estatÍstica medidas de tendÊncia central medidas de dispersÃo

•MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL

•MEDIDAS DE DISPERSÃO

Estatística

• ELEMENTOS TÍPICOS DE UMA DISTRIBUIÇÃO:

Medidas de posição

Medidas de variabilidade ou dispersão

Medidas de Tendência Central

• É um valor calculado para um grupo de dados• usado para descrever esses dados. • Tipicamente, desejamos que o valor seja

representativo de todos os valores do grupo• os dados observados tendem, em geral, a se

agrupar em torno dos valores centrais.

Medidas de Tendência Central

• São Medidas de Tendência Central:

1. média;

2. mediana;

3. moda

1 - MÉDIA ARITMÉTICA

• definida como a soma dos valores dividida pelo número de elementos.

• Sua aplicação é seguramente a mais usada• podem ser:

– Média para dados simples– Média para dados agrupados– Média para dados agrupados em classes.

1.1. MÉDIA ARITMÉTICA PARA DADOS SIMPLES (X)

Exemplo: Dado um a idade de 5 crianças

Xi (idade) : 4; 6; 8; 10; 12

média - x = 4 + 6 + 8 + 10 +12

5

X = ∑xi n

sendo “ n “ o número de elementos Assim: X = 40 = 8 5 Portanto a idade média dessas 5 crianças é 8 anos.

1.2. MÉDIA ARITMÉTICA PARA DADOS AGRUPADOS (MÉDIA ARITMÉTICA PONDERADA)

• Exemplo: Idade de 20 alunos:

Xi: 1, 1, 1, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3

5, 5, 5, 5, 5, 5, 6, 6, 6, 9

X = 1+1+1 + 2+2+2 + 3+3+3+3 + 5+5+5+5+5+5 + 6+6+6 + 9 20

X = 1 . 3 + 2 . 3 + 3 . 4 + 5 . 6 + 6 . 3 + 9 .1 = 3+6+12+30+18+9 3 + 3 + 4 + 6 + 3 + 1 20


• Quando o conjunto de dados para os quais precisamos calcular a média é mais extenso, temos a necessidade de agrupar os dados. Assim, a média desse grupo é calculado da seguinte forma:

X = (Xi . fi ) fi


Xi fi Xi . fi

1 3 3 X = Xi . fi

2 3 6 fi

3 4 12 X = 78 = 3,9 5 6 30 20 6 3 18 9 1 9 - 20 78Fonte: dados fictícios

1.3. MÉDIA ARITMÉTICA PARA DADOS AGRUPADOS EM CLASSES

IDADE DE ALUNOS Xi PM fi PM.fi

0 2.......... 1 3 1.3 = 6 2 4.......... 3 7 3.7 = 21 4 6.......... 5 6 5.6 = 30 6 8.......... 7 3 7.3 = 21 8 10.......... 9 1 9.1 = 9

total ......... 20 87 Fonte: Dados fictícios

X = (PM. Fi ) X = 87 X = 4,35

fi 20

2 – MEDIANA ( X )

• É o valor que se localiza no centro da distribuição

• é obtida a partir de seus valores centrais• Pode ser:

2.1 MEDIANA PARA DADOS SIMPLES2.2 MEDIANA PARA DADOS AGRUPADOS2.3 MEDIANA PARA DADOS AGRUPADOS EM

CLASSES INTERVALARES

2.1 MÉDIANA PARA DADOS SIMPLES (X)

Há duas situações:

1) Quando o número de elementos pesquisados é ímpar

Xi (idade) : 4; 6; 8; 10; 12 Posição: 1ª 2ª 3ª 4ª 5ª

“ n “ o número de elementos ímparUma posição central - PP = n +1 P = 5 + 1 = 3ª posição => Xi = 8, portanto X = 8 2 2

