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INSTITUTO MILITAR DE ENGENHARIA

1O¯ TEN JOSÉ CARLOS LEÃO VELOSO SILVA

MODELAGEM, CONTROLE E SIMULAÇÃO DA DINÂMICA

ELETROMECÂNICA DE UMA MICRO USINA

HIDRELÉTRICA NA AMAZÔNIA

Dissertação de Mestrado apresentada ao Curso deMestrado em Engenharia Elétrica do Instituto Militarde Engenharia, como requisito parcial para obtenção dotítulo de Mestre em Ciências em Engenharia Elétrica.

Orientador: Paulo César Pellanda, Dr. ENSAE, MajQEMCo-orientador: José Carlos Cesar Amorim, Dr. INPG

Rio de Janeiro

2003

c2003

INSTITUTO MILITAR DE ENGENHARIAPraça General Tibúrcio, 80-Praia VermelhaRio de Janeiro-RJ CEP 22290-270

Este exemplar é de propriedade do Instituto Militar de Engenharia, que poderá incluí-lo em base de dados, armazenar em computador, microfilmar ou adotar qualquer formade arquivamento.

É permitida a menção, reprodução parcial ou integral e a transmissão entre bibliote-cas deste trabalho, sem modificação de seu texto, em qualquer meio que esteja ou venhaa ser fixado, para peqsquisa acadêmica, comentários e citações, desde que sem finalidadecomercial e que seja feita a referência bibliográfica completa.

Os conceitos expressos neste trabalho são de responsabilidade do(s) autor(es) e do(s)orientador(es).

S586 Silva, José Carlos L.V.Modelagem, Controle e Simulação da Dinâmica Eletromecânica de Uma

Micro Usina Hidrelétrica na Amazônia. / José Carlos Leão Veloso Silva. -Rio de Janeiro : Instituto Militar de Engenharia, 2003.

136 p. : il., graf., tab.

Dissertação (mestrado) - Instituto Militar de Engenharia - Rio de Janeiro,2003.

1. Modelagem Matemática de SEP. 2. Projeto de reguladores de tensão ede velocidade. 3. Simulação não-linear. I. Instituto Militar de Engenharia.II. Título.

CDD 629.8312

2

INSTITUTO MILITAR DE ENGENHARIA

1O¯ TEN JOSÉ CARLOS LEÃO VELOSO SILVA

MODELAGEM, CONTROLE E SIMULAÇÃO DA DINÂMICA

ELETROMECÂNICA DE UMA MICRO USINA HIDRELÉTRICA NA

AMAZÔNIA

Dissertação de Mestrado apresentada ao Curso de Mestrado em Engenharia Elétricado Instituto Militar de Engenharia, como requisito parcial para obtenção do título deMestre em Ciências em Engenharia Elétrica.

Orientador: Paulo César Pellanda, Dr. ENSAE, Maj QEMCo-orientador: José Carlos Cesar Amorim, Dr. INPG

Aprovada em 19 de dezembro de 2003 pela seguinte Banca Examinadora:

Paulo César Pellanda, Dr. ENSAE, Maj QEM do IME - Presidente

José Carlos Cesar Amorim, Dr. INPG do IME

Mário Cesar Mello Massa de Campos, Dr. ECP do CENPES

Antonio Eduardo Carrilho da Cunha, Dr. Eng do IME

Rio de Janeiro2003

3

A meus pais, Paulo e Vera; a meus irmãos, Ana Paulae José Paulo; a minha avó Dulce; e a meus familia-res e amigos, por me mostrarem que "Vale a Pena...".

"Os que lançam as sementes entre lágrimas, ceifa-rão com alegria.Chorando de tristeza sairão, espalhando suas semen-tes; cantando de alegria voltarão, carregando os seusfeixes!" (Sl. 125)

4

AGRADECIMENTOS

Ao Exército Brasileiro, ao Instituto Militar de Engenharia, e em especial ao Depar-

tamento de Engenharia Elétrica, pela oportunidade que me deram de realizar este curso

de Mestrado.

Aos professores do Grupo de Sistemas de Controle deste Instituto, e de modo todo

especial aos professores Coronel Geraldo Magela Pinheiro Gomes e Major Roberto Ades,

pelos ensinamentos, paciência, compreensão e amizade. Ao Coronel Pinheiro e ao Major

Ades a minha mais sincera gratidão.

Ao professor Glauco Nery Taranto (COPPE/UFRJ) pelo conhecimento transmitido,

pelas sugestões e esclarecimentos fundamentais dados em relação a sistemas de potência.

Ao professor e membro da banca examinadora, Capitão Antônio Eduardo Carrilho

da Cunha (IME), pelas diversas dúvidas que me sanou, por sua solicitude e pela valiosa

contribuição dada a este trabalho.

Ao professor Mário Cesar Mello Massa de Campos (CENPES) pelos conhecimentos

transmitidos na cadeira de Introdução à Neuro-Computação e durante a confecção desta

dissertação, sobretudo com relação à lógica fuzzy, tópico fundamental deste trabalho.

Por sua amizade e gentileza em aceitar participar da banca, contribuindo em muito para

o aprimoramento desta dissertação.

Aos companheiros de mestrado, e em particular a meus caros amigos 10 Ten Trajano

Alencar de Araújo Costa, do Departamento de Engenharia Mecânica, pelas mais variadas

explicações e conselhos, e por seu apoio; 10 Ten José Julimá Bezerra Júnior e 10 Ten

Alberto Mota Simões, ambos do Grupo de Sistemas de Controle do Departamento de

Engenharia Elétrica, pelo enorme privilégio que me deram de suas amizades.

Aos meus familiares, por me fazerem prosseguir, mesmo quando tudo parece concorrer

para que eu pare.

Ao professor José Carlos Cesar Amorim (IME), por sua co-orientação, sobretudo nos

assuntos relativos ao sistema hidráulico, e por ter acreditado em mim sendo um grande

incentivador deste trabalho.

Ao professor Major Paulo César Pellanda (IME), pela confiança em mim depositada

ao aceitar orientar esta dissertação, e pela forma como a conduziu, estando sempre ao

meu lado nos momentos mais difíceis, sacrificando, inclusive, horas de descanso com sua

família. Ao Major Pellanda o meu mais profundo respeito, admiração e agradecimento.

5

SUMÁRIO

LISTA DE ILUSTRAÇÕES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

LISTA DE TABELAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

LISTA DE SÍMBOLOS E ABREVIATURAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1 INTRODUÇÃO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.1 Posicionamento e Motivação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.2 Objetivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

1.3 Organização . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2 CONFIGURAÇÃO DO SEP EM ESTUDO E SUA MODELAGEM

MATEMÁTICA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.1 Configuração do SEP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.1.1 Comentários sobre a Carga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.2 Modelagem do Sistema Elétrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.2.1 Modelo do Gerador Elétrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.2.2 Modelo da Rede Elétrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2.3 Modelagem do Sistema Hidráulico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

2.4 Valores Base, Especificação de Materiais e Dados de Parâmetros . . . . . . . . . . . 30

2.4.1 Sistema Elétrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

2.4.2 Sistema Hidráulico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

3 MODELO LINEARIZADO DO SISTEMA ELÉTRICO - REGU-

LADORES DE TENSÃO E SIMULAÇÕES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

3.1 Linearização das Equações do Sistema Elétrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

3.2 Os Pontos de Operação do SEP e a Solução da Equação de Rede . . . . . . . . . . 39

3.3 As Formulações Aumentada (ou Implícita) e em Espaço de Estados . . . . . . . . 45

3.4 Projeto de Reguladores de Tensão e Simulações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

3.4.1 Comparações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

3.5 Interpolação de Ganhos dos RAT via Lógica Difusa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

3.5.1 Estrutura de Controle com Tabelamento de Ganhos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

3.5.2 Montagem da Lógica Fuzzy e Obtenção do Regulador Final . . . . . . . . . . . . . . 64

6

4 MODELAGEM E SIMULAÇÃO DO SISTEMA HIDRÁULICO E

DO REGULADOR VELOCIDADE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

4.1 Modelo da Turbina Hidráulica e dos Atuadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

4.2 Modelo do Regulador de Velocidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

4.3 Partida do Sistema e Simulações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

5 MODELO NÃO-LINEAR DO SEP E SIMULAÇÕES . . . . . . . . . . . . . 89

5.1 O Sistema Elétrico e a Solução das EAD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

5.2 Modelo Completo do SEP e Simulações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

5.3 Linearização do Modelo Matemático do Sistema Elétrico por Pertur-

bação Numérica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

6 CONCLUSÃO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

6.1 Resumo e Análise dos Principais Resultados Alcançados . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

6.2 Resumo da Contribuição . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

6.3 Críticas e Perspectivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

7 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

8 APÊNDICES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

8.1 APÊNDICE 1: Programas Matlab . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

8.1.1 Definição dos Pontos de Operação e Parâmetros do Sistema Elétrico-

Solução da Equação de Rede . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

8.1.2 Formulação Aumentada - Obtenção das Matrizes ABCD (Espaço de Estados)124

8.1.3 Programa S-Function para o Modelo Não-Linear do Sistema Elétrico . . . . . . . 127

8.1.4 Programa S-Function para o Modelo do Sistema Elétrico Empregado

na Linearização por Perturbação Numérica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

8.1.5 Cálculo dos Valores das Variáveis do Sistema Elétrico nos Pontos de

Operação considerados e Validação da Linerização Analítica . . . . . . . . . . . . . . 135

7

LISTA DE ILUSTRAÇÕES

FIG.2.1 Diagrama unifilar do sistema elétrico em estudo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

FIG.3.1 Diagrama de pólos e zeros da FT ∆|V1|(s)∆Efd(s)

, do SEP. Primeiro ponto

de operação. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

FIG.3.2 Diagrama de pólos e zeros da FT ∆|V1|(s)∆Efd(s)

, do SEP- ampliação da

região do gráfico próxima à origem. Primeiro ponto de operação. . . . . . 48

FIG.3.3 Diagrama em blocos de malha fechada da planta elétrica com o

RAT, mostrando os sinais da tensão de referência (∆Vref ), da

tensão de campo (∆Efd) e da tensão terminal do gerador (∆Vt). . . . . . . 50

FIG.3.4 Modelo em Simulink do sistema elétrico em malha fechada. . . . . . . . . . . . 50

FIG.3.5 Resposta de ∆|V1| para uma entrada ao degrau de 0,05 pu em

∆Vref , com um regulador tipo I (integrador)- primeiro ponto de

operação. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

FIG.3.6 Resposta de ∆|V1| para uma entrada ao degrau de 0,05 pu em

∆Vref , com um regulador tipo PI (proporcional - integral)- primeiro

ponto de operação. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

FIG.3.7 Resposta de ∆|V1| para uma entrada tipo pulso de 0,05 pu e du-

ração de 1 segundo em ∆Vref , com um regulador tipo PI (propor-

cional - integral)- primeiro ponto de operação. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52



cional - integral)- segundo ponto de operação. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53



cional - integral)- terceiro ponto de operação. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54



cional - integral)- quarto ponto de operação. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54



cional - integral)- quinto ponto de operação. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55



8

cional - integral)- sexto ponto de operação. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55



cional - integral)- sétimo ponto de operação. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56



cional - integral)- oitavo ponto de operação. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56



cional - integral)- nono ponto de operação. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57



cional - integral)- décimo primeiro ponto de operação. . . . . . . . . . . . . . . . 57



cional - integral)- décimo segundo ponto de operação. . . . . . . . . . . . . . . . 58



cional - integral)- décimo quarto ponto de operação. . . . . . . . . . . . . . . . . 58



cional - integral)- décimo quinto ponto de operação. . . . . . . . . . . . . . . . . 59

FIG.3.20 Respostas de ∆|V1| para uma entrada tipo pulso de 0,05 pu e du-

ração de 1 segundo em ∆Vref , com um regulador sintonizado no

terceiro e outro no décimo quinto ponto de operação- sistema li-

nearizado no terceiro ponto de operação. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

FIG.3.21 Respostas de ∆|V1| para uma entrada tipo pulso de 0,05 pu e du-

ração de 1 segundo em ∆Vref , com um regulador sintonizado no

terceiro e outro no décimo quinto ponto de operação- sistema li-

nearizado no décimo quinto ponto de operação. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

FIG.3.22 Evolução temporal do erro percentual de ∆|V1| em relação à en-

trada de referência (∆Vref ), com o regulador sintonizado para

o terceiro ponto de operação e o sistema linearizado no décimo

quinto. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

9

FIG.3.23 Diagrama esquemático da estrutura de controle com tabelamentos

de ganhos via lógica fuzzy. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

FIG.3.24 Função de pertinência para a variável de entrada potência ativa

(Pa) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

FIG.3.25 Função de pertinência para a variável de entrada fator de potência

(FP ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

FIG.3.26 Função de pertinência para a variável de saída ganho 1 (g1). . . . . . . . . . . 67

FIG.3.27 Superfície de variação do ganho g3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

FIG.3.28 Diagrama em Simulink do regulador de tensão final obtido por

técnica de tabelamento de ganhos via lógica fuzzy. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

FIG.3.29 Diagrama do subsistema Reguladores. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

FIG.4.1 Diagrama em blocos da turbina hidráulica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

FIG.4.2 Diagrama em blocos dos atuadores da turbina hidráulica. . . . . . . . . . . . . . 75

FIG.4.3 Diagrama em blocos do regulador de velocidade em conjunto com

os atuadores da turbina hidráulica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

FIG.4.4 Diagrama em blocos da nova configuração do regulador de veloci-

dade (na malha direta) em conjunto com os atuadores da turbina

hidráulica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

FIG.4.5 Diagrama em blocos responsável pela simulação da abertura inicial

do distribuidor da turbina. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

FIG.4.6 Resposta da abertura inicial gi da turbina em pu. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

FIG.4.7 Diagrama em blocos da EQ. 2.4 substituindo-se os parâmetros re-

lativos à potência pelos respectivos torques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

FIG.4.8 Diagrama do subsistema entitulado partida. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

FIG.4.9 Diagrama do subsistema contr-servo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

FIG.4.10 Diagrama em blocos completo do sistema hidráulico. . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

FIG.4.11 Resposta da velocidade de rotação da turbina (em pu) para uma

abertura inicial do distribuidor de 0,32 pu. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

FIG.4.12 Resposta da abertura do distribuidor da turbina (em pu) ao longo

da partida do sistema hidráulico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

FIG.4.13 Resposta da potência mecânica de saída da turbina (em pu) ao

longo da partida do sistema hidráulico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

FIG.4.14 Ampliação de Pmec em torno de 15,5 segundos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

10

FIG.4.15 Resposta da velocidade da água no conduto forçado (em pu) ao

longo da partida do sistema hidráulico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

FIG.5.1 Diagrama em Simulink mostrando as saídas e as entradas (com a

realimentação das variáveis algébricas) do bloco S-Function. . . . . . . . . . 93

FIG.5.2 Diagrama em Simulink proposto em SHAMPINE (1999) para a

solução de EAD. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

FIG.5.3 Modelo completo, em diagrama de blocos, do SEP em estudo. . . . . . . . . . 97

FIG.5.4 Diagrama em blocos do sistema hidráulico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

FIG.5.5 Diagrama em blocos do subsistema reg-tensao. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

FIG.5.6 Diagrama em blocos usado para a definição das potências ativa e

reativa do consumidor- caso do quartel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

FIG.5.7 Resposta da freqüência de saída do gerador, ω (em pu)- variações

de carga a cada 45 segundos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

FIG.5.8 Resposta da tensão de saída do gerador, Vt (em pu)- variações de

carga a cada 45 segundos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

FIG.5.9 Resposta da abertura do distribuidor, g (em pu)- variações de carga

a cada 45 segundos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

FIG.5.10 Resposta da freqüência de saída do gerador, ω (em pu)- variações

de carga a cada 60 segundos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

FIG.5.11 Resposta da tensão de saída do gerador, Vt (em pu)- variações de

carga a cada 60 segundos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

FIG.5.12 Resposta da abertura do distribuidor, g (em pu)- variações de carga

a cada 60 segundos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

FIG.5.13 Resposta da tensão de saída do gerador, Vt (em pu)- utilização do

RAT projetado para o sétimo ponto de operação (variações de

carga a cada 45 segundos). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

FIG.5.14 Comparação das respostas da tensão de saída do gerador, Vt (em

pu), obtidas com o regulador fuzzy e com o RAT do sétimo ponto

de operação- início da operação do SEP. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106



de operação- primeira variação de carga (45 segundos). . . . . . . . . . . . . . . 107



11

de operação- segunda variação de carga (90 segundos). . . . . . . . . . . . . . . 107



de operação- terceira variação de carga (135 segundos). . . . . . . . . . . . . . . 108



de operação- quarta variação de carga (180 segundos). . . . . . . . . . . . . . . 108

FIG.5.19 Diagrama em blocos do sistema elétrico utilizado para linearização

por perturbação numérica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

FIG.5.20 Diagrama em blocos do subsistema sist-ele utilizado para a linea-

rização do sistema elétrico via perturbação numérica. . . . . . . . . . . . . . . . 113

FIG.5.21 Janela de diálogo do bloco S-Function. Inicialização das variáveis

do sistema elétrico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

FIG.5.22 Gráfico de σm para Ga(jω) − Gp(jω), em todos os quinze pontos

de operação. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

12

LISTA DE TABELAS

TAB.2.1 Valores dos parâmetros do gerador elétrico. As grandezas em pu

estão na base 480V/105 KW. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

TAB.2.2 Valores dos parâmetros do gerador elétrico com as grandezas em

pu na base 179,6V/100 KW. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

TAB.2.3 Valores dos parâmetros de interesse da rede elétrica com as grandezas

em pu na base 11.268KV/100KW . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

TAB.2.4 Parâmetros de interesse da planta hidráulica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

TAB.3.1 Pólos e zeros da FT ∆|V1|(s)∆Efd(s)

nos pontos de operação analisados. . . . . . . . 49

TAB.3.2 Valores dos parâmetros dos reguladores. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

TAB.3.3 Reguladores a serem usados no tabelamento de ganhos e sua re-

presentação. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

13

LISTA DE SÍMBOLOS E ABREVIATURAS

ABREVIATURAS

SEP Sistema Elétrico de Potência

RAT Regulador Automático de Tensão

FT Função de Transferência

EAD Equações Algébrico-Diferenciais

SÍMBOLOS

<+ Conjunto dos Números Reais Não-Negativos

14

RESUMO

Esta dissertação descreve a modelagem da dinâmica eletromecânica de um SistemaElétrico de Potência (SEP) de geração isolada, tendo-se como referência uma Micro UsinaHidrelétrica pertencente ao Exército Brasileiro instalada na Amazônia. O projeto de re-guladores de tensão e de velocidade também é abordado neste trabalho, sendo o desem-penho de ambos avaliado por intermédio de simulações computacionais realizadas combase nos modelos não-lineares das plantas elétrica e hidráulica.

Os desenvolvimentos relacionados ao regulador de tensão dividem-se em três partesprincipais: a linearização analítica do sistema elétrico em diferentes pontos de operação;a obtenção de reguladores para os modelos linearizados do sistema a partir de técnicas decontrole linear; e o emprego de um método de interpolação (ou tabelamento) dos ganhosdesses reguladores via lógica fuzzy.

O projeto do regulador de velocidade envolve a implementação de vários diagramasde bloco e de metodologias que permitem a execução das simulações desejadas.

A simulação não-linear de toda a dinâmica do SEP é baseada no uso do pacote S-Function do programa Matlab/Simulink, responsável por resolver as Equações Algébrico-Diferenciais (EAD) que modelam esse sistema. A S-Function é ainda aplicada na line-arização do sistema elétrico via perturbação numérica. Esse resultado é comparado,com base na teoria referente a valores singulares de matrizes e sistemas, com o obtidoanaliticamente. É constatada a equivalência dos dois métodos.

Com relação ao controle das oscilações eletromecânicas em sistemas elétricos isolados,os resultados deste trabalho mostram claramente que a abordagem normalmente adotadana prática pode não proporcionar a melhor qualidade da energia gerada.

15

ABSTRACT

This dissertation describes the electromechanical dynamics modelling of an IslandingPower System. A Micro Hydroelectric Station belonging to the Brazilian Army installedin the Amazon Forest is used as a reference. The design of voltage and frequency regu-lators is also exploited in this work. Their performance are evaluated through computa-cional simulations that are based on the nonlinear models of the electric and hydraulicplants.

The development related to the voltage regulator is threefold: the analytical line-arization of the electric system at different operating conditions; the design of a set ofregulators corresponding to the set of linearized models through linear control techniques;and the application of a gain scheduling control method to these regulators that is basedon a fuzzy logic approach.

The design of the frequency regulator involve the implementation of several blockdiagrams and methodologies that allow the running of the desired simulations.

The nonlinear simulation of the overall Power System dynamic is performed by usingthe S-Function package, which is responsible for solving the Differential Algebraic Equa-tions (DAE) that model the system. The S-Function is also used to linearize the electricalsystem model via a numerical perturbation strategy. Through the use of singular valueconcept applied to matrices and systems, this result is compared with that obtained bythe analytical method. The equivalency of both methods is verified.

Regarding to the control of electromechanical oscillations in Islanding Power System,the results of this work clearly show that the approach normally adopted in practice maynot provide the best quality of the generated energy.

16

1 INTRODUÇÃO

1.1 POSICIONAMENTO E MOTIVAÇÃO

Um sistema elétrico de potência (SEP) pode ser resumidamente definido como sendo

aquele cuja função essencial é converter uma dada modalidade energética, obtida a par-

tir de uma fonte primária (que pode ser hidráulica, nuclear, fóssil, etc.), em energia

elétrica, transportando-a ao consumidor. Para tanto, uma quantidade significativa de

dispositivos, dinâmicos ou estáticos, são necessários, dentre os quais: turbinas, geradores

elétricos, transformadores, linhas de transmissão e/ou de distribuição. A diversidade

destes elementos e a natureza não linear de alguns deles tornam a modelagem e o con-

trole tarefas complexas. Esta complexidade, quando se trata de SEP de grande porte

com várias unidades geradoras interligadas entre si, é ainda mais crítica.

Vastos são os estudos e trabalhos desenvolvidos e publicados no campo do controle

aplicado à estabilidade de sistemas elétricos de potência interligados, os quais estão pre-

sentes, possivelmente, em quase todos os países do mundo, sendo os responsáveis por

levar energia elétrica aos mais variados tipos de consumidores, movimentando economias

e proporcionando desenvolvimento e conforto a seus povos. Por estes fatos, compreende-

se facilmente porque este tipo de sistema tem sido alvo de tanta pesquisa. Na área de

controle ela se volta, entre outras direções, ao desenvolvimento de teorias, técnicas e

componentes que estabilizem o SEP. A estabilidade pode ser vista como a manutenção

do sincronismo entre máquinas e de níveis de tensão e freqüência próximos a valores

nominais, em situação normal ou não de operação 1.

Há casos, contudo, como o brasileiro, em que o sistema interligado não abrange a

totalidade do território. Povoados ou comunidades são privados de energia elétrica e

de suas benécies e uma fonte local de eletricidade deve ser provida. Muitas vezes, estes

sistemas locais são de pequeno porte e não estão conectados a nenhum outro, sendo então

denominados isolados ou tipo "ilha". As publicações disponíveis referentes a este tipo de

sistema elétrico com geração isolada, particularmente no que se refere ao seu controle,

1Naturalmente, dependendo da natureza e da intensidade do distúrbio ou da anormalidade, a desejada

estabilidade pode não ser conseguida, a não ser através de medidas mais drásticas como, por exemplo, o

corte de cargas.

