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ASSOCIAÇÃO JUINENSE DE ENSINO SUPERIOR DO VALE DO JURUENA AJES
INSTITUTO SUPERIOR DE EDUCAÇÃO DO VALE DO JURUENA – ISE
PÓS-GRADUAÇÃO EM MATEMÁTICA
A MODELAGEM COMO RECURSO NO ENSINO DE MATEMÁTICA
Acadêmico: ROGÉRIO DOS SANTOS
Orientador: Ms. Eliana Walker
ALTA FLORESTA-2010
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ASSOCIAÇÃO JUINENSE DE ENSINO SUPERIOR DO VALE DO JURUENA AJES
INSTITUTO SUPERIOR DE EDUCAÇÃO DO VALE DO JURUENA – ISE
PÓS-GRADUAÇÃO EM MATEMÁTICA
A MODELAGEM COMO RECURSO NO ENSINO DE MATEMÁTICA
Acadêmico: ROGÉRIO DOS SANTOS
Orientador: Ms. Eliana Walker
“Monografia apresentada como exigência
parcial para obtenção do título em
Matemática”.
ALTA FLORESTA-2009
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Dedico à minha família pelo apoio e
compreensão nos momentos em que estive
ausente e pela dedicação no decorrer deste
trabalho.
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ASSOCIAÇÃO JUINENSE DE ENSINO SUPERIOR DO VALE DO JURUENA AJES
INSTITUTO SUPERIOR DE EDUCAÇÃO DO VALE DO JURUENA – ISE
PÓS-GRADUAÇÃO MATEMÁTICA
BANCA EXAMINADORA
_________________________________________
ORIENTADOR: MSC. ELIANA WALKER
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SUMÁRIO
INTRODUÇÃO....................................................................................................... 07
1. Modelagem Matemática no Ensino da Matemática .......................................... 08
2. Como Utilizar a Modelagem em Sala de Aula...................................................... 19
CONSIDERAÇÕES FINAIS.................................................................................. 37
REFERÊNCIAS BIBLIOGRAFICAS.................................................................. 38
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RESUMO
A Matemática é base de quase todas as áreas do conhecimento humano, desenvolve os
níveis de conhecimento e de criatividade. Hoje, o grande desafio é fazer o aluno compreender
seu papel na sociedade, de agente ativo e transformador da sua realidade, e a importância da
matemática no seu dia-a-dia, pois a Modelagem Matemática tem como objetivo interpretar e
compreender os mais diversos fenômenos do nosso cotidiano, proporcionando através aplicações
dos conceitos matemáticos uma das alternativas para levar a realidade para sala de aula e
aumentar a motivação dos alunos para o estudo da Matemática.para que os mesmos possam
interpretar e compreender os mais diversos fenômenos do nosso cotidiano; e se trabalhada de
maneira criativa, motivadora e eficaz, ela pode proporcionar diversos benefícios, como por
exemplo, motivação, facilitação da aprendizagem, preparação para futuras profissões,
desenvolvimento do raciocínio, desenvolvimento do aluno como cidadão crítico, compreensão do
papel sócio-cultural da Matemática tornando-a mais agradável.
Palavras-chave: Modelagem matemática, Educação matemática, Ensino-aprendizagem
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INTRODUÇÃO
A Modelagem Matemática é bastante utilizada como método de pesquisa, na qual analisa
situações e fenômenos existentes na vida real tendo como um dos seus objetivos chegar a um
modelo que represente uma situação estudada.
Acredita-se que a exploração das questões relacionadas ao contexto do aluno e, desta
forma, dar significado aos conteúdos e também permitir um trabalho colaborativo e integrado
entre professor e alunos permitindo aos alunos a co-responsabilidade com a aprendizagem. Nesse
contexto o professor é um articulador da curiosidade do aluno oportunizando conhecimento,
pesquisa e busca de informações relevantes e também um coordenador do processo e da análise
crítica das soluções obtidas em conjunto.
Assim, a proposta deste trabalho consiste em intensificar pesquisas bibliográficas que
venham a revelar demais opiniões relacionadas à Modelagem Matemática, buscando também
aprofundamentos teóricos acerca da utilização desta metodologia de ensino especificamente em
nível médio. Pormenorizando, quer-se com este trabalho conhecer e divulgar propostas de
utilização efetiva da Modelagem Matemática como metodologia de ensino, almejando-se contudo
discernir possíveis prós e contras a respeito desta tendência atual no ensino da Matemática.
Neste estudo, analisaremos as dificuldades de relacionamento com as idéias matemáticas
com a preocupação centrada nas características do que poderia ser denominado de processo de
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ensino de Matemática situado na perspectiva da formação de conceitos e as implicações dessa
postura pedagógica para a prática docente em suas dimensões teórica e metodológica.
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1. MODELAGEM MATEMÁTICA NO ENSINO DA MATEMÁTICA
Vivemos em uma sociedade que passa por grandes transformações, seja no meio
econômico, social, meio ambientes, etc. Acredita-se na importância de investigar alternativas
para colocar o aluno frente a esses problemas, para que eles aprendam a discutí-los de forma
crítica, buscando meios para solucioná-los.
Segundo D’ Ambrosio (1986),
a Modelagem Matemática vem ocupando amplos espaços nas discussões a respeito das tendências da Educação Matemática. Ao oportunizar, por intermédio de práticas evidenciadas por muitos pesquisadores desta área do conhecimento, uma metodologia diferenciada de ensino que prima pela qualidade e melhoria efetiva do processo de ensino e aprendizagem da Matemática, a Modelagem Matemática consolida-se como uma alternativa dotada de muita criatividade, audácia e significância, visto que a criação de modelos matemáticos proporciona ao modelador um contato expressivo da Matemática com o meio em que ele está inserido cotidianamente.
Modelagem matemática tem sido reconhecida como uma alternativa pedagógica na
condução do processo de ensino e aprendizagem em cursos regulares submetidos à programas e
cronogramas preestabelecidos (ALMEIDA, 2001)
entende-se por modelagem matemática um conjunto de procedimentos que visam abstrair, da realidade a nossa volta, um modelo matemático representativo desta realidade, o qual nos permite compreender melhor a relação entre os acontecimentos e o mundo, através de: análises, reflexões, deduções, predições. Este modelo deverá ser testado de diferentes maneiras para verificar em que grau corresponde à realidade analisada. (MENDES, 2001)
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Skovsmose (1990), define Modelagem Matemática como o processo que envolve a
obtenção de um modelo. As vantagens em adotar a Modelagem Matemática no auxílio do
processo de ensino e aprendizagem da Matemática. Um modelo pode ser formulado utilizando-se
expressões numéricas ou fórmulas, diagramas, gráficos ou representações geométricas, equações
algébricas, tabelas, expressões que valham não apenas para uma solução particular, mas que
também sirvam, posteriormente, como suporte para outras aplicações e teorias. Ao trabalharmos a
Modelagem
Modelagem matemática é um processo dinâmico utilizado para obtenção e validação de modelos matemáticos. É uma forma de abstração e generalização com a finalidade de previsão de tendências. A modelagem consiste, essencialmente, na arte de transformar situações da realidade em problemas matemáticos cujas soluções devem ser interpretadas na linguagem usual (BASSANEZI, 2004).
No ensino tradicional da Matemática não tem havido, em geral, um respeito pela
criatividade do aluno. Skovsmose (1990), na prática de ensino de um grande número de
professores, alheios à preocupação com a criatividade matemática, há um desencontro entre esta e
a forma metódica como as idéias surgem em suas exposições de sala de aula. As soluções das
questões e as demonstrações são apresentadas de tal modo que não passam por ensaios e
tentativas de resolução e busca de novos caminhos. Esta forma de apresentação dos conteúdos,
empreende-se uma concepção de Matemática em que a criatividade é totalmente desfigurada,
induzindo os alunos à impotência frente à sabedoria do mestre, que aparentemente encontra de
imediato os melhores caminhos para a solução de questões matemáticas, em verdade, esse modo
de proceder só é possível porque o professor já conhece antecipadamente aquele conteúdo
A modelagem oferece uma maneira de colocar a aplicabilidade da Matemática em situações do cotidiano, no currículo escolar em conjunto com o tratamento formal que é predominante no modelo tradicional. Esta ligação da Matemática escolar com a Matemática da vida cotidiana do aluno faz um papel importante no processo de escolarização do indivíduo, pois dá sentido ao conteúdo estudado, facilitando sua aprendizagem e tornando-a mais significativa (BIEMBENGUT, 2003).
