um meio de

interagir a matemática com a realidade” (p. 12).

Apresentamos em seguida a compreensão de alguns grupos sobre esta

atividade:

Equipe 1: ...Fizemos uma experiência de medir a área da pele de um integrante da nossa equipe com barbante e a régua. Não sabíamos direito o que fazer, nem como, então pedimos ajuda para a professora e daí fomos medindo membro a membro e somamos tudo no final. Para ver se estávamos certos, a professora apresentou algumas fórmulas onde pudemos verificar que muitas equipes chegaram muito próximo do resultado obtido pelas fórmulas, então a professora explicou que é um modelo de Modelagem Matemática, que é uma metodologia onde se apresenta um problema, ou os próprios alunos escolhem o problema e a maneira de resolver, mas que no final chega a uma solução e que essa solução possa ser usada para resolver outros problemas parecidos.

Grupo 2: A professora distribuiu um problema onde teríamos que medir com um barbante a quantidade de pele que uma pessoa possui no corpo inteiro. Primeiro ficamos perdidos, pois não sabíamos o que fazer, até que uma aluna teve a ideia de medir membro por membro e marcar as medidas em um papel para depois somar os resultados. Para isso teríamos que passar o barbante em volta do membro e depois usar a régua para marcar as medidas. Ao final cada equipe tinha um valor e foi

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nessa hora que a professora Dalva nos explicou três fórmulas diferentes de fazer a medida, que nós não estávamos totalmente errados, mas havia formas mais fáceis de conseguir o resultado.

Os comentários dos grupos demonstraram que a atividade foi muito

interessante e deixou os mesmos bastante motivados. Assim podemos considerar,

tendo em vista os resultados da atividade desenvolvida, que a Modelagem Matemática

é uma metodologia que torna as aulas mais interessantes e motivam os estudantes ao

aprendizado. Isto porque conforme Barbosa “Modelagem é um ambiente de

aprendizagem no qual os alunos são convidados a indagar e/ou investigar, por meio da

matemática, situações com referência na realidade” (2001, p. 31).

Na sequência, no intuito que os alunos aprofundassem seus conhecimentos

sobre Modelagem Matemática, realizamos um estudo teórico sobre o assunto por

intermédio de seminário, pesquisa, discussão e debate com os alunos do curso de

Formação de Docentes. A princípio foi apresentada a Modelagem Matemática aos

alunos para depois propor o trabalho, de forma a fazer com que eles entendessem o

processo de desenvolvimento do mesmo.

Após este trabalho desenvolvemos as atividades de Modelagem Matemática,

iniciando com a interação sobre o assunto na qual, conforme Biembengut e Hein (2009)

ocorre o reconhecimento e uma familiarização com o problema que pretende estudar,

seja por livros, revistas ou profissionais da área.

O objetivo foi o de contextualizar o assunto, iniciando-se com diálogo sobre o

que seria necessário para fazer a construção de uma casa, por exemplo: distância da

construção em relação à rua, posição em relação ao sol, economia de materiais,

pesquisa de preços, qualidade dos produtos, tamanho das peças, porque as portas

normalmente ficam nos cantos, qual a função das janelas. Em seguida foram formadas

seis equipes.

Cada equipe escolheu o prédio que desejasse para fazer a maquete. Foram até

o local para realizarem as medições. Em seguida foi feita a escolha de duas

construções para serem representadas em forma de maquetes.

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Grupo 1: ...Teríamos que escolher uma construção, medi-la, fazer a planta baixa, que é o desenho no papel, transformar essas medidas em escala para depois fazer uma maquete da construção.

Grupo 2:... Foi proposto (...) que cada equipe escolhesse uma construção. A nossa equipe escolheu uma das casas de uma das integrantes da equipe. Visitamos a construção, fizemos as medidas e procuramos a professora para saber como fazer a maquete. Ela nos explicou como fazer escalas.

Nas atividades seguintes, fase da Matematização trabalhou-se os conteúdos

básicos nas figuras geométricas: unidade de medida, escala, ponto, reta, plano,

paralelismo, perpendicularismo, perímetro e área. Depois que os alunos adquiriram

estes conceitos propomos a eles a escolha do material para a construção da maquete,

considerando preservação ambiental, custo e facilidade para construção.

Grupo 1: Tivemos que procurar um pedreiro para fazer o orçamento da construção em tamanho real. Dessa forma notamos que as contas que o pedreiro usou para saber a quantidade de material a ser utilizado, não é tão difícil como pensávamos, ao final conseguimos ter uma noção de quanto gastaríamos com material e mão de obra, se fossemos realmente construir. Não vamos dizer que foi fácil pois em várias coisas tivemos que pedir ajuda à professora.

Grupo 2: Como não sabíamos o preço dos materiais e nem a quantidade, tivemos que procurar em uma obra, pedreiros pra nos ajudar. Em seguida fomos em vários materiais de construção e escolhemos os preços mais em conta.

Pudemos observar uma grande motivação dos alunos e dedicação à ação

conjunta. A maioria demonstrou que sabia participar e deixar os outros participarem,

mesmo que verbalmente ou com pequenas contribuições, gerando um clima agradável

e aumentado o nível de entendimentos entre os colegas.

