A Modelagem MatemáticaUma tendência da Educação Matemática

Daniel SombraEdwillson FilhoJosane Martins

Educação Matemática

Finalidades

1) Desenvolver, testar e divulgar métodos de ensino.

2) Elaborar e complementar mudanças curriculares.

3) Desenvolver e testar materiais de apoio para o ensino da matemática

Objetivos da Ed. Matemática

- Desenvolvimento do poder dos alunos e dos indivíduos em sociedade, quer para ultrapassar barreiras do seu desenvolvimento em termos de educação e emprego, quer no sentido de aumentar a sua auto-determinação e o seu envolvimento crítico na cidadania social.

- Mudança social em direção a uma sociedade mais justa e mais igualitária. Na prática escolar isto significa o questionamento permanente e sistemático, abrindo espaços de discussão e permitindo o conflito de opiniões e pontos de vista, o questionamento dos temas matemáticos e da sua relevância e a negociação de objetivos partilhados.

Competências do professor no século XXI.

- Contextualizar o aluno na complexa realidade política e social do mundo humano.

- Adequar e equipar o aluno frente à velocidade, dinamicidade e fluidez das relações humanas.

- Dar ao aluno a compreensão das consequências das atividades humanas no planeta habitado.

- Auxiliar e guiar o aluno no seu processo de auto-re-construção de si mesmo.

- Auxiliar o aluno a construir uma nova dinâmica social, em conjunto com os demais seres humanos.

Habilidades do professor no século XXI

As duas principais habilidades do professor no século XXI:

- O professor deverá estar apto às constantes reflexões de sua própria dinâmica de ensinar, frente à mutação generalizada das atividades humanas com consequências diretas no o que ensinar, como ensinar e por quê ensinar.

- O professor deverá, também, está apto a captar, dentro do contexto das inovações tecnológicas, o que poderá ser útil e aplicável ao processo educacional, tendo sempre em vista a manutenção do aluno em sala de aula.

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O segredo do profissional do século XXI

Uma nova civilização está emergindo em nossas vidas, e homens cegos, em todos os lugares, estão tentando suprimir isso. Esta nova civilização traz consigo novos estilos de família, mudanças de caminhos no trabalho, amor e vida; uma nova economia; novos conflitos políticos; e além de tudo, uma consciência alterada. Pedaços desta nova civilização existem hoje. Milhares já estão sintonizando suas vidas aos ritmos do amanhã. Outros, amedrontados pelo futuro, estão engajados num vôo desesperador e fútil ao passado e, estão tentando restaurar o mundo morto que deu o nascimento à eles… O amanhecer desta civilização é simplesmente o fator mais explosivo do tempo de nossas vidas.

Toffler

A Modelagem Matemática no ensino.

Tendo como base a teoria construtivista de Jean Piaget, pode-se afirmar que a construção de uma determinada ideia acarretará em uma internalização do conteúdo com êxito muito maior que a mera transmissão em vai única de conteúdos professor-aluno. A Modelagem Matemática entra nesse contexto como propulsora de uma relação mais estável entre os alunos e a Matemática.

A Modelagem Matemática consiste na elaboração de um determinado modelo de atividades que proporcionarão aos alunos diversas dúvidas referentes ao contexto escolhido que para serem respondidas necessitarão de conteúdos matemáticos.

Para se obter resultados adequados é preciso ter em mente que este é um processo lento, que demanda uma grande quantidade de tempo. O planejamento é a “chave do sucesso”. O docente deverá ter todo o processo esquematizado e estar preparados para auxiliar o aluno nas mais diversas dificuldades que este encontrar.

Etapas de aplicação da Modelagem Matemática em sala de aula, segundo Biembengut

a) Apresentação do processo.

O professor esquematiza ao aluno como vai proceder em relação às aulas no decorrer de um determinado período letivo.

b) Escolha do tema.

Após a exposição do modelo, o professor sugere que os alunos agrupem-se, incentivando-os na escolha do tema, de acordo com seus interesses e afinidades.

c) Planejamento do trabalho a ser desenvolvido pelos grupos.

O professor propões que cada grupo:

. Levante questões obre os tema;

. Faça uma pesquisa a fim de se familiarizar com o tema;

. Entreviste um especialista no assunto, em momento adequado e se for conveniente.

d) Orientação no processo

O professor deve tomar este planejamento, bem como os questionamentos , não só para se inteirar do tema escolhido, mas também para orientar cada grupo, em particular, quanto à ordem dos problemas a serem resolvidos.

e) Conteúdo matemático

A medida em que os alunos forem avançando nas pesquisas para satisfazer os questionamentos o professor fará explanações necessárias para que os alunos prossigam na busca.

f) Apresentação dos modelos matemáticos.

