Medidas de tendência

central

Com base na idade das pessoas de um grupo, podemos estabelecer uma única idade que caracteriza o grupo todo.

Considerando a temperatura de vários momentos em um mês qualquer, podemos determinar uma só temperatura que fornece uma idéia aproximada de todo o período.

Avaliando as notas dos vários trabalhos de um aluno no bimestre, podemos registrar com apenas uma nota seu aproveitamento no bimestre.

Em situações como essas, o número obtido é a tendência central dos vários números usados. A média aritmética é a mais conhecida entre as medidas de tendência central. Além dela, vamos estudar também a moda e a mediana

• Média AritméticaConsiderando um grupo de pessoas com 22, 20, 21, 24 e 20 anos,

observamos que:

Dizemos, então, que a média aritmética ou simplesmente a média de idade do grupo é 21,4 anos.

Se, ao medir de hora em hora a temperatura em determinado local, registraram-se 14 às 6h, 15 às 7h, 15 às 8h, 18 às 9h, 20 às 10h e 23 às 11h, observamos que:

Dizemos, então que no período das 6h ás 11h a temperatura média foi 17,5.

No caso do aluno que realizou diversos trabalhos durante o bimestre e obteve as notas 7,5 ,8,5 ,10,0 e 7,0 , observamos que:

Dizemos, então, que nesse bimestre o aluno teve média 8,25.

Assim generalizando, podemos afirmar que, dados os n valores x1, x2, x3, ..., xn de uma variável, a média aritmética é o numero obtido da seguinte forma:

Quando calculamos a média aritmética de números que se repetem, podemos simplificar. Dessa maneira, para obter a média aritmética de 7,7, 7, 9, 9, 9, 9, 9, 11 e 11 observamos que:

8,8

8,8

Dizemos, então que 8,8 é a média aritmética dos números 7, 9 e 11 com freqüência 3, 5 e 2 respectivamente. Vejamos, agora, o caso de um aluno que realiza vários trabalhos com pesos diferentes, isto é, com graus de importâncias diferentes. Se no decorrer do bimestre ele obteve 6,5 na prova (peso 2), 7,0 na pesquisa (peso 3), 6,0 no debate (peso 1) e 7,0 no trabalho de pesquisa (peso 2), a sua media que neste caso é chamada média

aritmética ponderada, será:

A média aritmética é usada como medida de tendência central, ou seja, como forma de, por meio de um único numero, dar uma idéia das características de determinado grupo de números

No entanto, é importante ressaltar que em algumas situações a presença de um valor bem maior ou bem menor que os demais faz com que a media aritmética não consiga traçar o perfil correto do grupo.

Consideremos por exemplo, um grupo de pessoas com idades de 2, 3, 2, 1, 2, 50 anos. A média, que é de 10 anos, não demonstra as características desse grupo em termos de idade. Em casos como esse são usados outras medidas de tendência central, como moda e a mediana.

• ModaEm estatística, moda é a medida de tendência central

definida como o valor mais freqüente de um grupo de valores observados.

Em estatística, moda é a medida de tendência central definida como o valor mais freqüente de um grupo de valores observados.

No exemplo do grupo de idades de 2, 3, 2, 1, 2, 50 anos, a moda é 2 (Mo = 2) e demonstra mais eficiência para caracterizar o grupo do que a media aritmética.

No caso de um aluno que anotou, durante dez dias, o tempo gasto em minutos para ir de sua casa à escola e cujos registros foram 15mim, 14mim, 18mim, 15mim, 14mim, 25mim, 16mim, 15mim, 15mim e 16 mim, a moda é 15mim, ou seja, Mo = 15mim.

Se as notas obtidas por um aluno foram 6,0; 7,5; 7,5; 5,0; 6,0, dizemos que a moda é 6,0 e 7,5 e que a distribuição é bimodal.

• Observação: Quando não há repetição de números, como, por

exemplo, para os números 7, 9, 4, 5 e 8, não há moda.

• Mediana

A mediana é outra medida de tendência central.Assim, dados n números em ordem crescente ou decrescente, a mediana será:O numero que ocupar a posição central se n for ímpar.A media aritmética dos dois números que estiverem no centro se n for par.Numa classe foram anotados as faltas durante um período de 15 dias: 3, 5, 2, 0,

2, 1, 3, 4, 5, 7, 0, 2, 3, 4 e 7. Em ordem crescent, temos:

0, 0, 1, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 5, 5, 7, 7

Como 15 é ímpar, o termo médio é o 8º.Logo, a mediana é 3. Simbolicamente, Me = 3.As idades dos alunos de uma equipe são 12, 16, 14, 12, 13, 16, 16 e 17 anos.Para determinar a mediana desses valores, colocamos inicialmente na ordem

crescente ( ou decrescente): 12, 12, 13, 14, 16, 16, 16, 17.

Como temos um numero par de valores (8), fazemos a media aritmética entre os dois centrais, que são o 4º e o 5º termo

Simbolicamente, Me = 15 anos.

• Média aritmética, moda e mediana com base nas tabelas de freqüênciasUtilizando os valores ( números ou intervalos) e as

freqüência absolutas das tabelas de freqüência das variáveis quantitativas, podemos calcular a MA, a Mo e Me de seus valores.

Exemplo: Pesquisa sobre “ numero de irmãos” de cada aluno de uma classe.

Número de

Irmãos

FA

0 8

1 15

2 12

3 5

Total 40

Média aritmética:

Observação: Embora, 1, 35 irmão aparentemente seja um absurdo, é

correto um valor desse tipo, assim como, 3,5 gols por partida, 7,2 medalhas por Olimpíada, etc., pois a média aritmética é uma medida de tendência.Moda:A maior freqüência é de 15, que corresponde ao valor 1 irmão. Logo, Mo = 1 irmão.Mediana:Como o total de freqüências é 40 (numero par), os valores centrais são o 20º e o 21º.

Se colocados na ordem crescente, virão os 8 valores corresponde a 0 irmão, seguidos dos 15 valores de 1 irmão, e assim por adiante. Então,

o 20º e o 21º valor serão, ambos, 1 irmão. Logo: