cap´ıtulo algebra (an´eis) de´...

Capıtulo 3Algebra (aneis) de

polinomios

Uma funcao de uma variavel real x e denominada polinomio com coefici-entes no corpo K se puder ser representada como

f(x) = a0

+ a1

x+ · · ·+ anxn, ai 2 K, 1 i n.

B Exercıcio 87: Mostre que os coeficientes ai acima sao unicos COs polinomios formam uma subalgebra da algebra das funcoes reais, de-

notada por R[x]. Para o caso de polinomios sobre um corpo K arbitrario,usaremos uma definicao mais apropriada e geral.

B Exemplo 16: Os polinomios p(x) = x e q(x) = x3 sobre o corpo Z3

tomam os mesmos valores, enquanto que os polinomios p(x) = x e q(x) = x2

sobre o corpo Z2

tambem tomam os mesmos valores CTome o espaco vetorial K1 das sequencias de elementos sobre um corpo

K onde somente um numero finito de entradas sao nao nulas. Enumeramos

47

48 3. ALGEBRA (ANEIS) DE POLINOMIOS

os termos de tais sequencias de tal maneira que uma base {e0

, e1

, . . . , ek, . . .}para K1 pode ser obtida denotando por ek a sequencia cujo k-esimo termoe igual a um e os demais termos sao nulos. Tal espaco vetorial munido deum produto — denotado aqui por justaposicao — eiej = ei+j e uma algebra,comutativa e associativa, onde e

0

faz o papel de identidade. Tal algebra edenotada por K[x].Convencionamos agora identificar elementos do tipo be

0

da algebra K[x],b 2 K, com os elementos de K. Denotamos tambem ek = xk e

(a0

, a1

, a2

, . . . , an 0, . . .) =nX

i=0

aiei =nX

i=0

aixi (3.1)

Os numeros a0

, a1

, a2

, . . . , an sao denominados coeficientes do polinomio, eo ultimo coeficiente nao nulo e chamado de coeficiente lıder, sendo que seuındice e o grau do polinomio p, denotado por deg p. Um polinomio e deno-minado monico se o coeficiente lıder associado e igual a um.

B Exercıcio 88: Mostre que deg (p+ q) max{deg p, deg q} e que deg pq= deg p + deg q CO produto entre polinomios com coeficientes ai e bj e outro polinomio com

coeficientes ck =Pk

i=0

aibk�i.

I Teorema 22: Considere p, q 2 K[x] e q 6= 0. Existem polinomios s e rtais que p = sq + r e, ou r = 0 ou deg r < deg q J

Demonstracao: (Dizemos que p e divisıvel por q se r = 0). Se deg q >deg p, tomamos s = 0 e r = p. Se deg q � deg p, considere p =

Pni=0

aixn�i

e q =Pm

i=0

aixm�i, onde a

0

, b0

6= 0, e defina

p1

= p� a0

b0

xn�mq,

que possue o grau menor do que o grau de p. Se o grau de p1

for menor doque o grau de q, podemos tomar s = a0

b0xn�m e r = p

1

. Se nao, podemosfazer o mesmo procedimento sucessivamente, ate obtermos um polinomio dotipo

s = c0

xn�m + c1

xn�m�1 + · · ·+ cn�m.

tal que deg (p � sq) < deg (q). Esse e o quociente da divisao de p por q er = p� sq e o resto. Tais polinomios sao unicos, pois dados

p = s1

q + r1

� s2

q + r2

, onde deg r1

< deg q e deg r2

< deg q.