~

posição central

Xi

~

2.1 MÉDIANA PARA DADOS SIMPLES (X)

2) Quando o número de elementos pesquisados é par

Xi (idade) : 4; 6; 8; 10; 10; 12 Posição: 1ª 2ª 3ª 4ª 5ª 6ª

~

X1 X2

~

P1 P2 (2 Posições centrais)

~“ n = 6 número PAR de elementosDuas posições centrais - P1 e P2

P1 = n P1 = 6 = 3ª posição => X1 = 8, X = X1 + X2 = 8 + 10 2 2 2 2P2 = é a próxima P2 = 4ª posição => X2= 10, X = 9

2.2 MEDIANA PARA DADOS AGRUPADOS

1)Quando o nº de elementos é IMPAR Xi fi fac nº de elementos =

1 2 2 fi = 19 (ímpar) 2 3 5 3 4 9 uma posição

central 5 6 15 P = fi +1 =

19+1 6 3 18 2 2 9 1 19 P = 10ª posição - 19

2.2 MEDIANA PARA DADOS AGRUPADOS

Xi fi fac 1 2 2 2 3 5

3 4 9 5 6 15 6 3 18

9 1 19 Σ 19

Xi 1 1 2 2 2 3 3

posição 1ª 2ª 3ª 4ª 5ª 6ª 7ª

Xi 3 3 5 5 5 5 5 posição 8ª 9ª 10ª 11ª 12ª 13ª 14ª

Xi 5 6 6 6 9 posição 15ª 16ª 17ª 18ª 19ª

2.2. MÉDIANA PARA DADOS AGRUPADOS

~

1) Quando o nº de elementos é IMPAR Xi fi fac P = 10ª posição 1 2 2 2 3 5 3 4 9Xi = 5 6 15 6 3 18 X = 5 9 1 19 - 19

2.2 MÉDIANA PARA DADOS AGRUPADOS

2)Quando o nº de elementos é PAR

Xi fi fac nº de elementos = fi = 20(par) 1 2 2

2 3 5 3 4 9 duas posição centrais 5 6 15 P1 = fi = 20 = 10ª posição 6 3 18 2 2 9 2 20 P2 = é a próxima= 11ª posição - 20

2.2 MÉDIANA PARA DADOS AGRUPADOS

~

2)Quando o nº de elementos é PAR

Xi fi fac P1 = 10ª posição

1 2 2 P2 = 11ª posição

2 3 5 3 4 9X1= X2= 5 6 15 6 3 18 X = (X1+ X2) = 5 + 5 9 2 20 2 2 - 20 X = 5

2.3. MEDIANA PARA DADOS AGRUPADOS EM CLASSES

Xi PM fi fac

0 2.......... 1 3 3 2 4.......... 3 10 13 4 6.......... 5 6 19 6 8.......... 7 3 22 8 10.......... 9 1 23

total ......... 23 1º passo: ACHAR A POSIÇÃO CENTRAL “P” P = Fi P = 23 P = 11,5º posição 2 22º passo: IR NA COLUNA “freqüência acumulada = fac” E LOCALIZE A

CLASSE MEDIANA”

2.3. MEDIANA PARA DADOS AGRUPADOS EM CLASSES

Xi PM fi fac

0 2.......... 1 3 3 faa 2 4.......... 3 10 13 4 6.......... 5 6 19 6 8.......... 7 3 22 8 10.......... 9 1 23

total ......... 23 1º passo: ACHAR A POSIÇÃO CENTRAL “P” P = Fi P = 23 P = 11,5º posição 2 22º passo: IR NA COLUNA “freqüência acumulada = fac” E LOCALIZE A

CLASSE MEDIANA”

li

ls

2.3 MEDIANA PARA DADOS AGRUPADOS EM CLASSES

Xi PM fi fac

0 2.......... 1 3 3 faa 2 4.......... 3 10 13 4 6.......... 5 6 19 6 8.......... 7 3 22 8 10.......... 9 1 23

total ......... 23 Posição central -> P = 11,5º posiçãoLimite inferior da classe -> li = 2

