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Metodo do Lugar das Raızes

1. Esbocando o Lugar das Raızes (LR)

c©Reinaldo M. Palharespag.1 Controle de Sistemas Lineares – Aula 9

Esboco do Lugar das Raızes

B O procedimento para esbocar o grafico do Lugar das Raızes e realizado em 12

passos ordenados a seguir

Passo 1 – Escreve-se a EC na forma

1 + F (s) = 0

e, se necessario, esta e re-arranjada de forma que o parametro de interesse, K,

apareca como fator multiplicador, ie

1 + KP (s) = 0



Passo 2 – Fatora-se P (s), se necessario, e escreve-se o polinomio na forma de

ganho, polos e zeros

1 + K

M∏

i=1

(s + zi)

n∏

j=1

(s + pj)

= 0

Passo 3 – Marcam-se os polos e zeros no plano-s com sımbolos proprios (“×”e

“◦”, respectivamente). Normalmente esta-se interessado em determinar o LR

quando 0 ≤ K ≤ ∞ e a EC pode ser reescrita da forma

n∏

j=1

(s + pj) + K

M∏

i=1

(s + zi) = 0



B Para K = 0, as raızes da EC sao os polos de P (s)

B Quando K → ∞, as raızes da EC se aproximam dos zeros de P (s)

O Lugar das Raızes da EC, 1 + KP (s) = 0,

comeca nos polos de P (s) e termina

nos zeros de P (s) quando K e variado de 0 a ∞



B Como normalmente P (s) pode ter varios zeros em infinito, ie, n > M ,

entao n − M ramos do LR tenderao a n − M zeros em ∞

Passo 4 – Localizam-se os seguimentos do LR que recaem sobre o eixo real

O Lugar das Raızes no eixo real recae sempre

sobre um trecho do eixo real a

esquerda de um numero ımpar de polos e zeros

(Verificado pela condicao de angulo...)



Exemplo (Passo 1) EC: 1 + F (s) = 1 +K(1

2s + 1)

s(14s + 1)

= 0

(Passo 2) F (s) e reescrita na forma ganho-polo-zero 1 +2K(s + 2)

s(s + 4)= 0

(Passo 3) Marcam-se os polos (0, −4) e zero (−2) com a simbologia adotada

Zero

Polos

θp1

×× ©

−2−4 0



(Passo 4) O criterio de angulo e satisfeito no segmento do eixo real entre os

pontos 0 e −2 (veja que o polo p1 = 0 contribui com −1800, o zero z = −2

contribui com 00 e o polo em p2 = −4 contribui com 00...). Entre o zero,

z = −2, e o polo p2 = −4 obtem-se 00 (contribuicao de −1800 de p1, 1800

de z e 00 de p2). Por outro lado, entre p2 e ∞ a contribuicao total e de 1800.

Portanto os trechos entre p1 e z e p2 e ∞ sobre o eixo real, fazem parte do LR

B Veja ainda que n − M = 2 − 1 = 1 ramo tendera a ∞

Segmentos do LR

×× ©

−2−4 0



Passo 5 – Determina-se o numero de curvas do LR que e igual ao numero de

polos (ja que o numero de polos e maior ou igual ao numero de zeros)

Passo 6 – O lugar das raızes e simetrico com relacao ao eixo real ja que raızes

complexas sempre aparecem em pares complexos conjugados

Passo 7 – Se houver zeros em ∞, o LR tende a ∞ aproximando-se de

assıntotas centradas em σA (ponto este denominado centroide) e com angulo

φA, sendo

σA =

∑

polos deP (s) −∑

zeros deP (s)

np − nz

=

n∑

j=1

(−pj) −

M∑

i=1

(−zi)

np − nz



E o angulo das assıntotas em relacao ao eixo real e

φA =(2q + 1)

np − nz

1800, q = 0, 1, 2, . . . , (np − nz − 1)

B A equacao acima e obtida usando o fato que, a um ponto muito distante dos

polos e zeros, pode-se considerar que os angulos de cada polo e zero, φ, sao

praticamente iguais e, portanto, o angulo lıquido (de 1800) e simplesmente

φ(np − nz). Ou, de forma alternativa, φ = 1800/(np − nz), o que resulta na

forma acima aplicavel a cada ramo do LR em ∞



Passo 8 – Determina-se, quando for o caso, o ponto em que o LR cruza o eixo

imaginario usando o criterio de Routh-Hurwitz

Passo 9 – Determina-se o ponto de partida ou de chegada do eixo real (se

houver). O LR deixa o eixo real no ponto em que, para pequenas variacoes do

parametro em consideracao, o angulo lıquido e zero

B Veja que o LR deixa de pertencer ao eixo real nos casos em que ha

multiplicidade de raızes, tipicamente duas

B Em geral, para obedecer a condicao de angulo, as tangentes do LR no ponto

de partida/chegada sao igualmente espacadas sobre os 3600


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22 00

j1

2j1

24 23 22

Breakaway point

21 2 j1

21 1 j1

458

458

(a) (b)

Figure 7.8 Illustration of the breakaway point (a) for a simple second-order system and (b) for a fourth-order system


B O ponto de partida/chegada pode ser avaliado graficamente ou analiticamente.

