UNIVERSIDADE FEDERAL DE CAMPINA GRANDE

CENTRO DE EDUCAÇÃO E SAÚDE

UNIDADE ACADÊMICA DE EDUCAÇÃO

PROFESSORA: CÉLIA MARIA RUFINO FRANCO

Aluno (a): ____________________________________

NOTAS DE AULAS DE CÁLCULO II

Capítulo 1

Teorema da Função Inversa e Funções

Transcendentes

1.1 Funções Inversas

A ideia da função inversa é resolver uma equação y = f(x) para x como função de y;

digamos x = f�1(y) de tal maneira que as igualdades

i) f�1(f(x)) = x; 8 x no domínio de f ,

ii) f(f�1(y)) = y; 8 y no domínio de f�1

sejam satisfeitas.

De�nição 1.1 (Função Injetora) Uma função f(x) é injetora no domínio D se f(x1) 6=

f(x2) sempre que x1 6= x2 em D:

De�nição 1.2 (Função Inversa) Seja f uma função injetora num domínio D com imagem

S: A função inversa f�1 é de�nida por

f�1(a) = b se f(b) = a:

O domínio de f�1 é S e a imagem de f�1 é D:

1

Exemplo 1.1 As funções f(x) = x3 e f�1(y) = 3py são funções inversas:

Observação 1.1 É importante entender que uma função está determinada pela lei que

a de�ne e não pela letra usada para a variável independente. Assim, f�1(y) = 3py;

f�1(x) = 3px; etc.

Observação 1.2 Nem toda função possui inversa. Por exemplo, f : R ! R de�nida por

f(x) = x2 não possui inversa. Mas, se de�nirmos f de R+ em R+ então y = f(x) = x2

admite inversa x = f�1(y) =py:

Observação 1.3 Uma função que é estritamente crescente em dado intervalo, satisfazendo

f(x2) > f(x1) quando x2 > x1; é injetora e tem inversa. Funções estritamente decrescentes

também têm inversas.

Exemplo 1.2 Determine a inversa de f(x) =1

2x + 1 e represente gra�camente. Calcule

também a derivada de f e a derivada de f�1: Qual a relação existente entre suas derivadas?

1.2 Derivadas de Funções Inversas

Existe uma relação de reciprocidade entre as derivadas ou os coe�cientes angulares das

retas tangentes aos grá�cos de f e f�1: Se o coe�ciente angular da reta tangente ao grá�co de

y = f(x) no ponto (a; f(a)) é f 0(a) e f 0(a) 6= 0, então o coe�ciente angular da reta tangente

ao grá�co de y = f�1(x) no ponto (f(a); a) é o recíproco 1=f 0(a): Considerando que b = f(a)

se, e somente se; a = f�1(b); então

(f�1)0(b) =1

f 0(a)=

1

f 0(f�1(b)):

Teorema 1.1 (Regra da derivada para funções inversas ou Teorema da função inversa) Se

y = f(x) é uma função de�nida em um intervalo aberto I e f 0(x) existe e nunca é nulo em

I, então f tem uma inversa f�1; f�1 é derivável em qualquer ponto de seu domínio e

(f�1)0(b) =1

f 0(f�1(b)): (1.1)

2

Isto é, o valor de (f�1)0 no ponto b do domínio de f�1 é a recíproca do valor de f 0 no ponto

a = f�1(b):

Exemplo 1.3 Seja f(x) = x2 para x > 0: Aplique o Teorema 1.1 para determinar (f�1)0(x):

Observação 1.4 A equação (1.1) as vezes nos permite encontrar valores particulares de f�1

sem saber a fórmula para f�1:

Exercício 1 Seja f(x) = x3� 2: Determine o valor de ( f�1)0(6) sabendo que 6 = f(2) sem

achar uma fórmula para f�1:

1.3 Funções Exponencial e Logarítmica

1.3.1 A Função Logarítmica Natural

O logaritmo natural de um número positivo x; denotado por lnx; é o valor de uma

integral de�nida.

De�nição 1.3 A função logarítmica natural é de�nida por

lnx =

Z x

1

1

tdt; x > 0:

O domínio da função logarítmica natural é o intervalo (0;+1):

Se x > 1; então lnx é a área sob o grá�co da curva y = 1=t de t = 1 a t = x:

Para 0 < x < 1; lnx fornece o negativo da área sob o grá�co da curva y = 1=t de t = x

a t = 1: Neste caso, lnx =Z x

1

1

tdt = �

Z 1

x

1

tdt:

Para x = 1; temos

ln 1 =

Z 1

1

1

tdt = 0:

3

A Derivada da Função Logarítmica Natural

Como lnx =R x1

1

tdt para x > 0; segue do Teorema Fundamental do Cálculo que

d

dx(lnx) =

d

dx

Z x

1

1

tdt =

1

x:

Logo,d

dx(lnx) =

1

x; x > 0: (1.2)

Teorema 1.2 Se u é uma função derivável de x; então:

1.d

dx(lnu) =

1

u

du

dx; se u > 0:

2.d

dx(ln juj) = 1

u

du

dx; se u 6= 0:

Exercício 2 Dado y = ln(3x2 � 6x+ 8); calcule dydx:

Exercício 3 Dado f(x) = 5x ln(pcosx); calcule f 0(x):

Exercício 4 Dado y = ln j4 + 5x� 2x3j ; calcule dydx:

Exercício 5 Dado f(x) = jxj ; calcule f 0(x):

Propriedades da Função Logarítmica Natural

A função lnx tem as seguintes propriedades algébricas:

1. ln(ax) = ln a+ lnx; a > 0; x > 0:

2. ln�ax

�= ln a� lnx; a > 0; x > 0:

3. ln�1

x

�= � lnx; x > 0:

4. ln (xr) = r lnx; sendo r qualquer número racional.

Essas propriedades são decorrentes da equação (1.2) e do teorema do valor médio para

derivadas.

4

O Grá�co e a Imagem da Função Logarítmica Natural

Proposição 1.1 A função lnx é crescente para x > 0:

Demonstração. A derivadad

dx(lnx) =

1

xé positiva para x > 0; logo lnx é uma função

crescente de x:

Proposição 1.2 O grá�co da função lnx é côncavo para baixo.

Demonstração. A segunda derivada, �1=x2; é negativa, logo o grá�co de lnx é côncavo

para baixo.

Observação 1.5 Segue da nossa intuição geométrica que quando x se torna muito grande

positivo, lnx se torna muito grande positivo. Isto é,

limx!1

lnx =1:

Temos também,

limx!0+

lnx = limt!1

ln

�1

t

�= lim

t!1(� ln t) = � lim

t!1ln t = �1:

A função lnx é contínua (pois é derivável) em (0;+1) e pelo Teorema do Valor

Intermediário assume qualquer valor real. Portanto, concluímos que a sua imagem é a reta

real inteira, o que leva ao grá�co de y = ln x mostrado acima.

Integrais envolvendo a função Logarítmica Natural

Temos, Z1

xdx = ln jxj+ C

poisd

dx(ln jxj+ C) = 1

x:

Exemplo 1.4 Vamos calcular as integrais:

a)Z �5

�9

1

x+ 1dx b)

Zx

x2 + 7dx

5

Integrais das Funções: Tangente, Cotangente, Secante e Cossecante

1.Rtan x dx = � ln jcosxj+ C

2.Rcotx dx = ln jsin xj+ C

3.Rsec x dx = ln jsec x+ tan xj+ C

4.Rcsc x dx = ln jcsc x� cotxj+ C:

Exemplo 1.5 Vamos calcular as integrais:

a)Ztan(4x)dx b)

Z1

cos(5x)dx c)

Zx cot(x2)dx:

1.3.2 A Função Exponencial Natural

A função ln; por ser uma função crescente é também injetiva com domínio (0;1) e

imagem (�1;1): Desta forma, possui uma inversa com domínio (�1;1) e imagem (0;1)

chamada Função Exponencial Natural e denotada por " exp ":

De�nição 1.4 A cada número real x corresponde exatamente um número real positivo y

tal que x = ln y: A função Exponencial Natural, denotada por exp; é a inversa da função

logarítmica natural. Assim,

y = exp x() x = ln y; para todo número real x:

Como consequência de exp ser a inversa de ln; temos:

i) exp(lnx) = x, 8 x > 0

ii) ln(expx) = x, 8 x 2 R:

O grá�co de y = expx pode ser obtido re�etindo-se o grá�co de lnx em relação à reta

y = x: Note que

limx!1

expx =1 e limx!�1

expx = 0:

6

De�nição 1.5 (O número e): A letra "e" denota o número real positivo tal que ln(e) = 1;

isto é,

ln(e) =

Z e

1

1

tdt = 1

Logo,

exp(1) = e:

Mostra-se ainda que

e = limx!0(1 + x)1=x

e que "e" é um número irracional, aproximadamente igual a 2; 71828

Se r é um número racional arbitrário, então

ln er = r ln e = r � 1 = r: (1.3)

Uma vez que lnx é injetora e ln(exp r) = r; segue de (1.3) que

er = exp r:

Isto motiva a de�nição de ex para todo número real x.

De�nição 1.6 Se x é um número real, então

ex = y se e somente se ln y = x:

Como a função exp é a função inversa de ln; então

expx = y se e somente se ln y = x:

7

Comparando esta relação com a de�nição anterior, segue que

ex = exp x; para todo x 2 R:

Esta é a razão para chamarmos exp uma função exponencial e referimo-nos a ela como

função exponencial de base e: A partir de agora escreveremos ex em vez de expx para

denotar valores da função exponencial natural. Assim,

i) ln ex = x para todo x 2 R

ii) elnx = x para todo x > 0:

Teorema 1.3 Se x; x1 e x2 são números reais e r é um número racional, então:

i) ex1ex2 = ex1+x2 ii) e�x =1

exiii)

ex1

ex2= ex1�x2 iv) (ex)r = erx:

1.3.3 A Derivada e a Integral de ex

A função exponencial natural é derivável, uma vez que é a inversa de uma função

derivável cuja derivada nunca é zero. Calcularemos sua derivada usando o Teorema (1.1).

Teorema 1.4 A função y = ex é derivável e

d

dx(ex) = ex:

Observação 1.6 Como ex > 0; sua derivada também é positiva em qualquer ponto, portanto

é uma função crescente e contínua para qualquer x

Teorema 1.5 Se u = g(x) e g é derivável, então

d

dx(eu) = eu � du

dx:

Exemplo 1.6 Calcule a derivada de cada função abaixo.

a) y = x2ex b) y = epx2+1:

8

Integral inde�nida da função exponencial natural:Zexdu = ex + C:

Exemplo 1.7 Calcule as integrais

a)

Zx2ex

3

dx b)

Z 2

1

e3=x

x2dx:

1.4 Funções Exponenciais e Logarítmicas Gerais

1.4.1 A Função Exponencial Geral

Como a = eln a para qualquer número positivo a, podemos pensar em ax como�eln a

�x= ex ln a: Estabelecemos, assim, a seguinte de�nição.

De�nição 1.7 (Funções Exponenciais Gerais): Sejam a > 0; a 6= 1 e x um número real

qualquer. A função exponencial de base a é de�nida por:

ax = ex ln a:

Pela primeira vez, temos um signi�cado preciso para um expoente irracional.

