8............................................................. MEDIO DE NGULOS

8.1. INTRODUO A localizao de pontos e orientao de linhas depende para alm as distncias, das medies de ngulos e das direces (azimute/rumo).

A dimenso dos ngulos a serem medidos pode ser considerados: naturais, fixos ou livres.

Como ngulos naturais, temos o caso dos azimutes magnticos e declinaes magnticas. Para sua determinao utilizam-se instrumentos tais como; bssolas topogrficas e gonigrafos.

ngulos fixos tm uma grandeza definida. Usa-se para a sua determinao instrumentos tais como; esquadros de pnulas, de espelhos e de prismas para a medio de ngulos perpendiculares (90) ou de 45, e a utilizao de fitas para medio de ngulos perpendiculares (mtodo 3-4-5) .

Os ngulos livres so aqueles que tm dimenses livres.

8.2. UNIDADES DE NGULOS As unidades mais utilizadas so; sexagesimal, centesimal e radianos.

A graduao no sistema sexagesimal baseada em graus ()*, sendo a circunferncia dividida de 0 a 360. O ngulo recto divide-se neste sistema em 90 partes iguais a cada uma das quais se chama grau.

1 = 60 = 3.600 ( e designam minutos e segundos respectivamente)

No sistema centesimal a graduao feita de 0-400 grados (g), e a mais usada por oferecer comodidade na leitura dos ngulos e nos clculos. Neste sistema, o ngulo recto divide-se em 100 partes iguais a cada uma das quais se chama grado.

1g = 100c = 10.000cc (c e cc designam centgrado e centi-centrgrado respectivamente).

No sistema de radiano - (que corresponde a um arco igual ao raio), o mais usado nos servios militares, a graduao em milsimos de radiano, isto , o ngulo segundo o qual se v a um metro de distncia de 1 km. A circunferncia tem 2pi, isto , 6 283 milsimos, no entanto, na prtica se usa 6 400 milsimos.

Resultando, 1radiano (o arco, igual ao raio) = 57,2957795 (graus). = 63,661977g (grados).

= 3437,74677 (minutos) = 6366,1977c (centigrado)

8.3 LIMBOS So constitudos por uma coroa de metal, geralmente de prata ou, nos mais modernos aparelhos de cristal, graduada com uma mquina de dividir. A graduao pode ser feita em 400 grados ou 360 graus, usualmente no sentido do movimento dos ponteiros de um relgio.

A graduao em grado a mais usada, visto ser a mais cmoda para as leituras dos limbos e tambm para efeitos de clculos a efectuar com os ngulos. Os limbos graduados em graus podem ser encontrados ainda em aparelhos usados na astronomia, em virtude da relao existente entre a diviso horria do

equador da Terra e a diviso em milsimos do radiano (1m visto a 1.000m); como a circunferncia tem 2pi radianos, isto , 6. 283 milsimos, considera-se, para simplificar, dividir em 6.000 ou em 6.400 milsimos.

Nos teodolitos modernos contrariamente aos antigos, usa-se mais o microscpio em vez dos nnios para a avaliao das fraces da menor diviso dos limbos. de recordar que os nnios so construdos por uma poro de coroa circular que se desloca ao longo do limbo. Estes so utilizados em aparelhos de baixa preciso.

Os microscpios mais usados nos instrumentos clssicos classificam-se em: i) Microscpio de escala, ii) Microscpio com micrmetro ptico, iii) Microscpio com justaposio de imagem de zonas opostas ao limbo,

Microscpio de escala - constitudo por um microscpio em vez do retculo, com uma escala de comprimento igual a uma diviso do limbo, gravada sobre uma lmina de cristal. Est graduada em sentido contrrio ao da graduao do limbo, a fim de poder medir a fraco entre o seu zero, que o ndice, e a diviso precedente do limbo (ver fig. 8.1).

Este sistema utiliza-se actualmente em aparelhos conhecidos como Wild, Watts, Zeiss, entre outros, em que as imagens dos dois limbos so transportadas por um sistema de prisma at ocular do microscpio situado junto luneta.