17

são bem menos pródigas. Se por um lado a questão do sincronismo entre máquinas passa

a não mais existir, por outro, o problema do controle de tensão e de freqüência em níveis

compatíveis permanece.

No contexto acima descrito se insere a presente dissertação: um estudo mais deta-

lhado de sistemas elétricos de potência isolados, passando desde sua modelagem mate-

mática até o projeto de sistemas de controle de tensão e de freqüência, tomando-se como

base um SEP real pertencente ao Exército Brasileiro e instalado na Amazônia.

Em alguns casos não basta uma aplicação direta ou uma mera adaptação ou sim-

plificação das técnicas de controle utilizadas em sistemas interligados. Para estes sis-

temas, por exemplo, trabalha-se muito com a chamada estabilidade a pequenos sinais

ou pequenos distúrbios, situação em que parte-se para uma linearização dos modelos

matemáticos em torno de um determinado número de pontos de operação; o mesmo,

entretanto pode não ser conveniente para SEP isolados, onde grandes distúrbios são mais

comumente encontrados, já que uma única usina geradora terá que "absorver" toda e

qualquer variação na operação, como perdas de cargas, de linhas, faltas, etc. Em virtude

disto, para sistemas com geração isolada, simulações do modelo não-linear são, certa-

mente, mais representativas dos fenômenos reais.

Técnicas de controle aplicáveis em sistemas Lineares Invariantes no Tempo (LIT) são

válidas apenas para pequenas perturbações em torno de pontos de operação. Para sis-

temas não-lineares, dois recursos têm sido utilizados: as simulação no domínio do tempo

através de métodos de integração numérica, e os chamados métodos diretos, que se valem

de funções de energia, estas sendo um tipo possível de função de Lyapunov (ver KUN-

DUR (1994)). Enquanto os métodos diretos oferecem condições de se chegar a modelos

de controladores que atendam aos requisitos estabelecidos para a operação de um SEP,

as simulações constituem-se, apenas, em resultados gráficos, em sua maioria, da resposta

de um sistema. Sua importância, então, está em constatar se determinados controladores

projetados responderam ou não de maneira eficiente. Em caso negativo, ajustes tem que

ser feitos no controle até que as simulações apresentem resultados satisfatórios. Méto-

dos baseados em funções de energia, apesar de suas vantagens evidentes, ainda são muito

conservativos. A tendência atual tem sido buscar um método híbrido que mescle os bene-

fícios dos dois acima citados. Neste trabalho os métodos diretos não-lineares não foram

tratados, sendo os controladores obtidos por métodos lineares e testados em simulações.

Esta dissertação, como já dito, está pautada em um sistema de potência do Exército

18

Brasileiro, uma micro usina hidrelétrica (MUH) 2(ver ELETROBRÁS (2000), HARVEY

(1993)) situada na localidade de Pari-Cachoeira, no extremo oeste do estado do Ama-

zonas, próxima à fronteira com a Colômbia. Ela possui uma capacidade de geração de,

aproximadamente, 100KVA e foi construída com o objetivo de oferecer aos militares e

seus familiares, que lá vivem, um mínimo de infra-estrutura, antes inexistente. Vale

ressaltar que esta usina, a exemplo das demais existentes, a maioria em regiões isoladas

de fronteira da Amazônia, abastece, também, e gratuitamente, comunidades locais, o

que tem provocado, inclusive, um fluxo migratório para esta região, dadas as potenciali-

dades trazidas com a chegada da energia elétrica. Outro fato relevante foram as análises

e experiências feitas pelo Exército com outras fontes de energia locais, como: painéis

fotovoltaicos, grupo-geradores a diesel e usinas termelétricas a lenha, conforme relatado

em HUSS (1994). De todas elas, seja por motivos econômicos e/ou ambientais, a que se

mostrou mais promissora foi a MUH.

Embora o provimento de energia elétrica em regiões tão distantes e carentes já tenha

sido um enorme e importante avanço, isto não impede que melhorias na qualidade desta

tensão gerada sejam buscadas. Sabe-se que em algumas usinas, pelo menos, nas mais

antigas, e portanto, mais rústicas, o sinal elétrico possui oscilações de tensão e freqüência

indesejadas. Isto pode ser explicado pelo fato de parâmetros dos reguladores de tensão,

ou Reguladores Automáticos de Tensão (RAT), ou AVR (Automatic Voltage Regulator),

e dos reguladores de velocidade serem ajustados para, apenas, um determinado ponto de

operação. Ao se afastar deste ponto, o desempenho dos controladores sofre normalmente

um declínio, prejudicando a qualidade dos sinais de saída do gerador elétrico. Assim, a

possibilidade de o estudo desenvolvido nesta dissertação contribuir para um aprimora-

mento da qualidade da energia fornecida, mediante o projeto de controles mais eficientes,

se tornou um importante agente motivador.

1.2 OBJETIVOS

O presente trabalho tem por objetivo modelar e simular o comportamento dinâmico

de um SEP isolado, com vistas ao projeto de reguladores de velocidade e de tensão

que favoreçam a estabilidade e o desempenho do sistema para variadas condições de

operação. Espera-se, também, que os conhecimentos adquiridos possam auxiliar em

2A denominação micro central hidrelétrica (MCH) é equivalentemente adotada em diversas literaturas

referentes a este tema.

19

estudos presentes ou futuros do Exército Brasileiro no que se refere às suas micro usinas

hidrelétricas.

1.3 ORGANIZAÇÃO

Esta dissertação está organizada em seis capítulos, incluindo esta introdução.

No Capítulo 2 é apresentada a configuração do sistema elétrico a partir de um dia-

grama unifilar. É desenvolvida toda a modelagem matemática do SEP, relativa às plantas

elétrica e hidráulica, necessária aos capítulos posteriores, sendo ainda especificados ma-

teriais e parâmetros da MUH do Exército, referência para todo o estudo desenvolvido.

O Capítulo 3 aborda a linearização das equações do sistema elétrico bem como todo

o procedimento necessário, iniciando com a definição dos pontos de operação, para se

chegar às realizações em espaço de estados deste sistema (uma para cada ponto de ope-

ração). Em cima dos modelos linearizados são projetados reguladores de tensão, sendo

seus desempenhos avaliados por simulação. Um RAT final é desenvolvido mediante o

tabelamento (ou interpolação) de ganhos destes reguladores.

A modelagem do sistema hidráulico em diagrama de blocos, no ambiente de simu-

lação Matlab/Simulink, é apresentada no Capítulo 4. Os diagrama são feitos com base

nas equações pertinentes desenvolvidas no Capítulo 2. Também no quarto capítulo é

apresentado o projeto do regulador de velocidade. A resposta da partida deste sistema,

para uma situação de operação em vazio do gerador, é simulada.

O modelo não-linear completo do sistema de potência, também em ambiente Simulink,

é discutido no Capítulo 5. Inicialmente, apresenta-se o método empregado para a solução

das chamadas Equações Algébrico-Diferenciais (EAD) do sistema elétrico. Em seguida,

com todo o SEP modelado, são simuladas as respostas da freqüência e da tensão de

saídas do gerador a partir de variações de carga. Ainda neste capítulo é feita a lineari-

zação do sistema elétrico por perturbação numérica, permitindo uma comparação com a

linearização analítica apresentada no Capítulo 3.

Finalmente, o Capítulo 6 apresenta um resumo conclusivo dos resultados alcançados

ao longo de todo o trabalho, procurando dar uma maior ênfase àqueles que acredita-se

terem uma contribuição maior a dar para trabalhos futuros. Algumas críticas e sugestões

de estudos em torno do mesmo tema são oferecidas.

20

2 CONFIGURAÇÃO DO SEP EM ESTUDO E SUA MODELAGEM

MATEMÁTICA

Este capítulo apresenta a configuração do SEP, com base, conforme já salientado

na introdução, na MUH de Pari-Cachoeira. Isto é feito a partir do chamado diagrama

unifilar. As informações contidas neste diagrama são suficientes para as análises que serão

procedidas e incluem dados dos seguintes elementos: gerador elétrico, transformadores e

impedâncias de linhas e cargas. Com relação ao tipo de carga considerada dispensou-se

uma atenção maior. A seu respeito são feitos alguns comentários explicativos na Seção

2.1.1.

A representação unifilar pressupõe um equilíbrio entre as três fases do sistema, con-

sideração esta que permanecerá válida ao longo do trabalho, e que é comumente utilizada

em trabalhos similares. A partir do unifilar é montada uma matriz denominada admitân-

cia nodal, que estabelece uma relação entre as tensões e correntes injetadas nas diver-

sas barras representadas. Assim são obtidas, facilmente, as equações da rede elétrica,

necessárias para modelagem matemática do SEP. A modelagem completa do sistema de

potência engloba, ainda, equações da dinâmica do gerador elétrico e da turbina hidráulica,

que são também desenvolvidas neste capítulo. São especificados, ainda, materiais e va-

lores de parâmetros da usina geradora, valores estes, em sua maioria, apresentados em

grandezas por unidade (pu), o que exige a definição de determinados valores de refe-

rência ou valores base, o que é feito. A grande parte destes dados foi obtida mediante

informações dos próprios fabricantes, por tabelas constantes em STEVENSON (1978),

ou por profissionais, que, direta ou indiretamente atuaram no projeto e/ou execução da

MUH. Aqueles dados que não puderam ser colhidos de nenhuma fonte foram retirados

de KUNDUR (1994) com as considerações de validade necessárias.

2.1 CONFIGURAÇÃO DO SEP

O diagrama unifilar do sistema elétrico estudado é mostrado na Figura 2.1. Os

símbolos apresentados são representativos dos seguintes elementos, identificados da es-

querda para a direita: gerador elétrico com seus terminais ligados a uma primeira barra;

transformador de distribuição elevador de tensão; linha de distribuição principal com

sua impedância; uma segunda barra de onde partem três derivações; em cada ramal de

21

derivação tem-se a linha com a respectiva impedância, um transformador abaixador de

tensão e a carga. Os três ramais correspondem, respectivamente, à linha que abastece a

unidade militar, à linha que alimenta a vila militar e à linha alimentadora da comunidade

indígena. Vale ressaltar que esta configuração é um retrato muito próximo da realidade

encontrada em Pari-Cachoeira -AM. Uma descrição mais detalhada dos componentes

acima citados é dada na Seção 2.4.1.

1 2

3 4

5

quartel

vila militar

comunidade

FIG. 2.1: Diagrama unifilar do sistema elétrico em estudo.

2.1.1 COMENTÁRIOS SOBRE A CARGA

O conhecimento pleno de todas as cargas que compõe um determinado sistema de

potência é algo difícil de ser alcançado, de tal forma que sua modelagem precisa também

o será. Este fato é facilmente explicável dada a enorme variedade de tipos de cargas e

de regimes de operação possíveis. Assim sendo, torna-se quase imperativa uma série de

simplificações para se chegar a um modelo para as cargas, as quais podem ser divididas

em duas grandes classes: cargas estáticas e dinâmicas.

As cargas estáticas são aquelas que podem ser definidas por funções algébricas da

tensão e da freqüência em qualquer instante de tempo. Três são os tipos básicos que as

representam: cargas à potência constante, à corrente constante ou à impedância cons-

tante. As cargas dinâmicas, por sua vez, são modeladas por equações diferenciais, sendo

um exemplo os motores de indução, muito comuns em consumidores industriais.

Devido às já mencionadas simplificações, e levando-se em conta que os consumidores

da MUH de Pari-Cachoeira têm características muito mais residenciais, o tipo de carga

22

considerado neste trabalho foi impedância constante. As cargas dinâmicas existentes

foram consideradas não significativas.

Cargas a impedância constante podem ser inseridas na própria matriz admitância

nodal facilitando alguns cálculos que se utilizam das equações de rede. Isto poderá ser

melhor compreendido no Capítulo 3.

2.2 MODELAGEM DO SISTEMA ELÉTRICO

O modelo matemático do sistema elétrico está baseado nas equações algébrico -

diferenciais (EAD) do gerador e nas equações algébricas da rede elétrica, ambas pos-

suindo não-linearidades devido à necessária conversão realizada entre dois referenciais:

um síncrono (R− I), do sistema, e outro da máquina (d− q), que gira junto com seu ro-

tor. Esta transformação de referenciais serve para compatibilizar as equações do gerador

e da rede. Uma melhor compreensão destes fatos se dará com o desenvolvimento destas

equações, que passam a ser apresentadas a seguir.

2.2.1 MODELO DO GERADOR ELÉTRICO

As equações da máquina são apresentadas em MARTINS (1990), sendo também

utilizadas em PELLANDA (1993). Elas são as seguintes:

E′

q =1

T′

d0

[

Efd −(

Xd − X′

d

)

Id − E′

q

]

(2.1)

E′′

d =1

T′′

q0

[(

Xq − X′′

q

)

Iq − E′′

d

]

(2.2)

E′′

q =1

T′′

d0

[

E′

q −(

X′

d − X′′

d

)

Id − E′′

q

]

(2.3)

ω =1

2H(Pmec − Pe) (2.4)

δ = ω0 (ω − 1) (2.5)

0 = −E′′

d + Vd + RaId − X′′

q Iq (2.6)

0 = −E′′

q + Vq + RaIq + X′′

d Id (2.7)

A menos das constantes de tempo, que são dadas em mili-segundos (ms), e da veloci-

dade angular síncrona ω0, igual a 2πfs radianos elétricos por segundo (rad/s), sendo fs

a freqüência síncrona em Hertz (no caso 60 Hz), todos os demais parâmetros são dados

em por-unidade (pu). Estes parâmetros são abaixo definidos:

23

• Efd : tensão de campo (no sistema pu não-recíproco3);

• E′′

d e E′′

q : componentes dos eixos d (direto) e q (de quadratura) da tensão subtran-

sitória interna do gerador elétrico;

• E′

q : componente do eixo q da tensão transitória interna da máquina;

• Xd e Xq: reatâncias dos eixos d e q da máquina;

• X′

d: reatância transitória do eixo da máquina;

• X′′

d e X′′

q : reatâncias subtransitórias dos eixos d e q do gerador;

• Vd e Vq: componentes dos eixos d e q da tensão de saída da máquina;

• Id e Iq: componentes dos eixos d e q da corrente de saída do gerador;

• T′′

d0 e T′′

q0: constantes de tempo subtransitórias de circuito aberto dos eixos d e q do

gerador;

• T′

d0: constante de tempo transitória de circuito aberto do eixo d do gerador;

• ω: velocidade angular do rotor do gerador;

• ω0: velocidade angular síncrona (rad/s);

• H: constante de inércia por unidade (pu), definida como a energia cinética (em

Watts.segundos) na velocidade angular síncrona de rotação do rotor do gerador,

ωom (em radianos mecânicos por segundo), dividida pela potência base, Pbase; ou

seja:

H =1

2

Jω20m

Pbase

(2.8)

onde, J é o momento de inércia combinado do gerador e da turbina a ele acoplado;

• Pmec: potência mecânica aplicada ao eixo do rotor do gerador;

• Pe: potência elétrica de entre-ferro do gerador, dada por:

Pe = Pt + RaI2t (2.9)

3Para maiores detalhes a respeito dos sistemas pu recíproco e não-recíproco ver KUNDUR (1994).

24

sendo, Pt a potência ativa de saída do gerador, Ra sua resistência de armadura, e

It o módulo da corrente de saída da máquina; Pt e It são dados, respectivamente,

pelas seguintes expressões:

Pt = VdId + VqIq (2.10)

It =√

(

I2d + I2

q

)

(2.11)

• δ: ângulo do rotor ou de carga, definido como o ângulo entre o eixo R do referencial

(R − I) e o eixo q do referencial (d − q)

Uma observação importante deve ser feita com relação à EQ. 2.4, chamada equação

de movimento ou de swing. Sua formulação mais correta dar-se-ia com a substituição dos

parâmetros Pmec e Pe por Tmec e Te, respectivamente, correspondendo os dois últimos aos

torques mecânico e elétrico. Entretanto, quando se trabalha com o modelo linearizado,

ou quando se considera a velocidade de rotação do rotor igual (ou muito próxima) a sua

velocidade síncrona em pu, os termos potência e torque praticamente se igualam podendo

ser intercambiáveis, sendo que a literatura referente ao assunto costuma apresentar a

equação de movimento como aqui foi visto. Nos Capítulos 4 e 5, que modelam a turbina

hidráulica e o SEP em suas formas não lineares, respectivamente, a devida correção será

feita de tal forma a se trabalhar com Tm e Te.

A conversão entre os sistemas de referência (R − I) e (d − q) é mostrada abaixo:[

Vd

Vq

]

=

[

senδ − cos δ

cos δ senδ

][

VR

VI

]

(2.12)

[

VR

VI

]

=

[

senδ cos δ

− cos δ senδ

][

Vd

Vq

]

(2.13)

[

Id

Iq

]

=

[

senδ − cos δ

cos δ senδ

][

IR

II

]

(2.14)

[

IR

II

]

=

[

senδ cos δ

− cos δ senδ

][

Id

Iq

]

(2.15)

sendo V e I a tensão e a corrente no gerador, respectivamente.

Substituindo as EQ. 2.9, 2.10 e 2.11 na EQ. 2.4 chega-se a uma nova formulação dada

por:

ω =1

2H

[

Pmec − VdId − VqIq − Ra

(

I2d + I2

q

)]

(2.16)

25

e operando com a EQ. 2.12 nas EQ. 2.16, 2.6 e 2.7, com relação aos parâmetros Vd e Vq,

obtêm-se os seguintes resultados:

ω =1

2H[Pmec − (VRsenδ − VI cos δ) Id −

− (VR cos δ + VIsenδ) Iq − Ra

(

I2d + I2

q

)

] (2.17)

0 = −E′′

d + VRsenδ − VI cos δ + RaId − X′′

q Iq (2.18)

0 = −E′′

q + VR cos δ + VIsenδ + RaIq + X′′

d Id (2.19)

As EQ. 2.1, 2.2, 2.3, 2.5, 2.17, 2.18 e 2.19, com as quais se trabalhará ao longo

dos próximos capítulos, modelam completamente, para os propósitos desta dissertação,

o comportamento dinâmico do gerador síncrono.

2.2.2 MODELO DA REDE ELÉTRICA

Através de um olhar mais cuidadoso nas equações do gerador, acima descritas, pode-

se perceber que existem 5 (cinco) equações diferenciais com suas 5 variáveis: E′

q, E′′

d , E′′

q ,

ω e δ; e 2 (duas) equações algébricas com 4 (quatro) variáveis: VR, VI , Id e Iq. Portanto o

número de incógnitas é superior ao número de equações. As responsáveis por solucionar

este problema serão as formulações algébricas da rede elétrica, que justamente relacionam

as tensões e as correntes injetadas nas diversas barras do sistema de potência.

A modelagem matemática da rede elétrica está toda baseada em sua configuração.

Para o caso tratado neste trabalho ela é definida pela FIG. 2.1. Percebe-se que as li-

nhas foram modeladas, apenas, por impedâncias série, o que pode ser feito sem nenhum

problema por tratar-se de linhas curtas, com comprimentos muito inferiores a 80 km.

Ainda a partir desta figura monta-se a expressão a seguir, denominada equação de rede,

que nada mais é do que um conjunto de equações de nó, muito usadas para solução de

circuitos elétricos, formatadas matricialmente:

I = Y V (2.20)

onde o vetor I corresponde às injeções de corrente nas barras, Y é a denominada matriz

admitância nodal, e o vetor V representa as tensões nas barras.

26

A EQ. 2.20 pode ser detalhada para o caso particular do sistema em estudo, resul-

tando em:

I1

0

0

0

0

=

y11 y12 y13 y14 y15

y21 y22 y23 y24 y25

y31 y32 y33 y34 y35

y41 y42 y43 y44 y45

y51 y52 y53 y54 y55

V1

V2

V3

V4

V5

(2.21)

A representação de injeção de corrente só é feita na barra 1 devido à presença do gerador

a ela conectada, ou seja, ela é exatamente a corrente de saída do gerador. Na matriz

admitância nodal estão presentes as admitâncias que chegam ou unem as barras, inclusive

de cargas tipo impedância constante (que é o caso considerado aqui). Salienta-se que os

índices de todos os elementos da expressão acima são uma referência direta à barra ou às

barras correspondentes. Uma explicação detalhada de como é feita a montagem da EQ.

2.21 é dada em KUNDUR (1994). Em ASSIS (2002) tem-se o exemplo para o caso de

um sistema tipo máquina-barra infinita.

As variáveis da EQ. 2.21 (corrente, admitâncias e tensões) podem ser entidades com-

plexas. Neste trabalho é adotada uma abordagem onde as partes real e imaginária são

separadas 4. A separação é possível de ser feita por uma simples manipulação algébrica

conforme exemplificado abaixo:[

IR

II

]

=

[

G −B

B G

][

VR

VI

]

(2.22)

onde, os índices R e I fazem referência às partes real e imaginária, respectivamente,

correspondendo, exatamente, aos eixos do referencial (R− I); G e B são a condutância e

susceptância da admitância considerada. Assim sendo, cada elemento do vetor de injeção

de correntes, inclusive os nulos, passa a ter a dimensão 2x1; da matriz de admitâncias, a

dimensão 2x2; e do vetor de tensões, também a dimensão 2x1.

Aplicando a EQ. 2.22 na EQ. 2.21, chega-se a uma nova formulação a ser empregada,

cuja dimensão será, portanto, o dobro da primeira. Isto poderá ser visto no próximo

capítulo.

4Tal procedimento evita o aparecimento de resíduos imaginários nos valores numéricos dos elementos

das matrizes do modelo de estado do sistema, pois passa-se a manipular somente grandezas reais.

27

Enfatiza-se, ainda, que a equação da rede, EQ. 2.21, é montada com base no referen-

cial externo (R − I).

A equação da rede associada às da máquina, acima discutidas, modelam comple-

tamente o sistema elétrico. Um formato mais adequado, a partir do qual é possível

encontrar a realização em espaço de estados de seu modelo linearizado, será desenvolvido

em um capítulo posterior.

2.3 MODELAGEM DO SISTEMA HIDRÁULICO

O sistema hidráulico de um SEP é composto pelos seguintes elementos básicos: reser-

vatório, conduto forçado, turbina e atuadores (incluindo o regulador de velocidade), res-

ponsáveis pela abertura e fechamento do distribuidor da mesma. O modelo dos atu-

adores será discutido no Capítulo 4. As equações da planta hidráulica estão baseadas

nas seguintes hipóteses simplificadoras: conduto inelástico, fluido (água) incompressível

e inexistência de chaminé de equilíbrio. Dadas as características do SEP do Exército

considerado, estas simplificações mostram-se perfeitamente aceitáveis. Ressalte-se que,

de fato, não há chaminé de equilíbrio na usina.