Isso implica que r1

�r2

= (s2

�s1

)q e supondo que s1

6= s2

, entao deg (r1

�r2

)= deg (q

2

� q1

) + deg q � deg q, o que e uma contradicao. Portanto s1

= s2

e r1

= r2

3

49

A divisao de um polinomio pelo monomio (x�a) com resto, significa que oresto tem grau menor que um, ou seja, o resto e um elemento de K. Portanto,p(x) = (x�a)s(x)+r, o que implica que p(a) = r, e este e o chamado teoremade Bezout. Dizemos agora que um elemento a 2 K e uma raiz do polinomiop 2 K[x] se p(a) = 0.O teorema de Bezout implica que

I Teorema 23: O elemento a 2 K e uma raiz do polinomio p 2 K[x] se esomente se p e divisıvel por x� a Jque usaremos para provar o seguinte:

I Teorema 24: O numero de raızes de um polinomio nao nulo nuncaexcede o grau do polinomio JDemonstracao: Considere a

1

uma raiz de p 2 K[x]. Entao

p = (x� a1

)p1

, p1

2 K[x].

Considere agora a2

uma raiz de p1

2 K[x]. Entao

p1

= (x� a2

)p2

, p2

2 K[x],

e portanto p = (x� a1

)(x� a2

)p2

. Sucessivamente, encontramos finalmente

p = (x� a1

)(x� a2

) · · · (x� am)q, (3.2)

onde q 2 K[x] nao possui raızes do polinomio p. Os elementos ai sao todosraızes de p, pois para qualquer a 2 K, p(a) = (a�a

1

)(a�a2

) · · · (a�am)q(a)e ja que g(a) 6= 0, p(a) = 0 se e somente se a = aj para algum j entre 1 e m.Portanto o numero de raızes nunca excede m. Alem disso, m = deg p � degq deg p 3

I Obs.16: Uma raiz a do polinomio p e denominada raiz simples se p naofor divisıvel por (x � a)2. A multiplicidade da raiz a e o maximo k 2 N talque p seja divisıvel (x�a)k. Uma raiz simples possui portanto multiplicidadeigual a um JPodemos agora enunciar o teorema anterior de uma forma mais completa.

I Teorema 25: O numero de raızes de um polinomio levando-se em contasuas multiplicidades nunca excede o grau do polinomio. Tal numero e igualse e somente se o polinomio for um produto de fatores lineares JDemonstracao: Podemos reescrever (3.2) agrupando os mesmos fatores,

comop = (x� a

1

)k1(x� a2

)k2 · · · (x� ac)kc ,


onde as raızes a1

, a2

, . . . , ac sao distintas. Podemos daı escrever

p = (x� aj)kjgi, onde gj(aj) 6= 0,

o que significa que aj e uma raiz de multiplicidade kj . Assim, o numero deraızes contadas juntamente com suas multiplicidades e igual a

k1

+ k2

+ · · ·+ kc = deg p� deg q.

3

B Exercıcio 89: Considere o polinomio p = b0

xn+b1

xn�1+· · ·+bn�1

x+bnque cinde em fatores lineares, ou seja, p = b

0

(x�a1

)(x�a2

) · · · (x�an), ondea1

, a2

, . . . , an sao raızes de p. Comparando os coeficientes de xp em ambasas expressoes para p, mostre as formulas de Viete:

a1

+ a2

+ · · ·+ an = �b1

b0

a1

a2

+ a2

a3

+ · · ·+ an�1

an =b2

b0

......

X

j1<j2<···<jk

aj1aj2 · · · ajk = (�1)kbkb0

......

a1

a2

· · · an = (�1)nbnb0

(3.3)

CB Exemplo 17: O polinomio p = x4 + a

1

x3 + a2

x2 + a3

x + a4

que tem araiz x = 1 com multiplicidade dois e raizes simples x = 2 e x = 3, pode serescrito pelas formulas de Viete como [?]

p = x4 � 7x3 + 17x2 � 17x+ 6

CNosso objetivo agora e demonstrar o teorema fundamental da algebra de

C. Para tanto necessitaremos de uma serie de lemas e corolarios.

I Definicao 5: Uma sequencia de numeros complexos zk onde k 2 Nconverge a um numero complexo z (denotaremos zk ! z) se |zk � z| ! 0 JI Lema 2: Suponha que zk ! z e seja p 2 C[z]. Entao p(zk) ! p(z) J

