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CENTRO FEDERAL DE EDUCAÇÃO TECNOLÓGICA DE MINAS GERAIS Mestrado em Educação Tecnológica
BRUNO BRAGANÇA
MODELAGEM MATEMÁTICA NA EDUCAÇÃO: compreensão de significados
Belo Horizonte (MG)
2009
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Bruno Bragança
MODELAGEM MATEMÁTICA NA EDUCAÇÃO: compreensão de significados
Dissertação apresentada ao Curso de Mestrado em Educação Tecnológica do Centro Federal de Educação Tecnológica de Minas Gerais - CEFET-MG, para obtenção do título de Mestre em Educação Tecnológica. Orientador: Prof. Dr. Paulo Cezar Santos Ventura
Belo Horizonte (MG)
2009
Bruno Bragança
MODELAGEM MATEMÁTICA NA EDUCAÇÃO: compreensão de significados
Dissertação apresentada ao Curso de Mestrado em Educação Tecnológica do Centro Federal de Educação Tecnológica de Minas Gerais - CEFET-MG, em ---/---/---, como requisito parcial para obtenção do título de Mestre em Educação Tecnológica, aprovada pela Banca Examinadora constituída pelos professores:
____________________________________________________ Prof. Dr. Paulo Cezar Santos Ventura – CEFET/MG – Orientador
____________________________________________________ Prof. Dr. Dácio Guimarães de Moura – CEFET/MG
____________________________________________________ Profa. Dra. Jussara de Loiola Araújo – UFMG
DEDICATÓRIA
A Milli, minha namorada agora também esposa, pelo carinho.
Aos meus pais Gedeão e Margarete, pelo amor
acima de qualquer barreira.
As minhas irmãs Rubia e Juliana Di, pelo apoio e incentivo.
Aos meus sobrinhos, Camila e Gabriel, pela
sincera alegria.
Amo todos vocês!
AGRADECIMENTOS
A Deus toda honra e toda glória para sempre amém!
Aos meus pais Gedeão e Margarete Bragança por me ensinarem o caminho em
que devo andar e que ao continuar crescendo não me desvie dele.
As minhas irmãs Rubia e Juliana Di e meus sobrinhos Camila e Gabriel pela
alegria nos meus retornos para casa.
A Milli, minha, no início, namorada, agora também minha esposa, por suportar a
distância e os momentos de cansaço de mais essa batalha.
A Kênya Nunes Castro (in memorian) pelos muitos: “você vai conseguir”.
Valeu Léo, em nome de quem agradeço a toda galera do Leão e a Gazela por
todos os momentos, mas principalmente pelos de descontração.
Ao Pr. João, Neemísia (sua esposa), Mel e Orranes (seus filhos), Tiaguinho (seu
neto), Lídia (sua nora) e Igreja Batista do Palmares por terem me acolhido em BH.
Aos professores Dácio e Adelson, e por extensão, aos grupos LACTEA pelas
interações sócio-técnicas e GESTA pelas atividades.
Ao Paulo Cezar pela confiança, apoio, liberdade e ensinamentos.
A Prof. Jussara de Loiola Araújo por aceitar o convite de compor a banca.
As escolas Herbert de Souza e EBA e ao Centro Universitário de Caratinga por
compreenderem minhas necessidades, principalmente de tempo.
Ao CEFET-MG pelo apoio financeiro durante o segundo ano dessa caminhada.
Sobre tudo o que se deve guardar, guarde o teu
coração, porque dele procedem as saídas da vida.
-Provérbios 4:23-
RESUMO
Este trabalho tem como objetivo analisar trabalhos de Modelagem Matemática na
Educação à luz dos conceitos de prática educativa e ambiente de aprendizagem e
verificar se as diferentes caracterizações levam a diferentes ações educativas,
buscando assim contribuir para a compreensão da utilização dessas diversas
caracterizações. Este estudo consta de uma revisão bibliográfica que procura delimitar
os conceitos de prática educativa, ambiente de aprendizagem e Modelagem
Matemática na Educação e da análise de dados coletados através de análise
documental, questionário e fórum. Essa análise pautou-se na definição de prática
educativa como uma atividade desencadeada por um motivo e composta de ações e
seus objetivos e as operações com suas condições de realização. Constatamos que a
utilização de tantas expressões está relacionada à experiência do autor, de suas
concepções e locus onde está inserido e também pelo desmembramento de algumas
dessas. Tais expressões foram agrupadas em três blocos: Estratégia, Ferramenta e
Metodologia. Por fim interpretamos a Modelagem Matemática na Educação como uma
Prática Educativa pautada pela metodologia que ela carrega e que constitui um
ambiente de aprendizagem que busca dar importância às experiências dos estudantes
e propicia novas experiências no processo de busca e produção do conhecimento.
Palavras-chave: Modelagem Matemática no Ensino; Prática Educativa; Ambiente de
Aprendizagem.
ABSTRACT
This paperwork aims to examine the work of mathematics Modelling on Education
according to the concepts of educational practice and the learning environment and also
check if the different characterizations lead to different educational actions, contributing
,this way ,to the understanding of the using of these various characterizations. This
study is a literature review that seeks to define the concepts of educational practice, the
learning environment and Mathematics Modelling on teaching and analysis of data
collected through document analysis, questionnaire and forum. This analysis is guided
in the definition of educational practice as an activity triggered by a reason and it
consists of actions, their goals and operations with their conditions of implementation.
We realized that the use of so many expressions is related to the experience of the
author, their ideas and place where they are present and also some of them
dismantled. Such expressions were grouped into three steps: strategy, tools and
methodologies. Finally we interpreted the Mathematics modelling on teaching as an
educational practice guided by the methodology that it carries and it also consists of a
learning environment that intends to make the students experiences important and
provide new experiences in the process of search and production of knowledge.
Keywords: Mathematics modelling on education, educational practice, learning
environment.
SUMÁRIO
INTRODUÇÃO ............................................................................................................... 11
1 ASPECTOS METODOLÓGICOS ............................ ............................................... 17
1.1 CONSIDERAÇÕES INICIAIS ....................................................................................... 17 1.2 ANÁLISE DOCUMENTAL ........................................................................................... 20
1.2.1 A CNMEM .................................................................................................... 21 1.2.2 O fórum ........................................................................................................ 23
1.3 QUESTIONÁRIO ...................................................................................................... 24 1.4 ANALISANDO OS DADOS .......................................................................................... 26
2 MODELAGEM MATEMÁTICA NA EDUCAÇÃO .................. .................................. 28
2.1 MATEMÁTICA APLICADA: O BERÇO DA MODELAGEM NA EDUCAÇÃO ............................. 28 2.2 MODELAGEM MATEMÁTICA NA EDUCAÇÃO................................................................ 33
2.2.1 Concepções e Caracterizações .................................................................... 36 2.2.2 Argumentos e Obstáculos ............................................................................ 41 2.2.3 Projetos de Modelagem ................................................................................ 48
3 PRÁTICA EDUCATIVA ................................. ......................................................... 50
3.1 SOBRE PRÁTICA EDUCATIVA .................................................................................... 50 3.2 ESTRATÉGIAS DE ENSINO E APRENDIZAGEM .............................................................. 57 3.3 “EVOLUÇÃO” DO CONCEITO DE PRÁTICA EDUCATIVA .................................................. 60
3.3.1 Sobre Teoria da Atividade ............................................................................ 62 3.3.2 Uma nova concepção de Prática Educativa ................................................. 66
3.4 AMBIENTE DE APRENDIZAGEM ................................................................................. 68
4 OS ARTIGOS DA V CNMEM ............................. ..................................................... 73
4.1 ANÁLISE QUANTITATIVA ........................................................................................... 73 4.1.1 Níveis de ensino ........................................................................................... 74 4.1.2 Casos descritos por Barbosa ....................................................................... 74 4.1.3 Caracterizações............................................................................................ 75
4.2 ANÁLISE QUALITATIVA ............................................................................................. 79 4.2.1 Motivos/necessidades .................................................................................. 79 4.2.2 Ações e seus objetivos ................................................................................. 87 4.2.3 Operações e Condições ............................................................................... 91 4.2.4 Resultados relatados da atividade................................................................ 94
5 O FÓRUM ............................................................................................................. 100
6 O QUESTIONÁRIO ............................................................................................... 110
CONSIDERAÇÕES FINAIS E SUGESTÃO PARA TRABALHOS FUTU ROS ............ 122
REFERÊNCIAS ............................................................................................................ 132
APÊNDICE A – QUESTIONÁRIO ......................... ....................................................... 142
11
INTRODUÇÃO
Preocupados com a qualidade do ensino, profissionais da área têm se
empenhado em buscar novos métodos. Novas formas de facilitar a aprendizagem são
agregadas e metodologias tradicionais são substituídas e/ou modificadas.
No ensino e aprendizagem da Matemática não tem sido diferente. Professores e
pesquisadores têm elaborado, constantemente, novos métodos, os quais têm servido
de instrumento de trabalho para eles mesmos e para outros que, muitas vezes, os
utilizam na sua forma original ou modificados para que se tornem aplicáveis às suas
condições de trabalho, aos seus objetivos e aos seus alunos.
Esses métodos, em suas diferentes formas de aplicação, incluem o envolvimento
de professores, alunos, comunidade, objetos e outros, e contribuem para uma mudança
do ambiente de aprendizagem escolar. Na Educação Matemática, destacaremos a
utilização da Modelagem Matemática como uma prática alternativa para o ensino e
aprendizagem da Matemática.
Dissertações, teses, relatos de experiência sobre a Modelagem Matemática na
Educação têm sido frequentemente divulgados. Seja no campo teórico ou na prática,
têm-se caracterizado a Modelagem1 de diversas formas, como, por exemplo, estratégia
de ensino, ambiente de aprendizagem, metodologia e recurso pedagógico.
1 Deste ponto em diante usaremos apenas o termo Modelagem para designar a Modelagem Matemática no Ensino, evitando assim repetições.
12
Nesta pesquisa, buscamos compreender a utilização desses diversos termos e
expressões para caracterização da Modelagem. Apresentamos concepções acerca de
Modelagem Matemática na Educação, Prática Educativa e Ambiente de Aprendizagem,
na busca por responder nossa inquietação: “Diferentes caracterizações levam a ações
diferentes no uso da Modelagem Matemática na Educação? Como poderia ser
caracterizada a Modelagem à luz dos conceitos de prática educativa e ambiente de
aprendizagem que vêm sendo estabelecidos e utilizados pela linha IV2 do Mestrado em
Educação Tecnológica do Centro Federal de Educação Tecnológica de Minas Gerais
(CEFET-MG)”?
Mas por que me envolver com Modelagem Matemática na Educação? O motivo
está totalmente ligado a minha trajetória acadêmica. Meu primeiro contato com
Modelagem Matemática foi no curso de pós-graduação lato sensu: “Matemática
Superior” do Centro Universitário de Caratinga (UNEC) através da disciplina Tendências
em Educação Matemática e de um artigo que apresentava a Modelagem da Conta de
Luz3. Assim, comecei a me envolver com leituras, ainda que tímidas, sobre Modelagem,
o que resultou em minha monografia sobre o tema. A leitura sobre Modelagem já
avançou, mas a prática ainda não, pois encontro sempre a rigidez do currículo.
Oportunidade para essa aplicação, como aluno, foi encontrada em um curso de
extensão intitulado: “Tendências em Educação Matemática: ênfase em Modelagem
Matemática”, realizado à distância, pela UNESP-Rio Claro, em um ambiente virtual de
aprendizagem. Já como professor, pude utilizar a Modelagem em uma turma de oitava
2 Linha IV: Fundamentos e Práticas Educativas no Ensino de Ciência e Tecnologia 3 ALBË, M. Q e GROENWALD, C. L. O. Proposta de trabalho em modelagem e simulação matemática. In:Educação Matemática em Revista, No 11, ano 8. p.41 – 50, São Paulo, 2001.
13
série de ensino fundamental, exemplo que utilizo neste trabalho, e mais recentemente
com uma turma de pós-graduação.
Ao ingressar no Programa de Pós-Graduação em Educação Tecnológica do
CEFET-MG, encontrei na linha IV deste programa a oportunidade de continuar meu
envolvimento com Modelagem e, de alguma forma, contribuir com seu desenvolvimento
ainda que no campo teórico.
Inicialmente, pretendíamos utilizar os estudos que vinham sendo desenvolvidos
pelo orientador dessa dissertação, na linha IV, sobre Redes Sociotécnicas, de Bruno
Latour4, em que envolveríamos Modelagem através do Centro Virtual de Modelagem5,
vendo-o como um “nó” importante da Rede Sociotécnica de Modelagem Matemática.
Essa idéia avançou até o momento em que se começou a discutir os conceitos
de Ambiente de Aprendizagem e Prática Educativa dentro desta linha de pesquisa. As
discussões sobre o tema tomaram conta das reuniões do grupo de pesquisa
Laboratório Aberto de Ciência, Tecnologia, Educação e Arte - LACTEA por estar
diretamente ligado aos temas gerais das pesquisas propostas pelos mestrandos que
faziam parte do grupo. Vimos, neste momento, a oportunidade de responder questões
que nos incomodavam nas leituras sobre Modelagem:
4 Bruno Latour: sociólogo francês que desenvolveu, junto com outros estudiosos, a Teoria Ator-Rede. 5 O Centro Virtual de Modelagem (CVM) é um ambiente virtual, onde professores de matemática poderão encontrar suporte, oferecer ajuda e colaborar no sentido de encontrar soluções para problemas comuns, construir alternativas e debater questões ligadas a Modelagem (Centro ..., 2007).
14
1. As diferenças de concepções e caracterizações de Modelagem trazem
atividades e/ou ações educativas diferentes na condução do ensino? Que atividades
e/ou ações são essas?
2. Qual é o real significado de cada uma das denominações que os autores dos
artigos utilizam para caracterizar Modelagem?
Para respondermos a essas perguntas precisávamos também buscar entender o
que é prática educativa e ambiente de aprendizagem, o que é Modelagem Matemática
na Educação e quais as diferentes concepções e caracterizações existentes. A partir
daí é que poderíamos, então, chegar a um posicionamento sobre onde se situaria a
Modelagem diante dos conceitos estabelecidos e utilizados pela linha IV do Mestrado
em Educação Tecnológica do CEFET-MG.
As questões acima apresentadas são norteadoras desta pesquisa, que tem como
objetivos: contribuir para uma caracterização da Modelagem como prática educativa ou
ambiente de aprendizagem; analisar trabalhos de Modelagem à luz dos conceitos de
prática educativa e ambiente de aprendizagem e verificar se as diferentes
caracterizações levam a diferentes atividades e/ou ações educativas.
A metodologia utilizada nesta investigação consta de análise documental e
questionário. Os documentos selecionados são os anais da V Conferência Nacional
sobre Modelagem na Educação Matemática - CNMEM e as participações no fórum
sugerido no Centro Virtual de Modelagem – CVM. Já o questionário, aplicado aos
autores das III, IV e V CNMEM, trata de buscar opiniões mais diretas daqueles que
trabalham com Modelagem, abordando os seguintes quesitos: a formação e atuação
15
dos autores dos artigos; a utilização da Modelagem Matemática em sala de aula; o nível
de ensino em que tem ocorrido essa prática com maior frequência; a frequência da
utilização de alguns termos, que foram coletados na leitura dos artigos da V CNMEM,
para caracterização da modelagem; a concepção do autor de alguns desses termos
e/ou daquele(s) que considerava mais apropriado; possíveis motivos para utilização da
Modelagem em sala de aula; motivos para existência de tantas caracterizações; relação
dessas diferentes caracterizações com as ações dos atores envolvidos.
O trabalho está organizado em seis capítulos. No capítulo 1, descrevemos o
processo metodológico assumido durante o desenvolvimento desta pesquisa,
explicitando nossas escolhas e suas relações com nossa busca em responder às
questões norteadoras de nossa pesquisa.
O capítulo 2 apresenta a Modelagem Matemática na Educação, buscando suas
raízes. Embora muito presente nos trabalhos em Educação Matemática que abordam
esta temática, este capítulo fez-se necessário por dois motivos: primeiro, por ser o tema
geral deste trabalho e por esta pesquisa ter sido desenvolvida em um programa que
não tem como foco principal a Educação Matemática; segundo porque há um outro
programa de mestrado, na mesma instituição, com o nome de Modelagem Matemática
e Computacional, o que gerou questionamentos sobre a escolha do programa. Assim,
concepções, caracterizações e a forma como a Modelagem Matemática são vistas e
aplicadas dentro da Educação Matemática serão relatadas através de citações de
alguns autores já de renome dentro da área.
16
No capítulo 3, apresentamos a fundamentação teórica desta pesquisa iniciando-
se com a exposição da concepção de alguns autores sobre prática educativa, o que a
compõe e diferenças entre as diversas práticas. Passamos, em seguida, à
apresentação de certa evolução da nossa concepção de prática educativa, buscando,
assim, suportes teóricos que apoiassem e refletissem a idéia principal de cada termo
utilizado. Chegamos, enfim, ao conceito de Prática Educativa, envolvendo, também, o
conceito de Ambiente de Aprendizagem, utilizado na análise dos dados.
Nos capítulos 4, 5 e 6, descrevemos a efetiva análise dos dados. Iniciando-se
pela análise dos artigos da V Conferência Nacional sobre Modelagem na Educação
Matemática – CNMEM para a qual utilizamos como categorias de análise, componentes
da definição de prática educativa adotada no capítulo 2, apresentando e discutindo as
participações no fórum e, por último, analisamos o questionário aplicado aos autores
das três últimas CNMEM.
Por fim, apresentamos as considerações finais e a proposta de trabalhos futuros
que poderão dar prosseguimento à contribuição desse constructo teórico para o estudo
e desenvolvimento da Modelagem Matemática na Educação.
17
1 ASPECTOS METODOLÓGICOS
Quando decidimos enveredar por uma pesquisa é porque algo nos incomoda.
Delimitar esse algo encontrando o cerne deste incômodo não é uma tarefa simples.
Encontrado o real problema, partir para o processo de buscar entendê-lo requer um
planejamento que não precisa ter um corpo rígido de procedimentos, mas que sirva
como um guia no qual possam ser inseridos, ou até mesmo retirados, outros pontos no
decorrer da pesquisa. Assim este capítulo tem o objetivo de apresentar e justificar o
planejamento metodológico desta pesquisa e formata-se como o primeiro capítulo desta
pesquisa por considerarmos que todo o movimento desde o início, com a escolha do
tema, delimitação do problema, revisão bibliográfica, coleta e análise dos dados, até o
final com certas conclusões e sugestões de trabalhos futuros, perfazem o processo
metodológico construído nesta pesquisa.
1.1 Considerações Iniciais
Para Borba e Araújo (2004) a metodologia envolvida numa pesquisa em
educação matemática deve ser coerente com as visões de conhecimento e educação, o
que inclui as concepções de Matemática e Educação Matemática, do pesquisador.
Considerando que o conhecimento (matemático) é construído pelas relações entre
informações, pessoas, máquinas, etc., e que a Educação Matemática, com suas novas
18
tendências, realça essas relações, não caberia aqui um conjunto de procedimentos que
não pudessem ser modificados durante a pesquisa. Isso não descarta um certo rigor
metodológico, que será seguido justificando-se as escolhas e as mudanças ocorridas
no processo.
Assim, quando decidimos desenvolver uma pesquisa, partimos de uma
inquietação inicial e, com algum planejamento desencadeamos um processo de busca.
(Borba e Araújo, 2004)
A inquietação inicial desta pesquisa surgiu no início do desenvolvimento de uma
outra pesquisa que buscaria estudar as contribuições do CVM como um nó da rede
sociotécnica Modelagem Matemática na Educação. Nas leituras iniciais dos anais das
CNMEM, que buscavam um conhecimento maior sobre Modelagem e as pesquisas
desenvolvidas sobre o tema, deparamos com diversos termos que acompanhavam as
definições de Modelagem, o que nos inquietou bastante.
Assim, norteados pelas seguintes questões: 1) Quais as diferentes concepções e
caracterizações existentes sobre Modelagem Matemática? 2) As diferenças de
concepções e caracterizações de Modelagem trazem atividades e/ou ações educativas
diferentes na condução do ensino? Que atividades e/ou ações são essas?, decidimos
buscar compreender os significados destes termos, suas possíveis relações com
concepções de Modelagem, os porquês da utilização de tantos termos e a consciência
dos autores dos artigos sobre essa diversidade de expressões.
Para tal adotamos como procedimentos metodológicos uma revisão bibliográfica
sobre Modelagem, tema principal desta pesquisa, e Prática Educativa por
19
considerarmos que este tema poderia englobar vários, senão todos, os termos
utilizados.
A bibliografia consultada concentrou-se numa bibliografia brasileira. Isso justifica-
se pelo fato deste estudo não ter como objetivo comparar o trabalho de modelagem e
nem como ela é vista e caracterizada na educação brasileira, com trabalhos
estrangeiros.
Outro procedimento foi a análise documental dos anais da V CNMEM. De início
tínhamos como planejamento a análise dos anais das três últimas conferências, mas
após a leitura e análise dos documentos da V CNMEM constatamos que tínhamos
dados qualitativa e quantitativamente satisfatórios.
Foram feitas também análises das participações num fórum proposto no CVM II
que visava obter uma opinião de pesquisadores envolvidos com Modelagem e também
uma defesa quanto aos termos utilizados para o trabalho com Modelagem.
Diante da construção teórica e dos dados coletados na análise documental
formulamos um questionário que foi aplicado aos autores das três últimas CNMEM
tendo como objetivos colocá-los diante da grande quantidade de termos que estavam
sendo usados nos trabalhos de Modelagem, colher opiniões sobre os possíveis porquês
dessa variedade de termos e suas, também possíveis, relações com as diferentes
formas de aplicar Modelagem e suas concepções.
Finalizando, em parte, esta pesquisa, apresentamos nossas considerações
finais, onde buscamos relatar as respostas encontradas para nossas indagações após
20
confrontar os dados coletados e sugerindo uma possível linha de trabalhos futuros para
continuação da mesma.
1.2 Análise Documental
A análise documental que, segundo Moreira (2008), “compreende a identificação,
a verificação e a apreciação de documentos para determinado fim” (p.271), foi de suma
importância a partir do momento que decidimos levantar e estudar dados contidos em
artigos que versavam sobre Modelagem Matemática e, ainda, quando nos propusemos
a iniciar um fórum de discussão sobre o tema desta pesquisa.
A análise documental foi caracterizada como quantitativa e qualitativa, pois não
teve somente a finalidade de reunir quantidade de informações, como por exemplo, os
termos e/ou expressões utilizadas para caracterizar Modelagem, mas também verificar
o conteúdo do material selecionado. “... a análise documental busca identificar
informações factuais nos documentos a partir de questões ou hipóteses de interesse”
(CAULLEY, 1981, apud, LÜDKE e ANDRÉ, 1986, p.38).
“A opção por este tipo de análise indica que o pesquisador possui intuição ou
informação suficiente para guiá-lo na consulta a determinadas bases documentais”
(MOREIRA, 2008, p.274). Como a inquietação que levou a esta pesquisa surgiu,
principalmente, da leitura dos artigos das CNMEM, sabíamos que a análise documental
nos daria informações suficientes para darmos continuidade às nossas discussões.
21
1.2.1 A CNMEM
A CNMEM tem como objetivo fomentar e aprofundar debates sobre a
Modelagem na Educação Matemática. Até o momento já aconteceram cinco edições da
conferência que tem uma periodicidade de dois anos. A seguir temos um quadro
(Quadro 3) com os temas, instituições organizadoras e datas das cinco edições.
TEMA INSTITUIÇÃO
ORGANIZADORA ANO
01 Modelagem no Ensino de Matemática UNESP – Rio Claro - SP 1999
02 -------------------------------------------------------------- USF – Itatiba - SP 2001
03 Modelagem na Perspectiva da Educação
Matemática
UNIMEP - Piracicaba -
SP 2003
04 Modelagem Matemática na Educação
Matemática: seu papel na formação humana
UEFS – Feira de
Santana - BA 2005
05 A Modelagem Matemática nas Diferentes
Práticas Sociais
UFOP/UFMG – Ouro
Preto - MG 2007
Quadro 1: Tema, instituição organizadora - local e data das CNMEM já ocorridas.