Duas são as equações principais (KUNDUR, 1994) que modelam o sistema hidráulico

(para maiores detalhes sobre máquinas hidráulicas ver também MACINTYRE (1983)):

a primeira relacionada à coluna d’água, e a segunda à turbina, respectivamente:

U = − 1

TW

(H − H0) = − 1

TW

[

(

U

Atg

)2

− H0

]

(2.23)

Pmec = (P − PL)Pru = (U − UNL) HPru = (U − UNL)

(

U

Atg

)2

Pru (2.24)

Todos os parâmetros das duas formulações acima estão em pu, a menos do tempo de

partida da água, TW , dado em segundos (s). Estes são assim definidos:

• Pmec: potência mecânica de saída da turbina (aplicada ao rotor do gerador);

• PL: perda de potência fixa da turbina, onde:

PL = UNLH (2.25)

• UNL: velocidade da água sem carga; tomando-se o regime de estado estacionário

para uma condição sem carga, da EQ. 2.23 tira-se que:

UNL = AtgNL (H0)1/2 (2.26)

28

• P : potência total da turbina, onde:

P = UH (2.27)

• U : velocidade da água no conduto forçado;

• H: altura da coluna d’água,da superfície do reservatório até o distribuidor da

turbina (não confundir com a constante de inércia H);

• H0: valor nominal de H considerado;

• g: abertura real do distribuidor da turbina;

• At: ganho da turbina dado por:

At =1

gFL − gNL

(2.28)

sendo gFL e gNL as aberturas do distribuidor a plena carga e sem carga, respecti-

vamente. O produto de At por g define um outro parâmetro, G, que é a abertura

ideal do distribuidor, ou seja:

G = Atg (2.29)

• TW : tempo de partida da água ou constante de tempo de inércia da água, dado

por:

TW =LUr

agHr

(s) (2.30)

sendo L o comprimento do conduto (em metros), Ur a velocidade da água de refe-

rência ou base (em m/s), ag a aceleração da gravidade (em m/s2), e Hr a altura

da coluna d’água de referência ou base (em metros);

• Pru: potência de referência (ou base) da turbina por unidade, dada por:

Pru =KWbase(turbina)

KWbase(gerador)=

Pr

Pbase

(2.31)

A modelagem da planta hidráulica estaria completa se, além das EQ. 2.23 e 2.24, fosse

incluído o modelo matemático dos atuadores. A apresentação deste modelo, porém, foi

reservada para o Capítulo 4 para permitir uma abordagem conjunta com o regulador de

velocidade, tratado no mesmo capítulo.

29

2.4 VALORES BASE, ESPECIFICAÇÃO DE MATERIAIS E DADOS DE PARÂME-

TROS

Esta seção define e especifica os materiais e parâmetros do SEP analisado. Estas

informações retratam fielmente a realidade encontrada na MUH em estudo. As grandezas

base consideradas do sistema elétrico e do sistema hidráulico também são explicitadas.

2.4.1 SISTEMA ELÉTRICO

O sistema elétrico possui as seguintes características gerais: geração em baixa tensão

(220 V), transmissão da energia em média tensão (13,8 KV), atendimento às cargas em

baixa tensão (220 V). Estes valores são de linha e nominais. A potência de geração

aproximada é de 100 KW. Com esses dados reais optou-se por escolher os seguintes

valores base:

• potência base (Pbase):

Pbase = 100 KW

• tensão base na baixa tensão (vbase): igual a tensão fase-neutro de pico nominal

vbase =

(

220√3

)√2 ≈ 179, 6 V

• corrente base na baixa tensão (ibase): definida como a corrente de pico de linha

ibase =Pbase

(3/2) vbase

≈ 371, 13 A

• impedância base na baixa tensão(zbase):

zbase =vbase

ibase

≈ 0, 484 Ω

• tensão base na alta (média) tensão (Vbase): obtido pela relação entre as tensões

nominais de linha no primário e no secundário do transformador

Vbase = vbase

13, 8

220103 ≈ 11, 268 KV

• corrente base na alta (média) tensão (Ibase):

Ibase =Pbase

(3/2) Vbase

≈ 5, 916 A

30

TAB. 2.1: Valores dos parâmetros do gerador elétrico. As grandezas em pu estão nabase 480V/105 KW.

Xd Xq X′

d X′′

d X′′

q Ra T′

d0 T′′

d0 T′′

q0 J∗

(pu) (pu) (pu) (pu) (pu) (pu) (ms) (ms) (ms) (kg.m2)

2,75 1,01 0,172 0,144 0,156 0,024 749 1,106 12,2 16,886

• impedância base na alta (média) tensão (Zbase):

Zbase =Vbase

Ibase

≈ 1904, 4 Ω

• freqüência elétrica base (ωbase): é a freqüência síncrona ω0

ωbase = 2π60 ≈ 376, 99 (rad/s)

Formulações muito semelhantes a estas aparecem no programa do Apêndice 8.1.1.

Com as grandezas base acima especificadas têm-se as ferramentas necessárias para

que valores de parâmetros elétricos sejam colocados em pu, ou sejam convertidos de uma

determinada base para aquela abordada no parágrafo anterior, conforme desenvolvimento

a seguir, começando-se pelo gerador elétrico.

a) Gerador Elétrico

• características gerais: gerador síncrono Weg padrão, modelo GTA200MI26, 105

KVA, 240 V, 60 Hz, 4 pólos, trifásica;

• parâmetros da máquina: os valores dos parâmetros de interesse do gerador elétrico

estão mostrados na TAB. 2.1; suas definições já foram dadas na Seção 2.2;

Uma observação deve ser feita com relação ao parâmetro J , definido como o momento

de inércia combinado do gerador e da turbina. Na verdade, existe um outro elemento

que também compõe a inércia total, que é o chamado volante de inércia. Não tendo sido

possível o levantamento de J de todo o conjunto (gerador+volante+turbina) foi estimado

um valor para o mesmo a partir do valor de J do gerador, fornecido pelo fabricante. E é

este valor estimado que aparece na TAB. 2.1.

Os parâmetros da TAB. 2.1 que estão em pu foram obtidos tomando-se como base

uma tensão de 480 V (tensão nominal de linha) e uma potência de 105 KW. Sendo estes

valores distintos daqueles arbitrados como base, e definidos anteriormente, então uma

31

mudança de bases faz-se necessária. A seguinte expressão é utilizada com este objetivo,

servindo como exemplo o parâmetro Xd:

Xd(nova base)(pu) = Xd(base antiga)(pu)z(base antiga)(Ω)

z(nova base)(Ω)(2.32)

Sendo a tensão de 480 volts um valor nominal de linha, e não uma tensão fase-neutro

de pico, então uma outra equação é usada para se obter a impedância base correspondente:

zbase =v2

base(V )

Pbase(KW )10−3 =

4802

10510−3 ≈ 2, 194 (2.33)

Tendo agora em mente que deseja-se passar da base 480V/105KW, para a base

179,6/100KW, e aplicando a EQ. 2.32 em todos os parâmetros devidos, obtêm-se:

Xd = 2, 752, 194

0, 484≈ 12, 46 (2.34)

Xq = 1, 012, 194

0, 484≈ 4, 58 (2.35)

X′

d = 0, 1722, 194

0, 484≈ 0, 779 (2.36)

X′′

d = 0, 1442, 194

0, 484≈ 0, 653 (2.37)

X′′

q = 0, 1562, 194

0, 484≈ 0, 71 (2.38)

Ra = 0, 0242, 194

0, 484≈ 0, 11 (2.39)

Finalmente, como na modelagem do gerador se trabalha com o parâmetro H, e não

com J , então, empregando-se a EQ. 2.8 e sabendo-se que a máquina possui 4 pólos,

pode-se determinar o valor de H na base desejada de 100KW. Isto é mostrado na equação

abaixo:

H =1

2

(

16, 886 [2π (1800/60)]2

100

)

10−3 ≈ 3 (2.40)

Os valores definitivos dos parâmetros de interesse do gerador, na base 179,6V e

100KW, são listados na TAB. 2.2.

b) Rede Elétrica

• características gerais:

(i) linhas: toda a rede de média tensão é formada pelo mesmo cabo de alumínio,

6 fios, bitola de 4 AWG, espaçamento aproximado entre os fios de 60 cm (2 pés),

32

TAB. 2.2: Valores dos parâmetros do gerador elétrico com as grandezas em pu na base179,6V/100 KW.

Xd Xq X′

d X′′

d X′′

q Ra T′

d0 T′′

d0 T′′

q0 H(pu) (pu) (pu) (pu) (pu) (pu) (ms) (ms) (ms) (pu)

12,46 4,58 0,779 0,653 0,71 0,11 749 1,106 12,2 3

e comprimentos da linha principal, do ramal do quartel, da vila dos militares e da

comunidade de 7, 1, 1,5 e 3 km (quilômetros), respectivamente; as linhas de baixa

tensão foram desconsideradas, isto porque supô-se um modelo no qual todas as

cargas estariam concentradas junto aos transformadores;

(ii) transformadores: transformador elevador de tensão (ligado ao gerador), 112KVA,

classe de tensão 15KV, tensão na baixa de 220/127 V, tensão na alta de 13,8 KV,

ligação estrela/triângulo; transformador abaixador (ligado ao quartel), 45KVA,

classe de tensão 15KV, tensão na alta de 13,8KV, tensão na baixa de 220/127

volts, ligação triângulo/estrela; transformadores da vila militar e da comunidade

com as mesmas características do anterior, mas com uma potência de 30KVA; todos

os transformadores da WEG;

• parâmetros da rede: abaixo são especificados os parâmetros de interesse da rede

elétrica. No caso dos transformadores, sendo seus valores fornecidos em pu, são

feitas as devidas transformações para a base de interesse. As simbologias utilizadas

são as mesmas constantes do programa do Apêndice 8.1.1, e a identificação dos

índices numéricos existentes pode ser feita observando-se a FIG. 2.1.

(i) RL: resistência da linha;

RL = 1, 4 Ω/km

(ii) XL: indutância da linha;

XL = 0, 434 Ω/km

(iii) xt1: indutância do transformador da barra 1 (do gerador) em pu, na base

15KV/112KVA;

xt1 = 0, 035

(iv) xt2: indutância do transformador da barra 3 (do quartel) em pu, na base

15KV/45KVA;

xt2 = 0, 035

33

TAB. 2.3: Valores dos parâmetros de interesse da rede elétrica com as grandezas em puna base 11.268KV/100KW

RL XL xt1 xt2 xt3 xt4

(Ω/km) (Ω/km) (pu) (pu) (pu) (pu)

1,4 0,434 0,0369 0,09189 0,1378 0,1378

(v) xt3 e xt4: indutâncias dos transformadores das barras 4 (vila militar) e 5 (co-

munidade) em pu, na base 15KV/30KVA;

xt3 = xt4 = 0, 035

Com relação aos transformadores dois fatos devem ser salientados: suas resistências

não foram citadas, isto porque elas podem ser consideradas desprezíveis; e suas reatâncias

precisam ser convertidas para a base correta, o que é feito através da EQ. 2.33 com os

devidos ajustes, e da EQ. 2.32, conforme procedimento abaixo.

Z(base)t1 =152

112103 ≈ 2008, 9 Ω (2.41)

Z(base)t2 =152

45103 = 5000 Ω (2.42)

Z(base)t3 = Z(base)t4 =152

30103 = 7500 Ω (2.43)

xt1 = 0, 0352008, 9

1904, 4≈ 0, 0369 (pu) (2.44)

xt2 = 0, 0355000

1904, 4≈ 0, 09189 (pu) (2.45)

xt3 = xt4 = 0, 0357500

1904, 4≈ 0, 1378 (pu) (2.46)

Um resumo dos parâmetros de interesse da rede elétrica com seus respectivos valores

é dado na TAB. 2.3

2.4.2 SISTEMA HIDRÁULICO

A planta hidráulica possui as seguintes especificações abaixo listadas.

• turbina tipo Michel-Banki, com uma potência nominal de saída (Pmec) de 100KW;

• comprimento do conduto forçado (L): 83 m (metros);

• diâmetro do conduto forçado (D): 1,10 m;

34

• velocidade média da água (U0): 1,8 (m/s);

• altura de queda, ou da coluna d’água, nominal (H0): 7,7 m (já considerando a

perda de carga);

• abertura real do distribuidor da turbina a plena carga (gFL): 0,96 (pu);

• abertura real do distribuidor da turbina sem carga (gNL): 0,16 (pu);

• ganho da turbina (At):

At =1

0, 96 − 0, 16= 1, 25 (adimensional)

Com os dados acima citados, foram arbitrados os seguintes valores como base (ou

referência):

• Pr: 100 KW (igual à potência base do gerador elétrico);

• Ur: 1,8 (m/s);

• Hr: 7,7 (m);

• TW : tempo de partida da água;

TW =83 × 1, 8

9, 81 × 7, 7≈ 1, 98 (s)

Através destas informações, e das definições e equações tratadas na Seção 2.3 pode-

se chegar aos valores dos parâmetros de interesse do sistema hidráulico apresentados na

TAB. 2.4. Observe-se que o ganho da turbina At é um termo adimensional (s/d).

TAB. 2.4: Parâmetros de interesse da planta hidráulica.At H0 UNL TW Pru

(s/d) (pu) (pu) (s) (pu)

1,25 1 0,2 1,98 1

35

3 MODELO LINEARIZADO DO SISTEMA ELÉTRICO -

REGULADORES DE TENSÃO E SIMULAÇÕES

Neste capítulo, as equações do sistema elétrico discutidas na Seção 2.2 são lineariza-

das e manipuladas em vistas à obtenção de Reguladores Automáticos de Tensão (RAT)

via técnicas de controle linear. Para se chegar a este objetivo, entretanto, algumas eta-

pas intermediárias são necessárias. Na Seção 3.1 procede-se à linearização analítica das

equações da planta elétrica. Em seguida, Seção 3.2, através da determinação de valores

para as cargas do sistema, passa-se à definição dos pontos de operação, em tornos dos

quais as equações da planta serão aplicadas. A matriz admitância nodal é então montada,

e com um simples rearranjo da equação de rede (EQ. 2.21) são determinados, para todos

os pontos de operação, os valores das variáveis algébricas de interesse, sem necessidade

de se executar um algoritmo de fluxo de carga. Já a Seção 3.3 consiste na modelagem

do sistema elétrico de acordo com uma formulação denominada aumentada ou implícta,

baseada nas equações linearizadas do sistema elétrico. A formulação aumentada permite

a obtenção das matrizes A, B, C e D, da realização em espaço de estados, para os vários

pontos de operação, o que também é tratado nessa seção. O projeto dos reguladores de

tensão é abordado na Seção 3.4. Um RAT é obtido para cada ponto de operação sendo

seus desempenhos avaliados via simulação. É mostrada, também, uma comparação entre

os desempenhos de dois reguladores, estando apenas um deles sintonizado no ponto de

operação considerado. Finalmente, na Seção 3.5 chega-se à obtenção de um regulador

de tensão final através da interpolação, via lógica difusa (fuzzy), dos ganhos de RAT

projetados na seção precedente.

É relevante comentar que os cálculos e procedimentos tratados nas Seções 3.2 e 3.3

estão implementados nas rotinas Matlab apresentadas nos Apêndices 8.1.1 e 8.1.2. As

nomenclaturas adotadas no texto são, basicamente, as mesmas presentes nesses progra-

mas, sendo recomendável, então, que a leitura deste capítulo seja acompanhada de uma

constante referenciação às partes pertinentes dos citados apêndices.

36

3.1 LINEARIZAÇÃO DAS EQUAÇÕES DO SISTEMA ELÉTRICO

As equações algébrico-diferenciais (EAD) do sistema elétrico podem ser escritas nas

seguintes formas genéricas:

˙x = f (x, r, u) (3.1)

0 = g(x, r) (3.2)

onde,

x: vetor de n variáveis diferenciais, ou de estado;

r: vetor de m variáveis algébricas;

u: vetor de k entradas;

f : vetor de funções das equações diferenciais;

g: vetor de funções das equações algébricas;

0: vetor de zeros;

Em um ponto de equilíbrio (ou de operação) tem-se que:

˙x0 = f (x0, r0, u0) = 0 (3.3)

A linearização das EQ. 3.1 e 3.2 em torno de um ponto de operação genérico (x0, r0, u0)

é feita pela expansão em Séries de Taylor, e tomando-se somente o primeiro termo, como

mostrado a seguir.

∆xi =

(

∂fi

∂x1

)

x0,r0,u0

∆x1 + ... +

(

∂fi

∂xn

)

x0,r0,u0

∆xn +

+

(

∂fi

∂r1

)

x0,r0,u0

∆r1 + ... +

(

∂fi

∂rm

)

x0,r0,u0

∆rm +

+

(

∂fi

∂u1

)

x0,r0,u0

∆u1 + ... +

(

∂fi

∂uk

)

x0,r0,u0

∆uk; i = 1, ..., n (3.4)

0 =

(

∂gp

∂x1

)

x0,r0

∆x1 + ... +

(

∂gp

∂xn

)

x0,r0

∆xn +

+

(

∂gp

∂r1

)

x0,r0

∆r1 + ... +

(

∂gp

∂rm

)

x0,r0

∆rm; p = 1, ...,m (3.5)

onde ∆ simboliza uma variação incremental em torno do ponto de operação considerado.

De forma análoga, a linearização das EQ. 2.1, 2.2, 2.3, 2.5, 2.17, 2.18 e 2.19 resulta

em:37

∆E′

q = − 1

T′

d0

∆E′

q −(Xd − X

′

d)

T′

d0

∆Id +1

T′

d0

∆Efd (3.6)

∆E′′

d = − 1

T′′

q0

∆E′′

d +Xq − X

′′

q

T′

d0

∆Iq (3.7)

∆E′′

d = − 1

T′′

d0

∆E′′

q +1

T′′

d0

∆E′

q −(X

′

d − X′′

d )

T′′

d0

∆Id (3.8)

∆ω =(−VR10Id0 cos δ0 − VI10Id0senδ0 + VR10Iq0senδ0 − VI10Iq0 cos δ0)

2H∆δ +

+(−VR10senδ0 + VI10 cos δ0 − 2RaId0)

2H∆Id +

+(−VR10 cos δ0 − VI10senδ0 − 2RaIq0)

2H∆Iq +

+(−Id0senδ0 − Iq0 cos δ0)

2H∆VR1 +

(Id0 cos δ0 − Iq0senδ0)

2H∆VI1 +

+1

2H∆Pmec (3.9)

∆δ = ω0∆ω (3.10)

0 = −∆E′′

d + (VR10 cos δ0 + VI10senδ0)∆δ + Ra∆Id − Xq∆Iq +

+senδ0∆VR1 − cos δ0∆VI1 (3.11)

0 = −∆E′′

q + (−VR10senδ0 + VI10 cos δ0)∆δ + X′′

d ∆Id + Ra∆Iq +

+ cos δ0∆VR1 + senδ0∆VI1 (3.12)

Um ponto a ser enfatizado é que, a partir das formulações acima, passou-se a utilizar

a notação VR1 e VI1 para a tensão terminal do gerador, ao invés de VR e VI , sendo o índice

1 uma referência à barra a qual está ligada a máquina.

Duas equações devem ainda ser linearizadas, fora uma terceira, relacionada ao mó-

dulo da tensão terminal do gerador, que será deixada para a Seção 3.3. Para explicar

as duas primeiras há de se enfatizar o seguinte aspecto: a corrente da rede, I1 (ver EQ.

2.21), é igual à corrente de saída do gerador. A primeira é escrita no referencial (R− I),

enquanto a segunda o é no referencial (d − q). Com isto em mente pode-se intuir que

uma conversão de referenciais se faz necessária, o que ficará evidente na próxima seção,

quando a formulação aumentada for descrita. Assim sendo, da EQ. 2.15 vem que:

IR1 = senδId1 + cos δIq1 (3.13)

II1 = − cos δId1 + senδIq1 (3.14)

38

Sabendo-se que Id1 e Iq1 são o mesmo que Id e Iq, respectivamente, então a linearização

das EQ. 3.13 e 3.14 resulta em:

∆IR1 = (cos δ0Id0 − senδ0Iq0)∆δ + senδ0∆Id + cos δ0∆Iq (3.15)

∆II1 = (senδ0Id0 + cos δ0Iq0)∆δ − cos δ0∆Id + senδ0∆Iq (3.16)

Por um olhar mais atento nas EQ. 3.6 a 3.12, 3.15 e 3.16 percebe-se que devem ser

conhecidos (ou determinados) os valores dos seguintes parâmetros, os quais definem os

pontos de operação do gerador e, conseqüentemente, do sistema elétrico: VR10, VI10, Id0,

Iq0 e δ0. A definição dos pontos de operação e a determinação destes parâmetros são

tratadas na seção a seguir.

3.2 OS PONTOS DE OPERAÇÃO DO SEP E A SOLUÇÃO DA EQUAÇÃO DE

REDE

Conforme citado na seção anterior, a linearização do modelo matemático de um

sistema é feita em torno de um ponto de equilíbrio, o qual define as condições operativas

deste sistema. No caso do SEP abordado neste trabalho, que é do tipo gerador-carga,

a determinação de um ponto de operação depende do conhecimento dos valores das

cargas (consumidor). O método adotado para a especificação das potências das cargas,

bem como todo o desenvolvimento feito para se calcular os parâmetros descritos no

último parágrafo da Seção 3.1 estão presentes nos programas dos Apêndices 8.1.1 e 8.1.2.

As rotinas iniciais do primeiro programa, que se referem à definição das cargas, estão

baseadas em uma série de considerações de caráter eminentemente subjetivo. Por esta

razão, achou-se por bem tecer alguns comentários a respeito destas rotinas visando uma

melhor compreensão por parte do leitor. Isto é feito a seguir.

Com o cuidado de se tentar cobrir situações de operação do sistema com baixos,

médios e elevados níveis de carregamento foram estipulados cinco valores para a potência

ativa total das cargas (em pu), quais sejam: 0,175, 0,425, 0,675, 0,925 e 1. Três foram os

fatores de potência considerados para o conjunto das cargas: 0,6, 0,8 e 1. Desta forma,

para cada valor de potência ativa outros três de potência reativa são obtidos. A matriz

PC ("Potência das Cargas") do programa é responsável por armazenar todos estes dados.

Cada uma de suas colunas define um ponto de operação, em um total de quinze.

Uma outra matriz simbolizada por DP foi criada com o intuito de se determinar

o percentual de carga devido a cada consumidor em cada ponto de operação. Foram

39

especificadas seis distribuições percentuais possíveis, cada uma correspondendo a uma

coluna. A correlação entre as distribuições e os pontos de operação foi feita a partir

de uma estrutura de seleção do tipo "if, elseif, else", que gera duas outras matrizes,

CCP e CCQ, contendo, respectivamente, as potência ativa e reativa de cada um dos

consumidores para todos os pontos de operação. Nesta correlação foi levado em conta

o limite máximo de potência de cada consumidor, dado pelos valores dos respectivos

transformadores (ver Seção 2.4.1).

Seguindo a seqüência do mesmo programa passa-se às definições e cálculos de valores

base e parâmetros da rede elétrica. Praticamente tudo isto já foi apresentado no Capítulo

2 a não ser por dois aspectos que são agora destacados. O primeiro diz respeito à obtenção

da condutância, g, e da susceptância, b, de um elemento, conhecida sua impedância z.