O professor apresenta modelos prontos, ou expõe os modelos até então desenvolvidos pelos grupos, a fim de aprofundar sua bases teóricas, provocando interação entre os grupos.

g) Validação dos trabalhos apresentados.

O professor expões em que circunstâncias são válidos os modelos desenvolvidos pela turma, e complementa com outros modelos.

Esquema da Modelagem Matemática

Onde está a Matemática?

Onde está a Matemática?

Exemplo de modelo proposto por Biembengut e Hein.

1. A forma ótima: Mínima área X Máximo volume.

Sabemos que ao comprar um produto, não pagamos só por este, mas também por sua embalagem. Atualmente o fabricante além de procurar oferecer um bom produto, com boa aparência, necessita baratear o custo do produto. Na embalagem uma das propostas é estabelecer um formato que utilize quantidade mínima de material e o máximo aproveitamento ou volume.

Qual é a forma ideal para uma embalagem?

Vamos responder em três etapas.

Primeira etapa de formulação e resolução.

Primeiro, tomemos uma embalagem de leite. A forma é de prisma de base retangular.

Seria a forma ideal? De menor custo?De melhor manuseio?

Veja agora a embalagem de óleo comestível, na forma de um cilindro e com a mesma capacidade, isto é, capacidade para um litro. Em seguida, calcular a quantidade material – área – necessária para cada uma delas , supondo que o volume (V) seja o mesmo para ambas.

O volume de um sólido geométrico é a medida do espaço ocupado por este. Por exemplo, o volume de um prisma pode ser calculado multiplicando as três medidas correspondentes à altura (h), à largura (a) e ao comprimento (b), ou seja:

Volume = altura X largura X comprimentoou

V = h . (a . b)

Observamos que largura X comprimento = área da base, logo

Volume = área da base X altura

V =Ab . h

O volume do cilindro também pode ser determinado pelo produto da área da base pela altura.

V = Ab . h

Como a base do cilindro é circular, então a área da base é dada por π X r², logo:

V = π . r² . h

A diferença entre o volume ocupado pela embalagem e a capacidade é que ao determinar o volume (produto entre as medidas externas do sólido) tem-se a medida que o sólido ocupa no espaço; e determinado o volume interno do sólido tem-se a capacidade. A unidade de medida de volume é metro cúbico, para capacidade converte-se em litros.

Supondo que as embalagens tenham o mesmo volume (V) e mesma altura (h), chamando o volume do prisma de V1 e a do cilindro de V2, tem-se:

V1 = V2

a . b . h = π . r² . h

Cancelando h, obtemos:

a . b = π . r²

Onde a e b são, respectiva medidas dos lados (largura e comprimento).

Tomando a = 6 cm, b = 9 cm, temos:

π . r² = 54 cm² e, portanto, r = √ 54 / π cm ≈ 4,15 cm

Com esses valores podemos calcular as áreas das superfícies das duas embalagens.

Iniciando pelo cálculo da caixa na forma de um prisma de base retangular, teremos quatro fases e duas bases na forma retangular. Usando o exemplo anterior, ou seja, da caixa com as medidas a = 6 cm, b= 9 cm e h = 16 cm

Área total = At = 2 (16 . 9) + 2 (16 . 6) + 2 (6 . 9) = 588 cm²

Área total = 588 cm²

Agora, passemos ao cálculo da caixa na forma de um cilindro.

Área = c (contorno) X h (altura)

A = área lateral + área das bases

A = ( 2 . π . r . h) + (2 . π . r²)

Substituindo na expressão os valores:

h = 16 cm e r = √54 cm²/π

Área total ≈ 524,79 cm²

Embora as embalagens dadas tenham o mesmo volume e a mesma altura, as áreas não são as mesmas, isto é, uma embalagem na forma retangular utiliza mais material que uma na forma cilíndrica:

588 cm² > 524,79 cm²

A diferença é pequena, porém, quando somamos essa diferença é significativa!

Obs.: Ignorou-se as dobras.

