estatística, medidas de dispersão e medidas de posição
DESCRIPTION
Estatística, Medidas de dispersão e medidas de posiçãoTRANSCRIPT
UNIVERSIDADE FEDERAL DE RORAIMA
PRÓ-REITORIA DE GRADUAÇÃO
CENTRO DE CIÊNCIA E TECNOLOGIA
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL
CURSO DE BACHARELADO EM ENGENHARIA CIVIL
EDNELSON OLIVEIRA SANTOS
FEDROS NURANI
NELSON POERSCHKE
SATURNO CÍCERO DE SOUZA
MEDIDAS DE POSIÇÃO, DISPERSÃO, ASSIMETRIA E CURTOSE
EXERCÍCIOS
Boa Vista
2011
2
EDNELSON OLIVEIRA SANTOS
FEDROS NURANI
NELSON POERSCHKE
SATURNO CÍCERO DE SOUZA
MEDIDAS DE POSIÇÃO, DISPERSÃO, ASSIMETRIA E CURTOSE
EXERCÍCIOS
07 Out 2011
Trabalho apresentado como exigência da
disciplina de Introdução à Estatística do
Curso de Bacharelado em Engenharia Civil
da Universidade Federal de Roraima.
Prof.: Josué Gomes da Silva
Boa Vista
2011
3
SUMÁRIO
I. EXERCÍCIOS – SÉRIE 01.................................................................................... 04
II. EXERCÍCIOS – SÉRIE 02.................................................................................... 21
II. EXERCÍCIOS – SÉRIE 03.................................................................................... 36
II. EXERCÍCIOS – SÉRIE 04.................................................................................... 45
4
I. EXERCÍCIOS – SÉRIE 01
Medidas de dispersão, assimetria e curtose.
01. Dada a amostra: 2, 3, 4, 5, 7, 10, 12.
a) Qual é a amplitude amostral?
푅 = 푋 − 푋 ⇒ 푅 = 12 − 2
푅 = 10
b) Determine o desvio médio.
퐷 | ̅|∙ = 퐷 | |∙
c) Calcule a variância.
푆 = ∙ Σ푥 ∙ 퐹 − ( ∙ )
xi Fi xiFi |xi -푥̅|= |di| |di|.Fi 푥̅ = ∑ ⇒ = 6,14
퐷 | |∙ = 퐷 ,
퐷 = 3,02
2 1 2 |2 - 6,14| = 4,14 4,14
3 1 3 |3 – 6,14| = 3,14 3,14
4 1 4 |4 – 6,14| = 2,14 2,14
5 1 5 |5 – 6,14| = 1,14 1,14
7 1 7 |7 – 6,14| = 0,86 0,86
10 1 10 |10 – 6,14| = 3,86 3,86
12 1 12 |12 – 6,14| = 5,86 5,86
Ʃ 7 43 21,14
xi Fi xiFi 푥 ∙ 퐹 푆 = ∙ 347 − ( )
푆 = ∙ 347−
푆 = ∙ ⇒ 푆 = ∙
푆 = ∙ 82,86
푆 = 13,81
2 1 2 4
3 1 3 9
4 1 4 16
5 1 5 25
7 1 7 49
10 1 10 100
12 1 12 144
Ʃ 7 43 347
5
02. Para a série: 5, 5, 5, 6, 6, 6, 6, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 8, 8, 8, 9, 9.
a) Construir a distribuição simples de freqüência.
xi 5 6 7 8 9
Fi 3 4 6 3 2
b) Calcular a amplitude.
푅 = 푋 − 푋 ⇒ 푅 = 9 − 5
푅 = 4
c) Determinar o desvio médio.
퐷 | ̅|∙ = 퐷 | |∙
d) Calcular a variância populacional.
휎 = ∙ Σ푥 ∙ 퐹 − ( ∙ )
xi Fi xiFi |xi -푥̅|= |di| |di|.Fi 푥̅ = ∑ ⇒ = 6,83
퐷 | |∙ = 퐷 ,
퐷 = 0,98
5 3 15 |5 - 6,83| = 1,83 5,49
6 4 24 |6 – 6,83| = 0,83 3,32
7 6 42 |7 – 6,83| = 0,17 1,02
8 3 24 |8 – 6,83| = 1,17 3,51
9 2 18 |9 – 6,83| = 2,17 4,34
Ʃ 18 123 17,68
xi Fi xiFi 푥 ∙ 퐹 휎 = ∙ 867− ( )
휎 = ∙ ⇒ 휎 = ∙
휎 = ∙ 26,5 ⇒ 휎 = 1,47
휎 = 1,47
5 3 15 75
6 4 24 144
7 6 42 294
8 3 24 192
9 2 18 162
Ʃ 18 123 867
6
e) Calcular o desvio padrão populacional.
휎 = √휎
휎 = √1,47
휎 = 1,21
f) Calcular o coeficiente de variação.
퐶 ∙ 푉 = ̅
퐶 ∙ 푉 = ,,
= 0,177 ≅ 0,18
퐶 ∙ 푉 = 18%
03. Calcular pelo processo abreviado a variância amostral.
Classes 2 4 4 6 6 8 8 10 10 12
Fi 3 5 8 6 3
푆 ( ) = ∙ Σ푧 ∙ 퐹 − ( ∙ )
푆 ( ) = ∙ 35 − ( ) ⇒ 푆 ( ) = ∙ 35 −
푆 ( ) = ∙ ⇒ 푆 ( ) = ∙ 34,96 = 1,46
푆 ( ) = ℎ .푆 ( ) ⇒ 푆 ( ) = 2 . 1,46 = 5,84
푆 ( ) = 5,84
xi Fi xi (PM) zi zi Fi zi2Fi
x0 = 7 h = 2
푧 = = = = −2
2 4 3 3 -2 -6 12
4 6 5 5 -1 -5 5
6 8 8 7 0 0 0
8 10 6 9 1 6 6
10 12 3 11 2 6 12
Ʃ 25 1 35
7
04. Num teste aplicado a 20 alunos, obteve-se a seguinte distribuição de pontos:
Pontos 35 45 45 55 55 65 65 75 75 85 85 95
Fi 1 3 8 3 3 2
a) Calcular o desvio médio
퐷 | ̅|∙ = 퐷 | |∙
b) Determinar a variância populacional (processo breve).