Se a = e; a de�nição leva a ax = ex ln a = ex ln e = ex�1 = ex:

O Teorema (1.3) também é válido para ax: Por exemplo, se a > 0 e x1, x2 são números

reais quaisquer então:

ax1 � ax2 = ex1 ln a � ex2 ln a

= ex1 ln a+x2 ln a

= e(x1+x2) ln a

= ax1+x2 :

Tem-se ainda que:

1. Se a > 1 e x1 < x2 então ax1 < ax2 ; isto é, a função f(x) = ax é estritamente crescente

se a > 1:

9

2. Se 0 < a < 1 e x1 < x2 então ax1 > ax2 ; isto é, a função f(x) = ax é estritamente

decrescente se 0 < a < 1:

Teorema 1.6 Se a > 0; a 6= 1 então

d

dx(ax) = ax ln a:

Teorema 1.7 Se a > 0; a 6= 1 e u é uma função derivável de x, então au é uma função

derivável de x ed

dx(au) = au ln a � du

dx

Exemplo 1.8 Calcule a derivada das funções:

a) y = 10x b) y = 2x2

c) y = 3tanx d) y = (x2 + 1)10 + 10x2+1:

Teorema 1.8 (Regra Geral da Potência): Seja c 2 R e seja f(x) = xc de�nida para qualquer

x > 0: Então

f 0(x) = cxc�1:

Exercício 6 Calcule a derivada das funções:

a) f(x) = xp2 b) f(x) = (1 + e2x)� c) f(x) = xx; x > 0:

Teorema 1.9 Se a > 0, a 6= 1 entãoZax dx =

ax

ln a+ C:

Exemplo 1.9 Calcular as integrais

a)

Z3xdx b)

Zx3(x

2)dx c)

Z 1

0

3�xdx d)

Z5sin(2x) cos(2x)dx:

10

1.4.2 A Função Logarítmica Geral

Se a é qualquer número positivo diferente de 1, a função ax é injetora e tem uma derivada

não nula em qualquer ponto. Tem, portanto, uma inversa derivável chamada de logaritmo

de x na base a e denotada por loga x:

De�nição 1.8 Sejam a > 0; a 6= 1 e x > 0 dois números reais quaisquer. O único número

real y tal que ay = x denomina-se logaritmo de x na base a e indica-se por loga x: Assim,

y = loga x se, e somente se, ay = x:

Por exemplo,

2 = log6 36; pois 62 = 36:

Exercício 7 Calcule: (a) log2 4 (b) log21

2(c) log5 1

Quando a = e; temos que y = loge x se, e somente se, x = ey: Por outro lado, y = lnx

se, e somente se, x = ey: Portanto, lnx = loge x:

Vamos expressar loga x em termos de logaritmos naturais: De x = ay; tem-se:

lnx = ln(ay) = y ln a

ou seja,

y =lnx

ln a:

Como y = loga x; então

loga x =lnx

ln a: (1.4)

A partir desta relação percebe-se que as propriedades de lnx também são válidas para

loga x:

Teorema 1.10 Para quaisquer números reais x1 > 0 e x2 > 0; a > 0; a 6= 1; b > 0; b 6= 1;

as seguintes propriedades são válidas:

1. loga x1x2 = loga x1 + loga x2

11

2. logax1x2= loga x1 � loga x2

3. loga1

x1= � loga x1

4. loga xx21 = x2 loga x1

5. (Mudança de base) loga x1 =logb x1logb a

6. Se a > 1 e x1 < x2; então loga x1 < loga x2

7. Se 0 < a < 1 e x1 < x2; então loga x1 > loga x2:

Derivada da Função Logarítmica Geral

A função y = loga x é derivável para x > 0; a > 0 e a 6= 1. A partir da fórmula (1.4) de

mudança de base, obtemosd

dx(loga x) =

1

x ln a:

Se u é uma função derivável de x; então:

d

dx(loga juj) =

1

u ln a� dudx:

Exemplo 1.10 Calcule a derivada das funções

a) y = log2(x2 + 5) b) y = log 3

p(2x+ 5)2:

Exercício 8 Mostre que limx!0(1 + x)1=x = e:

Modelo de Crescimento (ou decrescimento) Exponencial

Se a taxa de variaçãody

dtde uma função y = f(t) é diretamente proporcional a y e

y(0) = y0; isto é, se ������dy

dt= cy

y(0) = y0

então, y = y0ect: Se y aumenta com t, a fórmula y = y0ect é uma lei de crescimento, e se y

decresce, temos uma lei de decrescimento.

12

Exemplo 1.11 O número de bactérias em uma cultura aumenta de 600 para 1800 em duas

horas. Supondo que a taxa de aumento seja diretamente proporcional ao número de bactérias

presentes, determine: (a) uma fórmula para o número de bactérias no instante t; (b) o

número de bactérias ao �m de quatro horas.

1.5 Derivada das Funções Trigonométricas Inversas

1.5.1 A Função Arco Seno

Consideremos a função f(x) = sin x de�nida em [��=2; �=2]. Temos que a imagem de f

é o intervalo [�1; 1] e f 0(x) = cosx > 0; para todo x 2 (��=2; �=2) : Logo, f é crescente em

[��=2; �=2] e portanto é injetiva. Pelo Teorema (1.1), a função f(x) = sinx possui inversa

de�nida no intervalo [�1; 1], chamada função arco seno e denotada por f�1(x) = arcsin x

ou f�1(x) = sin�1 x: Assim,

y = arcsinx se e somente se x = sin y:

Temos ainda que�f�1

�0(x) =

1

f 0(f�1(x))=

1

cos(arcsinx)=

1

cos y; 8x 2 (�1; 1): (1.5)

Mas,

cos2 y + sin2 y = 1 ) cos2 y = 1� sin2 y

ou seja,

cos y =p1� x2; pois cos y > 0 8y 2 (��=2; �=2): (1.6)

Substituindo (1.6) em (1.5), obtemos�f�1

�0(x) =

1p1� x2

; para todo x 2 (�1; 1):

Desta forma, a função arco seno é derivável no intervalo (�1; 1) e

d

dx(arcsinx) =

1p1� x2

:

13

1.5.2 A Função Arco Cosseno

Consideremos a função f(x) = cosx de�nida em [0; �]. Temos que a imagem de f é o

intervalo [�1; 1] e f 0(x) = � sinx < 0; para todo x 2 [0; �] : Logo, f é decrescente em (0; �)

e portanto é injetiva. Pelo Teorema (1.1), a função f(x) = cos x possui inversa de�nida

no intervalo [�1; 1], chamada função arco cosseno e denotada por f�1(x) = arccos x ou

f�1(x) = cos�1 x: Assim,

y = arccosx se e somente se x = cos y:

Além disso,

�f�1

�0(x) =

1

f 0(f�1(x))=

1

� sin(arccos x) =1

� sin y ; 8x 2 (�1; 1): (1.7)

Mas,

cos2 y + sin2 y = 1 ) sin2 y = 1� cos2 y

ou seja,

sin y =p1� x2; pois sin y > 0 8y 2 (0; �): (1.8)

Substituindo (1.8) em (1.7), obtemos

�f�1

�0(x) = � 1p

1� x2; para todo x 2 (�1; 1):

Desta forma, a função arco cosseno é derivável no intervalo (�1; 1) e

d

dx(arccos x) = � 1p

1� x2:

1.5.3 A Função Arco Tangente

Consideremos a função f(x) = tanx de�nida em (��=2; �=2). Quando x se aproxima

de �=2 a tan x assume valores positivos arbitrariamente grandes e quando x se aproxima

de ��=2 a tan x assume valores negativos arbitrariamente grandes. Isto signi�ca que as

retas x = ��=2 e x = �=2 são assíntotas verticais da função f(x) = tanx: Temos que a

imagem de f é o conjunto dos números reais e f 0(x) = sec2 x = 1 + tan2 x > 0; para todo

14

x 2 (��=2; �=2) : Logo, f é crescente em (��=2; �=2) e portanto é injetiva. Pelo Teorema

(1.1), a função f(x) = tanx possui inversa de�nida em R, chamada função arco tangente

e denotada por f�1(x) = arctanx ou f�1(x) = tan�1 x: Assim,

y = arctan x se e somente se x = tan y:

Além disso,�f�1

�0(x) =

1

f 0(f�1(x))=

1

sec2(arctanx)=

1

sec2 y=

1

1 + tan2 y=

1

1 + x2; 8x 2 R: (1.9)

Desta forma, a função arco tangente é derivável em R e

d

dx(arctanx) =

1

1 + x2:

1.5.4 A Função Arco Cotangente

Consideremos a função f(x) = cotx de�nida no intervalo (0; �). Temos que f 0(x) =

� csc2 x < 0; para todo x 2 (0; �) : Logo, f é decrescente em (0; �) e portanto é injetiva.

Além disso, a imagem de f é o conjunto dos números reais.

Pelo Teorema (1.1), a função f(x) = cotx possui inversa de�nida em R, chamada função

arco cotangente e denotada por f�1(x) = arccotx ou f�1(x) = cot�1 x: Assim,

y = arccotx se e somente se x = cot y:

Usaremos a identidade,

arccotx =�

2� arctanx; 8x 2 R

para obter a derivada da função arccot x:

Temos,

d

dx(arccotx) =

d

dx(�

2� arctanx)

= � d

dx(arctanx)

= � 1

1 + x2:

15

Desta forma, a função arco cotangente é derivável em R e

d

dx(arccotx) = � 1

1 + x2:

1.5.5 A Função Arco Secante

Consideremos a função f(x) = sec x de�nida em [0; �=2) [ (�=2; �] : Temos que

f 0(x) = sec x � tan x = 1

cosx� sin xcosx

=sin x

cos2 x> 0; para todo x 2 (0; �=2) [ (�=2; �):

Logo, f é crescente em [0; �=2)[ (�=2; �] e portanto é injetiva. Pelo Teorema (1.1), a função

f(x) = cotx possui inversa de�nida em (�1;�1][ [1;+1), chamada função arco secante

e denotada por f�1(x) = arcsecx ou f�1(x) = sec�1 x: Assim,

y = arcsec x se e somente se x = sec y:

Além disso,

�f�1

�0(x) =

1

f 0(f�1(x))=

1

f 0(arcsecx)=

1

sec y � tan y (1.10)

=1

x tan y; 8x 2 (�1;�1) [ (1;+1):

Mas,

tan2 y = sec2 y � 1 =) tan y = �psec2 y � 1 = �

px2 � 1: (1.11)

Substituindo (1.11) em (1.10), obtemos

�f�1

�0(x) =

1

�xpx2 � 1

:

Como (f�1)0 (x) > 0; 8x 2 (�1;�1) [ (1;+1) então

�f�1

�0(x) =

1

jxjpx2 � 1

:

Desta forma, a função arco secante é derivável em (�1;�1) [ (1;+1) e

d

dx(arcsecx) =

1

jxjpx2 � 1

:

16

1.5.6 A Função Arco Cossecante

Consideremos a função f(x) = cscx de�nida em [��=2; 0) [ (0; �=2] : Temos que

f 0(x) = � csc x � cotx = � cosxsin2 x

< 0; 8x 2 (��=2; 0) [ (0; �=2): Logo, f é decrescente em

[��=2; 0) [ (0; �=2] e portanto é injetiva. Pelo Teorema (1.1), a função f(x) = csc x possui

inversa de�nida em (�1;�1][ [1;+1), chamada função arco cossecante e denotada por

f�1(x) = arccscx ou f�1(x) = csc�1 x: Assim,

y = arccsc x se e somente se x = csc y:

Usaremos a identidade,

arccsc x =�

2� arcsec x; jxj > 1:

para obter a derivada da função arccsc x:

Temos,

d

dx(arccscx) =

d

dx(�

2� arcsec x)

= � d

dx(arcsecx)

= � 1

jxjpx2 � 1

:

Desta forma, a função arco cossecante é derivável em (�1;�1) [ (1;+1) e

d

dx(arccscx) = � 1

jxjpx2 � 1

:

Resumo 1 Se u é uma função derivável de x; então:

1.d

dx(arcsinu) = 1p

1�u2du

dx; juj < 1

2.d

dx(arccosu) = � 1p

1�u2du

dx; juj < 1

3.d

dx(arctanu) =

1

1 + u2du

dx

4.d

dx(arccotu) = � 1

1 + u2du

dx

17

5.d

dx(arcsecu) =

1

jujpu2 � 1

du

dx; juj > 1

6.d

dx(arcsecu) = � 1

jujpu2 � 1

du

dx; juj > 1:

Exercício 9 Derive as seguintes funções:

a) y = arcsin(x2) b) y = cos�1(1=x) c) y = arctan(px)

d) y = arccot

�2x

3

�e) y = arcsec

�2

3x

�f) y = arccsc

�px2 + 9

�

1.6 Integrais que Produzem Funções Trigonométricas

Inversas

1.R 1p

1� x2dx = arcsinx+ C; jxj < 1

2.R 1

1 + x2dx = arctan x+ C

3.R 1

xpx2 � 1

dx = arcsec jxj+ C; jxj > 1:

As integrais (1), (2) e (3) podem ser facilmente generalizadas:

1.R 1p

a2 � x2dx = arcsin

�xa

�+ C; a > 0; jxj < a

2.R 1

a2 + x2dx =

1

aarctan

�xa

�+ C:

3.R 1

xpx2 � a2

dx =1

jaj arcsec���xa

���+ C; a 6= 0 e jxj > jaj :Exercício 10 Calcule as integrais:

a)

Z1p4� x2

dx b)

Zx2

5 + x6dx c)

Z1

xpx4 � 9

dx

d)

Zdxp8x� x2

e)

Z3x+ 2p1� x2

dx:

18

Capítulo 2

Técnicas de Integração

2.1 Integração por Partes

Se f e g são funções deriváveis de x; a regra do produto diz que

d

dx[f(x)g(x)] = f 0(x)g(x) + f(x)g0(x):

Em termos de integrais inde�nidas, essa equação se tornaZd

dx[f(x)g(x)] dx =

Z[f 0(x)g(x) + f(x)g0(x)] dx

ou Zd

dx[f(x)g(x)] dx =

Zf 0(x)g(x)dx+

Zf(x)g0(x)dx:

Assim, Zf(x)g0(x)dx =

Zd

dx[f(x)g(x)] dx�

Zf 0(x)g(x)dx

o que leva à fórmula da integração por partesZf(x)g0(x)dx = f(x)g(x)�

Zf 0(x)g(x)dx: (2.1)

Sejam u = f(x) e v = g(x): Então,

du = f 0(x)dx e dv = g0(x)dx

19

e substituindo em (2.1), obtemos: Zudv = uv �

Zvdu: (2.2)

Supondo que tanto f 0 quanto g0 sejam contínuas ao longo do intervalo [a; b] ; o Teorema

Fundamental do Cálculo nos leva a fórmula de integração por partes para integrais de�nidas:Z b

a

f(x)g0(x)dx = f(x)g(x)]ba �Z b

a

f 0(x)g(x)dx ou (2.3)Z b

a

udv = uv]ba �Z b

a

vdu; se u = f(x) e v = g(x):

Exemplo 2.1 (Integral do Logaritmo Natural)Rlnxdx = x lnx� x+ C

Exemplo 2.2 Vamos calcular as integrais

a)

Zx cosxdx b)

Zxexdx c)

Zx2exdx

d)

Zarcsinxdx d)

Z 4

0

xe�xdx e)

Zex cosxdx:

2.2 Integração de Funções Racionais por Frações

Parciais

Recorde que uma função racional é da formap(x)

q(x); onde p(x) e q(x) são polinômios e

q(x) 6= 0: Quando o grau de p(x) é menor que o grau de q(x); a função racionalp(x)

q(x)é

chamada função racional própria.

Vamos descrever um método para calcularR p(x)q(x)

dx; ondep(x)

q(x)é uma função racional

própria. A idéia básica é escrever a função racional dada como uma soma de frações

mais simples. Para isto, usaremos alguns resultados importatntes da Álgebra, que serão

apresentados a seguir.

Proposição 2.1 Se q(x) é um polinômio com coe�cientes reais, q(x) pode ser expresso como

um produto de fatores lineares e/ou quadráticos, todos com coe�cientes reais.

20

Exemplos 1 a) q(x) = x2�3x+2 = (x�2)(x�1): b) q(x) = x3�x2+x �1 = (x2+1)(x�1):

c) q(x) = x2 � 2x� 3 = (x+ 1)(x� 3):

De�nição 2.1 Um polinômio quadrático é irredutível se não puder ser escrito como o

produto de dois fatores lineares com coe�cientes reais.

Proposição 2.2 Toda função racional própria pode ser expressa como uma soma

p(x)

q(x)= F1(x) + F2(x) + � � �+ Fn(x) (2.4)

onde F1(x); F2(x); : : : ; Fn(x) são funções racionais da forma

A

(ax+ b)kou

Ax+B

(ax2 + bx+ c)k(2.5)

nos quais os denominadores são fatores de q(x):

A soma (2.4) é a decomposição em frações parciais dep(x)

q(x)e cada termo Fi(x);

i = 1; : : : ; n é uma fração parcial.

Exemplo 2.3 A função racional5x� 3

x2 � 2x� 3 pode ser escrita como

5x� 3x2 � 2x� 3 =

2

x+ 1+

3

x� 3 :

No caso do exemplo acima, o método das frações parciais consiste em achar

constantes A e B tais que5x� 3

x2 � 2x� 3 =A

x+ 1+

B

x� 3 :

Diretrizes para obter a decomposição de uma função racional p(x)=q(x)em

frações parciais

1. O grau de p(x) deve ser menor que o grau de q(x): Se não for, divida p(x) por q(x) e

trabalhe com o resto.

2. Devemos fatorar q(x) completamente em fatores lineares (ax + b)k e/ou quadráticos

irredutíveis (ax2 + bx+ c)k; onde k é um inteiro não negativo.

21

3. As formas das respectivas frações parciais são asseguradas por resultados da Álgebra

e não serão demonstradas:

(a) Fatores Lineares: Para cada fator da forma (ax+b)m; ondem é a maior potência

de ax+ b que divide q(x); associe a soma de m frações parciais

A1ax+ b

+A2

(ax+ b)2+ � � �+ Am

(ax+ b)m:

(b) Fatores Quadráticos: Para cada fator da forma (ax2 + bx + c)n; onde n é a

maior potência de ax2+bx+c que divide q(x); associe a soma de n frações parciais

B1x+ C1ax2 + bx+ c

+B2x+ C2

(ax2 + bx+ c)2+ � � �+ Bnx+ Cn

(ax2 + bx+ c)n:

4. A1; A2; : : : ; Am; B1; B2; : : : ; Bn e C1; C2; : : : ; Cn são constantes a serem

determinadas.

Exemplo 2.4 (Fatores Lineares Distintos) Calcule as integrais usando frações parciais.

a)

Z1

x2 � 1dx b)

Zx2 + 4x+ 1

(x� 1)(x+ 1)(x+ 3)dx

Exemplo 2.5 (Um Fator Linear Repetido) Calcule a integralZ6x+ 7

(x+ 2)2dx:

Exemplo 2.6 (Integrando com um fator quadrático irredutível no denominador) Calcule as

integrais

a)

Z1

x(x2 + 1)b)

Z �2x+ 4(x2 + 1)(x� 1)2dx:

Exemplo 2.7 (Um fator quadrático irredutível repetido) Calcule a integralZ4x3 � x(x2 + 5)2

dx:

Exemplo 2.8 (Integrando uma fração imprópria) Calcule a integralZ2x3 � 4x2 � x� 3x2 � 2x� 3 dx:

22

2.3 Integrais Trigonométricas

2.3.1 Produtos de Potências de Senos e Cossenos

Vamos calcular integrais da formaZsinm x � cosn xdx (2.6)

onde m e n são inteiros não negativos (positivos ou zero). Os três casos possíveis estão

descritos a seguir.

Caso 1: Se m é ímpar; escrevemos m = 2k+1 e usamos a identidade sin2 x = 1�cos2 x

para obter

sinm x = sin2k+1 x =�sin2 x

�ksin x = (1� cos2 x)k sin x:

Então, realizamos a substituição u = cos x; du = � sin xdx:

Caso 2: Se m é par e n é ímpar; escrevemos n = 2k + 1 e usamos a identidade

cos2 x = 1� sin2 x para obter

cosn x = cos2k+1 x =�cos2 x

�kcosx = (1� sin2 x)k cosx:

Então, realizamos a substituição u = sinx; du = cos xdx:

Exemplo 2.9 Calcular as integrais

a)

Zsin3 xdx b)

Zcos5 xdx c)

Zsin3 x cos2 xdx d)

Zsin2 x cos5 xdx:

Caso 3: Se tantom quanto n são pares em (2.6), usamos as identidades trigonométricas

sin2 x =1� cos 2x

2e cos2 x =

1 + cos 2x

2

que são consequências da fórmula do cosseno da soma:

cos(2x) = cos(x+ x) = cosx cosx� sin x sin x:

Exemplo 2.10 Calcule as integrais

a)

Zsin2 xdx b)

Zcos2(2x)dx c)

Zsin2 x cos4 xdx d)

Z �=4

0

p1 + cos 4xdx:

23

2.3.2 Integrais de Potências de tan x e sec x

Já sabemos como integrar a tangente e a secante e seus quadrados. Para integrar

potências maiores, usamos as identidades

sec2 x = 1 + tan2 x e tan2 x = sec2 x� 1

e integramos por partes quando necessário, a �m de reduzir potências maiores a potência

menores.

Exemplo 2.11 Calcule as integrais

a)

Ztan4 xdx b)

Zsec3 xdx c)

Ztan3 x sec5 xdx d)

Ztan2 x sec4 xdx:

2.3.3 Produtos de Senos e Cossenos

Se um integrando tem uma das formas

sin(mx) cos(nx); sin(mx) sin(nx) ou cos(mx) cos(nx)

podemos aplicar integração por partes duas vezes para calcular tais integrais. Neste caso é

mais simples usar as identidades:

1. sin (a) cos (b) =1

2[sin(a+ b) + sin(a� b)]

2. sin(a) sin(b) =1

2[cos(a� b)� cos(a+ b)]

3. cos(a) cos(b) =1

2[cos(a� b) + cos(a+ b)]

Exemplo 2.12 Calcule as integrais

a)

Zsin(3x) cos(5x)dx b)

Zcos(5x) cos(3x)dx:

Exercício 11 Calcule as integrais

a)

Zsin(5x) cos(2x)dx b)

Zcos(4x) cos(3x)dx c)

Zsin(7u) sin(3u)du:

24

2.4 Integração por Substituição Trigonométrica

Usamos substituição trigonométrica para calcular integrais envolvendo expressões do

tipopa2 � x2;

pa2 + x2 ou

px2 � a2

onde a é uma constante positiva.

Caso 1: A função integrando envolvepa2 � x2:

Neste caso, usamos x = a sin �: Então, dx = a cos �d�: Supondo que ��2� � � �

2;

temos:

pa2 � x2 =

pa2 � a2 sin2 x

=qa2(1� sin2 x)

=pa2 cos2 x

= a cos �:

Caso 2: A função integrando envolvepa2 + x2:

Neste caso, usamos x = a tan �: Então, dx = a sec2 �d�: Supondo que ��2< � <

�

2;

temos:

pa2 + x2 =

pa2 + a2 tan2 �

=qa2(1 + tan2 �)

=pa2 sec2 �

= a sec �:

Caso 3: A função integrando envolvepx2 � a2:

Neste caso, usamos x = a sec �: Então, dx = sec � tan �d�: Supondo que 0 � � < �

2ou

25

� � � < 3�

2; temos:

px2 � a2 =

pa2 sec2 � � a2

=pa2(sec2 � � 1)

=pa2 tan2 �

= a tan �:

Exemplos 2 Calcule as integrais

1.R p9� x2

2x2dx

2.R 1

x2px2 + 9

dx

3.R dx

x3px2 � 16

4.R x2

(4� x2)3=2dx

5.R dxp

25x2 � 4; x > 2

5

6.R 20

dx

(x2 + 4)2.

26

Capítulo 3

Aplicações da Integral De�nida

3.1 Área de uma região no plano

3.1.1 Áreas sob curvas

Se f é uma função contínua em [a; b] e f(x) � 0 8x 2 [a; b] ; a área da região limitada

pelo grá�co de f; pelas retas x = a, x = b e o eixo x é dada por

A =

Z b

a

f(x)dx:

Se f(x) � 0 8x 2 [a; b] ; então a área da região limitada pelo grá�co de f; pelas retas

x = a, x = b e o eixo x é dada por

A = �Z b

a

f(x)dx:

Exemplo 3.1 Calcule a área da região limitada pela curva y = x2 � 4x; o eixo x e as retas

x = 1 e x = 3:

Exemplo 3.2 Calcule a área da região limitada pelo grá�co da função y = 1� x; o eixo x

e as retas x = �1 e x = 2:

Exemplo 3.3 Calcule a área da região limitada pela curva y = 4� x2 e o eixo x:

27

3.1.2 Área entre curvas

Consideremos duas funções f e g contínuas no intervalo [a; b] ; tal que f(x) � g(x)

8x 2 [a; b] : A área da região limitada pelas curvas y = f(x), y = g(x) e as retas x = a e

x = b é

A =

Z b

a

[f(x)� g(x)] dx:

Exemplo 3.4 Calcule a área da região limitada pelas curvas y = x2 e y = �x2 + 4x:

Exemplo 3.5 Calcule a área da região limitada pelas curvas y = x2 e y = x+ 2:

Exemplo 3.6 Calcule a área da região limitada por y =px; y = 0 e y = x� 2:

3.1.3 Integração em y

Consideremos agora uma região compreendida entre os grá�cos de duas funções x = f(y)

e x = g(y); com f e g contínuas e f(y) � g(y) 8y 2 [c; d] :Neste caso, a área da região limitada

pelas curvas x = f(y) e x = g(y) e as retas y = c e y = d é dada por

A =

Z d

c

[f(y)� g(y)] dy:

Exemplo 3.7 Calcule a área da região limitada pelas curvas y2 = 2x� 2 e y = x� 5:

Exemplo 3.8 Calcule a área da região limitada por y =px; y = 0 e y = x� 2:

Exemplo 3.9 Calcule a área da região limitada por �x = y2 e x = �2:

Exercício 12 Encontre a área da região delimitada pela curva y = xe�x e pelo eixo x de

x = 0 até x = 4:

Exercício 13 Encontre a área da região delimitada pela circunferência x2 + y2 = 9:

28

3.2 Volume de um sólido

3.2.1 Método das Fatias

De�nição 3.1 Uma seção transversal de um sólido S é a região plana formada pela

interseção entre S e um plano.

Da geometria clássica, sabemos que o volume de um cilindro que tem uma área de base

A e altura h é

V = A � h:

Essa equação serve de base para de�nirmos os volumes de muitos sólidos não cilíndricos

usando o método das fatias.

Se a seção transversal do sólido S em cada ponto x no intervalo [a; b] é uma região de

área A(x); e A é uma função contínua de x; podemos de�nir e calcular o volume do sólido

S como uma integral de�nida como veremos a seguir.

Dividimos [a; b] em n subintervalos de largura �xi e fatiamos o sólido por planos

perpendiculares ao eixo x nos pontos de partição a = x0 < x1 � � � < xn�1 < xn = b:

Aproximamos a fatia situada entre o plano em xi�1 e o plano em xi por um sólido cilíndrico

com área de base A(xi) e altura �xi = xi � xi�1: O volume Vi desse sólido cilíndrico é

A(xi) ��xi, aproximadamente o mesmo valor da fatia:

Volume da i-ésima fatia � Vi = A(xi) ��xi:

O volume V do sólido inteiro S é, então, aproximado pela soma desses volumes cilíndricos:

V �nXi=1

Vi =

nXi=1

A(xi) ��xi

que é uma soma de Riemann para a função A(x) em [a; b] : Esperamos que as aproximações

dessas somas melhorem à medida que aumentamos o número de fatias, isto é, fazendo n!1:

Assim, teremos

V = limn!1

nXi=1

A(xi) ��xi =Z b

a

A(x)dx:

29

De�nição 3.2 O volume de um sólido compreendido entre os planos x = a e x = b e cuja

área da seção transversal por x é um função integrável A(x) é

V =

Z b

a

A(x)dx:

Exemplo 3.10 Um pirâmide com 3 m de altura tem uma base quadrada com 3 m de lado. A

seção transversal da pirâmide, perpendicular à altura x m abaixo do vértice, é um quadrado

com x m de lado. Determine o volume da pirâmide.

3.2.2 Sólidos de Revolução: O método do disco

Um sólido de revolução é obtido através da rotação de uma região do plano xy

em torno de uma reta chamada eixo de rotação. Para determinar o volume de um

sólido de revolução precisamos observar que a seção transversal é um disco e, portanto,

A(x) = �(raio)2:

Caso 1: O volume do sólido obtido com a rotação, em torno do eixo x; de uma região

compreendida entre o eixo x e a curva y = R(x); a � x � b é:

V =

Z b

a

� [R(x)]2 dx

onde R(x)é o raio da seção transversal, que corresponde a distância entre a fronteira da

região bidimensional e o eixo de revolução.

Exemplo 3.11 Determine o volume do sólido gerado pela rotação da região compreendida

entre a curva y =px; 0 � x � 4 em torno do eixo x:

Exemplo 3.12 O círculo x2 + y2 = a2 é girado em torno do eixo x para gerar uma esfera.

Determine seu volume.

Caso 2: O volume do sólido obtido com a rotação, em torno do eixo y; de uma região

compreendida entre o eixo y e a curva x = R(y); c � y � d é:

V =

Z d

c

� [R(y)]2 dy

30

onde R(y)é o raio da seção transversal, que corresponde a distância entre a fronteira da

região bidimensional e o eixo de revolução.

Exemplo 3.13 Determine o volume do sólido gerado pela rotação da região de�nida pela

curva y = x3 e pelas retas x = 0 e y = 8 em torno do eixo y:

Caso 3: O volume do sólido obtido com a rotação, em torno da reta y = c; de uma

região compreendida entre a reta y = L e a curva y = R(x); a � x � b é:

V =

Z b

a

� [R(x)� L]2 dx:

Caso 4: O volume do sólido obtido com a rotação, em torno da reta x = c; de uma

região compreendida entre a reta x =M e a curva x = R(y); c � y � d é:

V =

Z d

c

� [R(y)�M ]2 dy:

Exemplo 3.14 Determine o volume do sólido gerado pela rotação da região de�nida pela

curva y =px e pelas retas y = 1 e x = 4 em torno da reta y = 1:

Exemplo 3.15 Determine o volume do sólido gerado pela rotação da região de�nida pela

curva x =1

2y2 + 1 e pelas retas x = �1; y = �2 e y = 2 em torno da reta x = �1:

3.2.3 Sólidos de Revolução: o método do anel

Se a região que giramos para gerar um sólido não atingir ou cruzar o eixo de revolução,

o sólido resultante terá um orifício no meio. As seções transversais perpendiculares ao eixo

de revolução serão anéis e não discos. As dimensões de um anel típico são

Raio externo: R(x) e Raio interno: r(x):

A área do anel é

A(x) = � [R(x)]2 � � [r(x)]2 = ��[R(x)]2 � [r(x)]2

�:

De acordo com a de�nição de volume, temos

V =

Z b

a

��[R(x)]2 � [r(x)]2

�dx:

31

Exemplo 3.16 Determine o volume do sólido gerado pela rotação, em torno do eixo x; da

região de�nida pela curva y = x2 + 1 e pela reta y = �x+ 3:

Exemplo 3.17 Determine o volume do sólido gerado pela rotação, em torno do eixo x; da

região de�nida pela curva y =1

4(13� x2) e pela reta y = 1

2(x+ 5):

Exemplo 3.18 Determine o volume do sólido gerado pela rotação, em torno do eixo y; da

região de�nida pela curva y = x2 e pela reta y = 2x no primeiro quadrante.

3.2.4 Método das cascas cilíndricas

Suponhamos que um sólido S é gerado pela rotação, em torno da reta vertical x = L;

da região D delimitada pelo grá�co de uma função contínua não negativa y = f(x) e o eixo

x ao longo do intervalo fechado �nito [a; b] : Pressupomos a � L; portanto a reta vertical

x = L pode tocar a região, mas não atrvessá-la. O eixo de rotação é perpendicular ao eixo

que contém o intervalo natural de integração.