A escolha por analisar os artigos das CNMEM (relatos de experiência e
comunicações científicas) deve-se ao fato de que esta Conferência é um espaço que
busca reunir os envolvidos com a pesquisa em Modelagem e Educação Matemática no
Brasil.
A princípio nossa intenção era analisar todos os artigos das três últimas CNMEM
por terem seus anais publicados. Isso não foi necessário, pois encontramos, já na V
CNMEM, dentro dos seus 57 artigos, informações quantitativa e qualitativamente
22
satisfatórias. Começamos pela leitura e análise dos artigos da V CNMEM por ser a mais
recente.
Fizemos uma análise quantitativa com o objetivo de verificar em que nível de
ensino estava sendo aplicada a Modelagem (quando o artigo descrevia essa aplicação)
e qual a “classificação” dessas aplicações nos casos descritos por Barbosa, buscando
encontrar, ou não, diferenças nas aplicações da modelagem.
Com esse material foram construídas duas tabelas que apresentam todos os
diferentes termos utilizados para caracterizar a Modelagem. A primeira apresenta os
termos utilizados diretamente pelos autores dos artigos e a segunda apresenta os
termos envolvidos em citações de outros autores. Essa divisão justifica-se pelo fato de
termos como hipótese para o uso de tantos termos o não controle, ou falta de rigor
nesse uso, e até mesmo o desmembramento de expressões já utilizadas.
Depois desta análise passamos a apresentar uma análise qualitativa dos artigos
para a qual utilizamos, como categorias de análise, componentes da definição de
Atividade, termo principal do conceito de prática educativa adotado no capítulo 2 deste
trabalho assim apresentadas, com suas subdivisões quando tratamos da Atividade
Modelagem:
1) Motivos e necessidades
a. Mudança no ensino da matemática;
b. Interesse pela Matemática;
c. Mudança no currículo;
d. Utilidade da Matemática;
23
e. Aprendizagem significativa;
f. Formação sócio-crítica;
g. Aprender a modelar;
2) Ações e seus objetivos
a. Diagnóstico;
b. Escolha do tema;
c. Desenvolvimento do conteúdo;
d. Reflexão e avaliação;
3) Operações e condições
4) Resultados relatados nas atividades
a. O papel da matemática e sua relação com outras áreas;
b. A mudança de postura do aluno e a instauração do conhecimento;
c. A mudança de postura do professor e o seu aprendizado;
d. Mudança no ambiente;
e. A importância do fazer modelagem;
1.2.2 O fórum
O fórum de discussão foi escolhido por ser um espaço mais aberto que
possibilita aos participantes a exposição e defesa de suas idéias e concepções sobre o
tema levantado de forma mais livre. Além disso, o fórum permite que os participantes
conduzam, juntamente, com quem propôs o fórum, as discussões, surgindo assim
24
pontos ainda não idealizados pelo proponente, mas que não fogem do seu objetivo
devido ao acompanhamento sistemático das discussões e sua participação ativa no
fórum.
Buscando conseguir participações de pessoas ligadas diretamente ao tema
principal da pesquisa (Modelagem Matemática no Ensino) o ‘local’ escolhido para o
fórum foi o Centro Virtual de Modelagem (CVM), por comportar essa ferramenta e por
ter como participantes um número expressivo de membros interessados em
Modelagem.
O fórum não teve o número expressivo de participações que esperávamos.
Atribuímos o fato a modificações que estavam ocorrendo no ambiente virtual. Apesar
disso, não se perdeu em qualidade das participações e discussões que possibilitaram a
coleta de dados para posterior análise.
1.3 Questionário
O questionário (Anexo 1) foi outra ferramenta usada na coleta de dados. Por
meio dele pode-se ter a opinião um pouco mais direta daqueles que trabalham com
Modelagem Matemática. O questionário abordou os seguintes quesitos: a formação e
atuação dos autores dos artigos; a utilização da Modelagem Matemática em sala de
aula; o nível de ensino em que tem ocorrido essa prática com maior frequência; a
frequência da utilização de alguns termos, que foram coletados na leitura dos artigos da
25
V CNMEM, para caracterização da modelagem; a concepção do autor de alguns
desses termos e/ou daquele(s) que considerava mais apropriado; possíveis motivos
para utilização da Modelagem em sala de aula; motivos para existência de tantas
caracterizações; relação dessas diferentes caracterizações com as ações dos atores
envolvidos.
O questionário foi aplicado a um grupo de 37 pessoas escolhidas aleatoriamente
pelos e-mails fornecidos nos artigos da V CNMEM no período de 5 a 24 de novembro
de 2008. Esse número, que corresponde a 25% da população total para a qual foi
enviado o questionário, configura o grupo teste do mesmo. Dos 37 questionários
enviados, recebemos resposta de 6 autores , o que corresponde a 16%, e um e-mail
teve resposta automática de não recebimento.
Como o número de respostas foi considerado pequeno para a realização da
pesquisa, decidimos enviar o questionário a todos os autores que disponibilizaram seus
e-mail nos artigos das três últimas CNMEM com o objetivo de alcançar um número
maior de respostas. Assim enviamos 146 questionários dos quais recebemos 32
respostas.
Para a aplicação do questionário foi utilizada a plataforma Google Docs, na qual
o participante da pesquisa recebe um e-mail que contém um link para acesso ao
questionário e uma mensagem produzida pelo autor do questionário. Ao acessar o link
o participante responde às questões propostas e envia o questionário respondido. As
respostas são, então, armazenadas em uma planilha, que pode ser salva em formato
.xls (exel) ou .pdf, para posterior análise. Esse instrumento elimina o incômodo de
26
receber um e-mail com anexo (o questionário), ter que salvar o anexo, responder o
questionário e enviar um e-mail com o questionário respondido em anexo.
Para análise dos dados utilizamos a planilha .xls gerada pela plataforma fazendo
um estudo, em grande parte, quantitativo e algumas análises e considerações de
cunho qualitativo.
1.4 Analisando os dados
A análise dos dados foi o momento em que buscamos uma releitura de todo
nosso constructo teórico e dados obtidos através dos instrumentos selecionados.
Para Lüdke e André (1986),
Analisar os dados qualitativos significa “trabalhar” todo o material obtido durante a pesquisa, ou seja, os relatos de observação, as transcrições de entrevista, as análises de documentos e as demais informações disponíveis. A tarefa de análise implica, num primeiro momento, a organização de todo material, dividindo-o em partes, relacionando essas partes e procurando identificar nele tendências e padrões relevantes. Num segundo momento essas tendências e padrões são reavaliados, buscando-se relações e inferências num nível de abstração mais elevado (p.45).
Inicialmente, foi realizada uma leitura dos artigos com o objetivo de conhecer a
avaliar o conteúdo, mas sem a preocupação de uma formatação e recolhimento de
dados sistematizados. Uma segunda leitura foi realizada quando a parte teórica já
estava um pouco mais consolidada. Assim, pudemos utilizar as categorias de análise
apresentadas para, juntamente com o material coletado no fórum e as respostas dadas
ao questionário, construir o corpus de análise.
27
“Para se realizar uma pesquisa é preciso promover o confronto entre os dados,
as evidências, as informações coletadas sobre determinado assunto e o conhecimento
teórico acumulado a respeito dele” (LÜDKE E ANDRÉ, 1986, p.1).
O capítulo de considerações finais apresenta nossas conclusões da análise dos
dados, sugestão para trabalhos futuros e idéias surgidas durante a pesquisa.
28
2 MODELAGEM MATEMÁTICA NA EDUCAÇÃO
Neste capítulo, pretendemos apresentar a Modelagem Matemática na Educação,
buscando suas raízes. Concepções, caracterizações e a forma como a Modelagem
Matemática é vista e aplicada dentro da Educação Matemática serão relatadas com
base em pressupostos teóricos de alguns autores de renome dentro da área.
2.1 Matemática Aplicada: o berço da Modelagem na Ed ucação
“A Modelagem Matemática, arte de expressar por intermédio de linguagem
matemática situações-problemas” (BIEMBENGUT e HEIN, 2003, p.8) está presente
desde os tempos mais primitivos, desde quando o homem procurou entender
fenômenos que ocorriam a sua volta e descrevê-los de maneiras mais simples. A
própria Matemática, com seus teoremas, é fruto da Modelagem. D’ambrósio (2002)
afirma
A modelagem matemática é matemática por excelência. As origens das idéias centrais da matemática são o resultado de um processo que procura entender e explicar fatos e fenômenos observados na realidade. O desenvolvimento dessas idéias e sua organização intelectual dão-se a partir de elaboração sobre representações do real (p.11).
A Modelagem Matemática na Educação tem como berço a Matemática Aplicada,
afirma Barbosa (2001a). Na Matemática Aplicada, considera-se que a Modelagem tem
29
como principal objetivo a obtenção de um modelo expresso através de equações,
programas de computadores, etc.
Este modelo é resultado da indagação sobre um determinado problema não-
matemático da realidade e deve expressar, da melhor forma possível, as variações
desse problema, podendo até mesmo antever eventos.
A questão levantada requer estudo e interação com o problema, levando à
obtenção de dados através dos quais se podem levantar variáveis a ele relacionadas.
As variáveis de maior importância/interferência devem ser selecionadas para que se
possa chegar à simplificação do problema em um modelo matemático. Este modelo
deverá servir para entender o problema e levar a agir, de forma mais eficaz, sobre ele.
Pode-se dizer, então, que um modelo traduz, em linguagem simbólica e
simplificada uma dada situação problema de posse das variáveis que interferem nessa
situação. Para Bassanezi (2002, p.20) modelo matemático é “um conjunto de símbolos
e relações matemáticas que representam de alguma forma o objeto estudado”. Se
pensarmos nas variáveis utilizadas para obtenção de um modelo, ou até mesmo na
teoria utilizada na sua formulação entenderemos as mudanças que são feitas em
alguns modelos. A utilização de novas variáveis, outras teorias e a opinião do
modelador, levam à obtenção de um novo modelo.
“Um modelo matemático é considerado adequado quando for satisfatório na
opinião do seu modelador, o que torna qualquer modelo matemático vulnerável e
sempre passível de ser modificado...” (BASSANEZI, 2002, p.325)
30
“O objetivo fundamental do ‘uso’ de matemática é, de fato, extrair a parte
essencial da situação-problema e formalizá-la em um contexto em que o pensamento
possa ser absorvido com uma extraordinária economia de linguagem” (BASSANEZI,
2002, p. 18). Depois da obtenção desse modelo, o próximo passo é testá-lo para que
possa ser validado. Se algum ponto não estiver condizente com a situação real, o
modelo deve, então, ser modificado, fazendo da Modelagem na Matemática Aplicada
um processo dinâmico.
Além desse dinamismo, ou seja, a natureza cíclica do processo, outro aspecto
merece atenção: o processo de modelagem começa e termina no mundo real
(BARBOSA, 2001a). Autores, como Bassanezi (2002) e Biembengut e Hein (2003),
criaram esquemas que tentam retratar e simplificar a visualização das fases do
processo de modelagem.
Figura 1 Esquema de modelagem: as setas contínuas indicam a primeira aproximação. A busca de um modelo matemático que melhor descreva o problema estudado torna o processo setas pontilhadas. (BASSANEZI, 2002,
Assim os matemáticos aplicados
problema, buscando criar um modelo através do qual possam entendê
previsões, baseados em uma
matemáticos puros dos
primeiros têm como objetivo criar novas teorias da matemática.
É claro que se houver necessid
processo de modelagem, isso será buscado, mas esse não é objetivo principal do
matemático aplicado.
Malheiros (2004) enfatiza que a Modelagem foi utilizada primeiramente por
outras áreas, depois pela Matemática Pura, chegando à Educação Ma
squema de modelagem: as setas contínuas indicam a primeira aproximação. A busca de um modelo matemático que melhor descreva o problema estudado torna o processo
pontilhadas. (BASSANEZI, 2002, p.27)
matemáticos aplicados, e profissionais de outras áreas, estudam um
problema, buscando criar um modelo através do qual possam entendê
previsões, baseados em uma teoria matemática já existente, o que difere
uros dos aplicados (BASSANEZI, 1994, apud, BARBOSA, 2001
primeiros têm como objetivo criar novas teorias da matemática.
É claro que se houver necessidade de se criar uma nova teoria
processo de modelagem, isso será buscado, mas esse não é objetivo principal do
(2004) enfatiza que a Modelagem foi utilizada primeiramente por
outras áreas, depois pela Matemática Pura, chegando à Educação Ma
31
squema de modelagem: as setas contínuas indicam a primeira aproximação. A busca de um
modelo matemático que melhor descreva o problema estudado torna o processo dinâmico, indicado pelas
, e profissionais de outras áreas, estudam um
problema, buscando criar um modelo através do qual possam entendê-lo melhor e fazer
teoria matemática já existente, o que difere os
, BARBOSA, 2001a). Os
ade de se criar uma nova teoria durante o
processo de modelagem, isso será buscado, mas esse não é objetivo principal do
(2004) enfatiza que a Modelagem foi utilizada primeiramente por
outras áreas, depois pela Matemática Pura, chegando à Educação Matemática. Assim
32
reúne as duas primeiras aplicações ao grupo dos que veem a Modelagem como um
método de pesquisa. Na Educação Matemática, há o grupo dos que vêem a
Modelagem como um método pedagógico no ensino e aprendizagem da Matemática
(MONTEIRO, 1991, apud MALHEIROS, 2004).
O Curso de Pós-Graduação Strictu-Sensu, Modelagem Matemática e
Computacional, do CEFET-MG, se insere no primeiro grupo. Essa linha de pesquisa
entende a Modelagem como processo de abstração no qual, após levantadas
hipóteses, com os dados coletados, constrói-se um modelo. Este é verificado/testado e,
se houver alguma falha, retoma-se todo processo. Esses modelos servem para
representar fatos que ocorrem no cotidiano e os agentes desse processo são
denominados modeladores profissionais. Eles tentam prever e aperfeiçoar os processos
estudados como podemos observar no relato dos objetivos das linhas de pesquisas
deste programa.
Investigar aspectos matemáticos e computacionais para a resolução de problemas de ciências e tecnologia, dentre os quais destacam-se: problemas tecnológicos envolvendo problemas de fluxo de calor e massa, escoamento de fluidos, materiais, processamento de sinais, telecomunicações, geociências, manutenção industrial e automação da manufatura, dentre outros. [...] ... o estudo de problemas específicos em que a solução buscada envolva a obtenção e tratamento de modelos, em etapas de trabalho que podem se constituir, por exemplo, na modelagem, na identificação paramétrica, na simulação, na análise de desempenho, na proposição de novas estratégias, na automação, no controle, no aperfeiçoamento e/ou otimização. Em alguns casos pode se ter como meta o cumprimento de várias destas etapas até a completa solução do problema enfocado, incluindo, eventualmente, propostas de implementação tecnológica das soluções preconizadas (PPGMMC, 2009)
Para o segundo grupo, foco desta pesquisa, a Modelagem passa a ser encarada
como um método, caminho, estratégia, prática, ambiente para o ensino e aprendizagem
de matemática.
33
2.2 Modelagem Matemática na Educação
A Modelagem, entendida como método pedagógico não pode perder a sua
essência que é a observação da realidade e o favorecimento à pesquisa e nem
transferir da Matemática Aplicada o processo, como ele é, para a Educação
Matemática, ou seja, não deve-se ter como objetivo a obtenção de um modelo
matemático, mas percorrer as etapas do processo na busca por entender , por meio da
matemática, alguns processos e acontecimentos e até mesmo agir sobre os mesmos.
Modelagem na Educação Matemática, por vezes, não conduz à construção de modelos propriamente ditos, o que corrobora o argumento de que não se pode transferir automaticamente para o campo da Educação Matemática as conceituações sobre a Modelagem da Matemática Aplicada (BARBOSA, 2001a: p.36).
Ainda, segundo Barbosa (2001a), a Modelagem na Educação Matemática teve
início no século XX, quando matemáticos puros e aplicados discutiam métodos para se
ensinar Matemática. No Brasil, a Modelagem começou a surgir a partir da década de
1970. Dessa época, podemos destacar o Professor Aristides Camargo Barreto que
usava a Modelagem nas suas aulas em cursos de graduação na PUC-RJ, no Rio de
Janeiro. Esse professor representou o Brasil em encontros internacionais e também
orientou a primeira dissertação de mestrado sobre o tema em 1976 (BIEMBENGUT,
2007).
Neste início, o termo Modelagem Matemática ainda não era usado nas pesquisas
de mestrado e doutorado. O termo era Modelo Matemático como mostra o título da
dissertação citada acima: “Modelos na Aprendizagem da Matemática”. A mudança
34
desses termos configura-se no trabalho de Maria Cândida Muller em 1986 (SILVEIRA,
2007).
Nos anos 1980, a modelagem ganha forças na educação e, dessa época,
destacam-se dois professores da UNICAMP: Ubiratan D’Ambrósio e Rodney Carlos
Bassanezi. Esses professores aplicaram a modelagem em suas aulas, desenvolveram
e coordenaram cursos no Programa de Pós Graduação em Educação Matemática, na
UNESP de Rio Claro e, também, orientaram trabalhos de monografia e dissertação
(MALHEIROS, 2004). Desde então, a Modelagem tem sido aplicada e estudada por
professores e pesquisadores, nos diversos níveis de ensino e formação continuada,
trazendo novas demandas de discussões e reflexões sobre o tema
Assim, em novembro de 1999, foi realizada a I Conferência Nacional sobre Modelagem e Educação Matemática (I CNMEM) promovida pelo Programa de Pós-Graduação em Educação Matemática da UNESP/Rio Claro com o tema “Modelagem no Ensino de Matemática”. Esse encontro, considerado como a primeira iniciativa de reunir os envolvidos com a pesquisa em Modelagem e Educação Matemática no Brasil, permitiu a instauração de um espaço próprio de discussão sobre o tema. A II CNMEM foi realizada na Universidade São Francisco em Itatiba, em novembro de 2001. Em outubro de 2003, consolidando a Conferência no calendário da Educação Matemática no Brasil, realiza-se a III CNMEM, promovida pela Universidade Metodista de Piracicaba / UNIMEP. A IV CNMEM, realizada em novembro de 2005 na Universidade Estadual de Feira de Santana – Bahia e focalizou o tema: “Modelagem Matemática na Educação Matemática: seu papel na formação humana”. A V CNMEM, abordando o tema “A Modelagem Matemática nas Diferentes Práticas Sociais”, aconteceu em novembro de 2007 em Ouro Preto, MG e foi promovida pela Universidade Federal de Ouro Preto – UFOP e Universidade Federal de Minas Gerais – UFMG. Dois fatores importantes podem ser observados no decorrer das décadas de realização das conferências: um diz respeito à definição da Modelagem Matemática como área ou linha de pesquisa em reconhecidos programas de mestrado e doutorado em inúmeros estados brasileiros; outro fator é a participação de brasileiros em eventos internacionais de Modelagem Matemática (especialmente no ICTMA - International Conference on the Teaching of Mathematical Modelling and Applications). Neste cenário, em 2009, organiza-se a VI CNMEM, cujo tema é “Modelagem Matemática: ações, pesquisas e o delinear de perspectivas” que acontecerá de doze até quatorze de novembro de 2009 na Universidade Estadual de Londrina - Londrina – Paraná (VI CNMEM, 2009...).
35
O refletir sobre a prática faz-se necessário, pois, ao traduzir-se a Modelagem da
Matemática Aplicada para a Educação Matemática, (ensino de Matemática) algumas
adaptações devem ser feitas devido a diversos fatores, como os abordados por
Biembengut e Hein (2003):
Há o inconveniente de não sabermos, inicialmente, por onde o modelo passará, ou seja, nem sempre o ferramental matemático requerido está ao alcance do educando e mesmo do professor. Existem também as dificuldades de adequação ao currículo estabelecido legalmente e a possibilidade do acompanhamento simultâneo, por parte do professor, dos temas escolhidos a priori pelos alunos (p.28).
Isso fez com que estes autores propusessem uma nomenclatura diferente para a
aplicação da modelagem no ensino: Modelação. Entretanto a denominação não foi bem
aceita pela comunidade acadêmica e logo caiu em desuso.
As adaptações, como pressupõem Biembengut e Hein (2003), podem ter grande
influência também na diversidade de práticas caracterizadas como Modelagem
Matemática, o que pode dar origem a concepções diferentes sobre a temática. Essas
práticas vão desde a utilização e/ou recriação de modelos já existentes à criação de
novos modelos, limitados pelo ferramental matemático disponível, perpassando por
análises críticas e sócio-críticas das situações e, também, pela visão de temas já
abordados por outros autores, sempre a busca de atingir objetivos diversos, como
ensino de determinado conteúdo, análise crítica de determinada situação através de
ferramental matemático, aplicação da matemática em outras áreas, etc.
Barbosa (2001a), ao analisar os trabalhos brasileiros que envolviam Modelagem
Matemática na Educação, propõe uma corrente que denomina de sócio-crítica, na qual
estariam os trabalhos que abrangessem o conhecimento de matemática e de
36
modelagem e o reflexivo. “A ênfase está na compreensão do significado da matemática
no contexto geral da sociedade” (p.30).
Essa proposição se justifica porque alguns trabalhos de modelagem não se
encaixavam nas duas correntes de âmbito internacional: a pragmática e a científica. De
acordo com o mesmo autor, a corrente pragmática enfatiza o desenvolvimento de
habilidades/técnicas de Modelagem e a corrente científica valoriza a matemática
através da sua aplicação.
2.2.1 Concepções e Caracterizações 6
Entre professores e pesquisadores existem concepções diferentes sobre
Modelagem. As caracterizações, pelo menos em relação ao termos usados, também
são diferentes. Ora a Modelagem é tratada como Estratégia ou Metodologia de Ensino
e/ou Aprendizagem, ora como Prática e, ainda, outras vezes, como Ambiente de
Aprendizagem.
As concepções de Modelagem diferenciam-se de acordo com os seguintes
critérios para Malheiros,(2004 e 2008): escolha do tema e o sujeito que faz a escolha: o
aluno, o professor ou um acordo entre os dois. Já Silveira (2007) supõe outro motivo
para diferentes concepções de Modelagem Matemática na Educação: as diferentes
6 O termo caracterização, usado neste trabalho, tem o mesmo fim quando usado por Silveira (2007) para retratar os diversos termos e/ou expressões relacionados à Modelagem na Educação Matemática.
37
formações, não específicas da área (Educação Matemática) dos pesquisadores que
trabalham e orientam pesquisas relacionadas ao tema.
Barbosa (2001a) aponta as crenças, conceitos, significados, regras, imagens
mentais e preferências, como fatores que interfere nas concepções de modelagem e
aponta duas concepções de modelagem levando em consideração as concepções de
ensino e de matemática de um grupo de futuros professores, ligadas diretamente as
duas correntes internacionais de modelagem: 1) Modelagem para ensinar matemática
relacionada com a corrente científica e seu argumento de aprendizagem e 2)
Modelagem para atuar no dia-a-dia relacionada à corrente pragmática e seu argumento
de utilidade.
Para Bassanezi (2002, p.24), “a modelagem consiste, essencialmente, na arte de
transformar situações da realidade em problemas matemáticos cujas soluções devem
ser interpretadas na linguagem usual”. Para esse autor, a escolha do tema deve ser
feita, prioritariamente, pelos alunos, enfatizando uma participação mais efetiva do
educando no processo de ensino e aprendizagem (p.46). Ele, ainda, acredita que a
Modelagem é uma forma de aproximar os “jogos” (aspectos lúdicos) da Matemática e
suas possíveis aplicações. Com isso ele caracteriza a Modelagem como Estratégia de
Ensino e Aprendizagem, conforme se pode observar:
A modelagem no ensino é apenas uma estratégia de aprendizagem, onde o mais importante não é chegar imediatamente a um modelo bem sucedido mas, caminhar seguindo etapas onde o conteúdo matemático vai sendo sistematizado e aplicado (p. 38).
Com base na idéia de Ambiente de Aprendizagem de Skovsmose (2000), que
será trabalhada nesta pesquisa, Barbosa (2001b) define Modelagem como “um
38
ambiente de aprendizagem no qual os alunos são convidados a indagar e/ou investigar,
por meio da matemática, situações oriundas de outras áreas da realidade (p.6)”.
Já Biembengut e Hein (2003) colocam a Modelagem Matemática “como
metodologia de ensino-aprendizagem” que “parte de uma situação/tema e sobre ela
desenvolve questões, que tentarão ser respondidas mediante o uso de ferramental
matemático e da pesquisa sobre o tema” (p.28).