Fig. 8.1 Microscpio de escala

Leitura de ngulo no limbo horizontal H = 123 39 10 e ngulo vertical V = 10 29 00

Microscpio com micrmetro ptico Neste dispositivo, visto na fig. 8.2, a fraco da graduao mede-se pelo deslocamento que necessrio dar a imagem do limbo, por intermdio de uma lmina de faces paralelas, para levar o trao da graduao, que precede o retculo e coincidncia com este.

O deslocamento do microscpio medido pelo ngulo de rotao da lmina transmitido por um tambor graduado de cristal, cuja imagem observada tambm pelo microscpio. A ocular do microscpio est

situada junto luneta sendo o transporte das imagens dos dois limbos (horizontal e vertical) e do tambor comum, feita atravs de um conjunto de prismas.

Fig. 8.2 Microscpio simples com micrmetro ptico

(Leitura de ngulo vertical V = 87 22 35)

Microscpio com justaposio de imagem de zonas s opostas ao limbo ou de coincidncia - Face aos erros da construo dos aparelhos necessrio fazer a mdia de leituras em zonas diametralmente opostas do limbo para a eliminao desses erros.

Portanto, com este microscpio eliminam-se erros por intermdio de um sistema de prisma, leva as imagens justaposio a cada zona do limbo, o que permite obter a mdia directamente.

Fig. 8.3 Microscpio com micrmetro de coincidncia, a) antes e b) depois de acertar (leitura 94 12 43,5)

8.4. TEODOLITOS O teodolito (do grego theomai olhar e delichs longe) so o instrumento mais usado para medies de ngulos horizontais e verticais. Na fig. 8.4 apresentamos um esquema geral e simplificado de um teodolito moderno, utilizado para fins de medio de ngulos.

fig. 8.5 esquema de um teodolito moderno legenda:

1- nvel tubular de verticalizao; 2- objectiva da luneta; 3- parafuso de fixao e ajustamento da alidade; 4- prumo ptico; 5- parafuso de ajustamento do movimento horizontal; 6- parafuso nvelante; 7- limbo vertical; 8- parafuso de fixao e ajustamento do movimento vertical; 9- ocular da luneta; 10- nvel tubular de horizontalizao; 11- limbo horizontal; 12- prato basculante do trip; 13- fio-de-prumo.

8.5. CLASSIFICAO DOS NGULOS. Dividimos ngulos em 2 grupos principais: - ngulos horizontais,

- ngulos verticais,

8.5.1. NGULOS HORIZONTAIS. ngulos horizontais so medies horizontais de direco que nos permitem deduzir o que elas formam com o plano do meridiano da estao (lugar). Isto , o azimute, por isso, emprega-se tambm a designao de observaes azimutais. Ele o rectilneo de diedro formado pelos planos verticais que contm essas direces. Este o ngulo de projeces de direco sobre um plano horizontal.

Fig 8.4 - esquema de um ngulo horizontal

8.5.2. OBSERVAO DE NGULOS HORIZONTAIS. Depois de ter estacionado o teodolito no ponto P (ver fig. 7.4) e fixado o limbo, aponta-se luneta para o ponto A, e faz-se a leitura no limbo azimutal, apontando depois para B, fazendo ento nova leitura; a diferena das leituras determina, evidentemente, o ngulo horizontal ou azimutal das duas direces.

Para que a leitura seja efectuada com rigor necessrias que sejam satisfeitas em primeiro lugar certas condies como: condies de construo do prprio teodolito e as chamadas condies de rectificao.

Fig. 8.6, esquema geral do teodolito.

As condies de construo a que um teodolito tem de satisfazer (ver a fig. 8.6), so:

1. O eixo principal do teodolito VV (ou eixo de rotao da alidade), deve ser perpendicular ao plano do limbo horizontal,

2. O eixo de rotao HH deve passar pelo centro do limbo horizontal e ser normal ao eixo principal,

3. O eixo ptico da luneta ZZ deve cruzar o eixo principal,

4. A graduao do limbo deve ser constante e exacta.

A falta de cumprimento destas condies d origem a erros instrumentais de construo que, embora muito atenuados nos aparelhos de construo moderna, importante tambm conhecer as possibilidades da sua eliminao. Estas so conhecidas por condies de rectificao:

As condies de rectificao (centralizao das bolhas de nveis): 1. O eixo principal deve ser vertical, 2. O eixo de rotao da luneta (eixo secundrio ou dos munhes), deve ser normal ao eixo principal, 3. O eixo ptico da luneta deve ser perpendicular ao eixo de rotao (eixo das munhes ou eixo secundrio).