휎 ( ) = ∙ Σ푧 ∙ 퐹 − ( ∙ )
휎 ( ) = ∙ 40 − ( ) ⇒ 휎 ( ) = ∙ 40 −
휎 ( ) = ∙ ⇒ 휎 ( ) = ∙ 35 = 1,75
휎 ( ) = ℎ .휎 ( ) ⇒ 휎 ( ) = 10 . 1,75 = 175
휎 ( ) = 175
xi xi(PM) Fi xiFi |xi -푥̅|= |di| |di|.Fi
푥̅ = ∑ ⇒ = 65
퐷 | |∙ = 퐷
퐷 = 11
35 45 40 1 40 |40-65|=25 25
45 55 50 3 150 |50-65|=15 45
55 65 60 8 480 |60-65|=5 40
65 75 70 3 210 |70-65|=5 15
75 85 80 3 240 |80-65|=15 45
85 95 90 2 180 |90-65|=25 50
Ʃ 20 1300 90 220
xi xi(PM) Fi zi zi Fi zi2Fi
x0 = 70 h = 10
푧 = = = = −3
35 45 40 1 -3 -3 9
45 55 50 3 -2 -6 12
55 65 60 8 -1 -8 8
65 75 70 3 0 0 0
75 85 80 3 1 3 3
85 95 90 2 2 4 8
Ʃ 20 -10 40
8
c) Determinar o desvio padrão.
휎 = √휎
휎 = √175
휎 = 13,23
d) Calcular o coeficiente de variação.
퐶 ∙ 푉 = ̅
퐶 ∙ 푉 = , = 0,177 ≅ 0,20
퐶 ∙ 푉 = 20%
e) Determinar o coeficiente de assimetria. (1º coeficiente de Pearson).
Pontos 35 45 45 55 55 65 65 75 75 85 85 95
Fi 1 3 8 3 3 2
푀표 = 푙 + ∙ ℎ
푀표 = 55 + ∙ 10 ⇒ 55 + ∙ 10
푀표 = 55 + 0,5 ∙ 10 ⇒ 55 + 5 = 60
Mo = 60
푙 = 55
Δ = 5
Δ = 5
h = 10
퐴 = ̅
퐴 =,
= 0,38
퐴 = 0,38
9
f) Calcular o coeficiente de curtose.
퐾 =( )
푄 = 푙 +∑ ∙
⇒ 푸ퟏ = 55 + ( )∙ ⇒ 55 + 1,25 = 56,25
푄 = 푙 +∑ ∙
⇒ 푸ퟑ = 65 + ( )∙ ⇒ 65 + 10 = 75,00
푃 = 푙 +∑ ∙
⇒ 푷ퟏퟎ = 45 + ( )∙ ⇒ 45 + 3,33 = 48,33
푃 = 푙 +∑ ∙
⇒ 푷ퟗퟎ = 75 + ( )∙ ⇒ 75 + 10 = 85,00
퐾 =( )
⇒ 퐾 = , ,( , , )
= ,∙ ,
= ,,
= 0,256
g) Determinar a amplitude semi-interqualítica.
푅 = ⇒ 푅 = = 10
xi Fi Fac = = 5
= . = = 15
= ∙ = = 2
= ∙ = = 18
35 45 1 1 45 55 3 4 55 65 8 12 65 75 3 15 75 85 3 18 85 95 2 20
Ʃ 20
10
05. Abaixo temos a distribuição de freqüência dos pesos de uma amostra de 45 alunos:
Pesos
em kg 40 45 45 50 50 55 55 60 60 65 65 70
Fi 4 10 15 8 5 3
a) Determinar a média pelo processo abreviado.
b) Determinar a variância pelo processo abreviado.
푆 ( ) = ∙ Σ푧 ∙ 퐹 − ( ∙ )
푆 ( ) = ∙ 81 − ( ) ⇒ 푆 ( ) = ∙ 81 −
푆 ( ) = ∙ ⇒ 푆 ( ) = ∙ 79,2 = 1,80
푆 ( ) = ℎ .푆 ( ) ⇒ 푆 ( ) = 5 ∙ 1,8 = 45
푆 ( ) = 45
Classes Fi xi(PM) Zi ZiFi x0 = 57,5 h = 5
푧 = = , , = = −3
푧̅ = ∑ = = - 0,80
푥̅ = ℎ푧̃ + 푥 ⇒ 5(-0,80)+57,5 = 53,5
R: 푥̅ = 53,50
40 45 4 42,5 -3 -12 45 50 10 47,5 -2 -20 50 55 15 52,5 -1 -15 55 60 8 57,5 0 0 60 65 5 62,5 1 5 65 70 3 67,5 2 6
Ʃ 45 -36
xi xi(PM) Fi zi zi Fi zi2Fi
x0 = 57,5 h = 5
푧 = = , , = = −2
40 45 42,5 4 -2 -8 16
45 50 47,5 10 -1 -10 10
50 55 52,5 15 0 0 0
55 60 57,5 8 1 8 8
60 65 62,5 5 2 10 20
65 70 67,5 3 3 9 27
Ʃ 45 9 81
11
c) Qual é o valor do coeficiente de variação.
푆 = √푆
푆 = √45
푆 = 6,7
퐶 ∙ 푉 = ̅
퐶 ∙ 푉 = ,,
= 0,1252
퐶 ∙ 푉 = 12,52%
d) A distribuição é simétrica?
Pesos
em kg 40 45 45 50 50 55 55 60 60 65 65 70
Fi 4 10 15 8 5 3
푀표 = 푙 + ∙ ℎ
푀표 = 50 + ∙ 5 ⇒ 푀표 = 50 + ∙ 5
푀표 = 50 + 0,42 ∙ 5
푀표 = 50 + 2,08 = 52,08
푙 = 50
Δ = 5
Δ = 7
h = 5
퐴 = ̅
퐴 = , ,,
= 0,2119
퐴 = 0,21
A distribuição não é simétrica. É assimétrica positiva.
e) A distribuição é mesocúrtica?
퐾 =( )
xi Fi Fac = = 11,25
= . = = 33,75
= ∙ = = 4,5
= ∙ = = 40,5
40 45 4 4 45 50 10 14 50 55 15 29 55 60 8 37 60 65 5 42 65 70 3 45
Ʃ 45
12
푄 = 푙 +∑ ∙
⇒ 푸ퟏ = 45 + ( , )∙ ⇒ 45 + 3,63 = 48,63
푄 = 푙 +∑ ∙
⇒ 푸ퟑ = 55 + ( , )∙ ⇒ 55 + 2,97 = 57,97
푃 = 푙 +∑ ∙
⇒ 푷ퟏퟎ = 45 + ( , )∙ ⇒ 45 + 0,25 = 45,25
푃 = 푙 +∑ ∙
⇒ 푷ퟗퟎ = 60 + ( , )∙ ⇒ 60 + 3,5 = 63,50
퐾 =( )
⇒ 퐾 = , ,( , , )
= ,∙ ,
= ,,
= 0,256 - A distribuição
não é mesocúrtica. É leptocúrtica.