Malheiros (2004, p.70) caracteriza e define Modelagem “como uma estratégia
pedagógica, em que os alunos, a partir de um tema ou problema de interesse deles,
utilizam conteúdos matemáticos para investigá-lo ou resolvê-lo, tendo o professor como
um orientador durante todo o processo”. A autora enfatiza que, na sua concepção, o
tema deve ser escolhido pelos alunos.
Burak (1987), já no título de sua pesquisa, caracteriza a modelagem como uma
metodologia alternativa de ensino. Entretanto, no desenvolvimento de seu trabalho,
considera a modelagem como propiciadora de uma metodologia (p.11) e de uma prática
educativa caracterizada pelo ensino e aprendizagem ao nível de reflexão, uma das
quatro grandes classes de níveis de ensino e aprendizagem. Segundo Bigge (1977)
apud Burak (1987), as outras três classes seriam 1) Ensino e aprendizagem ao nível de
memorização; 2) Ensino e aprendizagem ao nível de compreensão e 3) Ensino ao nível
de desenvolvimento da autonomia.
Para Borba (2006), “a Modelagem é uma estratégia pedagógica que privilegia a
escolha de temas pelos alunos para serem investigados. Ela, que possibilita aos
estudantes a compreensão de como conteúdos matemáticos abordados em sala de
39
aula se relacionam às questões cotidianas, é uma das alternativas para a incorporação
da Internet à sala de aula” (p.9).
Essas diversas denominações dadas à Modelagem Matemática na Educação
foram percebidas por Silveira (2007) em sua pesquisa de mestrado que envolvia um
estudo sobre as dissertações e teses sobre Modelagem Matemática em Educação no
Brasil. O autor apresenta o quadro abaixo (Quadro 1) com esses diversos nomes, bem
como o número de vezes que eles aparecem nas dissertações e teses estudadas, mas
não discute o quadro, pois vê, no assunto levantado, uma possibilidade de outra
pesquisa e fecha esse sentimento dizendo que “assim como Thomas Kuhn utilizou uma
mesma palavra com vários sentidos diferentes, é perfeitamente possível que os
pesquisadores do presente usem nomes diferentes para objetos semelhantes”
(SILVEIRA, 2007, p.49).
NOMES ATRIBUÍDOS NÚMERO DE VEZES
Metodologia de aprendizagem 5
Estratégia de aprendizagem 4
Estratégia de ensino 4
Estratégia de ensino e aprendizagem 4
Estratégia de ensino-aprendizagem 4
Método de ensino 4
Metodologia alternativa 4
Alternativa pedagógica 3
Ambiente de ensino e aprendizagem 3
Método da modelação matemática 3
Abordagem metodológica 2
Alternativa metodológica 2
40
Método alternativo de ensino 2
Método da modelagem matemática 2
Método de ensino-aprendizagem 2
Método de ensino-aprendizagem (Modelação) 2
Abordagem alternativa para o ensino 1
Estratégia pedagógica 1
Método de aprendizagem e ensino 1
Método de ensino e aprendizagem 1
Método modelagem matemática 1
Metodologia de aprendizagem 1
Metodologia para o processo de ensino-aprendizagem 1
Proposta pedagógica 1
Proposta metodológica 1
Alternativa para o ensino (Modelação) 1
Estratégia de ensino-aprendizagem (Modelos
Matemáticos) 1
Quadro 2 Nomes atribuídos à Modelagem na Educação Matemática pelos pesquisadores
(SILVEIRA, 2007, p. 45).
Em algumas denominações o autor já incluiu outras, como podemos observar:
em Estratégia de Aprendizagem, está incluído Estratégia para aprendizagem de
matemática; em Estratégia de Ensino, estão incluídos Estratégia de ensino
interdisciplinar e Estratégia para o ensino de matemática e, em Método alternativo de
ensino, o autor inclui o nome Método como alternativa para o ensino de matemática.
41
2.2.2 Argumentos e Obstáculos
A utilização da modelagem na educação carrega a perspectiva de alcançar
alguns objetivos e suprir algumas necessidades no ensino de matemática. “Há um
consenso no que diz respeito ao ensino de matemática precisar voltar-se para a
promoção do conhecimento matemático e da habilidade em utilizá-lo” (BIEMBENGUT e
HEIN, 2003, p. 18).
Esses mesmos autores enfatizam a necessidade de despertar no aluno o
interesse por tópicos matemáticos que não conhecem. Eles apontam, ainda, o aprender
a arte de modelar, compreender a matemática e a natureza do problema, como
objetivos que podem ser alcançados com a aplicação da modelagem na educação.
Esses e outros objetivos e necessidades a serem supridas são colocadas na literatura
da área como argumentos para a aplicação da modelagem.
Blum (1989), apud Bassanezi (2002, p. 36-7) aponta alguns dos principais
argumentos para tal inserção: 1) Argumento Formativo: busca desenvolver as
capacidades e atitudes dos estudantes; 2) Argumento de Competência Crítica: busca
formar estudantes atuantes na sociedade; 3) Argumento de Utilidade: considera a
Matemática como ferramenta em diferentes situações e áreas; 4) Argumento Intrínseco:
procura entender a própria matemática; 5) Argumento de Aprendizagem: faz com que a
aprendizagem realmente ocorra; 6) Argumento de Alternativa Epistemológica: considera
a alternativa mais adequada às diversas realidades sócio-culturais.
42
Em textos como os de Barbosa (2004), Chaves e Santo (s/d) e Burak (2008)
podemos enumerar outros argumentos para a utilização da Modelagem na Educação:
1) motivação; 2) facilitação da aprendizagem; 3) preparação para utilizar a matemática
em diferentes áreas; 4) desenvolvimento de habilidades gerais de exploração e
compreensão do papel sócio-cultural da matemática; 5) interação maior, dos
estudantes, no processo de ensino e aprendizagem; 6) demonstração de uma forma
diferenciada de conceber a educação; 7) adoção de uma nova postura pelo professor
favorecendo o estabelecimento de relações mais próximas entre professor e estudante;
8) superação, gradativa, do tratamento estanque e compartimentalizado do ensino; 9)
favorecimento da relação ensino e pesquisa; 10) trabalho com resolução de problemas,
11) favorecimento da implementação de ambientes de aprendizagem em que o
conhecimento matemático poderá ser desenvolvido de forma mais significativa e 12)
mudança no currículo.
Alguns obstáculos que impedem a inserção da Modelagem são os seguintes: o
programa a ser desenvolvido; o costume dos alunos com um professor transmissor de
informação o que poderá dificultar a aceitação dessa nova metodologia; a formação
heterogênea da sala de aula; a falta de confiança do professor para enfrentar a
transição de uma “zona de conforto7 em que quase tudo é conhecido, previsível e
controlável” (BORBA e PENTEADO, 2005, p.56) para uma “zona de risco, na qual é
preciso avaliar constantemente as conseqüências das ações propostas” (BORBA e
PENTEADO, 2005, p.56); o engessamento do conceito de modelagem, aquele que é
7 Conforto, para os autores, tem o sentido de pouco movimento.
43
transferido da matemática aplicada, tendo como objetivo principal a obtenção de um
modelo; e a formação inicial do professor.
Na nossa opinião alguns desses obstáculos podem ser superados se
modificarmos o processo de modelagem de acordo com os seguintes critérios: a
escolha do tema a ser estudado pelo grupo de alunos; a simplificação desse tema
através da formulação de questionamentos a serem respondidos; a busca por soluções
para estes questionamentos; e, durante todo esse processo, o possível uso de um
ferramental matemático. Apesar disso, poder-se-ia indagar: onde estaria a mudança
neste processo?
Em primeiro lugar, a escolha do tema, que ao invés de ser feito exclusivamente
pelos estudantes pode ser através de uma discussão entre eles e o professor ou até
mesmo pelo professor. Sendo a escolha feita pelo professor, faz-se necessário que o
tema proposto seja de interesse dos alunos. Se não for, que se usem estratégias para
aguçar o interesse pelo tema escolhido.
Biembengut e Hein (2003) sugerem a realização de um diagnóstico inicial com os
alunos como forma de superar essa fase de escolha do tema ‘certo’ e demais fases do
processo. O professor fará o levantamento de alguns dados como, por exemplo, a
realidade sócio-econômica, o nível de conhecimento matemático e tempo para
realização de atividades extra-classe.
Acreditamos, também, que o professor poderia aproveitar uma situação informal
em que se relacionasse com os alunos fora do ambiente escolar para sondar seus
interesses e, assim, ter condição de propor um tema que tenha maior chance de
44
aprovação. Isso poderia superar o obstáculo e a desvantagem posta por alguns
autores: a não inserção do aluno já no início do trabalho.
Tendo solucionado a escolha do tema que, em si, já pode compreender um
problema digno de ser investigado, há, ainda, o levantamento dos dados. Essa etapa
pode, novamente, ser realizada tanto pelo professor quanto pelos alunos. Como na
seleção do tema, se o levantamento dos dados for realizado pelo professor, ele deterá
o controle da situação mais facilmente, mas perderá na adesão do estudante no
processo de ensino e aprendizagem.
Já na resolução do problema e discussão do processo e dos resultados obtidos,
a participação efetiva do aluno é imprescindível para que os objetivos buscados pela
aplicação da modelagem sejam alcançados.
Em um estudo de trabalhos nacionais e internacionais que envolviam
Modelagem, Barbosa (2001a, 2001b) propôs um quadro em que problematiza a
atuação de aluno e professor no desenvolvimento da Modelagem. Esse autor considera
quatro etapas da Modelagem: elaboração da situação problema, simplificação, dados
qualitativos e resolução.
Diferenciando quem atuava em cada uma destas etapas ele sugere três casos
que “ilustram a flexibilidade da Modelagem aos diversos contextos escolares” (p. 40).
Descrevo, a seguir, cada um desses casos e apresento um pequeno relato de
experiências vivenciadas por mim, autor desta dissertação, ora como aluno, ora como
professor ora como observador do processo de modelagem, colocando-me, não apenas
como leitor de Modelagem Matemática, mas também como praticante, mesmo que com
45
pouca experiência, o que consideramos necessário para se inserir em uma discussão
nessa temática. Como praticantes, pensamos que os casos de Barbosa (2001a e
2001b) são formas graduais de aplicar a modelagem em sala de aula, podendo
adaptar-se à concepção de modelagem de que a pratica.
Caso 1. O professor apresenta a descrição de uma situação-problema, com as informações necessárias à sua resolução e o problema formulado, cabendo aos alunos o processo de resolução (BARBOSA, 2001b:p.8).
Relato 1: Foi apresentada a uma turma de 8ª série uma situação problema: Qual
a altura do mastro da bandeira do Brasil que fica na biblioteca da escola? Para resolver
tal problema os alunos já tinham conhecimento de trigonometria no triângulo retângulo,
isto é, já tinham os conhecimentos prévios necessários para a realização da atividade.
Os alunos receberam um “teodolito” para a medição do ângulo de visão e, outros
dados, como altura do observador e a distância deste ao mastro da bandeira foram
coletados pelos grupos. O objetivo desse trabalho era proporcionar aos estudantes a
aplicação de um modelo matemático, no caso a equação da tangente. O ponto mais
importante nessa atividade foi o questionamento de um grupo sobre a altura do
observador, chegando à conclusão de que essa altura deveria ser tomada até a altura
dos olhos, o que não era previsto na apostila que eles utilizavam.
Caso 2. O professor traz para a sala um problema de outra área da realidade, cabendo aos alunos a coleta das informações necessárias à sua resolução (BARBOSA, 2001b:p.8).
Relato 2: Situação problema apresentada a um grupo de alunos de 7ª série:
mostrar que a escola estava torcendo pelo Brasil na copa de 2006. A idéia dada pelo
professor foi de se construir uma bandeira do Brasil de EVA (um tipo de emborrachado).
A parte verde deveria ser formada por retângulos, a parte amarela, por losangos e a
46
parte azul, por círculos. A coleta de informações como tamanho da bandeira, gastos
com material, etc. foi realizada pelos alunos. Diante da situação, eles revisaram,
principalmente, conteúdos de geometria plana (cálculos de área) e operações com
decimais, além de efetivarem pesquisas de mercado sobre preço e investigarem a
forma como é vendido o EVA e descobrirem a melhor forma de comprá-lo.
Caso 3. A partir de temas não-matemáticos, os alunos formulam e resolvem problemas. Eles também são responsáveis pela coleta de informações e simplificação das situações-problema. É via do trabalho de projetos (BARBOSA, 2001b: p.8-9).
Relato 3: Apresentamos um resumo de uma atividade realizada em um curso de
modelagem matemática à distância, oferecido pela UNESP-Rio Claro e realizado em
dupla com a Prof. Adriana Magedanz. O tema escolhido por nós, “Copa do mundo de
futebol de 2006: A matemática entra em campo”, teve como problema a seguinte
situação: Será possível representar um campo de futebol, com todas as suas “marcas”,
desde o retângulo que representa o campo até o ponto central que determina a saída
da bola no início do jogo – passando pelos cantos de escanteio, limitações dos gols,
pequenas e grandes áreas, marcas de pênalti, “meia lua” das grandes áreas, círculo
central e reta divisória de campo – a partir de um plano cartesiano? A coleta dos dados
– medidas oficiais do campo e modelos matemáticos representativos - foi toda
realizada por nós através de internet e livros didáticos e o resultado apresentado como
um modelo gráfico de um campo de futebol com medidas oficiais, num eixo de
coordenadas Bidimensional. Tudo isso envolve inúmeros conceitos da Matemática
47
(inequações, intervalos reais, funções...) para os quais foi utilizado o software
matemático GraphEquation8.
Nesses três casos citados por Barbosa (2001b), há uma forma gradual de se
trabalhar com modelagem no ensino. Considerando um professor que tenha vivenciado
as três situações relatadas nos estudos de caso citados, poderíamos dizer que a partir
do caso 1, esse professor vai deixando a zona de conforto e entrando cada vez mais na
zona de risco na sala de aula. Imaginando que o professor pensou sobre um tema,
elaborou as questões norteadoras, recolheu os dados e percebeu uma possível
solução, verificamos que ele passou por um processo de ‘fazer modelagem’ que se
encaixa no caso 3.
Barbosa (2001a) também deixa claro em que nem todos os trabalhos
considerados de modelagem se encaixam, particularmente, em um dos casos.
Os casos 1, 2 e 3 não representam configurações estanques e definitivas, mas regiões de possibilidades. É possível adaptá-los para atender às demandas do contexto escolar, dos professores e dos alunos (p.40)
O autor ainda aponta que a modelagem pode aparecer no currículo de diversas
formas, sem que se engesse a prática. Desde que represente um convite a entender a
realidade e questionar algumas situações, considera-se modelagem. O processo de
observação e discussão da realidade e situações favorece uma educação matemática
crítica.
8 Disponível para download em: http://www.mat.ufrgs.br/~edumatec/software/softw.htm
48
A capacidade de compreender e criticar os argumentos matemáticos postos nos debates locais ou gerais potencializa a intervenção das pessoas nas tomadas de decisões coletivas. Apesar de não determinar diretamente a capacidade de intervenção política na sociedade, a formação matemática pode potencializá-la, pois, à medida que estimula a intervenção social dos sujeitos, a educação matemática pode contribuir com a contraposição aos mecanismos sociais de cunho autoritário (BARBOSA, 2001a, p. 20).
2.2.3 Projetos de Modelagem
Barbosa enfatiza que trabalhos de modelagem que se encaixam no terceiro
caso, são vias do trabalho com projetos. Tal pressuposto foi corroborado por Malheiros
(2008) que, em sua tese de doutorado, fez um estudo do trabalho com projetos e
percebeu que as características fundamentais desse trabalho condiziam com a
Modelagem. A partir daí, a autora passou a chamar os trabalhos de modelagem, que se
encaixavam no caso 3 de Barbosa, como projetos de modelagem.
...alguns autores consideram Modelagem e Pedagogia de Projetos como enfoques pedagógicos similares no contexto da Educação Matemática. Para mim, esta visão é válida dependendo da concepção de Modelagem adotada, isto é, só considero que tal semelhança ocorre quando o tema eleito para a investigação surge do interesse dos alunos ou quando este é definido a partir de uma negociação pedagógica na qual os estudantes têm voz, são ouvidos e, conseqüentemente, seus interesses também prevalecem. Neste contexto, considero que são elaborados, então, projetos de Modelagem (MALHEIROS, 2008, p.65)
Ter o estudante como protagonista do processo de ensino e aprendizagem; ter a
escolha do tema pelo estudante ou através de uma negociação entre ele e o professor;
não valorizar excessivamente os fins (no caso da modelagem, por exemplo, a obtenção
de um modelo); manter a afinidade com a utilização das Tecnologias da Informação e
49
Comunicação (TIC) são características que aproximam a Modelagem do trabalho com
Projetos.
No desenvolver do trabalho de Modelagem as TIC são, muitas vezes, agregadas
tanto como estratégia do aluno como do professor. Borba (2007), Araújo (2002), Nina
(2005) e Diniz (2007) apresentam a combinação do uso das TIC com a Modelagem
Matemática, apontando esse uso como facilitador no processo de pesquisa e análise
dos dados e, também, na apresentação dos resultados.
50
3 PRÁTICA EDUCATIVA
Em busca de uma compreensão inicial das diversas caracterizações dadas à
Modelagem, buscamos referenciais teóricos que nos dessem apoio para discutir a
pluralidade dos termos usados na caracterização da Modelagem, de acordo com os
dados coletados nesta pesquisa. A construção do conceito de prática educativa faz-se
relevante, pois acreditamos que se relaciona com vários outros, senão todos, os termos
e ou expressões utilizados para a caracterização da Modelagem.
Iniciamos este capítulo com a exposição da concepção de alguns autores sobre
prática educativa, o que a compõe e diferenças entre as diversas práticas. A partir daí,
passaremos à apresentação de uma certa evolução da nossa concepção de prática
educativa, buscando suportes teóricos que apoiassem e refletissem a idéia principal de
cada termo utilizado e, por fim, chegaremos ao conceito de Prática Educativa que
utilizaremos na análise dos dados.
3.1 Sobre prática educativa
Segundo Zabala (1998), a prática é algo difícil de limitar com coordenadas
simples por se expressarem nela múltiplos fatores, idéias, hábitos, etc. Há, portanto,
envolvidos com o significado de prática, outros tantos significados.
51
Tardif (2002) toma prática educativa como categoria fundamental da atividade
humana assim como o trabalho, a técnica, a arte e a política. Ele aponta, ainda, que, às
vezes, a prática é confundida e/ou identificada com uma, ou mais atividades. O autor
aponta três concepções de prática na educação: a educação enquanto arte, enquanto
técnica e a educação enquanto interação. Para cada uma dessas concepções haveria
um modelo ou tipo de representação elaborada.
A educação enquanto arte fundamenta-se no modelo de que o educador não é
um cientista, pois seu objetivo não é conhecer o ser humano, mas agir sobre ele e
formar indivíduos dotados de potencialidades específicas, conhecendo o que irá usar
para atingir determinado fim. Sua prática é uma mistura de talento pessoal, intuição,
hábito, bom senso, etc. (TARDIF, 2002).
A educação enquanto técnica guiada por valores é baseada na oposição entre
objetividade e subjetividade que gera duas categorias de ação que levam ao saber
moral e prático (conhecer as normas) e ao saber técnico e científico (controle dos
fenômenos educativos). Já a educação enquanto interação considera o ato de ensinar
como uma forma de buscar, promover relações a fim de desencadear um processo de
formação conjunta (TARDIF, 2002).
Diante desses três modelos, percebemos que prática educativa engloba alguns
personagens que, neste trabalho, chamaremos de atores, diretamente envolvidos com
o pensar/planejar, executar e avaliar a prática. Destacamos nos modelos acima o papel
do professor (educador), do estudante e a variação da participação deles na prática
educativa. Podemos perceber que as duas primeiras representações (educação
52
enquanto arte e enquanto técnica) dão ênfase maior às ações do professor que é
colocado assim como ator principal do processo. Já a terceira representação (educação
enquanto interação), coloca professor e estudante como coparticipantes no processo de
fazer a prática através da interação.
Abordando também o papel desses dois atores, juntamente, com concepções de
ensino e aprendizagem, Bigge (1977) aponta quatro amplas classes que dividem,
segundo ele, os níveis de ensino e de aprendizagem. Esse autor nomeia a prática
educativa, considerando, ainda, o tipo de avaliação utilizada, tais como: 1) Ensino e
Aprendizagem ao nível de memorização; 2) Ensino e Aprendizagem ao nível de
compreensão; 3) Ensino e Aprendizagem ao nível de desenvolvimento da autonomia e
4) Ensino e Aprendizagem ao nível de reflexão.
Prática educativa seria, então, uma forma de agir plural que mobiliza diversos
tipos de ação, às quais estão ligados saberes específicos (neste caso Tardif coloca o
foco da sua discussão sobre o professor). Esses saberes seriam os pessoais, os
provenientes da formação escolar anterior, os provenientes da formação profissional
para o magistério, aqueles de programas e livros didáticos e aqueles obtidos com a
própria experiência (TARDIF e RAYMOUND, 2000 e TARDIF, 2002).
A prática é como um processo de aprendizagem através do qual os professores e professoras retraduzem sua formação anterior e adaptam à profissão, eliminando o que lhes parece inutilmente abstrato ou sem relação com a realidade vivida e conservando o que pode servi-lhe, de uma maneira ou de outra, para resolver problemas da prática educativa (TARDIF, 2002, p.181).
Percebemos, no pensamento de Tardif, os mais variados elementos que
compõem, interferem e modificam a prática educativa. Percebemos, também, que só
53
podemos analisar uma prática em seu fazer, isto é, na prática da prática educativa. O
quadro Saberes dos Professores (TARDIF e RAYMOUND, 2000, p.215) lista os saberes
docentes, os relaciona às fontes onde foram adquiridos e mostra como esses saberes
se integram ao trabalho docente: ambiente escolar, relações sociais (família,
experiências vividas como aluno e como professor), ferramentas disponíveis (livro
didático, programas, fichas, etc.) e formação inicial e continuada. Isso corrobora o que
Zabala (1998) pressupõe sobre o pensar a prática como algo difícil de limitar. Para
esse teórico/professor a estrutura da prática educativa obedece a múltiplos
determinantes, entre eles a intervenção pedagógica e, neste sentido a
aula se configura como um microssistema definido por determinados espaços, uma organização social, certas relações interativas, uma forma de distribuir o tempo, um determinado uso dos recursos didáticos, etc., onde os processo educativos se explicam com elementos estreitamente integrados neste sistema (ZABALA, 1998, p.16 e 17).
54
Quadro 3 Saberes dos professores (TARDIF e RAYMOUND, 2000, p.215)
Em um estudo sobre a prática educativa nas representações de docentes de
curso de licenciatura, Ribeiro e Soares (s/d), utilizam o conceito de prática educativa
adotado por Nélisse (1997): “um ‘fazer ordenado’, uma ação eficaz que exige um
momento de planejamento, um momento de interação, um momento de avaliação e,
finalmente, a reflexão crítica. Além disso, o replanejamento das ações” (p.2).
O que presenciamos nos dias atuais são discursos que trazem a proposta de
práticas educativas centradas na figura do estudante, práticas estas que busquem
promover, através, principalmente da interação e reflexão, oportunidades para que os
educandos participem, ativamente, de todo o processo de ensino e aprendizagem. Mas
mesmo assim, o professor não deixa de ter um papel de destaque nessas práticas, pois
55
é ele o mentor, é dele o planejamento inicial, a iniciativa do momento de interação que
decidirá também a forma de avaliação, a reflexão e crítica sobre o desenvolver da
prática e, finalmente, o replanejamento das ações. Enfim, o professor continua tendo
um papel principal.
Esse papel do professor está entre os elementos (planejamento, interação,
avaliação e reflexão crítica) apontados por Ribeiro e Soares (s/d) como constituintes da
prática educativa. Com base nesses quatro elementos Ribeiro e Soares (s/d)
apresentam duas classificações para prática educativa: a prática educativa
conservadora e a prática educativa emergente. Essas práticas vão se diferenciar, como
veremos nos parágrafos que seguem, de acordo com a concepção de aprendizagem,
ensino e avaliação adotada por cada uma, de acordo com o papel exercido pelo
professor e pelo do aluno.
