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Estatística Descritiva

Prof. Paulo Cesar F. de Oliveira, BSc, PhD

15/08/13 1 © P C F de Oliveira 2013

Capítulo 02 Esta.s/ca Descri/va

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Seção 2.3 Medidas de Tendência Central

Capítulo 02 Esta.s/ca Descri/va Ø Medidas de Tendência Central Ø São valores de um conjunto de dados que representam uma entrada 4pica, ou central

Ø Mais usadas Ø Média Ø Mediana Ø Moda

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Capítulo 02 Esta.s/ca Descri/va Ø Medidas de Tendência Central

Ø Média Ø Soma de todas as entradas de dados dividida pelo número de entradas

Ø Notação sigma: Σx = somar todas as entradas de dados (x) no conjunto de dados.

Ø Média da População

Ø Média da Amostra

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�

µ =x∑

N

�

x =x∑

n

Capítulo 02 Esta.s/ca Descri/va Ø Exemplo – Média

Ø Os preços (em dólares) para uma amostra de vôos entre Chicago e Cancun são listados abaixo. Qual é a média de preço dos vôos?

872  432 397 427 388 782 397

15/08/13 5 © P C F de Oliveira 2013

Capítulo 02 Esta.s/ca Descri/va Ø Solução

Ø A soma dos preços dos vôos é Σx = 872 + 432 + 397 + 427 + 388 + 782 + 397 = 3695 Ø Para encontrar o preço médio divida a soma dos preços

pelo número de preços na amostra

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872 432 397 427 388 782 397

�

x =x∑

n= 3695

7= 527,9

Capítulo 02 Esta.s/ca Descri/va Ø Medidas de Tendência Central Ø Mediana

Ø O valor que está no meio dos dados quando o conjunto dos dados é ordenado

Ø Mede o centro de um conjunto de dados ordenado dividindo-‐o em duas partes iguais

Ø Se o conjunto de dados possui um número de entradas: Ø  ímpar: a mediana é o elemento do meio Ø  par: a mediana será a média dos dois elementos centrais

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Capítulo 02 Esta.s/ca Descri/va Ø Exemplo – Mediana

Ø Os preços (em dólares) para uma amostra de vôos entre Chicago e Cancun são listados abaixo. Qual é a mediana dos preços dos vôos?

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872 432 397 427 388 782 397


Ø Ordene os dados primeiro 388 397 397 427 432 782 872

Ø Existem 7 entradas (número impar), portanto, a mediana é o valor do meio, ou a quarta entrada de dados

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872 432 397 427 388 782 397

Capítulo 02 Esta.s/ca Descri/va Ø Exemplo – Mediana

Ø O preço de $432 não está mais disponível. Qual é a mediana dos preços dos vôos restantes?

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872 397 427 388 782 397


Ø Ordene os dados primeiro 388 397 397 427 782 872

Ø Existem 6 entradas (número par), portanto, a mediana é média das duas entradas do meio.

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872 397 427 388 782 397

�

med = 397 + 4272

= 8242

= 412


Ø Moda Ø Entrada de dados que ocorre com mais frequência Ø Se nenhuma entrada é repe\da, o conjunto de dados não possui moda

Ø Se duas entradas ocorrem com a mesma frequência elevada, cada é uma moda e são chamados de bimodais.

15/08/13 12 © P C F de Oliveira 2013

Capítulo 02 Esta.s/ca Descri/va Ø Exemplo – Moda

Ø Os preços (em dólares) para uma amostra de vôos entre Chicago e Cancun são listados abaixo. Qual é a moda dos preços dos vôos?

15/08/13 13 © P C F de Oliveira 2013

872 432 397 427 388 782 397


Ø Ordene os dados primeiro 388 397 397 427 432 782 872

Ø A entrada 397 ocorre duas vezes, enquanto que as outras ocorrem apenas uma vez.

Ø Portanto a moda dos preços dos vôos é de $397

15/08/13 14 © P C F de Oliveira 2013

872 432 397 427 388 782 397

Capítulo 02 Esta.s/ca Descri/va Ø Exemplo – Moda

Ø Em um debate polí\co, pediu-‐se que uma amostra dos membros do público citasse o par\do ao qual eles pertenciam. As respostas estão resumidas na tabela a seguir. Qual é a moda das respostas?

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Par\do Polí\co Frequência, f Democrata 34 Republicano 56 Outro 21 Não responderam 9


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Par\do Polí\co Frequência, f Democrata 34 Republicano 56 Outro 21 Não responderam 9

A resposta que ocorre com mais frequência é “Republicano”. Desta forma a moda é “Republicano”. Isto significa que, nessa amostra, há mais republicanos do que pessoas de qualquer outra agremiação polí\ca.


Ø Comparando a Média, Mediana e a Moda Ø Todas as 3 medidas descrevem uma entrada 4pica de um conjunto de dados

Ø Vantagem de usar a média Ø É a medida mais confiável porque leva em conta todas as entradas do conjunto

Ø Desvantagem de usar a média Ø Muito afetada por dados discrepantes (outliers) Ø Um dado discrepante é aquele que está muito afastado dos outros dados do conjunto.

15/08/13 17 © P C F de Oliveira 2013

Capítulo 02 Esta.s/ca Descri/va Ø Exemplo – Comparando as 3 medidas

Ø Encontre a média, a mediana e a moda da seguinte amostra de idades de uma classe. Qual é a medida de tendência central que melhor descreve uma entrada de dados? Existe algum dado estranho?

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Idades em uma classe

20 20 20 20 20 20 21

21 21 21 22 22 22 23

23 23 23 24 24 65 Dado discrepante


Ø Média

Ø Mediana

Ø Moda

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Idades em uma classe

20 20 20 20 20 20 21

21 21 21 22 22 22 23

23 23 23 24 24 65

�

x =x∑

n= 47520

= 23,75anos

�

Med = 21+ 222

= 21,5anos

�

Moda = 20anos

Capítulo 02 Esta.s/ca Descri/va Ø Solução – Comparando resultados

Ø A média leva em conta todas as entradas, mas é influenciada pelo dado estranho de 65

Ø A mediana também leva em conta todas as entradas, mas não é afetada pelo dado estranho

Ø Neste caso a moda existe, mas não parece representar uma entrada 4pica

15/08/13 20 © P C F de Oliveira 2013

Média ≈ 23,8 anos Mediana = 21,5 anos Moda = 20 anos

Capítulo 02 Esta.s/ca Descri/va Ø Solução – Comparando resultados

Ø Às vezes uma comparação gráfica pode ajudar na sua decisão sobre qual medida de tendência central melhor representa um conjunto de dados

15/08/13 21 © P C F de Oliveira 2013

Nesse caso, parece que a mediana é a que melhor descreve o conjunto de dados.


Ø Média Ponderada Ø Média de um conjunto de dados cujas entradas têm pesos variáveis.

15/08/13 22 © P C F de Oliveira 2013

�

x =x ⋅ w( )∑

w∑Onde: w é o peso de cada entrada de x

Capítulo 02 Esta.s/ca Descri/va Ø Exemplo

Ø Você está assis\ndo a um curso no qual sua nota é determinada a par\r de cinco fontes: 50% da média de seus testes, 15% de seu exame no meio do curso, 20% de seu exame final, 10% de seu trabalho no laboratório de informá\ca e 5% do seu trabalho feito em casa. As suas notas são 86 (média dos testes), 96 (exame no meio do curso), 82 (exame final), 98 (laboratório de informá\ca) e 100 (trabalho de casa). Qual é a média ponderada de suas notas?

15/08/13 23 © P C F de Oliveira 2013


15/08/13 24 © P C F de Oliveira 2013

Fonte Notas, x Pesos, w x·w Média dos Testes 86 0,50 86x0,50= 43,0 Exame do Meio 96 0,15 96x0,15 = 14,4 Exame Final 82 0,20 82x0,20 = 16,4 Laboratório de Informá\ca 98 0,10 98x0,10 = 9,8 Trabalho de casa 100 0,05 100x0,05 = 5,0

Σw = 1 Σ(x·w) = 88,6

�

x =x ⋅ w( )∑

w∑= 88,6

1= 88,6


Ø Média de Dados Agrupados Ø Média de uma Distribuição de Freqüência

15/08/13 25 © P C F de Oliveira 2013

�

x =x ⋅ f( )∑n

Onde: x e f são respec\vamente os pontos médios e as frequências de uma classe �

n = f∑Observe que:

Capítulo 02 Esta.s/ca Descri/va Ø Média de uma Distribuição de Freqüência

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Em Palavras Em Símbolos 1. Calcule o ponto médio de cada classe.

2. Calcule a soma dos produtos entre os pontos médios e as freqüências.

3. Calcule a soma das freqüências.

4. Calcule a média da distribuição de freqüência.

�

x =x ⋅ f( )∑n

�

n = f∑�

x =lim inf( ) + lim sup( )

2

�

x ⋅ f( )∑


Ø Use a distribuição de freqüência ao lado para aproximar a média do número de minutos que uma amostra de internautas gastou durante sua navegação mais recente na rede.

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Classe Ponto Médio

Frequência, f

7 – 18 12,5 6 19 – 30 24,5 10 31 – 42 36,5 13 43 – 54 48,5 8 55 – 66 60,5 5 67 – 78 72,5 6 79 – 90 84,5 2


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Classe Ponto Médio, x

Freqüência, f (x·f)

7 – 18 12,5 6 12,5x6 = 75,0 19 – 30 24,5 10 24,5x10 = 245,0 31 – 42 36,5 13 36,5x13 = 474,5 43 – 54 48,5 8 48,5x8 = 388,0 55 – 66 60,5 5 60,5x5 = 302,5 67 – 78 72,5 6 72,5x6 = 435,0 79 – 90 84,5 2 84,5x2 = 169,0

n = 50 Σ(x·f) = 2089,0

�

x =x ⋅ f( )∑n

�

x = 208950

≈ 41,8

Capítulo 02 Esta.s/ca Descri/va Ø Aspecto das Distribuições

Ø Um gráfico revela várias caracterís\cas de uma distribuição de freqüência. Uma delas é o aspecto. Ø Simétrica quando pode-‐se traçar uma linha ver\cal pelo ponto médio do gráfico de distribuição e as duas metades resultantes forem aproximadamente imagens espelhadas

Ø Uniforme (retangular) quando todas as entradas, ou classes, na distribuição \verem frequências iguais. Ela também é simétrica.

Ø Assimétrica se a “cauda” do gráfico se prolongar mais de um lado do que o outro. Ø Uma distribuição será assimétrica à esquerda se a sua cauda se

prolongar para a esquerda. Ø Uma distribuição será assimétrica à direita se sua cauda se prolongar

para a direita. 15/08/13 29 © P C F de Oliveira 2013


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Uma linha ver\cal pode ser desenhada no meio do gráfico de distribuição e as metades resultantes se parecem com imagens espelhadas Média = Mediana = Moda


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Média = Mediana

Todas as entradas na distribuição têm frequências iguais ou quase iguais


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Ø Assimétrica nega\vamente

Ø A cauda do gráfico alonga-‐se mais à esquerda

Ø A média fica à esquerda da mediana

Média < Mediana


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Ø A cauda do gráfico alonga-‐se mais à direita

Ø A média fica à direita da mediana

Média > Mediana


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Seção 2.4 Medidas de Variação

Capítulo 02 Esta.s/ca Descri/va Ø Medidas de Variação Ø Indicam o quanto os dados se apresentam dispersos (espalhados) em torno da região central

Ø Caracterizam, portanto, o grau de variação existente no conjunto de valores

Ø Mais usadas Ø Amplitude Total Ø Desvio-‐padrão Ø Variância

15/08/13 35 © P C F de Oliveira 2013

Capítulo 02 Esta.s/ca Descri/va Ø Medidas de Variação Ø Amplitude Total

Ø É a diferença entre as entradas máxima e a mínima do conjunto.

Ø Os dados devem ser quan\ta\vos Amplitude Total = (entrada máxima) – (entrada mínima)

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Ø Uma empresa contratou 10 pessoas com curso superior. O salário inicial dessas pessoas é mostrado a seguir.

Salário inicial (em milhares de dólares) 41 38 39 45 47 41 44 41 37 42

15/08/13 37 © P C F de Oliveira 2013


Ø Deve-‐se colocar os dados em ordem para determinar o menor e o maior salário

37 38 39 41 41 41 42 44 45 47

Amplitude Total = salário máx. – salário mín. = 47 – 37 = 10

15/08/13 38 © P C F de Oliveira 2013

mínimo máximo

Capítulo 02 Esta.s/ca Descri/va Ø Medidas de Variação

Ø Desvio Ø Diferença entre a entrada e a média do conjunto de dados.

Ø Conjunto de dados de uma população Desvio de x = x – µ

Ø Conjunto de dados de uma amostra Desvio de x = x – x

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Ø Uma empresa contratou 10 pessoas com curso superior. O salário inicial dessas pessoas é mostrado a seguir.


15/08/13 40 © P C F de Oliveira 2013


Ø Calcula-‐se primeiramente o salário médio inicial

Ø Depois calcula-‐se o desvio para cada entrada de dados

15/08/13 41 © P C F de Oliveira 2013

�

µ = 41510

= 41,5

Salário, x Desvio: x – µ 41 41 – 41,5 = –0,5 38 38 – 41,5 = –3,5 39 39 – 41,5 = –2,5 45 45 – 41,5 = 3,5 47 47 – 41,5 = 5,5 41 41 – 41,5 = –0,5 44 44 – 41,5 = 2,5 41 41 – 41,5 = –0,5 37 37 – 41,5 = –4,5 42 42 – 41,5 = 0,5

Σx = 415 Σ(x – µ) = 0


Ø Variância Populacional

Ø Desvio Padrão Populacional

15/08/13 42 © P C F de Oliveira 2013

�

σ 2 =x − µ( )2∑N

�

σ = σ 2 =x − µ( )2∑N

Soma dos quadrados, SSx

Capítulo 02 Esta.s/ca Descri/va Ø Obtendo a Variância e o Desvio Padrão Populacional Populacional

15/08/13 43 © P C F de Oliveira 2013

Em Palavras Em Símbolos

1. Calcule a média do conjunto de dados.

2. Calcule o desvio de cada entrada.

3. Eleve cada desvio ao quadrado.

4. Some os resultados para obter a soma dos quadrados.

�

SSx = x − µ( )2∑�

x − µ( )2�

µ =x∑

N

�

x − µ

Capítulo 02 Esta.s/ca Descri/va Ø Obtendo a Variância e o Desvio Padrão Populacional Populacional

15/08/13 44 © P C F de Oliveira 2013


5.  Divida por N para obter a variância populacional.

6.  Calcule raiz quadrada para obter o desvio padrão populacional.

�

σ 2 =x − µ( )2∑N

�

σ =x − µ( )2∑N


Ø Uma empresa contratou 10 pessoas com curso superior. Os salários iniciais para cada um delas são mostrados abaixo. Calcule a variância e o desvio padrão populacional para esses salários.


15/08/13 45 © P C F de Oliveira 2013


Ø Lembre-‐se que:

Ø Calcule SSx Ø N = 10

15/08/13 46 © P C F de Oliveira 2013

�

µ = 41510

= 41,5

Σ(x – µ) = 0

Salário, x Desvio: x – µ Quadrados: (x – µ)2 41 41 – 41,5 = –0,5 (–0,5)2 = 0,25 38 38 – 41,5 = –3,5 (–3,5)2 = 12,25 39 39 – 41,5 = –2,5 (–2,5)2 = 6,25 45 45 – 41,5 = 3,5 (3,5)2 = 12,25 47 47 – 41,5 = 5,5 (5,5)2 = 30,25 41 41 – 41,5 = –0,5 (–0,5)2 = 0,25 44 44 – 41,5 = 2,5 (2,5)2 = 6,25 41 41 – 41,5 = –0,5 (–0,5)2 = 0,25 37 37 – 41,5 = –4,5 (–4,5)2 = 20,25 42 42 – 41,5 = 0,5 (0,5)2 = 0,25

SSx= 88,5 �

σ 2 = 88,510

= 8,85

�

σ = 8,85 ≈ 2,97


Ø Variância Amostral

Ø Desvio Padrão Amostral

15/08/13 47 © P C F de Oliveira 2013

�

s2 =x − x ( )2∑

n −1

�

s = s2 =x − x ( )2∑

n −1

Soma dos quadrados, SSx

Capítulo 02 Esta.s/ca Descri/va Ø Obtendo a Variância e o Desvio Padrão Amostral

15/08/13 48 © P C F de Oliveira 2013


1. Calcule a média do conjunto de dados amostrais.

2. Calcule o desvio de cada entrada.

3. Eleve cada desvio ao quadrado.

4. Some os resultados para obter a soma dos quadrados.

�

SSx = x − x ( )2∑�

x − x ( )2�

x =x∑

n

�

x − x

Capítulo 02 Esta.s/ca Descri/va Ø Obtendo a Variância e o Desvio Padrão Amostral APopulacional

15/08/13 49 © P C F de Oliveira 2013


5.  Divida por n – 1 para obter a variância amostral.

6.  Calcule raiz quadrada para obter o desvio padrão amostral.

�

s2 =x − x ( )2∑

n −1

�

s =x − x ( )2∑

n −1


Ø Os salários iniciais abaixo são para as filiais de Chicago de uma grande empresa. Esta empresa possui outras filiais e você planeja usar esses salários para es\mar os salários iniciais de uma população maior. Calcule o desvio padrão amostral.


15/08/13 50 © P C F de Oliveira 2013


Ø Lembre-‐se que:

Ø Calcule SSx Ø n = 10

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�

x = 41510

= 41,5

Σ(x – x) = 0

Salário, x Desvio: x – x Quadrados: (x – x)2 41 41 – 41,5 = –0,5 (–0,5)2 = 0,25 38 38 – 41,5 = –3,5 (–3,5)2 = 12,25 39 39 – 41,5 = –2,5 (–2,5)2 = 6,25 45 45 – 41,5 = 3,5 (3,5)2 = 12,25 47 47 – 41,5 = 5,5 (5,5)2 = 30,25 41 41 – 41,5 = –0,5 (–0,5)2 = 0,25 44 44 – 41,5 = 2,5 (2,5)2 = 6,25 41 41 – 41,5 = –0,5 (–0,5)2 = 0,25 37 37 – 41,5 = –4,5 (–4,5)2 = 20,25 42 42 – 41,5 = 0,5 (0,5)2 = 0,25

SSx= 88,5 �

s2 = 88,510 −1

≈ 9,83

�

s = 9,83 ≈ 3,14


Ø Interpretando o Desvio Padrão Ø Desvio Padrão mede o quanto uma entrada 4pica se desvia da média

Ø Quanto mais espalhadas as entradas estão, maior será o desvio padrão.

15/08/13 52 © P C F de Oliveira 2013


Ø Interpretando o Desvio Padrão Ø Vários conjuntos de dados da vida real têm distribuições com a forma aproximada de um sino.

Ø Existe para isto uma regra empírica para ajudar a ver o desvio padrão como medida de variação Ø Cerca de 68% dos dados estão dentro de 1 desvio padrão da média

Ø Cerca de 95% dos dados estão dentro de 2 desvios padrão da média

Ø Cerca de 99,7% dos dados estão dentro de 3 desvios padrão da média

15/08/13 53 © P C F de Oliveira 2013

Capítulo 02 Esta.s/ca Descri/va Ø Interpretando o Desvio Padrão – Regra Empírica

15/08/13 54 © P C F de Oliveira 2013

x

68% dentro de 1 desvio padrão

34% 34%

99,7% dentro de 3 desvios padrão

2,35% 2,35%

95% dentro de 2 desvios padrão

13,5% 13,5%

�

x − 3s

�

x − 2s

�

x − s

�

x + s

�

x + 2s

�

x + 3s


Ø Em um levantamento conduzido pelo Na\onal Center for Health Sta\s\cs (Centro Nacional de Esta4s\ca da Saúde), a média da amostra de alturas de mulheres nos Estados Unidos com idade entre 20 e 29 anos foi de 64 polegadas, com desvio padrão amostral de 2,75 polegadas. Es\me o percentual de mulheres cujas alturas estão entre 64 e 69,5 polegadas.

15/08/13 55 © P C F de Oliveira 2013


Ø Como a distribuição possui a forma de sino, usa-‐se a regra empírica

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55,75 58,5 61,25 64 66,75 69,5 72,25

34%

13,5%

x

�

x − 3s

�

x − 2s

�

x − s

�

x + s

�

x + 2s

�

x + 3s

�

x + 2s = 64 + (2 × 2,75) = 69,5

�

34% +13,5% = 47,5%


Ø Interpretando o Desvio Padrão Ø Teorema de Chebychev

Ø A parcela de qualquer conjunto de dados que está dentro de k desvios padrão (k > 1) da média é pelo menos

Ø  k = 2: em qualquer conjunto de dados, pelo menos ou 75%

dos dados estão dentro de 2 desvios padrão da média

Ø  k = 3: em qualquer conjunto de dados, pelo menos ou

88,9% dos dados estão dentro de 3 desvios padrão da média

15/08/13 57 © P C F de Oliveira 2013

�

1− 1k 2

�

1− 122

= 34

�

1− 132

= 89


Ø A distribuição de idade para a Flórida é mostrada no histograma abaixo. Aplique o Teorema de Chebychev aos dados usando k = 2. O que você pode concluir?

15/08/13 58 © P C F de Oliveira 2013


15/08/13 59 © P C F de Oliveira 2013

k = 2: µ – 2σ = 39,2 – 2×24,8 = –10,4 µ + 2σ = 39,2 + 2×24,8 = 88,8

(use 0 já que idade não pode ser nega\va)

Pelo menos 75% da população da Flórida está entre 0 e 88,8 anos de idade.


Ø Desvio Padrão para dados agrupados Ø  Desvio Padrão Amostral de uma distribuição de frequência

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�

s =x − x ( )2 f∑n −1

�

n = f∑Onde: (Número de entradas no conjunto de dados)

Quando uma distribuição de frequência possui classes, usa-‐se o ponto médio de cada classe para calcular a média e o desvio padrão amostral.


Ø Você coletou uma amostra aleatória do número de crianças por família em uma região. Os resultados estão dispostos na tabela correspondente. Determine a média e o desvio padrão da amostra do conjunto de dados.

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Número de crianças em 50 famílias

1 3 1 1 1

1 2 2 1 0

1 1 0 0 0

1 5 0 3 6

3 0 3 1 1

1 1 6 0 1

3 6 6 1 2

2 3 0 1 1

4 1 1 2 2

0 3 0 2 4


Ø Primeiro construa a distribuição de freqüência

Ø Calcule a média da freqüência de distribuição

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x f xf 0 10 0×10 = 0 1 19 1×19 = 19 2 7 2×7 = 14 3 7 3×7 =21 4 2 4×2 = 8 5 1 5×1 = 5 6 4 6×4 = 24

n =Σf = 50 Σ(xf ) = 91

�

x =(xf )∑n

= 9150

≈1,8


Ø Calcule a soma dos quadrados

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x f x – x (x – x)2 (x – x)2f

0 10 0 – 1,8 = –1,8 (–1,8)2 = 3,24 3,24×10 = 32,40 1 19 1 – 1,8 = –0,8 (–0,8)2 = 0,64 0,64×19 = 12,16 2 7 2 – 1,8 = 0,2 (0,2)2 = 0,04 0,04×7 = 0,28 3 7 3 – 1,8 = 1,2 (1,2)2 = 1,44 1,44×7 = 10,08 4 2 4 – 1,8 = 2,2 (2,2)2 = 4,84 4,84×2 = 9,68 5 1 5 – 1,8 = 3,2 (3,2)2 = 10,24 10,24×1 = 10,24 6 4 6 – 1,8 = 4,2 (4,2)2 = 17,64 17,64×4 = 70,56

Σ = 145,4


Ø Calcule o desvio padrão amostral

15/08/13 64 © P C F de Oliveira 2013

�

s =x − x ( )2 f∑n −1

= 145,450 −1

= 145,449

≈1,7

Capítulo 02 Esta.s/ca Descri/va Ø Medidas de Posição Ø Descrevem a posição de um valor de dados específico possui em relação ao resto dos dados

Ø Mais usadas Ø Quar\s Ø Percen\s Ø Decis Ø Escore padrão (z-‐score)

15/08/13 66 © P C F de Oliveira 2013

Capítulo 02 Esta.s/ca Descri/va Ø Medidas de Posição

Ø Frac/s são números que dividem um conjunto de dados ordenado em partes iguais

Ø Quar/s são números que dividem um conjunto de dados ordenado em 4 partes iguais Ø  Primeiro quar/l – Q1: cerca de um quarto dos dados fica

dentro ou abaixo Ø  Segundo quar/l – Q2: cerca da metade dos dados fica dentro

ou abaixo (mediana) Ø  Terceiro quar/l – Q3: cerca de três quartos dos dados fica

dentro ou abaixo

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Ø A pontuação nos testes de 15 empregados envolvidos em um curso de treinamento está disposto a seguir. Obtenha o primeiro, segundo e terceiro quar\s da pontuação dos testes.

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13 9 18 15 14 21 7 10 11 20 5 18 37 16 17


Ø Primeiro ordene os dados e obtenha Q2

Ø Q2 divide o conjunto de dados em 2 metades (mediana)

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5 7 9 10 11 13 14 15 16 17 18 18 20 21 37

Q2

Metade Inferior Metade Superior


Ø O primeiro (Q1) e terceiro (Q3) quar\s são as medianas das metades inferior e superior

Ø Cerca de um quarto dos empregados fez 10 pontos ou menos, cerca da metade fez 15 pontos ou menos e cerca de três quartos conseguiu 18 pontos ou menos.

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5 7 9 10 11 13 14 15 16 17 18 18 20 21 37

Q2

Metade Inferior Metade Superior

Q1 Q3


Ø Amplitude Interquar/l (AIQ) Ø  Diferença entre o terceiro e o primeiro quar\s

15/08/13 71 © P C F de Oliveira 2013

�

AIQ = Q3 −Q1


Ø Obtenha a amplitude interquar\l da pontuação nos 15 testes dados no exemplo anterior.

15/08/13 72 © P C F de Oliveira 2013


Ø Lembre-‐se que

Q1 = 10, Q2 = 15, e Q3 = 18

Ø Então

Ø  Isso significa que as pontuações no teste na metade do conjunto de dados variam no máximo em 8 pontos.

15/08/13 73 © P C F de Oliveira 2013

�

AIQ = Q3 −Q1 =18 −10 = 8


Ø Plote Maria-‐Chiquinha (Box-‐and-‐whisker plot) Ø  Ferramenta de análise exploratória de dados Ø  Realça caracterís\cas importantes de um conjunto de

dados Ø  Requer os seguintes valores (resumo cinco-‐números)

Ø Entrada mínima Ø Primeiro quar\l Q1 Ø Mediana Q2 Ø Terceiro quar\l Q3 Ø Entrada máxima

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Capítulo 02 Esta.s/ca Descri/va Ø Desenhando um Plote Maria-‐Chiquinha

Ø  Obtenha o resumo cinco-‐números Ø  Construa uma escala horizontal que abranja a amplitude total (AT)

dos dados Ø  Plote os 5 números acima da escala horizontal Ø  Faça uma caixa acima da escala horizontal de Q1 a Q3 e trace uma

reta ver\cal na caixa passando por Q2 Ø  Faça as tranças a par\r da caixa para as entradas mínima e

máxima

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Trança Trança

Entrada máxima

Entrada mínima

Caixa

Mediana, Q2 Q3 Q1


Ø Faça um plote maria-‐chiquinha que represente a pontuação dos 15 testes dados no exemplo anterior. O que você pode concluir do gráfico?

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5 7 9 10 11 13 14 15 16 17 18 18 20 21 37


Ø O resumo cinco-‐números das pontuações

Ø Cerca da metade das pontuações está entre 10 e 18. Ø Olhando para o comprimento da trança direita pode-‐se

concluir que 37 é um possível dado discrepante (outlier).

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Min = 5 Q1 = 10 Q2 = 15 Q3 = 18 Max = 37

5 10 15 18 37


Ø Percen/s e outros frac/s

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Frac/s Resumo Símbolos Quar\s Divide o conjunto de dados

em 4 partes iguais Q1, Q2, Q3

Decis Divide o conjunto de dados em 10 partes iguais

D1, D2, D3,…, D9

Percen\s Divide o conjunto de dados em 100 partes iguais

P1, P2, P3,…, P99


Ø Exemplo – Interpretando os percen/s Ø O gráfico de freqüência

acumulada para a pontuação no teste SAT (teste de lógica) do ano 2000 está representado no gráfico. Que pontuação representa o 72° percen\l? Como interpretar isso? (Fonte: College Board Online)

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Ø O 72° percen\l corresponde a uma pontuação no teste de 1700

Ø  Isto significa que 72% dos estudantes \veram uma pontuação no SAT de 1700 ou menos

15/08/13 80 © P C F de Oliveira 2013


Ø Escore Padrão (z-‐score ou escore-‐z) Ø Representa o número de desvios padrão no qual está um valor dado x a par\r da média m.

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�

z = valor −médiadesvio padrão

= x − µσ

Capítulo 02 Esta.s/ca Descri/va Ø Exemplo 1

Ø A velocidade média dos veículos ao longo de um trecho de uma estrada é de 56 milhas por hora (mph), com desvio padrão de 4 mph. Foram medidas as velocidades de 3 carros ao longo da estrada, obtendo-‐se respec\vamente 62 mph, 47 mph e 56 mph. Calcule o escore z correspondente a cada velocidade. O que você pode concluir?

15/08/13 82 © P C F de Oliveira 2013


Ø Conclui-‐se que a velocidade de 62 mph está 1,5 desvios padrão acima da média, a de 47 mph está 2,25 desvios padrão abaixo da média e a de 56 mph é igual à média

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x = 62 mph x = 47 mph x = 56 mph

�

z = 62 − 564

=1,5

�

z = 47 − 564

= −2,25

�

z = 56 − 564

= 0


Ø Exemplo 2 Ø  Em 2007, o ator Forest Whitaker ganhou o Oscar de melhor

ator, aos 45 anos de idade, por sua atuação no filme O Úl4mo Rei da Escócia. A atriz Helen Mirren ganhou o prêmio de melhor atriz aos 61 anos por seu papel em A Rainha. A idade média para todos os vencedores do prêmio de melhor ator é 43,7, com desvio padrão de 8,8. A idade média para as vencedoras do prêmio de melhor atriz é 36, com desvio padrão de 11,5. Encontre o escore z que corresponda à idade de cada ator ou atriz. Depois, compare os resultados.

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Ø Forest Whitaker 45 43.7 0.158.8

xz µσ− −= = ≈

Ø Helen Mirren 61 36 2.1711.5

xz µσ− −= = ≈

Desvio padrão 0,15 acima da média

Desvio padrão 2,17 acima da média


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Escores muito incomuns Escores não comuns Escores comuns Escore z

z = 0.15 z = 2.17

O escore z correspondente à idade de Helen Mirren é mais de dois desvios padrão da média, então é considerado incomum. Comparado a outras vencedoras do prêmio de melhor atriz, ela é rela\vamente mais velha, enquanto a idade de Forest Whitaker é pouco acima da média dos ganhadores do prêmio de melhor ator.

estatística descritiva - blogdoprofpc.files.wordpress.com · capítulo02) estascadescriva!...

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