Seja, então, um z genérico dado por: z = r + jx, sendo r a resistência e x a reatância do

elemento, ambos em pu, e j =√−1 . Assim, tem-se que:

g =r

r2 + x2(pu) (3.17)

b = − x

r2 + x2(pu) (3.18)

O segundo trata da relação entre a condutância gc e a susceptância bc, de uma carga tipo

impedância constante, e suas potências ativa e reativa, respectivamente. Não é difícil

mostrar que gc e bc podem ser encontrados pelas seguintes equações:

gc =Pc

v2c

(mho) (3.19)

bc = −Qc

v2c

(mho) (3.20)

onde,

Pc: potência ativa nominal da carga em Watts (W);

Qc: potência reativa nominal da carga em Volt-Ampére-reativo (VAr)

vc: tensão nominal da carga em volts (V); em se tratando de carga trifásica pode-se

inferir que é igual à tensão de linha nominal que a alimenta;

Reescrevendo as EQ. 3.19 e 3.20 em pu, a partir das definições dos valores base

apresentadas em 2.4.1, tem-se que:

gc(pu) =gc

gbase

=gc

1zbase

= gczbase =Pc

v2c

(3/2)v2base

Pbase

(3.21)

40

Da própria definição de vbase pode-se tirar que:

vbase =vL

√2√

3(3.22)

sendo vL a tensão de linha nominal;

Substituindo 3.22 em 3.21, tem-se:

gc =Pc

v2c

32

(

vL

√2√

3

)2

Pbase

=Pcv

2L

Pbasev2c

(3.23)

Considerando que vc seja igual a vL, conclui-se que:

gc =Pc

Pbase

= Pc (pu) (3.24)

O mesmo raciocínio pode ser adotado com relação à susceptância resultando em:

bc = − Qc

Pbase

= −Qc (pu) (3.25)

Neste ponto já se dispõe de todo o subsídio necessário para a montagem da matriz

de admitâncias, Y . Saliente-se a inserção das condutâncias e susceptâncias de cada

consumidor (carga) nesta matriz. Como estes parâmetros das cargas dependem do ponto

de operação considerado, pode-se concluir que serão quinze as matrizes de admitâncias

geradas (uma para cada ponto).

A próxima etapa é a solução da equação de rede (EQ. 2.21) para a determinação das

variáveis algébricas, ou seja, corrente injetada pelo gerador e tensões nas barras. Para

isso, faz-se necessário o arbítrio da tensão de uma barra, de tal forma que ela sirva como

referência para toda a rede. Por conveniência foi escolhida a barra 1, a qual está conec-

tado o gerador, sendo sua tensão V1 especificada da seguinte forma:

V1 =

[

VR1

VI1

]

=

[

1

0

]

(3.26)

ou, equivalentemente

V1 = VR1 + jVI1 = 1 + j0 (3.27)

41

Estando definida a tensão V1, as demais variáveis algébricas da EQ. 2.21 podem ser

determinadas sem necessidade de se executar um programa de fluxo de carga (MONTI-

CELLI, 1983), através de uma simples manipulação algébrica. Trocando I1 e V1 de lugar,

pode-se reestruturar a EQ. 2.21 da seguinte forma:

N1 = N2 ∗ N3 (3.28)

onde,

N1 =

−y11V1

−y21V1

−y31V1

−y41V1

−y51V1

(3.29)

N2 =

−IN y12 y13 y14 y15

0 y22 y23 y24 y25

0 y32 y3(:, :, i) y34 y35

0 y42 y43 y4(:, :, i) y45

0 y52 y53 y54 y5(:, :, i)

(3.30)

N3 =

I1

V2

V3

V4

V5

(3.31)

Levando-se em consideração os diversos elementos nulos das matrizes N1 e N2 (ver

Apêndice 8.1.1), tem-se:

N1 =

−y11V1

−y21V1

0

0

0

(3.32)

42

N2 =

−IN y12 0 0 0

0 y22 y23 y24 y25

0 y32 y3(:, :, i) 0 0

0 y42 0 y4(:, :, i) 0

0 y52 0 0 y5(:, :, i)

(3.33)

Alguns comentários podem ser feitos a respeito das matrizes acima definidas:

(i) por razões de simplificação, os elementos das matrizes N1, N2 e N3 não estão mostra-

dos com a devida expansão em suas partes real e imaginária; se isto fosse feito a

dimensão de cada uma das matrizes dobraria (ver programa do Apêndice 8.1.1);

(ii) o elemento IN representa uma matriz identidade de ordem 2;

(iii) N2 é uma matriz muito semelhante à matriz admitância nodal, com as mudanças

necessárias devido à permutação entre I1 eV1;

(iv) os elementos y3(:, :, i), y4(:, :, i) e y5(:, :, i) são aqueles nos quais os parâmetros das

cargas (condutâncias e susceptâncias) se fazem presentes; o índice i, variando de 1

a 15, indica o ponto de operação;

A solução da equação de rede é então obtida facilmente, pela seguinte expressão:

N3 = N−12 ∗ N1 (3.34)

Naturalmente, ter-se-á um conjunto de soluções (N3) correspondente ao conjunto

de pontos de operação. Na verdade, porém, do conjunto solução, apenas os valores da

variável I1 serão usados nas equações linearizadas do sistema elétrico 5.

Tendo sido definido o valor de V1 (que permanecerá o mesmo para todos os pontos

de operação) e calculados os valores de I1, basta agora encontrar os ângulos δ nos pon-

tos de operação desejados para que as equações linearizadas do sistema elétrico sejam

implementadas.

Os pontos de equilíbrio de um sistema dinâmico, definidos matematicamente pela EQ.

3.3, correspondem a situações de estado estacionário do mesmo. Em regime estacionário

5Para constatação deste fato o leitor deve recorrer ao programa do Apêndice 8.1.2.

43

a seguinte expressão é válida para o gerador elétrico (KUNDUR, 1994), (CHAPMAN,

1991):

Eq = VT + (Ra + jXq)IT (3.35)

sendo,

Eq a tensão interna da máquina;

VT a tensão terminal do gerador, e

IT sua corrente de saída; (os demais parâmetros já foram definidos na Seção 2.2.1).

Expandindo-se os termos do referencial (R−I) em suas componentes real e imaginária

tem-se:

ERq + jEIq = (VRT + jVIT ) + (Ra + jXq)(IRT + jIIT ) (3.36)

Como VT e IT são idênticos a V1 e I1, respectivamente, então, a EQ. 3.36 pode ser

reescrita:

ERq + jEIq = (VR1 + jVI1) + (Ra + jXq)(IR1 + jII1) (3.37)

Separando-se as partes real e imaginária, e indicando-se os diferentes pontos de ope-

ração pelo índice i, chega-se a:

ERq(i) = VR1(i) + RaIR1(i) − XqII1(i) (3.38)

EIq(i) = VI1(i) + XqIR1(i) + RaII1(i) (3.39)

donde pode-se tirar que:

δ(i) = tg−1

(

EIq(i)

ERq(i)

)

(3.40)

Com relação aos procedimentos adotados para a determinação do ângulo δ cabem

algumas observações:

(i) o cálculo do ângulo é feito para cada ponto de operação;

(ii) a EQ. 3.40 foi executada no programa do Apêndice 8.1.2 pelo uso da função angle

do Matlab;

(iii) as seguintes notações do citado programa e deste texto são correspondentes: Eqr

e ERq; Eqm e EIq; V 1(1, i) e VR1(i); V 1(2, i) e VI1(i); I1(1, i) e IR1(i); I1(2, i) e

II1(i);

As considerações, desenvolvimentos e cálculos feitos acima fornecem as informações

necessárias e suficientes para que o modelo do sistema elétrico seja formatado segundo

uma formulação denominada aumentada ou implícita, a partir da qual uma realização

em espaço de estados pode ser obtida. Estes assuntos são abordados a seguir.

44

3.3 AS FORMULAÇÕES AUMENTADA (OU IMPLÍCITA) E EM ESPAÇO DE ES-

TADOS

No momento, o objetivo do trabalho se concentra na obtenção de controladores que

garantam a manutenção da tensão de saída do gerador elétrico dentro de níveis muito

próximos a um valor nominal, para variadas situações de operação do SEP. Para tanto,

naturalmente, há de se empregar técnicas de controle baseadas no modelo matemático

da dinâmica do sistema em questão. Esse modelo, contudo, deve ser trabalhado de tal

forma a se chegar, a partir dele, em uma formatação adequada ao uso destas técnicas

de controle, como a realização em espaço de estados, por exemplo. Em se tratando,

porém, de sistemas cuja modelagem seja dada por EAD parece mais adequado que estas

equações sejam inicialmente configuradas segundo uma formulação denominada aumen-

tada (ou implícita). Isto porque, a partir desta formulação torna-se simples a obtenção

da realização em espaço de estados do sistema. A forma de estado aumentada pode ser

descrita pelas seguintes expressões:

˙x

. . .

0

=

J1... J2

. . . . . .

J3... J4

x

. . .

r

+

Bx

. . .

Br

u (3.41)

y =[

Cx

... Cr

]

x

. . .

r

(3.42)

onde,

x: vetor de variáveis de estado (ou diferenciais);

r: vetor de variáveis algébricas;

u: vetor de entradas;

0: vetor de elementos nulos;

y: vetor de saídas;

Para o caso de equações linearizadas em torno de um ponto de operação i, as EQ.

3.41 e 3.42 podem ser reescritas da seguinte maneira mais representativa:

∆˙x

. . .

0

=

(J1)i

... (J2)i

. . . . . .

(J3)i

... (J4)i

∆x

. . .

∆r

+

(Bx)i

. . .

(Br)i

∆u (3.43)

45

∆y =[

(Cx)i

... (Cr)i

]

∆x

. . .

∆r

(3.44)

As saídas de interesse do sistema em estudo são: a freqüência de rotação do gera-

dor ω, e o módulo de sua tensão terminal |VT |. O primeiro parâmetro é uma variável

de estado, podendo ser obtido diretamente; já o módulo da tensão terminal precisa ser

calculado, o que pode ser conseguido pela seguinte equação:

|VT | = |V1| =√

V 2R1 + V 2

I1 (3.45)

Linearizando a EQ. 3.45 em torno de um ponto de operação i tem-se:

∆|VT | =VR1(i)

√

V 2R1(i) + V 2

I1(i)

∆VR +VI1(i)

√

V 2R1(i) + V 2

I1(i)

∆VI (3.46)

Agora, já se dispondo de todo o conjunto de equações necessárias para a modelagem

do sistema elétrico linearizado (EQ. 3.6, 3.7, 3.8, 3.9, 3.10, 3.11, 3.12, 3.15, 3.16 e 3.46)

basta manipulá-las devidamente para que se transformem na formulação aumentada, com

as variáveis de estado, variáveis algébricas, as entradas e saídas ordenadas da seguinte

maneira (o símbolo ∆ foi omitido apenas para simplificar as notações):

• variáveis de estado ∆x: E′

q, E′′

d , E′′

q , ω e δ;

• variáveis algébricas ∆r: Id, Iq, VR1, VI1, VR2, VI2, VR3, VI3, VR4, VI4, VR5 e VI5;

• entradas ∆u: Efd e Pmec;

• saídas ∆y: ω e |V1|;

Note-se que as componentes IR1 e II1 da corrente injetada na barra 1, I1, não apare-

cem entre as variáveis algébricas, mas sim Id e Iq. Por esta razão tornou-se obrigatória a

conversão entre referenciais feita pelas EQ. 3.13 e 3.14.

A montagem das matrizes da forma de estado aumentada está apresentada no pro-

grama do Apêndice 8.1.2.

A obtenção, a partir da formulação aumentada, das matrizes A, B, C e D da re-

alização em espaço de estados correspondente pode ser conseguida por uma eliminação

numérica-matricial do vetor de variáveis algébricas r, conforme discutido em PELLANDA

46

(1993). Desta eliminação chega-se que:

A = J1 − J2J−14 J3 (3.47)

B = Bx − J2J−14 Br (3.48)

C = Cx − CrJ−14 J3 (3.49)

D = −CrJ−14 Br (3.50)

Esta seção se encerra com a observação de que os modelo em espaço de estados do

SEP são em número de quinze, um para cada ponto de operação.

3.4 PROJETO DE REGULADORES DE TENSÃO E SIMULAÇÕES

O sistema de potência em estudo possui, como pode ser inferido das informações

prestadas na seção anterior, duas entradas e duas saídas, das quais podem ser extraídas

quatro Funções de Transferência (FT). Em se tendo como objetivo o projeto de regu-

ladores de tensão, RAT, apenas uma FT será de interesse, qual seja, ∆|V1|(s)∆Efd(s)

. Ao longo

dos projetos, considerar-se-á a entrada ∆Pmec como sendo nula e a saída ω será ignorada.

Uma observação importante a ser feita é que os pontos de operação 10 (potência

ativa total da carga de 0,925 pu e reativa de 1,23 pu) e 13 (potência ativa total da carga

de 1 pu e reativa de 1,33) foram desconsiderados por ultrapassarem os limites do gerador.

Tome-se, como base, a realização em espaço de estados do SEP para o primeiro ponto

de operação. Como primeiro passo tem-se o levantamento dos pólos e zeros da função de

transferência de interesse. Isto está mostrado nas FIG. 3.1 e 3.2.

A figura FIG. 3.2 é apenas uma ampliação para uma melhor visualização dos pólos

e zeros próximos ou na origem (na verdade, com certa imprecisão por parte das figuras,

sobretudo na origem). Outros comandos do Matlab como o tzero e o eig, podem fornecer

com maior exatidão os valores dos pólos e zeros desta função de transferência, que são:

• pólos: -923,7637; -146,2026; -5,022; 0 e 0;

• zeros: -157,398; 0 e 0;

Com estes resultados algumas conclusões importantes podem ser depreendidas:

(i) devido à ausência de uma barra infinita ou outra(s) máquina(s), não existe um modo

de oscilação eletromecânica; no seu lugar aparecem dois pólos na origem (duplo

integrador);

47

Pole−Zero Map

Real Axis

Imag

Axi

s

−1000 −800 −600 −400 −200 0 200−1

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

System: sys Pole: −924 Damping: 1 Overshoot (%): 0 Frequency (rad/sec): 924

System: sys Zero: −157 Damping: 1

Overshoot (%): 0 Frequency (rad/sec): 157

System: sys Pole: −146 Damping: 1 Overshoot (%): 0 Frequency (rad/sec): 146

FIG. 3.1: Diagrama de pólos e zeros da FT ∆|V1|(s)∆Efd(s)

, do SEP. Primeiro ponto deoperação.

Pole−Zero Map

Real Axis

Imag

Axi

s

−8 −6 −4 −2 0 2 4

−6

−4

−2

0

2

4

6

x 10−3

System: sys Pole: −5.02 Damping: 1

Overshoot (%): 0 Frequency (rad/sec): 5.02

System: sys Zero: −2.03e−006 Damping: 1 Overshoot (%): 0 Frequency (rad/sec): 2.03e−006

FIG. 3.2: Diagrama de pólos e zeros da FT ∆|V1|(s)∆Efd(s)

, do SEP- ampliação da região dográfico próxima à origem. Primeiro ponto de operação.

(ii) como era de se esperar, existem dois zeros locados na origem anulando o efeito do

duplo integrador; se assim não fosse, ter-se-ia, em malha aberta, para a aplicação

de uma tensão de campo constante, um crescimento contínuo da tensão de saída

do gerador, o que é sabido não se verificar na prática;

Uma relação com os valores dos pólos e zeros em todos os pontos de operação dese-

48

jados é dada na TAB. 3.1.

TAB. 3.1: Pólos e zeros da FT ∆|V1|(s)∆Efd(s)

nos pontos de operação analisados.

pontos de operação pólos zeros1 -923,76 -146,20 -5,022 0 0 -157,39 0 02 -916,39 -123,24 -4,186 0 0 -139,87 0 03 -905,32 -88,15 -3,314 0 0 -121,21 0 04 -944,37 -214,12 -8,699 0 0 -234,49 0 05 -931,88 -178,18 -7,846 0 0 -215,47 0 06 -910,48 -116,48 -9,023 0 0 -233,01 0 07 -958,78 -260,38 -10,929 0 0 -282,39 0 08 -944,67 -223,16 -10,288 0 0 -267,33 0 09 -918,43 -159,12 -13,185 0 0 -318,73 0 011 -955,25 -258,90 -11,945 0 0 -303,32 0 012 -927,67 -204,45 -15,545 0 0 -371,52 0 014 -958,03 -268,03 -12,339 0 0 -311,96 0 015 -930,61 -217,55 -16,011 0 0 -382,53 0 0

Sejam, agora, os requisitos de desempenho do sistema (para a função de transferência

já definida) assim estipulados:

• tempo de subida, Tr, inferior ou igual a 0,5 segundos;

• sobre-sinal (overshoot), Mp, menor do que 10 por cento;

A primeira medida no projeto do RAT foi a inserção de um integrador na malha

direta do sistema, com vistas à eliminação do erro de estado estacionário quando do

fechamento da malha. Um aspecto importante a ser ressaltado é que, neste momento, a

tensão de campo(∆Efd) passa a corresponder ao sinal de saída do RAT. A entrada passa

a ser um sinal-referência (∆Vref ) para a tensão terminal do gerador, conforme mostrado

na FIG. 3.3.

Após algumas simulações foi constatado que com um ganho de 40 já se atendia à

especificação de Tr, mas não à de Mp. A modelagem em ambiente Simulink do sistema

elétrico em malha fechada com o RAT em questão, e o resultado da simulação para uma

entrada em degrau com amplitude de 0,05 pu em ∆Vref são mostrados nas FIG. 3.4 e

3.5, respectivamente.

Na FIG. 3.4 percebe-se a presença de um bloco tipo PID (proporcional-integral-

derivativo), que representa o RAT (a menos do ganho, externo ao bloco). É fácil deduzir

que, dadas as características do regulador de tensão considerado até o momento (inte-

grador), os parâmetros referentes às partes proporcional e derivativa foram considerados

nulos.49

FIG. 3.3: Diagrama em blocos de malha fechada da planta elétrica com o RAT,mostrando os sinais da tensão de referência (∆Vref ), da tensão de campo (∆Efd) e da

tensão terminal do gerador (∆Vt).

FIG. 3.4: Modelo em Simulink do sistema elétrico em malha fechada.

Visando eliminar (ou reduzir) o overshoot constatado na FIG. 3.5, e tendo-se em

mente a teoria relativa à análise de sistemas de controle pelo método do lugar das raízes

(root locus), OGATA (1990), um zero foi locado à direita do pólo que está à esquerda

da origem e mais próximo a ela, ou seja o pólo −5, 022. Isto foi feito para que o pólo do

integrador fosse atraído pelo zero ora inserido (no ponto −4). Com isso, o RAT passou

a ser modelado pela seguinte função de transferência:

s + 4

s= 1 +

4

s(3.51)

Ou seja, obteve-se um regulador tipo proporcional-integral (PI). Foi mantido o ganho

externo de 40. O resultado da simulação para a mesma entrada de 0,05 pu em ∆Vref é

mostrado na FIG. 3.6.50

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07

tempo (s)

delta

|V1|

FIG. 3.5: Resposta de ∆|V1| para uma entrada ao degrau de 0,05 pu em ∆Vref , com umregulador tipo I (integrador)- primeiro ponto de operação.

Um segundo teste foi feito a fim de avaliar a eficiência do controle. Foi aplicado um

sinal de entrada tipo pulso, de 0,05 pu de amplitude e largura de 1 segundo. O resultado

pode ser visto na FIG. 3.7.

Percebe-se que os resultados evidenciados nas FIG. 3.6 e 3.7 foram satisfatórios,

atendendo às exigências de desempenho do sistema previamente definidos. Caso se deseje

uma melhoria desse desempenho pode-se aumentar o ganho, ou aproximar ainda mais,

pela direita, o zero (do regulador) do pólo −5, 022 (do sistema).

Exatamente o mesmo raciocínio foi seguido com relação ao demais pontos de opera-

ção. A TAB. 3.2 traz os parâmetros usados para a sintonia dos reguladores de tensão, os

quais estão modelados pela seguinte FT genérica:

G

(

P +I

s

)

(3.52)

onde, G se refere ao ganho externo, P ao termo proporcional, e I ao integral.

Os resultados obtidos com estes reguladores são mostrados da FIG. 3.8 à FIG. 3.19.

Por elas fica claro que a resposta da tensão terminal (módulo) do gerador, para uma

entrada tipo pulso (amplitude de 0,05 pu e duração de 1 segundo) em ∆Vref , atende aos

requisitos de desempenho já definidos, em todos os pontos de operação (à exceção do 100

e 130 pontos, que foram descartados). Observe-se que a saída (∆|V1|) segue, ou rastreia,

a entrada-referência (∆Vref ), como era de se desejar.

51

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 20

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

delta

|V1|

tempo (s)

FIG. 3.6: Resposta de ∆|V1| para uma entrada ao degrau de 0,05 pu em ∆Vref , com umregulador tipo PI (proporcional - integral)- primeiro ponto de operação.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5−0.01

0

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

tempo (s)

delta

|V1|

FIG. 3.7: Resposta de ∆|V1| para uma entrada tipo pulso de 0,05 pu e duração de 1segundo em ∆Vref , com um regulador tipo PI (proporcional - integral)- primeiro ponto

de operação.

52

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5−0.01

0

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

tempo (s)

delta

|V1|

FIG. 3.8: Resposta de ∆|V1| para uma entrada tipo pulso de 0,05 pu e duração de 1segundo em ∆Vref , com um regulador tipo PI (proporcional - integral)- segundo ponto

de operação.

TAB. 3.2: Valores dos parâmetros dos reguladores.Pontos de operação G P I

1 40 1 42 40 1 43 40 1 34 40 1 85 40 1 76 40 1 87 40 1 108 40 1 109 40 1 1211 40 1 1112 40 1 1414 40 1 1115 40 1 15

53

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5−0.01

0

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

tempo (s)

delta

|V1|

FIG. 3.9: Resposta de ∆|V1| para uma entrada tipo pulso de 0,05 pu e duração de 1segundo em ∆Vref , com um regulador tipo PI (proporcional - integral)- terceiro ponto

de operação.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5−0.01

0

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

tempo (s)

delta

|V1|

FIG. 3.10: Resposta de ∆|V1| para uma entrada tipo pulso de 0,05 pu e duração de 1segundo em ∆Vref , com um regulador tipo PI (proporcional - integral)- quarto ponto de

operação.

54

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5−0.01

0

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

tempo (s)

delta

|V1|

FIG. 3.11: Resposta de ∆|V1| para uma entrada tipo pulso de 0,05 pu e duração de 1segundo em ∆Vref , com um regulador tipo PI (proporcional - integral)- quinto ponto de

operação.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5−0.01

0

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

tempo (s)

delta

|V1|

FIG. 3.12: Resposta de ∆|V1| para uma entrada tipo pulso de 0,05 pu e duração de 1segundo em ∆Vref , com um regulador tipo PI (proporcional - integral)- sexto ponto de

operação.

55

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5−0.01

0

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

tempo (s)

delta

|V1|

FIG. 3.13: Resposta de ∆|V1| para uma entrada tipo pulso de 0,05 pu e duração de 1segundo em ∆Vref , com um regulador tipo PI (proporcional - integral)- sétimo ponto de

operação.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5−0.01

0

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

tempo (s)

delta

|V1|

FIG. 3.14: Resposta de ∆|V1| para uma entrada tipo pulso de 0,05 pu e duração de 1segundo em ∆Vref , com um regulador tipo PI (proporcional - integral)- oitavo ponto de

operação.