Na prática educativa conservadora, a aprendizagem consiste na receptação, de
forma mecânica, da informação e, muitas vezes, através de coação. O ensino baseia-se
em aulas expositivas, seguindo uma lógica/ordem já proposta, com uma variedade e
quantidade de conceitos e demonstrações, sem nenhum vínculo com outras disciplinas,
nem com a realidade. A avaliação é utilizada como instrumento de controle e poder e
busca indícios da reprodução do que foi memorizado. São atribuídas notas e/ou
conceitos sem uma preocupação em construir sentido para as respostas dadas. Único
responsável pela transmissão de informação, o professor tem um papel central no
processo de ensino e representa um modelo a ser seguido pelos estudantes.
Geralmente, mostra-se autoritário, severo e rigoroso, guardando uma distância dos
alunos. (RIBEIRO e SOARES, s/d)
56
Já no modelo de prática educativa emergente, o professor, também, exerce sua
autoridade, mas através da interação, respeito, diálogo e negociação. Busca ajudar a
mediar a relação do estudante com as informações, acreditando nesse estudante e
legitimando seus sentimentos e emoções. A avaliação é um instrumento de
investigação, contínua e processual feita de forma conjunta, buscando a melhoria tanto
do ensino como da aprendizagem.
A avaliação é elemento central dessa concepção de prática educativa e parte do
pressuposto que o indivíduo, como sujeito ativo, participa da construção do
conhecimento. O ensino baseia-se em uma prática pedagógica crítica, reflexiva e
transformadora, capaz de estabelecer o equilíbrio e a interconexão entre os
pressupostos teóricos e práticos (RIBEIRO e SOARES, s/d).
Em todas as conceituações, propostas de definição e de elementos constituintes
da prática educativa, percebemos a importância dada à interação entre os atores
envolvidos na prática educativa. Os estudantes com suas próprias estratégias de
aprendizagem, os objetos/ferramentas com suas potencialidades de mediar as
interações com as informações e, os professores, com sua prática pedagógica que
envolve suas estratégias de ensino.
Prática educativa não se confunde com prática pedagógica. A última constitui um
conjunto de ações realizadas pelo professor; prática educativa engloba as ações
realizadas pelo professor, as realizadas pelos alunos e a interferência do e no
ambiente.
57
3.2 Estratégias de ensino e aprendizagem
No seu fazer docente, o professor busca alternativas que possibilitem ao
estudante a compreensão e apreensão de um determinado conceito, conteúdo, tema,
com o qual ele está trabalhando, na tentativa de fazer com que o aluno tome posse
daquela informação e perceba situações passíveis de utilização do que foi aprendido.
O professor comprometido com a aprendizagem de seus alunos buscará,
sempre, propor práticas educativas que possibilitem a utilização de estratégias para
realização de ações que sejam pertinentes e relevantes com o objetivo de instigar a
aprendizagem do aluno. Esse processo compõe uma prática educativa.
“As estratégias de ensino são procedimentos adotados pelo professor para
conduzir as atividades em sala de aula, no entanto, não estão limitadas a esse
ambiente” (PAIS, 2006, p.25). Quando o autor se refere à não limitação ao ambiente, à
sala de aula, entendemos que conversas de corredor, encontros em sala de bate papo,
comunidades virtuais, tudo isso pode ser usado como estratégia de ensino. Em um bate
papo informal, por exemplo, com seus alunos, um professor pode notar a insatisfação
em relação a algum comportamento, forma de conduzir uma aula, etc.
Várias estratégias podem ser usadas para ensino e possível aprendizagem de
um conteúdo. A simples exposição de um conteúdo, com o uso mínimo de recursos é
uma estratégia e, como percebemos, muito utilizada ainda nos dias atuais. Neste
trabalho, destacamos essa ocorrência no ensino de Matemática. Aliada a esta, vemos a
58
resolução de listas de exercícios, testes e outras que, poderíamos dizer, são práticas
advindas de um ensino dito tradicional.
Mas existem, em práticas mais novas, outras estratégias como o fazer
questionamentos, atribuir maior autonomia ao aluno, negociação, etc. Zabala (1998)
aponta que, diante das necessidades dos alunos e de diversas outras situações, o
professor precisará lançar mão de algumas estratégias como, “às vezes, desafiar; às
vezes, dirigir; outras vezes, propor, comparar” (p.90). É sempre importante estar atento
às estratégias que irá usar porque “certas concepções e estratégias didáticas valorizam
somente a objetividade da ciência e não visualizam a parte subjetiva do fenômeno
cognitivo” (PAIS, 2006, p.7).
Esse mesmo autor, ainda, aborda a importância da contextualização como
estratégia. Para levar o aluno a se envolver com o saber, é preciso desenvolver
atividades que multipliquem as articulações internas possíveis entre os diferentes temas
da Matemática, entre as várias maneiras de representar o conhecimento, entre o saber
escolar e os conhecimentos do cotidiano e assim por diante.
Não queremos dizer que tais formas de conduzir uma prática educativa se
apliquem melhor ou não. Queremos, apenas, levar professores e futuros professores a
pensar se tais estratégias atreladas a uma determinada prática educativa podem
ofuscar a presença (pensamentos, formas de controle do processo de aprendizagem,
participação) do estudante.
O estudante, nesse contexto, poderá utilizar-se das condições/ferramentas
disponibilizadas pelo professor, como também de outras que achar necessário. Na sua
59
interação com colegas, familiares e também com seus conhecimentos já adquiridos,
busca formas de desenvolver o que lhe foi proposto, e atingir o objetivo de sua ação, ou
seja, lançar mão de estratégias de aprendizagem.
Da Silva & De Sá (1997), apud Costa e Boruchovitch (2004) definem estratégias
de aprendizagem como “processos conscientes controlados pelos estudantes para
atingirem objetivos de aprendizagem, bem como qualquer procedimento adotado para a
realização de uma determinada tarefa” (p. 15). Um aluno pode ter facilidade em
compreender um determinado conteúdo lendo-o antes que o professor o explique,
fazendo anotações durante as aulas, resolvendo uma lista de exercícios, pesquisando
em outros livros sobre o assunto, procurando opiniões de outros autores e até
professores.
Weinstein e Mayer (1985), apud Boruchovitch (1999) identificaram cinco tipos de
estratégias de aprendizagem: ensaio, elaboração, organização, monitoramento e
estratégias afetivas. As estratégias de ensaio envolvem a repetição; já as de
elaboração implicam fazer conexões entre o material novo com o velho através de
analogias, resumos, etc.; as estratégias de organização referem-se à criação de um
roteiro de estudo do material, dividindo-o em tópicos, ou até construindo um mapa
conceitual; as estratégias de monitoramento constituem uma autoavaliação do aluno
para verificação do que realmente está absorvendo e, por último, as estratégias afetivas
que incluem o controle da emoção, planejando o tempo e o desempenho para uma
possível manutenção da motivação.
60
É interessante que o professor conheça essas estratégias de aprendizagem e
que, durante o trabalho com uma turma, tente perceber as estratégias que os
estudantes estão usando, para que ele, o professor, possa direcionar as estratégias de
ensino que irão ao encontro das estratégias utilizadas pelos alunos e, até mesmo,
indicar para seus alunos estratégias de aprendizagem que eles podem aplicar naquele
momento.
É preciso que os meninos e as meninas sintam a necessidade de se fazer perguntas, de questionar suas idéias, de estabelecer relações entre fatos e acontecimentos, de revisar suas concepções. E para promover todas estas ações será necessário propor aquelas atividades que possibilitem este intenso processo mental (ZABALA, 1998, p.99).
3.3 “Evolução” do conceito de prática educativa
Segundo Moura e Ventura (2006), apud, Tonani (2007), a prática educativa vai
além da prática de ensino. Esta última constitui a prática pedagógica que objetiva o
desenvolvimento de habilidades e atitudes. Esses pressupostos foram confirmados por
meio de leituras de artigos, dissertações, teses e, também, com as discussões em sala
de aula, na disciplina ‘Projetos e Práticas Educativas no Ensino de Ciências e
Tecnologia' do mestrado em Educação Tecnológica do CEFET-MG. Os citados autores
propõem, assim, a seguinte definição para prática educativa: “toda ação dirigida para
a promoção da competência ” (p.31).
61
Nessa definição a expressão ‘dirigida’ indicaria uma intencionalidade e a
expressão ‘promoção’ pressupõe a “tentativa de” e não a “garantia de”. Já competência
estaria ligada a habilidades e atitudes.
A competência é a tomada de iniciativa e o assumir a responsabilidade do indivíduo diante de situações [...] com as quais se depara [...] é um entendimento prático das situações, que se apóia em conhecimentos adquiridos e os transforma, à medida que a diversidade das situações aumenta [...]. É a faculdade de mobilizar redes de atores em torno das mesmas situações, de fazer com que esses atores compartilhem as implicações de suas ações, de assumir áreas de co-responsabilidade (ZARIFIAN, 2001, apud FARINHA, 2006, p.10).
A autora aponta, ainda, alguns elementos que seriam importantes para a
constituição da prática educativa como a organização de conteúdos, os materiais e
recursos utilizados, a organização social da classe, a avaliação, a participação
construtiva do aluno e a intervenção do professor na busca pela aprendizagem.
A disciplina ‘Projetos e Práticas Educativas no Ensino de Ciências e Tecnologia
foi oferecida uma segunda vez, agora ministrada pelo professor Paulo C. S. Ventura. O
professor buscou fazer uma (re)leitura do conceito de prática educativa e das bases
teóricas, buscando por novas referências. Através desta (re)leitura e das discussões
iniciadas dentro do grupo de pesquisa Laboratório Aberto de Ciência, Tecnologia e Arte
– LACTEA, na formação do Grupo de Estudos Sobre Teoria da Atividade - GESTA,
modificou-se a definição de prática educativa passando a ser considerada como “toda
atividade dirigida para a promoção de competência ” (VENTURA, 2008). Da primeira
definição proposta, esta se diferencia, apenas, pela substituição do termo ação por
atividade. Antes do início das leituras e estudo sobre Teoria da Atividade, considerava-
se que ação era composta de atividades. Após essas leituras considera-se que
atividade compõe-se de ações.
62
A partir desta definição, (re)inicia-se a discussão dos termos utilizados para
possíveis substituições. Torna-se, então, importante, para um maior entendimento desta
evolução a inserção de alguns referenciais além dos já descritos nos tópicos acima.
3.3.1 Sobre Teoria da Atividade
O que diferencia a primeira definição de prática educativa da segunda é a
substituição do termo “ação” pelo termo “atividade”. Essa mudança deve-se ao início
dos estudos e discussões sobre a Teoria da Atividade no GESTA, grupo de estudos
formado dentro do LACTEA.
Esta teoria é proposta por Leontiev9 como uma categoria “atividade com objetos”,
na relação entre estímulo e resposta, formando assim uma tríade cujas relações são
constituídas pelas condições, objetivos e meios (PONTELO e MOREIRA, 2008).
Toda atividade seria instigada por uma necessidade a satisfazer, ou seja, há um
motivo que está diretamente ligado ao objeto dessa atividade. Essa atividade é, então,
desenvolvida através de diversas ações, as quais estão ligadas a determinados
objetivos que estão claros para aqueles que as praticam e estão intimamente
relacionados com o motivo da atividade em questão. Essas ações podem ser realizadas
9 Alexei Nikolaievich Leontiev (1904-1979) foi um dos colaboradores mais próximos de Vygotsky. Sua teoria da atividade pode ser considerada um desdobramento dos postulados básicos de Vygotsky, especialmente no que diz respeito à relação homem-mundo enquanto construída historicamente e mediada por instrumentos (OLIVEIRA, 1997, p. 96)
63
de diversas maneiras, formas ou métodos, que seriam as operações, e essas
dependem das condições que se tem para realizá-las. A necessidade, os objetivos e as
condições formariam então a situação objetal. Essa atividade objetal fica bem
representa pelo esquema abaixo proposto por Pontelo e Moreira (2008).
Figura 2 Representação esquemática da estrutura da atividade humana (PONTELO e MOREIRA, 2008).
Dado o seu caráter dinâmico, não se pode estudar os componentes da atividade
humana de forma separada. É preciso levar em consideração as relações entre eles e
as mudanças que podem ocorrer. Por isso a atividade é representada como um
sistema. Segundo Santos (2004), Leontiev não clarificou o conceito de sistema de
atividade. Para ela apontamentos significantes foram feitos por Engeström10,
principalmente, na proposta de alargamento do modelo de sistema de atividades. Tal
sistema, inicialmente, apresentava a relação entre o sujeito e o objeto, mediada por
artefatos e, agora, pode ser representado pelo esquema abaixo no qual
Necessidade/Motivo Objetivos
Condições
Atividade Ações
Operações
Situação Objetal
64
ao incluir novos elementos – dado que alarga o conceito de sujeito inserindo-o numa comunidade que tem inerente a ela uma organização (com regras) e uma determinada divisão de trabalho – vai dar visibilidade à existência de novas relações como, por exemplo, as relações comunicativas entre o sujeito e a comunidade (SANTOS, 2004, p. 216).
Figura 3 Estrutura de um sistema da atividade humana (adaptado). (ENGESTROM, 1999, apud,
SANTOS, 2004, p.215)
Essa estrutura do sistema de atividade é proposta para análise de práticas
educativas dentro e fora da escola por Pontelo e Moreira (2008) pelas possibilidades
descritivas e analíticas desse referencial.
Baseados numa classificação apresentada por Engeström (1999) apud Santos
(2004), poderíamos definir os artefatos mediadores como ferramentas e signos
utilizados para identificar e descrever, guiar e orientar processos e procedimentos,
diagnosticá-los e explicá-los e, até mesmo, antever algo e prever sua potencialidade,
10 Yrjö Engeström, professor da Universidade de Helsinki e da Universidade da Califórnia conhecido pela sua teoria do aprendizado expansivo. Deu várias contribuições para o desenvolvimento da teoria da atividade, sendo que a mais conhecida foi a expansão do triângulo de Vygotsky, elaborando um diagrama de descrição e análise do sistema de atividade (ENGESTRÖM, 1987).
Produção
Consumo
Distribuição Troca
65
relacionando-os com seu uso em cada atividade. Assim, na prática educativa,
poderíamos listar como exemplos desses artefatos mediadores, os livros didáticos,
computador, manuais, conceitos, teorias, informações, etc.
O objeto da prática educativa seria o conhecimento a ser adquirido pelo
estudante, sujeito da atividade, num processo de produção, troca, consumo e
distribuição de informações. O produto que é buscado pela prática educativa seria,
então, a instauração de um novo conhecimento que aconteceria num processo de
troca, distribuição e consumo de informações.
Nesta atividade, há uma divisão de trabalho, que seriam as ações delegadas aos
diferentes atores. Remetemo-nos, aqui, ao papel do professor com sua prática
pedagógica que, como já vimos, envolve as estratégias de ensino e as ações
delegadas ao sujeito (estudante). Essas ações podem ser desenvolvidas com a
utilização das estratégias de aprendizagem, lembrando que os artefatos mediadores,
também, atores importantes nessa rede de significações (conhecimento), já foram
citados anteriormente.
O desenvolvimento dessas ações dependerá das condições que são dadas a
esses sujeitos para essas realizações. Isso envolve regras como tempo das aulas,
currículo, planejamento pedagógico, cobrança dos pais, etc. O professor tem um papel
de suma importância na prática educativa, mesmo quando esta não o tem como
“centro”. É ele quem planeja um possível caminho a seguir nesta atividade, os objetivos
a serem alcançados, a necessidade, pelo menos inicial, a ser satisfeita, os possíveis
recursos a serem utilizados, determinando, assim, um maior ou menor grau de
66
sistematização da prática e autonomia do aluno dentro dela. “A natureza da prática do
professor depende muito da forma como ele relaciona todos [...] elementos. Ele pode
lançar mão de alguns deles e não dar importância para outros” (BORBA E PENTEADO,
2005, p. 56).
3.3.2 Uma nova concepção de Prática Educativa
Dados os referenciais e discussões acima, apresenta-se o conceito de prática
educativa, a ser utilizado nesta pesquisa: “Toda atividade mobilizada para
instauração do conhecimento ” (VENTURA, 2008).
O verbo mobilizar nos dá idéia de engajamento, envolvimento. O dicionário de
língua portuguesa Houaiss (HOUAISS, 2009) traz três definições interessantes e que
cabem bem no nosso contexto: Mobilizar é:
1. causar a mobilização de (algo ou alguém ou de si próprio);
2. pôr(-se) em ação (conjunto de pessoas) para uma tarefa, uma campanha etc.
3. conclamar (pessoas) a participarem de uma atividade social, política ou de outra natureza, insuflando-lhes entusiasmo, vontade etc.
A prática educativa é uma atividade social e deve, portanto, ser uma atividade
que mobilize de certa forma os envolvidos com ela.
Outro dicionário de língua portuguesa, o Michaelis (GREGORIM, 2009), relaciona
os verbos estabelecer, formar e renovar com o verbo instaurar. Assim, o termo
67
instauração nos remete à formação, estabelecimento e sustentação, que não podem
ser forçados, nesse caso, do conhecimento.
Por último faz-se necessário, também, expormos nossa concepção de
conhecimento, o que justifica a substituição do termo competência. Primeiramente,
deixamos de lado a idéia de conhecimento como um bem acumulável, que para
Machado (2000) preencheria um reservatório – “balde” – existente em cada ser
humano. Descartamos, também, a concepção de conhecimento como cadeia, o que,
para o mesmo autor, leva à construção de elos de forma linear, ordenados por uma
hierarquia bem definida conduzindo do mais simples ao mais complexo. Apoiamo-nos
na concepção de conhecimento como rede.
“A idéia de rede conduz efetivamente a uma permanente abertura das
significações, a uma contínua mudança na configuração dos nós e das relações, a um
acentrismo – ou a uma coexistência de múltiplos centros de interesse...” (MACHADO,
2000a, p.21).
O conhecimento, então, passa a ser entendido como uma “rede de significações,
com seus feixes de relações, causais ou não-causais, em permanente transformação”
(MACHADO, 2000a, p. 8). Essa rede seria instaurada a partir do momento que
houvesse a necessidade de alguns nós serem mobilizados a refletir sobre determinada
situação.
Somos como pescadores e nossas teorias como redes. E não deixamos de lado de bom grado as redes com as quais algumas vezes pescamos pelo mero fato de que não servem para certos peixes ou em determinados mares, mas continuamente inventamos e tecemos novas redes e as lançamos à água, para ver o que pescamos com elas. Não desprezamos rede alguma e em nenhuma confiamos excessivamente, ainda que prefiramos carregar o barco com as
68
redes mais eficazes e deixar no porto as de menos uso. E assim vamos navegando, renovando continuamente nosso arsenal de redes em função das características da pesca (MOSTERÍN, 1987 apud MACHADO, 2000b, p.174).
Os pontos anteriormente citados e explicitados constituem a prática educativa,
que pela sua definição e dimensões constituirá um ambiente de aprendizagem. O
ambiente de aprendizagem escolar, também, interfere na prática educativa e, muitas
vezes até se confunde com ela. A melhoria de sua qualidade depende da organização
de ambientes de aprendizagem e, conseqüentemente, a qualidade dos mesmos
depende da escolha e organização de todos os elementos que compõem a prática e
dos caminhos a serem percorridos (BORBA e PENTEADO, 2005).
3.4 Ambiente de aprendizagem
Ole Skovsmose (2000) propõe que se estabeleça um movimento do paradigma
do exercício, no qual se enquadra o dito ensino tradicional caracterizado pela exposição
de conteúdo, resolução de alguns exemplos pelo professor, resolução de exercícios
pelos alunos e correção desses exercícios pelo professor, para os “cenários para
investigação, nos quais os alunos são convidados a se envolverem em processos de
exploração e argumentação justificada” (SKOVSMOSE, 2000, p.66). O autor combina
esses dois, paradigma do exercício e cenários para investigação, com três tipos de
referência: 1) Referência à matemática; 2) Referência à semi-realidade e 3) Referência
69
à realidade. Com isso se obtém o que ele chama de seis diferentes ambientes de
aprendizagem.
Segundo Araújo (2006) o interesse de Skovsmose (2000) em propor os cenários
para investigação tem origem na Educação Matemática Crítica que se preocupa, dentre
outras coisas, com o desenvolvimento da “materacia”, para Skovsmose (2000),
“materacia não se refere apenas às habilidades matemáticas, mas também à
competência de interpretar e agir numa situação social e política estruturada pela
matemática” (SKOVSMOSE, 2000, p.68)
Cenários de investigação seriam, para o autor, ambientes que dessem suporte a
um trabalho de investigação através de um convite feito aos estudantes para que
formulem questões e busquem soluções. Assim, quando o estudante aceita esse
convite, passando a ser responsável pelo processo, começa a se constituir um novo
ambiente de aprendizagem. Observamos, então, a influência da prática educativa na
constituição e/ou mudança de um ambiente de aprendizagem, corroborando com
Moreira (2007): “A prática educativa constitui um ambiente de aprendizagem desde a
sua organização inicial fundada em certa concepção de aprendizagem até a sua
realização singular”.
Segundo Bragança, Ferreira e Pontelo (2008) um ambiente de aprendizagem
escolar é um ambiente em que um indivíduo está sujeito a oportunidades de
aprendizagem. Muitas vezes, o termo ambiente de aprendizagem é confundido com o
espaço físico onde ocorrem práticas educativas. Propomos uma visão mais geral,
abarcando o conjunto formado entre os sujeitos, objetos e recursos que interagem no
70
processo de ensinar e aprender. Esse pressuposto é reafirmado por Pontelo e Moreira
(2008) quando pensam um ambiente de aprendizagem como a situação objetal
(Necessidade/Motivo da atividade, objetivos das ações e condições das operações) da
Teoria da Atividade.
Um ambiente de aprendizagem pode ser entendido como a situação objetal da prática educativa, isto é, o objeto da atividade, as condições, os objetivos das ações e o motivo da prática educativa compõem um ambiente de aprendizagem, cenário e contexto das interações entre seus participantes (p.5).
Um exemplo de ambiente de aprendizagem é o ambiente de aprendizagem
escolar, que é planejado, ou organizado para que ocorram práticas educativas. Nesse
ambiente, o professor tem um papel fundamental tanto na preparação, organização e
sistematização da aprendizagem, como no direcionamento ou orientação do processo
de aprendizagem.
O ambiente de aprendizagem escolar é um lugar previamente organizado para promover oportunidades de aprendizagem e que se constitui de forma única na medida em que é socialmente construído por alunos e professores a partir das interações que estabelecem entre si e com as demais fontes materiais e simbólicas do ambiente (MOREIRA, 2007).
Para Araújo (2006) “responsabilidades dos alunos e do professor, metodologia,
conteúdo, atividades, materiais, fundamentação teórica, etc” (p.60) são alguns
elementos que poderão interferir no ambiente de aprendizagem.
Para Moreira (2007) e Bragança, Ferreira e Pontelo (2008) esse elementos
podem concentrar-se em dois fatores: a sistematização e a autonomia do aprendiz. A
sistematização é o que estrutura e valida o processo de aprendizagem, como
avaliações, certificados e contratos entre os sujeitos que participam do processo. Já o
nível de autonomia do aprendiz expressa o grau de controle que a organização do
71
ambiente e os demais atores envolvidos imprimem nas interações do aprendiz com os
diferentes objetos de aprendizagem.
Assim a organização de um ambiente de aprendizagem depende de uma
caracterização da prática educativa realizada. Um ambiente de aprendizagem escolar
implica uma estruturação prévia, uma intencionalidade que, por sua vez, se expressa
na prática educativa. Um ambiente de aprendizagem escolar é dinâmico e ainda
socialmente construído. “O caráter socialmente construído de um ambiente de
aprendizagem explica as diferentes percepções que estudantes e professores podem
ter de um ambiente com a mesma organização” (MOREIRA, 2007).
Pontelo e Moreira (2008) apontam a metodologia de projetos como uma prática
educativa que constitui ambientes de aprendizagem com características sócio-
construtivistas. Essas características estariam expressas em cinco categorias propostas
por Taylor, Fraser e Fisher (1997): 1) Relevância pessoal, 2) incerteza, 3) voz crítica, 4)
controle compartilhado e 5) negociação.