Após a decisão dos mesmos, realizaram a construção de duas maquetes. Uma

para simular a construção da mesma em tamanho real convencional e outra com opção

de sustentabilidade ambiental, no caso, energia alternativa.

A maquete convencional escolhida foi de uma associação local. Os alunos

realizaram as medições, produziram as escalas e também fizeram a planta baixa e

orçamento, porém não descrevemos em sua totalidade todas as ações desenvolvidas

por se tratar de um artigo.

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Figura 2: maquete associaçãoFonte: Alunos participantes do projeto

Os alunos apresentaram a maquete da associação, explicando a mesma para

os outros alunos e professores que participavam da exposição.

Figura 3: apresentação - maquete associaçãoFonte: Alunos participantes do projeto

A maquete da casa foi desenvolvida a partir das medições e escalas realizadas

pelos alunos.19

A maquete com opção de sustentabilidade foi realizada apenas para saber se

compensava financeiramente, porém ficou mais na parte técnica do que em

aprofundamento teórico, devido ao tempo ter sido insuficiente. Por isso na própria

maquete convencional da casa foi acrescido o coletor solar. Antes de fazerem a

maquete os alunos elaboraram a planta baixa da casa.

A planta baixa de uma casa é o desenho da própria casa em tamanho reduzido.

É o que chamamos de “escala”. A escala conserva as medidas da casa, em tamanho

proporcional às medidas reais.

Após as medições e escolha da escala os alunos fizeram a planta baixa da

casa.

Figura 4: planta baixa da casaPlanta baixa realizada pelos alunos

Utilizando-se as medidas do local e as escalas trabalhamos as unidades de

medidas e os múltiplos e submúltiplos do metro, explicamos também sobre números

decimais e potência de base 10. Realizamos exercícios referentes aos conteúdos

abordados para reforçar o aprendizado. Assim, trabalhamos: vértice, aresta, ângulo,

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semelhanças, área e volume, além do planejamento e administração na simulação e

execução das maquetes.

Nessa etapa os alunos fizeram pesquisas sobre o tipo de material disponível

para a construção das maquetes.

Na sequência apresentamos a tabela com as escalas para a construção da

maquete da casa escolhida pelos alunos, bem como a construção da mesma.

Local Medidas EscalaÁrea de serviço

3,75m X 2,70 mA= 11,12 m².

18,75 cm19,00 cm

18,75 cm X 19,00A= 56 cm²

Dispensa 3,80 m X 2,70 mA= 10,26 m²

19,00 cm13,50 cm

19,00 cm X 13,50 cmA= 51,3 cm²

Cozinha 4,90 m X 3,75 mA= 18,38 m²

24,5 cm18,75 cm

24,50 cm X 18,75 cmA = 91,9 cm²

Quarto 3,40 cm X 3,75 cmA= 12,75 m²

17,00 cm18,75 cm

17,00 cm X 18,75 cmA = 63,75 cm²

Quarto 2,40 m X 3,80 mA= 9,12 m²

12,00 cm19,00 cm

12,00 cm X 19,00 cmA= 45,6 cm²

Quarto 2,40 m X 2,65 mA= 1,72 m²

12,00 cm13,25 cm

12,00 cm X 13,25 cmA= 16,8 cm²

Banheiro 1,80 m X 2,65 mA= 1,72 m²

0,9 cm13,25 cm

0,9 cm X 13,25 cmA= 8,6 cm²

Sala 3,65 m X 3,30 mA= 12,54 m²

18,75 cm16,50 cm

18,75 cm X 16,50 cmA= 62,7 cm²

Varanda 1,40 m X 3,75 mA= 5,46 m²

0,7 cm18,75 cm

0,7 cm X 18,75 cmA = 27,3 cm²

Medida total da casa

96,00 m²

Tabela 1: Medidas e escalas da construção da casa escolhida pelos alunosFonte: elaboração do grupo de alunos

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Figura 5: confecção – maqueteFonte: Alunos participantes do projeto

Após a construção da maquete representando uma casa com área total de 96

m², os alunos fizeram o orçamento da quantidade e custo de material, custo de mão de

obra e produziram tabelas com estes dados, considerando o orçamento como modelo

matemático, uma vez que por meio dele foi possível ter uma ideia próxima do real dos

gastos para desenvolver a construção, pois de acordo com Biembengut e Hein (2009,

p. 68) o orçamento “pode ser considerado Modelo Matemático uma vez que retrata sob

certa ótica, a quantidade necessária de material para a construção de uma casa ou da

maquete projetada”.

