MEDIDAS DE DISPERSÃO PARA UMA AMOSTRA

CONTEÚDOS CONCEITUAIS DA AULA:

AMPLITUDE

VARIÂNCIA

DESVIO PADRÃO

COEFICIENTE DE VARIAÇÃO

MEDIDAS DE DISPERSÃO PARA UMA AMOSTRA

Para entender o que é dispersão, imagine que quatro alunos obtiveram, em cinco

provas, as notas abaixo:

Alunos Notas Média

Antonio 5 5 5 5 5 5

João 6 4 5 4 6 5

José 10 5 5 5 0 5

Pedro 10 10 5 0 0 5

Todos os alunos obtiveram média igual a 5, mas a dispersão das

notas em torno da média não é a mesma para todos os alunos.

MEDIDAS DE DISPERSÃO PARA UMA AMOSTRA

I. As notas de Antonio não variaram (a dispersão é nula);

II. As notas de João variaram menos do que as notas de José (a dispersão das

notas de João é menor do que a dispersão das notas de José;

III. As notas de Pedro variaram mais do que as notas de todos os outros (a

dispersão das notas de Pedro é maior).Alunos Notas Média

Antonio 5 5 5 5 5 5

João 6 4 5 4 6 5

José 10 5 5 5 0 5

Pedro 10 10 5 0 0 5

Estas observações serão verificadas através das seguintes medidas de dispersão:

amplitude, variância e desvio padrão.

AMPLITUDE

Por definição, amplitude é a diferença entre o maior e o menor dado

observado. É fácil calcular a amplitude para os dados apresentados na Tabela

anterior.

As notas de Antonio tem amplitude:

a = 5 – 5 = 0

As notas de João tem amplitude:

a = 6 – 4 = 2

As notas de José tem amplitude:

a = 10 – 0 = 10

As notas de Pedro tem amplitude:

a = 10 – 0 = 10

AMPLITUDE

A amplitude não mede bem a dispersão dos dados porque, em seu

cálculo, usam-se apenas os valores extremos – e não todo os dados. De qualquer

forma, a amplitude é muito usada, principalmente porque é fácil de ser calculada e

fácil de interpretar.

VARIÂNCIA

Os dados distribuem-se em torno da média. Então o grau de dispersão

de um conjunto de dados pode ser medido pelos desvios em relação à média.

Desvio em relação à média é a diferença entre cada dado e a médio do conjunto.

Por exemplo, se a media de idade da sala de aula for de 28 anos, a pessoa que

tiver 30 anos terá um desvio em relação a média de:

30-20 = 2 anos

Considere os seguintes dados:

0, 4, 6, 8 e 7

A média desses dados é:

55

25

5

78640

VARIÂNCIAOs desvios em relação à média, representados por

são os seguintes:

0 – 5 = - 5

4 – 5 = - 1

6 – 5 = 1

8 – 5 = 3

7 – 5 = 2

A soma dos desvios é igual a zero, como é fácil verificar:

xx

06623115

Qualquer que seja o conjunto de dados, a soma dos desvios é sempre igual a zero.

Então, para medir a dispersão dos dados em torno na média usa-se a

soma dos quadrados dos desvios.

VARIÂNCIA

Cálculo da soma dos quadrados dos desvios

Dados Desvios Quadrados dos desvios

0 -5 25

4 -1 1

6 1 1

8 3 9

7 2 4

5x 0 xx 402 xx

x xx 2xx

VARIÂNCIAPara medir a dispersão dos dados em torno da média usa-se, então, a

variância, que leva em consideração o tamanho da amostra. A variância é

definida como a soma dos quadrados dos desvios dividida pelo tamanho da

amostra, menos 1 (n - 1). Isso chama-se graus de liberdade. Portando, a

variância que é definida por s², é indicada pela fórmula:

1

2

2

n

xxs

1

2

2

2

n

n

xx

s

ou

VARIÂNCIAExemplo

x x²

0 0

4 16

6 36

8 64

7 49

∑x=25 ∑x²=165

1

2

2

2

n

n

xx

s

0,104225

1652

2

s

VARIÂNCIAAlunos Notas Média Variância

Antonio 5 5 5 5 5 5 0

João 6 4 5 4 6 5 1

José 10 5 5 5 0 5 12,5

Pedro 10 10 5 0 0 5 25

a) Para as notas de Antonio, não variaram, s²=0

b) Para as notas de João, variaram menos do que as notas de José, s²=1, menor

que a variância das notas de José, que é s²=12,5.

c) Para as notas de Pedro, variaram mais do que todas as outras, a variância foi de

s²=25.

DESVIO PADRÃO Como medida de dispersão, a variância tem a desvantagem de apresentar a

unidade de medida igual ao quadrado da mesma. Por exemplo, se os dados estão

em metros, a variância ficam em metros quadrados.

Mas existe uma medida de dispersão que apresenta as propriedades da variância

e tem a mesma unidade do dados. É o desvio padrão.

Exemplo:

Para as notas do aluno José, cuja variância já foi calculada, tem o desvio padrão:

54,35,12 s

5,122 s Variância

Desvio Padrão

COEFICIENTE DE VARIAÇÃO

É a razão entre o desvio padrão e a média. O resultado é multiplicado por 100,

para que o coeficiente de variação seja dado em porcentagem.

100x

sCV

Exemplo:

Imagine dois grupos de pessoas, o primeiro grupo tem idades de 3, 1 e 5. O

segundo grupo tem idades de 55, 57 e 53.

%67,661003

2100

x

sCV

%64,310055

2100

x

sCV

1º Grupo

2º Grupo

BOM ESTUDO!!!!