56

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5−0.01

0

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

tempo (s)

delta

|V1|

FIG. 3.15: Resposta de ∆|V1| para uma entrada tipo pulso de 0,05 pu e duração de 1segundo em ∆Vref , com um regulador tipo PI (proporcional - integral)- nono ponto de

operação.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5−0.01

0

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

tempo (s)

delta

|V1|

FIG. 3.16: Resposta de ∆|V1| para uma entrada tipo pulso de 0,05 pu e duração de 1segundo em ∆Vref , com um regulador tipo PI (proporcional - integral)- décimo primeiro

ponto de operação.

57

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5−0.01

0

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

tempo (s)

delta

|V1|

FIG. 3.17: Resposta de ∆|V1| para uma entrada tipo pulso de 0,05 pu e duração de 1segundo em ∆Vref , com um regulador tipo PI (proporcional - integral)- décimo segundo


0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5−0.01

0

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

tempo (s)

delta

|V1|

FIG. 3.18: Resposta de ∆|V1| para uma entrada tipo pulso de 0,05 pu e duração de 1segundo em ∆Vref , com um regulador tipo PI (proporcional - integral)- décimo quarto


58

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5−0.01

0

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

tempo (s)

delta

|V1|

FIG. 3.19: Resposta de ∆|V1| para uma entrada tipo pulso de 0,05 pu e duração de 1segundo em ∆Vref , com um regulador tipo PI (proporcional - integral)- décimo quinto


59

3.4.1 COMPARAÇÕES

Um resultado interessante a ser apresentado diz respeito à seguinte comparação:

resposta do sistema elétrico com seu regulador sintonizado para o ponto de operação em

questão versus resposta deste sistema quando seu controlador está sintonizado para outro

ponto de operação. Observe-se que os RAT a serem utilizados são aqueles expressos pela

EQ. 3.52 cujos parâmetros foram dados na TAB. 3.2.

Considere-se o seguinte caso para a primeira simulação comparativa, mostrada na

FIG. 3.20:

• entrada tipo pulso, de amplitude 0,05 e largura de 1 segundo, em ∆Vref ;

• resposta (∆|V1|) para o sistema elétrico linearizado no terceiro ponto de operação

com seu RAT sintonizado para ele (linha contínua do gráfico);

• resposta para o sistema elétrico linearizado no terceiro ponto de operação com

seu RAT sintonizado para o décimo quinto ponto de operação (linha tracejada do

gráfico);

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5−0.01

0

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

tempo (s)

delta

|V1|

RAT p/ pnt. op. 15RAT p/ pnt. op 3

FIG. 3.20: Respostas de ∆|V1| para uma entrada tipo pulso de 0,05 pu e duração de 1segundo em ∆Vref , com um regulador sintonizado no terceiro e outro no décimo quinto

ponto de operação- sistema linearizado no terceiro ponto de operação.

Pela FIG. 3.20 fica evidenciada a deterioração da resposta do sistema pelo surgi-

mento de overshoots indesejáveis no início e no final do pulso, alcançando valores pouco

60

superiores a 13 por cento, quando seu RAT está sintonizado para o décimo quinto ponto

de operação.

Uma segunda comparação é feita nas seguintes condições:

• entrada tipo pulso, com amplitude 0,05 e largura de 1 segundo, em ∆Vref ;

• resposta (∆|V1|) para o sistema elétrico linearizado no décimo quinto ponto de

operação com seu RAT sintonizado para ele (linha contínua do gráfico);

• resposta para o sistema elétrico linearizado no décimo quinto ponto de operação

com seu RAT sintonizado para o terceiro ponto de operação (linha tracejada do

gráfico);

Os resultados estão apresentados na FIG. 3.21.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5−0.01

0

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

tempo (s)

delta

|V1|

RAT p/ pnt. op. 3RAT p/ pnt. op 15

FIG. 3.21: Respostas de ∆|V1| para uma entrada tipo pulso de 0,05 pu e duração de 1segundo em ∆Vref , com um regulador sintonizado no terceiro e outro no décimo quinto

ponto de operação- sistema linearizado no décimo quinto ponto de operação.

Pode ser tirada a seguinte conclusão da FIG. 3.21: com o regulador ajustado para

o terceiro ponto de operação o sistema respondeu mais lentamente, não alcançando,

sequer, o valor 0, 05 da amplitude do pulso de entrada. O gráfico da FIG. 3.22 mostra a

evolução do erro (percentual) inserido com este RAT, em relação à entrada de referência,

no período de 0, 5 a 1 segundo. Ou seja:

erro (percentual) =0, 05 − ∆|V1|

0, 05× 100 (3.53)

61

0.5 0.55 0.6 0.65 0.7 0.75 0.8 0.85 0.9 0.95 11.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

5

5.5

6

6.5

tempo (s)

erro

(%)

FIG. 3.22: Evolução temporal do erro percentual de ∆|V1| em relação à entrada dereferência (∆Vref ), com o regulador sintonizado para o terceiro ponto de operação e o

sistema linearizado no décimo quinto.

O objetivo destas comparações foi mostrar que a sintonia do RAT em apenas um

ponto de operação, conforme feito na prática nas MUH do Exército Brasileiro, possui o

inconveniente de se ter o desempenho do sistema depreciado quando ele estiver operando

fora deste ponto. Uma solução possível para minimizar este problema é discutida na

seção a seguir.

3.5 INTERPOLAÇÃO DE GANHOS DOS RAT VIA LÓGICA DIFUSA

O método da lógica difusa (fuzzy) pode ser empregado para a interpolação dos ganhos

de reguladores de tensão, projetados por técnicas lineares a partir da linearizção do

modelo dinâmico do sistema em torno de pontos de operação, como discutido na Seção

3.4. Esta é uma técnica que se enquadra dentro de uma classe maior denominada controle

por tabelamento de ganhos (gain scheduling).

Esta seção não tem por finalidade uma discussão mais aprofundada a respeito da

teoria de lógica fuzzy nem de técnicas de tabelamento de ganhos. Conhecimentos especí-

ficos a respeito destes temas foram assimilados em vistas à obtenção de um regulador

de tensão final a ser utilizado nas simulações não lineares de capítulos posteriores. Para

um estudo mais detalhado destes assuntos o leitor pode recorrer às referências citadas:

(PEREIRA, 2001), (ASSIS, 2002), (OLIVEIRA JR., 1999), (RUGH, 2000) e (LEITH,

62

2000) .

3.5.1 ESTRUTURA DE CONTROLE COM TABELAMENTO DE GANHOS

A FIG. 3.23 apresenta um diagrama esquemático da estrutura de controle com tabela-

mento de ganhos via lógica fuzzy adotada neste trabalho.

Nesta figura, o bloco do sistema elétrico representa seu modelo não-linear, e os con-

troladores K1, K2,..., Kk correspondem a reguladores de tensão projetados na Seção 3.4.

As entradas do bloco fuzzy, em número de duas, são a potência ativa total das cargas, Pa,

e o fator de potência do sistema, FP . E as k saídas são os parâmetros de ponderação,

ou ganhos, dos respectivos controladores.

Lógica Fuzzy

Sist. Elétrico

K k

K 1

K 2

X

X

X

-

+ V ref V t +

+

+

g 1

g 2

g k

Pa

FP

FIG. 3.23: Diagrama esquemático da estrutura de controle com tabelamentos de ganhosvia lógica fuzzy.

Pode-se perceber pelos dados da TAB. 3.2 que há casos onde um mesmo regulador de

tensão foi projetado para pontos de operação distintos. Uma outra situação que também

pode ser identificada nessa tabela é a existência de reguladores com parâmetros muito

próximos. Em vista destas constatações optou-se por reduzir o número de RAT a terem

seus ganhos tabelados, da seguinte forma:

• para os pontos de operação 1, 2 e 3 considere-se um único regulador, o RAT 3

(terceiro ponto de operação), representado por K1;

63

TAB. 3.3: Reguladores a serem usados no tabelamento de ganhos e sua representação.Pontos de Operação RAT Considerado Representação

1, 2 e 3 3 K1

4 e 5 5 K2

6 6 K3

7 e 8 8 K4

9 9 K5

11 e 14 11 K6

12 e 15 12 K7

• para os pontos de operação 4 e 5 considere-se o RAT 5, representado por K2;

• para o ponto de operação 6 considere-se o RAT 6, representado por K3;


• para o ponto de operação 9 considere-se o RAT 9, representado por K5;


• e finalmente, para os pontos de operação 12 e 15, considere-se o RAT 12, represen-

tado por K7;

Estas considerações a respeito da redução dos reguladores estão sumarizadas na TAB.

3.3.

3.5.2 MONTAGEM DA LÓGICA FUZZY E OBTENÇÃO DO REGULADOR FINAL

A lógica fuzzy utilizada neste trabalho está baseada no sistema de inferência de Man-

dani, conhecido como método MAX-MIN, e no processo de defuzzificação do centróide

ou centro de gravidade. Sua montagem pode ser dividida em duas etapas principais:

a) definição dos conjuntos difusos das entradas e saídas com as respectivas funções de

pertinência;

b) estabelecimento de uma base de regras ou proposições difusas;

As funções de pertinência definidas para as entradas (Pa e FP ) são mostradas nas

FIG. 3.24 e 3.25.

As nomenclaturas presentes na FIG. 3.24, denominadas valores lingüísticos e refe-

rentes aos respectivos conjuntos difusos, têm os seguintes significados:

64

FIG. 3.24: Função de pertinência para a variável de entrada potência ativa (Pa) .

• MB = Muito Baixa;

• B = Baixa;

• ME = Média;

• A = Alta;

• MA = Muito Alta;

As pertinências dos conjuntos difusos MB, B, ME, A e MA estão baseadas nos

seguintes princípios:

• conjunto MB: pertinência máxima (igual a 1) para valores de Pa menores ou iguais

a 0,175; pertinência decrescente para Pa maior que 0,175, e se anulando em 0,425;

• conjunto B: pertinência 1 para Pa igual a 0,425, decrescendo à direita e à esquerda

até se anular em 0,175 e 0,675;

• conjunto ME: pertinência 1 para Pa igual a 0,675, decrescendo à direita e à es-

querda até se anular em 0,425 e 0,925;

• conjunto A: pertinência 1 para Pa igual a 0,925, decrescendo à direita e à esquerda

até se anular em 0,675 e 1;

• conjunto MA: pertinência 1 para Pa maior ou igual a 1 decrescendo à esquerda até

se anular em 0,925;

65

FIG. 3.25: Função de pertinência para a variável de entrada fator de potência (FP ) .

Observe-se que os valores limitantes das pertinências para a potência ativa (Pa),

0,175, 0,425, 0,675, 0,925 e 1, são exatamente aqueles que definiram os pontos de operação

do sistema elétrico (Seção 3.2).

Com relação à variável de entrada FP as seguintes considerações foram feitas, se-

gundo a FIG. 3.25:

• conjunto Baixo: pertinência 1 para FP menor ou igual a 0,8, decrescendo à direita

até se anular em 1;

• conjunto Alto: pertinência 1 para FP igual a 1, decrescendo à esquerda até se

anular em 0,8;

Tendo sido escolhidos sete RAT para o tabelamento de ganhos (Seção 3.5.1) pode-se

concluir que as saídas fuzzy (ganhos) também serão em número de sete. Uma mesma

função de pertinência foi definida para todas elas, conforme apresentado na FIG. 3.26.

Tendo sido escolhido o método de defuzzificação do centróide, pode-se afirmar que cada

uma das saídas fuzzy estará limitada entre 0 e 1.

A base de regras estipulada é descrita a seguir:

• SE (Pa é MB) ENTÃO (g1 é alto), (g2 é baixo), (g3 é baixo), (g4 é baixo), (g5 é

baixo), (g6 é baixo) e (g7 é baixo);

• SE (Pa é B) e (FP é Baixo) ENTÃO (g1 é baixo), (g2 é alto), (g3 é baixo), (g4 é

baixo), (g5 é baixo), (g6 é baixo) e (g7 é baixo);

66

FIG. 3.26: Função de pertinência para a variável de saída ganho 1 (g1).

• SE (Pa é B) e (FP é Alto) ENTÃO (g1 é baixo), (g2 é baixo), (g3 é alto), (g4 é

baixo), (g5 é baixo), (g6 é baixo) e (g7 é baixo);

• SE (Pa é ME) e (FP é Baixo) ENTÃO (g1 é baixo), (g2 é baixo), (g3 é baixo), (g4

é alto), (g5 é baixo), (g6 é baixo) e (g7 é baixo);

• SE (Pa é ME) e (FP é Alto) ENTÃO (g1 é baixo), (g2 é baixo), (g3 é baixo), (g4 é

baixo), (g5 é alto), (g6 é baixo) e (g7 é baixo);

• SE (Pa é A) e (FP é Baixo) ENTÃO (g1 é baixo), (g2 é baixo), (g3 é baixo), (g4 é

baixo), (g5 é baixo), (g6 é alto) e (g7 é baixo);

• SE (Pa é A) e (FP é Alto) ENTÃO (g1 é baixo), (g2 é baixo), (g3 é baixo), (g4 é

baixo), (g5 é baixo), (g6 é baixo) e (g7 é alto);

• SE (Pa é MA) e (FP é Baixo) ENTÃO (g1 é baixo), (g2 é baixo), (g3 é baixo), (g4

é baixo), (g5 é baixo), (g6 é alto) e (g7 é baixo);

• SE (Pa é MA) e (FP é Alto) ENTÃO (g1 é baixo), (g2 é baixo), (g3 é baixo), (g4 é

baixo), (g5 é baixo), (g6 é baixo) e (g7 é alto);

O gráfico da FIG. 3.27 mostra, como exemplo, a superfície de variação do ganho

g3, correspondente a uma das saídas fuzzy. Por esta figura percebe-se que g3 cresce na

medida em que a potência ativa Pa se aproxima do valor 0, 425 e o fator de potência do

FP do valor 1. Este resultado está de acordo com as regras estipuladas.

67

FIG. 3.27: Superfície de variação do ganho g3.

O diagrama em Simulink do regulador de tensão final, obtido pelo tabelamento de

ganhos via lógica difusa, é mostrado na FIG. 3.28. No bloco ganhos está contida toda

lógica fuzzy discutida anteriormente. O diagrama do subsistema Reguladores é visuali-

zado na FIG. 3.29. Já o bloco Modelo Sis. Ele. é discutido mais detalhadamente no

Capítulo 5.

68

FIG. 3.28: Diagrama em Simulink do regulador de tensão final obtido por técnica detabelamento de ganhos via lógica fuzzy.

69

FIG. 3.29: Diagrama do subsistema Reguladores.

70

4 MODELAGEM E SIMULAÇÃO DO SISTEMA HIDRÁULICO E DO

REGULADOR VELOCIDADE

Este capítulo tem por objetivo a modelagem do sistema hidráulico. Os diagramas de

bloco da simulação, montados a partir das equações matemáticas que modelam a planta

hidráulica, serão utilizados dentro de um ambiente próprio de simulação do programa

Matlab chamado Simulik. Uma das grandes vantagens de se trabalhar com o Simulink é

a facilidade de efetuar simulações não-lineares.

No Capítulo 2 já foram apresentadas as expressões referentes à coluna d’água e à

turbina, EQ. 2.23 e 2.24, respectivamente. A partir delas é obtido o diagrama em blocos

correspondente, conforme mostrado em KUNDUR (1994). Ele é apresentado na Seção

4.1 com os valores dos parâmetros pertinentes tirados da Tabela 2.4. Ainda nessa mesma

seção é discutida a modelagem dos atuadores sendo feitas algumas manipulações visando

uma melhor adequação para a simulação. É importante ressaltar que, em virtude da

ausência de dados reais sobre os atuadores do SEP em estudo, seu modelo foi baseado em

suposições possuindo, portanto, um caráter mais didático. Tais hipóteses, no entanto,

não prejudicam a validade das conclusões.

Todo o raciocínio desenvolvido para a obtenção do regulador de velocidade é explicado

na Seção 4.2. Um aspecto muito importante da turbina, e que afeta diretamente o projeto

do regulador é sua característica de fase não-mínima 6. Esse fato e suas implicações são

melhor detalhados nessa seção.

A partida do sistema hidráulico é tratada na Seção 4.3. A discussão a seu respeito

está caracterizada por algumas considerações arbitrárias, as quais acredita-se que sejam

muito semelhantes àquelas encontradas na prática. A resposta da velocidade de rotação

da turbina para uma operação do sistema de potência em vazio é então simulada com

vistas à verificação da eficiência do regulador de velocidade obtido na Seção 4.2.

Se por um lado a falta de informações a respeito de componentes do sistema hidráulico

acabou por prejudicar uma abordagem mais realística, por outro, acredita-se que muitas

das metodologias apresentadas ao longo do capítulo poderão ser utilizadas, com pequenas

adequações, em situações onde dados reais do sistema sejam conhecidos.

6Sistemas que possuem zeros no semi-plano s (de Laplace) da direita são ditos de fase não-mínima.

71

4.1 MODELO DA TURBINA HIDRÁULICA E DOS ATUADORES

O modelo da turbina hidráulica definido pelas EQ. 2.23 e EQ. 2.24, em diagrama

em blocos, é apresentado na FIG. 4.1. Todos os parâmetros nela presentes já foram

identificados na Seção 2.3, exceto ω′′

, que representa o inverso da velocidade de rotação

da turbina (ou do gerador) em pu, ou seja,

ω′′

=1

ω

Os valores dos parâmetros At, H0, UNL, TW e Pr são aqueles apresentados na TAB. 2.4.

Com relação ao conjunto de atuadores, responsável pela abertura e fechamento do

distribuidor da turbina, um esquema muito semelhante ao apresentado em KUNDUR

(1994) é aqui proposto. Ele é constituído pelos seguintes elementos básicos: uma servo-

válvula hidráulica e um servo-motor. A servo-válvula, comandada por sinais elétricos,

controla o sentido e o fluxo de fluido hidráulico; o servo-motor, de acordo com esse

fluxo, comanda diretamente os movimentos do distribuidor da turbina. A amplitude do

sinal elétrico injetado na servo-válvula e seu sentido, positivo ou negativo, são dados

exatamente pelo regulador de velocidade, a ser discutido na seção seguinte.

O diagrama em blocos do conjunto de atuadores é mostrado na FIG. 4.2 sendo os

parâmetros constantes assim definidos:

Ka: ganho dos atuadores;1s: função de transferência (integrador) relacionando as posições do servo-motor e da

servo-válvula;1

1+sTG: função de transferência relacionando a abertura do distribuidor, g, à posição do

servo-motor;

TG: constante de tempo do servo-motor;

g: sinal de saída correspondendo à abertura real do distribuidor (em pu);

u: sinal de controle;

Em vistas a se utilizar o recurso inerente a blocos tipo espaço de estados do Simulink,

que permite a inserção de condições iniciais, são calculadas as matrizes A, B, C e D da re-

alização de estado da função de transferência 11+sTG

. Seus valores são abaixo apresentados:

A = − 1

TG

(4.1)

B =1

TG

(4.2)

72

C = 1 (4.3)

D = 0 (4.4)

A justificativa para tal procedimento se tornará mais clara na Seção 4.3. O mesmo não

foi feito para o bloco integrador pelo fato de nele já ser permitida a inserção de condições

iniciais.

Com base em dados existentes em KUNDUR (1994) foram estipulados os valores dos

parâmetros Ka e TG. São eles:

Ka = 2

TG = 0, 1 (s)

73

FIG. 4.1: Diagrama em blocos da turbina hidráulica.

74

1 s

a K 1

1 G sT +

g u

FIG. 4.2: Diagrama em blocos dos atuadores da turbina hidráulica.

75

4.2 MODELO DO REGULADOR DE VELOCIDADE

Na abertura deste capítulo foi comentado que a turbina hidráulica é um sistema de

fase não-mínima, e que esta característica influi diretamente no projeto de um regulador

de velocidade (ver KUNDUR (1994) e SOUSA (1983)). Em termos práticos ocorre que,

devido à inércia da água, uma mudança na abertura do distribuidor da turbina provoca,

inicialmente, uma variação de potência oposta ao que seria de se esperar. Ou seja, se

houver um aumento na abertura do distribuidor, ao invés de a potência aumentar, ela

irá, de início, sofrer uma redução, e vice-versa. Visando levar este efeito peculiar em

consideração, a função de transferência do regulador de velocidade deverá possuir uma

constante de tempo que retarde seu sinal de saída (sinal de controle), e conseqüentemente,

a atuação do distribuidor, até que a resposta inversa da potência já tenha se extinguido.

Em KUNDUR (1994) esta função de transferência do regulador é dada pela seguinte

expressão:

RT

sTR

1 + sTR

(4.5)

sendo,

RT o chamado droop7 transitório, e

TR o tempo de reset (washout time);

Também em KUNDUR (1994) são apresentadas formulações através das quais são

determinados RT e TR para a operação estável de um SEP de geração isolada. Estas

fórmulas são abaixo reproduzidas:

RT = [2, 3 − (TW − 1)0, 15]TW

TM

(4.6)

TR = [5 − (TW − 1)0, 5] TW (4.7)

sendo,

TW o tempo de partida da água, definido no Capítulo 2, e

TM o tempo de partida mecânico, dado por: TM = 2H, sendo H a constante de inércia

também definida no Capítulo 2;

Substituindo os valores de TW e TM já conhecidos (TW = 1, 98 e TM=6), chega-se a:

RT ≈ 0, 71 e TR ≈ 8, 93 .

A disposição do regulador de velocidade em relação aos atuadores pode ser visua-

lizada no diagrama em blocos da FIG. 4.3. Nela os parâmetros ωref e ω representam,

7Esta palavra foi mantida na língua inglesa devido à dificuldade de se encontrar uma tradução ade-

quada na língua portuguesa.

76

respectivamente, a velocidade de rotação de referência do gerador em pu (portanto igual

a 1) e sua velocidade de rotação real, também em pu. Observe-se que em pu, a velocidade

de rotação do rotor do gerador, ou da turbina, e a freqüência elétrica da tensão gerada

são totalmente equivalentes.

FIG. 4.3: Diagrama em blocos do regulador de velocidade em conjunto com osatuadores da turbina hidráulica.

Como mostra a FIG. 4.3, a entrada do regulador de velocidade é o sinal de saída

do bloco integrador. Este sinal, muito provavelmente, será de difícil observação (ou

medição) em uma situação real. Este contratempo pode, contudo, ser facilmente evitado

locando-se o regulador não mais na malha de realimentação, mas sim na malha direta,

o que pode ser feito a partir do cálculo da Função de Transferência de Malha Fechada

(FTMF) correspondente. O resultado assim obtido está mostrado na FIG. 4.4. Na

verdade, ele é fruto, também, de uma simples manipulação da FTMF, que permitiu seu

desmembramento em três funções de transferência: duas referentes aos atuadores (ganho

e integrador) e uma correspondendo ao "novo" regulador, agora na malha direta.

FIG. 4.4: Diagrama em blocos da nova configuração do regulador de velocidade (namalha direta) em conjunto com os atuadores da turbina hidráulica.

77

Pensando-se em termos da implementação prática do regulador, resolveu-se utilizar

um circuito Proporcional-Integral-Derivativo (PID) que, para tanto, deveria ter a mesma

(FT). Isto foi conseguido com um PD real, cuja FT é dada pela seguinte expressão geral:

KP +KDs

1 + Ns=

KP + (KP N + KD)s

1 + Ns(4.8)

sendo KP , KD e N constantes cuja determinação pode ser obtida comparando-se a EQ.