06. Sendo:
Classes 30 40 40 50 50 60 60 70 70 80
Fi 10 20 35 25 10
Calcular 푥̅, S2, S, C.V, As e K
a) Média
xi Fi xi (PM) xiFi
푥̅ =∑ 푥푖퐹푖
푛⇒
5550
100 = 55,50
R: 푥̅ = 55,50
30 40 10 35 350
40 50 20 45 900
50 60 35 55 1925
60 70 25 65 1625
70 80 10 75 750
Ʃ 100 5550
13
b) Variância
c) Desvio padrão
푆 = √푆
푆 = √126
푆 = 11,22
d) Coeficiente de variação
퐶 ∙ 푉 = ̅
퐶 ∙ 푉 = ,,
= 0,2022
퐶 ∙ 푉 = 20%
e) Assimetria
Classes 30 40 40 50 50 60 60 70 70 80
Fi 10 20 35 25 10
푀표 = 푙 + ∙ ℎ
푀표 = 50 + ∙ 10 ⇒ 푀표 = 50 + ∙ 10
푀표 = 50 + 0,6 ∙ 10 ⇒ 푀표 = 50 + 6 = 56
Mo = 53,33
푙 = 50
Δ = 15
Δ = 10
h = 10
xi Fi xi(PM) xiFi 푥 ∙ 퐹 푆 = ∙ 320500− ( )
푆 = ∙ 320500 −
푆 = ∙
푆 = ∙
푆 = ∙ 12475
푆 = 126,01
30 40 10 35 350 12250
40 50 20 45 900 40500
50 60 35 55 1925 105875
60 70 25 65 1625 105625
70 80 10 75 750 56250
Ʃ 100 5550 320500
14
퐴 = ̅
퐴 = ,,
= −0,045
퐴 = −0,045 - A distribuição não é simétrica. É assimétrica negativa.
f) Curtose
퐾 =( )
푄 = 푙 +∑ ∙
⇒ 푸ퟏ = 40 + ( )∙ ⇒ 40 + 7,5 = 47,5
푄 = 푙 +∑ ∙
⇒ 푸ퟑ = 55 + ( )∙ ⇒ 60 + 4 = 64
푃 = 푙 +∑ ∙
⇒ 푷ퟏퟎ = 30 + ( )∙ ⇒ 30 + 10 = 40
푃 = 푙 +∑ ∙
⇒ 푷ퟗퟎ = 60 + ( )∙ ⇒ 60 + 10 = 70
퐾 =( )
⇒ 퐾 = ,( )
= ,∙
= , = 0,275 - A distribuição é platicúrtica.
xi Fi Fac = = 25
= . = = 75
= ∙ = = 10
= ∙ = = 90
30 40 10 10 40 50 20 30 50 60 35 65 60 70 25 90 70 80 10 100
Ʃ 100
15
07. A distribuição abaixo possui desvio padrão igual a 3,02. Determine o valor do
coeficiente de variação.
Classes 0 4 4 8 8 12 Ʃ
xi(PM) 2 6 10
Fi 2 3 2 7
xiFi 4 18 20 42
푥̅ =∑ 푥푖퐹푖
푛⇒
42
7 = 6
퐶 ∙ 푉 = ̅
퐶 ∙ 푉 = , = 0,5033
퐶 ∙ 푉 = 50%
08. Um fabricante de caixas de cartolina fabrica três tipos de caixa. Testa-se a resistência
de cada caixa tomando-se uma amostra de 100 caixas e determinando-se a pressão necessária
para romper cada caixa. São os seguintes os resultados dos testes:
Tipos de caixa A B C
Pressão média de ruptura (bária) 150 200 300
Desvio padrão das pressões (bária) 40 50 60
a) Que tipo de caixa apresenta a menor variação absoluta na pressão de ruptura?
16
09. Um pesquisador da Rádio XY aborda 30 transeuntes ao acaso e pergunta-lhes a
idade. O resultado é dado pela tabela.
35 26 39 25 39 22
42 40 39 22 21 40
16 32 39 21 28 39
18 37 23 14 27 44
30 32 21 15 26 43
a) Resuma as informações sob forma de uma distribuição de freqüência. Dado: log
30 = 1,48.
a) Apresente os dados na forma de um histograma.
Classes xi Fi
14 19 16,5 4 19 24 21,5 6 24 29 26,5 5 29 34 31,5 3 34 39 36,5 2 39 44 41,5 10
Ʃ
17
c) Calcule a média e o desvio padrão amostral.
푆 = ∙ Σ푥 ∙ 퐹 − ( ∙ ) ⇒ 푆 = ∙ 30237,5 − ( )
푆 = ∙ 30237,5− ⇒ 푆 = ∙ ⇒ 푆 = ∙
⇒ 푆2 = 1
29∙ 2634,17 ⇒ 푆2 = 90,83
푆 = √푆
푆 = √90,83
푆 = 9,53
10. É dada a distribuição dos salários semanais de 100 funcionários:
Salários por
semana (1.000$) 0,5 1,0 1,0 1,5 1,5 2,0 2,0 2,5 2,5 3,0
Nº de
empregados 26 43 17 9 5
a) Calcule a variância populacional.
휎 = ∙ Σ푥 ∙ 퐹 − ( ∙ )
Classes xi Fi xiFi Fac xi2Fi
푥̅ =∑ 푥푖퐹푖
푛=
910
30
푥̅ = 30,33
14 19 16,5 4 66 4 1089
19 24 21,5 6 129 10 2773,5
24 29 26,5 5 132,5 15 3511,25
29 34 31,5 3 94,5 18 2976,75
34 39 36,5 2 73 20 2664,5
39 44 41,5 10 415 30 17222,5
Ʃ 30 910 30237,5
xi xi(PM) Fi xiFi 푥 ∙ 퐹
500 1000 750 26 19500 14625000
1000 1500 1250 43 53750 67187500
1500 2000 1750 17 29750 52062500
2000 2500 2250 9 20250 45562500
2500 3000 2750 5 13750 37812500
Ʃ 100 137000 217250000
18
휎 = ∙ 217250000 − ( ) 휎 = ∙
휎 = ∙ ⇒ 휎 = ∙ 29560000 ⇒ 휎 = 295600
휎 = 295600
b) A distribuição á assimétrica?
퐴 = ̅
퐴 = ,,
= 0,317
퐴 = 0,32 - Sim, a distribuição é assimétrica positiva.
c) A distribuição á leptocúrtica?
푄 = 푙 +∑ ∙
⇒ 푸ퟏ = 500 + ( )∙ ⇒ 500 + 480,77 = 980,77
푄 = 푙 +∑ ∙
⇒ 푸ퟑ = 1500 + ( )∙ ⇒ 1500 + 176,47 = 1676,47
푃 = 푙 +∑ ∙
⇒ 푷ퟏퟎ = 500 + ( )∙ ⇒ 500 + 192,31 = 692,31
푃 = 푙 +∑ ∙
⇒ 푷ퟗퟎ = 2000 + ( )∙ ⇒ 2000 + 222,22 = 2222,22
휎 = √휎
휎 = √295600
휎 = 543,69
푥̅ = ∑
푥̅ = = 1370
푥̅ = 1370
푀표 = 푙 + ∙ ℎ
푀표 = 1000 + ∙ 500 ⇒ 1000 + ∙ 500
푀표 = 1000 + 0,4 ∙ 500 ⇒ 1000 + 200 = 1197,67
xi Fi Fac = = 25
= . = = 75
= ∙ = = 10
= ∙ = = 90
500 1000 26 26 1000 1500 43 69 1500 2000 17 86 2000 2500 9 95 2500 3000 5 100
Ʃ 100
19
퐾 =( )
⇒ 퐾 = , ,( , , )
= ,∙ ,
= ,,
= 0,227
퐾 = 0,227
- Sim, a distribuição é leptocúrtica.