8.5.3. MTODOS DE MEDIO DE NGULOS HORIZONTAIS. A escolha de ngulos horizontais depende da necessidade da preciso a atingir e o tipo de instrumento (teodolito) que dispomos. O mtodo deve ser de tal maneira preciso de forma a eliminar erros sistemticos, resultado da no observncia das condies do instrumento. O mtodo deve responder no mximo a eliminao de erros.

Nos trabalhos de topografia mineira, dividimos os mtodos de medio de ngulos em 3 grupos: - mtodo simples, - mtodo de repeties, - mtodo de reiteraes,

8.5.3.1. MTODO SIMPLES. Este mtodo consiste principalmente na operao descrita no ponto 8.4.1 (ver a fig. 8.4). Este mtodo o menos rigoroso e utilizado onde menos preciso desejada para a determinao rpida dum ngulo.

A determinao do ngulo , observado a partir da estao Po (ver a fig. 8.7) nos vrtices P1 e P2, so executados da seguinte maneira:

Observadas as condies indispensveis, apontamos no ponto P1 e registamos a leitura a1 e a seguir apontamos no ponto P2 e registamos a nova leitura que ser a2, a diferena dar o valor do ngulo. Se realizarmos a observao na mesma posio do limbo duas vezes, teremos:

2''a'1a

a22

2+

=

aa a

22 2

2=

+' ' '

e

= a2- a1

Fig. 8.7 esquema de medio do ngulo por mtodo simples.

O registo e clculo dos ngulos medidos com o mtodo simples se encontram na tabela 1. Tabela 1. Medido por: Robati Lissungo Data 15. 09. 2002 Tipo de instrumento Zeiss 010

Mtodo de medio de ngulos simples (em grados)

E s t a .

A l v o

Mdia I e II

Esquema de medies

Leitura I Mdia 1 e 2

Leitura II Mdia 1 e 2 1 2 1 2

g

c

cc

c

cc

c

cc

g

c

cc

c

cc

c

cc

g

c

cc

Po

P1

195

78

24

P2

281

21

91

85

43

67

+ 3

85

43

55

Po

P1

395

79

59

85

43

58

P2

81

23

02

85

43

43

Po

P2

8

21

39

P1

322

77

69

314

56

30

+ 3

314

56

39

Po

P2

208

22

70

314

56

42

P1

122

79

19

314

56

49

8.5.3.2. MTODO DE REPETIO. Quando se torna necessrio determinar ngulos azimutais com grande preciso, para eliminar erros de m graduao do limbo, e outros que no so de natureza peridica, utilizamos mtodos especiais de observao. Assim executamos vrias vezes a medio dos ngulos em regies diferentes do limbo, achando a mdia dos valores medidos, como ilustra a fig. fig. 8.8.

Para medir um ngulo pelo mtodo de repetio, necessrio que o limbo graduado e a alidade que transporta a luneta esteja disposto de forma a poder mover-se solidamente, isto , que o instrumento tenha os movimentos do conjunto, movimento geral e particular. Este teodolito, portanto deve ser repetidor.

Fig 8.8 esquema de medio do ngulo por mtodo de repetio

O mtodo consiste em medir o ngulo um certo nmero de vezes, tomando de cada vez para origem a diviso do limbo a que se chegou na medio anterior; para dois vrtices (P1) e (P2), principiaremos por apontar com o movimento geral para o ponto P1, fazendo a leitura, em seguida fixando o limbo, visa-se o ponto P2 com o movimento particular, sem efectuar a leitura, fixa-se a alidade ao limbo e com o movimento geral leva-se o limbo a visar novamente o ponto P1, e assim sucessivamente, at n vezes, fazendo-se finalmente a leitura no ponto P2.