Limite superior da classe -> ls = 4

Amplitude da classe -> h = ls - li = 4 – 2 = 2

Freqüência da classe -> fi = 10

Freqüência acumulada anterior -> faa = 3

li

ls

P - faa . h fi+li=X

~

11,5 - 3 . 2 10+=

~X 2

2.3 MEDIANA PARA DADOS AGRUPADOS EM CLASSES

Xi PM fi fac

0 2.......... 1 3 3 faa 2 4.......... 3 10 13 4 6.......... 5 6 19 6 8.......... 7 3 22 8 10.......... 9 1 23

total ......... 23

li

ls

8,5 . 2 10+2=X

~

X = 2 + 0,85 . 2~

X = 2 + 1,70~

X = 3,70~

2 – MODA ( X )

• É o ponto de maior concentração de ocorrências de uma variável

• Coincide com o conceito vulgar da palavra, isto é, o que ocorre com maior freqüência

^

2.1 – MODA PARA DADOS SIMPLES ( X )

• Exemplo: Idade de 20 alunos:

Xi: 1, 1, 1, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3

5, 5, 5, 5, 5, 5, 6, 6, 6, 9

O valor que apareceu maior número de vezes é o 5

portanto => X = 5

^

^

2.2 – MODA PARA DADOS AGRUPADOS ( X )^

^

Maior valor de fiXi =

Xi = 5

Xi fi 1 2 2 3 3 4 5 6 6 3 9 1 - 19

2.3. MODA PARA DADOS AGRUPADOS EM CLASSES – MODA DE CZUBER - Xcz

fmax

Xi PM fi

0 2.......... 1 3 2 4.......... 3 10 4 6.......... 5 6 6 8.......... 7 3 8 10.......... 9 1

total ......... 23

1º passo: Achar a classe onde se encontra a maior freqüência - fmax

^

2.3. MODA DE Czuber - XCZ

Xi PM fi

0 2.......... 1 3 2 4.......... 3 10 4 6.......... 5 6 6 8.......... 7 3 8 10.......... 9 1

total ......... 23 Limite inferior => li = 2 freqüência máxima => fmax = 10

Limite superior => ls = 4 freqüência anterior => fant = 3

freqüência posterior => fpost = 6

Amplitude da classe=> h = ls – li = 4 – 2 = 2

1 = fmax – fant = 10 – 3 = 7

2 = fmax – fpost = 10 – 6 = 4

li

ls

^

fant

fpos

fmax

2.3. MODA DE Czuber - XCZ^

Limite inferior => li = 2 freqüência máxima => fmax = 10




1 = fmax – fant = 10 – 3 = 7

2 = fmax – fpost = 10 – 6 = 4Cálculo da moda de Czuber

Xcz = li + ___ 1 ___ . h

1 + 2

Xcz = 2 + __7__ . 2 = 2 + _7_ . 2 = 2 + 14 = 2 + 1,3 = 3,3 7 + 4 11 11

^

^

2.3. MODA DE KING - Xki

Xi PM fi

0 2.......... 1 3 2 4.......... 3 10 4 6.......... 5 6 6 8.......... 7 3 8 10.......... 9 1

total ......... 23 Limite inferior => li = 2 freqüência máxima => fmax = 10




li

ls

^

fant

fpos

fmax

2.3. MODA DE KING - Xki^

^

^

2.3. MODA DE Pearson - Xpe^

^ ~

~

_

^

^

Outras separatrizes

• A Mediana divide a distribuição em duas partes.

• É o atributo que está no meio da distribuição:– 50% dos valores acima da mediana– 50% dos valores abaixo da mediana

Outras separatrizes

QUARTIS ou QUARTILHOS• o Quartil divide a distribuição em 4 partes

de igual freqüência.• Seu cálculo é importante para as medidas de

dispersão e variabilidade• São três:

Outras separatrizes

Quartil• São três:• Q1 = quartil inferior ou primeiro quartil.