11. As notas finais de um aluno nas disciplinas “Apicultura experimental” e
“Cotonicultura aplicada” foram, respectivamente, 7,8 e 7,3. Sabe-se que na primeira
disciplina o desvio padrão foi 0,8, com média 8,0; e que na outra tivemos média 7,5, com
desvio padrão de 1,0. Em que disciplina ele obteve pior classificação relativa?
푧 = ̅
푧 ( ) = , ,,
= ,,
⇒ 푧 = −0,25
푧 ( ) = , ,,
= ,,⇒ 푧 = −0,20
Em apicultura.
12. Uma mesmo teste de aptidão foi aplicado foi aplicado a dois grupos de funcionários,
A e B. A média do conjunto A foi 75, com desvio padrão de 16, e a média do grupo B foi 69,
com variância 64. Quem obteve melhor posição relativa: um empregado do grupo A, que
obteve 85 pontos, ou um funcionário do grupo B, que alcançou 80 pontos.
푆 = √푆
푆 = √64
푆 = 8
푧 = ̅
푧 ( á ) = = ,,
⇒ 푧 = 0,625
푧 ( á ) = = ⇒ 푧 = 1,375
O funcionário do grupo B.
20
13. Qual será a nota de um aluno que obteve escore de -1,5 em Apicultura experimental,
considerando-se os dados do exercício 11.
−1,5 = ,,
푥 − 8,0 = 0,8 .−1,5 ⇒ 푥 = −1,2 + 8,0 ⇒ 푥 = 6,8
Nota do aluno = 6,8
21
II. EXERCÍCIOS – SÉRIE 02
Medidas de posição, dispersão, assimetria e curtose.
01. Dada a série: 1,2; 1,4; 1,5; 1,8 e 2, calcular a média e o desvio padrão populacional.
푥̅ = ∑ ⇒ 휎 = ∙ Σ푥 ∙ 퐹 − ( ∙ )
푥̅ = , ⇒ 푥̅ = 1,58
휎 = ∙ 12,89 − ( , ) 휎 = ∙ , ,
휎 = ∙ , ⇒ 휎 = ∙ 0,408 ⇒ 휎 = 0,082
휎 = √휎
휎 = √0,082
휎 = 0,286
xi Fi xiFi 푥 ∙ 퐹
1,2 1 1,2 1,44
1,4 1 1,4 1,96
1,5 1 1,5 2,25
1,8 1 1,8 3,24
2 1 2,0 4
Ʃ 5 7,9 12,89
22
2. Baseado na seguinte distribuição, calcule:
a) Média
푥̅ =∑ 푥푖퐹푖
푛=
13384
78
푥̅ = 171,59
b) Mediana
n = 78 (par) ⇒ = 39
푥 = 푙 +∑ .
⇒ 푥 = 168 + ( ).
푥 = 168 + . ⇒ 푥 = 168 + ⇒ 푥 = 168 + 3,82
푥 = 171,82
c) Moda
푀표 = 푙 + ∙ ℎ
푀표 = 172 + 33 ∙ 4 ⇒ 172 + 3
18 ∙ 4
푀표 = 172 + 0,17 ∙ 4
푀표 = 172 + 0,67 = 172,67
푀표 = 172,67
d) Desvio médio amostral
퐷 = | |∙ ⇒ 퐷 = ,
퐷 = 3,99
Altura Frequência
160 164 5
164 168 13
168 172 22
172 176 25
176 180 10
180 184 3
Ʃ
Altura xi Fi xiFi Fac |xi -푥̅|= |di| |di|.Fi 160 164 162 5 810 5 |162-171,59| = 9,59 47,95
164 168 166 13 2158 18 |166-171,59| = 5,59 72,67
168 172 170 22 3740 40 |170-171,59| = 1,59 34,98
172 176 174 25 4350 65 |174-171,59| = 2,41 60,25
176 180 178 10 1780 75 |178-171,59| = 6,41 64,10
180 184 182 3 546 78 |182-171,59| = 10,41 31,23
Ʃ 78 13384 311,18
23
d) Coeficiente de assimetria
Q1 e Q3
= = 19,5 = . = = 58,55
푄 = 푙 +∑ ∙
⇒ 푸ퟏ = 168 + ( , )∙ ⇒ 168 + 0,27 = 168,27
푄 = 푙 +∑ ∙
⇒ 푸ퟑ = 172 + ( , )∙ ⇒ 172 + 2,97 = 174,97
퐴 =
퐴 = , , . ,, ,
⇒ 퐴 = , ,,
⇒ 퐴 = ,,
퐴 = −0,060
3. Num fim de semana, o supermercado X vendeu as seguintes quantidades de carne.
a) Qual foi o preço médio.
푥̅ =∑ 푥푖퐹푖
푛=
98250
2650
푥̅ = 37,08
b) Qual foi a quantidade média.
푥̅ =∑ 푥푖퐹푖
푛=
98250
185
푥̅ = 531,08
Altura Preço ($ por kg) Quantidade (kg) xiFi
Boi 35 1000 35000 Porco 38 450 17100
Galinha 39 600 23400 Peru 45 350 15750 Peixe 28 250 7000
Ʃ 185 2650 98250
24
4. Completar os dados que faltam para a seguinte distribuição.
5. Encontrar a freqüência correspondente à terceira classe da distribuição abaixo,
sabendo que a média é igual a 11,50.