51

Demonstracao: Isso vem do fato de que se zk ! z e wk ! w, entaozkwk ! zw. 3

I Lema 3: Se |zk| ! 1 e p 2 C[z] e um polinomio de grau positivo,entao |f(zk)| ! 1 J

Demonstracao: Considere o polinomio p = b0

xn+b1

xn�1+ · · ·+bn�1

x+bn, com bn 6= 0. Entao

|f(zk)| = |zk|n��b0 +

b1

zk+ · · ·+ bn�1

zn�1

k

+bnznk

��

� |b0

|�✓|b

1

||zk|

� · · ·� |bn�1

||zn�1|k

� |bn||zk|n

◆

O termo entre parenteses tende a b0

e portanto |f(zk)| ! 1 3

I Lema 4: (d’Alembert) Seja p 2 C[x] um polinomio de grau positivo ez0

2 C tal que p(z0

) 6= 0. Entao em qualquer vizinhanca de z0

existe z 2 Ctal que |p(z)| < |p(z

0

)| J

Demonstracao: Em geral,

p(z)

p(z0

)= 1+dj(z�z

0

)j +dj+1

(z�z0

)j+1+ · · ·+dn(z�z0

)n, dj 6= 0. (3.4)

Provaremos agora que o modulo da expressao acima e menor que um. Escolhaz = z

0

+ tz1

, t 2 (0, 1) e z1

2 C tal que djzj1

= �1. A Eq.(3.4) implica que

p(z)

p(z0

)= 1� tj + tj+1q(t),

onde deg q = n � j � 1. Se A e o valor maximo dos coeficientes de q, entao|q(t)| (n� j)A, o que implica em

��p(z)

p(z0

)

�� 1� tj + (n� j)Atp+1 = 1� tj(1� (n� j)At) < 1,

para t < 1

(n�j)A 3

De posse desses resultados podemos entao provar o teorema fundamentalda algebra:

I Teorema 26: Todo polinomio de grau positivo sobre o corpo dos com-plexos possui raiz J


Demonstracao: Considere p 2 C[z] um polinomio de grau positivo. SejaM = inf

z|p(z)|. Pela definicao de ınfimo, existe uma sequencia de numeros

complexos zk tal que |p(zk) ! M . Se a sequencia zk for ilimitada, ela contemuma subsequencia que tende ao infinito. Isso contradiz o Lema acima queantecede o Lema de d’Alembert. Portanto existe B > 0 tal que |zk| B, 8k 2N. Escrevendo zk = xk + iyk, entao |xk| |zk| B e |yk| |zk| B. Peloteorema de Bolzano-Weierstrass, a sequencia (xk) possui uma subsequencia(xk`) convergente e portanto (xk`) ! x

0

. Da mesma maneira (yk`) ! y0

eportanto (zk) ! z

0

, o que implica em |p(zk)| ! |p(z0

)| = M . Se M > 0isso contradiz o lema de d’Alembert, pois se p(z

0

) 6= 0, tal lema nos diz que|p(z)| < |p(z

0

)| em uma vizinhanca proxima de z0

. Portanto M = 0 e daıp(z

0

) = 0 3

B Corolario 3: Em C[x] qualquer polinomio cinde em fatores lineares CDemonstracao: Na Eq.(3.2) o polinomio q deve ter grau zero, pois ele

pode cindir em polinomios de grau menor e assim sucessivamente, ate que pseja o produto de fatores lineares e portanto q 2 C 3

Pelo Teorema anterior, segue-se o

B Corolario 4: Todo polinomio de grau n sobre C possui n raızes, contadasjuntamente com suas multiplicidades C

Capıtulo 4Operadores Lineares e

Dualidade

4.1 Preliminares

Uma aplicacao linear � : W ! V e unicamente determinada pelas imagensdos vetores da base de W . Com efeito, dada uma base {ei} de W , para todovetor v =

Pi aiei temos

�(v) =X

i

ai�(ei)

Se vi 2 V sao vetores arbitrarios, entao � : W ! V definido como �(v) =Pi aivi e linear, e �(ei) = vi. Considerando � : Kn ! Km um mapa linear,

aplicando � a e1

, e2

, . . . , en 2 Kn, temos que

�(ej) = (a1j , a2j , . . . , amj)

| 2 Km, j = 1, 2, . . . , n.