Para Eves (2004), Modelagem Matemática é o processo que envolve a obtenção de um
modelo. Este sob certa ótica, pode ser considerado um processo artístico, visto que, para se
elaborar um modelo, além de conhecimento apurado de matemática, o modelador deve ter uma
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dose significativa de intuição e criatividade para interpretar o contexto, saber discernir que
conteúdo matemático melhor se adapta e também ter senso lúdico para jogar com as variáveis
envolvidas. Pode-se dizer que Matemática e realidade são dois conjuntos disjuntos e a
Modelagem é um meio de fazê-la interagir. Essa interação, que permite representar uma situação
“real” com “ferramental” matemático (modelo matemático), envolvendo vários procedimentos.
A Modelagem Matemática é o processo que envolve a obtenção de um modelo, e este, sob certa óptica, pode ser considerado um processo artístico, visto que, para se elaborar um modelo, além de conhecimento de matemática, o modelador precisa ter uma dose significativa de intuição e criatividade para interpretar o contexto, saber discernir que conteúdo matemático melhor se adapta e também ter senso lúdico para jogar com as variáveis envolvidas (BIEMBENGUT,2003).
Skovsmose (1990), afirma que a Modelagem Matemática convida o aluno a atuar,
investigar, discutir e motivar. Ela desenvolve habilidades de exploração e compreensão da
Matemática no mundo e prepara para utilizá-la em diversas áreas do conhecimento. Através
disso, é preciso repensar as aulas de Matemática, não podemos mais associá-las somente a
conteúdos de alto nível de abstração e que não possuem ligação com a vida dos alunos. A
Modelagem Matemática está presente todo o tempo na situação problema em seu contexto social,
e através de experimentos, criava leis matemáticas (modelos matemáticos), embora muitas de
suas teorias não tenham sido provadas matematicamente.
Para Eves (2004), os Modelos Matemáticos foram desenvolvidos pelas civilizações, a
partir da necessidade de cada época e lugar, e de interesses, o que desvela sua não neutralidade.
Analisando nossa realidade nos dias de hoje, podemos perceber que temos inúmeras situações
problemas para serem solucionadas. Assim sendo, é necessário que participemos desta viagem
pelo universo das novas descobertas científico-matemáticas, que são experimentadas e
analisadas, para que possamos participar ativamente da sociedade. Para que isso ocorra, nós
professores devemos propor novas alternativas de ensino-aprendizagem, buscando tornar a
matemática significativa em nosso tempo. O desafio está em fazer parte dessa mudança no
âmbito das práticas na escola, o que exige muita iniciativa, criatividade e o querer fazer a
diferença.
Araújo (2000), considera que a Modelagem Matemática é, acima de tudo, uma
perspectiva, algo a ser explorado, o imaginável, no sentido de relacionar o aspecto científico da
matemática e a realidade. E ainda, responde a questões que podem ser inovadoras, que mudam
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com o tempo, obedecendo à cultura de cada sociedade; o que requer criatividade para ser
desenvolvido. Ela é livre e espontânea; surge de uma necessidade do homem em compreender os
fenômenos que o cercam, interferindo ou não em seu processo de desenvolvimento.
Skovsmose (2000), destaca que a Modelagem Matemática na Educação Matemática
percebe alguns pontos fundamentais: o de aliar o tema a ser escolhido à realidade de nossos
alunos e o de aproveitar as experiências extra-classe dos alunos, aliadas à experiência do
professor em sala de aula. No ensino fundamental, se tenta fazer certas experiências, com estas
características, buscando uma construção das idéias da matemática. Por exemplo, quase sempre
coloco situações-problema para os alunos ao introduzir um conteúdo, e busco construir com os
alunos as definições dos conceitos. Tais dificuldades dizem respeito a criar modelos para uma
situação desejada; ou seja, em geral não é uma dificuldade relacionada com a aprendizagem dos
alunos ou a falta de interesse na atividade matemática proposta. Para Bassanezi (2002), o
processo de modelagem consiste na arte de transformar problemas da realidade em problemas
matemáticos e de resolvê-los interpretando suas soluções na linguagem do mundo real.
para elaborar um modelo, além de conhecimento apurado de Matemática, o modelador deve ter uma dose significativa de intuição e criatividade para interpretar o contexto, discernir que conteúdo matemático melhor se adapta para descrevê-lo, além de senso lúdico para “jogar” com as variáveis envolvidas. (BIEMBENGUT, 1997)
Muitas vezes, os alunos propõem uma solução, mas não conseguem formalizar os
conceitos matemáticos (SKOVSMOSE, 2000) talvez seja a falta de interesse em aprofundar na
atividade matemática proposta. Durante a realização da atividade, os alunos questionam,
participam, buscando solucionar o problema proposto. Já no ensino superior os relatos de
experiências realizadas por outros professores. Acredito que se mudanças estão já acontecendo no
ensino fundamental e médio, em breve o ensino superior dará prosseguimento, propondo
alternativas para o ensino aprendizagem da matemática
Biembengut (1997), considera que a modelagem é como um meio para integrar dois
conjuntos aparentemente disjuntos: matemática e realidade. Isto sugere traduzir a linguagem do
mundo real para a linguagem do mundo matemático, ou seja, relacionar dois domínios ou
mundos distintos. Cury (2004), parece explicar e estar de acordo com esta visão de Biembengut
(1997) quando propõe que as entidades em foco no trabalho de Modelagem Matemática na
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Educação Matemática devem emergir a partir de "investigação de situações concretas trazidas por
outras áreas do conhecimento que não a matemática".
Bicudo (1993), comenta que o processo de Modelagem Matemática requer muito do
conhecimento matemático: não basta que os alunos vislumbrem demonstrações de Teoremas,
num nível superior, se não tiverem a habilidade de contextualizá-los e aplicá-los em situações
diversas. Para isso, acredito que seja essencial o desenvolvimento da sua criatividade, deve ser
trabalhada desde o inicio da vida acadêmica; talvez com metodologia semelhante, explorando
situações-problema vividas no contexto social do aluno, porém envolvendo questões menos
complexas.
Deste modo ao se utilizar à metodologia, o aluno terá ainda a oportunidade de criar
modelos, de forma criativa, modificando sua realidade, com a possibilidade de fazê-lo de forma
crítica. Bicudo (1993), em seu cotidiano, poderá ensaiar uma tradução dos fenômenos em
linguagem matemática, ou seja, poderá observar os aspectos no mundo cotidiano que de alguma
forma a refletir criticamente quando faz sentido ou não. Analisando os processos envolvidos no
desenvolvimento de uma modelagem matemática, percebe-se que o professor deve procurar
manter um clima de certa liberdade e descontração, estimulando a participação e a criatividade
individual.
Para Bicudo (1993), o ensino da Modelagem não é novidade, é tão antiga quanto a própria
Matemática em sendo aplicada desde os tempos primitivos, pelos povos em situações do seu
cotidiano. Seu conceito surge durante o Renascimento, para auxiliar na construção das idéias
iniciais da Física.
Atualmente a Matemática auxilia diversas áreas do conhecimento como: Biologia, Geografia, Economia, Engenharia e outros. Em face de seus pressupostos multidisciplinares, a Modelagem foi transposta para o terreno do ensino-aprendizagem e vem sendo empregada como metodologia nos últimos trinta anos, com objetivo de trabalhar problemas reais em sala de aula. (BIEMBENGUT; HEIN, 2003)
Para Borba (1999), a Modelagem “[...] pode ser vista como um esforço de descrever
matematicamente um fenômeno que é escolhido pelos alunos com o auxílio do professor”. (p.
76).
De acordo com Skovsmose (2000), chama de “cenário para investigação” um ambiente
que pode dar sustentação a um trabalho investigativo e apresenta diferentes ambientes de
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aprendizagem, em que há referências à Matemática pura, à semi-realidade (entendida como uma
realidade construída para efeitos didáticos) e à realidade propriamente dita.
Para Barbosa (2001), Modelagem “é um ambiente de aprendizagem no qual os alunos são
convidados a indagar e/ou investigar, por meio da matemática, situações oriundas de outras áreas
da realidade.”
Araújo (2002), por sua vez, entende ser a Modelagem “uma abordagem por meio da
matemática, de um problema não-matemático da realidade, escolhida pelos alunos reunidos em
grupos, de tal forma que as questões da Educação Matemática Crítica embasem o
desenvolvimento do trabalho”.
Planejar situações abertas de modo a levar o aluno buscar e se apropriar de estratégias
adequadas, não somente para solucionar as questões escolares, mas também as do seu cotidiano.