푥̅ =∑ 푥푖퐹푖
푛 ⇒ 11,50 =
(5∙4)+(8∙5)+(13.3)+(18∙3)+(25∙1)
16 ⇒
11,50 = ( . ) ⇒ 11,50 = ⇒ 11,50 ≠ 11,16
푥̅ =∑ 푥푖퐹푖
푛 ⇒ 11,50 =
(5∙4)+(8∙5)+(13.5)+(18∙3)+(25∙1)
18
11,50 = ⇒ 11,50 ≠ 11,33
푥̅ =∑ 푥푖퐹푖
푛 ⇒ 11,50 =
(5∙4)+(8∙5)+(13.7)+(18∙3)+(25∙1)
20
11,50 = ⇒ 11,50 = 11,50
xi Fi Fac fi 1 4 4 0,04 2 8 12 0,08 3 18 30 0,18 4 27 57 0,27 5 15 72 0,15 6 11 83 0,11 7 10 93 0,10 8 7 100 0,07
Ʃ 100 1
xi 5 8 13 18 25
Fi 4 5 7 3 1
25
6. Calcular o 1º quartil, o 7º decil e o 73º percentil da seguinte distribuição:
Classes 0 1 1 2 2 3 3 4 4 5 Ʃ
Fi 10 12 12 10 6 50
Fac 10 22 34 44 50
푄 = 푙 +∑ ∙
⇒
푸ퟏ = 푙 +∑ ∙
⇒ 푸ퟏ = 1 + ( , )∙ ⇒ 푸ퟏ = 1 + ( . )∙
푸ퟏ = 1 + 0,21 ⇒ 푸ퟏ = 1,21
퐷 = 푙 +∑ ∙
⇒
푫ퟕ = 푙 + . ∑ ∙
⇒ 푫ퟕ = 3 + ( )∙ ⇒ 푫ퟕ = 3 + ∙
푫ퟕ = 3 + 0,1 ⇒ 푫ퟕ = 3,1
푃 = 푙 +∑ ∙
푃 = 푙 + . ∑ ∙
⇒ 푷ퟕퟑ = 3 + ( , )∙ ⇒ 푷ퟕퟑ = 3 + ( , )∙
푷ퟕퟑ = 3 + 0,25 ⇒ 푷ퟕퟑ = 3,25
7. Obter a moda e a variância para a seguinte distribuição amostral:
Classes 0 25 25 50 50 75 75 100 100 125 Ʃ
xi 12,5 37,5 62,5 87,5 112,5
Fi 20 140 180 40 10 390
xiFi 250 5250 11250 3500 1125 21375
x2.Fi 3125 196875 703125 306250 126562,5 1335937,5
푀표 = 푙 + ∙ ℎ ⇒ 푀표 = 50 + ∙ 25 ⇒ 푀표 = 50 + ∙ 25
푀표 = 50 + 0,22 ∙ 25 ⇒ 푀표 = 50 + 5,56 ⇒ 푀표 = 55,56
26
푆 = ∙ Σ푥 ∙ 퐹 − ( ∙ ) ⇒ 푆 = ∙ 1335937,5− ( )
푆 = ∙ 1335937,5 − ⇒ 푆 = ∙
푆 = ∙ ⇒ 푆 = ∙ 164423,08
푆2 = 422,68
8. Lançado um dado 50 vezes, obteve-se a seguinte distribuição, calcular a variância
populacional e o desvio padrão.
휎 = ∙ Σ푥 ∙ 퐹 − ( ∙ )
휎 = ∙ 837 − ( ) 휎 = ∙
휎 = ∙ ⇒ 휎 = ∙ 152,50
휎 = 3,05
휎 = √휎
휎 = 3,05
휎 = 1,75
xi Fi xiFi xi2Fi
1 6 6 6 2 11 22 44 3 6 18 54 4 7 28 112 5 9 45 225 6 11 66 396
Ʃ 50 185 837
27
9. Usando o processo abreviado, calcule a média e a variância amostral:
xi 30000 30002 30004 30006 30008 30010
Fi 10 12 14 10 4 2
Fac 10 22 36 46 50 52
푆 ( ) = ∙ Σ푧 ∙ 퐹 − ( ∙ )
푆 ( ) = ∙ 164 − ( ) ⇒ 푆 ( ) = ∙ 164 −
푆 ( ) = ∙ ⇒ 푆 ( ) = ∙ 94,769 = 1,86
푆 ( ) = ℎ .푆 ( ) ⇒ 푆 ( ) = 2 . 1,86 = 7,43
푆 ( ) = 7,43
10. Estudar a distribuição abaixo com respeito à assimetria e à curtose.
xi 150 200 200 250 250 300 300 350 350 400 400 450 450 500
Fi 5 16 21 28 19 8 3
Classes xi Fi xiFi xi2Fi
150 200 175 5 875 153125 200 250 225 16 3600 810000 250 300 275 21 5775 1588125 300 350 325 28 9100 2957500 350 400 375 19 7125 2671875 400 450 425 8 3400 1445000 450 500 475 3 1425 676875 Ʃ 100 31300 10302500
xi Fi zi ziFi zi2Fi
x0 = 30006 h = 2
푧 = = = = −3
푧̅ = ∑ = = -1,15
푥̅ = ℎ푧 + 푥0 ⇒ 2(-1,153)+30006 = 30003,69
R: 푥̅ = 30003,69
30000 10 -3 -30 90 30002 12 -2 -24 48 30004 14 -1 -14 14 30006 10 0 0 0 30008 4 1 4 4 30010 2 2 8 8 Ʃ 52 -60 164
28
푥̅ = Ʃ ⇒ 푥̅ = ⇒ 푥̅ = 313
푀표 = 푙 + ∙ ℎ ⇒ 푀표 = 300 + ∙ 50 ⇒ 푀표 = 300 + ∙ 50 ⇒ 푀표 = 321,88
푆 = ∙ Σ푥 ∙ 퐹 − ( ∙ ) ⇒ 푆 = ∙ 10302500 − ( )
푆 = ∙ 10302500 − ⇒ 푆 = ∙
푆 = ∙ ⇒ 푆 = ∙ 505600 ⇒ 푆 = 5107,07
푆 = √푆 ⇒ 푆 = 5107,07 ⇒ 푆 = 71,46
퐴 = ̅ ⇒ 퐴 = ,,
⇒ 퐴 = 0,12
Classes xi Fi Fac = = 25
= . = = 75
= ∙ = = 10
= ∙ = = 90
150 200 175 5 5 200 250 225 16 21 250 300 275 21 42 300 350 325 28 70 350 400 375 19 89 400 450 425 8 97 450 500 475 3 100 Ʃ 100
푄 = 푙 +∑ ∙
⇒ 푸ퟏ = 250 + ( )∙ ⇒ 250 + 9,52 = 259,52
푄 = 푙 +∑ ∙
⇒ 푸ퟑ = 350 + ( )∙ ⇒ 350 + 13,16 = 363,16
푃 = 푙 +∑ ∙
⇒ 푷ퟏퟎ = 200 + ( )∙ ⇒ 200 + 15,62 = 215,62
푃 = 푙 +∑ ∙
⇒ 푷ퟗퟎ = 400 + ( )∙ ⇒ 400 + 6,25 = 406,25
퐾 =( )
⇒ 퐾 = , ,( , , )
= ,∙ ,
= ,,
⇒ 퐾 = 0,2718
A distribuição é assimétrica negativa e platicúrtica.
29
11. Cronometrando o tempo de várias provas de uma gincana automobilística,
encontramos:
Equipe 1:
40 provas
Tempo médio = 45 s
Variância = 400 s2
Equipe 2:
Tempo: 20 40 50 80
Nº provas: 10 15 30 5
a) Qual o coeficiente de variação relativo à equipe 1?
퐶.푉 =̅⇒ 퐶.푉 = ⇒ 퐶.푉 = 0,44 ⇒ 퐶.푉 = 44%
b) Qual a média da equipe 2?
Tempo Fi xiFi 20 10 200 40 15 600 50 30 1500 80 5 400 Ʃ 60 2700
푥̅ = Ʃ ⇒ 푥̅ = ⇒ 푥̅ = 45
c) Qual o desvio padrão referente à equipe 2?