A matriz do operador � na base {ei} e a matriz (aij) determinada por �(ei) =Pj aijej .

53

54 4. OPERADORES LINEARES E DUALIDADE

B Exemplo 18: A rotacao de um vetor por um angulo ✓ e um operadorlinear em R2. Em uma base ortonormal sua matriz e dada por

⇧(✓) =

✓cos ✓ � sin ✓sin ✓ cos ✓

◆

Em particular, uma rotacao de ⇡/2 nessa base corresponde a matriz

✓0 �11 0

◆.

Encontremos a matriz de tal operador na base

e01

= 2e2

e02

= e1

� e2

A matriz mudanca de base B e dada por

B =

✓0 12 �1

◆) B�1 =

✓1/2 1/21 0

◆

Portanto

⇧(✓)0 = B�1⇧(✓)B =

✓1/2 1/11 0

◆✓0 �11 0

◆✓0 12 �1

◆=

✓�1 1�2 1

◆

CI Definicao 6: Um subespaco vetorial U ⇢ V e invariante com respeito aum operador linear � 2 End(V ) se �(U) ⇢ U JA restricao �|U de � ao subespaco invariante U e uma aplicacao linear em U .Se escolhemos uma base {e

1

, . . . , en} de V , tal que U = he1

, . . . , eki — o quee sempre possıvel — entao a matriz de � tem a forma

✓A B0 C

◆(4.1)

onde A e a matriz do operador �|U na base {e1

, . . . , ek}, C e uma matriz deordem (n� k) e B e uma matriz k ⇥ (n� k).

No caso em que V = U �W , onde U e W sao dois subespacos invariantes,se {e

1

, . . . , ek} e base de U e {ek+1

, . . . , en} e base de W , entao {e1

, . . . , en}e base de V , e nessa base podemos escrever a representacao matricial de �como ✓

A 00 C

◆

onde A e a matriz do operador �|U na base {e1

, . . . , ek} e C e a matriz dooperador �|W na base {ek+1

, . . . , en}. Mais geralmente, se pudermos cindir

4.2. TRANSFORMACOES GRADIENTE E CONTRAGRADIENTE 55

V como a soma direta de k subespacos invariantes V = V1

� V2

� · · · � Vk,entao na base de V , formada por bases dos subespacos Vi, a matriz de � eda forma 0

BBB@

A1

0 · · · 00 A

2

· · · 0...

.... . .

...0 0 · · · An

1

CCCA

onde Ai e a matriz do operador �|Vi .

B Exemplo 19: Similarmente, a rotacao em torno de um eixo por umangulo ✓ e um operador linear em R3. Numa base ortonormal {e

1

, e2

, e3

} talque e

3

seja colinear com o eixo de rotacao, o operador tem a seguinte forma:✓⇧(✓) 00 1

◆

Isso concorda com a maneira pela qual R3 e cindido na soma direta R3 =he

1

, e2

i � he3

i CB Exercıcio 90: Seja � : K3 ! K3 dada por �(x, y, z) = (x + z,�2x +y,�x+2y+4z). A matriz de � em relacao a base canonica de K3 e dada por