Por ser um campo que abarca uma ampla variedade de conteúdos matemáticos, o desenvolvimento desse bloco pode favorecer o aprofundamento, a ampliação e a aplicação de conceitos e procedimentos como porcentagem, razão, proporção, ângulo, cálculos etc. Esse estudo também favorece o desenvolvimento de certas atitudes, como posicionar-se criticamente, fazer previsões e tomar decisões ante as informações veiculadas pela mídia, livros e outras fontes.(BRASIL, 1998).
De acordo com D’ Ambrosio (2002), na formação de professores de matemática o maior
desafio é fazer uma matemática integrada ao pensamento moderno, para tanto ele sugere como
estratégia a Modelagem Matemática a fim de criar oportunidades para a discussão de questões de
natureza social, cultural, política e econômica, visto que a modelagem contribui para as ciências
exatas, físicas e naturais.
De acordo com Bassanezi (2002), a Modelagem pode ser entendida como um método
científico ou como uma estratégia de ensino-aprendizagem, que envolve uma prática educativa
em matemática, em que o que interessa não é encontrar um modelo bem sucedido, mas caminhar
seguindo etapas a fim de que o conteúdo matemático seja sistematizado e aplicado.
Já para Barbosa (2001), a Modelagem é um ambiente de aprendizagem, no qual os alunos
são convidados a indagar, por meio da Matemática, situações provenientes de outras áreas. Essa
abordagem é denominada de Modelagem Matemática Sócio-crítica, as atividades desenvolvidas
neste ambiente de aprendizagem provocam elaboração de modelos matemáticos para a resolução
das situações reais que evidenciam o caráter social e cultural da matemática.
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Biembengut (2003), afirma que a Modelagem Matemática é a arte de expressar situações-
problema do nosso cotidiano através da linguagem Matemática. A pesquisadora considera a
modelagem como um ramo próprio que serve para orientar sobre como o professor pode fazer
para ensinar melhor.
Bicudo (1993), considerando as diferentes concepções sobre modelagem - método
científico ou como uma estratégia de ensino-aprendizagem, ambiente de aprendizagem e o
enfoque pedagógico apresentadas, é possível perceber que existe uma característica comum entre
as mesmas que é a resolução de problemas da realidade ou de outras áreas do conhecimento
utilizando a Matemática. Assim, ao partir de uma reflexão sobre uns problemas reais, que
aparentemente não envolve a matemática, o aluno pode se surpreender com a obtenção de um
modelo matemático que provoca a verificação da informação em questão, viabilizando o ensino
do conteúdo matemático.
Nesta investigação a concepção de modelagem está respaldada com ênfase na perspectiva
de Barbosa (2003), a modelagem pode ser materializada no espaço de sala de aula em três níveis:
o primeiro trata da problematização de algum episódio real, com os dados quantitativos e
qualitativos sendo fornecidos pelo professor, sendo a investigação feita pelos alunos; no segundo
nível o professor apresenta a problematização e as informações necessárias para a resolução são
coletadas e investigadas pelos alunos e no terceiro nível ocorre a partir de um tema não-
matemático, no qual os alunos são responsáveis pela formulação do problema, coleta e solução.
Matos e Carreira (1996), afirmam que a Modelagem Matemática é bastante utilizada
como método de pesquisa, na qual analisa situações e fenômenos existentes na vida real tendo
como um de seus objetivos chegar a um modelo que represente uma situação estudada.
Atualmente vem ganhando espaço nas discussões que permeiam o processo de ensino e
aprendizagem, pois discute-se que o processo para se chegar a um modelo pode contribuir para
um aprendizado diferenciado, no qual o aluno tem a oportunidade de aprender conceitos
matemáticos utilizando-os em um contexto social.
Para se ensinar matemática utilizando Modelagem Matemática como estratégia de ensino,
segundo Bassanezi (2002), um dos meios é envolver os alunos no processo de obtenção do
modelo e na sua validação, porém esta etapa pode não ser uma etapa prioritária. Franchi (2003),
também explica que o processo de construção do modelo é relevante, pois é nesse momento que é
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possível discutir os conceitos da matemática, modelando e analisando situações, e sabendo
criticar e verificar a solução encontrada.
Alguns educadores matemáticos entendem a Modelagem Matemática como estratégia de
ensino e aprendizagem e abordam essa perspectiva nos eventos educacionais. Franchi (2003), por
exemplo, defende que a modelagem na sala de aula pode contribuir para que os alunos fiquem
mais motivados, compreendam os conteúdos a partir das necessidades para o desenvolvimento
dos modelos.
Segundo Biembengut (2000), para trabalhar com Modelagem Matemática na sala de aula
é preciso que o professor reconheça o seu papel tanto no que concerne às estratégias utilizadas
como na forma de avaliar, pois quando inserido em tal ambiente não é coerente trabalhar os
conteúdos fragmentados e isolado de um contexto. É preciso que o professor também conheça a
matemática num contexto social.
Matos e Carreira (1996), ensinam que o uso da Modelagem Matemática como estratégia
de ensino proporciona que se trabalhem modelos e conceitos de forma integrada e gradativa, na
qual os alunos podem se envolver com as atividades e desenvolver assim os conceitos existentes
em cada modelo.
Com a Modelagem no currículo escolar a matemática pode-se tornar mais dinâmica e
interessante, englobando diversas áreas do interesse dos alunos, podendo assim tornar o conteúdo
proposto mais relevante a eles.
As experiências no Brasil possuem um forte viés antropológico, político e sócio-cultural, já que têm procurado partir do contexto sócio-cultural dos alunos e de seus interesses (FIORENTINI, 1996).
Esta pode ser considerada uma marca dos trabalhos brasileiros de Modelagem, ao contrário do movimento internacional que não apresenta esta preocupação de forma muito aparente (D’AMBRÓSIO, 1996)
Conforme Franchi (2003), as práticas escolares de Modelagem têm tido fortes influências
teóricas de parâmetros emprestados da Matemática Aplicada. A compreensão de Modelagem é
apresentada em termos do processo de construção do modelo matemático, traduzido em
esquemas explicativos. Um modelo matemático, segundo Bassanezi (1994), é quase sempre um
sistema de equações ou inequações algébricas, diferenciais, integrais, etc., obtido através de
relações estabelecidas entre as variáveis consideradas essenciais ao fenômeno sobre análise.
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Modelagem pode ser definida em termos dos propósitos e interesses subjacentes à sua
implementação, conduzindo a implicações conceituais e curriculares. Chaves (2000), aponta duas
visões gerais que predominam nas discussões internacionais sobre Modelagem: a pragmática e a
científica.
Para Franchi (2003), a corrente pragmática argumenta que o currículo deve ser organizado
em torno das aplicações, removendo os conteúdos matemáticos que não são aplicáveis em áreas
não-matemáticas. Os tópicos matemáticos ensinados na escola devem ser aqueles que são úteis
para sociedade. A ênfase é colocada no processo de resolução de problemas aplicados,
focalizando o processo de construção de modelos matemáticos.
Segundo Chaves (2000), a corrente científica, por sua vez, busca estabelecer relações com
outras áreas a partir da própria matemática. Ela considera a ciência matemática e sua estrutura
como um guia indispensável para ensinar matemática, a qual não pode ser abandonada (ibid.).
Modelagem, para os “científicos”, é vista como uma forma de introduzir novos conceitos.
Em suma, a corrente pragmática volta-se para aspectos externos da matemática enquanto
que a científica, para os internos. O foco permanece, portanto, na matemática e sua capacidade de
resolver problemas de outras áreas.
Matos e Carreira (1996), relatam que a Modelagem pode ser entendida em termos mais
específicos. Do nosso ponto de vista, trata-se de uma oportunidade para os alunos indagarem
situações por meio da matemática sem procedimentos fixados previamente e com possibilidades
diversas de encaminhamento. Os conceitos e idéias matemáticas exploradas dependem do
encaminhamento que só se sabe à medida que os alunos desenvolvem a atividade. Porém, alguns
casos podem ser mais propícios a alguns conceitos matemáticos – por exemplo, situações que
envolvem variação podem levar a idéias do Cálculo ou Pré-cálculo -, mas nada garante que os
alunos se inclinem por eles.