Materiais Quantidade Preços (R$) Total (R$)Lajota (06 furos) 6.500 0,32 unidade 2.080,00Cimento 80 sacos 24,00 unidade 1920,00Cal 84 sacos 7,50 unidade 630,00Areia fina 13 metros 72,00 m 936,00Areia grossa 8 1/3 metros 90,00 m 765,00Pedra 8 metros 55,00 m 440,00Telha portuguesa 2.400 telhas 1.000,00 (milheiro) 2.440,00Forro 91,71 m 10,80 m 990,00Vedacit 18 litros 57,70 l 57,70Porta 6 128,00 unidade 768,00Piso 91.71cm² 10,80 m 990,46Janela (1,00X 1,20) 1 121,00 unidade 121,00Janela (1,50 X 1,00) 5 135,00 unidade 675,00Janela (0,80 cm X 0,60 cm) 1 72,00 72,00Ferro tri H8 16 barras 3,90 barra 62,00

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Ferro 7/12 pronta 30 barras 10,90 barra 327,00Ferro estribo 13 barras 6,20 barra 80,60Privada 01 69,90 69,90Fechadura 06 23,80 unidade 142,00Armário do banheiro 01 450,00 450,00Tinta 02 latas 199,00 lata 398,00Rejunte 08 2,50 unidade 20,00Massa corrida 25 quilos 21,00 quilos 21,00Tomada 18 4,80 unidade 86,40Lâmpada 12 10,50 unidade 126,00Soquetes 12 1,30 unidade 15,60Mão de obra 18.000,00Aquecedor solar 3.158,00Total sem o aquecedor 32.682.00Total da casa com aquecedor e mão de obra

35.840,00

Tabela 2: Orçamento para construção realFonte: Elaborado pelo grupo de alunos

O orçamento pode ser considerado modelo matemático, uma vez que mostra de

certa forma, a quantidade necessária de material para a construção da casa. No entanto, neste

orçamento, não está incluso alguns itens como: torneiras, terreno, instalação elétrica. Com relação às

realizações das maquetes estas foram muito importantes, pois os alunos tiveram a

oportunidade de aplicar os conceitos matemáticos aprendidos e desenvolvidos nas

atividades anteriores. Eles montaram as mesmas a partir das medidas reais,

calculando-se os valores correspondentes. Em seguida houve uma apresentação do

projeto desenvolvido para toda a comunidade escolar.

Figura 6: apresentação da maquete da casaFonte: Arquivo pessoal

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Diante dos resultados obtidos com este trabalho de Modelagem Matemática

observamos que o mesmo possibilitou abordar situações do contexto social, levando os

alunos a sentirem–se motivados e interessados pelo tema de uma maneira diferente do

habitual, ou seja, a Modelagem propiciou a compreensão do papel sociocultural da

matemática (BARBOSA, 2004). Podemos, portanto, compreender que a partir deste

trabalho com a Modelagem Matemática surgiram modelos matemáticos com os quais

os alunos puderam interagir e refletir sobre os mesmos. Com isso vários conteúdos

matemáticos foram debatidos e aprendidos, inclusive utilizando os conhecimentos em

matemática que os alunos possuem e que utilizam no seu dia-a-dia para a interpretação

da situação – problema estabelecida.

3 Considerações Finais

Neste artigo apresentamos os resultados de um trabalho que abordou a

modelagem matemática como uma possibilidade metodológica para o ensino e

aprendizagem de Matemática. No decorrer da implementação pudemos perceber

um maior interesse pelo conteúdo.

Desde a primeira atividade de medição da superfície corporal

observamos que os alunos demonstraram um interesse bastante significativo.

Envolveram-se de modo dinâmico no trabalho procurando formas para resolver a

questão proposta e nos questionando, desejosos em descobrir e aprender. Os

alunos pareciam estar vivendo outra situação como se não estivessem

estudando. Viam o conteúdo como necessidade de atingir o objetivo que era

construir as maquetes e fazer os orçamentos e planejamentos das construções

real das mesmas. Com isso, tudo que precisavam para atingir este objetivo eles

iam atrás, sem a necessidade de qualquer cobrança. Os alunos nos procuravam

para sanar algumas dúvidas. Este aspecto nos pareceu bastante interessante, 24

pois discutiam entre eles, cobravam-se uns aos outros e não ao professor, como

é comum nas aulas em que esta metodologia não é utilizada. Nestas aulas,

normalmente, os alunos “armam-se” contra o professor dizendo que o conteúdo

é difícil, o professor explica e eles dizem não entender, é o professor quem “dá”

a nota ruim. Na aplicação da proposta eles sequer cogitavam em nota,

aprenderam sem perceber e os resultados podem ser verificados nos relatórios

das equipes.

Isto não significa que foi possível atingir 100% de toda aprendizagem.

Aumentou o número de alunos interessados, no entanto alguns continuaram na

apatia, apenas com uma diferença, a cobrança sobre o desempenho de cada um

era feita pelos colegas.

Outra observação refere-se ao tempo gasto com a implementação do

projeto que não foi suficiente para desenvolver todas as atividades propostas.

Inicialmente foi possível desenvolvê-lo dentro das etapas previstas, mas ao final

tornou-se impossível. Precisamos realizar várias tarefas em contra-turno para

encerrar no prazo previsto pelo cronograma. Com isso muitas atividades

deixaram de ser realizadas com conteúdos que podem ser explorados em outra

ocasião como: sustentabilidade ambiental, questões sociais sobre moradias no

Brasil, financiamento de casa própria, poluição ambiental conforme classe social,

tipo de classe social que utiliza o clube construído na maquete.

4 Referências

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