Seja P uma partição do intervalo [a; b] formada pelos pontos a = x0 < x1 < � � � < xn = b

e seja ci o ponto médio do i-ésimo subintervalo [xi�1; xi] : Aproximamos a região D usando

retângulos com base nessa partição de [a; b] : O i-ésimo retângulo tem altura f(ci) e largura

�xi = xi�xi�1: Girando esse retângulo em torno da reta vertical x = L; geramos uma casca

cilíndrica de volume Vi. Imagine agora que estamos cortando e desenrolando essa casca

cilíndrica para obter um sólido plano retangular (aproximadamente) plano. O volume da

casca cilíndrica é o volume da fatia retangular (aproximadamente) plana, isto é,

largura� altura� espessura

ou seja,

Vi = 2�(ci � L)f(ci)�xi:

Fazemos uma aproximação para o volume do sólido S somando os volumes das cascas

geradas pelos n retângulos com base em P: Assim,

V �nXi=1

Vi:

32

O limite dessa soma de Riemann quando n!1 fornece o volume do sólido como uma

integral de�nida:

V = limn!1

nXi=1

Vi = limn!1

nXi=1

2�(ci � L)f(ci)�xi =Z b

a

2�(x� L)f(x)dx:

Exemplo 3.19 A região compreendida pelo eixo x e pela parábola y = f(x) = 3x� x2 gira

em torno da reta x = �1 para gerar o formato de um sólido. Qual o volume do sólido?

Exemplo 3.20 A região limitada pela curva y =px; pelo eixo x e pela reta x = 4 gira em

torno do eixo x gerando um sólido. Determine o volume desse sólido usando o método das

cascas cilíndricas.

Exemplo 3.21 A região limitada pelos grá�cos de y =px; y = 1 e x = 4 gira em torno da

reta y = �2 gerando um sólido. Determine o volume desse sólido usando o método.

Exercício 14 Use o método das cascas cilíndricas para calcular o volume do sólido gerado

pala rotação da região de�nida pela curva y =px pelo eixo x e pela reta x = 4 em tono do

eixo indicado

a) x = 4 b) y = 2 c) eixo y:

3.3 Comprimento de Curvas Planas

Sabemos o que signi�ca o comprimento de um segmento de reta, mas, sem o recurso do

cálculo diferencial e integral, não temos uma noção precisa do comprimento de uma curva

ondulante. Por exemplo, como um engenheiro de rodovias estima o custo para pavimentar

uma rodovia montanhosa e cheia de curvas com base em seu comprimento total? Para

responder essa pergunta, você precisa saber calcular o comprimento de uma curva.

A ideia de aproximar o comprimento da curva que vai do ponto A ao ponto B

subdividindo-a em várias partes e unindo os sucessivos pontos de divisão com segmentos

de reta remonta à Grécia antiga, quando Arquimedes usou esse método para aproximar o

33

perímetro de uma circunferência. Assim, o perímetro de uma circunferência é de�nido como

o limite dos perímetros dos polígonos regulares nela inscritos inscritos.

O grá�co de uma função y = f(x) num intervalo [a; b] pode ser um segmento de reta ou

uma curva qualquer. Seja C uma curva dada pelo grá�co da função y = f(x) no intervalo

[a; b] : Queremos determinar o comprimento da curva C:

Se o grá�co de y = f(x) no intervalo [a; b] é um segmento de reta, então, pelo Teorema

de Pitágoras, o comprimento L do segmento AB; onde A(a; f(a)) e B(b; f(b)) é:

L =p(b� a)2 + (f(b)� f(c))2 = d(A;B):

Suponhamos agora que o grá�co de y = f(x) no intervalo [a; b] é uma curva qualquer.

Seja C uma curva de equação y = f(x); onde f é contínua e derivável em [a; b] : Vamos

determinar o comprimento da curva C:

Seja P uma partição de [a; b] dada por

a = x0 < x1 < � � � < xn = b:

Sejam Q0; Q1; : : : ; Qn os correspondentes pontos sobre a curva C: Unindo os pontos

Q0; Q1; : : : ; Qn; obtemos uma poligonal cujo comprimento nos dá uma aproximação do

comprimento L da curva C; de A até B: Assim,

L � d(Q0; Q1) + d(Q1; Q2) + � � �+ d(Qn�1; Qn) =nXi=1

d(Qi�1; Qi):

Mas,

d(Qi�1; Qi) =p(xi � xi�1)2 + (f(xi)� f(xi�1))2 (3.1)

e como f é derivável em [a:b] podemos aplicar o Teorema do Valor Médio em cada subintervalo

[xi�1; xi] ; i = 1; : : : ; n e escrever:

f(xi)� f(xi�1) = f 0(ci)(xi � xi�1) (3.2)

34

para algum ci 2 (xi�1; xi): Fazendo �xi = xi � xi�1 e substituindo (3.2) em (3.1), obtemos

d(Qi�1; Qi) =

q(�xi)2 + [f 0(ci)�xi]

2

=

q(�xi)2(1 + [f 0(ci)]

2)

=

q1 + [f 0(ci)]

2 ��xi

Assim,

L �nXi=1

q1 + [f 0(ci)]

2 ��xi (3.3)

que é uma soma de Riemann da função g(x) =q1 + [f 0(x)]2 no intervalo [a; b] : Fazendo

n!1, temos que cada�xi; i = 1; : : : ; n torna-se muito pequeno e a soma (3.3) se aproxima

do que entendemos ser o comprimento da curva C; de A até B: Desta forma,

L = limn!1

nXi=1

q1 + [f 0(ci)]

2 ��xi (3.4)

desde que o limite exista.

Se f 0(x) é contínua em [a; b] ; então g(x) =q1 + [f 0(x)]2 é contínua em [a; b] e portanto

o limite (3.4) existe e

L =

Z b

a

q1 + [f 0(x)]2dx: (3.5)

Observação 3.1 Se a curva tem equação x = f(y) no intervalo [c; d] em vez de y = f(x);

então seu comprimento é dado por

L =

Z d

c

q1 + [f 0(y)]2dy:

Exemplo 3.22 Calcule o comprimento da curva dada por y = x2=3 � 1 entre os pontos

A(8; 3) e B(27; 8):

Exemplo 3.23 Calcule o comprimento da curva dada por x =1

2y3 +

1

6y� 1; 1 � y � 3:

Exemplo 3.24 Determine o comprimento da curva y =�x2

�2=3de x = 0 a x = 2:

35

3.3.1 Comprimento de uma curva dada por suas equações

paramétricas

Sejam 8<: x = x(t)

y = y(t)(3.6)

duas funções da mesma variável real t; t 2 [a; b] : Então, a cada valor de t correspondem dois

valores x e y: Considerando estes valores como as coordenadas de um ponto P; podemos dizer

que a cada valor de t corresponde um ponto bem determinado no palno xy: Se as funções

x = x(t) e y = y(t) são contínuas, quando t varia de a até b; o ponto P (x(t); y(t)) descreve

uma curva C no plano. As equações (3.6) são chamadas equações paramétricas da curva C

e t é chamado parâmetro.

Talvez ajude imaginar a curva como a trajetória de uma partícula que parte do ponto

A = (x(a); y(a)); no instante t = a; e se dirige ao ponto B = (x(b); y(b)):

Muitas curvas importantes costumam ser representadas na forma paramétrica. Em

geral, as equações paramétricas são úteis porque, em diversas situações, elas simpli�cam os

cálculos.

Se a função x = x(t) admite uma inversa t = t(x); então as equações paramétricas (3.6)

de�nem uma função de x que podemos representar pela composta y = y(t(x)):

Exemplo 3.25 As equações

8<: x = 2t+ 1

y = 4t+ 3de�nem uma função y(x) na forma

paramétrica.

Exemplo 3.26 As equações paramétricas de uma reta são:

8<: x = x0 + at

y = y0 + bt; t 2 R e

a; b 2 R:

Exemplo 3.27 As equações

8<: x = a cos t

y = a sin t; t 2 [0; 2�] ; onde a é uma constante positiva,

representam uma circunferência de centro na origem e raio a:

36

Exemplo 3.28 As equações

8<: x = a cos t

y = b sin t; t 2 [0; 2�] ; onde a e b são constantes

positivas, representam uma elipse de centro na origem e semi-eixos a e b:

Derivada de uma função na forma paramétrica: Seja y uma função de x de�nida

pelas equações paramétrica 8<: x = x(t)

y = y(t); t 2 [a; b] : (3.7)

Suponhamos que as funções y = y(t); x = x(t) e sua inversa t = t(x) são deriváveis. Podemos

ver a função y = y(x); de�nida pelas equações (3.7) como uma função composta y = y(t(x)):

Aplicando a regra da cadeia, temos:

dy

dx= y0(t(x)) � t0(x): (3.8)

Como x = x(t) e sua inversa t = t(x) são deriváveis, então pelo Teorema da Função

Inversa,

t0(x) =1

x0(t(x))=

1

x0(t): (3.9)

Substituindo (3.9) em (3.8), obtemos

dy

dx=y0(t)

x0(t):

Exemplo 3.29 Calcular a derivada da função y(x) de�nida pelas equações paramétricas8<: x = 2t+ 1

y = 4t+ 3:

Vamos, agora, calcular o comprimento L de uma curva C; dada na forma paramétrica,

pelas equações 8<: x = x(t)

y = y(t); t 2 [t0; t1]

onde x = x(t) e y = y(t) são funções contínuas com derivadas contínuas e x0(t) 6= 0 para todo

t 2 [t0; t1] : Tais funções são chamadas continuamente deriváveis, e a curva C de�nida

por elas de curva lisa.

37

Se y = y(x) é a equação cartesiana da curva C; então já vimos que

L =

Z b

a

s1 +

�dy

dx

�2dx; x(t0) = a e x(t1) = b: (3.10)

Fazendo a mudança de variável x = x(t); dx = x0(t)dt e usando quedy

dx=y0(t)

x0(t)em (3.10),

obtemos

L =

Z b

a

s1 +

�dy

dx

�2dx

=

Z t1

t0

s1 +

�y0(t)

x0(t)

�2x0(t)dt

onde x(t0) = a e y(t1) = b: Portanto,

L =

Z t1

t0

q[x0(t)]2 + [y0(t)]2dt:

Exemplo 3.30 Calcule o comprimento da circunferência

8<: x = cos t

y = sin t; t 2 [0; 2�] :

Exemplo 3.31 Calcular o comprimento da hipociclóide (ou astóide)

8<: x = 2 cos3 t

y = 2 sin3 t;

t 2 [0; 2�] :

3.4 Área de uma região no plano (Forma Paramétrica)

Caso 1: Seja R uma região do plano limitada pelo grá�co de f; pelas retas x = a;

x = b e o eixo x; onde y = f(x) é contínua, f(x) � 0 8x 2 [a; b] é dada por

8<: x = x (t)

y = y (t);

t 2 [t0; t1] ; com x(t0) = a e x(t1) = b: Se x = x(t) tem inversa t = t(x); então podemos

escrever y = y(t(x)): Neste caso, a área da região R é

A =

Z b

a

f(x)dx =

Z b

a

y(t(x))dx:

38

Fazendo a substituição x = x(t), dx = x0(t)dt; obtemos

A =

Z t1

t0

y(t)x0(t)dt:

Exemplo 3.32 Calcular a área da região limitada pela elipse

8<: x = 2 cos t

y = 3 sin t; t 2 [0; 2�] :

Caso 2: Seja R uma região do plano limitada pelos grá�cos de f e g; pelas retas x = a

e x = b; onde f e g são funções contínuas em [a; b] ; com f(x) � g(x); 8x 2 [a; b] ; dadas na

forma paramétrica:

y1 = f(x) é dada por

8<: x1 = x1 (t)

y1 = y1 (t); t 2 [t0; t1]

y2 = g(x) é dada por

8<: x2 = x2 (t)

y2 = y2 (t); t 2 [t2; t3]

onde x1(t0) = x2(t2) = a e x1(t1) = x2(t3) = b:

Neste caso, a área da região R é

A =

Z b

a

[f(x)� g(x)] dx

=

Z b

a

f(x)dx�Z b

a

g(x)dx

=

Z t1

t0

y1(t)x01(t)dt�

Z t3

t2

y2(t)x02(t)dt:

Exemplo 3.33 Calcular a área entre as elipses

8<: x = 2 cos t

y = 4 sin t; e

8<: x = 2 cos t

y = sin t;

t 2 [0; 2�] :

39

Capítulo 4

Integrais Impróprias

4.1 Integrais com Limites de Integração In�nitos

De�nição 4.1 Seja f uma função contínua em [a;+1) : De�ne-se:Z +1

a

f(x)dx = limb!+1

Z b

a

f(x)dx:

Se o limite existe, dizemos que a integral imprópriaR +1a

f(x)dx converge e o limite é o

valor da integral imprópria. Caso contrário, a integral imprópria diverge.