Tempo Fi xiFi xi2Fi
20 10 200 4000 40 15 600 24000 50 30 1500 75000 80 5 400 32000 Ʃ 60 2700 135000
푆 = ∙ Σ푥 ∙ 퐹 − ( ∙ ) ⇒ 푆 = ∙ 135000 − ( )
푆 = ∙ 135000 − ⇒ 푆 = ∙
푆 = ∙ ⇒ 푆 = ∙ 13500 ⇒ 푆 = 228,81
푆 = √푆 ⇒ 푆 = √228,81 ⇒ 푆 = 15,13
30
c) Qual a média aritmética referente às duas equipes consideradas em conjunto?
Equipe 1:
40 provas
Tempo médio = 45 s
Equipe 1:
60 provas
Tempo médio = 45 s
푥̅ = ̅ ̅ ⇒ 푥̅ = . . ⇒ 푥̅ = ⇒ 푥̅ = ⇒ 푥̅ = 45
c) Qual a equipe que apresentou resultados mais homogêneos?
Equipe 1
퐶.푉 =̅⇒ 퐶.푉 = ⇒ 퐶.푉 = 0,44 ⇒ 퐶.푉 = 44%
Equipe 2
퐶.푉 =̅⇒ 퐶.푉 = , ⇒ 퐶.푉 = 0,33 ⇒ 퐶.푉 = 33%
A equipe 2, pois possui o menor coeficiente de variação.
12. Dada a amostra de 60 rendas (em milhares) de dada região geográfica:
10 7 8 5 4 3 2 9 9 6
3 15 1 13 14 4 3 6 6 8
10 11 12 13 14 2 15 5 4 10
8 9 5 3 2 3 3 4 4 4
5 6 7 8 9 1 12 13 14 16
a) Agrupar os elementos em classes. Sendo K = 6 e h = 3.
Classes xi Fi Fac Zi ZiFi Zi2Fi |di|Fi 1 4 2,5 14 14 -2 -28 -28 79,8 4 7 5,5 14 28 -1 -14 -14 37,8 7 10 8,5 11 39 0 0 0 3,3 10 13 11,5 8 47 1 8 8 26,4 13 16 14,5 11 58 2 22 22 69,3 16 19 17,5 2 60 3 6 6 18,6
Ʃ 60 -6 140 235,2
31
b) Construir o histograma e o polígono de freqüência.
c) Construir o gráfico de freqüência acumulada.
32
d) Calcular a média.
Classes xi Fi xiFi 1 4 2,5 14 35 4 7 5,5 14 77 7 10 8,5 11 93,5 10 13 11,5 8 92 13 16 14,5 11 159,5 16 19 17,5 2 35
Ʃ 60 492
푥̅ = Ʃ ⇒ 푥̅ = ⇒ 푥̅ = 8,2
e) Calcular a mediana.
Classes xi Fi Fac 1 4 2,5 14 14 4 7 5,5 14 28 7 10 8,5 11 39 10 13 11,5 8 47 13 16 14,5 11 58 16 19 17,5 2 60
Ʃ 60
n = 60 ⇒ = 30
푥 = 푙 +∑ .
=
푥 = 7 + ( ). ⇒ 7 + ( ). ⇒ 7 + ⇒ 7 + 0,55 ⇒ 푥 = 7,55
f) Determinar o 3º quartil.
푄 = 푙 +∑ ∙
⇒ 푸ퟏ = 4 +∙⇒ 4 + 0,21 ⇒ 푸ퟑ = 4,21
푄 = 푙 +∑ ∙
⇒ 푸ퟑ = 10 + . ∙
⇒ 10 + 2,25 ⇒ 푸ퟑ = 12,25
g) Calcular o 4º decil.
퐷 = 푙 +∑ ∙
⇒ 푫ퟒ = 4 + . ∙
⇒ 4 + 2,14 ⇒ 푫ퟒ = 6,14
h) Calcular o 47º percentil.
33
푃 = 푙 +∑ ∙
⇒ 푷ퟒퟕ = 7 + . ∙
⇒ 7 + 0,05 ⇒ 푷ퟒퟕ = 7,05
i) Determinar a medida que deixa 25% das rendas.
푃 = 푙 +∑ ∙
⇒ 푷ퟐퟓ = 4 + . ∙
⇒ 4 + 0,21 ⇒ 푷ퟐퟓ = 4,21
j) Calcular o desvio médio.
Classes xi Fi |xi -푥̅|= |di| |di|Fi 1 4 2,5 14 |2,5-8,2|=|5,7| 79,8 4 7 5,5 14 |5,5-8,2|=|2,7| 37,8 7 10 8,5 11 |8,5-8,2|=|0,3| 3,3 10 13 11,5 8 |11,5-8,2|=|3,3| 26,4 13 16 14,5 11 |14,5-8,2|=|6,3| 69,3 16 19 17,5 2 |17,5-8,2|=|9,3| 18,6
Ʃ 60 235,2
퐷 | |∙ ⇒ 퐷 , ⇒ 퐷 = 3,92
l) Calcular variância.
Classes xi Fi Zi ZiFi Zi2Fi 1 4 2,5 14 -2 -28 -28 4 7 5,5 14 -1 -14 -14 7 10 8,5 11 0 0 0 10 13 11,5 8 1 8 8 13 16 14,5 11 2 22 22 16 19 17,5 2 3 6 6
Ʃ 60 -6 140
푆 ( ) = ∙ Σ푧 ∙ 퐹 − ( ∙ ) ⇒ 푆 ( ) = ∙ 140 − ( )
푆 ( ) = ∙ 140 − ⇒ 푆 ( ) = ∙ ⇒ 푆 ( ) = ∙ 139,4 = 2,36
푆 ( ) = ℎ .푆 ( ) ⇒ 푆 ( ) = 3 . 2,36 ⇒ 푆 ( ) = 21,24
m) Determinar o desvio padrão.
푆 = √푆 ⇒ 푆 = √21,24 ⇒ 푆 = 4,61
34
n) Qual é o valor do coeficiente de variação?
퐶.푉 =̅⇒ 퐶.푉 = ,
,⇒ 퐶.푉 = 0,56 ⇒ 퐶.푉 = 56%
o) A distribuição é simétrica?
퐴 = ⇒ 퐴 = , , . ,, ,
⇒ 퐴 = ,,
⇒ 퐴 = 0,169
Não é simétrica.
p) A distribuição é mesocúrtica?
푃 = 푙 +∑ ∙
⇒ 푷ퟏퟎ = 1 + . ∙
⇒ 1 + 1,29 ⇒ 푷ퟏퟎ = 2,29
푃 = 푙 +∑ ∙
⇒ 푷ퟗퟎ = 13 + . ∙
⇒ 13 + 1,91 ⇒ 푷ퟗퟎ = 14,91
퐾 =( )
⇒ 퐾 = , ,( , , )
⇒ 퐾 = ,∙ ,
⇒ 퐾 = ,,⇒ 퐾 = 0,3185
Não é mesocúrtica.
q) Usando o gráfico de freqüência acumulada, represente o 1º quartil, o 7º decil e o
80º percentil.