0

@1 0 1�2 1 0�1 2 4

1

A

Seja uma outra base {f1

, f2

, f3

} de K3 dada por f1

= (1, 0, 1), f2

= (�1, 2, 1)e f

3

= (2, 1, 1). Determine a matriz de � na base {fi}C

4.2 Transformacoes Gradiente e Contragradiente

A diferenca entre vetores e covetores pode ser bem explorada quando con-sideramos por exemplo, o efeito de uma mudanca de base. Vamos consi-

derar uma mudanca BB�! B0 descrita por e0j =

Pni=1

Bijei. Um vetor v

tem coordenadas {vi} na base B e coordenadas {v0i} na base B0, de modoque v =

Pi v

iei =P

i v0ie0i. A relacao entre essas coordenadas e portanto

vj =P

i Bjiv

0i.Sejam agora B⇤ = {ei} e B0⇤ = {e0i} as bases respectivamente duais as

bases B = {ei} e B0 = {e0i}, respectivamente. Temos portanto ei(ej) =e0i(e0j) = �ij . Como vimos acima, as coordenadas de um funcional ↵ 2 V ⇤

nas bases B⇤ e B0⇤ sao dadas pelo valor desse funcional nas bases B e B0,respectivamente. Logo ↵ = ↵ie

i = ↵0ie

0i onde ↵i = ↵(ei) e ↵0i = ↵(e0i). Se


e0j =P

i Bijei entao ↵0

j =P

i Bij↵i e daı ej =

Pi B

jie

0i. Em resumo, numamudanca de base as coordenadas de um covetor transformam-se da mesmamaneira que os vetores da base, ou seja, enquanto que as coordenadas de umvetor transformam-se da mesma maneira que os covetores da base dual.As vezes se denomina a transformacao dos vetores da base de gradiente

e a transformacao das coordenadas de contragradiente. Segundo essa deno-minacao entao os vetores da base dual se transformam de maneira contra-gradiente enquanto as coordenadas dos covetores se transformam de maneiragradiente.

B Exemplo 20: Sejam B = {ei} a base canonica de R3, ou seja, e1

=(1, 0, 0), e

2

= (0, 1, 0) e e3

= (0, 0, 1), e B0 = {e0i} uma outra base tal quee01

= (�1,�1, 1), e02

= (�1, 0, 1) e e03

= (2, 1,�1). Dado um vetor v = viei =v0ie0i, a relacao entre suas coordenadas {vi} e {v0i} com relacao a estas basespode ser expressa na forma

0

@v1

v2

v3

1

A =

0

@�1 �1 2�1 0 11 1 �1

1

A

0

@v01

v02

v03

1

A ,

0

@v01

v02

v03

1

A =

0

@1 �1 10 1 11 0 1

1

A

0

@v1

v2

v3

1

A ,

enquanto a relacao entre os vetores das bases e

e01

= �e1

� e2

+ e3

, e1

= e01

+ e03

,

e02

= �e1

+ e3

, e2

= �e01

+ e02

,

e03

= 2e1

+ e2

� e3

, e3

= e01

+ e02

+ e03

.

Seja B⇤ = {ei} e a base dual de B. Escrevendo os vetores {ei} como

e1

= (1, 0, 0)| , e2

= (0, 1, 0)| , e3

= (0, 0, 1)| ,

entao a base dual e escrita como

e1 =�1 0 0

�, e2 =

�0 1 0

�, e3 =

�0 0 1

�.

Seja agora B0⇤ = {e0i} a base dual de B0. Devemos ter portanto e0i(e0j) = �ij ,ou seja, e01(e0

1

) = 1, e01(e02

) = e01(e03

) = 0, etc. Para acharmos a relacaoentre os vetores das bases duais podemos, por exemplo, agir com e0i sobre osvetores ej expressos em termos de B0. Por exemplo:

e01(e1

) = e01(e01

+ e03

) = e01(e01

) + e01(e03

) = 1,

e01(e2

) = e01(�e01

+ e02

) = �e01(e01

) + e01(e02

) = �1,

e01(e3

) = e01(e01

+ e02

+ e03

) = e01(e01

) + e01(e02

) + e01(e03

) = 1,

4.2. TRANSFORMACOES GRADIENTE E CONTRAGRADIENTE 57

de onde concluımos que e01 = e1� e2+ e3. O procedimento analogo pode serusado para expressar ei em termos da base B0⇤. Os resultados que encontra-mos sao

e01 = e1 � e2 + e3, e1 = �e01 � e02 + 2e03,

e02 = e2 + e3, e2 = �e01 + e03,

e03 = e1 + e3, e3 = e01 + e02 � e03.