Tem 25% da distribuição abaixo de si• Q2 = é a mediana ou quartil mediano• Q3 = quartil superior ou terceiro quartil.

Tem 75% da distribuição abaixo de si

Quartil

• 1º quartil - Q1 = assume a posição P1q = Σfi 4• 2º quartil – Q2 = assume a posição P2q = 2. Σfi

4 • 3º quartil - Q3 = assume a posição P3q = 3.Σfi

4

1º QUARTIL – Q1

Xi PM fi fac

0 2.......... 1 3 3 2 4.......... 3 10 13 4 6.......... 5 6 19 6 8.......... 7 3 22 8 10.......... 9 1 23

total ......... 23 1º passo: ACHAR A POSIÇÃO DO PRIMEIRO QUARTIL “ P1q ” P1q = Fi P1q = 23 P 1q = 5,75º posição 4 42º passo: IR NA COLUNA “freqüência acumulada = fac” E LOCALIZE A

CLASSE QUE PERTENCE O PRIMEIRO QUARTIL – Q1”

1º QUARTIL – Q1

Xi PM fi fac

0 2.......... 1 3 3 faa 2 4.......... 3 10 13 4 6.......... 5 6 19 6 8.......... 7 3 22 8 10.......... 9 1 23

total ......... 23 Posição 1º quartil -> P 1q= 5,75º posiçãoLimite inferior da classe -> li = 2





li

ls

P1q - faa . h fi+li=Q1

5,75 - 3 . 2 10+=Q1 2

1º QUARTIL – Q1

Xi PM fi fac

0 2.......... 1 3 3 faa 2 4.......... 3 10 13 4 6.......... 5 6 19 6 8.......... 7 3 22 8 10.......... 9 1 23

total ......... 23

li

ls

2,75 . 2 10+2=Q1

Q1 = 2 + 0,55

Q1 = 2,55

3º QUARTIL – Q3

Xi PM fi fac

0 2.......... 1 3 3 2 4.......... 3 10 13 4 6.......... 5 6 19 6 8.......... 7 3 22 8 10.......... 9 1 23

total ......... 23 1º passo: ACHAR A POSIÇÃO DO TERCEIRO QUARTIL “ P3q ” P3q = 3. Fi P3q = 3. 23 P 3q = 17,25º posição 4 42º passo: IR NA COLUNA “freqüência acumulada = fac” E LOCALIZE A

CLASSE QUE PERTENCE O TERCEIRO QUARTIL – Q3”

3º QUARTIL – Q3

Xi PM fi fac

0 2.......... 1 3 3 2 4.......... 3 10 13 faa 4 6.......... 5 6 19 6 8.......... 7 3 22 8 10.......... 9 1 23

total ......... 23 Posição central -> P 3q= 17,25º posiçãoLimite inferior da classe -> li = 4





li

ls

P3q - faa . h fi+li=Q3

17,25 - 13 .2 6+=Q3 4

3º QUARTIL – Q3

Xi PM fi fac

0 2.......... 1 3 3 faa 2 4.......... 3 10 13 4 6.......... 5 6 19 6 8.......... 7 3 22 8 10.......... 9 1 23

total ......... 23

li

ls

4,25 . 2 13+4=Q3

Q3 = 4 + 0,65

Q3 = 4,65

Outras separatrizes

Decil• Dividem a distribuição em 10 partes de

igual freqüência.• São nove• o quinto decil é a mediana.