A maneira mais direta de se determinar o ponto de partida/chegada requer que se

re-arranje a EC isolando o fator multiplicador K para que a EC apareca na forma

p(s) = K

Exemplo Para um sistema de 2a. ordem em malha aberta G(s) = K

(s+2)(s+4)

a EC e da forma

1 + G(s) = 1 +K

(s + 2)(2 + 4)= (s + 2)(s + 4) + K = 0

⇓

K = p(s) = −(s + 2)(s + 4)



B Para este caso em particular, espera-se pelo esboco do LR que o ponto de

partida esteja proximo a s = σ = −3

B Tracando-se o grafico de p(s) versus σ determina-se o ponto de maximo (veja

tabela abaixo). Alem disso o grafico gerado e simetrico em relacao a σ = −3, ie,

o valor de maximo corresponde ao ponto de partida/chegada

s -2 -2.25 -2.5 -2.75 -3 -3.25 -3.5 -3.75 -4

p(s) 0 0.44 0.75 0.94 1 0.94 0.75 0.44 0



B Analiticamente, o mesmo resultado pode ser obtido a partir da determinacao

do maximo de K = p(s). Como ? Derivando p(s) e igualando a zero...

dK

ds=

dp(s)

ds= 0

Exemplo Do exemplo anterior com

K = p(s) = −(s + 2)(s + 4) = −(s2 + 6s + 8)

⇓

dp(s)

ds= −(2s + 6) = 0

⇓

s = σ = −3



Exemplo Para um sistema com EC dada por

1 + G(s)H(s) = 1 +K(s + 1)

s(s + 2)(s + 3)= 0

Obtem-se np − nz = 3 − 1 = 2. Numero de assıntotas? Duas (dois polos

tenderao a zeros em ∞), com

φA =(2q + 1)

np − nz

1800 =(2(0) + 1)

21800 = 900

φA =(2(1) + 1)

21800 = 2700 = −900



σA =

n∑

j=1

(−pj) −

M∑

i=1

(−zi)

np − nz

=[0 + (−2) + (−3)] − [−1]

2= −2

Particularmente, K = p(s) = −s(s+2)(s+3)(s+1)

e o ponto de partida e calculado de

dK

ds=

2s3 + 8s2 + 10s + 6

(s + 1)2= 0

com raızes = {−2.4656; − 0.7672 ± j0.7926} ⇒ s = −2.4656


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2

1R(s) Y(s)

K(s 1 1)s(s 1 2)

1s 1 3

H(s)

G(s)

Asymptote

23 22 21 2223 22.45

p(s)

0.50

0.25

0 0

(a) (b)

Figure 7.10 Closed-loop system

Figure 7.11 Evaluation of the (a) asymptotes and (b) breakaway point


Passo 10 – Determina-se o angulo de partida do LR de um polo e o angulo de

chegada em cada zero, usando a condicao de angulo. O angulo de partida (ou

chegada) corresponde a diferenca entre o angulo lıquido devido a todos os outros

polos e zeros e a condicao de angulo de ±1800(2q + 1). Polos (ou zeros)

complexos ...

Exemplo Para um sistema de 3a. ordem em malha aberta com 2 dois polos

complexos p1 e p2

F (s) = G(s)H(s) =K

(s + p3)(s2 + 2ζωns + ω2n)

tem-se que, em um ponto de teste, s1, a uma distancia infinitesimal de p1, pela

condicao de angulo (vide figura a seguir)

θ1 + θ2 + θ3 = θ1 + 900 + θ3 = +1800 ⇒ θ1 = 900 − θ3


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Figure 7.12 Illustration of the angle of departure (a) Test point infinitesimal distance from p1 (b) Actual departure vector at p1

A point a small distance from p1

u3

u3

u3u1

p1

s1

p3

p2

p2

p3

p1

(a) (b)

0 0

Departure vector

u3

u2


Passo 11 – Determinacao da localizacao das raızes que satisfazem a condicao

de angulo

∠P (s) = 1800 ± q3600, q = 1, 2, . . .

na raiz sx, x = 1, 2, . . . , np

Passo 12 – Determinacao do valor do parametro Kx para uma raiz especıfica

sx aplicando a condicao de ganho

Kx =

n∏

j=1

|(s + pj)|

m∏

i=1

|(s + zi)|

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

s=sx



Exemplo (Passo 1) Deseja-se tracar o grafico do LR da EC (com

0 < K < ∞) do seguinte sistema

1 +K

s4 + 12s3 + 64s2 + 128s= 0

(Passo 2) Determinando os polos

1 +K

s(s + 4)(s + 4 + j4)(s + 4 − j4)= 0

os zeros estao em ∞...