4.8 com a FT do regulador de velocidade, conforme abaixo mostrado.

1 + sTR

(1 + KaRT TR) + sTR

=KP + (KP N + KD)s

1 + Ns(4.9)

Da EQ. 4.9 pode-se concluir que:

KP =1

1 + KaRT TR

(4.10)

N =TR

1 + KaRT TR

(4.11)

KD = N − KP N =TR

1 + KaRT TR

(

1 − 1

1 + KaRT TR

)

(4.12)

Substituindo os valores já determinados de RT e TR tem-se que:

KP ≈ 0, 073 (4.13)

N ≈ 0, 65 (4.14)

KD ≈ 0, 6 (4.15)

78

4.3 PARTIDA DO SISTEMA E SIMULAÇÕES

As seções anteriores deste capítulo trataram de modelar os diversos componentes

do sistema hidráulico: turbina, atuadores e regulador de velocidade. Com base nesses

modelos é simulada a partida do sistema, sendo levantada a resposta da velocidade de

rotação da turbina, ω, com vistas a se verificar a eficiência do controle considerado. As

respostas de outros parâmetros da planta hidráulica também são plotadas para permitir

uma melhor compreensão dos fenômenos envolvidos no decurso da partida da mesma.

A partida pode ser entendida como sendo a evolução da rotação da turbina, desde uma

situação de completo repouso até o alcance de um regime permanente (o que deverá

ocorrer, pela atuação do regulador de velocidade, no valor nominal), estando o gerador

operando em vazio.

Para viabilizar a simulação, entretanto, outros diagramas de simulação foram criados

no Simulink 8. O primeiro deles tem como objetivo a determinação dos valores das saí-

das dos atuadores para uma dada abertura inicial arbitrária do distribuidor da turbina.

Esse diagrama, FIG. 4.5, funciona da seguinte maneira: com o regulador de velocidade

completamente desconectado é aplicado um sinal de entrada nos atuadores; este sinal se

mantém até que uma abertura pré-determinada do distribuidor da turbina seja alcançada;

quando isto acontece uma chave (switch) tipo relé interrompe este sinal, e conseqüen-

temente, o processo de abertura. Os valores dos atuadores são então armazenados nas

variáveis c0, saída da servo-válvula (bloco integrador), e gi, saída do servo-motor (aber-

tura do distribuidor), as quais servirão de condições iniciais para a simulação pretendida.

No caso deste trabalho, o sinal de entrada aplicado é do tipo degrau com uma amplitude

de 0, 1, sendo o relé ajustado para desacoplar para um valor de 0, 3. A abertura final

do distribuidor, gi, entretanto, acabará sendo um pouco superior, no caso 0, 32, o que se

justifica pelo retardo provocado pela constante de tempo do servo-motor. A resposta da

abertura da turbina obtida é mostrada na FIG. 4.6.

A velocidade de rotação da turbina é obtida a partir da EQ. 2.4. Em vista disto foi

implementado o diagrama em blocos correspondente a essa equação. Ele é apresentado

na FIG. 4.7. Observe-se, porém, que, dada a modelagem não linear da turbina hidráulica

adotada neste trabalho, e considerando a observação feita na Seção 2.2.1 a respeito da

validade dessa equação, os parâmetros Pmec e Pe foram substituídos pelos respectivos

8Procedimentos semelhantes ao descrito neste parágrafo podem ser utilizados em outro programa de

simulação que não o Simulink.

79

FIG. 4.5: Diagrama em blocos responsável pela simulação da abertura inicial dodistribuidor da turbina.

torques.

Em se trabalhando com torques ao invés de potências a EQ. 2.24 deve ser reescrita

da seguinte forma:

Tmec =Pmec

ω=

U − UNL

ω

(

U

Atg

)2

Pru (4.16)

onde, todos os parâmetros estão em pu, a menos do ganho At, sem dimensão.

A aplicação direta da EQ. 4.16 no modelo do sistema hidráulico geraria uma sin-

gularidade na simulação devido ao valor inicialmente nulo do parâmetro ω, que está

no denominador de uma fração. Para contornar este problema uma condição inicial é

atribuída ao integrador mostrado na FIG. 4.7, e por conseqüência à velocidade de rotação

da turbina ω. O valor mais indicado, por questões evidentes, é o nominal, ou seja 1 pu.

Analisando-se a EQ. 4.16 pode-se concluir, também, que o valor do torque é inversa-

mente proporcional à velocidade ω. Isto, no entanto, é sabido não ser uma verdade para

toda faixa de ω. Assim se supõe que tal equação esteja se referindo (de maneira implícita)

a uma situação onde a velocidade de rotação da turbina não esteja distante de seu valor

nominal. Em termos práticos, isto significa que se a simulação for executada para valores

de ω muito distantes do nominal erros serão inseridos. Esta questão é solucionada com a

80

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

tempo (s)

gi

FIG. 4.6: Resposta da abertura inicial gi da turbina em pu.

criação do modelo (subsistema nomeado partida), apresentado na FIG. 4.8, em conjunto

com a condição inicial dada ao integrador, comentada no parágrafo anterior.

O subsistema partida funciona como uma espécie de temporizador, cuja função é

simular o tempo de aceleração da turbina, desde o repouso até uma velocidade próxima

(ou no caso, igual) à nominal. Enquanto isto não ocorre a chave, presente neste subsis-

tema, desacopla o modelo da equação de movimento (FIG. 4.7), mantendo, neste período

de desacoplamento, a velocidade (saída do modelo) em seu valor definido pela condição

inicial do bloco integrador deste mesmo modelo (1 pu). O tempo arbitrado foi de 15

segundos.

O último modelo desenvolvido, correspondendo ao subsistema contr-servo, é mostrado

na FIG. 4.9. Neste o regulador de velocidade (bloco PID) já está conectado aos atuadores.

Sua entrada (sinal de erro ωref − ω), porém, é mantida desconectada mediante um relé

temporizado até que a rotação da turbina tenha ultrapassado o valor nominal. Foi esti-

81

FIG. 4.7: Diagrama em blocos da EQ. 2.4 substituindo-se os parâmetros relativos àpotência pelos respectivos torques.

pulado neste trabalho um tempo de 15,5 segundos para o atracamento do relé. Os valores

das condições iniciais para a servo-válvula (bloco integrado) e para o servo-motor (bloco

em espaço de estados) são aqueles obtidos a partir do modelo da FIG. 4.5.

O modelo completo do sistema hidráulico está apresentado na FIG. 4.10. Nela podem

ser vistos os subsistemas partida, contr-servo e mod-turbina, este último contendo o

modelo da turbina hidráulica. Observe-se o valor nulo atribuído ao torque elétrico, Te,

representando a operação em vazio do SEP.

A resposta da velocidade de rotação da turbina obtida, para uma abertura inicial do

distribuidor de 0,32 pu, é plotada no gráfico da FIG. 4.11

A resposta da abertura do distribuidor, g, é mostrada na FIG. 4.12. Pode-se notar

que a abertura se estabiliza no valor de 0,16, que é justamente aquele correspondente a

uma operação sem carga (em vazio).

A resposta da potência mecânica de saída, Pmec, da turbina é vista na FIG. 4.13. Uma

ampliação em torno do tempo 15,5 segundos, instante em que o regulador de velocidade

começa a comandar o fechamento do distribuidor, é mostrada na FIG. 4.14. Perceba-se o

crescimento inicial de Pmec evidenciando a característica de fase não-mínima da turbina

hidraúlica.

Na FIG. 4.15 é apresentada a resposta da velocidade da água, U . Salienta-se seu

valor de estado estacionário em 0,2, equivalente à velocidade sem carga UNL.

82

FIG. 4.8: Diagrama do subsistema entitulado partida.

83

FIG. 4.9: Diagrama do subsistema contr-servo.

84

FIG. 4.10: Diagrama em blocos completo do sistema hidráulico.

85

0 10 20 30 40 50 600.98

1

1.02

1.04

1.06

1.08

1.1

1.12

tempo (s)

vel.

turb

ina

(w)

FIG. 4.11: Resposta da velocidade de rotação da turbina (em pu) para uma aberturainicial do distribuidor de 0,32 pu.

0 10 20 30 40 50 600.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

tempo (s)

aber

tura

dis

trib.

turb

. (g)

FIG. 4.12: Resposta da abertura do distribuidor da turbina (em pu) ao longo dapartida do sistema hidráulico.

86

0 10 20 30 40 50 60−0.1

−0.05

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

tempo (s)

Pm

ec

FIG. 4.13: Resposta da potência mecânica de saída da turbina (em pu) ao longo dapartida do sistema hidráulico.

12 13 14 15 16 17 18 19 20

0.16

0.17

0.18

0.19

0.2

0.21

0.22

tempo (s)

Pm

ec

FIG. 4.14: Ampliação de Pmec em torno de 15,5 segundos.

87

0 10 20 30 40 50 600

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

0.45

tempo (s)

vel.

agua

(U)

FIG. 4.15: Resposta da velocidade da água no conduto forçado (em pu) ao longo dapartida do sistema hidráulico.

88

5 MODELO NÃO-LINEAR DO SEP E SIMULAÇÕES

As informações e os desenvolvimentos dos capítulos precedentes, para os fins deste

trabalho, tiveram como principal objetivo fornecer toda a base necessária para uma mo-

delagem matemática não-linear completa do SEP em estudo, incluindo-se os reguladores

de velocidade e de tensão, para a execução de simulações da resposta do sistema frente a

variações em seu ponto de operação a partir de alterações nas cargas. Estas simulações

visam avaliar a eficiência dos controles projetados.

A Seção 5.1 discute o método empregado para a solução das EAD não-lineares que

modelam o sistema elétrico. Esta tarefa, de certo grau de complexidade, acabou sendo fa-

cilitada pela utilização de uma ferramenta do programa Simulink, denominada S-Function

(MATHWORKS, 2002). Alguns princípios gerais de funcionamento da S-Function são

comentados.

Na seção 5.2 é apresentado o modelo não-linear completo do SEP em ambiente

Simulink. Nele é simulada a resposta (freqüência e tensão) do sistema para variações

de carga. Num primeiro momento é utilizado o RAT desenvolvido por tabelamento de

ganhos via lógica fuzzy (Seção 3.5), para, em um segundo, ser empregado um regulador

de tensão projetado por técnicas de controle linear (Seção 3.4). Um resultado compa-

rativo entre ambos é mostrado. É feita, também, mediante simulação, a verificação do

efeito do valor da potência ativa, inserida ou retirada do sistema, sobre a resposta da

freqüência de saída do gerador.

O capítulo se encerra com a linearização por perturbação numérica do modelo mate-

mático do sistema elétrico, o que é feito, também, com a utilização da S-Function. Uma

comparação com a linearização analítica realizada no Capítulo 3 é apresentada a partir

da teoria envolvendo os chamados valores singulares de uma matriz.

5.1 O SISTEMA ELÉTRICO E A SOLUÇÃO DAS EAD

O sistema elétrico deste trabalho, conforme visto nas Seções 2.2.1 e 2.2.2, está mo-

delado segundo um conjunto de EAD não-lineares. Este tipo de equação não pode ser

resolvido analiticamente, ficando a solução dependente de métodos numéricos computa-

cionais (DIEGUEZ, 1994). A implementação de tais métodos, entretanto, não fez-se

necessária dada a existência de uma ferramenta do Simulink chamada S-Function. O

89

bloco S-Function, basicamente, chama um programa onde o usuário define, seguindo um

padrão específico, as equações desejadas. A solução destas equações é obtida pela exe-

cução de um método numérico do próprio Simulink (a ser escolhido pelo usuário) por

ocasião da simulação.

As equações a serem resolvidas podem ser escritas com a seguinte formatação geral:

˙x = f(x, u, t) (5.1)

y = g(x, u, t) (5.2)

ou, colocando em forma matricial:

[ ˙x] = A(x, u, t)[x] + B(x, u, t)[u] (5.3)

[y] = C(x, u, t)[x] + D(x, u, t)[u] (5.4)

onde,

[x]: vetor de variáveis de estado;

[u]: vetor de variáveis de entrada;

[y]: vetor de variáveis de saída;

A, B, C e D: funções matriciais não-lineares;

Para se obedecer, contudo, ao padrão S-Function as EQ. 5.1 e 5.2 devem sofrer a

seguinte mudança de notação:

sys = f(x, u, t) (5.5)

sys = g(x, u, t) (5.6)

A EQ. 5.5 deve ser definida pelo usuário na área de execução da expressão case1, e

a EQ. 5.6 na área da expressão case3 (verificar o programa do Apêndice 8.1.3).

Observando-se as equações acima citadas percebe-se que variáveis algébricas não

fazem parte de suas formulações, isto porque a S-Function, na verdade, se destina à

solução de equações diferenciais (lineares ou não) e não EAD. Para este tipo de equação,

então, manipulações matemáticas devem ser feitas a fim de solucioná-las. Neste trabalho

foi adotado um método que passa a ser discutida abaixo.

As EAD não lineares do sistema elétrico podem ser escritas segundo a mesma for-

mulação aumentada das EQ. 3.41 e 3.42. A partir destas equações pode-se chegar que:

˙x = J1x + J2r + Bxu (5.7)

0 = J3x + J4r + Bru (5.8)

y = Cxx + Crr (5.9)

90

As EQ. 5.7 e 5.9 devem ser colocadas no padrão correto discutido anteriormente, qual

seja:

sys = J1x + J2r + Bxu (5.10)

sys = Cxx + Crr (5.11)

As matrizes J1, J2, J3, J4, Bx, Cx e Cr estão todas desenvolvidas no programa do

Apêndice 8.1.3. Observe-se que, para este sistema elétrico em estudo, a matriz Br é nula.

Da EQ. 5.8 pode-se tirar que:

r = J−14 (−J3x − Bru) (5.12)

Sendo Br nula então:

r = −J−14 J3x (5.13)

Algumas observações relativas à solução destas EAD fazem-se necessárias:

(i) por motivo de simplificação de formulação optou-se por definir um novo parâmetro,

ω′

, em substituição a ω, onde: ω′

= ω − 1;

(ii) as variáveis algébricas r (Id, Iq, VR1, VI1, VR2, VI2, VR3, VI3, VR4, VI4, VR5 e VI5) são

tratadas como variáveis de entrada; isto é conseguido a partir de uma realimentação

direta de r, como pode ser visto na FIG. 5.1; nela tem-se o bloco S-Function,

onde estão descritas todas as EAD não-lineares do sistema elétrico; à esquerda

deste bloco estão as vinte entradas consideradas, na seguinte ordem (de cima para

baixo): Efd, Tmec, as potências ativa e reativa de cada consumidor (quartel, vila e

comunidade), e as doze variáveis algébricas realimentadas diretamente das saídas

do bloco S-Function; e à direita deste estão as saídas desejadas: o parâmetro ω′

, ao

qual é somado a constante 1 para se obter a freqüência do gerador ω, e as variáveis

algébricas;

(iii) a EQ. 5.10 é inserida na área da expressão case1 ; já as EQ. 5.11 e 5.13 são inseridas

na expressão case3 ;

(iv) a ferramenta S-Function trabalha de tal modo a começar sua execução pela ex-

pressão case3 ;

(v) em se tratando do modelo não-linear do sistema elétrico a EQ. 2.17 teve seus parâ-

metros Pmec e Pe substituídos por Tmec e Te;

91

(vi) o método numérico do Simulink escolhido para a solução das EAD foi o ODE 15s

(stiff/NDF), próprio para este tipo de equação;

Em SHAMPINE (1999) um outro método de solução de EAD em Simulink é proposto,

sem a utilização do pacote S-Function. O diagrama em blocos proposto neste artigo é

mostrado na FIG. 5.2. Nele os dois primeiros blocos implementam as equações diferenciais

u = f1(t, u, v), e os dois últimos implementam as equações algébricas escritas como

v = f2(t, u, v) + v, ou seja, 0 = f2(t, u, v).

92

FIG. 5.1: Diagrama em Simulink mostrando as saídas e as entradas (com a realimentação das variáveis algébricas) do bloco

S-Function.

93

FIG. 5.2: Diagrama em Simulink proposto em SHAMPINE (1999) para a solução deEAD.

94

5.2 MODELO COMPLETO DO SEP E SIMULAÇÕES

O modelo completo, em diagrama de blocos, do sistema de potência em estudo é

mostrado na FIG. 5.3. Por esta figura percebe-se que a modelagem do SEP foi feita a

partir da conjunção dos vários subsistemas que o compõe, quais sejam: sistema elétrico

(sist-ele); sistema hidráulico (sist-hidrau), incluindo o regulador de velocidade e atu-

adores; o regulador de tensão final (reg-tensao), onde se inserem o bloco fuzzy e os

RAT (calculados na Seção 3.4) a terem seus ganhos tabelados; um subsistema onde são

definidas as cargas dos consumidores (cargas); e um outro onde se procede à soma das

potências ativas das cargas (Pa) e o cálculo do fator de potência (FP ), sendo estes dois

parâmetros injetados no bloco reg-tensao.

O diagrama do subsistema sist-ele foi mostrado na FIG. 5.1. O núcleo do diagrama

é a S-Function, que executa o programa entitulado sisele-nlin2 reproduzido no Apêndice

8.1.3. Observe-se a correção de ω′

para se obter a freqüência de saída do gerador ω 9,

bem como a presença do bloco Vterm, onde está inserida a EQ. 3.45, para o cálculo do

módulo da tensão terminal da máquina. As entradas e saídas do bloco S-Function são

abaixo descritas:

entrada 1 tensão de campo, Efd;

entrada 2 torque mecânico, Tmec, fornecido pela turbina hidráulica;

entradas 3 a 8 potência ativa e reativa de cada consumidor na seguinte ordem: quartel,

vila militar e comunidade local;

entradas 9 a 20 variáveis algébricas na seguinte ordenação: Id, Iq, VR1, VI1, VR2, VI2,

VR3, VI3, VR4, VI4, VR5, VI5;

saída 1 velocidade de rotação do gerador, ω′

;

saídas 2 a 13 variáveis algébricas com a mesma seqüência definida para as entradas;

Toda modelagem do sistema hidráulico contida no bloco sist-hidrau foi explanada no

Capítulo 4. O diagrama deste subsistema é apresentado na FIG. 5.4. Comparando-se

esta figura com a FIG. 4.10, duas alterações podem ser verificadas: a não inclusão do

sinal correspondente ao torque elétrico, Te, e a retirada dos blocos (ganho e integrador)

9Lembrar que ω′

foi definido como sendo igual a ω − 1.

95

que modelavam a equação de movimento da turbina, EQ. 2.4 (com a devida substituição

dos parâmetros Pmec e Pe por Tmec e Te). Isto foi feito porque a equação de movimento é

"resolvida" internamente pela S-Function. Um fato importante a observar é que o modelo

mostrado na FIG. 4.5, responsável pela abertura inicial da turbina, não faz parte deste

subsistema sist-hidrau.

O diagrama do subsistema reg-tensao, que modela o regulador de tensão final, é visto

na FIG. 5.5. As principais explicações a respeito deste diagrama foram dadas na Seção

3.5. Os seguintes aspectos, entretanto, podem ser ressaltados:

• a saída do subsistema (ou do RAT final) é um sinal correspondente a tensão de

campo do gerador;

• suas entradas, em número de três, são: a tensão terminal de saída do gerador, Vt,

a potência ativa total da cargas, Pa, e o fator de potência também do total das

cargas, FP .

• o esquema composto por duas chaves (switch) tem por finalidade manter o regulador

de tensão desconectado do circuito de alimentação do campo do gerador até que

sua tensão terminal atinja um determinado valor mínimo (no caso, foi considerado

o valor de 0,5 pu); enquanto isto não acontece o campo é alimentado por uma outra

fonte 10, a ser tirada do circuito tão logo a tensão mínima de saída estabelecida para

a máquina seja alcançada;

No bloco cargas são definidos os valores das potências ativa e reativa de cada con-

sumidor, bem como o instante em que elas são inseridas ou retiradas do sistema. O

diagrama onde tais definições são feitas é mostrado na FIG. 5.6, onde toma-se como

exemplo o caso do quartel. Para os demais consumidores diagramas exatamente iguais

foram utilizados, alterando-se, apenas, os valores de potência especificados.

10Em situações práticas, quando o valor da tensão de saída do gerador ainda é relativamente baixo, o

que normalmente ocorre no início de sua operação, o circuito de campo é alimentado diretamente pela

tensão de saída da máquina. Esta tensão de saída se deve, no instante inicial da operação, ao magnetismo

residual presente no campo do gerador.

96

FIG. 5.3: Modelo completo, em diagrama de blocos, do SEP em estudo.

97

FIG. 5.4: Diagrama em blocos do sistema hidráulico.

98

FIG. 5.5: Diagrama em blocos do subsistema reg-tensao.

99

FIG. 5.6: Diagrama em blocos usado para a definição das potências ativa e reativa do consumidor- caso do quartel.

100

São feitas três simulações para o sistema de potência. A seguir tem-se a descrição de

cada uma delas.

Simulação 1 Operação do SEP considerando a utilização do regulador de tensão final

obtido com a lógica fuzzy. São simuladas quatro etapas: nas três primeiras são

inseridas cargas no sistema, e na última ocorre, além da inserção, a retirada de

carga. A primeira etapa tem início 45 segundos após a partida do sistema, sendo as

demais intercaladas pelo mesmo período de tempo. As respostas da freqüência do

gerador (ω), de sua tensão terminal (Vt), e da abertura do distribuidor (g) frente às

variações de carga são mostradas nas FIG. 5.7, 5.8 e 5.9, respectivamente. Saliente-

se que nos 45 segundos iniciais o sistema de potência está operando em vazio. A

primeira carga elétrica só é inserida aos 45 segundos.

Simulação 2 Segue os mesmos padrões da primeira simulação com a diferença do tempo

de inserção ou retirada de cargas que passa a ocorrer a cada 60 segundos. As

respostas da freqüência do gerador (ω), de sua tensão terminal (Vt), e da abertura

do distribuidor (g) são mostradas nas FIG. 5.10, 5.11 e 5.12, respectivamente.

Perceba-se que até os primeiros 60 segundos o SEP opera em vazio.

Simulação 3 Operação do SEP considerando a utilização de um regulador de tensão

projetado para um único ponto de operação (Seção 3.4). Foi escolhido o RAT

correspondente ao sétimo ponto de operação (ver TAB. 3.2). Com relação às cargas,

segue exatamente os mesmos moldes da Simulação 1. A resposta da tensão terminal

do gerador (Vt) é mostrada na FIG. 5.13.

Os valores das potências ativa e reativa das cargas inseridas e retiradas do sistema

em cada etapa foram considerados iguais para as três simulações. Foram eles (valores em

pu):

Etapa 1 (fator de potência igual a 1)

Quartel: potência ativa (p11)=0,2; potência reativa (q11)=0;

Vila Militar: potência ativa (p21)=0,1; potência reativa (q21)=0;

Comunidade Local: potência ativa (p31)=0,1; potência reativa (q31)=0;

Etapa 2 (fator de potência igual a 0,7)

Quartel: potência ativa (p12)=0,3; potência reativa (q12)=0,306;

Vila Militar: potência ativa (p22)=0,2; potência reativa (q22)=0,204;

Comunidade Local: potência ativa (p32)=0,15; potência reativa (q32)=0,153;

101




Comunidade Local: potência ativa (p33)=0,25; potência reativa (q33)=0,121;




Comunidade Local: potência ativa (p34)=0; potência reativa (q34)=0;

0 50 100 150 200 250 3000.6

0.7

0.8

0.9

1

1.1

1.2

tempo (s)

freq.

ger

ador

(w)

FIG. 5.7: Resposta da freqüência de saída do gerador, ω (em pu)- variações de carga acada 45 segundos.