Classes xi Fi Fac 1 4 2,5 14 14 4 7 5,5 14 28 7 10 8,5 11 39 10 13 11,5 8 47 13 16 14,5 11 58 16 19 17,5 2 60
Ʃ 60
푄 = 푙 +∑ ∙
⇒ 푸ퟏ = 4 +∙⇒ 4 + 0,21 ⇒ 푸ퟏ = 4,21
퐷 = 푙 +∑ ∙
⇒ 푫ퟕ = 10 +. ∙
⇒ 10 + 1,25 ⇒ 푫ퟕ = 11,25
푃 = 푙 +∑ ∙
⇒ 푷ퟖퟎ = 13 + . ∙
⇒ 13 + 0,27 ⇒ 푷ퟖퟎ = 13,27
35
r) Prepare um relatório para a descrição das rendas dessas famílias.
O salário médio das famílias, que é de R$ 8200,00, está acima do centro da
distribuição, conforme mostra a mediana, que é de R$ 7550,00. Neste caso, isso foi causado
por alguns valores grandes que sensibilizam mais a média e menos a mediana. Isso demonstra
que a distribuição não é simétrica e mais tarde será abordado na análise da simetria.
O desvio médio mostra que a dispersão em torno da média é de R$ 3920,00.
A variância e o desvio padrão, valores sempre positivos, indicam que a distância
entre os valores medidos e a média foi de R$ 4611,00.
Os cálculos chegaram a um coeficiente de variação, desvio padrão dividido pela
média, de 56%.
A distribuição é assimétrica, pois os quartis não estão equidistantes, e positiva,
pois a moda encontra-se à esquerda da mediana.
O valor da curtose, 0,3185, mostra que há um achatamento na curva de
distribuição, tornando-a platicúrtica.
36
III. EXERCÍCIOS – SÉRIE 03
Para cada uma das questões abaixo, assinale a alternativa correta.
1. A média aritmética é a razão entre:
a) ( ) o número de valores e o somatório deles.
b) ( X ) o somatório dos valores e o número deles.
c) ( ) os valores extremos.
d) ( ) os dois valores centrais.
2. Na série 60, 90, 80, 60, 50, a moda será:
a) ( ) 50.
b) ( X ) 60.
c) ( ) 66.
d) ( ) 90.
3. A medida que tem o mesmo número de valores abaixo e acima dela é:
a) ( ) a moda.
b) ( ) a média.
c) ( X ) a mediana.
d) ( ) o lugar mediano.
4. A soma dos desvios entre cada valor e a média é:
a) ( ) positiva.
b) ( ) negativa.
c) ( ) diferente de zero.
d) ( X ) zero.
5. Na série, 60, 50, 70, 80, 90 o valor 70 será a:
a) ( ) média e a moda.
b) ( X ) a média e a mediana.
c) ( ) a mediana e a moda.
d) ( ) a média, a mediana e a moda.
37
6. Quando queremos verificar a questão de uma prova que apresentou maior número de
erros, utilizamos:
a) ( X ) moda.
b) ( ) média.
c) ( ) mediana.
d) ( ) qualquer uma das anteriores.
7. Dado o histograma abaixo, no interior de cujos retângulos foram anotadas as
freqüências absolutas, então a mediana é:
푥 = 6 + ( ). ⇒ 6 + ( ). ⇒ 6 + ⇒ 6 + 1,0 = 7,0
a) ( ) 6,5.
b) ( ) 8,0.
c) ( ) 7,5.
d) ( X ) 7,0.
8. Na série, 15, 20, 30, 40, 50, há abaixo da mediana:
a) ( ) 3 valores.
b) ( X ) 2 valores.
c) ( ) 3,5 valores.
d) ( ) 4 valores.
9. Dada a figura abaixo, podemos afirmar que:
38
a) ( ) a moda é maior que a mediana e menor que a média.
b) ( ) a moda é menor que a mediana e maior que a média.
c) ( ) a moda é menor que a mediana e esta é maior que a média.
d) ( X ) a mediana é maior que a média e menor que a moda.
10. O coeficiente de variação é uma medida que expressa a razão entre:
a) ( X ) desvio padrão e média.
b) ( ) média e desvio padrão.
c) ( ) amplitude semi-interquartílica e mediana.
d) ( ) desvio padrão e moda.
11. O cálculo da variância supõe o conhecimento da:
a) ( X ) média.
b) ( ) mediana.
c) ( ) ponto médio.
d) ( ) moda.
12. Numa distribuição de valores iguais, o desvio padrão é:
a) ( ) negativo.
b) ( ) positivo.
c) ( ) a unidade.
d) ( X ) zero.
13. Na série, 10, 20, 40, 50, 70 80 a mediana será:
n = 06 (par)
⇒ = ퟑº ⇒ ퟒퟎ e + 1 ⇒ + 1 = ퟒº ⇒ ퟓퟎ
푥 = ⇒ 푥 = ⇒ 푥 = 45
a) ( ) 30.
b) ( ) 35.
c) ( ) 40.
d) ( X ) 45.
39
14. Examinando a figura abaixo, podemos dizer:
a) ( X ) O desvio padrão da distribuição A é maior que o da distribuição B, e as
médias são iguais.
b) ( ) O desvio padrão de A é menor que o de B e ás médias são diferentes.
c) ( ) O desvio padrão de A é igual ao de B, independentemente do valor da
média.
d) ( ) As distribuições possuem o mesmo coeficiente de variação.
15. Realizou-se uma prova de matemática para duas turmas, o resultado foi o seguinte:
Turma A: 푥̅ = 5 e 휎 = 2,5
Turma B: 푥̅ = 4 e 휎 = 2
Com esses resultados podemos afirmar que:
a) ( ) A turma B apresentou maior dispersão absoluta.
b) ( ) A dispersão relativa é igual à dispersão absoluta.
c) ( ) Tanto a dispersão absoluta quanto a relativa são maiores para a turma B.
d) ( X ) A dispersão absoluta de A é maior que a de B, mas em termos relativos as
duas turmas não diferem quanto ao grau de dispersão das notas.
16. O desvio padrão de um conjunto de dados é 9. A variância será:
a) ( ) 3.
b) ( ) 18.
c) ( ) 36.
d) ( X ) 81.
17. 50% dos dados da distribuição situam-se:
a) ( ) abaixo da média.
b) ( X ) acima da mediana.
c) ( ) abaixo da moda.
40
d) ( ) acima da média.
18. Dada a figura abaixo, (polígono de freqüência), o primeiro quartil da distribuição
será:
푄 = 푙 +∑ ∙
⇒ 푸ퟏ = 4 + ∙
⇒ 4 + 1,0 ⇒ 푸ퟏ = 5,0
a) ( X ) 5,0.
b) ( ) 5,5.
c) ( ) 4,8.
d) ( ) 3,0.