Exemplo 4.1 A integral imprópriaR +11

1

x2dx converge ou diverge?

De�nição 4.2 Seja f uma função contúnua no intervalo (�1; b] : De�ne-se:Z b

�1f(x)dx = lim

a!�1

Z b

a

f(x)dx:

Se o limite existe, dizemos que a integral imprópriaR b�1 f(x)dx converge e o limite é o valor

da integral imprópria. Caso contrário, a integral imprópria diverge.

Exemplo 4.2 A integral imprópriaR 0�1 e

xdx converge ou diverge?

De�nição 4.3 Seja f contínua no intervalo (�1;+1) : De�ne-se:Z +1

�1f(x)dx =

Z c

�1f(x)dx+

Z +1

c

f(x)dx:

40

onde c é qualquer número real. Se cada integral imprópriaR c�1 f(x)dx e

R +1c

f(x)dx

converge, dizemos que a integral imprópriaR +1�1 f(x)dx converge. Se qualquer uma delas

divergir, a integral imprópriaR +1�1 f(x)dx diverge.

Exemplo 4.3 A integral imprópriaR +1�1

dx

1 + x2converge ou diverge?

Exemplo 4.4 A integral imprópriaR +11

1

xdx converge ou diverge?

4.2 Integrais Impróprias com Integrandos In�nitos

De�nição 4.4 Se f é contínua em [a; b) e limx!b�

f(x) = �1; de�ne-se:

Z b

a

f(x)dx = limt!b�

Z t

a

f(x)dx:

Se o limite existe, dizemos que a integral imprópriaR baf(x)dx converge e o limite é o valor

da integral imprópria. Caso contrário, a integral imprópria diverge.

Exemplo 4.5 A integral imprópriaR 10

1p1� x

dx converge ou diverge?

De�nição 4.5 Se f é contínua em (a; b] e limx!a+

f(x) = �1; de�ne-se:

Z b

a

f(x)dx = limt!a+

Z b

t

f(x)dx:

Se o limite existe, dizemos que a integral imprópriaR baf(x)dx converge e o limite é o valor

da integral imprópria. Caso contrário, a integral imprópria diverge.

Exemplo 4.6 A integral imprópriaR 10

1pxdx converge ou diverge?

Exemplo 4.7 A integral imprópriaR 10

1

x2dx converge ou diverge?

41

De�nição 4.6 Se f é contínua em [a; b] ; exceto no ponto c; a < c < b e tem limites laterais

in�nitos em c; de�ne-se: Z b

a

f(x)dx =

Z c

a

f(x)dx+

Z b

c

f(x)dx:

Se cada integral imprópriaR caf(x)dx e

R bcf(x)dx converge, dizemos que a integral imprópriaR b

af(x)dx converge. Se qualquer uma delas divergir, a integral imprópria

R baf(x)dx diverge.

Exemplo 4.8 A integral imprópriaR 41

dx

(x� 2)2=3 converge ou diverge?

Exemplo 4.9 A integral imprópriaR +10

1pxdx converge ou diverge?

Exemplo 4.10 Para quais valores de p a integral imprópriaR +11

dx

xpconverge e para quais

valores de p ela diverge.

42

Capítulo 5

Formas Indeterminadas e a Regra de

L�Hôpital

(Regra de L�Hôpital) Sejam f e g funções deriváveis em um intevalo aberto I contendo

c e tal que g0(x) 6= 0 em I se x 6= c: Se f(c) = g(c) = 0; isto é, sef(x)

g(x)tem a forma

indeterminada0

0em x = c; então

limx!c

f(x)

g(x)= lim

x!c

f 0(x)

g0(x)

desde que o limite limx!c

f 0(x)

g0(x)exista ou lim

x!c

f 0(x)

g0(x)= �1:

Exemplo 5.1 Calcule os limites

(a) limx!0

sinx

x(b) lim

x!�2

2x2 + 3x� 23x2 � x� 14 (c) lim

x!0

ex + e�x � 21� cos(2x) :

A regra de L�Hôpital também aplica-se à forma indeterminada11 : Se f(x) ! �1 e

g(x)! �1 quando x! c; então

limx!c

f(x)

g(x)= lim

x!c

f 0(x)

g0(x)

desde que o limite limx!c

f 0(x)

g0(x)exista ou lim

x!c

f 0(x)

g0(x)= �1: Na notação x! c; o c pode ser �nito

ou in�nito e, além disso, x! c pode ser substituído pelos limites laterais x! c+ ou x! c�:

43

Exemplo 5.2 Calcule os limites

(a) limx!+1

lnx

x2(b) lim

x!+1

ex

x2:

As Formas Indeterminadas 0 � 1 e 1�1

Podemos, às vezes, lidar com as formas indeterminadas 0 � 1 e 1 �1. Neste caso,

usamos a álgebra para convertê-las nas forma0

0ou11 :

Exemplo 5.3 Calcular os limites

(a) limx!+1

x2(e1=x � 1) (b) limx!0+

x lnx (c) limx!0+

�csc x� 1

x

�:

Potências Indeterminadas 00;10, 11

Se f(x) = [g(x)]h(x) tem uma das formas indeterminadas 00;10, 11 em x = c aplicamos

o lagaritmo natural, isto é, ln f(x) = ln [g(x)]h(x) ; e usamos a Regra de L�Hôpital para

encontrar o limite limx!c

ln f(x): Calculando a exponencial do valor encontrado, obtemos o

limite da função original. Esse procedimento é justi�cado pela continuidade da função

exponencial.

Se limx!c

ln f(x) = L; então limx!cf(x) = lim

x!celn f(x) = e

limx!c

ln f(x)= eL:

Aqui c pode ser �nito ou in�nito.

Exemplo 5.4 Calcule os limites

(a) limx!0+

x1= lnx (b) limx!+1

x1=x (c) limx!0+

(1 + 3x)1=2x:

44

Capítulo 6

Sequências e Séries de Números Reais

6.1 Sequências de Números Reais

De�nição 6.1 Uma sequência de números reais é uma função

f : N ! R

n 7! f(n) = an; n � 1:

Notação: (an)n2N ou (a1; a2; a3; : : : ; an; : : :) ou simplesmente (an): an é dito o termo geral

da sequência.

Exemplo 6.1 (n)n2N ou (1; 2; 3; 4; : : : ; n; : : :)

Exemplo 6.2�1

n

�n2N

ou�1;1

2;1

3; : : : ;

1

n; : : :

�

Exemplo 6.3�

1

2n�1

�n2N

ou�1;1

2;1

22; : : : ;

1

2n�1; : : :

�Exemplo 6.4 ((�1)n)n2N ou (�1; 1;�1; 1; : : : ; (�1)n; : : :)

Exemplo 6.5 (2)n2N ou (2; 2; 2; : : : ; 2; : : :)

Exemplo 6.6�1; 2;

1

3; 2;1

5; : : :

�ou

8<: 2; se n é par1

n; se n é ímpar

:

45

De�nição 6.2 A sequência (an) converge para o número L se, para cada número positivo

�; existe um inteiro positivo N (possivelmente dependendo de �) tal que

n > N ) jan � Lj < �:

Se (an) converge para L; escrevemos

limn!+1

an = L ou n! L

e chamamos L de limite da sequência.

Se esse número L não existe, dizemos que (an) diverge.

Exemplo 6.7 Mostre que limn!+1

1

n= 0:

Exemplo 6.8 As sequências (n)n2N e (pn)n2N divergem, pois conforme n aumenta, os

seus termos �cam maiores que qualquer número prede�nido. Descrevemos o comportamento

dessas sequências da seguinte maneira:

limn!1

n =1 e limn!1

pn =1

6.1.1 Subsequências

Seja (an) uma sequência de números reais e considere o subconjunto in�nito de N :

fn1 < n2 < n3 < � � � < nk < nk+1 < � � � g :

A nova sequência bk = f(nk) = ank é dita uma subsequência de (an):

Exemplo 6.9 Considere a sequência

((�1)n)n2N ou (�1; 1;�1; 1; : : : ; (�1)n; : : :) :

Temos que �(�1)2n

�n2N = (1)n2N = (1; 1; 1; 1; : : :) e�

(�1)2n�1�n2N = (�1)n2N = (�1;�1;�1; : : :)

são subsequências de ((�1)n)n2N :

46

Teorema 6.1 Se an ! a então toda subsequência (ank) de (an) também converge para a:

Observação 6.1 "Se uma sequência possui duas subsequências convergindo para limites

distintos então a sequência não converge."

Exemplo 6.10 ((�1)n)n2N não converge, pois (�1)2n ! 1 e (�1)2n�1 ! �1:

Exemplo 6.11�1; 2;

1

3; 2;1

5; : : :

�não converge, pois as subsequências (2; 2; 2; : : :) e

(1;1

3;1

5; : : : ;

1

2n� 1 ; : : :) convergem para limites diferentes.

6.1.2 Sequências Monótonas

Uma sequência (an) é dita crescente se

a1 � a2 � a3 � a4 � � � � � an � � � �

e é dita decrescente se

a1 � a2 � a3 � a4 � � � � � an � � � �

Quando a1 < a2 < a3 < a4 < � � � < an < � � � ; (an) é dita estritamente crescente e no

caso em que

a1 > a2 > a3 > a4 > � � � > an > � � �

(an) é dita estritamente decrescente.

Uma sequência (an) que é crescente ou decrescente é dita monótona.

Exemplo 6.12�1

n

�n2N

é estritamente decrescente.

Exemplo 6.13 (n)n2N é estritamente crescente .

Exemplo 6.14 A sequência (1; 2; 2; 3; 3; : : :) é crescente:

Exemplo 6.15 A sequência�1;1

2;1

2;1

3;1

3; : : :

�é decrescente.

47

6.1.3 Sequências Limitadas

Uma sequência (an) é dita limitada quando existe um número C � 0 tal que

janj � C; 8n 2 N:

Exemplo 6.16 ((�1)n)n2N é limitada, pois j(�1)nj � 1;8n 2 N:

Exemplo 6.17 (sin(n))n2N é limitada, pois jsin(n)j � 1;8n 2 N:

Exemplo 6.18 A sequência (n)n2N = (1; 2; 3; 4; : : : ; n; : : :) é limitada inferiormente por 1,

mas não tem limite superior. Logo, não é limitada.