Sinteticamente, a relevância pessoal busca a utilização das experiências dos
estudantes. A incerteza relaciona-se com o processo de busca e produção do
conhecimento através da investigação. A voz crítica, terceira categoria, explora o
envolvimento do aluno no processo de ensino e aprendizagem, proporcionando a
oportunidade de manifestação em relação a qualquer aspecto do processo, até mesmo
as estratégias utilizadas pelo professor. Já o controle compartilhado expressa a
possibilidade do compartilhamento do controle do ambiente com o professor desde o
planejamento das atividades até os critérios de avaliação. Neste ponto, é interessante
72
notarmos que o controle não é transferido do professor para o estudante, mas passa a
ser compartilhado com ele. E, por último, mas não menos importante, a categoria
negociação avalia até que ponto os estudantes podem expor e justificar suas idéias,
ouvir a idéia e justificativa dos colegas, refletir sobre a pertinência delas, podendo
avaliar criticamente suas próprias idéias.
73
4 OS ARTIGOS DA V CNMEM
Tratamos aqui da nossa leitura dos artigos da V CNMEM fazendo uma análise
quantitativa com o objetivo de identificar pontos comuns e pontos divergentes entre
eles. Depois dessa análise, passamos a apresentar uma análise qualitativa dos artigos
para a qual utilizamos como categorias de análise, componentes da definição de prática
educativa adotada no capítulo 2 deste trabalho.
4.1 Análise quantitativa
A análise quantitativa consta da apresentação de dados que mostram os
seguintes quesitos: a) quantos artigos relatam alguma experiência de modelagem; b)
em que nível de ensino essas experiências relatadas estão acontecendo; c) uma
classificação, quando possível, desses artigos, nos casos descritos por Barbosa, como
citado no capítulo que trata sobre Modelagem Matemática e d) a apresentação de um
quadro com as caracterizações usadas nos artigos. Os três primeiros quesitos tem
como objetivo traçar um perfil de como e onde a Modelagem está sendo aplicada
podendo interferir em diferentes ações educativas. Já o quarto quesito coloca a nossa
frente a gama de termos com certos significados dentro da Modelagem Matemática na
Educação.
74
4.1.1 Níveis de ensino
Dos 57 artigos lidos 37 relatam alguma experiência de aplicação da modelagem
desde o ensino fundamental até a pós-graduação strictu-sensu. A frequência com que
essas aplicações ocorreram em cada nível de ensino encontra-se na tabela abaixo.
Níveis de ensino Frequência
Educação Infantil 1
Ensino Fundamental 11
Ensino Médio 3
EJA 1
Graduação 16
Especialização 4
Mestrado 1
Tabela 1 Níveis de ensino onde a modelagem foi aplicada. Fonte: Dados da pesquisa
Destacamos aqui os onze relatos de alguma aplicação no ensino fundamental,
os dezesseis da graduação em que sete são aplicações em cursos para não-
matemáticos e nove para cursos de licenciatura em Matemática.
4.1.2 Casos descritos por Barbosa
Como as diversas concepções existentes sobre modelagem se diferenciam
basicamente na escolha do tema, se esta é feita livremente pelo aluno ou não, e pela
75
relação entre matemática e realidade, escolhemos os casos descritos por Barbosa
como um dos pontos de análise escolhidos, pois esses casos começam por diferenciar-
se na escolha do tema, passando pela coleta de dados e chegando à resolução do
problema.
Casos de Barbosa Frequência
Caso 1 2
Caso 2 16
Caso 3 14
Tabela 2 Classificação dos artigos pelos casos de Barbosa Fonte: Dados da pesquisa
Dos trinta e sete artigos que relataram alguma experiência, pudemos, identificar
em trinta deles características que nos permitiram classificá-los nos casos descritos por
Barbosa. Isso reforça os pressupostos de Barbosa (2001a, p.40) quando afirma que
nem todas as atividades consideradas por seus autores como de modelagem se
encaixam em um dos casos. A somatória superior a 30 da segunda coluna da Tabela 2
justifica-se pelo relato de mais de uma situação em um mesmo artigo.
4.1.3 Caracterizações
São muitas as caracterizações atribuídas à Modelagem Matemática no Ensino.
Abaixo se encontram duas tabelas que apresentam todas as diferentes caracterizações
encontradas na leitura dos anais da V CNMEM e a ocorrência de cada uma delas. É
importante ressaltar que não foi contada a quantidade de vezes que um termo ou
76
expressão apareceu em um artigo, mas se esse termo ou expressão apareceu em mais
de um artigo. Termos como ensino-aprendizagem, ensino e aprendizagem, para o
ensino e aprendizagem e do processo de ensino e aprendizagem foram agrupados.
Decidimos separar as caracterizações em duas tabelas. A primeira –
Caracterizações - Voz do autor – mostra a incidência de caracterizações usadas pelo
autor, ou pelos autores, do artigo sem qualquer tipo de citação. Já a segunda tabela –
Caracterizações - Citações – apresenta as caracterizações utilizadas pelo autor do
artigo por meio de citações. Neste quadro achamos importante expor o autor citado.
Caracterizações – Voz do autor Frequência
Alternativa diferenciada de conceber o ensino da matemática 1
Alternativa metodológica 1
Alternativa pedagógica 5
Ambiente de aprendizagem 5
Ambiente de ensino e aprendizagem 1
Caminho alternativo 1
Caminho para o ensino e aprendizagem de matemática 1
Enfoque pedagógico 1
Estratégia alternativa para o ensino da matemática 1
Estratégia de aprendizagem 1
Estratégia de ensino 6
Estratégia de ensino e aprendizagem 11
Estratégia de ensino para a etnomatemática 1
Estratégia metodológica 1
Estratégia pedagógica 3
Ferramenta no processo de ensino e aprendizagem 1
77
Instrumento metodológico 1
Instrumento pedagógico 1
Método 1
Método alternativo de ensino 1
Método de ensino 2
Metodologia 3
Metodologia de ensino 4
Opção metodológica 2
Perspectiva pedagógica 1
Prática educacional 1
Prática educativa 1
Prática pedagógica 2
Procedimento 1
Proposta metodológica 1
Recurso didático 1
Recurso metodológico 1
Recurso pedagógico 2
Tabela 3 Caracterizações utilizadas pelos autores dos artigos Fonte: Dados da pesquisa
Não foi colocado em separado na tabela, mas merece um destaque, três outras
expressões que surgiram: 1) Prática pedagógica pautada pela modelagem matemática
e 2) Dinâmica de ensino e aprendizagem pautada pela modelagem. O destaque nestas
expressões deve-se ao termo “pautada” que foi inserido fazendo com que, no nosso
ponto de vista, a modelagem não seja uma prática pedagógica e nem uma dinâmica de
ensino e aprendizagem e sim algo utilizado para compor essas duas. O termo pautada
nos traz a idéia de que a Modelagem foi algo utilizado para modificar a prática
pedagógica e a dinâmica de ensino e aprendizagem e não para substituir.
78
O outro termo foi 3) Projetos de aplicação da matemática, que seriam projetos
desenvolvidos utilizando para isso a metodologia da modelagem matemática.
Caracterizações – Citações Frequência
Abordagem metodológica (Almeida) 1
Alternativa de ensino aprendizagem (Silva) 1
Alternativa de ensino aprendizagem (Oliveira) 1
Alternativa metodológica de ensino (Burak) 1
Alternativa para o ensino e aprendizagem (Almeida e Dias) 1
Ambiente de aprendizagem (Barbosa) 19
Caminho para ensino e aprendizagem da matemática (Monteiro) 1
Concepção pedagógica (Borba) 2
Enfoque didático-pedagógico (Borba) 1
Estratégia de ensino (Bassanezi) 1
Estratégia de ensino (Monteiro) 1
Estratégia de ensino e aprendizagem (Bassanezi) 5
Estratégia de ensino e aprendizagem (Biembengut e H ein) 1
Estratégia pedagógica (Bassanezi) 1
Ferramenta de ensino-aprendizagem (Scheffer) 1
Metodologia de ensino (D'Ambrósio) 1
Metodologia de ensino -aprendizagem (Biembengut e Hein) 2
Modelação (Biembengut e Hein) 4 Tabela 4 Caracterizações surgidas em citações feitas pelos autores dos artigos
Fonte: Dados da pesquisa
Nessa tabela, destacamos as dezenove citações envolvendo o termo ambiente
de aprendizagem. Essas caracterizações aparecem com certa frequência em citações,
79
pois são usadas para definir modelagem, expondo a concepção que se tem. Esta
definição, na maioria das vezes, inicia-se com uma caracterização.
4.2 Análise qualitativa
4.2.1 Motivos/necessidades
Alguns artigos, mesmo que relatando uma experiência ou debatendo
teoricamente algo relacionado à Modelagem, justificam esse uso apontando o que
chamaremos aqui de motivos/necessidades para o uso. Na literatura, podemos
encontrar alguns desses motivos na forma de argumentos a favor do uso da
Modelagem.
A seguir, apresentamos excertos dos artigos analisados em que são destacados
o que chamamos de motivos para o uso da modelagem. É importante salientar que os
motivos listados abaixo não se encontram em ordem de importância. Preocupa-nos,
apenas, em dar conexão aos fragmentos retirados dos artigos e os comentários feitos e
proporcionar uma melhor leitura.
80
A. Mudança no Ensino de Matemática
Os motivos, em sua quase totalidade, estão diretamente relacionados com a
necessidade e tentativa de implementar e introduzir mudanças nas práticas educativas
em vigor no ensino de Matemática, proporcionando uma ruptura com o ensino dito
tradicional. Verificamos isso nos excertos abaixo, de Oliveira e Campos (2007) e no de
Burak e Kluber (2007), que procuram mostrar como essa prática pode contribuir para
uma maior dinâmica no ensino através de uma participação mais efetiva do estudante
no processo.
…visualizar uma necessidade de ensinar Matemática de maneira não tradicional… (OLIVEIRA e CAMPOS, 2007, p.243). ...a possibilidade de uma dinâmica maior no ensino, pela ação e o envolvimento do próprio grupo na perspectiva da busca do conhecimento, bem como pela socialização desse conhecimento dentro do grupo (BURAK e KLUBER, 2007, p.916).
Nos trechos a seguir, percebemos, respectivamente, a preocupação com um
trabalho colaborativo, a quebra de paradigmas com relação entre o correto e o exato e
despertar o interesse pela Matemática.
...permitir um trabalho colaborativo e integrado entre professor e alunos, tornando-os responsáveis pelo próprio conhecimento (CARGNIN-STIELER e BISOGNIN, 2007, p.432). A possibilidade de obter resultados corretos mas não exatos parece despertar mais interesse que na resolução de um exercício padrão (SANT’ANA e SANT’ANA, 2007 p.259).
81
B. Interesse pela Matemática
Esse (re)despertar o interesse pela Matemática é buscado, também, pela
possibilidade da Modelagem ser uma forma de tornar a Matemática mais atraente,
agradável e motivadora. Entendemos que isso levará ao resgate do gosto e do prazer
em aprender Matemática, levando o estudante a uma melhor compreensão de temas já
abordados e, até mesmo, a busca por conteúdos não previstos para aquele momento,
como podemos perceber nos excertos abaixo:
...um caminho para tornar a Matemática, em qualquer nível, mais atraente, agradável e motivadora (SANT’ANA e SANT’ANA, 2007 p.253). ...contribui para tornar a matemática mais atraente para os alunos no que se refere a aplicação deste componente curricular (matemática), no cotidiano da vida dos alunos (RODRIGUES, NECKEL e FAGUNDES, 2007, p.368). ...um instrumento valioso para resgatar nos alunos, de todos os níveis, o gosto e o prazer em aprender Matemática...( SILVA, 2007, p.710). ...pode propiciar ao aluno a melhor compreensão de conceitos complexos e a oportunidade de poder descobrir o novo de forma não-estática (ARAÚJO, 2007, p. 622).
A busca por novos conteúdos nos remete ao currículo. Um dos motivos, de se
usar Modelagem, em uma de suas formas de aplicação no ensino, é o cumprimento de
um conteúdo já previsto, como feito por Leite (2007) observado abaixo
... visando, essencialmente, desenvolver os conteúdos matemáticos previstos (p.163).
Mas outro motivo seria contrário do citado acima: a quebra da linearidade do
currículo, como vemos em Cunha e Santo (2007).
...ruptura da linearidade dos conteúdos e uma reorientação do trabalho pedagógico, com ênfase nas atividades ligadas aos problemas do cotidiano dos alunos (p.561).
82
C. Mudança no currículo
Alguns autores apostam na Modelagem como uma prática capaz de permitir uma
(re)organização dos conteúdos de forma mais incisiva.
Por ser uma metodologia flexível e que valoriza a investigação e a exploração para introduzir o conceito matemático, a Modelagem Matemática nos permite a (re)organização do conteúdo de forma mais contundente (BUENO e REIS, 2007, p.599).
Preocupados com o resgate do prazer em aprender Matemática, percebemos
que o uso da Modelagem é uma prática que muito pode favorecer nesse aspecto,
essencialmente pelo fato de tornar visível a relação da Matemática com outras áreas
através aplicação de seus conteúdos, ou seja, da utilidade da Matemática. Vejamos:
D. Utilidade da Matemática
...utilização de aplicações da Matemática no ensino, operacionalizando esta utilização de diversas maneiras, uma destas é a Modelagem Matemática, que se difere de modo geral das demais por pressupor a utilização de dados reais e não de uma realidade “criada” pelo professor" (SANT’ANA e SANT’ANA, 2007, p.253)
Essa utilização de aplicações da Matemática visa, como destacado nos trechos
abaixo, à integração dessa com outras áreas da realidade fazendo com que o
estudante perceba a integração entre os conceitos que estão sendo estudados e suas
83
aplicações, levando, novamente, à motivação pelo aprendizado da Matemática e a
percepção ou questionamento da importância dessa aprendizagem.
...entendemos que práticas educacionais que visem a integração entre a Matemática e outras áreas da realidade são de extrema importância (SANT’ANA e SANT’ANA, 2007, p.253, grifo nosso). ...o uso da Modelagem Matemática no ensino possibilita uma integração entre os conceitos e suas aplicações, como também motiva o aluno ao aprendizado da Matemática (FERRUZZI e ALMEIDA, 2007, p.426, grifo nosso). ...fiz uso da modelagem matemática como uma forma de levar os alunos a perceberem e/ou questionarem a importância da Disciplina Elementos de Cálculo II para o futuro Engenheiro Florestal (SILVA, 2007, p.708, grifo nosso).
Nos artigos analisados, percebemos, também, a intensa busca por uma
aprendizagem mais significativa que pode ser proporcionada pelos motivos já citados
cuja viabilidade é buscada pela utilização da Modelagem.
A Modelagem Matemática ao contemplar pesquisa, levantamento de hipóteses a respeito de situações, proporciona uma aprendizagem mais significativa e contextualizada (FERREIRA, 2007, p. 1020). ...um dos principais objetivos da modelagem é desenvolver no aluno o interesse pela pesquisa, pois a mesma pode ser direcionada para a proposição de atividades que sejam atraentes e que se relacionem com as experiências de vida dos educandos (FERREIRA, 2007, p.520)
E. Aprendizagem Significativa
Justifica-se a escolha da Modelagem Matemática por possibilitar trabalhar com problemas da vida dos alunos e, assim, dar significado aos conteúdos matemáticos e estatísticos... (CARGNIN-STIELER e BISOGNIN, 2007, p.432) ...tornando o ensino e a aprendizagem dos conhecimentos matemáticos mais significativos para os alunos (THOMAZ NETO; XAVIER, 2007, p.306).
84
O resgate e a valorização de situações do cotidiano levaria, segundo Cunha e
Santo (2007) e Kfouri et al. (2007), a uma aprendizagem significativa, contextualizada e
crítica.
...a possibilidade de favorecer uma aprendizagem mais significativa da Matemática, o resgate e a valorização dos conhecimentos cotidianos / informais acumulados das experiências de vida dos alunos jovens e adultos (CUNHA e SANTO, 2007, p.558). ...uma aprendizagem de modo mais significativa e crítica, utilizando matemática de situações reais (KFOURI et al., 2007, p.780).
A abordagem de situações reais, quando feita sem uma interferência mais
enfática do professor (um dos pontos importantes do trabalho com Modelagem),
possibilitaria o estudante pensar, criar e estabelecer relações, o que levaria a despertar
o interesse pelo novo. E esse novo abordaria assuntos de outras áreas e tópicos
matemáticos ainda desconhecidos pelos estudantes, como podemos perceber nos
excertos abaixo:
…pode proporcionar o surgimento da intenção de aprender algo que não se conhece, com a finalidade de solucionar um problema em questão (FERRUZZI e ALMEIDA, 2007, p. 419). … possibilita o aluno a pensar, a criar e a estabelecer relações, despertando o interesse por tópicos matemáticos que ele ainda desconhece (KFOURI et al., 2007, p.781). ...a modelagem matemática no ensino pode ser um caminho para despertar no aluno o interesse por tópicos matemáticos que ele ainda desconhece, ao mesmo tempo, que aprende a arte de modelar, matematicamente. Isso porque é dada ao aluno a oportunidade de estudar situações-problema por meio de pesquisas, desenvolvendo seu interesse e aguçando seu censo critico (RODRIGUES, NECKEL e FAGUNDES, 2007, p.368).
Dada essa oportunidade de observação, pesquisa, busca por compreensão e
respostas para os problemas levantados, o estudante tem, então, a oportunidade de
uma formação sócio-crítica, um outro motivo para aplicação da Modelagem.
85
F. Formação sócio-crítica
Assim, além de avançar os seus conhecimentos, pode contribuir para a formação de alunos com espírito investigativo, e como conseqüência torná-los cidadãos mais críticos e com poder de argumentação (FERREIRA, 2007, p.1018).
Segundo Leite (2007), a metodologia da Modelagem propiciaria discussões não-
matemáticas, o que levaria o estudante a desenvolver sua consciência sócio-crítica,
posicionando-se em relação aos temas abordados e em suas implicações sócio-críticas
e tomando decisões sobre esses temas, como exposto nos trechos abaixo:
...a Modelagem Matemática propicia as discussões paralelas (ou reflexões não matemáticas), aquelas que não fazem parte da construção do modelo matemático, mas favorecem as investigações matemáticas e as discussões sociais (LEITE, 2007, p.173).
...o desenvolvimento de uma consciência sócio-crítica que levem os alunos a buscarem soluções para os problemas enfrentados pelas comunidades e que podem, de um modo geral, ser modelados em sala de aula (FERREIRA, 2007, p.520). ... a sua fertilidade em despertar nos alunos o posicionamento em relação aos temas abordados (SOUZA, 2007, p. 903) ...pelas possíveis implicações sócio-críticas que os mesmos suscitavam (SOUZA, 2007, p.898). ...a fim de possibilitar aos alunos o desenvolvimento de capacidades permitindo a tomada de decisões em processos de resolução de problemas (RODRIGUES, NECKEL e FAGUNDES, 2007, p.367).
Os estudantes ainda terão, com isso, a oportunidade de perceber a importância e
o papel da Matemática nas discussões e práticas sociais vendo-a como uma ferramenta
de acesso e compreensão do mundo.
...discussão do papel da Matemática nas práticas sociais... (SANT’ANA e SANT’ANA, 2007, p.253)
86
...vista como uma ferramenta para acessar e compreender o mundo (SILVA, 2007, p.710).
G. Aprender a Modelar
Um outro motivo exposto pelos autores é o fato de a aprendizagem do próprio
processo de Modelar poder levar o aluno a tornar-se um modelador, aguçando nele
características como pesquisa, resolução de problemas, criatividade, etc.
Pois, a modelagem matemática como estratégia de ensino tem como objetivo principal levar o aluno a desenvolver a criatividade matemática no sentido de torná-lo um MODELADOR, quando se dedica ao estudo de alguma situação fenomenológica, consegue explorar mais sendo criativo e habilidoso na resolução de problemas através de desempenho da modelagem matemática (SILVA, WIELEWSKI e GAZZETTA, 2007, p.1038).
Para fecharmos este levantamento dos motivos relacionados pelos autores dos
artigos, colocamos um que é mais pontual. Em especial em cursos de formação
continuada e formação de professores a construção de um modelo de atividades a
serem aplicadas nos ensinos fundamental e médio é um dos motivos do uso da
modelagem.
Como o objetivo final do projeto é que cada professor – aluno leve para suas salas de aulas uma atividade inovadora, em muitos casos, surge a idéia ou os professores orientadores sugerem a construção de um kit pedagógico que para auxiliá-lo na sala de aula, bem como a idéia da utilização das ferramentas computacionais (SALVADOR, 2007, p. 826).
87
4.2.2 Ações e seus objetivos
Diante dos motivos colocados a atividade é, então, composta de ações que se
ligam a objetivos e levem a suprir a(s) necessidade(s)/motivo(s) da atividade. O
fragmento abaixo cita algumas ações como a experimentação, abstração,
sistematização de conteúdos, resolução de problemas, validação e aplicação e seus
objetivos que seriam, respectivamente, reconstrução do conhecimento matemático,
compreensão prévia da matemática, interpretação e busca de significados,
compreensão efetiva da Matemática e manifestação da compreensão.
O aluno ao percorrer as etapas do processo de modelagem, ele tem a possibilidade reconstruir o conhecimento matemático à medida que percebe a Matemática presente na situação em estudo (na fase de experimentação), tem dela uma compreensão prévia (na abstração), interpreta e busca significados (na sistematização dos conteúdos durante a elaboração do modelo e na busca por soluções), compreende efetivamente a Matemática percebida (na resolução) e manifesta a compreensão (nas etapas de validação e aplicação) (SANTOS; ALMEIDA, 2007, p. 690).
Quando nos referimos à aplicação da Modelagem no ensino é comum vermos,
como no texto acima, autores como Burak (1987) e Biembengut e Hein (2003) listando
etapas, que neste trabalho denominaremos, em concordância com a Teoria da
Atividade, de ações, que têm um papel de orientação da atividade, principalmente para
aqueles professores que decidem enfrentar essa atividade pela primeira vez. Esses
autores também listam os objetivos a serem atingidos com essas ações. É evidente que
estas ações não precisam ser seguidas rigidamente na ordem com que são
apresentadas, e esta é uma característica da atividade Modelagem, a flexibilidade das
suas ações.
88
É importante ressaltar que essas ações, muitas vezes, se configuram como
diversas Atividades e que nem todas são contempladas nas diversas aplicações de
Modelagem.
A. Diagnóstico
Essa ação visa a conhecer a turma, suas experiências, seus interesses e
expectativas.
Foi a partir desse diálogo inicial, que visou conhecer a turma, compreender seus interesses e expectativas em relação à disciplina e avaliar o interesse deles pela Modelagem...(SILVA, 2007, p.711)
Para aqueles que desejam utilizar-se do estudo de temas da realidade do aluno,
mas não querem deixar que escolha dos mesmos seja feita pelos alunos, esse
momento pode ter o objetivo de levantamento de temas propostos pelos estudantes e
que serão analisados a posteriori pelo professor para a realização do trabalho.
Pode-se incluir, neste momento, a exposição do tipo de trabalho que será
realizado para que aluno se sinta, talvez, mas confortável para a execução do mesmo,
como realizado por Oliveira e Campos (2007), Silva (2007) e Souza e Santo (2007).
...sendo este o momento em que o professor comunica aos alunos que eles irão trabalhar com situações provenientes do cotidiano através da Matemática. Nesse momento o professor, ao apresentar a atividade de Modelagem aos alunos, busca utilizar estratégias para garantir o envolvimento deles, visto que a participação dos alunos é fundamental no desenvolvimento de atividades desta natureza (OLIVEIRA e CAMPOS, 2007, p.242). ...destinei um dos nossos encontros semanais, logo no início do semestre, para explicar-lhes detalhadamente a proposta dos projetos bem como o que era a
89
modelagem. Também disponibilizei artigos, dentre os acima citados, para que consultassem e tirassem suas dúvidas sobre modelagem" (SILVA, 2007, p.711). Inicialmente, abordamos atividades contextualizadas, visando familiarizar os alunos na abordagem de temas não-matemáticos em aulas de Matemática… (SOUZA e SANTO, 2007, p. 788)
B. Escolha do Tema
A escolha do tema é uma ação sobre a qual não há consenso entre os
“modeladores”. Para alguns, ela deve ser feita pelo estudante objetivando, já nesse
momento, a sua maior participação, autonomia e interesse no processo.