Decil

• 1º decil - D1 = assume a posição P1d= Σfi 10• 2º decil – D2 = assume a posição P2d = 2. Σfi

10

• 9º decil - D9 = assume a posição P9d = 9.Σfi 10

1º DECIL – D1

Xi PM fi fac

0 2.......... 1 3 3 2 4.......... 3 10 13 4 6.......... 5 6 19 6 8.......... 7 3 22 8 10.......... 9 1 23

total ......... 23 1º passo: ACHAR A POSIÇÃO DO PRIMEIRO DECIL “ P1d ” P1d = Fi P1d = 23 P 1d = 2,3º posição 10 102º passo: IR NA COLUNA “freqüência acumulada = fac” E LOCALIZE A

CLASSE QUE PERTENCE O PRIMEIRO DECIL – D1”

1º DECIL – D1

Xi PM fi fac

0 2.......... 1 3 3 faa 2 4.......... 3 10 13 4 6.......... 5 6 19 6 8.......... 7 3 22 8 10.......... 9 1 23

total ......... 23 Posição 1º DECIL -> P 1d= 2,3º posiçãoLimite inferior da classe -> li = 0





li

ls

P1d - faa . h fi+li=D1

2,3 – 0 . 2 3+=D1 0

1º DECIL – D1

Xi PM fi fac

0 2.......... 1 3 3 2 4.......... 3 10 13 4 6.......... 5 6 19 6 8.......... 7 3 22 8 10.......... 9 1 23

total ......... 23

2,3 . 2 3+0=D1

D1 = 1,53

9º DECIL – D9

Xi PM fi fac

0 2.......... 1 3 3 2 4.......... 3 10 13 4 6.......... 5 6 19 6 8.......... 7 3 22 8 10.......... 9 1 23

total ......... 23 1º passo: ACHAR A POSIÇÃO DO NONO DECIL “ P9d ” P9d = 9. Fi P9d = 9. 23 P9d = 20,70º posição 10 102º passo: IR NA COLUNA “freqüência acumulada = fac” E LOCALIZE A

CLASSE QUE PERTENCE O NONO DECIL – D9”

9º DECIL – D9

li

ls

P9d - faa . h fi+li=D9

20,7 - 19 .2 3+=D9 6

Xi PM fi fac

0 2.......... 1 3 3 2 4.......... 3 10 13 faa 4 6.......... 5 6 19 6 8.......... 7 3 22 8 10.......... 9 1 23

total ......... 23

Posição central -> P 9d= 20,7º posiçãoLimite inferior da classe -> li = 6





9º DECIL – D9

Xi PM fi fac

0 2.......... 1 3 3 2 4.......... 3 10 13 4 6.......... 5 6 19 faa 6 8.......... 7 3 22 8 10.......... 9 1 23

total ......... 23

1,7 . 2 3+6=D9

D9 = 6 + 1,13

D9 = 7,13

Outras separatrizes

Centil ou Percentil• Dividem a distribuição em 100 partes de

igual freqüência.• São noventa e nove• o qüinquagésimo centil é a mediana.

Percentil - Ci

• 1º percentil - C1 = assume a posição P1c= Σfi 100• 2º percentil – C2 = assume a posição P2c = 2. Σfi

100

• 99ºpercentil - C99 = assume a posição P99c =99.Σfi 100

10º PERCENTIL – C10

Xi PM fi fac

0 2.......... 1 3 3 2 4.......... 3 10 13 4 6.......... 5 6 19 6 8.......... 7 3 22 8 10.......... 9 1 23

total ......... 23 1º passo: ACHAR A POSIÇÃO DO DÉCIMO PERCENTIL “ P10c ” P10c = 10 . Fi P10c = 10 .23 P 10c = 2,3º posição

100 1002º passo: IR NA COLUNA “freqüência acumulada = fac” E LOCALIZE A

CLASSE QUE PERTENCE O Décimo Percentil – C10”