Observação 6.2 "Toda sequência convergente é limitada, no entanto uma sequência

limitada pode não ser convergente."Por exemplo, a sequência ((�1)n)n2N é limitada mas

não é convergente.

Teorema 6.2 Toda sequência monótona e limitada é convergente.

Exemplo 6.19 Aplique o Teorema anterior para mostrar que a sequência�

n

n+ 1

�n2N

é

convergente.

Teorema 6.3 (Teorema da Função Contínua para Sequências) Seja (an) uma sequência de

números reais. Se an ! L e se f for uma função contínua e de�nida para todo an; então

f(an)! f(L):

Exemplo 6.20 Mostre quer

n

n+ 1! 1:

6.1.4 Propriedades dos Limites de Sequências

Sejam (an) e (bn) sequências de números reais.

1. limn!1

(an + bn) = limn!1

an + limn!1

bn:

2. limn!1

(an � bn) = limn!1

an � limn!1

bn:

48

3. limn!1

anbn=limn!1

an

limn!1

bn; se lim

n!1bn 6= 0:

4. limn!1

k = k e limn!1

(kan) = k limn!1

an (para qualquer número k).

5. limn!1

janj =��� limn!1

an

��� ; isto é, se an ! a então janj ! jaj :

6. Se an � bn; então limn!1

an � limn!1

bn:

7. Se an � bn � cn e limn!1

an = limn!1

cn = L, então limn!1

bn = L:

8. Se an � 0 então limn!1

pan =

qlimn!1

an:

Exemplo 6.21 Determinar o limite das sequências.

a)

�2n2 + 1

n2 + n

�n2N

b)�pn+ 1�

pn�n2N

c)�1

nsin(n)

�n2N

d)�

n

n+ 1

�n2N

Observação 6.3 Todo múltiplo não nulo de uma sequência divergente (an) também diverge.

O Teorema a seguir nos permite aplicar a regra de L�Hôpital para encontrar o limite de

algumas sequências.

Teorema 6.4 Seja f(x) uma função de�nida para todo x � n0 e tal que limx!+1

f(x) = L:

Então a sequência (an) onde an = f(n) para n � n0 é convergente e seu limite é L: Se

limx!+1

f(x) =1; então a sequência (an) é divergente.

Exemplo 6.22 Determine o limite das sequências.

a)� nen

�n2N

b)�ln(n)

n

�n2N

:

6.1.5 Limites Especiais

1. limn!1

�1 +

1

n

�n= e

2. limn!1

xn = 0 se jxj < 1:

49

3. limn!1

x1=n = 1 se x > 0:

4. limxn

n!= 0;8x

5. lim npn = 1:

Exemplo 6.23 Determine o limite das sequências..

a)

�2n

3n+1

�n2N

b)�

npn2�n2N

b)�1 +

1

3n

�n:

6.2 Série de Números Reais

Algumas vezes uma soma in�nita de termos resulta em um número, como em

1

2+1

4+1

8+1

16+ � � �

onde cada parcela representa a área de um retângulo obtido dividindo in�nitamente o

quadrado unitário ao meio.

Para atribuirmos signi�cado a essa expressão, consideremos a sequência (Sn) de somas

parciais:

S1 =1

2= 0; 5

S2 =1

2+1

4=3

4= 0; 75

S3 =1

2+1

4+1

8=7

8= 0; 875

S4 =1

2+1

4+1

8+1

16=15

16= 0; 9375

...

Assim a sequência de somas parciais (Sn) pode ser escrita da seguinte forma:

(0; 5; 0; 75; 0; 875; 0; 9375; � � � )

50

O que acontece quando fazemos limn!1

(Sn)? Esse limite é 1; ou seja, Sn ! 1; neste caso,

dizemos que 1 é a soma da série in�nita, isto é

1

2+1

4+1

8+1

16+ � � � = 1

Outras vezes é impossível chegar ao resultado de uma soma in�nita, como em

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + � � �

De�nição 6.3 Uma série de números reais é uma soma in�nita da forma:

a1 + a2 + a3 + � � �+ an + � � � =1Xn=1

an;

onde an 2 R é chamado n-ésimo termo da série.

Exemplo 6.24

a) 1 +1

2+1

22+1

23+ � � �+ 1

2n�1+ � � �

b) 1 +1

2+1

3+1

4+ � � �+ 1

n+ � � �

c) � 1 + 1� 1 + 1� � � �

De�nição 6.4 A sequência (Sn) das somas parciais da série1Xn=1

an é de�nida por

S1 = a1

S2 = a1 + a2...

Sn = a1 + a2 + � � �+ an...

Se a sequência das somas parciais convergir para um limite S; dizemos que a série converge

e que sua soma é S: Neste caso, escrevemos

a1 + a2 + a3 + � � �+ an + � � � =1Xn=1

an = S = limn!1

Sn:

Se a sequência das somas parciais da série não converge, dizemos que a série diverge.

51

Exemplo 6.25 Considere a série1Xn=1

1

2n�1:

a) Encontre S1; S2; S3; S4 b) Encontre Sn c) Mostre que a série converge.

De um modo geral, a série

1Xn=1

aqn�1 = a+ aq + aq2 + � � �+ aqn�1 + � � �

a qual é chamada Série Geométrica converge se jqj < 1 e sua soma é a

1� q :

Exemplo 6.26 Considere a série1Xn=1

(�1)n:

a) Encontre S1; S2; S3; S4 b) Encontre Sn c) Mostre que a série diverge.

6.2.1 Operações com Séries Convergentes

Se1Xn=1

an e1Xn=1

bn são séries convergentes e c 2 R; então:

1.1Xn=1

(an + bn) converge e1Xn=1

(an + bn) =1Xn=1

an+1Xn=1

bn:

2.1Xn=1

can converge e1Xn=1

can = c1Xn=1

an:

Observação 6.4 Se1Xn=1

an diverge e c 2 R; c 6= 0 então1Xn=1

can também diverge.

Observação 6.5 Se1Xn=1

an converge e1Xn=1

bn diverge, então1Xn=1

(an + bn) diverge.

Teorema 6.5 Se1Xn=1

an converge, então limn!1

an = 0: Ou equivalentemente, se limn!1

an 6= 0

então1Xn=1

an diverge.

52

Exemplo 6.27 Aplique o Teorema anterior para mostrar que a série1Xn=1

n

2n+ 1diverge.

Se limn!1

(an) = 0; então é necessário uma investigação adicional para determinar se a

série1Xn=1

an é convergente ou divergente.

6.2.2 Testes da Integral

Seja f(x) uma função contínua, positiva e decrescente para todo x � 1: Se (an) é uma

sequência de�nida por an = f(n); então1Xn=1

an converge ,Z +1

1

f(x)dx converge.

Exemplo 6.28 A p-série1Xn=1

1

np=1

1p+1

2p+1

3p+ � � �+ 1

np+ � � �

onde n 2 R; converge se p > 1 e diverge se p � 1: Note que, se p = 1 temos1Xn=1

1

n

que é chamada série harmônica.

Exemplo 6.29 Vamos mostrar que a série1Xn=1

1

npnconverge.

6.2.3 Teste da Comparação

Sejam1Xn=1

an e1Xn=1

bn séries de termos posivivos.

(i) Se1Xn=1

bn converge e an � bn para todo inteiro positivo n; então1Xn=1

an converge.

(ii) Se1Xn=1

an diverge e an � bn para todo inteiro positivo n; então1Xn=1

bn diverge.

Exemplo 6.30 Vamos determinar a convergência ou divergência das séries a seguir:

a)

1Xn=1

1

2 + 5nb)

1Xn=1

3pn� 1 c)

1Xn=1

1

n2n�1

53

6.2.4 Teste da Razão

Seja1Xn=1

an uma série de termos positivos e suponhamos que

limn!1

�an+1an

�= L

(i) Se L < 1; a série é convergente.

(ii) Se L > 1; ou limn!1

�an+1an

�=1; a série é divergente.

(iii) Se L = 1; nada se pode a�rmar; deve então aplicar outro teste.

Exemplo 6.31 Vamos determinar se a série é convergente ou divergente.

(a)1Xn=1

3n

n!(b)

1Xn=1

3n

n2(c)

1Xn=1

nn

n!

6.2.5 Teste da Raiz

Seja1Xn=1

an uma série de termos positivos e suponhamos que

limn!1

npan = L

(i) Se L < 1; a série é convergente.

(ii) Se L > 1; ou limn!1

npan =1; a série é divergente.

(iii) Se L = 1; nada se pode a�rmar; deve então aplicar outro teste, pois a série pode

ser convergente ou divergente.

Exemplo 6.32 Vamos determinar se a série é convergente ou divergente.

a)

1Xn=1

23n+1

nnb)

1Xn=1

(lnn)n

nn=2:

6.2.6 Séries Alternadas

Uma série na qual os termos são alternadamente positivos e negativos é uma série

alternada. Isto é, é uma série de um dos tipos:1Xn=1

(�1)n � an ou1Xn=1

(�1)n+1 � an

onde an > 0; 8n 2 N:

54

Exemplo 6.331Xn=1

(�1)n+1 1n= 1� 1

2+1

3� 14+1

5� � � �+ (�1)n+1 1

n+ � � �

Exemplo 6.341Xn=1

(�1)n+1 1pn= 1� 1p

2+

1p3� 1p

4+

1p5� � � �+ (�1)n+1 1p

n+ � � �

6.2.7 Teste de Leibniz

A série1Xn=1

(�1)n+1 � an converge se a sequência (an) é decrescente, de termos positivos

e limn!+1

an = 0:

Exemplo 6.35 Vamos mostrar que a série harmônica alternada é convergente.1Xn=1

(�1)n+1 1n= 1� 1

2+1

3� 14+ � � �

Exemplo 6.36 Vamos mostrar que a série1Xn=1

(�1)n+1 1pnconverge.

6.2.8 Convergência Absoluta

Uma série1Xn=1

an converge absolutamente se a série1Xn=1

janj = ja1j + ja2j + ja3j + � � � +

janj+ � � � é convergente.

Note que se1Xn=1

an é uma série de termos positivos, então janj = an, e neste caso

convergência absoluta e convergência coincidem.

Exemplo 6.37 Prove que a série1Xn=1

(�1)n+1 1

2n�1converge absolutamente.

Teorema 6.6 Toda série absolutamente convergente é convergente. Isto é, se1Xn=1

janj

converge então1Xn=1

an converge.

Observação 6.6 A recíproca do Teorema anterior não é verdadeira.

Exemplo 6.38 A série harmônica alternada1Xn=1

(�1)n+1 1né convergente, mas não é

absolutamente convergente.