A partir de medies feitas na I. posio, obtm:

n

''a'a 1n +=

e a partir de medies feitas na II. posio, obtemos:

=

+

b bn

n n' ' '2

Portanto o ngulo ; ter a seguinte frmula ou resultado:

=

+' ' '

n

No entanto, na prtica a leitura an ultrapassa vrias vezes os 360 (0) por ter completado mais de uma revoluo durante o processo de repetio. Neste caso devemos adicionar ao valor de i x 360.

Neste caso o ngulo calculado da seguinte maneira:

=

+

a a i

n

n n . 360

A frmula para apurar o ngulo (na segunda posio) a seguinte:

3603602

=

+ '

.b b in

n n

E finalmente o ngulo obtido fazendo a mdia da seguinte maneira:

=

+' ' '

n

Como dissemos, apuramos rapidamente o valor aproximado do ngulo medido fazendo a diferena:

a2 a1, e a sua relao com o valor de i a seguinte:

3i2702i1801i900i90

====

O registo e clculos de ngulos medidos com mtodo de repetio se encontram na tabela 2.

Tabela 2. Medido por: Samuel Emanuel Data 25.01.2002 Tipo de instrumento T2

Mtodo de medio Repetio (em graus)

E s t a .

A l v o

Mdia I e II

Observao

Leitura I Mdia 1 e 2

Leitura II Mdia 1 e 2 1 2 1 2

g

c

cc

c

cc

c

cc

g

c

cc

c

cc

c

cc

g

c

cc

Po

P1

195

78

24

P2

281

21

91

85

43

67

+ 3

85

43

55

Po

P1

395

79

59

85

43

58

P2

81

23

02

85

43

43

Po

P2

8

21

39

P1

322

77

69

314

56

30

+ 3

314

56

39

Po

P2

208

22

70

314

56

42

P1

122

79

19

314

56

49

8.5.3.3. MTODO DE REITERAO. Este mtodo de observao tal como os outros se destina principalmente a evitar erros provenientes de m graduao dos limbos; difere do anterior (repetio) porque embora tambm se efectue a medio de um ngulo um certo nmero de vezes, as origens das medies so mudadas de forma que as leituras referentes a cada direco fiquem uniformemente distribudas no limbo. Conseguindo-se assim, que a mdia dos valores reduzidos seja pouco influenciada pelos erros de graduao do limbo. Este mtodo, portanto, consiste em medir n vezes o mesmo ngulo, tomando para a origem divises equidistantes como ilustra a fig. 8.9.

Fig. 8.9 Esquema de medio dos ngulos pelo mtodo de reiterao.

Estacionando instrumento no ponto P0 , focamos na primeira direco que no ponto P1 e acertamos o limbo de forma que se leia um valor um pouco acima de 0; registamos este valor e com o valor a1 no limbo, focamos depois no P2 e P3 e registamos as leituras a2 e a3 respectivamente. Por ltimo, focamos de novo no P1 e registamos o valor lido neste ponto como a1. A ltima leitura a1 considerada uma leitura de controlo, e se a1 a1, podemos considerar que durante a medio o teodolito estava bem assente no ponto. As leituras a1, a2, a3 e a1 formam assim a primeira srie.

Trocando a posio do limbo e sem o mexer, realizamos a medio no sentido contrrio registando, b1, b2, b3 e b1, nos pontos P3, P2 e P1 respectivamente. Estas leituras formam a segunda srie.

a I1 = 12 (a1 + b1), 1I = a I2 - a I1

a I2 = 12 (a2 + b2), 2I = a I3 - a I2

aI3 =

12 ( a3 + b3), 3I = a I1 - a I3

A operao descrita acima a que chamamos vulgarmente de primeiro grupo sendo, na topografia, necessria a realizao de mais grupos. O procedimento o mesmo e obteremos:

1II

,2II

,3II

.

.

1n, 2

In,3

n

costume na prtica fazer duas a trs medies e, o valor considerado a mdia. Se no vejamos:

1 = 1n (1I + 1II +1III ....)

2 = 1n ( 2I + 2II + 2III .....)

3 = 1n (3I + 3II + 3III .....)