Seja agora o funcional linear ↵ tal que

↵(v) = ↵1

v1 + ↵2

v2 + ↵3

v3,

onde {↵i} sao as componentes de ↵ na base B⇤. Se escrevemos as componen-tes de v em termos de uma matriz-linha, entao as componente do funcionallinear ↵ podem ser escritas em termos da matriz-coluna [↵]B⇤ =

�↵1

,↵2

,↵3

�.

Com isso

↵(v) =�↵1

,↵2

,↵3

�0

@v1

v2

v3

1

A = ↵1

v1 + ↵2

v2 + ↵3

v3.

Se ↵0i sao as componentes de ↵ na base B0⇤, ou seja, ↵ = ↵ie

i = ↵0ie

0i,encontramos a seguinte relacao entre as componentes:

�↵1

,↵2

,↵3

�=

�↵01

,↵02

,↵03

�0

@1 �1 10 1 11 0 1

1

A ,

�↵01

,↵02

,↵03

�=

�↵1

,↵2

,↵3

�0

@�1 �1 2�1 0 11 1 �1

1

A

Com isso vemos que, ao multiplicar uma matriz pela direita por um vetor-coluna, estamos relacionando as coordenadas de um vetor em uma base Aem termos das coordenadas em uma base B, enquanto ao multiplicar essamesma matriz pela esquerda por um vetor-linha, estamos relacionando ascoordenadas de um covetor na base B em termos das coordenadas na baseA. CB Exemplo 21: Seja F o espaco das funcoes contınuas f : R ! R. Aintegral L(f) =

R x1

x0f(x)dx define um funcional linear L sobre F . Vamos

agora considerar o subconjunto P2

de F formado pelas funcoes polinomiaisP de grau menor ou igual a 2, ou seja, P (x) = a+ bx+ cx2. Uma base paraeste espaco e portanto B = {1, x, x2}, e denotaremos

e1

= 1, e2

= x, e3

= x2.


Vamos definir os seguintes funcionais lineares sobre P2

:

Li(P ) =

Z i

0

p(x)dx, i = 1, 2, 3 .

Temos explicitamente

L1(P ) = a+1

2b+

1

3c, L2(P ) = 2a+ 2b+

8

3c, L3(P ) = 3a+

9

2b+ 9c.

Se {ei} e a base dual de {ei} entao da equacao acima podemos concluir que

L1 = e1 +1

2e2 +

1

3e3, L2 = 2e1 + 2e2 +

8

3e3, L3 = 3e1 +

9

2e2 + 9e3.

Seja {Li} a base da qual {Li} e a base dual, ou seja, Li(Lj) = �ij , ComoLi = ejLi(ej) e ej = Li(ej)Lj , e da expressao acima temos diretamente{Li(ej)}, segue de imediato a expressao de {ei} em termos de {Li},

e1

= L1

+ 2L2

+ 3L3

, e2

=1

2L1

+ 2L2

+9

2L3

, e3

=1

3L1

+8

3L2

+ 9L3

.

A relacao inversa pode ser obtida com as manipulacoes usuais e o resultadoe

L1

= 3� 5x+3

2x2, L

2

= �3

2+ 4x� 3

2x2, L

3

=1

3� x+

1

2x2.