Segunda etapa: generalização do problema

O exemplo apresentado mostra que a área total de um prisma é maior que a área total de um cilindro com o mesmo volume e a mesma altura. Vamos verificar agora se esta relação é válida para quaisquer medidas. Temos:

Volume do prisma: largura X comprimento X altura

V = (a . b) . h

Volume do cilindro: área da base X altura

V = (π . r²) . hOnde a e b são as respectivas medidas dos lados do prisma (largura e comprimento), r o raio do cilindro, e h a altura do cilindro e do prisma.

Considerando os volumes iguais para os dois sólidos, obtemos:

V1 = V2

b. a . h = π . r². h

Cancelando h, obtemos:

b . a = π . r²Ou ainda

Área total de um prisma de base retangular:

2 (ab) + 2 (ah) + 2 (bh) = 2 [ab + h (a + b)]

Área total do cilindro é:

(2πrh) + (2πr²)

Comparando as duas áreas:

Área do prisma = 2 [ab + h (a + b)]

Sendo que ab = π . r² e, portanto, a = π . r²/b e b = π . r² /a, substituindo na expressão da página anterior:

Área do prisma = 2 [πr² + h (πr²/b + πr²/a)] = 2πr² + 2πrh (r/b + r/a)

Área do prisma > Área do cilindro = 2πr² +2πrh

__________________________________________________________

Num raciocínio análogo, considerando um prisma de base retangular e um cilindro, obteremos que o Volume do cilindro é maior que o do prisma.

A partir deste ponto, com o modelo formal concluído, pode-se propor atividades que o abordem, que partam de sua base estabelecida.

A atividade é a concretização da Terceira Etapa da Modelagem, segundo Biembengut;

Atividade proposta: Procurar a forma ótima [máximo de aproveitamento de volume] para construir uma caixa a partir de uma folha de papelão em forma quadrada de 20 cm de lado.

Material:

- 03 folhas de papelão [ou outro material similar] em forma quadrada, medindo 20 cm de lado;

- 01 régua de 30 cm.

- 01 lousa [atividade desenvolvida em sala de aula];

- Ao mínimo, 01 pincel atômico;

- Cadernos, lápis ou canetas [por parte dos alunos, que deverão colaborar com os cálculos].

Objetivo:

Finalizar a abordagem da Modelagem, com a aplicaçãp prática do Modelo.

Terceira etapa de formulação e resolução do problema: utilização dos conhecimentos adquiridos em casos gerais.

Vamos, então, procurar saber qual a forma “ótima” para um caixa, isto é, a que utiliza um mínimo de material para um máximo aproveitamento. Para isso, vamos dispor de uma folha de papelão na forma quadrada, medindo 20 cm de lado.

20 cm

↑20 cm↓

Qual deve ser a altura da caixa (quanto dobrar) para que o volume seja máximo?

20 – 2 h

h

h

?

20 – 2h

h = ?

Encontrando a equação que determina o volume da caixa em função da altura.

V = área da base X altura

Como a base é quadrada, a área da base é (20 – 2h)². Considerando h a medida da altura da caixa, temos:

V = (20 – 2h)² . h

0 < h < 10

V = V (h) = (400 – 80h + 4h²) . h

Neste momento, podemos apresentar o conceito de função, função polinomial e pontos críticos de uma função. No exemplo, a função V (h) é um polinômio de 3º grau.

Representando essa função no gráfico podemos obter seus pontos críticos .

Pelo gráfico, ponto máximo é h = 10/3. Como estamos procurando a medida da altura que permita um máximo volume, a medida h deve ser 10/3 = 3,33 cm.

A próxima etapa consiste na construção da caixa. Lembre-se de que dispomos de três folhas de papelão.

Com a primeira folha, se construirá uma caixa com uma altura de 3,33 cm, medindo com a régua.

Com as outras duas, se construirão duas caixas com alturas aleatórias [de preferência, uma com altura maior que 3,33 cm e outra com altura menor que 3,33 cm.

. O objetivo, ao final, é comprovar que as folhas, com a mesma medida deram origem a caixas com diferentes volumes, e que a altura ótima calculada permitiu a construção cujo capacidade é maior que as demais opções.

A medida do volume deverá proceder com o cálculo das dimensões, mas uma demonstração empírica, como por exemplo, colocando os cadernos dentro das três caixas construídas, dará vida aos fatos.

O cálculo da altura, retirada de uma função polinomial [volume em função], demonstra a relação a variação da relação área-volume do sólido em função da variação da altura.

Ao final da atividade, na realidade, de todo um processo de aplicação do modelo, é necessário uma abordagem final/sistematizadora. Neste caso podemos inferir que:

Analisando a relação entre área e volume dos prismas de mesma altura h, podemos observar que quanto maior o número de lados do polígono da base, isto é, quanto mais o polígono se aproxima de uma circunferência, menor será a área total do prisma.