55

6.3 Séries de Potências

De�nição 6.5 Uma série de potências é uma soma in�nita da forma:

1Xn=0

an(x� c)n = a0 + a1(x� c) + a2(x� c)2 + � � �+ an(x� c)n + � � �

O número c é chamado centro da série. Quando c = 0 temos a série

1Xn=0

anxn = a0 + a1x+ a2x

2 + � � �+ anxn + � � �

a qual generaliza a idéia de um polinômio em x:

Exemplo 6.39 (Séries de Potências):

1.1Pn=0

xn 2.1Pn=1

xn

n3:

1Pn=1

xn

n24:

1Pn=0

xn

n!5:

1Pn=1

(x� 1)nn2n

6:1Pn=0

n!xn

Observação 6.7 Quando x = c a série1Pn=0

an(x� c)n converge e sua soma é a0:

De�nição 6.6 O conjunto I de todos os números x para os quais uma série de potências

converge é chamado de intervalo de convergência. Para qualquer série de potências1Pn=0

an(x� c)n , o intervalo de convergência I sempre tem uma das seguintes formas:

(i) I é um intervalo limitado com centro c, isto é, (c� r; c+ r); onde r é um número real

positivo chamado raio de convergência da série de potências. Em x = c� r e/ou x = c + r

pode ocorrer convergência ou divergência, dependendo da natureza da série.

(ii) I consiste de um único número c: (r = 0)

(iii) I = (�1;1): (r =1)

Exemplo 6.40 Encontre o intervalo de convergência das séries a seguir:

1.1Pn=0

xn Intervalo de Convergência: �1 < x < 1

2.1Pn=1

xn

nIntervalo de Convergência: �1 � x < 1

56

3.1Pn=1

xn

n2Intervalo de Convergência: �1 � x � 1

4.1Pn=0

xn

n!Intervalo de Convergência: �1 < x <1

5.1Pn=1

(x� 1)nn2n

Intervalo de Convergência: �1 � x < 3

6.1Pn=0

n!xn Só converge quando x = 0

7.1Pn=1

(�1)n�1xn

nIntervalo de Convergência: �1 < x � 1:

6.3.1 Propridades das Séries de Potências

Dizemos que uma função real f(x) é desenvolvível em série de potências se existem

constantes reais a0; a1; a2; � � � ; an; � � � tais que

f(x) =1Xn=0

an(x� c)n:

O domínio de f é o intervalo de convergência da série de potências.

Exemplo 6.41 A função f(x) =1

1� x é desenvolvível em série de potências no intervalo

aberto (�1; 1); uma vez que 1

1� x =1Pn=0

xn; se �1 < x < 1:

As somas parciais de1Pn=0

an(x� c)n são polinômios da forma

Sn = a0 + a1(x� c) + a2(x� c)2 + � � �+ an(x� c)n

e portanto são contínuas, deriváveis e integráveis em algum intervalo [c� s; c+ s] ; com

0 < s < r; onde r é o raio de convergência da série.

Se1Pn=0

an(x� c)n converge no intervalo (c� r; c+ r) e f : (c� r; c+ r)! R é a função

dada por f(x) =1Pn=0

an(x� c)n; estabeleceremos as seguintes propriedades:

57

(i) f é contínua.

(ii) f é derivável e f 0(x) =1Pn=1

nan(x� c)n�1:

(iii) Para cada x 2 (c� r; c+ r) existeR xcf(t)dt eZ x

c

f(t)dt =

1Xn=0

an(x� c)n+1n+ 1

:

Podemos usar as propriedades acima para obter novos desenvolvimenos de funções em

séries de potências, a partir de representações já conhecidas. Por exemplo, vimos que se

jxj < 1; então1

1� x = 1 + x+ x2 + x3 + � � �+ xn + � � � =

1Xn=0

xn

Substituindo x por �t (na verdade estamos tomando compostas de funções contínuas);

obtém-se:

1

1 + t= 1� t+ t2 � t3 + t4 � � � � =

1Xn=0

(�1)ntn; se jtj < 1 (6.1)

e agora, substitundo t por t2; tem-se

1

1 + t2= 1� t2 + t4 � t6 + t8 � � � � =

1Xn=0

(�1)nt2n; se jtj < 1 (6.2)

Integrando (6.1) de 0 até x , temos

ln(1 + x) =

Z x

0

1

1 + tdt = x� x

2

2+x3

3� x

4

4+ � � � se jxj < 1

ou seja, ln(1 + x) =1Pn=0

(�1)n xn+1

n+ 1se jxj < 1: Além disso, quando x = 1 pode-se provar

que a série1Pn=0

(�1)n 1

n+ 1converge pelo Teste de Leibniz. Assim,

ln(1 + x) =

1Xn=0

(�1)n+1 xn+1

n+ 1se � 1 < x � 1

e temos:

ln 2 = 1� 12+1

3� 14+ � � � =

1Xn=0

(�1)n 1

n+ 1:

58

Por outro lado, integrando (6.2) de 0 até x; temos

arctgx =Z x

0

1

1 + t2dt = x� x

3

3+x5

5� x

7

7+ � � � se jxj < 1

ou ainda, arctgx =1Pn=0

(�1)n x2n+1

2n+ 1se jxj < 1: Usando o Teste de Leibniz, pode-se provar

que a série1Pn=0

(�1)n 1

2n+ 1converge. Portanto,

arctgx =1Xn=0

(�1)n x2n+1

2n+ 1se � 1 < x � 1:

Desta forma, tem sentido calcular

�

4= arctg(1) = 1� 1

3+1

5� 17+ � � � =

1Xn=0

(�1)n 1

2n+ 1:

6.3.2 Séries de Taylor e de Maclaurin

Quando uma função f(x) é desenvolvível em série de potências, isto é,

f(x) =1Xn=0

an(x� c)n; x 2 (c� r; c+ r)

então pela propriedade (ii), temos:

f 0(x) =1Pn=1

nan(x� c)n�1; x 2 (c� r; c+ r)

f00(x) =

1Pn=2

n(n� 1)an(x� c)n�2; x 2 (c� r; c+ r)

f000(x) =

1Pn=3

n(n� 1)(n� 2)an(x� c)n�3; x 2 (c� r; c+ r)...

...

de tal modo que: f(c) = a0; f 0(c) = 1 � a1; f 00(c) = 2 � 1 � a2; f 000(c) = 3 � 2 � 1 � a3; : : : ;

f (n)(c) = n(n� 1)(n� 2) � � � � � 2 � 1 � an = n!an; : : :

Logo,

an =f (n)(c)

n!; 8n 2 N:

59

Concluímos que, quando f é desenvolvível em série de potências em um intervalo

(c� r; c+ r); f é in�nitamente derivável em (c� r; c+ r) e

f(x) =1Xn=0

f (n)(c)

n!(x� c)n; x 2 (c� r; c+ r): (6.3)

O desenvolvimento (6.3) é chamado desenvolvimento de Taylor de f e a série

1Xn=0

f (n)(c)

n!(x� c)n

é chamada série de Taylor de f em c:

Em particular, se c = 0 em (3) temos

f(x) =1Xn=0

f (n)(0)

n!(x)n

que é chamado desenvolvimento de Maclaurin e a série1Pn=0

f (n)(0)

n!(x)n é chamada série de

Maclaurin de f .

As somas parciais da Série de Taylor são chamadas polinômios de Taylor de f em c:

Assim, o polinômio de grau n de Taylor de f em c é:

Pn(x) = f(c) + f0(c)(x� c) + f

00(c)

2!(x� c)2 + � � �+ f

(n)(c)

n!(x� c)n:

Exemplo 6.42 Encontre a série de Taylor e os polinômios de Taylor de f(x) = ex em c = 0:

Teorema 6.7 (Teorema de Taylor) Se f possui derivada até a ordem n+1 em um intervalo

aberto I contendo c; então para cada x 2 I existe um número z entre x e c tal que

f(x) = f(c) + f 0(c)(x� c) + f00(c)

2!(x� c)2 + � � �+ f

(n)(c)

n!(x� c)n +Rn(x)

onde Rn(x) =f (n+1)(z)

(n+ 1)!(x�c)n+1: Ou seja, f(x) = Pn(x)+Rn(x) a qual é chamada fórmula

de Taylor com resto de Lagrange. O valor absoluto jRn(x)j = jf(x)� Pn(x)j é chamado erro

associado à aproximação da função f(x) por seu polinômio de Taylor Pn(x):

60

O Teorema de Taylor é uma generalização do Teorema do Valor Médio. (Veri�que!)

Teorema 6.8 (Limite do erro na aproximação polinomial de Taylor) Seja f uma função

que possui derivada até a ordem n + 1 em um intervalo aberto contendo c: Suponha que

existe um número positivo r e uma constante positiva M tal que��f (n+1)(x)�� �M para todo

x no intervalo (c � r; c + r): Então jRn(x)j � Mjx� cjn+1

(n+ 1)!para todo x 2 (c � r; c + r) e

consequentemente limn!+1

Rn(x) = 0 se veri�ca para todo x 2 (c� r; c+ r):

Pelo Teorema de taylor, Rn(x) =f (n+1)(z)

(n+ 1)!(x� c)n+1 para algum z entre x e c: Assim,

para x 2 (c� r; c+ r) temos:

jRn(x)j =��f (n+1)(z)��(n+ 1)!

j(x� c)jn+1 �M jx� cjn+1

(n+ 1)!:

Por outro lado, a série1Pn=0

jx� cjn+1

(n+ 1)!converge pelo teste da razão e portanto seu termo

geral tem limite zero, isto é, limn!+1

jx� cjn+1

(n+ 1)!= 0: Daí, como M é constante, resulta

da desigualdade 0 � jRn(x)j � Mjx� cjn+1

(n+ 1)!que lim

n!+1Rn(x) = 0 se veri�ca para todo

x 2 (c� r; c+ r):

Vimos que, se uma função puder ser desenvolvida numa série de potências, então a

função deverá ser in�nitamente derivável e a série de potências será a sua série de Taylor.

Entretanto, mesmo que a função seja in�nitamente derivável, não há garantia automática

de que ela possa ser desenvolvida em série de potências! Em outras palavras: "Embora uma

função in�nitamente derivável tenha uma série e Taylor, essa série de Taylor não precisa

convergir para a função". Por exemplo, pode-se mostrar que se

f(x) =

8<: 0; x = 0

e�1=x2; x 6= 0

então a sua Série de Taylor converge para todo x; mas converge para f(x) APENAS em

x = 0:

61

Se limn!+1

Rn(x) = 0 para todo x em (c� r; c+ r) então:

limn!+1

Pn(x) = limn!+1

f(x)� limn!+1

Rn(x) = f(x)

e isto signi�ca que a sequência das somas parciais da série de Taylor de f em c converge para

f(x) em (c� r; c+ r) e portanto a série1Pn=0

f (n)(c)

n!(x� c)n converge e escrevemos

f(x) =

1Xn=0

f (n)(c)

n!(x� c)n; 8x 2 (c� r; c+ r):

Exemplo 6.43 Justi�que as seguintes expansões em séries de potências:

1. ex = 1 + x+x2

2!+x3

3!+x4

4!+ � � � =

1Pn=0

xn

n!para todo x:

2. sin x = x� x3

3!+x5

5!� x

7

7!+ � � � =

1Pn=0

(�1)nx2n+1(2n+ 1)!

para todo x:

3. cosx = 1� x2

2!+x4

4!� x

6

6!+ � � � =

1Pn=0

(�1)nx2n2n!

para todo x:

6.3.3

62