Skovsmose (2000), apresenta a noção de ambiente de aprendizagem para se referir às
condições nas quais os alunos são estimulados a desenvolverem determinadas atividades. O
termo “ambiente” diz respeito a um lugar ou espaço que cerca, envolve. O ensino tradicional é
um ambiente de aprendizagem, pois estimula os alunos a desenvolverem certas atividades; a
história da matemática como recurso didático, também; e assim por diante. Modelagem, como
entendemos, estimula os alunos a investigarem situações de outras áreas que não a matemática
por meio da matemática. Podemos, agora, falar no ambiente de aprendizagem de Modelagem.
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Apesar da possibilidade de definir uma outra terminologia para qualificar a Modelagem como a
palavra método vindo da Matemática Aplicada nos termos que se queira, preferimos procurar
uma que traduza nosso entendimento sobre esta temática.
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2. COMO UTILIZAR A MODELAGEM EM SALA DE AULA
Conforme Matos e Carreira (1996), sabe-se que os alunos constroem ativamente o seu
conhecimento, logo o modelo de ensino não pode ser baseado na transmissão do conhecimento
por parte do professor. O conhecimento matemático resulta de um processo que envolve a
imaginação, os contra-exemplos, as conjecturas, as críticas, os erros e acertos, cabendo ao
professor explorar essas condições para que o aluno possa ter um aprendizado pleno, tendo uma
participação ativa no que se refere à construção do seu próprio aprendizado, colaborando para
que tenha uma assimilação mais profunda dos conteúdos da disciplina.
Skovsmose (2000), a pesquisa como Modelagem Matemática acaba atendendo os
princípios de desenvolvimento cognitivo defendido por vários autores em relação ao processo de
aquisição de conhecimento, demonstrando assim o significado e a importância que a interação do
educando com os conteúdos matemáticos têm para seu aprendizado pleno.
Para o ensino de Matemática se tornar coerente com esses processos, convém observar os preceitos de Vygotsky, onde ensinar o que o aluno já sabe é pouco desafiador e ir além do que ela pode aprender é ineficaz. O ideal é partir do que ela domina para ampliar seu conhecimento. (PELLEGRINI, 2001).
Vygotsky (1994), acredita que se o indivíduo não entrar em contato com um determinado
ambiente, então o aprendizado não ocorre. Para ele, é impossível pensar o indivíduo fora de sua
cultura.
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A sociedade é, como toda organização, um sistema de interações nas quais cada indivíduo constitui um pequeno setor, biológico e social ao mesmo tempo em que a criança assimila o alimento social na mediada em que se encontra ativa e não passiva ou puramente receptiva. (VYGOTSKY, 1994)
Para Borba (1999), é impossível pensar o indivíduo fora da sociedade e a escola
representa um recurso indispensável ao desenvolvimento da criança. “É da sociedade que o
indivíduo recebe suas determinações: elas são para ele um complemento necessário – ele tende
para a vida social como para seu estado de equilíbrio”.
Matos e Carreira (1996), também consideram que o grupo de referência é um fator muito
importante, são as interações no grupo que encorajam o indivíduo a fazer coisas novas e enfrentar
desafios. percebeu que a interação com o conhecimento é que permite a sua assimilação, fato
que, durante muito tempo, foi ignorado no ensino da Matemática, onde a memorização se
constituía a única forma de apreensão dos conteúdos desta disciplina. Nessa concepção educativa,
havia uma aproximação entre a Matemática escolar e a Matemática pura, o que acabava
distanciando os pressupostos matemáticos da realidade, dificultando a aprendizagem do aluno.
O ensino da Matemática tinha preocupações excessivas com as abstrações internas à
própria Matemática, mais voltada à teoria do que a prática, inviabilizando a experimentação, fator
importantíssimo à aprendizagem matemática. Para ele, o papel da escola é o de ativador do
conhecimento e a função do professor é a de buscar nos alunos os conhecimentos e experiências
para, a partir dessa realidade, orientar e estimular os mesmos.
Conforme Oliveira (1994), o construtivismo é uma teoria cognitivista que diz respeito ao
modo como o indivíduo constrói o conhecimento. Essa construção se dá pela ação do sujeito
sobre o objeto do conhecimento, também é importante destacar que para essa ação ele traz suas
experiências e seu conhecimento prévio Ausubel centraliza-se no processo de aprendizagem
significativa. Quando ele recomenda que se determine o que o aprendiz já sabe e que se ensine de
acordo, ele está se referindo a prontidão do aprendiz para a aprendizagem significativa, ou seja, o
que significa para o aluno.
O papel do professor, nessa perspectiva, é buscar nos alunos os conhecimentos e
experiências prévias e encaminhar as orientações a partir dessa realidade.
Nesse sentido, Ausubel (1976), revela que o aprendizado dos conteúdos da disciplina da
Matemática dos alunos que freqüentam a escola ocorre a partir do momento que o professor
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considera que a experiência do individuo e do grupo é algo fundamental, permitindo que o
conhecimento seja adquirido por meio da interação e não por meio da simples memorização,
revelando que a Modelagem Matemática, pelo potencial que possui, contribui efetivamente para
o aprendizado do educando.
O aluno faz experiências com o objeto que ela deseja conhecer. Ele não teme errar, nem busca uma resposta única e certa, como é a expectativa do ensino convencional. Uma experiência, um experimento, qualquer que seja, deixa uma marca indelével e é com essas marcas que a criança constrói seu conhecimento. O aprendizado se dá pelo tateamento experimental (AUSUBEL, in OLIVEIRA, 1994).
Para Mathias (1990), a Modelagem Matemática também adota os princípios do sócio
interacionismo, pelo fato de investigar temas relacionados à cultura do grupo também se nota que
na durante o processo da pesquisa, as relações interpessoais afetivas vão se aguçando- pois
permite a aproximação dos envolvidos e as trocas sócio-culturais - e ao passo que o tema de
escolha do grupo vai sendo e explorado por todos, ele passa a fazer parte das situações-problema
do grupo, podendo se estender à comunidade local e as respostas (soluções) encontradas se
tornam um meio de melhorar a vida de todos os envolvidos no processo.
Barbosa (2001), apresenta cinco argumentos para a inclusão da modelagem no currículo:
• Motivação: os alunos sentir-se-iam mais estimulados para o estudo de atemática,
já que vislumbrariam a aplicabilidade do que estudam na scola; • Facilitação da aprendizagem: os alunos teriam mais facilidade em o comprimir
idéias matemáticas, já que poderiam conectá-las a outros assuntos; • Preparação para utilizar a matemática em diferentes áreas: os alunos criam a
oportunidade desenvolver a capacidade de aplicar matemática em diversas situações, o que é desejável para moverem-se no dia-dia e no mundo do trabalho;
• Desenvolvimento de habilidades gerais de exploração: os alunos desenvolveriam habilidades gerais de investigação;
• Compreensão do papel sócio-cultural da matemática: os alunos analisariam como a matemática é usada nas práticas sociais.
Umas séries de pontos podem ser levantadas para destacar a relevância da modelagem
matemática quando utilizada como estratégia de ensino-aprendizagem
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• Argumento formativo: enfatiza... a performance da modelagem matemática ... para desenvolver capacidades em geral e atitudes dos estudantes, tornando-os explorativos, criativos e habilidosos na resolução de problemas;
• Argumento de competência critica: focaliza a preparação dos estudantes para a vida real como cidadãos atuantes na sociedade, competentes para ver e formar juízos próprios, reconhecer e entender exemplos representativos de aplicações de conceitos matemáticos;
• Argumento de utilidade: ... pode preparar o estudante para utilizar a matemática como ferramenta para resolver problemas em diferentes situações e áreas;
• Argumento intrínseco: considera que a inclusão de modelagem ... fornece ao estudante um rico arsenal para entender e interpretar a própria matemática em todas suas facetas;
• Argumento de aprendizagem: garante que os processos aplicativos facilitam ao estudante compreender melhor os argumentos matemáticos, guardar os conceitos e os resultados, e valoriza a própria matemática. (BASSANEZI, 2002)
Para Mathias (1990), o processo da Modelagem Matemática no ensino da Matemática
contribui de forma significativa para reflexões, não só relativas a “matematização” do modelo em
estudo e na escolha das técnicas para a resolução destes modelos incluindo as tecnologias
disponíveis, mas também -e talvez principalmente- para interpretações das soluções encontradas
na linguagem do mundo real, possibilitando o ensino. A Modelagem Matemática é um ambiente
de aprendizagem no qual os alunos são convidados a indagar e/ou investigar, por meio da
matemática, situações oriundas de outras áreas da realidade, em que problematiza indagar refere-
se “ao ato de criar perguntas e/ou problemas” e investigar, refere-se à busca, seleção, organização
e manipulação de informação e reflexão, na perspectiva de resolver os problemas.