A escolha [do tema] recaiu sobre as sementes de Leucema por tratar-se de uma espécie, segundo os proponentes, de grande importância econômica e ambiental, algo que interessa muito ao futuro engenheiro florestal e vai de encontro às preocupações atuais com aquecimento global e a necessidade de diminuir a emissão de gás carbônico na atmosfera com o plantio de árvores (SILVA, 2007, p. 713).
Outros, porém, consideram que o tema pode sair de um acordo entre professor e
estudantes, fazendo com que o professor tenha um pouco mais de controle sobre a
atividade, mas não deixe de lado o interesse do aluno. O tema pode ser sugerido pelo
professor. Essa escolha é feita, principalmente, quando se tem a necessidade de
abordar algum conteúdo específico.
C. Desenvolvimento do conteúdo
Na busca por solução para os problemas levantados, haverá o uso de
ferramental matemático. O trabalho em grupo com o mesmo tema ou temas diferentes
90
faz com sejam abordadas estratégias de resolução diferentes e assim uso de tópicos
diferentes. Neste momento o professor poderá desenvolver o conteúdo envolvido
naquele tema visando à sistematização desse conteúdo.
...destinamos ao desenvolvimento dos procedimentos matemáticos e da relação intrínseca entre a matemática existente na conta de energia e também a matemática contida no interior da conta de energia [...]...o intuito de desvendar a matemática contida na conta do consumo de energia da casa dos alunos participantes. Momentos de generalização de alguns conceitos matemáticos como o de função. Momento também de trabalhar com atividades matemáticas (RODRIGUES, NECKEL e FAGUNDES, 2007, p.370).
Após a construção do modelo foi feita a sistematização dos conceitos referentes à função do primeiro grau…(FONTANINI e ALMEIDA, 2007, p. 405)
D. Reflexão e avaliação
Esta ação tem por objetivo verificar o que foi produzido pelo aluno tanto em
discussões matemáticas como não-matemáticas, destacando contextos mais gerais
como interesse, trabalho em grupo, posicionamento diante de situações da realidade e
a reflexão sobre a importância desse tipo de atividade. Vejamos:
A análise crítica das soluções é uma atividade que favorece o desenvolvimento do pensamento crítico e a argumentação lógica, discutindo, também, a coerência da solução dos problemas nas situações da realidade. É um momento importante para a discussão dos aspectos relacionados à Matemática e às Ciências Sociais, Culturais, Econômicas, Políticas e outras (BURAK e KLÜBER, 2007, p.914).
...os alunos foram avaliados de uma maneira continuada destacando na avaliação contextos mais gerais tais como: Escrita matemática, desempenho, interesse, colaboração com os colegas, senso crítico e capacidade de debater os assuntos, visando assim não utilizar a avaliação como um processo classificatório, mas sim um instrumento de motivação no processo de formação do trabalho proposto (RODRIGUES, NECKEL e FAGUNDES, 2007, p.371).
91
...sobre o trabalho realizado e sobre o processo de ensino e aprendizagem da Matemática por meio da modelagem matemática. Também nestes momentos discutiremos com os alunos a respeito do trabalho realizado e finalizamos nossa relação com alunos naquele momento refletindo sobre a importância de se ensinar matemática por meio da realidade, ou seja, relacionar “Matemática e Realidade” (RODRIGUES, NECKEL e FAGUNDES, 2007, p.370).
4.2.3 Operações e Condições
A atividade está ligada ao seu motivo propulsor. Para se atingir este motivo são
propostas ações que tem seus objetivos. Como já citado, muitas vezes essas ações
acabam se configurando como uma Atividade. Mas para que estas ações possam ser
realizadas deve haver meios pelos quais isso acontecerá. Esses meios são
denominados, na Teoria da Atividade, de operações.
Um diálogo inicial, leitura de artigos, montagem de tabelas, gráficos, ajuste de
curvas, pesquisa com profissionais da área específica do tema abordado, pesquisas de
opinião, pesquisa em material especializado, busca por ferramental matemático,
discussão em grupo, divisão de tarefas, redação de um relatório final, apresentação do
trabalho (todo o processo) e outros itens são meios, ou seja, operações, que
encontramos em alguns dos artigos lidos como podemos perceber nos fragmentos
abaixo:
...entende-se que a leitura e a discussão são essenciais para quem pretende trabalhar com Modelagem Matemática e, em especial, para alunos que se preparam para o exercício do magistério (CARGNIN-STIELER e BISOGNIN, 2007, p.437).
A leitura desses textos teve o propósito de aprofundar os conhecimentos dos alunos sobre a teoria da Modelagem Matemática e motivá-los para a realização do trabalho (BISOGNIN, FERREIRA e BISOGNIN, 2007, p.185).
92
Percebemos acima que a leitura de textos sobre Modelagem é uma operação
que viabiliza a realização do trabalho e, também, podemos assim dizer, encoraja futuros
professores na implementação dessas atividades em suas salas de aula.
Essas operações, em Modelagem, têm recebido o nome de estratégias, que são
usadas pelos professores e alunos, professores com alunos, professores com
professores e alunos com alunos.
...apresentou como iria trabalhar, resgatou as experiências anteriores realizadas em sala de aula, direcionou o tema afunilando para um aspecto e ilustrou as experiências dos alunos com compras a partir do aspecto escolhido (OLIVEIRA e CAMPOS, 2007, p. 247).
Vemos a colaboração docente como uma estratégia para, de um lado, minimizar as dificuldades inerentes ao processo de coleta de dados e, de outro, analisar as possibilidades pedagógicas de trabalhos coletivos, baseados em projetos de modelagem centrados em temas que sejam do interesse da comunidade estudantil (JACOBINI; FERREIRA; LEITE, 2007, p.1059).
Encontramos, acima, o resgate de experiências anteriores, o direcionamento do
tema, ilustrações de experiências e a colaboração docente sendo usadas como
operações na atividade de modelagem.
A colaboração docente, ainda, é destacada no fragmento abaixo, também, como
uma condição favorável à realização da atividade.
...buscamos (i) extrapolar as fronteiras de uma única sala de aula, aglutinando ao redor desses projetos outros professores que lecionam Estatística e, com eles, seus alunos; (ii) ampliar, como conseqüência, a participação estudantil em discussões de questões relevantes para a comunidade; (iii) facilitar o trabalho de coleta de dados; (iv) avaliar as contribuições desse trabalho colaborativo para a prática docente e para e para o processo de ensino e de aprendizagem (JACOBINI, FERREIRA e LEITE, 2007, p.1059).
Essas operações acontecem de acordo com as condições que se tem para
serem realizadas. Essas condições são ditadas pelo ambiente e tudo o que o compõe.
93
Na modelagem encontramos, como condições, a disponibilização de artigos para
leitura, o acesso à internet para viabilizar a pesquisa, o uso de programas
computacionais, a formação do estudante, caracterizadas por suas experiências
prévias, perspectivas futuras tanto do professor quanto do estudante, utilização do
computador (suas ferramentas básicas, como Word, Excel, Power Point), o tempo
disponível de estudantes e professores, etc. Notemos isso nos fragmentos a seguir:
Dessa maneira, é possível sugerirmos que no contexto em que as atividades de Modelagem são desenvolvidas, as experiências prévias e as expectativas futuras dos alunos interferem, direta ou indiretamente, em suas práticas de Modelagem (OLIVEIRA e BARBOSA, 2007, p.1073).
Os alunos construíam tabelas e utilizaram programas computacionais, como o Excel, Maple e CurveExpert para traçar gráficos e validar os modelos obtidos (CARGNIN-STIELER e BISOGNIN, 2007, p.437).
… o modelo matemático será mais ou menos elaborado segundo o conhecimento matemático do aluno naquele momento (SANTOS, 2007, p. 700).
Combinamos também que poderíamos marcar encontros fora do horário da disciplina para tirar dúvidas e delinear os encaminhamentos que deveriam empreender na realização dos experimentos. Para os que não podiam me encontrar fora do horário da disciplina, destinava alguns minutos no início e no final de cada encontro semanal. (SILVA, 2007, p.712).
Há um destaque nas condições para a realização das atividades de Modelagem.
As operações envolvidas nessas atividades encontram em alguns trabalhos uma
condição, dita, bastante favorável para este tipo de atividade que é a utilização das
tecnologias de informação e comunicação como vemos, por exemplo, em Diniz (2007) e
Santos (2007).
... a utilização do computador em atividades de modelagem parece ser uma solicitação quase natural tanto na etapa de obtenção dos modelos quanto para proporcionar uma análise mais aprofundada do problema em questão (SANTOS, 2007, p.691).
94
4.2.4 Resultados relatados da atividade
Os relatos dos resultados encontrados nos artigos demonstram que a(s)
necessidade(s) ou o(s) motivo(s) foi (foram) suprido(s) e/ou alcançado(s), mesmo que
em parte em algumas vezes.
A. O papel da matemática e sua relação com outras á reas
O ato de observar o comportamento de um dado fenômeno, os questionamentos, as tentativas de matematização, de estabelecer conexões entre conteúdos e diferentes áreas da ciência, os cálculos, as simulações testadas, os resultados obtidos criticados e interpretados bem como suas implicações científicas constituem-se em atividades de prazer, contribuem para motivação e aprendizado do estudante e do professor engajado (SALVADOR, 2007, p.823). ... foi uma metodologia que envolveu a investigação, a compreensão matemática de fatos oriundos da sociedade e a interpretação dessas realidades (BISOGNIN, FERREIRA e BISOGNINP, 2007, p.189).
O uso da Modelagem propiciou a interpretação da realidade o que favorece o
entendimento, posicionamento e ação sobre a mesma.
B. A mudança de postura do aluno e a instauração do conhecimento
...o processo de ensino não sé dá no sentido único do professor para o aluno, que o estudante tem a oportunidade de sair da passividade, observar, questionar, discutir, experimentar, modelar, testar sua capacidade de
95
organização, analisar situações, comparar, desenvolver a autonomia e tomar decisões, etc (SALVADOR, 2007, p. 824).
Fica claro, nos relatos a mudança do papel do estudante no processo de ensino
e aprendizagem, antes visto como um mero receptor de informações, agora um
membro ativo desse processo, o que propicia, também, uma mudança de postura do
professor.
Ao realizar o trabalho e analisar os dados percebeu-se mudanças de atitudes dos alunos frente ao trabalho, em sala de aula, como motivação, comprometimento, colaboração e o compromisso com a construção do conhecimento (CARGNIN-STIELER e BISOGNIN, 2007, p.431).
Compromisso com a “construção” do conhecimento é o destaque que damos ao
excerto acima. A mudança de atitude do aluno o faz responsável pelo conhecimento
que irá ou não construir. Coloca-o como responsável pela sua aprendizagem.
O fato de o grupo compartilhar o processo de ensino, isto é, escolher àquilo que gostaria de estudar, ter oportunidade de se manifestar, de discutir e propor, favorece um maior interesse de cada grupo envolvido (BURAK e KLÜBER, 2007, p.915).
Verifica-se novamente o destaque para o estudante como coparticipante do
processo de ensino e aprendizagem, com um destaque ainda maior na sua
interferência no processo de ensino tão associada à figura do professor.
Pode-se dizer que ocorreu um trabalho colaborativo entre os componentes dos grupos e dos grupos entre si, e trocas de experiências entre eles e também com a professora. Além disso, durante o processo da Modelagem várias discussões ocorreram, favorecendo o espírito crítico (FERREIRA, 2007, p. 1023).
A busca pela criticidade, e de momentos para isso é observado ao se trabalhar
com Modelagem e em Cargnin-Stieler e Bisognin (2007) percebemos que a premissa
dessa prática oportunizou esses momentos.
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...despertou o interesse e a motivação para estudar conteúdos matemáticos ou estatísticos contextualizados, bem como atitudes positivas em relação a matemática. O entendimento da realidade, a análise crítica do contexto estudado e a dedicação dos alunos nos processos investigativos, proporcionada pela contextualização das situações-problema que os envolviam foram aspectos positivos registrados por essa investigação (CARGNIN-STIELER e BISOGNIN, 2007, p.442).
Além das discussões não-matemáticas, temos também as matemáticas. A busca
por uma solução mais adequada para os problemas levantados levaram a um interesse
maior por tópicos da própria Matemática.
... as vantagens sobre a utilização da Modelagem Matemática foram a compreensão dos conteúdos matemáticos, o desenvolvimento da habilidade de pesquisa, a significação das atividades escolares, o envolvimento dos alunos num trabalho colaborativo em sala de aula (CARGNIN-STIELER e BISOGNIN, 2007, p.441).
Habilidades de pesquisa e trabalho colaborativo, mais dois pontos almejados,
são relatados por Leite (2007) como encontrados dentro da formação do estudante.
... mudança de postura de alguns alunos não só em relação à prática docente como também em relação a questões externas à Matemática, como questões sociais e ambientais (LEITE, 2007, p.164).
A formação do cidadão é colocada agora não somente como busca, mas como
resultado.
... na interação dos alunos com situações reais propiciada por esse ambiente, acontece a mobilização de variados conhecimentos, por meio de discussões técnicas, matemáticas e reflexivas, como as apresentadas na análise dos dados do presente estudo, ampliando, assim, o vocabulário, pensamentos e ações das crianças em sociedade (LUNA e ALVES, 2007, p.874).
Destacamos, aqui, a importância das discussões advindas da matemática e de
campos fora dessa disciplina para a mobilização de conhecimentos diversos,
percorrendo assim o caminho para instauração desses e outros conhecimentos.
97
...ambiente gerado pela Modelagem aponta para mudanças de atitudes efetivas dos sujeitos perante futuras situações similares e/ou com as mesmas características do problema em questão (CUNHA e SANTO, 2007, p.571).
Apesar de remeter a futuras situações que sejam similares, o destaque que
desejamos dar aqui é o relato de mudanças efetivas de atitude e de comportamento.
C. A mudança de postura do professor e o seu aprend izado
Acrescentamos ainda que nós como professores orientadores, professores – alunos que adotamos a modelagem no ensino de matemática aprendemos muito, pois isto nos leva a enfrentar desafios de aprender algo novo que os alunos trazem e questionam, e ao discutirmos e pesquisarmos conseguimos superar as imprevisibilidades, tornando o trabalho desenvolvido muito mais gratificante (SALVADOR, 2007, p.839). … o papel do professor fica redefinido, pois este passa a se constituir no mediador entre o conhecimento matemático elaborado e o conhecimento do aluno ou do grupo (BURAK e KLÜBER, 2007, p.916).
Como já foi destacada em muitos fragmentos anteriores, a utilização da
Modelagem provocou uma mudança na postura do estudante ante o processo de
ensino e aprendizagem. Isso acarreta diretamente uma mudança da postura do
professor que agora sai do papel de único responsável pelo ensino e passa a
compartilhar esse papel atento às necessidades do estudante e aprendendo com este
em suas discussões.
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D. Mudança no ambiente
Vimos que a Modelagem propiciou um ambiente: (1) descontraído, prazeroso e
cooperativo; (2) ambiente de pesquisa, troca, colaboração e interação e (3) pautado em
problematizações, investigações e no diálogo.
...a participação deles nas aulas, o ambiente em sala de aula que foi mais descontraído…(SOUZA, 2007, p. 901)
A utilização de um “mecanismo” de ensino e aprendizagem mais dinâmico, que extrapole os limites do livro-quadro-giz e que torna o aluno um sujeito ativo na construção do conhecimento, propicia um ambiente de aprendizagem mais prazeroso, tanto para os alunos quanto para o professor (BUENO e REIS, 2007, p.599).
...propiciou a criação de um ambiente cooperativo de aprendizagem… (BISOGNIN, FERREIRA e BISOGNIN, 2007, p.180).
...a possibilidade de propiciar um ambiente de pesquisa e investigação (LEITE, 2007, p.174). ... observou-se que essa metodologia propiciou a criação de um ambiente de diálogo, de troca, de colaboração, de interação entre professores e alunos. Esse ambiente permitiu que os alunos se envolvessem com o trabalho, o que os motivou ao estudo do tema e dos conceitos matemáticos envolvidos (BISOGNIN, FERREIRA e BISOGNIN, 2007, p.188). ...o ambiente de ensino desenvolvido via Modelagem é pautado em problematizações e investigações (SOUZA, 2007, p.902, apud, BARBOSA, 2003). As experiências realizadas com os discentes nos aponta para um outro tipo de ambiente, que é o pautado no diálogo entre os atores do processo de ensino e aprendizagem (SOUZA, 2007, p.902).
E. A importância do fazer modelagem
O fazer modelagem, ou seja, participar do processo, se envolver, permitiu o
debate, criação de estratégias, resgate de conhecimento prévio e a uma nova visão da
Matemática. Vejamos:
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Destacamos as percepções dos alunos quanto à importância da Modelagem Matemática como trabalho cooperativo, permitindo o debate, a criação de estratégias, o resgate de conhecimentos prévios e a tomada de decisões, bem como a validação de resultados e o questionamento da exatidão em Matemática (SANT’ANA e SANT’ANA, 2007, p.253). … deixaram de considerar a Matemática como uma ciência desconexa com a realidade, passando a considerá-la como uma importante ferramenta teórica que possibilitou, desde tempos antigos, a evolução da humanidade (KATO, 2007, p. 730). …as atividades de Modelagem Matemática viabilizam a utilização e exploração de diferentes registros de representação semiótica bem como os processos de tratamento, de conversão e de coordenação entre registros (VERTUAN e ALMEIDA, 2007, p.886).
Diante do que foi analisado, explorado e mostrado no interior deste capítulo,
vemos a Modelagem na Educação Matemática apontar para uma Prática Educativa
por envolver uma metodologia que pode ser caracterizada como uma Atividade , por
ser proposta na busca de sanar um ou mais motivos/necessidades , como mudança
de ambiente, despertar o interesse pela matemática, mudança no currículo e formação
sócio-crítica, através de ações com objetivos próprios como um diagnóstico, escolha
do tema, desenvolvimento do conteúdo, reflexão e avaliação. Tudo isso se dá por meio
de operações como diálogo inicial, leitura de artigos, pesquisas diversas, divisão de
tarefas, entre outras, que são buscadas, modificadas e criadas levando em conta as
condições impostas pelo ambiente.
100
5 O FÓRUM
O fórum de discussão foi escolhido por ser um espaço mais aberto que
possibilita aos participantes a exposição e defesa de suas idéias e concepções sobre o
tema levantado de forma mais livre. Além de possibilitar que os participantes conduzam
as discussões juntamente com quem propôs o fórum, surgindo assim pontos ainda não
idealizados pelo proponente, mas que não fogem do seu objetivo devido ao
acompanhamento sistemático das discussões e sua participação ativa no fórum.
Buscando conseguir participações de pessoas ligadas diretamente ao tema
principal da pesquisa (Modelagem Matemática no Ensino) o ‘local’ escolhido para o
fórum foi o Centro Virtual de Modelagem (CVM), por comportar essa ferramenta e por
ter como participantes um número expressivo de membros interessados em
Modelagem.
O Centro Virtual de Modelagem (CVM) é um ambiente virtual, onde professores de matemática poderão encontrar suporte, oferecer ajuda e colaborar no sentido de encontrar soluções para problemas comuns, construir alternativas e debater questões ligadas a Modelagem (Centro ..., 2007).
Esse ambiente é dotado de ferramentas que permitem comunicações síncronas,
como chat e também comunicações assíncronas como correio eletrônico, portfólio e
fórum. Há ainda a ferramenta hipertexto onde além de permitir que arquivos sejam
disponibilizados pelos usuários, permite também a criação de textos de forma
colaborativa.
... o CVM conta com 250 participantes entre alunos de graduação e pós-graduação, professores dos ensinos fundamental, médio e/ou superior, e professores-pesquisadores de diversas instituições do País. Para acessá-lo, é
101
necessária uma identificação mediante login e senha. Depois de realizada essa identificação, o usuário do Centro encontra diversas atividades, relatos, etc. relacionados à Modelagem (Borba, et. al, 2007, p. 105)
Como participante do CVM sabia que poderia a qualquer momento propor um
fórum de discussão nesse ambiente, mas não sabia como fazê-lo. A dúvida era se
poderia simplesmente acessar o ambiente e abrir o fórum ou se teria que comunicar
àqueles que estavam à frente do CVM. Assim foi feito um primeiro contato, por e-mail,
com o idealizador do CVM, Marcelo de Carvalho Borba, no dia 22 de outubro de 2008.
Dois dias depois (24 de outubro de 2008) recebo a resposta de Borba dizendo
que o CVM estava sendo modificado para que num novo ambiente fosse também
possível a utilização de vídeos. A expectativa dele e demais responsáveis pelo novo
CVM, que a partir desse ponto chamaremos de CVM II, é que este começasse a
funcionar três a quatro dias depois (27/10 e 28/10). O fórum passaria a ser, então, uma
das primeiras atividades do CVM II. A resposta foi endereçada a Regina, que lidera o
CVM II, juntamente, com Borba e também para Maria Helena, Nilton e Orlando. Este
último está ligado a questões mais técnicas do CVM II.
Percebi na resposta de Borba que aqueles que já eram inscritos no CVM não
estariam automaticamente inscritos no CVM II e nem estavam sabendo dessa mudança
de ambiente, pois eu era um desses inscritos que tive uma nova inscrição e não estava
sabendo dessas mudanças.
A minha preocupação inicial foi a de que todos os participantes do CVM
soubessem do CVM II e pudessem, assim, participar do fórum. Então acessei o CVM e
enviei uma mensagem para todos que tinham seu e-mail cadastrado no ambiente.
102
No dia 25 de outubro, recebo a resposta do monitor Nilton sobre minha inscrição
no novo ambiente para eu pudesse fazer uma visita e até mesmo abrir o fórum. Com
relação à minha preocupação, Nilton responde que os participantes do CVM não
estariam cadastrados diretamente no CVM II, pois muitos não deixaram e-mail para
contato. O que seria feito então era deixar no CVM o endereço do CVM II assim que
estivesse funcionando.
Nesse e-mail, Nilton fornece meu login e minha senha de acesso para o CVM II.
Assim, no dia seguinte fiz a minha primeira visita ao novo ambiente, que ainda não
estava aberto a toda comunidade.
O CVM é um ambiente constituído com base na conjectura de que há uma sinergia entre mídias e, ao mesmo tempo, será um meio para que questões relacionadas com a Educação a Distância (EaD) e Modelagem sejam investigadas, havendo troca de informações e experiências a partir da participação de professores e pesquisadores... (Centro...2008)
Apontando para essa sinergia no novo ambiente, além das ferramentas antes já
existentes agora se insere um espaço de discussão e investigação de atividades de
modelagem com o uso de vídeos. Além dessas atividades há também espaços como
wiki, biblioteca digital, podcasts e outros como podemos ver do lado esquerdo da figura
abaixo.
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Figura 4 Página inicial do CVM II.
O fórum foi criado com as seguintes características:
Título : Caracterizações de MM no Ensino Descrição resumida : Caracterizações seriam os adjetivos relacionados à modelagem como por exemplo "ambiente de aprendizagem" ou "estratégia de ensino e aprendizagem". (Achamos importante descrever o que entendíamos por caracterizações para esclarecermos um pouco mais as discussões que seriam levantadas no fórum) Descrição completa : As discussões desse fórum farão parte de uma pesquisa que procura compreender as caracterizações dadas à modelagem matemática no ensino. Aqui chamamos de caracterização adjetivos relacionados à modelagem como por exemplo "ambiente de aprendizagem" ou "estratégia de ensino e aprendizagem". Dados individuais, como, por exemplo, nomes dos participantes não serão citados na referente pesquisa. Primeiro tópico : Nomeamos de questão inicial com a seguinte descrição (a questão): Na sua concepção qual a melhor caracterização para modelagem matemática no ensino?
No dia 12 de novembro de 2008 começaram as participações no fórum que
serão expostas a seguir juntamente com nossas observações a respeito das mesmas.
Apesar do fórum ser um espaço aberto, utilizaremos letras maiúsculas para representar
os participantes do fórum, preservando assim, pelo menos nesse trabalho, a sua
identidade como proposto na descrição completa do fórum.
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A proposta de discussão foi aceita e vista como pertinente por uns e indiferente
por outros.