102

0 50 100 150 200 250 3000

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

tempo (s)

tens

ao s

aida

ger

ador

(Vt)

FIG. 5.8: Resposta da tensão de saída do gerador, Vt (em pu)- variações de carga acada 45 segundos.

0 50 100 150 200 250 3000.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

tempo (s)

aber

t. di

strib

. (g)

FIG. 5.9: Resposta da abertura do distribuidor, g (em pu)- variações de carga a cada 45segundos.

103

0 50 100 150 200 250 3000.6

0.7

0.8

0.9

1

1.1

1.2

tempo (s)

freq.

ger

ador

(w)

FIG. 5.10: Resposta da freqüência de saída do gerador, ω (em pu)- variações de carga acada 60 segundos.

0 50 100 150 200 250 3000

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

tempo (s)

tens

ao s

aida

ger

ador

(Vt)

FIG. 5.11: Resposta da tensão de saída do gerador, Vt (em pu)- variações de carga acada 60 segundos.

104

0 50 100 150 200 250 3000.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

tempo (s)

aber

t. di

strib

. (g)

FIG. 5.12: Resposta da abertura do distribuidor, g (em pu)- variações de carga a cada60 segundos.

0 50 100 150 200 250 3000

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

tempo (s)

tens

ao s

aida

ger

ador

(Vt)

FIG. 5.13: Resposta da tensão de saída do gerador, Vt (em pu)- utilização do RATprojetado para o sétimo ponto de operação (variações de carga a cada 45 segundos).

105

Os desempenhos do regulador de tensão fuzzy (Simulação 1) e do RAT (utilizado

para a Simulação 3) são comparados mediante a resposta da tensão de saída do gerador

verificada em cada simulação (FIG. 5.8 e 5.13). O resultado desta comparação é mostrado

nas FIG. 5.14, 5.15, 5.16, 5.17 e 5.18. Cada figura abrange um determinado intervalo de

tempo englobando, principalmente, os momentos de variação das cargas. Desta forma,

uma melhor avaliação comparativa pode ser feita.

1 2 3 4 5 6

0.7

0.8

0.9

1

1.1

1.2

1.3

tempo (s)

tens

ao s

aida

ger

ador

(Vt)

RAT fuzzyRAT pnt. op 7

FIG. 5.14: Comparação das respostas da tensão de saída do gerador, Vt (em pu),obtidas com o regulador fuzzy e com o RAT do sétimo ponto de operação- início da

operação do SEP.

106

41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

1.1

tempo (s)

tens

ao s

aida

ger

ador

(Vt)


FIG. 5.15: Comparação das respostas da tensão de saída do gerador, Vt (em pu),obtidas com o regulador fuzzy e com o RAT do sétimo ponto de operação- primeira

variação de carga (45 segundos).

80 85 90 95 1000.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

tempo (s)

tens

ao s

aida

ger

ador

(Vt)


FIG. 5.16: Comparação das respostas da tensão de saída do gerador, Vt (em pu),obtidas com o regulador fuzzy e com o RAT do sétimo ponto de operação- segunda


107

132 134 136 138 140 142

0.9

0.95

1

1.05

1.1

tempo (s)

tens

ao s

aida

ger

ador

(Vt)


FIG. 5.17: Comparação das respostas da tensão de saída do gerador, Vt (em pu),obtidas com o regulador fuzzy e com o RAT do sétimo ponto de operação- terceira


176 178 180 182 184 186 1880.9

0.92

0.94

0.96

0.98

1

1.02

1.04

1.06

tempo (s)

tens

ao s

aida

ger

ador

(Vt)


FIG. 5.18: Comparação das respostas da tensão de saída do gerador, Vt (em pu),obtidas com o regulador fuzzy e com o RAT do sétimo ponto de operação- quarta


108

Uma análise dos resultados apresentados nas FIG. 5.7 a 5.18 permite que se chegue

a algumas conclusões:

• o regulador de velocidade não apresentou um desempenho muito satisfatório; em-

bora ele tenha sido capaz de estabilizar a freqüência de saída do gerador, ω, em seu

valor nominal (1 pu), percebe-se o surgimento de oscilações neste sinal com picos

de até 25 por cento, aproximadamente (FIG. 5.7 e 5.10); em sistemas de geração

isolada, como o abordado neste trabalho, o controle da velocidade de rotação do

gerador é crítico, merecendo um estudo mais aprofundado;

• o regulador de tensão obtido com o emprego de lógica fuzzy apresentou bons re-

sultados; pelas FIG. 5.8 e 5.11 nota-se o surgimento de picos de tensão apenas nos

momentos de variação de carga;

• a utilização de um RAT projetado para um único ponto de operação (no caso,

sétimo ponto) ocasionou uma piora na resposta da tensão de saída do gerador,

FIG. 5.13, se comparada com a resposta gerada com o RAT implementado com

lógica fuzzy; na FIG. 5.14, por exemplo, tem-se um overshoot de cerca de 28 por

cento e um tempo de acomodação próximo a 4 segundos na resposta de Vt, quando

utiliza-se o RAT do sétimo ponto de operação; já na FIG. 5.15 vê-se um overshoot

de quase 50 por cento e um tempo de acomodação de 3 segundos, aproximadamente,

para a resposta de Vt, contra um overshoot próximo a 10 por cento e um tempo de

acomodação inferior a 1 segundo com o RAT empregando fuzzy;

5.3 LINEARIZAÇÃO DO MODELO MATEMÁTICO DO SISTEMA ELÉTRICO POR

PERTURBAÇÃO NUMÉRICA

Uma outra aplicação para a S-Function diz respeito à linearização de modelos ma-

temáticos por perturbação numérica. No contexto deste trabalho, este recurso numérico

visa, apenas, validar as linearizações das equações do sistema elétrico feitas analitica-

mente(Capítulo 3). Os métodos adotados para se chegar a esta validação, passam a ser

discutidos abaixo.

O diagrama em Simulink utilizado para se proceder à linearização do sistema elétrico

via perturbação numérica é mostrado na FIG. 5.19. Perceba-se que as entradas Efd e Pmec

(o leitor deve atentar para o fato de que, neste instante, voltou-se a utilizar o parâmetro

Pmec e não Tmec; isto se justifica pelo seguinte fato: assim como as linearizações analíticas

abordadas no Capítulo 3, a linearização por perturbação numérica foi feita considerando,

109

para a equação de movimento, os parâmetros relativos às potências mecânica e elétrica,

ao invés dos respectivos torques), e as saídas ω e Vt são definidas por símbolos que

representam portas de entrada e de saída, respectivamente. Dentro do subsistema sist-ele

(FIG. 5.20) encontra-se o bloco S-Function, que executa o programa onde são descritas

as equações não-lineares do sistema elétrico, a exemplo do que foi feito na Seção 5.1.

Este programa é apresentado no Apêndice 8.1.4. Comparando-o com o programa do

Apêndice 8.1.3, algumas pequenas diferenças podem ser notadas. Elas dizem respeito às

inicializações das variáveis de estado, das variáveis de entrada e das variáveis algébricas.

FIG. 5.19: Diagrama em blocos do sistema elétrico utilizado para linearização porperturbação numérica.

Já foi visto que a linearização de um sistema é feita em torno de pontos de operação.

No caso do sistema elétrico tratado neste trabalho estes pontos foram definidos no Capí-

tulo 3. Com base nestas definições podem ser calculados os valores das diversas variáveis

inerentes ao modelo do sistema elétrico para cada ponto de operação de interesse. As

variáveis algébricas são calculadas diretamente pelo programa do Apêndice 8.1.1. Já as

variáveis de estado e de entrada podem ser obtidas a partir das equações não lineares

deste sistema apresentadas na Seção 2.2.1. Tudo isto está implementado no programa

do Apêndice 8.1.5. Saliente-se que, com relação às variáveis de estado e de entrada, as

seguintes notações utilizadas neste programa e na Seção 2.2.1 são equivalentes: efd e Efd;

e2lq e E′′

q ; e2ld e E′′

d ; elq e E′

q. As equivalências para as demais variáveis ou já foram

descritas em capítulos anteriores ou, por serem evidentes, não são comentadas.

110

Os valores destas variáveis são passados para o programa do Apêndice 8.1.4 através

da janela de diálogo do bloco S-Function, mostrada na FIG. 5.21. Observe-se que são

definidos dois vetores: o primeiro contendo as variáveis de estado, e o segundo, R0, as

demais variáveis. Este vetor R0 está descrito no programa do Apêndice 8.1.5.

Estando inicializadas as variáveis do sistema para o ponto de operação considerado, a

linearização é executada pelo comando linmod. Observando-se a sintaxe deste comando,

definido no programa do Apêndice 8.1.5, percebe-se que através dele são obtidas as ma-

trizes Ap, Bp, Cp e Dp da realização em espaço de estados do sistema elétrico linearizado

por perturbação numérica em um dado ponto de operação. Encontrando-se os auto-

valores da matriz Ap em cada ponto de operação, poderá ser constatado que eles são

praticamente idênticos aos autovalores da matriz A, da realização do sistema linearizado

analiticamente (Seção 3.3) para os mesmos pontos de operação.

O método adotado neste trabalho para se comparar os resultados das linearizações

analítica e numérica está baseado no conceito dos chamados valores singulares de uma

matriz ou sistema (ZHOU, 1998).

Dada uma matriz de transferência genérica G(s), para s = jω, o i-ésimo valor singular

de G, em uma dada freqüência ωk, pode ser definido matematicamente por:

σi =√

λiG(jωk)G∗(jωk) (5.14)

sendo, λi o auto valor i da matriz e ∗ o símbolo do transposto conjugado da matriz. O

maior valor singular da matriz G, para a mesma freqüência, é dado por:

σmax = σ =√

λmaxG(jωk)G∗(jωk) (5.15)

Defina-se σm como sendo o limitante superior, ou supremo (sup), do maior valor

singular da matriz G(jω) para toda a faixa de freqüência ω, onde ω ∈ <+. Ou seja:

σm = supσ[G(jω)] , ω ∈ <+ (5.16)

Sejam Ga(i)(jω) e Gp(i)(jω), respectivamente, as matrizes de transferência do sistema

elétrico linearizado analítica e numericamente em torno de um determinado ponto de

operação i. Aplicando a EQ.5.16 para a diferença entre estas duas matrizes tem-se que:

σm(i) = supσ[Ga(i)(jω) − Gp(i)(jω)] , ω ∈ <+ (5.17)

Empregando-se a EQ. 5.17 para todos os quinze pontos de operação definidos na Seção

3.2 pode-se chegar ao gráfico mostrado na FIG. 5.22. Observe-se que os comandos em

111

Matlab referentes à EQ. 5.17, bem como aqueles responsáveis pela plotagem do citado

gráfico constam do programa do Apêndice 8.1.5.

Pode-se mostrar que o valor de σm de uma matriz de transferência genérica G(jω)

é também o limitante superior de |G(jω)| para toda a faixa de freqüência considerada.

Aplicando esta teoria ao resultado apresentado na FIG. 5.22 pode-se concluir que: para

todos os quinze pontos de operação, estando o maior valor de σm em torno de 2 × 10−6,

então |Ga(jω) − Gp(jω)|, para ω ∈ <+, está limitado por este valor para os mesmos

pontos de operação, donde pode-se afirmar que a linearização por perturbação numérica

coincidiu com a limearização analítica de modo a validá-la.

112

FIG. 5.20: Diagrama em blocos do subsistema sist-ele utilizado para a linearização do sistema elétrico via perturbação numérica.

113

FIG. 5.21: Janela de diálogo do bloco S-Function. Inicialização das variáveis do sistemaelétrico.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

x 10−6

Pontos de Oper.

Sig

ma(

Ga−

Gp)

FIG. 5.22: Gráfico de σm para Ga(jω)−Gp(jω), em todos os quinze pontos de operação.

114

6 CONCLUSÃO

6.1 RESUMO E ANÁLISE DOS PRINCIPAIS RESULTADOS ALCANÇADOS

A presente dissertação teve como objetivo principal a modelagem do comportamento

dinâmico do sistema de potência considerado e o projeto de reguladores de tensão e de

velocidade. O desempenho destes sistemas de controle pôde ser avaliado a partir dos

resultados das simulações realizadas, que passam a ser comentados.

O regulador de tensão final foi obtido pelo tabelamento de ganhos, via lógica fuzzy,

dos reguladores projetados para pontos de operação específicos (Capítulo 3). O desem-

penho deste RAT pôde ser levantado pela simulação da operação do sistema de potência

frente a variações de potência ativa e reativa consideráveis (Capítulo 5). Como visto

nas FIG. 5.8 e 5.11, o desempenho deste regulador pode ser considerado bastante satis-

fatório: tempo de resposta frente às variações de carga em torno de 0, 7 segundos (pior

caso) e overshoot nulo (naturalmente, ocorreram picos de tensão nos instantes de vari-

ação de carga). O resultado positivo deste regulador ficou ainda mais evidente nas FIG.

5.14, 5.15, 5.16, 5.17 e 5.18, que mostraram uma comparação com um outro regulador

projetado para um único ponto de operação.

Pela simulação mostrada na FIG. 5.7 percebe-se uma variação na freqüência de saída

do gerador acentuada, denotando um desempenho relativamente fraco do regulador de

velocidade frente a alterações de carga com aquela magnitude 11. A FIG. 5.10 mostra

que o regulador foi capaz de levar a freqüência a seu valor nominal em um tempo inferior

a 60 segundos.

6.2 RESUMO DA CONTRIBUIÇÃO

Em termos gerais, acredita-se que as ferramentas de modelagem e análise desenvolvi-

das neste trabalho possam servir como subsídio para implementações práticas de novas

estratégias de controle conjunto de freqüência e tensão para as micro usinas hidrelétricas

do Exército Brasileiro, e para o sistema didático existente no Laboratório de Hidráulica

11Deve-se levar em conta, porém, que em sistema de geração isolada como este, as variações de fre-

qüência são bem mais críticas se comparadas com sistemas interligados de grande porte.

115

do Instituto Militar de Engenharia (IME).

Com relação ao controle das oscilações eletromecânicas em sistemas elétricos isolados,

um tema muito pouco abordado na literatura, os resultados deste trabalho mostram

claramente que a abordagem normalmente adotada na prática está longe de proporcionar

a melhor qualidade da energia gerada.

Pode-se ressaltar, também, a descrição do equacionamento do sistema elétrico se-

gundo a formulação aumentada, e a obtenção das matrizes de estado do sistema linea-

rizado (incluindo as rotinas pertinentes em Matlab apresentadas nos Apêndices 8.1.1 e

8.1.2). O emprego da técnica de tabelamento de ganhos via lógica fuzzy para se chegar

ao regulador de tensão final talvez possa ser alvo de mais investigações, inclusive para se

constatar a viabilidade ou não de sua utilização prática em sistemas de potência.

A metodologia proposta para a simulação dos diversos componentes (ou subsistemas)

do SEP e para a integração entre eles (Capítulos 4 e 5) pode ser adotada em trabalhos

correlatos que façam uso do mesmo ambiente de simulação (Simulink).

Outra contribuição desta dissertação está no método de solução de equações algébrico-

diferenciais e de linearização de sistemas (não-lineares) via perturbação numérica, ambos

descritos no Capítulo 5 e baseados na S-Function do Simulink.

6.3 CRÍTICAS E PERSPECTIVAS

Este trabalho foi pautado em um sistema de potência de características simples:

gerador-carga (tipo impedância constante). Estudos baseados em SEP mais complexos,

envolvendo, por exemplo, geradores em paralelo e cargas dinâmicas podem ser feitos.

Simulações mais abrangentes, que levem em conta a ocorrência de curtos-circuitos na

linha e a atuação de relés de proteção nela instalados, também podem ser objeto de

pesquisa.

O controle de freqüência para sistemas de geração isolada se mostrou algo complexo

merecendo estudos mais aprofundados como o apresentado em MANSOOR (2000). As

mesmas técnicas utilizadas para o regulador de tensão (linearização e tabelamento de

ganhos) podem ser empregadas para o regulador de velocidade, por exemplo.

Esta dissertação não abordou técnicas de controle mais sofisticadas indicadas para sis-

temas não-lineares, como os chamados métodos diretos baseados em funções de Lyapunov.

A aplicação de tais métodos em sistemas de potência isolados e uma possível compara-

ção com aqueles aqui adotados fica como sugestão para trabalhos futuros, ressaltando-se,

ainda, a possibilidade de se estudar o desenvolvimento de um método híbrido.

116

7 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

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ZHOU, K. e DOYLE, J. C. Essentials of Robust Control. Prentice Hall, 1998.

118

8 APÊNDICES

119

8.1 APÊNDICE 1: PROGRAMAS MATLAB

8.1.1 DEFINIÇÃO DOS PONTOS DE OPERAÇÃO E PARÂMETROS DO SISTEMA

ELÉTRICO- SOLUÇÃO DA EQUAÇÃO DE REDE

function [Y,I1,V1]=sol_eqrede

% 1) Relação das Potências das Cargas que Definem os Pontos de Operação

% PC=[P (potência ativa)

% ---

% Q (potência reativa)]

PC=[0.175 0.175 0.175 0.425 0.425 0.425 0.675 0.675 0.675 0.925 0.925 0.925 1 1 1;

0.23 0.13 0 0.566 0.31875 0 0.9 0.506 0 1.23 0.694 0 1.33 0.75 0];

% 2) Distribuição das Potências pelos três consumidores

%(quartel, vila militar, comunidade)

DP=[0.6 0.6 0.5 0.45 0.45 0.40;

0.2 0.15 0.3 0.3 0.25 0.30;

0.2 0.25 0.2 0.25 0.3 0.3];

% 3) Obtenção das Cargas por Consumidor para os vários pontos de operação

CCP=[]; % para potência ativa

CCQ=[]; % para potência reativa

for i=1:15

if i==1|i==5|i==9

for j=1:3

CCP(j,i)=PC(1,i)*DP(j,1);

CCQ(j,i)=PC(2,i)*DP(j,1);

end

elseif i==2|i==6|i==7

for j=1:3



end

elseif i==3|i==4|i==8

for j=1:3



end

elseif i==10|i==15

for j=1:3



end

elseif i==11|i==13

120

for j=1:3



end

else

for j=1:3



end % for

end % if

end % for

%4) Calculo das condutâncias e susceptâncias dos trafos, linhas e cargas

%para os diversos pontos de operação

% Grandezas Base:potencia em kw, tensão em volts, impedância em ohms e corrente

% em amperes

Pbase=100; % potência nominal do gerador; Pot=3/2*Vbase*Ibase = 3/2*vbase*ibase

vbase=(220/sqrt(3))*sqrt(2); % tensão fase-neutro de pico (na baixa tensão)

ibase=(2/3)*(Pbase/vbase)*1e3; % corrente de linha de pico (na baixa tensão)

zbase=vbase/ibase; % impedância base (na baixa tensão)

Vbase=vbase*(13.8/220)*1e3; Ibase=ibase*(220/(13.8*1e3)); % base na alta tensão

Zbase=Vbase/Ibase; % base na alta tensão

% a) admitâncias dos trafos do SEP (resistências desprezadas)-valores por unidade

rt=[]; xt=[];

%(i) trafo de elevação de tensão (112KA, 220V/13.8 KV)

rt(1)=0; xt(1)=0.0369;

% gt1=rt1/(rt1^2+xt1^2); bt1=-xt1/(rt1^2+xt1^2);

%(ii) trafo do quartel (45KVA, 13.8KV/220V)

rt(2)=0; xt(2)=0.09189;


%(iii)trafos da vila militar e da comunidade (30 KVA, 13.8KV/220V)

rt(3)=0; xt(3)= 0.1378; rt(4)=rt(3); xt(4)=xt(3);


% legenda: rt= resistência dos trafos; xt= reatância indutiva; gt= condutância;

% bt=susceptância

% b) impedâncias das linhas de distribuição e admitâncias totais (trafo + linha)

d=[7 1 1.5 3]; %distancias das linhas (em km) : d1=linha principal;

% d2=linha do quartel; d3=linha da vila militar; d4=linha da comunidade

RL=1.4; XL=0.434; %ohm/km; agora, passando para valores por unidade, tem-se:

rL=RL/Zbase; xL=XL/Zbase; %pu/km

% matrizes com as impedâncias totais das linhas

for i=1:4

rl(i)=rL*d(i); xl(i)=xL*d(i);

end

121

% matrizes com as condutâncias e susceptâncias totais (trafos + linhas)

for i=1:4

rtl(i)=rt(i)+rl(i); xtl(i)=xt(i)+xl(i);

gtl(i)=rtl(i)/(rtl(i)^2 + xtl(i)^2);

btl(i)=-xtl(i)/(rtl(i)^2 + xtl(i)^2);

end

% c) admitâncias das cargas para os vários pontos de operação (verificar

% a dissertação);

gc1=[]; gc2=[]; gc3=[]; % condutâncias das cargas do quartel, vila e

% comunidade (em pu)

bc1=[]; bc2=[]; bc3=[]; % susceptâncias das cargas do quartel, vila e

%comunidade (em pu)

gc1=CCP(1,:); gc2=CCP(2,:); gc3=CCP(3,:);

bc1=-CCQ(1,:); bc2=-CCQ(2,:); bc3=-CCQ(3,:);

% 5) Montagem da matriz de admitância nodal (verificar a dissertação)

y11(1,1)=gtl(1); y11(1,2)=-btl(1); y11(2,1)=-y11(1,2); y11(2,2)=y11(1,1);

y12=-y11; y13=zeros(2,2); y14=y13; y15=y13;

y21=-y11;

y22(1,1)=gtl(1)+gtl(2)+gtl(3)+gtl(4);

y22(1,2)=-(btl(1)+btl(2)+btl(3)+btl(4)); y22(2,1)=-y22(1,2); y22(2,2)=y22(1,1);

y23(1,1)=-gtl(2); y23(1,2)=btl(2); y23(2,1)=-y23(1,2); y23(2,2)=y23(1,1);

y24(1,1)=-gtl(3); y24(1,2)=btl(3); y24(2,1)=-y24(1,2); y24(2,2)=y24(1,1);

y25(1,1)=-gtl(4); y25(1,2)=btl(4); y25(2,1)=-y25(1,2); y25(2,2)=y25(1,1);

y31=zeros(2,2); y32=y23;

for i=1:15

y33(1,1)=gtl(2)+gc1(i); y33(1,2)=-(btl(2)+bc1(i)); y33(2,1)=-y33(1,2);

y33(2,2)=y33(1,1); y3(:,:,i)=y33;


y44(2,2)=y44(1,1); y4(:,:,i)=y44;


y55(2,2)=y55(1,1); y5(:,:,i)=y55;

end

y34=zeros(2,2); y35=y34; y41=y14; y42=y24; y43=y34; y45=y34;

y51=y34; y52=y25; y53=y35; y54=y45;

% matriz admitância nodal para os vários pontos de operação

for i=1:15

Y(:,:,i)=[y11 y12 y13 y14 y15; y21 y22 y23 y24 y25; y31 y32 y3(:,:,i) y34 y35;

y41 y42 y43 y4(:,:,i) y45; y51 y52 y53 y54 y5(:,:,i)];

end

% 6) Fluxo de carga = calculo das correntes do gerador para

122

% os vários pontos de operação (e das tensões nas barras)

% inicialização da tensão na barra do gerador: V1=[Vr1;Vi1)

V1=[1;0];

% para as definições das matrizes abaixo verificar anotação da dissertação

% N3 =[I;V2;V3;V4;V5]; I1=corrente do gerador=[Ir1,Ii1]

N1=[-y11*V1;-y21*V1; 0;0 ; 0;0 ; 0;0];

for i=1:15

N2(:,:,i)=Y(:,:,i);

N2(1:2,1:2,i)=-eye(2);

N2(3:4,1:2,i)=zeros(2,2);

N3(:,i)=inv(N2(:,:,i))*N1;

I1(:,i)=N3(1:2,i);

V1(:,i)=[1;0]; % redefinindo V1 para todos os pontos de operação

V2(:,i)=N3(3:4,i);

V3(:,i)=N3(5:6,i);

V4(:,i)=N3(7:8,i);

V5(:,i)=N3(9:10,i);

end

123

8.1.2 FORMULAÇÃO AUMENTADA - OBTENÇÃO DAS MATRIZES ABCD (ESPAÇO DE ESTADOS)

% Cálculos das matrizes ABCD do modelo linearizado do SEP para os diversos pontos

% de Operação encontrados a partir da função sol_eqrede.m (a qual é chamada abaixo)

[Y,I1,V1]=sol_eqrede;

% 1) Calculo dos ângulos do rotor (ângulos de carga)

% valores dos parâmetros da maquina em pu (tirados da Weg)

Xd=12.46; Xq=4.58; Xld=0.779; X2ld=0.653; X2lq=0.71; Ra=0.11; Tld0=0.749 ;

T2ld0=0.001106; T2lq0=0.0122; H=3; w0=2*pi*60; Xd=12.46; Xq=4.58; Xld=0.779;

% para compreensão do equacionamento abaixo ver dissertação

% Eqr=[]; Eqm=[]; delta=[];

for i=1:15

Eqr(i)=V1(1,i)+Ra*I1(1,i)-Xq*I1(2,i);

Eqm(i)=V1(2,i)+Ra*I1(2,i)+Xq*I1(1,i);

delta(i)=angle(Eqr(i)+sqrt(-1)*Eqm(i));

end

% 2) Passando a corrente do gerador I1=[Ir1;Ii1] para o referencial d-q:

% Idq=[Id1;Iq1]

for i=1:15

Idq(:,i)=[sin(delta(i)) -cos(delta(i)); cos(delta(i)) sin(delta(i))]*I1(:,i);

end

% 3) Montando as matrizes aumentadas para os vários pontos de operação

% (para a ordenação das variáveis de estado e algébricas, e demais

% esclarecimentos verificar dissertação

% a) matriz A aumentada: Aa=[J1 J2; J3 J4];

J1=[]; J2=[]; J3=[]; J4=[];

124

for i=1:15

J1(:,:,i)=[-1/Tld0 0 0 0 0;

0 -1/T2lq0 0 0 0;

1/T2ld0 0 -1/T2ld0 0 0;

0 0 0 0 ...