Modelagem Matemática tem sido proposta como um dos ambientes de ensino aprendizagem possíveis para a Educação Matemática. Alunos motivados para aprender matemática e aprendê-la em um nível suficiente para ser aplicada em problemas de outras áreas, sobretudo, saber utilizá-la para compreender a sua realidade (CHAVES, 2005)
E o mesmo autor continua afirmando que a construção matemática pode ser entendida,
neste contexto, como uma atividade em busca de sintetizar idéias concebidas a partir de situações
empíricas que estão quase sempre, escondidas em num emaranhado de variáveis. Fazer
matemática, nesta perspectiva, ´e aliar, de maneira equilibrada, a abstração e a formalização não
perdendo de vista a fonte originaria do processo. Barbosa (2001), desse modo, numa retomada
aos fundamentos, o caminho tomado pela matemática aplicada, em especial pela modelagem
matemática, se aproxima da concepção no que se refere `a construção do conhecimento, pois é
23
como se o modelo já estivesse lá, em algum lugar da Matemática a Modelagem tem se
apresentado como uma alternativa para o ensino da Matemática. Percebendo o conflito vivido
pelos alunos do curso de Tecnologia em Gerência de Obras, em não conhecer exatamente o seu
campo de trabalho, buscou-se uma alternativa de abordagem dos conteúdos matemáticos para que
os mesmos se tornassem significativos
.
Modelagem Matemática colocada em termos de um ambiente de ensino e de aprendizagem, onde o professor através do desenvolvimento e acompanhamento de atividades de ensino, oportuniza ao aluno a construção de conhecimento matemático, nos sugere o estabelecimento de uma prática, no mínimo diferenciada da que comumente vem sendo praticada, pois, acreditamos que, ao fornecer ao aluno o conhecimento matemático, pronto e acabado, através de conceitos e regras que devem ser memorizadas, reproduzidas e aplicadas quando necessário, estamos dando pouca ou nenhuma oportunidade para que os alunos construam qualquer significado ou sentido mais útil ao conhecimento matemático escolar do que o simplesmente ser aprovado na escola. (CRITELLI,1980)
Modelagem Matemática, segundo Barbosa (1999), “é vista como um método pelo qual se
podem abordar as diversas situações da vida. Aliada a essa visão pragmática, junta-se a crença
em que dessa maneira os alunos aprenderiam e se interessariam pelo estudo da disciplina”.
Assim, sendo a Modelagem Matemática uma possibilidade de desenvolver os conteúdos, tratando
de assuntos reais, e dada a necessidade de despertar o interesse e a participação dos alunos,
apresentaremos sugestões de módulos de ensino, com diferentes atividades e orientaremos a
elaboração de um terceiro módulo que utiliza a Modelagem Matemática como estratégia
Para Miguel e Miorim (2004), as novas tecnologias da informação e comunicação estão
sendo um fator chave para novos processos, já que ditam as ações e atividades cotidianas,
alterando a cultura social, o modo de viver, de se relacionar, de aprender e de ensinar. O processo
de ensino e aprendizagem também passa por um grande processo de renovação, não apenas
enfocando o seu conteúdo, mas, sobretudo em relação a seus objetivos e de suas metodologias. A
aprendizagem já não é entendida como processo de transmissão-recepção de informação, mas sim
como processo de construção cognitiva que se favorece mediante incentivo à investigação pelos
alunos.
Segundo Dante (1995), hoje devido a avançados programas de computador, grandes
cálculos são feitos em fração de segundos, tarefa que o ser humano levaria horas para realizar
manualmente. Muitas das atividades do cotidiano passaram a ser executada por máquinas; com a
24
chegada da informática, as informações se espalharam em grande escala, revolucionando o modo
de vida de grande parte da humanidade.
Para Miguel e Miorim (2004), com essa “facilidade” que a informática proporciona,
houve uma desmatematização natural das pessoas em geral, ocasionando, desse modo, uma
desvalorização dos conhecimentos matemáticos. Atualmente, questiona-se: para que decorar
fórmulas ou teoremas, se, no computador, elas já estão armazenadas?
Outro ponto a ser destacado refere-se ao poder que pode advir do domínio da Matemática.
Segundo Barbosa (1999), a Matemática pode servir como instrumento de controle social: afinal,
os números governam o mundo; decisões são tomadas a partir de fórmulas, de cálculos, de
estatísticas; planejamentos de governo são decididos com auxílio da Matemática. Essas e outras
decisões afetam as vidas de todos aqueles que a elas se submetem.
Dante (1995), afirma que talvez a Modelagem Matemática possa se constituir uma
resposta para essa questão, uma vez que ela tem, como objetivo, interpretar e compreender os
mais diversos fenômenos do cotidiano. A Modelagem proporciona facilidade para interpretar os
conceitos matemáticos. É de grande importância descrever esses fenômenos, analisá-los e
interpretá-los, gerando assim discussões reflexivas sobre tais acontecimentos que cercam os
homens. Por fim, entende-se como apropriado apresentar o entendimento de SCHEFFER (1995),
a modelagem matemática se constitui na representação do mundo real levando a uma
interpretação significativa do mesmo.
Para Assaf Neto (1998), o Modelo Matemático compreende o resultado de uma série de
relações, situações e interpretações do mundo real que envolve o cotidiano. Essas situações que o
mundo real apresenta relacionam-se tanto com a natureza, sociedade ou cultura, como com os
conteúdos escolares das diferentes disciplinas. Esse contexto envolve a resolução de problemas,
possível de ser matematizado objetivando descrever, explicar e compreender partes do mundo.
Modelagem Matemática é, acima de tudo, uma proposta alternativa que vem para auxiliar
o educador em suas perspectivas; é algo a ser explorado e aprofundado. A Modelagem
Matemática é livre e espontânea e surge da necessidade do homem em compreender os
fenômenos que o cercam para interferir ou não em seu processo de construção.
Ao trabalhar Modelagem Matemática, dois pontos são fundamentais: aliar o tema a ser
escolhido com a realidade dos alunos e aproveitar as experiências extraclasse, interligando-as
com as experiência realizada em sala de aula. Para Severino (1996), a modelagem matemática
25
segue etapas: formulação do problema, construção de um modelo matemático, busca e testes de
uma solução modelo, por fim, a validação da solução. Continuam os autores afirmando que a
informação, questões e critérios de avaliação são pré-requisitos à construção de um problema de
modelagem.
Há registros de que a Modelagem Matemática traz inúmeros benefícios
• Motivação por parte de educando e educador. • Facilidade de aprender – o conteúdo matemático passa de abstrato a concreto • Devido à interatividade de conteúdos, preparação para futuras profissões nas
mais diversas áreas do conhecimento. • Desenvolvimento do raciocínio lógico. • Oportuniza o aluno a ser um cidadão crítico e transformador de sua realidade. • Compreensão do papel sócio-cultural da Matemática, tornando-a assim, mais
importante. (GAZETTA, 1989)
Para Assaf Neto (1998) a Modelagem Matemática não deve ser usada como uma única e
exclusiva metodologia de ensino. O professor, no exercício das suas atividades, deve sempre
procurar a melhor metodologia de ensino, envolvendo jogos, brincadeiras, enfim, usar todos os
seus recursos para obter o melhor resultado possível no ensino da Matemática. No entanto, são
indiscutíveis os argumentos favoráveis à Modelagem: motivação, facilitação da aprendizagem,
preparação para utilizar a Matemática em diferentes áreas, desenvolvimento de habilidades e
compreensão do papel sociocultural da Matemática.
Barbosa (1999), defende que as atividades de Modelagem podem ser consideradas como
uma forma de educar matematicamente os alunos para exercerem a cidadania, desafiando, assim,
a ideologia. Entende-se, portanto, que o ambiente de Modelagem esteja associado à
problematização ato de criar perguntas ou problemas e à investigação busca seleção, organização
e manipulação de informações. Nesse ambiente, além de aplicar em situações reais os
conhecimentos já construídos, há a possibilidade de novos conhecimentos serem adquiridos
durante o trabalho de modelagem.
Segundo Scheffer (1995), Modelagem é um ambiente de aprendizagem no qual os alunos
são convidados a problematizar e investigar, por meio da Matemática, situações com referência
na realidade. Atende-se dessa forma um dos grandes desafios deste século, que é fazer o aluno
compreender a importância do seu papel na sociedade, como agente ativo e transformador, e da
importância da Matemática no seu dia-a-dia.