19. Os coeficientes de variação dos resultados abaixo são:
Estatística: 푥̅ = 80 e 푆 = 16
História: 푥̅ = 20 e 푆 = 5
퐶.푉 =̅⇒ 퐶.푉 = ⇒ 퐶.푉 = 0,2 ⇒ 퐶.푉 = 20%
퐶.푉 =̅⇒ 퐶.푉 = ⇒ 퐶.푉 = 0,25 ⇒ 퐶.푉 = 25%
a) ( ) 16% e 40%.
b) ( X ) 20% e 25%.
c) ( ) 50% e 40%.
d) ( ) 80% e 40%.
20. Média, mediana e moda, são medidas de:
a) ( ) dispersão.
b) ( X ) posição.
41
c) ( ) assimetria.
d) ( ) curtose.
21. Uma empresa possui dois serventes recebendo salários de $ 2500,00 cada um, quatro
escriturários recebendo $ 6000,00 cada um, um chefe de escritório com salário de $ 10000,00
e três técnicos recebendo $22000,00 cada um.:
A média desses salários é:
푥̅ = ∑ ⇒ 푥̅ = ( , . ) ( , . ) ( . ) ⇒ 푥̅ = ⇒ 푥̅ =10500,00
a) ( ) 1050,00.
b) ( ) 5050,00.
c) ( ) 26250,00.
d) ( X ) n.r.a.
22. O valor dominante de uma distribuição de freqüência chama-se:
a) ( ) mediana.
b) ( ) média.
c) ( X ) moda.
d) ( ) 1º quartil.
23. Na distribuição abaixo:
A moda é:
푀표 = 푙 + ∙ ℎ ⇒ 푀표 = 50 + ∙ 10 ⇒ 푀표 = 50 + 0,6 ∙ 10 ⇒ 푀표 = 56
a) ( ) 50,6.
b) ( ) 55.
c) ( ) 50.
d) ( X ) 56
42
24. Para a distribuição:
A média será:
푥̅ = ∑ ⇒ 푥̅ = ( . ) ( . ) ( . ) ( . ) ( . ) ( . ) ( . )
푥̅ = ⇒ 푥̅ 313
a) ( ) 350.
b) ( X ) 314.
c) ( ) 324,76.
d) ( ) 323,80
25. O valor da medida que deixa 45% dos elementos da distribuição:
푃 = 푙 +∑ ∙
⇒ 푷ퟒퟓ = 40 + . ∙
⇒ 40 + 6 ⇒ 푷ퟒퟓ = 46
a) ( X ) 46.
b) ( ) 50.
c) ( ) 49,6.
d) ( ) 63
26. O 5º decil da distribuição:
푃 = 푙 +∑ ∙
⇒ 푫ퟓ = 6 + . ∙
⇒ 6 + 0,60 ⇒ 푫ퟓ = 6,60
43
a) ( ) 7,20.
b) ( ) 5,50.
c) ( X ) 6,60.
d) ( ) 7,20.
27. A média da distribuição:
푥̅ = ∑ ⇒ 푥̅ = ( . ) ( . ) ( . ) ⇒ 푥̅ = ⇒ 푥̅ = 11,4
a) ( ) 12,0.
b) ( ) 8,50.
c) ( ) 10,83.
d) ( X ) 11,40.
28. O desvio médio da distribuição:
푥̅ = ∑ ⇒ = 120
퐷 = | |∙ ⇒ 퐷 = ⇒ 퐷 = 16
a) ( ) 12.
b) ( ) 14.
c) ( X ) 16.
d) ( ) 18.
29. A variância da distribuição:
44
Classes xi Fi xiFi xi2Fi
1 3 2 0,2 0,4 0,8 3 5 4 0,4 1,6 6,4 5 7 6 0,4 2,4 14,4
1 4,4 21,6
휎 = ∙ Σ푥 ∙ 퐹 − ( ∙ ) ⇒ 휎 = ∙ 21,6− ( , )
휎 = ∙ 21,6 − , ⇒ 휎 = ∙ 2,24 ⇒ 휎 = 2,24
a) ( X ) 2,24.
b) ( ) 2,8.
c) ( ) 2,5.
d) ( ) 4.
30. A média de uma série de valores iguais a uma constante é:
a) ( ) zero.
b) ( X ) o valor da constante.
c) ( ) a unidade.
d) ( ) não é possível calcular o desvio padrão.
45
IV. EXERCÍCIOS – SÉRIE 04
Teoria.
1. Explique qual a utilizada das medidas de dispersão. Dê três exemplos.
Possibilitam representar um conjunto de dados relativos à observação de
determinado fenômeno de forma resumida, e representam os fenômenos pelos seus valores
médios em torno dos quais tendem a concentrar-se os dados.
Ex:
2. O que são medidas de dispersão?
São medidas que servem para verificar a representatividade das medidas de posição,
pois é comum encontrar-se séries que, apesar de terem a mesma média, são compostas de
maneira distinta.
3. Fale sobre as medidas de curtose.
Entende-se por curtose o grau de achatamento de uma distribuição. Com referência
ao grau de achatamento, podemos ter: curva leptocúrtica, curva mesocúrtica e curva
platicúrtica.
4. Se multiplicarmos todos os elementos de uma série por uma constante, que
acontecerá com a média? E com a variância da série?
A média também é multiplicada pela mesma constante.
A variância será multiplicada pelo quadrado dessa constante.
5. Quanto vale Ʃ(푥푖 − 푥̅)?
Em estatística, Ʃ(푥푖 − 푥̅) = 0.
6. Se somarmos a todos os elementos de uma série um número, o que acontecerá com a
média e a variância da série.
46
A média é acrescida deste número e a variância permanecerá inalterada.
7. O primeiro decil é igual ao décimo percentil? Explique.
Sim. O 1º decil é e o 10º percentil é ; e = .
8. Para analisar os dados de uma folha de pagamentos, quais as medidas que você
utilizaria para:
a) Descobrir o salário mais freqüente.
Moda
b) Descobrir o salário que divide o pagamento em partes iguais?
Mediana
c) Descobrir a dispersão absoluta em torno da média.
Desvio médio
d) Descobrir o grau de dispersão relativo.
Desvio padrão
9. Numa distribuição, teremos sempre a mediana como sendo a média aritmética entre o
1º e o 3º quartis?
Não. Vejamos o seguinte exemplo:
Foram calculadas as seguintes medidas para notas dos alunos em duas disciplinas:
Estatística: Q1 = 3,0; Q3 = 6,5; 푥̅ = 5
Matemática: Q1 = 2,0; Q3 = 7,0; 푥̅ = 5
Estat.: ⇒ , ⇒ , = 4,75
Mat.: ⇒ ⇒ = 4,5
Observa-se que em nenhum dos casos a média aritmética entre os dois quartis é igual
à mediana.
47
10. Quando é interessante o uso do processo abreviado para o cálculo da média e da
variância?
Quando a série for muito extensa, os valores de X forem muito grandes e a amplitude
entre tais valores for constante.