Xi PM fi fac

0 2.......... 1 3 3 faa 2 4.......... 3 10 13 4 6.......... 5 6 19 6 8.......... 7 3 22 8 10.......... 9 1 23

total ......... 23 Posição 10º percentil -> P 10c= 2,3º posiçãoLimite inferior da classe -> li = 0





li

ls

P10c - faa . h fi+li=C10

2,3 – 0 . 2 3+=C10 0


Xi PM fi fac

0 2.......... 1 3 3 2 4.......... 3 10 13 4 6.......... 5 6 19 6 8.......... 7 3 22 8 10.......... 9 1 23

total ......... 23

2,3 . 2 3+0=C10

C10 = 1,53

90º percentil – C90

Xi PM fi fac

0 2.......... 1 3 3 2 4.......... 3 10 13 4 6.......... 5 6 19 6 8.......... 7 3 22 8 10.......... 9 1 23

total ......... 23 1º passo: ACHAR A POSIÇÃO DO NONAGÉSIMO PERCENTIL “ P90c ” P90c = 90. Fi P90c = 9. 23 P90c = 20,70º posição 100 1002º passo: IR NA COLUNA “freqüência acumulada = fac” E LOCALIZE A

CLASSE QUE PERTENCE O nonagésimo percentil – C90”


li

ls

P90c - faa . h fi

+li=C90

20,7 - 19 .2 3+=C90 6

Xi PM fi fac

0 2.......... 1 3 3 2 4.......... 3 10 13 faa 4 6.......... 5 6 19 6 8.......... 7 3 22 8 10.......... 9 1 23

total ......... 23

Posição central -> P 90c= 20,7º posiçãoLimite inferior da classe -> li = 6






Xi PM fi fac

0 2.......... 1 3 3 2 4.......... 3 10 13 4 6.......... 5 6 19 6 8.......... 7 3 22 8 10.......... 9 1 23

total ......... 23

1,7 . 2 3+6=C90

C90 = 6 + 1,13

C90 = 7,13

Relações Quartil Decil Percentil Mediana

D1 = C10

Q1 = = C25

Q2 = D5 = C50 = X

Q3 = = C75

D9 = C90

~

Outras médiasMÉDIA DE INTERVALOÉ a média entre a menor e a maior observação em um

conjunto de dados.

MÉDIA DAS JUNTAS ou MidhingeÉ a média entre o primeiro e o terceiro quartil.

XXMENOR MENOR + X+ XMAIORMAIOR

22Média de Intevalo =Média de Intevalo =

Outras médiasOutras médias

XXMENOR MENOR + X+ XMAIORMAIOR

22Média de Intevalo =Média de Intevalo =

QQ1 1 + Q+ Q33

22MidhingeMidhinge = =

Medidas de Dispersão

• As Medidas de Tendência Central:– representam de certa forma uma determinada

distribuição de dados– só elas não são suficientes para caracterizar a

distribuição.• Para uma análise estatística mais exata é

necessária a verificação da flutuação dos valores em torno de sua média aritmética


• Suponha as notas de 2 grupos de estudantes, cada qual com 5 alunos.

• GRUPO “A” : 4, 5, 5, 6• GRUPO “B” : 0, 0, 10, 10

• Média do grupo “A”: 5• Média do grupo “B”: 5


• Os dois grupos apresentam a mesma média• O comportamento dos 2 grupos são bem

distintos. GRUPO “A”: valores são mais homogêneos GRUPO “B”: valores são dispersos em

relação à média


• Dentre as medidas de dispersão pode-se citar algums delas:– a) Amplitude Total– b) Amplitude Interquartil– c) Desvio Quartílico ou Amplitude Semi-interquartílico– d)Desvio Médio– e) Variância– f) Desvio Padrão

a) Amplitude Total - R

– é a diferença entre o maior e o menor valor observados.

R = Limite superior - Limite Inferior

• Exemplo 5: Idade de 20 alunos: Xi: 1, 1, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 5, 5, 5, 5, 5, 6, 6, 6, 9

R = 9 – 1 = 8

b) Amplitude Interquartil – AIQou IQR ( InterQuartile Range )

é a diferença entre o terceiro quartil e o primeiro quartil.

AIQ ou IQR = Q3 - Q1

– Supera a dependência dos valores extremos– Abrange 50% dos valores centrais,

eliminando os 25% dos valores mais baixos e os 25% dos valores mais altos

c) Desvio Quartílico ouAmplitude Semi-interquartílicoé a diferença entre o terceiro quartil e o

primeiro quartil.

Dq = Q3 - Q1

2

d) Desvio Médio - DM

é a diferença entre o terceiro quartil e o primeiro quartil.

DM = Σ Xi – X_ n

Sendo: DM = Desvio Médio Xi = vr. variável n = nº elementos

X = média aritmética

d) Desvio Médio - DM

Exemplo 6: Dado o levantamento: Xi : 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 5, 10

a) Calcule a média X = = = 4

b) Montar a tabela a seguir:

ΣΣ Xi Xinn

40401010

d) Desvio Médio - DMXi Xi - x Xi – x 2 2 – 4 = - 2 2 2 2 – 4 = - 2 2 3 3 – 4 = - 1 1 3 3 – 4 = - 1 1 3 3 – 4 = - 1 1 DM = = 4 4 – 4 = 0 0 4 4 – 4 = 0 0 DM = 1,56 4 4 – 4 = 0 0 5 5 – 4 = 1 110 10 – 4 = 6 6 Σ 14

ΣΣ Xi – x_ Xi – x_ n - 1n - 1

1414 99

d) Variância - 2

– é a média dos quadrados dos afastamentos entre as os valores da variável e sua média aritmética

– Revela a dispersão do conjunto que se estuda

d.1) Variância - 2 – dados simples

Exemplo 7: Dado o levantamento: Xi : 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 5, 10

a) Calcule a média X = = = 4

b) Montar a tabela a seguir:

ΣΣ Xi Xinn

40401010

d.1) Variância - 2 – dados simplesXi Xi - x ( Xi – x )2 2 2 – 4 = - 2 22 = 4 2 2 – 4 = - 2 22 = 4 3 3 – 4 = - 1 12 = 1 3 3 – 4 = - 1 12 = 1 3 3 – 4 = - 1 12 = 1 2 = = 4 4 – 4 = 0 02 = 0 4 4 – 4 = 0 02 = 0 4 4 – 4 = 0 02 = 0 2 = = 5,33 5 5 – 4 = 1 12 = 110 10 – 4 = 6 62 = 36 Σ 48

ΣΣ ( Xi – x ) ( Xi – x )22

n - 1n - 1

4848 99

d.2) Variância - 2 – dados agrupados

Xi fi Xi . fi Xi - x ( Xi – x )2 ( Xi – x )2 . fi 2 2 2 . 2 = 4 2 – 4 = -2 (-2)2 = 4 4 . 2 = 8 3 4 3 . 3 = 9 3 – 4 = -1 (-1)2 = 1 1 . 3 = 3 4 3 4 . 3 = 12 4 – 4 = 0 02 = 0 0 . 3 = 0 5 1 5 . 1 = 5 5 – 4 = 1 12 = 1 1 . 1 = 110 1 10 . 1 = 10 10 - 4 = 6 62 = 36 36 . 1 = 36

Σ fi = 10 Σ fi = 40 Σ fi = 48

2 =

2 = = 5,33

ΣΣ ( Xi – x ) ( Xi – x )2 2 . fi. fi ΣΣ fi - 1 fi - 1

4848 99

d.2) Variância - 2 – dados agrupados em classes

Xi PM fi PM.fi PM-x ( PM–x )2 ( PM–x )2.fi 0 2..... 1 2 1.2 = 2 1-5= -4 (-4)2 = 16 16 . 2 = 322 4..... 3 4 3.4 = 12 3-5= -2 (-2)2 = 4 4 . 4 = 164 6..... 5 8 5.8 = 40 5-5= 0 02 = 0 0 . 8 = 06 8..... 7 6 7.6 = 42 7-5= 2 (2)2 = 4 4 . 6 = 248 10.... 9 1 9.1 = 9 9-5= 4 (4)2 = 16 16 . 1 = 16total .... 21 105 88