Significa que mantendo a mesma área para prismas e cilindros: \

V (prisma triangular) < V (prisma quadrado) <V (prisma hexagonal) < V (prisma octogonal) <V (cilindro)

Esse é somente um dos exemplos de modelos prontos sugeridos por Biembengut, mas não se deve esquecer das recomendações da autora.

. Um modelo deve ser apresentado na primeira aula;

. Os alunos deverão com as ferramentas e os caminhos fornecidos pelo professor desenvolver seus próprios modelos;

. E o modelo inicial [da primeira aula] será trabalhado não em uma aula, mas sim , no decorrer do ano letivo.

A Modelagem Matemática é, afinal, a manifestação viva e vibrante de que Piaget tinha razão em afirmar que informações são absorvidas, mas o conhecimento só surge com a Construção.

A Educação do século XXI deve estar apta a despertar nos alunos todas as suas qualidades humanas, para que estes possam ser construir a sociedade em que convivem e não sejam meros escravos de uma ordem estabelecida. Se a estrutura informacional é uma realidade que se impõe a todas às instituições humanas, cabe ao professor guiar o aluno no processo de decodificação das máquinas, do “mundo-máquina”, do ambiente hostil à humanidade criado pela própria humanidade.

.

A Educação do novo século deve ser libertadora, jamais escravizadora. Vivemos em um momento que, como afirma Ruy Moreira, as “velhas representações de mundo” ruíram. A Física Quântica/Relativista, as Geometrias não euclidianas, a arte surrealista e a cultura da periferia se impuseram, provocando indisfarçáveis rupturas na visão tradicional.

Durante muito tempo se culpou a Metafísica, o Sobrenatural, a Natureza pelas desgraças dos seres humanos, mas as grandes desgraças foram por nós mesmos provocadas. E a educação, mais do que esclarecer, coube o papel de dissimular. Estariam os Estados Maiores e o Grande Capital interessados no uso legítimo da Matemática, como arma de construção do meio, em seu próprio usufruto? Ou teriam preferido a repetição de meras ferramentas que, dissociadas da realidade em que foram produzidas, nada acrescentarão às massas?

A Modelagem Matemática, então, limitada pelas possibilidades da Escola [a serviço do Estado] terá condições de alterar este dramático quadro alienante [que impede aos alunos a visualização da aplicação, de fato, dos conhecimentos matemáticos] auxiliando o aluno na construção do seu conhecimento por si próprio, portanto, tornado-o independente das estruturas opressoras do Estado?

Talvez! É certo que temos, na Modelagem Matemática, e em algumas outras tendências da Educação Matemática, fortes armas para a construção e defesa de um educação “subversiva” e “não-alienante”.

Esse é o papel da nova concepção de ensino. Libertar ao invés de acorrentar. O que implica em analisar a essência dos processos, o porquê dos fatos e não meras imposições.

Máquinas, ferramentas, planos ou mesmo, livros, jamais serão capazes de destronar os seres humanos, pois nós os criamos. Quem está por trás da tecnificação das instituições – como a Escola – são outros atores, os que comandam as máquinas, os artífices do capitalismo.

Mas o professor deve ter em mente o seu papel no front de batalha, e não esquivar-se sobre a sombra de seus livros, textos e e planos acabados.

E nas palavras de Marlene Macário de Oliveria, citando Paulo Freire:

“Caberá apenas uma consciência didático-padagógica do que é o sistema educativo e do que é a sociedade, para servir de fato a eles, isso porque não existe neutralidade na educação, e é sempre possível um trabalho educativo voltado para a liberdade e para a participação política, ou seja, para a cidadania. Resta-nos, agora, que nos apropriemos dessa tarefa para que possamos vivenciar a coerência entre o nosso discurso e a nossa prática, pois como coloca Freire (1994, p. 35):

[...] as dificuldades [...] diminuiriam se a escola levasse em consideração a cultura dos oprimidos, sua linguagem, sua forma eficiente de fazer contas, seu saber fragmentário do mundo de onde, afinal, transitam até o sabor mais sistematizado, que cabe a escola trabalhar. Obviamente, esta não é uma tarefa a ser cumprida pela escola da classe dominante, mas tarefa a ser realizada na escola da classe dominante, entre nós, agora, por educadores e educadoras progressistas, que vivem a coerência entre seu discurso e sua prática.”