[A] A questão de caracterizar modelagem matemática no ensino tem sido realmente muito debatida. [...] a modelagem no ensino tem peculiaridades que são distintas da modelagem na Matemática Aplicada. [B] Creio que o que importa não é nome. Não creio que [...] nome "ambiente de aprendizagem" por exemplo, carregue uma definição que não exija compreensão por parte do leitor. Sendo assim, acho que não é fundamental que tenhamos uma denominação, mas sim uma concepção.
Em um chat acontecido no ambiente temos uma participação a favor do objetivo
dessa pesquisa. O participante disse estar ciente da pesquisa através do fórum, mas
não teve nenhuma participação nesse.
[D] Acho interessante esse movimento que o Bruno e outros pesquisadores já têm feito de entender melhor as coisas, de conceituar, achar nomes apropriados,[...] ... eu lembro da Paula e da questão de projetos. Parecia que modelagem era projetos.....
Concepções de modelagem matemática no ensino já foram apresentadas e
diferenciam-se, basicamente, pela participação de estudantes e professores na escolha
do tema a ser abordado.
[B] ... o que caracteriza a modelagem no fundamental é a escolha do tema para ser investigado pelo educando. Creio que a possibilidade de que o ponto de partida seja dado pelo aluno é o fundamental. A participação do aluno na escolha do tema pode ajudar a quebrar o tempo da escola tão marcado pela disciplinarização do currículo. [B] E aí a mudança fundamental é a participação do aluno na escolha do tema, e no recorte do problema.
Pelas participações acima, percebemos que os participantes podem não ter feito
a distinção entre caracterização e concepção fazendo-se importante nesse ponto uma
intervenção quanto a isso.
105
[Pesquisador] O que procuro é 'entender' se os adjetivos que antecedem a concepção estão diretamente relacionados a ela. E também, qual a idéia/concepção/conceito tem a pessoa que usa tal adjetivo.
Quanto aos nomes utilizados para caracterizar a Modelagem concordamos em
parte com o participante B sugerindo que o nome pode sim interferir na compreensão
da Atividade pelo leitor. Mesmo o nome não trazendo uma compreensão completa da
forma como se entende Modelagem, pode haver um confronto das duas definições, do
termo utilizado e da Modelagem. Como vemos na participação, do próprio participante
B, os nomes carregam associações e significados que dependem da experiência de
quem escreve ou lê.
[B] Embora eles carreguem associações e significados de usos em outros contexto, dependendo da experiência do leitor.
A utilização do termo ‘melhor’ na questão inicial gerou um incômodo nos
participantes:
[C] ... discutir sobre qual a melhor caracterização seja um tanto quanto delicada. Penso que olhar a modelagem sob um ponto de vista da educação matemática tira todas as certezas que a matemática nos dá, e isso está intrínseco na própria pergunta: "qual a melhor?" [A] ... escolher a melhor caracterização é complicado
Foi sim, um incômodo, mas foi este incômodo que levou os participantes a
exporem possíveis motivos, como por exemplo, aplicações diferentes de modelagem,
concepções diferentes, objetivos diferentes, para existência de tantos nomes.
[C] ... ao escolher uma concepção, devemos ter em mente quais são os nossos objetivos. Sob o ponto de vista de professor, trabalho com todas as perspectivas, entendendo que todas elas devem ser abordadas e se destinam a situações distintas. Porém, ao assumir uma visão de pesquisador, [...] entendo que a perspectiva assumida deve ser clara, bem definida e, acima de tudo, proporcionar que novas descobertas possam ser feitas, e não apenas antecipadas.
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Destaca-se, na participação acima, a diferenciação feita na escolha de
concepção da modelagem quando se está na posição de pesquisador e/ou na posição
de professor.
[A] A diferentes contextos de utilização se adequam diferentes "rótulos" [C] ...depende muito da pergunta que você quer responder. [A] .... acho que podem ser adequadas as [...] caracterizações... Por exemplo, em uma situação onde se escolhe um tema e se tenta responder questões relativas a ele, utilizando recursos variados de pesquisa, trabalhando de forma participativa e colaborativa, a caracterização como ambiente de aprendizagem é bastante adequada. Se for possível sistematizar conteúdos matemáticos a partir de sua relação com os problemas em estudo, a caracterização como estratégia de aprendizagem também me parece bastante adequada.
Percebe-se no último relato que, além de objetivos diferentes, ações e
ferramentas utilizadas na atividade também podem levar a caracterizações diferentes.
Diante dessas primeiras participações lançamos um novo questionamento:
[Pesquisador] Qual ou quais são os motivos, as necessidades a serem satisfeitas, quando se aplica a Modelagem no Ensino?
A primeira participação deixa claro que não há um único motivo, mas sim
diversos, e relaciona esses motivos à concepção de modelagem. A concepção,
entretanto está intimamente ligada à trajetória pessoal do pesquisador e suas crenças.
Para confirmar sua hipótese, relaciona alguns autores e seus motivos para aplicação da
modelagem.
[C] Um vez eu ouvi alguém dizer: "a concepção de modelagem matemática na educação depende muito da trajetória pessoal do pesquisador e de suas crenças". [...] Acredito que os os motivos e necessidades a serem satisfeitas dependem diretamente do "olhar" que se está dando à modelagem. Para alguns, o objetivo é contextualizar a matemática (o foco é a matemática), portanto consideram uma adaptação da modelagem ao currículo (acho que um bom exemplo seriam as idéias de Biembemgut). Outros, como Borba, procuram uma maior participação do aluno no currículo, deixando que a proposta de modelagem venha do estudante (o foco já não está mais na matemática). Já
107
Barbosa foca sua atenção para as discussões dos alunos, procurando usar a matemática para a construção de um pensamento crítico. [...] existindo em alguns momentos intersecções entre os conceitos e em outros, divergências. Mesmo assim, já é possível detectar a diferença de foco e de intencionalidade de cada uma. [...] como professor, acredito que todos os focos são importantes, porém como pesquisador ficaria receoso em utilizar todas ao mesmo tempo, sendo que cada uma têm seu olhar específico.
Concordamos com o motivo relacionado a cada um e acrescentamos que a
adaptação da modelagem ao currículo acontece mais quando há aplicação da
modelagem nos ensinos fundamental e médio. Há algumas exceções quando essa
aplicação é feita em paralelo. Já a participação do aluno no currículo é mais abordada
em cursos superiores, principalmente no ensino de matemática para não-matemáticos.
A participação, abaixo, no fórum expressa esse motivo de maneira clara e objetiva
dizendo que
[B] ... o fundamental em modelagem é a idéia de currículo, a mudança na idéia de currículo.
Nessa mesma linha de pensamento poderíamos citar a professora Araújo (2002)
que, ao lecionar uma disciplina de cálculo para uma turma de Geografia, organizou o
currículo juntamente com a turma através do uso da Modelagem. Já a atenção para
discussão dos alunos, procurando usar a matemática para a formação de pensamento
crítico permeia os trabalhos dos diversos níveis de ensino.
As discussões no fórum pararam nesse ponto. Mesmo com o pedido de
organização do fórum por um dos participantes
[B] Creio que após os diversos comentários e sua intervenção de que iria mudar a pergunta, você deveria reabrir esse fórum, ou abrir um outro para que tivéssemos um novo debate. Faça uma síntese, e reorganize esse fórum.
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Essa síntese foi feita e o fórum foi reaberto com duas questões em tópicos
separados. O primeiro buscava explorar a possível relação entre as concepções e as
caracterizações tendo as seguintes características:
Título : Concepções interferem na caracterização da modelagem? Descrição resumida : A caracterização da modelagem como ambiente de aprendizagem, estratégia de ensino e aprendizagem, metodologia de ensino(para citar algumas delas) está relacionada à concepção de modelagem? Descrição completa : O que encontramos na literatura é que as concepções de modelagem diferenciam-se basicamente pela escolha do tema, se é feita pelos estudantes ou pelo professor, etc.... E as caracterizações, teriam alguma ligação com a concepção, com a forma de aplicação da modelagem? Para aqueles que utizam a modelagem no ensino deixando que o tema seja escolhido pelos estudantes, ela seria caracterizada como o que? Se a concepção fosse outra, a caracterização também seria?
O segundo abordava os motivos relacionados ao uso da modelagem e teve as
seguintes características:
Título : Ao decidir usar a modelagem no ensino, qual o objetivo a alcançar, qual a necessidade a satisfazer? Descrição resumida : Essa questão foi gerada a partir do fórum que tratava das caracterizações dadas à modelagem no ensino. Descrição completa : Nesse fórum discutiu-se que escolher a melhor caracterização para modelagem é complicado, talvez impossível, pois esta estaria ligada à concepção de modelagem de quem aplica ou vai aplicá-la, e que essa esta estaria ligada àquilo que se quer obter.
Essas foram as questões abordadas nessas poucas participações no fórum.
Esperava-se uma participação maior e durante essa participação dar-se-ia um
encaminhamento para discussão sobre os termos utilizados, almejando-se uma
conceituação e/ou significado desses termos. Como isso não aconteceu, inserimos
esse tópico no questionário cujos dados levantados serão exibidos no próximo capítulo.
Creditamos a pouca participação no fórum ao fato de ter havido alteração no
ambiente virtual e haver necessidade de uma nova inscrição o que dificultou a inserção
de muitos interessados em modelagem que participavam do primeiro ambiente. Mesmo
109
assim, as discussões ocorridas foram de grande valia, principalmente, no que tange à
escolha do trabalho com modelagem e à constatação de ela, a modelagem, está ligada
a um motivo ou necessidade a ser satisfeita, e serem esses motivos diversos,
apontando novamente para uma caracterização da Modelagem como uma Atividade e
assim como uma prática Educativa.
Percebemos pelas participações no fórum que um dos motivos para tantos
nomes pode ser a não preocupação com esse fato e também a consideração de que o
nome usado não é importante para o entendimento da prática de Modelagem
Matemática na Educação. Outros pontos teriam uma maior relevância, como por
exemplo: a concepção de modelagem, sua ação sobre o currículo e os objetivos a
serem alcançados pela mesma.
110
6 O QUESTIONÁRIO
O questionário foi aplicado no período de 25 de novembro de 2008 a 10 de
janeiro de 2009, para um grupo de 146 autores que forneceram seus e-mails nos
artigos da III, IV e V CNMEM.
Para a aplicação do questionário foi utilizada a plataforma Google Docs11, na
qual o participante da pesquisa recebe um e-mail que contém um link para acesso ao
questionário e uma mensagem produzida pelo autor do questionário. Ao acessar o link
o participante responde às questões propostas e envia o questionário respondido. As
respostas são, então, armazenadas em uma planilha, que pode ser salva em formato
xls. (exel) ou pdf., para posterior análise. Esse instrumento elimina o incômodo de
receber um e-mail com anexo (o questionário), ter que salvar o anexo, responder ao
questionário e enviar um e-mail com o questionário respondido em anexo.
Dos 146 questionários enviados recebemos resposta de 32 autores12, o que
corresponde a 22%. Um desses 32 autores expôs que não trabalhava com modelagem
no ensino e sim na matemática aplicada. Como nosso objetivo é a Modelagem no
ensino, descartamos as poucas questões respondidas por este autor perfazendo o total
de 31 respostas ao questionário.
11 Para acessar esse serviço da Google: www.google.com.br → mais → Docs 12 Chamaremos os participantes que responderam ao questionário de autores, pois foram selecionados através de seus artigos submetidos às III, IV e V CNMEM.
111
Formação Autores (%)
Graduando 3,2
Pós-graduado (latu-sensu) 9,7
Mestrando 6,5
Mestre 45,2
Doutorando 16,1
Doutor 19,4
Tabela 5 Formação dos autores Fonte: Dados da pesquisa
Quanto ao perfil dos autores, mostrado na Tabela 5, destacamos os 51,6% de
mestrandos e mestres e os 35,5% de doutorandos e doutores.
Atuação Autores (%)
Professor de ensino fundamental 29,0
Professor de ensino médio 35,5
Professor de graduação 61,3
Professor de pós-graduação 25,8
Estudante de graduação 6,5
Estudante de pós-graduação 19,4
Pesquisador 32,3
Tabela 6 Atuação dos autores Fonte: Dados da pesquisa
Na Tabela 6, vemos a modalidade de ensino e pesquisa em que esses autores
atuam, destacando, aqui, os 61,3% atuantes como professores de graduação e os
32,3% que se colocam como pesquisadores.
Apenas 6,5%, o que corresponde a dois autores, afirmaram não ter usado
modelagem em sala de aula. Os outros 29 autores que afirmaram já terem utilizado
modelagem em sala de aula o fizeram desde o ensino fundamental à pós-graduação
(Tabela 7).
112
Nível de ensino Autores (%)
Ensino fundamental 45,2
Ensino médio 25,8
Superior (graduação) 51,6
Pós-graduação 22,6
Tabela 7 Níveis de ensino onde os autores afirmam já terem utilizado a modelagem Fonte: Dados da pesquisa
Destaca-se na Tabela 7, o uso da modelagem no ensino fundamental (45,2%),
mostrando uma preocupação com a mudança na forma de ensinar o que poderá trazer
conseqüências positivas na forma de aprender dos estudantes desde sua formação
básica.
Em média, cada autor já utilizou três dos quatorze termos e/ou expressões
listadas no questionário além da opção “outros”, para caracterizar a modelagem no
ensino. Esses 14 termos e/ou expressões foram listados através dos artigos já
analisados até o momento da aplicação do questionário.
Como podemos verificar no Gráfico 1, a seguir, os termos mais utilizados foram,
ou são, Estratégia de ensino e aprendizagem (58,1%), Ambiente de aprendizagem
(54,8%) e Metodologia de ensino (48,4%). Já os menos utilizados foram Estratégia de
aprendizagem, Prática pedagógica e enfoque didático pedagógico, cada um com 6,5%.
Aqueles que optaram por outros termos relataram mais seis termos que não
estavam na lista. Esses termos foram: 1) Alternativa metodológica; 2) Tendência
metodológica; 3) Sistema de ensino e aprendizagem; 4) Alternativa pedagógica; 5) Um
misto de programa e estratégia e 6) Geradora de um ambiente de aprendizagem,
113
totalizando, assim, 20 termos já utilizados para caracterizar modelagem, isso num grupo
de 32 autores.
Gráfico 1 Termos e expressões utilizados para caracterizar a modelagem
Fonte: Dados da pesquisa
Alguns desses termos estão inseridos na concepção de modelagem de autores
que são mais citados em revisões bibliográficas. Assim, quando o autor do artigo
apresenta concepções e ou definições para modelagem no ensino, nessa já está
inserida, na maioria das vezes, um desses termos. Outros termos podem carregar o
mesmo significado ou serem usados de forma mal controlada, ou seja, sem que haja a
preocupação com o possível significado que eles carregam, ou até mesmo podem estar
sendo usados por modismo.
6,5
6,5
6,5
9,7
9,7
12,9
12,9
16,1
16,1
19,4
19,4
29,0
48,4
54,8
58,1
Enfoque didático-pedagógico
Estratégia de aprendizagem
Prática pedagógica
Prática educativa
Recurso pedagógico
Estratégia de ensino
Opção metodológica
Ferramenta de ensino e aprendizagem
Outro
Estratégia pedagógica
Proposta metodológica
Alternativa diferenciada de conceber o ensino da matemática
Metodologia de ensino
Ambiente de aprendizagem
Estratégia de ensino e aprendizagem
114
Questionados sobre um possível motivo para existência de tantos termos, e
diante de quatro opções, 1) Aplicações diferentes da Modelagem Matemática no
Ensino; 2) Citação de outros autores; 3) Uso de termos e expressões com mesmo
significado e 4) Utilização mal controlada ou por modismo de alguns termos, tivemos as
freqüências relativas apresentas na Tabela 8:
Motivo Autores (%)
Aplicações diferentes da Modelagem Matemática no Ensino 71,0
Citação de outros autores 12,9
Uso de termos/expressões com mesmo significado 29,0
Utilização mal controlada ou por modismo de alguns termos 29,0
Tabela 8 Qual o motivo para a existência de tantas caracterizações? Fonte: Dados da pesquisa
A grande maioria dos autores (71%) aponta aplicações diferentes como um dos
motivos para a existência de tantas caracterizações. Dentre esses, 64% marcaram
apenas essa opção, os outros autores marcaram, em média, quase duas opções e um
disse não saber responder.
Essas aplicações diferentes poderiam estar ligadas a motivos diferentes que
levam ao uso da Modelagem, o que nos levou a apresentar aos autores alguns motivos
que poderiam levá-los a utilizar modelagem. Os motivos apresentados foram: 1) Ensino
de um determinado conteúdo; 2) Utilização do processo de modelagem e 3 )
Conhecimento reflexivo, e o resultado encontra-se no diagrama abaixo.
115
Diagrama 1 Qual o motivo para a utilização da modelagem
Fonte: Dados da pesquisa
Mais da metade dos autores apontam o conhecimento reflexivo como um dos
motivos para o uso da modelagem. 35,5% escolheram esse como o único motivo para
tal aplicação o que corrobora a corrente sócio-crítica proposta por Barbosa (2001), ao
analisar os trabalhos brasileiros com modelagem.
Pensando ainda nos motivos que levariam à existência de caracterizações
diferentes, principalmente no segundo motivo que é “Citação de outros autores”,
levantamos um outro questionamento: Qual(is) dos termos ou expressões você
considera mais apropriados para caracterizar a Modelagem Matemática no Ensino?
Assim, queríamos obter o posicionamento do respondente. O resultado está
apresentado no Gráfico 2.
2
6
11 5 Conhecimento
reflexivo
Ensino de determinado conteúdo
Utilização do processo de modelagem
3 3
1
116
Gráfico 2 Qual(is) dos termos/expressões você considera mais apropriado para caracterizar a Modelagem
Matemática no Ensino? Fonte: Dados da pesquisa
Nesta questão tivemos a escolha de dois termos em média para cada autor, uma
média um ponto menor quando comparada com a questão representada pelo Gráfico 1.
Mesmo continuando com uma grande variedade de termos considerados mais
apropriados, consideramos que os três primeiros, no Gráfico 2, são os mesmos do
Gráfico 1. Foram eles os únicos escolhidos por 5 autores (Ambiente de aprendizagem e
Estratégia de ensino e aprendizagem) e 4 autores (Metodologia de ensino).
É importante ressaltar que um dos autores aproveitou o espaço de uma questão
para expor sua opinião do uso do termo “mais apropriado” dizendo e justificando que:
...não concebo que algum termo seja mais apropriado, é necessário focá-lo temporal e localmente, ou seja, em que lócus está sendo efetuada a discussão
0,0
3,2
3,2
3,2
3,2
6,5
6,5
6,5
9,7
12,9
16,1
22,6
32,3
35,5
41,9
Prática educativa
Estratégia de aprendizagem
Estratégia pedagógica
Prática pedagógica
Proposta metodológica
Enfoque didático-pedagógico
Estratégia de ensino
Opção metodológica
Outro
Ferramenta de ensino eaprendizagem
Recurso pedagógico
Alternativa diferenciada deconceber o ensino da matemática
Metodologia de ensino
Estratégia de ensino eaprendizagem
Ambiente de aprendizagem
117
para podermos optar por uma ou outra nomenclatura, que é mais que um nome, mas é fruto de outras concepções...
Podemos visualizar no Gráfico 3, logo em seguida, a comparação dos resultados
dos dois primeiros gráficos. Nele, percebemos que há uma diferença entre o já ter
usado e achar mais apropriado, resultado esse que pensamos estar associado às
revisões bibliográficas, mesmo não sendo esse o principal motivo, apontado pelos
autores, como responsável por tantas caracterizações.
Gráfico 3 Termos já utilizados e termos considerados mais apropriados
Fonte: Dados da pesquisa
O uso de termos/expressões com os mesmos significados foi também explorado
numa outra questão em que os autores foram convidados a agrupar os termos que,
para eles, teriam o mesmo significado. Esses agrupamentos foram feitos por 14
autores, os quais se diferenciaram bastante e não contemplaram nem a metade dos
6,5
3,2
3,2
0,0
16,1
6,5
6,5
12,9
9,7
3,2
3,2
22,6
32,3
41,9
35,5
6,5
6,5
6,5
9,7
9,7
12,9
12,9
16,1
16,1
19,4
19,4
29,0
48,4
54,8
58,1
Enfoque didático-pedagógico
Estratégia de aprendizagem
Prática pedagógica
Prática educativa
Recurso pedagógico
Estratégia de ensino
Opção metodológica
Ferramenta de ensino eaprendizagem
Outro
Estratégia pedagógica
Proposta metodológica
Alternativa diferenciada deconceber o ensino da matemática
Metodologia de ensino
Ambiente de aprendizagem
Estratégia de ensino eaprendizagem
Já utilizou
Considera mais apropriado
118
termos, não sendo possível, pois, apresentar um agrupamento que se configure como
dos autores. Além desses 14 autores, outros 3 justificaram o não-agrupamento dos
termos.
Para mim, todos se complementam.
Na verdade não considero sinônimos, apenas se forem abordados pelo mesmo autor, aí pode existir alguma correlação.
Posso dizer, por um lado, que não há sinônimos. Mas, por outro lado, arrisco afirmar que todos os termos supramencionados guardam certa correspondência entre si.
Das justificativas acima, destacamos a existência de uma correspondência, um
complemento, entre os termos e não um mesmo significado para mais de um termo.
Isso só se dá quando são abordados por um mesmo autor. Um outro autor afirma que
todos os termos são sinônimos.
Pelo gráfico 4 percebemos que os autores estabelecem uma relação entre os
nomes utilizados e as ações dos diferentes atores no decorrer da atividade, afirmando
que essas ações são diferentes quando se caracteriza a modelagem de forma
diferente. Entretanto pode ser que esses autores tenham relacionado as ações e seus
autores com a concepção de modelagem e não com a caracterização.
119
Gráfico 4 Quando há caracterizações diferentes, as ações também são diferentes?
Fonte: Dados da pesquisa
Por último, os autores são questionados sobre uma possível metodologia para
Modelagem e são levados a fazer uma escolha entre as alternativas seguintes: de 1
(discordo totalmente) a 5 (concordo totalmente), cujo resultado pode ser visto do gráfico
seguinte (Gráfico 5)
1 2 3 4 5
Discordo Totalmente
Concordo
Totalmente
Gráfico 5 A modelagem matemática no ensino possui uma Metodologia? Fonte: Dados da pesquisa
Ainda em relação à metodologia da Modelagem um dos autores expôs que
o que podemos identificar das diferentes concepções de Modelagem são alguns aspectos que são semelhantes, então isso, de alguma forma, caracterizaria uma espécie de Metodologia da Modelagem
Alguns autores ao serem indagados sobre a concepção que tinham dos termos
que achavam mais apropriados para caracterizar modelagem deram as respostas que
ora relacionam dois ou mais termos como ambiente, estratégia, metodologia, programa
61%
39% Sim
Não
90% 10%
120
e prática e ora explicitavam a sua definição de um termo em específico como ambiente
de aprendizagem, método e metodologia. Vejamos:
Um ambiente no qual está inserida uma estratégia, guiada por uma metodologia, configurando uma prática, ou seja, o termo ambiente contempla todas as noções.
Atualmente, concebo a modelagem como um misto de "programa" e de "estratégia". Por ser dotada de etapas, prescrições e/ou regras, identifica-se com o termo "programa". Pelo fato de um programa não ser suficiente (embora necessário) para o enfrentamento das incertezas do porvir, vejo que a modelagem, [...] precisa ser entendida, outrossim, como dotada do espírito de estratégia e/ou de criatividade. Como os fenômenos naturais e sociais possuem o duplo aspecto da "ordem/certeza" e da "desordem/incerteza", a modelagem, enquanto programa, diz respeito (ou procura alcançar) a ordem, e, enquanto estratégia, diz respeito (ou procura dialogar com) a desordem.
Ambiente de aprendizagem: refere-se às condições que oferecemos aos alunos para desenvolverem suas ações.
Uma metodologia de ensino é a característica de suas aulas, sempre segue esta mesma direção.
A modelagem é um método, não uma metodologia. Metodologia é um conjunto de métodos. Logo ela é opção entre outros métodos.
Alternativa Metodológica - uma forma diferente de se fazer.
Como se pode perceber até aqui, a Modelagem tem sido utilizada nos mais
variados níveis de ensino, por profissionais com diversas formações. Constatamos,
também, que a metodologia de abordagem da Modelagem constitui um ponto de
interseção entre diferentes concepções.