.

.

A tabela 3 apresenta como se registar e calcula os ngulos no mtodo de reiterao.

Tabela 3.

Medido por: Anesy Roberto Data 05.02.2001 Tipo de instrumento Theo 020

Mtodo de Reiterao (em graus)

E s t a c.

A l v o

Mdia I e II

Observao

Leitura I Mdia 1 e 2

Leitura II Mdia 1 e 2 1 2 1 2

g

c

cc

c

cc

c

cc

g

c

cc

c

cc

c

cc

g

c

cc

P0

P1 00 05 78 06 10 05 94

P2 103 67 34 67 72 67 53 103 61 59 P3 256 04 10 04 40 04 25 152 36 72 P1 00 05 70 06 08 (05 89) 144 01 69

P0 P1 100 01 26 01 74 01 50

P2 203 62 90 63 30 63 10 103 61 60 P3 355 99 55 99 92 99 73,5 152 36 63,5 P1 100 01 29 01 70 (01 49,5) 144 01 76,5

-0,1

1= 103 61 59,5

2= 152 36 67,8

3= 144 01 72,8

400 00 00,1

8.5.4. NGULOS VERTICAIS. Na Topografia Mineira, torna-se muito difcil conseguir comprimentos precisos de objectos devido as inclinaes que se apresentam; por exemplo, a espessura de um corpo geolgico, distncia de um lado do polgono, etc.

Ao realizarmos medies directas nas pequenas inclinaes, obtemos resultados aproximados do real, mas elas tornam-se pouco precisas numa inclinao de 60 a 70 ou mais; o que so casos no menos frequente na topografia mineira. Para podermos conhecer o comprimento horizontal necessitamos de conhecer a sua inclinao.

O ngulo vertical () , portanto, definido como sendo a diferena de direco entre duas linhas de interseco medidas num plano vertical.

Fig. 8.10 - esquema de um ngulo vertical

Segundo o plano de referncia para medies de ngulos verticais, dividimos os nos seguintes grupos:

a) ngulo de elevao (1) ou de inclinao/depresso ( 2), o ngulo acima ou abaixo do plano horizontal (fig. 8.11a),

b) ngulo zenital z1, z2, ngulo medido a partir da vertical do lugar, isto , a partir do znite (fig.8. 11b),

c) ngulo nadir v, ngulo medido a partir de baixo do plano vertical, isto , a partir do nadir (fig. 11b),

Fig. 8.11 a) ngulos de elevao (1), de inclinao/depresso ((2), b) - zenital (z1), e nadiral (z2)

8.6. DIRECES DE REFERNCIA. Para que as direces azimutais sejam identificveis necessrio tomar 3 requisitos bsicos:

- uma linha (direco) fixa para referncia, - o sentido de giro, e, - a distncia angular (o valor do ngulo).

O ngulo que se situa ou encontra entre duas direces azimutais chama-se ngulo azimutal. Se uma das direces a de referncia, a esse ngulo chama-se azimute. H a considerar as seguintes direces de referncia:

- direco arbitrria, - direco Norte-Sul geogrfica (ou verdadeiro), - direco Norte magntica, - direco Norte cartogrfica.

8.6.1. DIRECO ARBITRRIA. uma linha (qualquer) de referncia como o seu nome diz, que permite referenciar o trabalho topogrfico, sem ter em considerao uma grande preciso. Por exemplo, quando pretendemos realizar um trabalho que nos permite com rapidez conhecer a situao da mina para avaliar o estado actual de um sector de explorao, e outros trabalhos do gnero.

8.6.2. DIRECO NORTE GEOGRFICO-SUL (VERDADEIRO). Num ponto, o norte geogrfico (ou verdadeiro) a direco do plo norte a partir deste ponto. O meridiano que passa por qualquer ponto a verdadeira linha norte-sul. Sabemos que os meridianos convergem para o norte, portanto a direco norte verdadeira tambm converge para os plos. Dois nortes verdadeiros em dois pontos s sero linhas paralelas se encontrem ambos no equador ou no mesmo meridiano.

8.6.3. DIRECO NORTE MAGNTICO. A terra magntico resultado de toda fora magntica da terra para o plo magntico da terra, que move gradualmente na vizinhana de norte verdadeiro da terra. Neste momento o plo norte magntico situa-se no norte de Canad e o plo magntico sul diametralmente oposto. Os plos magnticos no coincidem com os plos terrestres.

Por vrias razes, a fora magntica que compe o campo magntico da terra, os meridianos magnticos no so linhas rectas.

O Azimute magntico , portanto a direco medida a partir de meridiano magntico norte e sul, medido no sentido horrio. Para determinao de Azimute magntico, empregamos o instrumento chamado bssola topogrfica.

Por ser oportuno, comearemos por apresentar na fig. 8.12 o exemplo da caixa deste instrumento; bssola.

Fig. 8.12 Sistema de graduao de crculo em bssolas

A agulha magntica livremente suspensa est submetida linha dos seus plos fazendo sempre um ngulo com o plano meridiano de lugar, isto , com a linha geogrfica norte-sul chamada declinao magntica, e um ngulo com o plano horizontal, chamado inclinao magntica.

A bssola construda duma forma que a sua agulha magntica ocupa sempre sensivelmente uma dada orientao no espao, permitindo medir ngulos entre direces, ou directamente o valor dos azimutes. A leitura direita feita na bssola numa certa pontaria o azimute magntico.

A bssola graduada no sentido contrrio ao ponteiro de relgio; 0, passando por 90, 180, 270 at 360 = 0. Na mesma forma no 0 indicado N (norte), 90 W (oeste), 180 S (sul) at 270 E (este) como se pode ver na fig. 8.12.

Embora com pouco rigor nas leituras a bssola que apresentado na fig. 8.13, um instrumento muito usado para trabalhos de reconhecimento ou de expedies e essencialmente para orientao, o em trabalhos geolgicos.

A bssola tem vantagem de determinar uma orientao que totalmente independente de outras medies. A outra vantagem, durante o itinerrio, os erros acidentais no se acumula.

8.6.4. DECLINAO MAGNTICA , o ngulo horizontal a partir do meridiano geogrfico (verdadeiro) at ao meridiano magntico (ver a fig. 8.14).

A declinao magntica varia de acordo com seu lugar de observao e est tambm sujeita, no mesmo lugar, a variaes seculares, diurnas, acidentais (devida a tempestades magnticas) e locais (devidas a massas metlicas ou correntes elctricas).

As variaes diurnas (entre 5-12) atingem o seu mximo entre as 12 e 14 horas e mnimo por volta das 10 horas. A variao anual mais significativa no vero que no inverno. A variao secular ronda entre 25 e 20 (35 em volta de 500 anos) so observados em Londres desde o ano de 1600. Em relao variao irregular conhecida por tempestade magntica ronda por volta de 1 e chega de atingir mximo de 5.

Em qualquer pas, as variaes mais importantes so as variaes seculares que so indicadas pelas cartas isognicas.

Linhas isognicas so linhas que unem pontos de igual declinao magntica. As linhas que unem pontos de declinao magntica zero se chamam linhas agnicas.

A declinao magntica pode variar no sentido este oeste. Para o lado este chamado de declinao positiva (+) e para o oeste a declinao negativa (-).

Alm da declinao magntica, a agulha magntica da bssola sofre ainda um desvio, que corresponde ao ngulo que a agulha faz com o plano do horizonte, e que se chama inclinao magntica.

Conforme a fig. 8.13, apuramos o azimute cartogrfico a partir da declinao magntica (), bastando realizar a seguinte operao (ver a fig. 8.13a, b):

- para declinao magntica este, A,B = A,B + .

- para declinao magntica oeste, A,B = A,B - .

onde; NG norte geogrfico (verdadeiro), NM norte magntico, A, B azimute norte verdadeiro, A;B azimute magntico.

Fig. 8. 13 declinao magntica oeste (a) e este (b)

Azimute determinado no incio chamado azimute directo e aquele no fim da mesma linha, azimute inverso ou recproco. O azimute inverso da direco AB (ou bem, direco BA), igual ao azimute da direco AB mais ou menos 180 (ou 200g).