26
Entretanto, a Modelagem Matemática é que não faz sentido o professor interromper sua
seqüência de conteúdos para fazer uma atividade de Modelagem só porque ouviu falar que é
interessante. Para Borba (1999), é preciso ter clareza do entendimento de como se propõe um
modelo, para não gerar trabalho desnecessário para o professor, prejudicando o andamento dos
conteúdos. Sempre que planejar a Modelagem Matemática, o professor deve ter em vista
valorizar o motivo pelo qual o aluno deve aprender Matemática e para ressaltar a importância que
isso representa na sua formação como cidadão responsável e participativo na sociedade.
Assaf Neto (1998), afirma que a retomada e a melhoria da qualidade do ensino da
Matemática têm constituído uma procura constante para todos aqueles que se voltam para o
ensino desta área do conhecimento. Nesta busca, tem-se encontrado a Modelagem Matemática
como alternativa para mostrar a Matemática de uma forma mais clara e ligada à realidade,
possuidora da propriedade de conectar esforços, pesquisas e debates, propriedades ainda não
muito conhecidas e usadas.
Para Borba (1999), torna-se crucial para todos aqueles que crêem na validade da
construção de modelos, que se dê a eles toda configuração condizente com a sua aplicabilidade,
utilidade, grandeza histórica e dimensão social que possuem. Recai, sobre o professor, a tarefa de
buscar instrumentos para, primeiro ele se inteirar de suas inúmeras faces e, após, levar aos alunos
esse cabedal de possibilidades possíveis que derivam da Modelagem Matemática. Percebendo sua
importância no contexto escolar, torna-se fundamental desenvolver uma estratégia para ministrar
essa prática na escola.
Para Assaf Neto (1998), a Modelagem Matemática passa a ser uma metodologia de ensino
quando o professor tem um embasamento teórico e está ciente de que o aluno pode atuar como
um facilitador da aprendizagem dessa disciplina e relacioná-la com as outras ciências. Ao abordar
o contexto, o aluno tem entusiasmo para a aprendizagem, além de possibilitar a tomada de
decisão em situações do cotidiano que envolve aspectos socioculturais.
tal mudança deverá ter lugar na prática de sala de aula, pois neste labor está à possibilidade da busca de atividades mais positivas tanto de alunos como de professores, não só com relação ao ensino da matemática como também com relação ao ensino e sua aprendizagem (RABELO LORENZATO, 1994)
Para D’ Ambrosio (2002), a Modelagem Matemática é uma prática que propõe mudanças
e superação de algumas ações pedagógicas tradicionais, bem como se constitui um eixo que se
27
situa numa perspectiva progressiva da Educação Matemática. A Modelagem, no ensino, pode ser
um caminho para despertar, no aluno, o interesse por tópicos matemáticos que ainda desconhece.
Segundo Ramos (2005), muitas circunstâncias do cotidiano apresentam problemas que
necessitam soluções. Alguns destes problemas têm aspectos matemáticos relativamente simples,
elementares, como, por exemplo, o tempo necessário para chegar a um determinado local, o juro
cobrado pelos estabelecimentos comerciais, medições de terra, e outras. Reforço que, seja qual
for o caso, a solução de um problema requer uma formulação matemática detalhada.
Para D’ Ambrosio (2002), uma das situações que define Modelo Matemático são as
relações que traduzem de alguma forma, um fenômeno ou problema da situação real. Na Ciência,
a noção de modelo é fundamental; em especial, a Matemática, com sua arquitetura, permite a
elaboração de modelos matemáticos, possibilitando uma melhor compreensão, simulação e
previsão do fenômeno estudado.
Um modelo pode ser formulado em termos familiares, tais como as expressões ou
fórmulas, os diagramas, as tabelas, os gráficos, os cálculos estatísticos, as representações
geométricas, os programas computacionais e outros. Quando se propõe um modelo, ele é
proveniente de aproximações realizadas para se poder entender melhor um fenômeno.
Para Assaf Neto (1998), modelagem Matemática é, pois, uma arte em formular, resolver e
elaborar expressões que resolvam não apenas uma solução particular, mas que também sirvam,
posteriormente, como suporte para outras aplicações e teorias.
Já Bassanezi (2002), ao definir a Modelagem Matemática como um processo de traduzir a
linguagem do mundo real para o mundo matemático, aponta três etapas que devem ser
desenvolvidas.
A criação de Modelos Matemáticos vem ao encontro da necessidade de que se desenvolva uma técnica de acesso ao conhecimento e, tal conhecimento, acumulado e depositado, deverá ser acessível a vários níveis de necessidade. E que haja uma forma de ensino mais dinâmica, mais realista e menos formal, mesmo no ensino tradicional, permitindo atingir objetivos mais adequados a nossa realidade (D’AMBROSIO, 1986)
Para Ramos (2005), a Modelagem Matemática é uma metodologia alternativa para o
ensino de Matemática, que pode ser utilizada tanto no ensino fundamental como no ensino
médio. A partir de conceitos gerais, procura-se mostrar a importância da Matemática para o
conhecimento e compreensão da realidade onde se vive. Este trabalho busca demonstrar que é
28
possível estabelecer um paralelo entre o ensino tradicional e o ensino através da modelagem
matemática, abordando aspectos como a pedagogia adotada, a criatividade, o interesse pelo
estudo de matemática, a motivação e o entusiasmo por parte dos alunos, e a avaliação do que eles
realmente aprenderam com a modelagem matemática, levando o professor a refletir sobre sua
metodologia de ensino da Matemática.
A Modelagem Matemática é, acima de tudo, uma perspectiva, algo a ser explorado, o
imaginável, no sentido de relacionar o aspecto científico da matemática e a realidade. E ainda,
responde a questões que podem ser inovadoras, que mudam com o tempo, obedecendo à cultura
de cada sociedade; o que requer criatividade para ser desenvolvido. (ASSAF NETO, 1998)
Para Borba (1999), no ensino tradicional da Matemática não tem havido, em geral, um
respeito pela criatividade do aluno. Na prática de ensino de um grande número de professores,
alheios à preocupação com a criatividade matemática, há um desencontro entre esta e a forma
metódica como as idéias surgem em suas exposições de sala de aula. As soluções das questões e
as demonstrações são apresentadas de tal modo que não passam por ensaios e tentativas de
resolução e busca de novos caminhos. Esta forma de apresentação dos conteúdos, despreende-se
uma concepção de Matemática em que a criatividade é totalmente desfigurada, induzindo os
alunos à impotência frente à sabedoria do mestre, que aparentemente encontra de imediato os
melhores caminhos para a solução de questões matemáticas, em verdade, esse modo de proceder
só é possível porque o professor já conhece antecipadamente aquele conteúdo.
A dificuldade em relação ao ensino da Matemática é que, na realidade, o dia-dia do trabalho na sala de aula é uma tentativa de transmissão de um conhecimento deslocado dos interesses dos alunos e que, para grande parte dos educadores, é motivo de frustração. Isso se dá pelo fato de que a Matemática acaba se constituindo num conjunto de técnicas passadas aos alunos de forma mecânica e a crítica, como um conhecimento pronto e acabado. Com freqüência, considera-se Matemática uma ciência desligada do mundo real dos alunos (ABDELNUR, 1994).
Desse modo a Modelagem Matemática é o processo que envolve a obtenção de um
modelo. Este sob certa ótica, pode ser considerado um processo artístico, visto que, para se
elaborar um modelo, além de conhecimento apurado de matemática, o modelador deve ter uma
dose significativa de intuição e criatividade para interpretar o contexto, saber discernir que
conteúdo matemático melhor se adapta e também ter senso lúdico para jogar com as variáveis
envolvidas. Para D’ Ambrosio (2002), a grosso modo, pode-se dizer que Matemática e realidade
29
são dois conjuntos disjuntos e a Modelagem é um meio de faze-la interagir. Essa interação, que
permite representar uma situação “real” com “ferramental” matemático (modelo matemático),
envolvendo vários procedimentos.