Esta e portanto a base de P2

da qual a base {Li} e a base dual. Uma vezque Li = ej(Li)ej e ej = ej(Li)Li, segue da expressao acima a relacao para{ei} em termos de {Li}, ou seja,

e1 = 3L1 � 3

2L2 +

1

3L3, e2 = �5L1 + 4L2 � L3, e3 =

3

2L1 � 3

2L2 +

1

2L3.

Finalmente, um funcional arbitrario L,

L(P ) =

Z x1

x0

p(x)dx,

pode ser escrito, por exemplo, na forma

L = �1

e1 + �2

e2 + �3

e3 = l1

L1 + l2

L2 + l3

L3

onde

�1

= (x1

� x0

), �2

=x2

1

� x2

0

2, �

3

=x3

1

� x3

0

3,

enquanto as coordenadas {li} sao dadas por

�l1

l2

l3

�=

��1

�2

�3

�0

@3 �3/2 1/3�5 4 �13/2 �3/2 1/2

1

A

C

4.3. FUNCIONAIS BILINEARES 59

4.3 Funcionais Bilineares

Os axiomas de espaco vetorial nao incorporam a geometria dos vetores noespaco euclidiano pois nao ha como se definir comprimento e angulo entrevetores sem introduzir o conceito de metrica no seu espaco. Consideramosnesta Secao funcoes que generalizam o produto interno.

I Definicao 7: Um funcional bilinear (ou forma bilinear) em um K-espacovetorial V e uma funcao B : V ⇥ V ! K que e linear em cada argumento JPor bilinearidade entendemos a linearidade em cada um dos argumentos daaplicacao, ou seja, dados a, b 2 K e u, v, w 2 V , entao B(av + bu, w) =aB(v, w) + bB(u,w) e B(v, au+ bw) = aB(v, u) + bB(v, w).

I Obs.17: Adotaremos de agora em diante a notacao B para uma forma aprincıpio arbitraria, g para uma forma bilinear simetrica e � para uma formabilinear alternada JB Exemplo 22: O produto interno em R3 e uma funcao bilinear em R3.

A funcao g(f1

, f2

) =R b

af1

(x)f2

(x)dx e uma funcao bilinear em C[a, b]. Ja afuncao g(X,Y ) = Tr(XY ) e uma funcao bilinear no espaco M(n,K) CO nucleo de uma funcao bilinear B e o subespaco ker g = {v 2 V |B(u, v) =

0, 8u 2 V }. Dizemos que B e nao-degenerada se ker B = {0}. Pode-semostrar que o funcional bilinear g e nao-degenerado se e somente se paracada vetor v 6= 0 existir um vetor u 6= 0 tal que B(v, u) 6= 0.O espaco vetorial equipado com um funcional bilinear g : V ⇥ V ! K e

dito um espaco com produto escalar. A quantidade simetrica g(v, u) e muitasvezes chamada produto escalar entre os vetores v e u se alem das propriedadesacima citadas, g satisfizer g(v, v) � 0. Se g(v, u) = 0 dizemos que os vetoresv e u sao ortogonais em relacao a g. Num caso arbitrario um vetor nao-nulov pode ser ortogonal a si proprio, ou seja, g(v, v) = 0. Tais vetores sao ditosisotropicos.Um funcional bilinear g e dito simetrico se g(v, u) = g(u, v). Um espaco

vetorial equipado com um funcional bilinear simetrico e dito um espacoquadratico. Um funcional bilinear simetrico e completamente determinadopela forma quadratica Q(v) = g(v, v) atraves do processo de polarizacao. Defato, usando a propriedade de bilinearidade para calcularmos Q(v + u) =g(v + u, v + u), podemos escrever

g(v, u) =1

2(Q(v + u)�Q(v)�Q(u)).

Formalmente, dizemos que um espaco quadratico e um par (V,Q) onde Ve um K-espaco vetorial de dimensao finita e Q : V ! K e a aplicacao que

cap´ıtulo algebra (an´eis) de´...

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