ΣΣ ( PM – x ) ( PM – x )2 2 . fi. fi ΣΣ fi - 1 fi - 1

ΣΣ ( PM.fi) ( PM.fi) ΣΣ fi fi

X = = 105 105 2121

X = 5

22 = = 8888 202022 =

22 = 4,4

d) Desvio Padrão -

– Por definição, é a raiz quadrada da média aritmética dos quadrados dos desvios

– É a mais utilizada– Revela a dispersão do conjunto que se estuda

= 22

e) Desvio Padrão - – Se todos os valores forem iguais, o desvio padrão

é nulo.– quanto maior o desvio padrão mais heterogênea é

a distribuição, significa que os valores são mais dispersos em torno da média

– MEDIA ± 1 => 68,26% dos valores– MEDIA ± 2 => 95,44% dos valores– MEDIA ± 3 => 99,74% dos valores

f) Coeficiente de Variação - CV

CV = - desvio padrãoX X - média artitmética

– o CV mede o grau de heterogeneidade da distribuição

– Valor máximo é CV = 1 0 ≤ CV ≤ 1

Coeficiente de Variação - CV

– Quanto mais próximo de 1:mais heterogênea é a distribuiçãoOs valores estão mais dispersos

– Quanto mais próximo de 0:mais homogênea é a distribuiçãoOs valores da variável estão mais próximos em torno

da média

Coeficiente de Variação - CV

– Ex: Dado 2 estudantes cujas notas bimestrais foram:• “a”: 60; 40; 50; 50• “b”: 70; 70; 30; 30• Qual foi mais regular ?


Na comparação de variabilidade de dois ou mais conjuntos de dados:

1. expressos em diferentes unidades de medida

2. expressos nas mesmas unidades, mas com médias diferentes.


Comparação de valores expressos em diferentes unidades de medida

Exemplo 8: Deseja-se comparar qual grandeza varia mais: PESO ou COMPRIMENTO

XPESO = 20 g XCOMPRIMENTO = 50 metros

PESO = 2 g COMPRIMENTO = 4 metros


XXPESOPESO

PESOPESOCVCVPP =

COMPRIMENTOCOMPRIMENTO

XXCOMPRIMENTOCOMPRIMENTO

CVCVCC =

22 2020CVCVPP =

44 5050CVCVCC =

CVCVPP = 0,10

CVCVCC = 0,08

CVCVPESOPESO = 0,10 ≥ CVCVCOMPRIMENTOCOMPRIMENTO = 0,08

PESO varia mais que o comprimentoPESO varia mais que o comprimento


expressos nas mesmas unidades, mas com médias diferentes

Exemplo 9: Deseja-se comparar qual grupo “ A ” ou “ B “ tem mais variação de rendimento em um

processo:

XA = 80 % XB = 50 %

A = 2 % B = 1 %

f) Coeficiente de Variação - CV AACVCVAA =XXAA

BBCVCVBB =XXBB

22 8080CVCVPP =

11 5050CVCVBB =

CVCVAA = 0,025

CVCVBB = 0,020

CVCVAA = 0,025 ≥ CVCVBB = 0,020O rendimento do Produto A varia mais que o O rendimento do Produto A varia mais que o rendimento do produto B no decorrer do processorendimento do produto B no decorrer do processo

Esquema dos 5 NúmerosBox – Plot ou

Gráfico Box-and-Whisker

Q3

3º Quartil

Q1

3º Quartil

X

Mediana

~

XMENOR XMAIOR

25% dos dados 25% dos dados25% 25%

Dados suspeitos ou Outliers

Q1 – 1,5. IQR Q3 + 1,5. IQR

Possível suspeito

Q3 + 3 . IQR

Suspeito

Q1 - 3 . IQR

IQR = Q3 - Q1

estatÍstica medidas de tendÊncia central medidas de dispersÃo

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