Esses pontos seriam a escolha do tema, coleta e análise dos dados e as
conclusões ao final de cada trabalho. O que muda nesses pontos é o ator que pratica
tais ações, as operações realizadas para atingir os objetivos dessas ações e as
condições para tais realizações. Tudo isso por um motivo que, em grande parte dos
artigos, constitui um misto de ensino de um conteúdo, utilização do processo de
121
modelagem e conhecimento reflexivo com um apontamento maior para o conhecimento
reflexivo como visto no Diagrama 1.
Tomando, então, a Metodologia da Modelagem como uma Atividade composta
de um motivo, ações e objetivos, operações e condições, observamos que a
caracterização como prática educativa contempla as concepções de Modelagem e até
mesmo as caracterizações como ferramentas, estratégias e ambientes de
aprendizagem, apesar de os autores não colocarem este termo como uma boa
representação para Modelagem.
122
CONSIDERAÇÕES FINAIS E SUGESTÃO PARA TRABALHOS
FUTUROS
A utilização da modelagem, que teve início em cursos de graduação para não
matemáticos já atingiu todos os níveis de ensino, desde a educação infantil, esta ainda
com menor incidência, até programas de mestrado.
Há uma maior incidência em cursos de graduação com destaque, agora, para o
curso de licenciatura em Matemática, o que pode explicar uma alta concentração de
aplicações no ensino fundamental. Isso reforça a idéia de que professores e futuros
professores de Matemática vivenciem o processo de modelagem como alunos para que
possam sentir-se encorajados e um pouco mais seguros para proporem esta aplicação
em suas salas de aula.
A grande maioria dos trabalhos analisados pode ser classificada em um dos
casos descritos por Barbosa (2001a e 2001b), quando já não explicitam no corpo do
próprio texto essa classificação.
A diferença entre as concepções da modelagem deve-se, entre outros motivos,
às adaptações que são feitas para que seja possível a sua aplicação em diversas
situações e condições de ensino, a necessidade a ser satisfeita, a relação entre
matemática e realidade, entre outros. Isso nos evidencia a interferência do ambiente
socialmente construído sobre a modelagem.
123
As políticas pedagógicas de cada escola, o perfil do estudante e do professor, o
objetivo da escola, pais e alunos, determinam as adaptações que são necessárias para
o cumprimento do currículo. Assim, ao escolher um tema, o professor já deve conhecer
algumas possibilidades de encaminhamento para o cumprimento de algum conteúdo
específico, o que justifica os mais de 50% dos trabalhos serem classificados no caso 2
descrito por Barbosa.
Outro motivo que leva a mudanças no processo de modelagem difere de pelo
menos um dos motivos que levam professores a utilizá-la: a quebra da linearidade do
currículo. Essas mudanças estariam no caminho inverso: a modelagem se adaptando
ao currículo e não o currículo se adaptando ao trabalho com modelagem.
Posicionando-nos sobre isso, o que importa é que não podemos perder de foco o
estudo de situações da realidade e uma maior autonomia e participação por parte do
estudante no processo quando se propõe a trabalhar com modelagem. Felizmente essa
maior participação e autonomia tem sido considerável, o que podemos justificar pela
pouca quantidade de trabalhos que puderam ser classificados no caso 1.
Para a proposição dos três casos, Barbosa (2001a e 2001b) os diferenciou pelo
agente de quatro ações ou etapas: escolha do tema; formulação do problema; coleta de
dados e resolução do problema, envolvendo a análise dessa resolução. Aponta-se,
então, um caminho para ser seguido, claro que não rigorosamente.
As diversas adaptações do processo de modelagem e a busca por proporcionar
ao professor um pouco mais de segurança na sua aplicação fez com que autores, como
já vimos, Burak (2008), Biembengut e Hein (2003), Bassanezi (2002) entre outros,
124
sugerissem etapas, também, não estáticas, com obrigatoriedade de ordenação.
Juntando isso ao processo de Modelagem da Matemática Aplicada, berço da
Modelagem no ensino, consideramos que a Modelagem possui uma metodologia sendo
que essa idéia foi bem aceita entre aqueles que responderam ao questionário e
também é facilmente percebida nos relatos das experiências com a modelagem.
A diversidade de aplicações da modelagem, em contextos diferentes, foi
levantada como um importante fator para tantas caracterizações, nomes, atribuídos à
modelagem. Mesmo assim não consideramos que temos tantas concepções como
temos tantos nomes. Concepções diferentes surgem, como já vimos, de diferentes
aplicações, objetivos e outras concepções. A diferença nessas aplicações não se
encontra somente nas ações, que possuem pouca diferença, mas nos sujeitos dessas
ações e nas situações em que elas ocorrem: em referência à realidade, à semi-
realidade ou à matemática.
Concordamos que a utilização desses termos depende da experiência do autor,
de suas concepções e locus onde está inserido. Recorremos então a sinônimos ou
termos com certa semelhança de forma a possibilitar o agrupamento de alguns desses
termos, diminuindo o impacto de quando nos colocamos frente às três tabelas contidas
nesse trabalho que enumeram esses termos.
A partir de nossa concepção de prática educativa - Toda Atividade mobilizada
para instauração do conhecimento - apresentamos o quadro abaixo que mostra o
agrupamento de muitos desses termos em três blocos: 1) Estratégia, 2) Ferramenta,
que contempla termos como recurso e instrumento e 3) Metodologia e método.
125
METODOLOGIA E MÉTODO
Abordagem metodológica
Alternativa metodológica
Alternativa metodológica de ensino
Caminho para o ensino e aprendizagem
Caminho alternativo
Estratégia metodológica
Instrumento metodológico
Método
Método alternativo de ensino
Método de ensino
Metodologia
Metodologia de ensino
Metodologia de ensino-aprendizagem
Opção metodológica
Proposta metodológica
Recurso metodológico
Programa
Procedimento
FERRAMENTA
Ferramenta de ensino para a etnomatemática
Ferramenta de ensino-aprendizagem
Ferramenta no processo de ensino-aprendizagem
Recurso didático
Recurso pedagógico
Instrumento pedagógico
ESTRATÉGIA
Estratégia alternativa para o ensino da matemática
Estratégia de aprendizagem
Estratégia de ensino
Estratégia de ensino-aprendizagem
Estratégia pedagógica
Quadro 4 A
grupamento dos term
os usados para caracterizar a Modelagem
em três blocos.
Fonte: D
ados da pesquisa
126
Ficaram ainda fora desse quadro conceitos que, na nossa concepção são
constituídos por Metodologia, estratégias e ferramentas. Esses termos mais amplos
seriam Prática (educacional, educativa e pedagógica) e Ambiente de aprendizagem e
de ensino e aprendizagem, sendo que Prática Educativa abordaria ainda ambiente de
aprendizagem como citado por Moreira (2007): “A prática educativa constitui um
ambiente de aprendizagem desde a sua organização inicial fundada em certa
concepção de aprendizagem até a sua realização singular”.
O termo Atividade inserido em nossa concepção de prática educativa levou-nos
ao agrupamento dos termos no quadro 4 ao tomarmos que toda atividade seria
instigada por uma necessidade a satisfazer, ou seja, há um motivo que está
diretamente ligado ao objeto dessa atividade. Essa atividade é, então, desenvolvida
através de diversas ações que caracterizariam uma certa metodologia carregada de
métodos, as quais estão ligadas a determinados objetivos que estão claros para
aqueles que as praticam e estão intimamente relacionados com o motivo da atividade
em questão. Essas ações podem ser realizadas de diversas maneiras, ou seja cada
ator ou grupo de atores lançaria mão de certas estratégias que iriam compor as
operações que dependem das condições que se tem para realizá-las, condições essas
que englobam as ferramentas disponíveis.
Não incluímos no quadro e nem nos parágrafos acima termos como Alternativa
de ensino, pois aceitamos que a expressão “alternativa” se encaixa em todos os outros
termos. Quando se tem mais de uma prática, ou mais de uma ferramenta, ou mais de
uma metodologia, tem-se aí várias alternativas.
127
Percebemos, então, que a Modelagem Matemática na Educação não possui
tantas caracterizações assim. As expressões foram sendo desmembradas, como por
exemplo, às vezes se usa a expressão ensino e aprendizagem, outras, se usa só
ensino, ou só aprendizagem como observado na leitura dos anais da V CNMEM. Já
outros termos foram, ao contrário, sendo acrescidos às expressões antes utilizadas.
Esses se configuram como outros motivos que podem ter causado essa gama enorme
de termos e/ou expressões.
Com aporte em nosso constructo teórico e dados levantados e analisados,
interpretamos a Modelagem Matemática como uma Prática Educativa pautada pela
metodologia que ela carrega. Apesar de esse termo, Prática Educativa, não ser
considerado, pelos autores que responderam ao questionário (Gráfico 2) como sendo
mais apropriado para caracterização da Modelagem, levando-os a, nesta busca por
entender o porque de tantos termos, propor mais um.
A modelagem caracteriza-se como uma Atividade que tem motivos/necessidades
para ser proposta, como por exemplo mudança no ensino da matemática, mudança no
currículo, formação sócio-crítica, dentre outros apontados na leitura e análise dos anais.
A busca por sanar esses motivos/necessidades é então feita por meio de ações como
escolha de um tema de interesse dos alunos, desenvolvimento de conteúdos, reflexão e
avaliação, etc. com objetivos próprios, que são delegadas a diferentes atores individual
ou coletivamente e os sujeitos dessas atividades seriam alunos e professor
Esses diferentes atores, na busca por atingir os objetivos propostos em suas
ações realizam operações que são condicionadas por ferramentas e signos, que
128
englobam, entre outros, suas próprias estratégias, motivação, encaminhamento da
atividade, recursos tecnológicos, etc.
Essa prática educativa (Modelagem Matemática), então, constitui um ambiente
de aprendizagem que busca dar importância às experiências dos estudantes e propicia
novas experiências no processo de busca e produção do conhecimento. Esse processo
se dá através da investigação, explorando a participação do estudante no processo de
ensino e aprendizagem, abrindo espaço para manifestação do seu posicionamento com
relação à atividade proposta, dando a ele a oportunidade de compartilhar com o
professor o controle do processo, que pode ser avaliado pela observação e negociação
durante todo o processo.
Negociar é criar um espaço de direção para as mudanças da sociedade [...], somos também levados a crer que soluções novas são possíveis. Negociar é criar relações sociais,[...]. Negociar de maneira autêntica é reunir os meios para agir, partido-se das informações possuídas por cada um para encontrar soluções complementares, como para criar uma situação nova (VENTURA, 2001, p.128).
Em que grau as características de um ambiente sócio-construtivista, expostas
por Taylor, Fraser e Fischer (1997), a saber: relevância pessoal, incerteza, voz crítica,
controle compartilhado e negociação, serão expressos, dependerá da concepção de
modelagem adotada, dependo das crenças, conceitos, significados, regras, imagens
mentais e preferências (BARBOSA, 2001) do professor que toma a Modelagem como
Prática Educativa. Um maior ou menor grau de autonomia e sistematização da/na
prática educativa – Modelagem Matemática acarretará uma mudança no ambiente.
A figura abaixo (Figura 6) representa os casos de Barbosa (2001) relacionados
com os dois fatores, sistematização e autonomia, que para Moreira (2007) e Bragança,
129
Ferreira e Pontelo (2008) concentrariam os fatores que influenciam num ambiente de
aprendizagem como “responsabilidades dos alunos e do professor, metodologia,
conteúdo, atividades, materiais, fundamentação teórica, etc” (ARAÚJO, 2006, p.60).
Figura 5 Relação entre os casos de Barbosa e fatores que influenciam um ambiente de aprendizagem
Na figura temos os casos descritos por Barbosa sendo representados numa
escada, figurando, assim, uma forma gradual de implementação da modelagem em sala
de aula. Pensando, realmente, numa escada, justifica-se colocar o caso 1 não mais ao
nível do chão porque já configura uma ruptura em relação a práticas educativas “mais
tradicionais”. A diferença existente em relação à dimensão comprimento de cada
degrau busca representar a zona de conforto que vai sendo diminuída ao subirmos a
escada e a diferença na dimensão altura de um degrau para o outro representa a
dificuldade de enfrentar a transição de uma “zona de conforto13 em que quase tudo é
conhecido, previsível e controlável” (BORBA e PENTEADO, 2005, p.56) para uma
13 Conforto, para os autores, tem o sentido de pouco movimento.
AUTONOMIA
SISTEMATIZAÇÃO
130
“zona de risco, na qual é preciso avaliar constantemente as conseqüências das ações
propostas” (BORBA e PENTEADO, 2005, p.56).
A base da escada representa o grau de sistematização e autonomia que
caracterizaria o ambiente de aprendizagem, dando um caráter mais formal ao ensino e
aprendizagem à medida que se tem uma maior sistematização e menor autonomia.
Uma prática educativa pautada pela metodologia da modelagem pode ainda
constituir outros ambientes de aprendizagem, além de modificar o ambiente de
aprendizagem escolar, devido, principalmente, à relevância pessoal que esse tipo de
atividade pode mobilizar, influenciada pela concepção de Modelagem adotada.
Uma prática educativa como essa engloba vários aspectos, pessoas ou um
grupo delas, formando assim uma comunidade que, de uma forma ou de outra,
inserem-se e fazem diferença na prática: as regras que são impostas e podem colocar-
se como um obstáculo ou não, a divisão do trabalho, o sujeito a quem ela é
direcionada, o objeto dessa prática, os artefatos que serão utilizados na busca de um
resultado/produto através da produção, consumo, distribuição e troca de experiências,
informações, descobertas, etc. além das contradições envolvidas na Atividade.
São estes aspectos e suas relações que Engestrom (1987) apresentou em seu
diagrama ao estender o triângulo que relacionava apenas o sujeito e o objeto através
dos artefatos e que Pontelo e Moreira (2008) apontam como “referencial de análise de
práticas educativas”.
131
Utilizando esse diagrama para analisar a Modelagem Matemática como prática
educativa podemos visualizar os aspectos relacionados acima.
Diagrama 2 Um Diagrama de Engestrom para a Prática Educativa de Modelagem Matemática.
Vendo a Modelagem Matemática na Educação como uma prática educativa
pautada por sua metodologia que deve ser analisada durante o processo e ainda,
concordando com Pontelo e Moreira (2008), sugerimos, para trabalhos futuros, a
análise de atividades de Modelagem, tendo como base o diagrama de Engestrom. Isso
poderá ajudar professores, pesquisadores e alunos a entenderem e relatarem situações
pontuais envolvidas nessa prática, dando maior aporte àqueles que pretendem utilizar
ou já utilizam a Modelagem em suas aulas.
ARTEFATOS MEDIADORES (textos, livros didáticos e
paradidáticos, softwares, relatórios)
DIVISÃO DO TRABALHO (professor e estudantes,
estudantes com estudantes)
REGRAS (currículo, trabalho em grupo,
estudo sobre a realidade, prazos, avaliação)
COMUNIDADE (estudantes, professor(es), autores de artigos e livros, família e outras pessoas
consultadas)
SUJEITO (estudante)
OBJETO (tema proposto ou
escolhido)
PRODUTO (estudo de um determinado conteúdo,
reflexão sócio-crítica)
PRODUÇÃO CONSUMO
DISTRIBUIÇÃO TROCA
132
REFERÊNCIAS
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BARBOSA, J. C. Modelagem Matemática: Concepções e experiências de futuros professores. 2001a. 253f. Tese (Doutorado em Educação Matemática) – Instituto de Geociências e Ciências Exatas, UNESP, Rio Claro. 2001.
BARBOSA, J. C. Modelagem na Educação Matemática: contribuições para o debate teórico. In: REUNIÃO ANUAL DA ANPED, 24., 2001, Caxambu. Anais... Rio Janeiro: ANPED, 2001b. Disponível em: <http://www.uefs.br/nupemm/>. Data de acesso: 11 de novembro de 2008. BARBOSA, J. C. Modelagem Matemática: O que é? Por que? Como? Veritati, n. 4, p 73-80, 2004. Disponível em: <http://www.uefs.br/nupemm/>. Data de acesso: 11 de novembro de 2008. BASSANEZI, R. C. Ensino-aprendizagem com Modelagem Matemática: uma nova estratégia. São Paulo: Contexto, 2002. 389p.
BIEMBENGUT, M. S. e HEIN, N. Modelagem Matemática no Ensino. 3ª ed. São Paulo: Contexto, 2003. 127 p.
BIEMBENGUT, M. S., Mapping of Mathematical Modelling in Brazilian Education. In.: ICTMA Newsletter, Volume 1, Number 2. December, 2007. Disponível em: <http://www.ictma.net/newsletter/ICTMANewsletterVol.1%20No.2.pdf>. Data de acesso: 29 de fevereiro de 2008.
BIGGE, M. L. Teorias da aprendizagem para professores.São Paulo: EPU, 1977.370p.
BORBA, M. C. e ARAÚJO, J. L. (orgs). Pesquisa Qualitativa em Educação Matemática. Belo Horizonte: Autêntica, 2004. 118p.
133
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LUNA, Ana Virginia de Almeida; ALVES, Josélia. Modelagem matemática: as interações discursivas de crianças da 4ª série a partir de um estudo sobre anorexia. In: CNEMEM, 5., 2007, Ouro Preto. Anais... . Ouro Preto, 2007. p. 855 - 876. CD-ROM.
OLIVEIRA, Andréia Maria Pereira de; CAMPOS, Ilaine da Silva. As estratégias do professor a partir do “convite inicial” nas atividades de modelagem matemática. In: CNEMEM, 5., 2007, Ouro Preto. Anais... . Ouro Preto, 2007. p. 239 - 252. CD-ROM.
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SALVADOR, José Antonio. Ensinando e aprendendo com projetos, modelagem matemática e a arte de resolver problemas. In: CNEMEM, 5., 2007, Ouro Preto. Anais... . Ouro Preto, 2007. p. 821 - 842. CD-ROM. SANT’ANA, Alvino Alves; SANT’ANA, Marilaine de Fraga. Modelagem matemática: uma experiência inicial. In: CNEMEM, 5., 2007, Ouro Preto. Anais... . Ouro Preto, 2007. p. 253 - 265. CD-ROM. SANTOS, Fábio Vieira Dos; ALMEIDA, Lourdes Maria Werle de. A utilização do computador pelos estudantes em uma situação de modelagem matemática. In: CNEMEM, 5., 2007, Ouro Preto. Anais... . Ouro Preto, 2007. p. 687 - 705. CD-ROM. SILVA, Elizabeth Gomes Souzaivo Pereira da; WIELEWSKI, Gladys Denise; GAZZETTA, Marineusa. A modelagem matemática presente no curso de formação de professores de matemática- projeto parceladas- unemat- vila rica- mt. In: CNEMEM, 5., 2007, Ouro Preto. Anais... . Ouro Preto, 2007. p. 1028 - 1039. CD-ROM. SILVA, Maria Deusa Ferreira da. O uso da modelagem matemática no curso de elementos de cálculo para engenharia florestal. In: CNEMEM, 5., 2007, Ouro Preto. Anais... . Ouro Preto, 2007. p. 706 - 721. CD-ROM. SOUZA, Elizabeth Gomes. Um debate sobre o uso da modelagem matemática a partir das inferências dos alunos. In: CNEMEM, 5., 2007, Ouro Preto. Anais... . Ouro Preto, 2007. p. 888 - 906. CD-ROM. SOUZA, Elizabeth Gomes; SANTO, Adilson Oliveira do Espírito. A organização escolar em ciclos: um caminho para incluir a modelagem matemática na prática escolar docente. In: CNEMEM, 5., 2007, Ouro Preto. Anais... . Ouro Preto, 2007. p. 784 - 804. CD-ROM. THOMAZ NETO, Mario Oliveira; XAVIER, Jocimar Albernaz. Explorando a lei dos senos e lei dos cossenos a partir da modelação do telhado duas aguas. In: CNEMEM, 5., 2007, Ouro Preto. Anais... . Ouro Preto, 2007. p. 305 - 316. CD-ROM.
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APÊNDICE A – QUESTIONÁRIO Questionário - Modelagem Matemática no Ensino: Comp reensão de Significados
Este questionário faz parte de uma pesquisa de mestrado,que está sendo desenvolvida
no CEFET-MG, que visa compreender as caracterizações dadas à modelagem
matemática no ensino. As caracterizações se remetem aos nomes dados à modelagem.
Seu endereço eletrônico foi selecionado através dos anais das III, IV e V CNMEM, por
ser um autor de relato de experiência ou comunicação científica nestes eventos.
Os dados individuais não serão divulgados. Para responder ao questionário é só
acessar o link acima, responder às questões e clicar em submit.
Obs: Em algumas questões você poderá marcar mais de uma opção.
Desde já agradeço a sua contribuição, que é de suma importância para esta pesquisa.
Bruno Bragança (mestrando)
1. Endereço eletrônico 2. Atuação 1. ( ) Professor de ensino fundamental 2. ( ) Professor de ensino médio 3. ( ) Professor de graduação 4. ( ) Professor de pós-graduação 5. ( ) Estudante de graduação 6. ( ) Estudante de pós-graduação 7. ( ) Pesquisador 3. Formação 1. ( ) Graduando 2. ( ) Graduado 3. ( ) Pós-graduando (Latu-Sensu) 4. ( ) Pós-graduado (Latu-Sensu) 5. ( ) Mestrando 6. ( ) Mestre 7. ( ) Doutorando 8. ( ) Doutor 9. ( ) Outros 4. Já utilizou modelagem matemática em sala de aula? 1. ( ) Sim 2. ( ) Não
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5. Em qual nível de ensino? (Se a resposta acima foi não desconsidere essa e a próxima questão) 1. ( ) Fundamental 2. ( ) Médio 3. ( ) Superior (graduação) 4. ( ) Pós-graduação 6. Qual (is) deste (s) termo (s) ou expressão (ões) você já utilizou para caracterizar modelagem matemática no ensino? 1. ( ) Alternativa diferenciada de conceber o ensino da matemática 2. ( ) Ambiente de aprendizagem 3. ( ) Enfoque didático-pedagógico 4. ( ) Estratégia de aprendizagem 5. ( ) Estratégia de ensino 6. ( ) Estratégia de ensino e aprendizagem 7. ( ) Estratégia pedagógica 8. ( ) Ferramenta de ensino e aprendizagem 9. ( ) Metodologia de ensino 10. ( ) Opção metodológica 11. ( ) Prática Educativa 12. ( ) Prática pedagógica 13. ( ) Proposta metodológica 14. ( ) Recurso pedagógico 15. ( ) Outro __________________________________________ 7. Se você marcou “outro” na questão anterior escreva qual o termo ou expressão utilizada. 8. Dos termos ou expressões acima agrupe aqueles que, em sua opinião, são sinônimos. Para fazer o agrupamento separe os grupos com duas barras e os termos ou expressões de um mesmo grupo por vírgula. 9. Qual o seu motivo para o uso de Modelagem Matemática em sala de aula? 1. ( ) Ensino de um determinado conteúdo 2. ( ) Utilização do processo de modelagem 3. ( ) Conhecimento reflexivo 10. Qual dos termos/expressões, você considera mais apropriado para caracterizar modelagem matemática no ensino? 1. ( ) Alternativa diferenciada de conceber o ensino da matemática 2. ( ) Ambiente de aprendizagem 3. ( ) Enfoque didático-pedagógico 4. ( ) Estratégia de aprendizagem 5. ( ) Estratégia de ensino 6. ( ) Estratégia de ensino e aprendizagem 7. ( ) Estratégia pedagógica
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8. ( ) Ferramenta de ensino e aprendizagem 9. ( ) Metodologia de ensino 10. ( ) Opção metodológica 11. ( ) Prática Educativa 12. ( ) Prática pedagógica 13. ( ) Proposta metodológica 14. ( ) Recurso pedagógico 15. ( ) Outro __________________________________________ 11. Qual a sua concepção sobre o termo escolhido 12. Na sua opinião, qual o motivo para existência de tantas caracterizações? 1. ( ) Citação de outros autores 2. ( ) Uso de termos e/ou expressões com mesmo significado 3. ( ) Aplicações diferentes para a modelagem na educação matemática 4. ( ) Utilização mal controlada dos termos 5. ( ) Não sei responder 13. Quando há caracterização (nome) diferente para modelagem matemática no ensino as ações dos diferentes atores mudam? ( ) Sim ( ) Não 14. Modelagem matemática no ensino possui uma metodologia? 1 2 3 4 5 Discordo Totalmente Concordo Totalmente
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