(Passo 3) Localizar os polos no plano-s

(Passo 4) O LR tem um segmento sobre o eixo real entre s = 0 e s = 4

(Passo 5) Como o numero de polos e np = 4, ha 4 curvas no LR

(Passo 6) O grafico e simetrico em relacao ao eixo real



(Passo 7) Os angulos das assıntotas sao

φA =(2q + 1)

np − nz

1800, q = 0, 1, 2, 3

φA = 450, 1350, 2250, 3150

O centro das assıntotas e

σA =

n∑

j=1

(−pj) −M∑

i=1

(−zi)

np − nz

=[0 + (−4) + (−4 − j4)(−4 + j4)] − [0]

4= −3



(Passo 8) Cruza o eixo imaginario ? A EC e

s4 + 12s3 + 64s2 + 128s + K = 0

O arranjo e dado por

s4 1 64 K

s3 12 128

s2 b1 K

s1 c1

s0 K

⇒

b1 =12(64) − 128

12= 53.33

c1 =53.33(128) − 12K

53.33> 0

Logo para manter estabilidade K < 568.89, o que leva, pela eq. auxiliar, a obter

raızes em ±j3.266



(Passo 9) Ponto de partida e calculado fazendo

K = p(s) = −s(s + 4)(s + 4 + j4)(s + 4 − j4)

e

dK

ds= 4s3 + 36s2 + 128s + 128 = 0

com raızes em {−1.5767, − 3.7117 ± j2.5533}. Portanto o ponto de

partida ocorre em s = −1.5767



(Passo 10) O angulo de partida de um dos polos complexos, p1, e obtido a partir

da contribuicao de cada polo, na vizinhanca de p1 usando a condicao de angulo,

o que resulta em

θp1+ θp2

+ θp=−4 + θp=0 = θp1+ 900 + 900 + θp=0 = 1800

Logo

θp1= −θp=0

= −

[

900 + tan−1

(

4

4

)]

= −(900 + 450)

= −1350

= 2250



(Passo 11) Determinam-se as localizacoes das raızes que satisfazem a condicao

de angulo ...

(Passo 12) Determina-se o valor do ganho K em ponto de teste s = s1 ...

B E o grafico ?


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TABLE 7.2 The Twelve Steps of the Root Locus Procedure

Step Related Equation or Rule

1. Write the characteristic equation so that the parame-ter of interest K appears as a multiplier.

1 1 KP(s) 5 0.

2. Factor P(s) in terms of np poles and nz zeros. 1 1K 5 0.

nz

(s 1z )P ii51np

(s 1 p )P jj51

3. Locate the open-loop poles and zeros of F(s) in thes-plane with selected symbols.

2 5 poles, V 5 zeros, M or n 5 roots of characteris-tic equation. Locus begins at a pole and ends at a zero.

4. Locate the segments of the real axis that areroot loci.

Locus lies to the left of an odd number of polesand zeros.

5. Determine the number of separate loci, SL. SL 5 np when np ù nz ;np 5 number of finite poles, nz 5 number of finitezeros.

6. The root loci are symmetrical with respect to thehorizontal real axis.

7. The loci proceed to the zeros at infinity alongasymptotes centered at s A and with angles f A. s A 5

(1p ) 1 (1z )O Oj i.

n 1 np z

f A 5 1807, q 5 0, 1, 2, . . . (np 1 nz 1 1).(2q 1 1)

n 1 np z

8. By utilizing the Routh–Hurwitz criterion, determinethe point at which the locus crosses the imaginary axis (if it does so).

See Section 6.2.

9. Determine the breakaway point on the real axis(if any).

a) Set K 5 p(s).

b) Obtain 5 0.dp(s)

dsc) Determine roots of (b) or use graphical method to find maximum of p(s).

10. Determine the angle of locus departure from com-plex poles and the angle of locus arrival at complex zeros, using the phase criterion.

5 1807 5 q3607 at s 5 pj or zi .P(s)/

11. Determine the root locations that satisfy the phasecriterion.

5 1807 5 q3607 at a root location sx .P(s)/

12. Determine the parameter value Kx at a specificroot sx .

np

u(s 1 p )uP jj51K 5x nz *u(s 1 z )uP ii51 s5sx.

Table 7.2 The 12 Steps of the root locus procedure

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