A formação do cidadão que a sociedade atualmente exige, a escola precisa, primeiramente
despertar o interesse e a participação dos alunos, e a adoção de novas metodologias de ensino é
uma forma de contribuir para que isto aconteça. (ABDELNUR, 1994)
A Modelagem Matemática, segundo Borba (1997), “é vista como um método pelo qual
se podem abordar as diversas situações da vida. Aliada a essa visão pragmática, junta-se a crença
em que dessa maneira os alunos aprenderiam e se interessariam pelo estudo da disciplina”.
a relevância da Matemática em diversas atividades sociais e profissionais, hoje fortemente estabelecida, e a sua contribuição para uma cidadania informada e consciente, fazem com que a Modelagem Matemática seja percebida como uma perspectiva importante em busca de melhorias no processo de ensino e aprendizagem da matemática visando o desenvolvimento de um, pensamento mais crítico e reflexivo no estudante (ALMEIDA, 2009)
Segundo Ramos (2005), a Modelagem Matemática uma possibilidade de desenvolver os
conteúdos, tratando de assuntos reais, e dados a necessidade de despertar o interesse e a
participação dos alunos, apresentaremos sugestões de módulos de ensino, com diferentes
atividades e orientaremos a elaboração de um terceiro módulo que utiliza a Modelagem
Matemática como estratégia.
Para Borba (1999), um modelo matemático pode ser entendido como um conjunto de
símbolos e relações matemáticas que representa uma situação, um fenômeno ou um objeto real a
ser estudado. Os modelos matemáticos podem ser expressos através de gráficos, tabelas,
equações, sistemas de equações
Ramos (2005), ensina que a Modelagem Matemática “consiste na arte de transformar
problemas da realidade em problemas matemáticos e resolvê-los interpretando suas soluções na
linguagem do mundo real”. Ela permite a realização de previsões e tendências e é eficiente a
partir do momento que tomamos consciência de que estamos trabalhando sobre representações de
um sistema ou parte dele. É um processo dinâmico, onde, partindo-se de um problema real,
associado a um conjunto de hipóteses, é obtido um modelo que forneça possíveis soluções para o
problema.
Para Almeida (2003), a essência de um processo de Modelagem consiste na transposição
de um problema real para um universo matemático. No entanto, quando o processo de construção
30
e utilização de modelos se desenvolve em sala de aula, deve-se atribuir atenção especial ao
cenário pedagógico, isto é, as questões relativas ao ensino e à Matemática do currículo escolar
ocupam um lugar de destaque.
A Modelagem Matemática tem sido reconhecida como uma alternativa pedagógica na
condução do processo de ensino e aprendizagem em cursos regulares submetidos à programas e
cronogramas preestabelecido. A formulação do problema matemático foi realizada pelos alunos
em conjunto com a professora: determinar um modelo matemático que descreva o
comportamento da corrente que flui em um circuito, em relação à tensão aplicada e ao resistor do
equipamento. (BORBA, 1999)
Almeida (2003), afirma que a contextualização dos conteúdos, em qualquer disciplina,
existem problemas, pois muitos educadores têm uma idéia equivocada de contexto ao suporem
que seja trabalhar apenas o que faz parte do dia-a-dia dos alunos. Embora as situações cotidianas
sejam fundamentais para conferir significado a muitos conteúdos a serem estudados, é importante
considerar que estes podem ser explorados em outros contextos. Tomando a Matemática como
exemplo, é possível contextualizar com questões internas da mesma, além de lançar mão dos
problemas históricos.
A aprendizagem significativa preconiza que as idéias novas sejam relacionadas às
informações previamente adquiridas pelos discentes através de uma relação não arbitrária e
substantiva.
A aprendizagem significativa pressupõe ainda que o aluno manifeste uma disposição para
tal, caso contrário ocorrerá uma aprendizagem mecânica dos conteúdos estudados. Para Micotti
(1999), a ocorrência da aprendizagem significativa de um conceito está condicionada a
observações de regularidades ou das diferenças e semelhanças existentes entre o novo e o antigo
conhecimento.
grande parte das informações adquiridas pelos alunos, tanto dentro como fora da escola, é apresentada preferencialmente por descoberta. No entanto, grande parte do material de aprendizagem é apresentado de forma receptiva. O importante é observar que a aprendizagem, quer seja por descoberta ou recepção, pode apresentar tanto caráter mecânico quanto significativo. (AUSUBEL, 1980)
Segundo Almeida (2003), a leitura da linguagem matemática também não opera num
processo de número por número ou símbolo por símbolo. Supõe estratégias de conexão do
31
significado com a representação, de forma a integrar os diferentes símbolos num todo coerente,
permitindo assim a extração do significado da mensagem. O ato de ler a linguagem matemática,
assim como o da leitura na língua materna, deve ser concebido de forma que seus símbolos
representem realidades.
O uso dos recursos da comunicação nas aulas de Matemática justifica se porque ao
comunicar idéias e maneiras de agir, os alunos precisam refletir sobre o que fizeram ou pensaram,
construir esquemas mais elaborados de pensamento, organizar mentalmente pensamentos e ações,
para avançar com competência no processo de conhecimento. (KRULIK, 2005)
Para Micotti (1999), é importante lembrarmos também que na prática pedagógica com
jogos, a construção e aquisição de conhecimentos por parte dos alunos acontecem de forma mais
lenta, pois estes necessitam de tempo para se familiarizar, aprofundar e analisar o jogo. Dos
professores, exige maior dedicação na preparação de materiais, atentando para as diferentes fases
do jogo e suas possibilidades, sendo ele o mediador da construção do conhecimento pelos alunos,
proporcionando a estes ambientes de aprendizagem nos quais possam criar, ousar, comprovar.
Almeida (2003), comenta que a Modelagem Matemática tem sido reconhecida como uma
alternativa pedagógica na condução do processo de ensino e aprendizagem em cursos regulares
submetidos à programas e cronogramas preestabelecido sA formulação do problema matemático
foi realizada pelos alunos em conjunto com a professora: determinar um modelo matemático que
descreva o comportamento da corrente que flui em um circuito, em relação à tensão aplicada e ao
resistor do equipamento
uma única História da Matemática da qual se possa fazer uso e abuso e que devesse ser recortada e inserida homeopaticamente no ensino. Eles entendem que histórias podem e devem constituir pontos de referência para a problematização pedagógica da cultura escolar e, mais particularmente, da cultura matemática e da educação matemática escolar, desde que sejam devidamente constituídas com fins explicitamente pedagógicos e organicamente articulados com as demais variáveis que intervêm no processo de ensino aprendizagem escolar da matemática (MENDES, 2001)
Para Pellegrini (2001), o grande problema é que muitos professores não sabem favorecer a
aprendizagem, não sabem ou não querem. É mais cômodo chegar na sala e mandar os alunos
abrirem o livro na página tal e fazerem os exercícios. Só que a postura passiva não é digna de
alguém que se diz educador. É preciso mostrar ao aluno a utilidade do que ele vai aprender, a
importância que terá tal aprendizagem para sua vida. É preciso partir também, da realidade e das
dificuldades do aluno e que seja explicado determinado conteúdo quantas vezes forem necessário
32
O que caracteriza uma aprendizagem como sendo significativa é o fato dela envolver o
indivíduo como um todo. Esta deve ir ao encontro de suas necessidades, gerando assim um
desequilíbrio para o mesmo, o que resulta em uma energia impulsora para que vá à busca daquilo
que necessita aprender. de extrema importância que haja vínculos desafiadores entre o aluno e a
matéria de ensino, para que assim o mesmo perceba o desnível entre si e o conteúdo a ser
estudado. Se isso não ocorrer, o educando não será impulsionado a estudar aquilo a que está
sendo submetido. Não havendo motivação, o aluno não se porta de maneira ativa diante da
matéria e sem iniciativa e curiosidade em descobrir, não ocorre o processo de conhecimento.
(KRULIK, 2005)
Para Almeida (2003) com relação à contextualização dos conteúdos, em qualquer
disciplina, existem problemas, pois muitos educadores têm uma idéia equivocada de contexto ao
suporem que seja trabalhar apenas o que faz parte do dia-a-dia dos alunos. Embora as situações
cotidianas sejam fundamentais para conferir significado a muitos conteúdos a serem estudados, é
importante considerar que estes podem ser explorados em outros contextos. Tomando a
Matemática como exemplo, é possível contextualizar com questões internas da mesma, além de
lançar mão dos problemas históricos.
Matos e Carreira (1996), comenta que o educador deve deter habilidades e recursos
técnicos de ensino suficientes para possibilitar aos alunos a sua elevação cultural, através da
apropriação da cultura elaborada. Ensinar não significa simplesmente ir a uma sala de aula onde
se fazem presentes uma turma de alunos e despejar sobre ela uma quantidade de conteúdos.
Ensinar é dar possibilidades aos alunos construírem seu conhecimento, de uma forma agradável,
prazerosa da forma mais eficaz possível. Para tanto, será preciso que o professor detenha
recursos, técnicas e habilidades de comunicação, que facilite a apropriação do que se comunica.