(-V1(1,i)*Idq(1,i)*cos(delta(i))-V1(2,i)*Idq(1,i)*sin(delta(i))+V1(1,i)*Idq(2,i)*sin(delta(i))-V1(2,i)*Idq(2,i)*cos(delta(i)))/(2*H);

0 0 0 w0 0];

J2(:,:,i)=[-(Xd-Xld)/Tld0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0;

0 (Xq-X2lq)/T2lq0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0;

-(Xld-X2ld)/T2ld0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0;

(-V1(1,i)*sin(delta(i))+V1(2,i)*cos(delta(i))-2*Ra*Idq(1,i))/(2*H) ...

(-V1(1,i)*cos(delta(i))-V1(2,i)*sin(delta(i))-2*Ra*Idq(2,i))/(2*H) ...

(-Idq(1,i)*sin(delta(i))-Idq(2,i)*cos(delta(i)))/(2*H)...

(Idq(1,i)*cos(delta(i))-Idq(2,i)*sin(delta(i)))/(2*H) 0 0 0 0 0 0 0 0;

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0];

J3(:,:,i)=[0 -1 0 0 (V1(1,i)*cos(delta(i))+V1(2,i)*sin(delta(i)));

0 0 -1 0 (-V1(1,i)*sin(delta(i))+V1(2,i)*cos(delta(i)));

0 0 0 0 -(cos(delta(i))*Idq(1,i)-sin(delta(i))*Idq(2,i));

0 0 0 0 -(sin(delta(i))*Idq(1,i)+cos(delta(i))*Idq(2,i));

0 0 0 0 0;

0 0 0 0 0;

0 0 0 0 0;

0 0 0 0 0;

0 0 0 0 0;

0 0 0 0 0;

0 0 0 0 0;

0 0 0 0 0];

J4(1:2,:,i)=[Ra -X2lq sin(delta(i)) -cos(delta(i)) 0 0 0 0 0 0 0 0 ;

X2ld Ra cos(delta(i)) sin(delta(i)) 0 0 0 0 0 0 0 0 ];

J4(3:12,1:2,i)=[-sin(delta(i)) -cos(delta(i));cos(delta(i)) -sin(delta(i));zeros(8,2)];

J4(3:12,3:12,i)=Y(:,:,i);

125

end

% b) matriz B aumentada: Ba=[Bx;Br]

Bx=[]; Br=[];

%Bx=zeros(5,2); %Br=zeros(12,2);

for i=1:15

Bx(:,:,i)=zeros(5,2);

Br(:,:,i)=zeros(12,2);

Bx(1,1,i)=1/Tld0; Bx(4,2,i)=1/(2*H);

end

% c) matriz C aumentada: Ca=[Cx Cr]: as saídas serão, na ordem: w,Vt

%(acompanhar o desenvolvimento na dissertação)

Cx=[]; Cr=[];

for i=1:15

Cx(:,:,i)=zeros(2,5);Cr(:,:,i)=zeros(2,12);

Cx(1,4,i)=1;

Cr(2,3,i)=V1(1,i)/sqrt(V1(1,i)^2+V1(2,i)^2);

Cr(2,4,i)=V1(2,i)/sqrt(V1(1,i)^2+V1(2,i)^2);

end

% d) transformação em espaço de estados

% A=[]; B=[]; C=[]; D=[];

for i=1:15

A(:,:,i)=J1(:,:,i)-J2(:,:,i)*inv(J4(:,:,i))*J3(:,:,i);

B(:,:,i)=Bx(:,:,i)-J2(:,:,i)*inv(J4(:,:,i))*Br(:,:,i);

C(:,:,i)=Cx(:,:,i)-Cr(:,:,i)*inv(J4(:,:,i))*J3(:,:,i);

D(:,:,i)=-Cr(:,:,i)*inv(J4(:,:,i))*Br(:,:,i);

end

126

8.1.3 PROGRAMA S-FUNCTION PARA O MODELO NÃO-LINEAR DO SISTEMA ELÉTRICO

function [sys,x0,str,ts] = sisele_nlin2(t,x,u,flag,INIT)

% Parâmetros da Maquina e Constantes do Sistema Elétrico (condutâncias e susceptâncias)

%a) dados do gerador

Xd=12.46; Xq=4.58; Xld=0.779; X2ld=0.653; X2lq=0.71; Ra=0.11;

Tld0=0.749 ; T2ld0=0.001106; T2lq0=0.0122; H=3; w0=2*pi*60;

%b)constantes do sistema elétrico (calculados no programa sol_eqrede.m)

gtl1=3.4116; btl1=-25.5212; gtl2=0.0866; btl2=-10.8561;

gtl3=0.0578; btl3=-7.2385; gtl4=0.1150; btl4=-7.2192;

%c) montagem da matriz admitância nodal (para compreensão, verificar trabalho escrito)

y11(1,1)=gtl1; y11(1,2)=-btl1; y11(2,1)=-y11(1,2); y11(2,2)=y11(1,1);

y12=-y11; y13=zeros(2,2); y14=y13; y15=y13;

y21=-y11;

y22(1,1)=gtl1+gtl2+gtl3+gtl4;

y22(1,2)=-(btl1+btl2+btl3+btl4); y22(2,1)=-y22(1,2); y22(2,2)=y22(1,1);

y23(1,1)=-gtl2; y23(1,2)=btl2; y23(2,1)=-y23(1,2); y23(2,2)=y23(1,1);

y24(1,1)=-gtl3; y24(1,2)=btl3; y24(2,1)=-y24(1,2); y24(2,2)=y24(1,1);

y25(1,1)=-gtl4; y25(1,2)=btl4; y25(2,1)=-y25(1,2); y25(2,2)=y25(1,1);

y31=zeros(2,2); y32=y23;

y33(1,1)=gtl2; y33(1,2)=-(btl2); y33(2,1)=-y33(1,2); y33(2,2)=y33(1,1);

y44(1,1)=gtl3; y44(1,2)=-(btl3); y44(2,1)=-y44(1,2); y44(2,2)=y44(1,1);

y55(1,1)=gtl4; y55(1,2)=-(btl4); y55(2,1)=-y55(1,2); y55(2,2)=y55(1,1);


y51=y34; y52=y25; y53=y35; y54=y45;

127

Y=[y11 y12 y13 y14 y15; y21 y22 y23 y24 y25; y31 y32 y33 y34 y35;

y41 y42 y43 y44 y45; y51 y52 y53 y54 y55];

switch flag

case 0 % Inicialização

sys = [5, % number of continuous states

0, % number of discrete states

13, % number of outputs

20, % number of inputs

0, % reserved must be zero

1, % direct feedthrough flag

1]; % number of sample times

x0 = INIT;

str = [];

ts = [0 0]; % sample time: [period, offset]

case 1 % Derivativos

wl=x(4);

delta=x(5);

r=u(9:20);

v=u(1:2);

Id=u(9); Iq=u(10);

Vr1=u(11); Vi1=u(12); %Vr2=u(13); Vi2=u(14); Vr3=u(15); Vi3=u(16); Vr4=u(17);

% Vi4=u(18); Vr5=u(19); Vi5=u(20); Id=u(9); Iq=u(10);

% observação: wl=w-1, assim, wl+1=w;

J1=[-1/Tld0 0 0 0 0;

0 -1/T2lq0 0 0 0;

1/T2ld0 0 -1/T2ld0 0 0;

0 0 0 0 0;

0 0 0 w0 0];

128

J2=[-(Xd-Xld)/Tld0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0;

0 (Xq-X2lq)/T2lq0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0;

-(Xld-X2ld)/T2ld0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0;

-1/(2*H*(wl+1))*(Vr1*sin(delta)-Vi1*cos(delta)+Ra*Id) -1/(2*H*(wl+1))*(Vr1*cos(delta)+Vi1*sin(delta)+Ra*Iq) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0;

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0];

Bx=zeros(5,2); Bx(1,1)=1/Tld0; Bx(4,2)=1/(2*H);

sys = zeros(5,1);

sys=J1*x+J2*r+Bx*v;

case 2 % Atualização de estados discretos

sys = []; % fazer nada

case 3 % Saídas

% definição de parâmetros

delta=x(5);

r=u(9:20);

p1=u(3); q1=u(4); p2=u(5); q2=u(6); p3=u(7); q3=u(8);

% montando as matrizes ;

J3=zeros(12,5); J3(1,2)=-1; J3(2,3)=-1;

J4(1:2,1:12)=[Ra -X2lq sin(delta) -cos(delta) 0 0 0 0 0 0 0 0;

X2ld Ra cos(delta) sin(delta) 0 0 0 0 0 0 0 0];

J4(3:12,1:2)=[-sin(delta) -cos(delta); cos(delta) -sin(delta); zeros(8,2)];

J4(3:12,3:12)=Y;

J4(7,7)=J4(7,7)+p1; J4(7,8)=J4(7,8)+q1; J4(8,7)=J4(8,7)-q1; J4(8,8)=J4(8,8)+p1;

J4(9,9)=J4(9,9)+p2; J4(9,10)=J4(9,10)+q2; J4(10,9)=J4(10,9)-q2; J4(10,10)=J4(10,10)+p2;

J4(11,11)=J4(11,11)+p3; J4(11,12)=J4(11,12)+q3; J4(12,11)=J4(12,11)-q3; J4(12,12)=J4(12,12)+p3;

Cx=zeros(13,5); Cx(1,4)=1;

129

Cr=zeros(13,12); Cr(2:13,1:12)=eye(12);

% atualizando os valores das variáveis algébricas

r=-inv(J4)*J3*x;

% saídas do sistema:wl (wl=w-1) e r

sys = zeros(13,1);

sys=Cx*x+Cr*r;

case 9 % Terminar


otherwise

error([’unhandled flag = ’,num2str(flag)]);

end

8.1.4 PROGRAMA S-FUNCTION PARA O MODELO DO SISTEMA ELÉTRICO EMPREGADO NA LINEARIZAÇÃO POR

PERTURBAÇÃO NUMÉRICA

function [sys,x0,str,ts] = sisele_nlinc(t,x,u,flag,INIT,INITv)

% Parâmetros da Maquina e Constantes do Sistema Elétrico (condutâncias e susceptâncias)

%a) dados do gerador

Xd=12.46; Xq=4.58; Xld=0.779; X2ld=0.653; X2lq=0.71; Ra=0.11;

Tld0=0.749 ; T2ld0=0.001106; T2lq0=0.0122; H=3; w0=2*pi*60;

%b)constantes do sistema elétrico (calculados no programa matriz_nodal.m)

gtl1=3.4116; btl1=-25.5212; gtl2=0.0866; btl2=-10.8561;

gtl3=0.0578; btl3=-7.2385; gtl4=0.1150; btl4=-7.2192;

130

%c) montagem da matriz admitância nodal (para compreensão, verificar trabalho escrito)

y11(1,1)=gtl1; y11(1,2)=-btl1; y11(2,1)=-y11(1,2); y11(2,2)=y11(1,1);

y12=-y11; y13=zeros(2,2); y14=y13; y15=y13;

y21=-y11;

y22(1,1)=gtl1+gtl2+gtl3+gtl4;

y22(1,2)=-(btl1+btl2+btl3+btl4); y22(2,1)=-y22(1,2); y22(2,2)=y22(1,1);

y23(1,1)=-gtl2; y23(1,2)=btl2; y23(2,1)=-y23(1,2); y23(2,2)=y23(1,1);

y24(1,1)=-gtl3; y24(1,2)=btl3; y24(2,1)=-y24(1,2); y24(2,2)=y24(1,1);

y25(1,1)=-gtl4; y25(1,2)=btl4; y25(2,1)=-y25(1,2); y25(2,2)=y25(1,1);

y31=zeros(2,2); y32=y23;

y33(1,1)=gtl2; y33(1,2)=-(btl2); y33(2,1)=-y33(1,2); y33(2,2)=y33(1,1);

y44(1,1)=gtl3; y44(1,2)=-(btl3); y44(2,1)=-y44(1,2); y44(2,2)=y44(1,1);

y55(1,1)=gtl4; y55(1,2)=-(btl4); y55(2,1)=-y55(1,2); y55(2,2)=y55(1,1);


y51=y34; y52=y25; y53=y35; y54=y45;

Y=[y11 y12 y13 y14 y15; y21 y22 y23 y24 y25; y31 y32 y33 y34 y35;

y41 y42 y43 y44 y45; y51 y52 y53 y54 y55];

switch flag

case 0 % Inicialização

sys = [5, % number of continuous states

0, % number of discrete states

13, % number of outputs

20, % number of inputs

0, % reserved must be zero

1, % direct feedthrough flag

1]; % number of sample times

x0 = zeros(1,5);

str = [];

131

ts = [0 0]; % sample time: [period, offset]

case 1 % Derivativos

r0 = INITv(3:14)’;

efd0= INITv(1);

Pmec0=INITv(2);

x0 = INIT’;

x=x+x0;

u(1)=u(1)+efd0;

u(2)=u(2)+Pmec0;

u(9:20)=u(9:20);%+r0; % Aqui(case 1) não se deve somar o pt nominal da

% variável algébrica pois já o foi no case 3 que é

% executado antes.

delta=x(5);

r=u(9:20);

v=u(1:2);

Id=u(9); Iq=u(10);

Vr1=u(11); Vi1=u(12); %Vr2=u(13); Vi2=u(14); Vr3=u(15); Vi3=u(16); Vr4=u(17);

% Vi4=u(18); Vr5=u(19); Vi5=u(20); Id=u(9); Iq=u(10);

J1=[-1/Tld0 0 0 0 0;

0 -1/T2lq0 0 0 0;

1/T2ld0 0 -1/T2ld0 0 0;

0 0 0 0 0;

0 0 0 w0 0];

J2=[-(Xd-Xld)/Tld0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0;

0 (Xq-X2lq)/T2lq0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0;

-(Xld-X2ld)/T2ld0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0;

-1/(2*H)*(Vr1*sin(delta)-Vi1*cos(delta)+Ra*Id) -1/(2*H)*(Vr1*cos(delta)+Vi1*sin(delta)+Ra*Iq) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0;

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0];

Bx=zeros(5,2); Bx(1,1)=1/Tld0; Bx(4,2)=1/(2*H);

132

sys = zeros(5,1);

sys=J1*x+J2*r+Bx*v;

case 2 % Atualização de estados discretos


case 3 % Saídas

% definição de parâmetros

x0 = INIT’;

r0=INITv(3:14)’;

efd0=INITv(1);

Pmec0=INITv(2);

x=x+x0;

u(1)=u(1)+efd0;

u(2)=u(2)+Pmec0;

u(9:20)=u(9:20)+r0;

delta=x(5);

r=u(9:20);

p1=u(3); q1=u(4); p2=u(5); q2=u(6); p3=u(7); q3=u(8);

% montando as matrizes ;

J3=zeros(12,5); J3(1,2)=-1; J3(2,3)=-1;

J4(1:2,1:12)=[Ra -X2lq sin(delta) -cos(delta) 0 0 0 0 0 0 0 0;

X2ld Ra cos(delta) sin(delta) 0 0 0 0 0 0 0 0];

J4(3:12,1:2)=[-sin(delta) -cos(delta); cos(delta) -sin(delta); zeros(8,2)];

J4(3:12,3:12)=Y;

J4(7,7)=J4(7,7)+p1; J4(7,8)=J4(7,8)+q1; J4(8,7)=J4(8,7)-q1; J4(8,8)=J4(8,8)+p1;

J4(9,9)=J4(9,9)+p2; J4(9,10)=J4(9,10)+q2; J4(10,9)=J4(10,9)-q2; J4(10,10)=J4(10,10)+p2;

J4(11,11)=J4(11,11)+p3; J4(11,12)=J4(11,12)+q3; J4(12,11)=J4(12,11)-q3; J4(12,12)=J4(12,12)+p3;

Cx=zeros(13,5); Cx(1,4)=1;

133

Cr=zeros(13,12); Cr(2:13,1:12)=eye(12);

% atualizando os valores das variáveis algébricas

r=-inv(J4)*J3*x;

% saídas do sistema:wl (wl=w-1) e r

sys = zeros(13,1);

sys=Cx*x+Cr*r;

case 9 % Terminar


otherwise

error([’unhandled flag = ’,num2str(flag)]);

end

134

8.1.5 CÁLCULO DOS VALORES DAS VARIÁVEIS DO SISTEMA ELÉTRICO NOS PONTOS DE OPERAÇÃO CONSIDERA-

DOS E VALIDAÇÃO DA LINERIZAÇÃO ANALÍTICA

% Este programa tem a finalidade de calcular os valores das variáveis de estado, algébricas e de entrada

% nos pontos de operação considerados, e comparar os modelos do sistema elétrico linearizados de duas formas

% distintas: linearização analítica x linearização por perturbação numérica. Isto em vistas a validar

% o primeiro método de linearização.

% 1) Calculo das Condições Iniciais para as Variáveis Algébricas, de Estado e Entradas

% valores dos parâmetros da maquina em pu (tirados da Weg)

Xd=12.46; Xq=4.58; Xld=0.779; X2ld=0.653; X2lq=0.71; Ra=0.11; Tld0=0.749 ;

T2ld0=0.001106; T2lq0=0.0122; H=3; w0=2*pi*60;

[Y,I1,V1,V2,V3,V4,V5,gc1,bc1,gc2,bc2,gc3,bc3]=sol_eqredec; %variáveis da rede elétrica

[A,B,C,D]=ABCD_c(Y,I1,V1,V2,V3,V4,V5); %obtenção das matrizes A,B,C e D

% a corrente I1 corresponde a [Ir1;Ii1]; deseja-se obter id e iq, o que e feito da seguinte forma:

for i=1:15

Eqr=V1(1,i)+Ra*I1(1,i)-Xq*I1(2,i);

Eqm=V1(2,i)+Ra*I1(2,i)+Xq*I1(1,i);

delta=angle(Eqr+sqrt(-1)*Eqm);

% passando a corrente do gerador I1=[Ir1;Ii1] para o referencial d-q:

id=[sin(delta) -cos(delta)]*I1(:,i);

iq=[cos(delta) sin(delta)]*I1(:,i);

% redefinindo as variáveis:

vr1=V1(1,i); vi1=V1(2,i); vr2=V2(1,i); vi2=V2(2,i); vr3=V3(1,i); vi3=V3(2,i); vr4=V4(1,i);

vi4=V4(2,i); vr5=V5(1,i); vi5=V5(2,i);

135

% calculando as demais variáveis de estado

wl=0 ; % wl=w-1 (na S-Function, se esta trabalhando com wl e nao com w) e w=1 pu

e2lq=vr1*cos(delta)+vi1*sin(delta)+X2ld*id+Ra*iq;

e2ld=(Xq-X2lq)*iq; % ou e2ld= vr1*sin(delta)-vi1*cos(delta)-X2lq*iq+Ra*id

elq=(Xld-X2ld)*id+e2lq;

efd=(Xd-Xld)*id+elq;

% calculando a potência mecânica

Pmec=(vr1*sin(delta)-vi1*cos(delta))*id + (vr1*cos(delta)+vi1*sin(delta))*iq + Ra*(id^2+iq^2);

% definindo as cargas

P1=gc1(i); Q1=-bc1(i); P2=gc2(i); Q2=-bc2(i); P3=gc3(i); Q3=-bc3(i);

% definindo o vetor de condições iniciais para as entradas e variáveis algébricas

R0=[efd,Pmec,id,iq,vr1,vi1,vr2,vi2,vr3,vi3,vr4,vi4,vr5,vi5];

[Ap(:,:,i),Bp(:,:,i),Cp(:,:,i),Dp(:,:,i)]=linmod(’sist_potc’);

Pa=pck(A(:,:,i),B(:,:,i),C(:,:,i),D(:,:,i));

Pp=pck(Ap(:,:,i),Bp(:,:,i),Cp(:,:,i),Dp(:,:,i));

Ps=msub(Pa,Pp);

[nninf,f]= sigma(Ps);

nninf=max(max(nninf));

ninf(i)=nninf;

Pt(i)=P1+P2+P3;

Qt(i)=Q1+Q2+Q3;

keyboard

end

136

modelagem, controle e simula˙ˆo da din´mica … · instituto militar de engenharia 1o ten josÉ...

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