Para Almeida (2003), a aprendizagem representacional refere-se à aprendizagem inicial
cuja característica principal é a assimilação de símbolos e seus significados particulares.
Inicialmente podemos compará-la à aprendizagem mecânica, no entanto as proposições de
equivalência que são feitas entre os símbolos e seus significados são obviamente relacionáveis e,
portanto significativas. Por conseguinte a representação do objeto quadrado, nesta fase, passa a
significar o próprio conceito de quadrado.
33
A interpretação de um texto histórico ao qual solicitamos que o aluno realize
procedimentos que o auxiliem na compreensão de algoritmos a partir das proposições enunciadas
no texto. (KRULIK, 2005)
Para (BORBA, 1999) a aquisição do conhecimento matemático não se inicia quando o
aluno ingressa num sistema educacional. Grande parte dos cálculos realizados fora da escola
verifica-se a partir de situações práticas e são realizados mentalmente utilizando diferentes
maneiras de calcular que anteriormente já se demonstravam confiáveis. Entendendo que uma aula
é uma atividade social, cujo formato deve contemplar a interação entre seus participantes em
diversas linguagens, considerando e respeitando diferentes lógicas e variadas formas de pensar, é
imperioso que o professor compreenda as especificidades da linguagem matemática.
Para Moreira (1982), a linguagem matemática não pode ser enunciada oralmente, ela
depende da língua materna. A ausência de uma oralidade própria não permite que a escrita
matemática possa ser concebida, nem num primeiro momento, como a transcrição gráfica das
unidades sonoras. Se, de um lado, a estratégia fonológica não pode ser usada, de outro, é através
da oralidade emprestada da língua materna que se começa a elaboração de textos orais que
relatam estratégias de raciocínio e comunicam resultados.
Matos e Carreira (1996), dizem que a leitura da linguagem matemática também não opera
num processo de número por número ou símbolo por símbolo. Supõe estratégias de conexão do
significado com a representação, de forma a integrar os diferentes símbolos num todo coerente,
permitindo assim a extração do significado da mensagem. O ato de ler a linguagem matemática,
assim como o da leitura na língua materna, deve ser concebido de forma que seus símbolos
representem realidades.
Para Borba (1999), escrever um texto sobre matemática é saber utilizar simultaneamente
os códigos numéricos e ortográficos. A conquista da escrita matemática, assim como a escrita na
língua materna, pressupõe percurso longo que exige vários anos de esforços escolares para que
sua aprendizagem seja significativa.
Para Krulik (2005), a linguagem é adquirida espontaneamente e uma criança, em tenra
idade, já possui todo o sistema de sua língua com o qual é capaz de se comunicar de forma
suficiente em conformidade com suas necessidades. Essa situação não parece aplicar-se à
matemática, embora não haja dúvidas de que o conhecimento lógico-matemático também
pressupõe um componente inato que independe de convenções. Assim, a inexistência de uma
34
oralidade própria não permite pensar-se no ensino da Matemática sem uma perfeita articulação
com o ensino da Língua Materna. Dessa forma, é importante a compreensão de que a
aprendizagem da língua materna e da matemática deve se desenvolver simultaneamente,
impedindo a desarticulação do aprendizado escolar com a vida, de modo a possibilitar que a
linguagem dos números possa ser utilizada de forma tão natural quanto à linguagem escrita.
Nesse sentido, a aprendizagem proposicional pode ser evidenciada no seguinte caso: dado
um círculo de diâmetro unitário, podemos supor que o comprimento da circunferência do círculo
situa-se entre o perímetro de qualquer polígono regular inscrito e a de qualquer polígono regular
circunscrito. Desta forma, podemos calcular os perímetros dos hexágonos regulares inscritos e
circunscritos, obtendo assim aproximações para π. Considerando que são conhecidas para
obtenção dos perímetros dos polígonos regulares inscritos e circunscritos com o dobro do
número de lados. E por aplicações sucessivas desse processo, podemos. (MATOS e CARREIRA,
1996)
calcular os perímetros dos polígonos regulares inscritos e circunscritos de doze, vinte e quatro, quarenta e oito, e noventa e seis lados e, dessa forma, obter limites cada vez mais próximos de π. Foi isso que essencialmente fez Arquimedes, chegando à conclusão de que π está entre ou que, até a segunda casa decimal, MATOS e CARREIRA , 1996).
Através da oralidade, o professor terá oportunidade, não só de avaliar se o desinteresse e
desestimulo por determinado assunto foi motivado por absoluta incompreensão do conteúdo
abordado, como também em que momento a tensão discursiva assume níveis alto, médio e baixo.
Para Borba, (1999) a percepção desses níveis será determinante para a realização de um trabalho
específico envolvendo a desmistificação do medo e da ansiedade ante a Matemática.
Para Krulik, (2005), é inegável que a Matemática é um dos fatores de exclusão não só
acadêmico como também social. Não é novidade a afirmação de que, para muitos professores das
séries iniciais, a Matemática se constitui como um código indecifrável e, por isso, as dificuldades
com a escrita da linguagem matemática passam a ser natural. Idéias pré-concebidas sobre a
natureza da Matemática apenas à luz de uma convicção pessoal podem determinar reações
desfavoráveis ao aprendizado da disciplina e interferir negativamente nas práticas pedagógicas do
educador.
Dessa forma, conforme Severino, (1996), torna-se imperioso o rompimento com o
modelo tradicional e conservador que permeia a prática docente na maioria das nossas escolas.
35
Tal ruptura só ocorrerá se for possível fazer chegar ao professor, através de uma Formação
Continuada de qualidade, os trabalhos que vêm sendo desenvolvidos em diversas áreas do
conhecimento.
A aprendizagem significativa de proposições novas que não apresentam uma relação
subordinativa ou super ordenada com idéias particulares relevantes na estrutura cognitiva, ou
seja, não estão subordinadas a determinadas proposições e não podem condicionar o
aparecimento de determinadas idéias é denominada de aprendizagem combinatória. (MATOS e
CARREIRA, 1996)
Severino (1996), ensina que a aprendizagem significativa apresenta alguns princípios
peculiares que podem favorecer a aquisição do conhecimento escolar. Os discentes podem
realizar aprendizagem significativa dos conceitos estudados, quando os mesmos estiverem
organizados segundo uma seqüência lógica, denominada diferenciação progressiva. Além de
sugerir uma dinâmica que permite constante retomada de conceitos já desenvolvidos,
proporcionando revisões freqüentes, caracterizando a reconciliação integrativa. Durante o
desenvolvimento das ações contidas nas tarefas potencialmente significativas, o que
provavelmente facilitará a assimilação dos conceitos .
36
CONSIDERAÇÕES FINAIS
Uma análise atenta do fazer pedagógico cotidiano revelará que as crianças que chegam à
escola normalmente gostam de Matemática. Entretanto, não será difícil constatar também que
esse gosto pela Matemática decresce proporcionalmente ao avanço dos alunos pelos diversos
ciclos do sistema de ensino, processo que culmina com o desenvolvimento de um sentimento de
aversão, apatia e incapacidade diante da Matemática.
Diversos autores têm defendido a necessidade de professores desenvolverem intervenções
inovadoras em suas salas de aulas através de apoio mútuo ou acompanhado de investigadores à
luz das questões postas neste trabalho, trata-se de propor aos professores de Matemática que
desenvolvam intervenções em suas salas de aula baseadas em Modelagem Matemática. Assim,
ele pode experimentar como o contexto de sua própria sala de aula reage a esta ação,
desenvolvendo seus conhecimentos práticos sobre a Modelagem e, com efeito, questionar suas
próprias concepções.
Através deste trabalho de reflexão teórica sobre o conceito, os procedimentos para
elaboração de um modelo e algumas vantagens em adotar a Modelagem Matemática no auxílio
do processo de ensino e aprendizagem da Matemática, foram efetuadas pesquisas em literatura
específica, para que o professor tenha a oportunidade de melhor compreensão das técnicas que
envolvem o processo da Modelagem.
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Esta nova maneira de olhar a Matemática vinculada a um contexto sócio-cultural-
político, contribui significativamente na atividade escolar. A Modelagem Matemática convida o
aluno a atuar, investigar, discutir e motivar. Ela desenvolve habilidades de exploração e
compreensão da Matemática no mundo e prepara para utilizá-la em diversas áreas do
conhecimento. Através disso, é preciso repensar as aulas de Matemática considerando que não
pode-se mais associá-las somente a conteúdos de alto nível de abstração e que não possuem
ligação com a vida dos alunos
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