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MECANICA DOS FLUIDOS
ESCOAMENTOS VISCOSOSMaterial Didtico ESCOAMENTOS TURBULENTOS - TENSOES DE REYNOLDS
PUCRS - DEM - Prof. Al
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Mecnica dos Fluidos
I - ESCOAMENTOS TURBULENTOS - TENSOES DE REYNOLDSObjetivo: Deduzir as tenses aparentes ou Tenses de Reynolds para escoamento turbulento utilizando as equaes da conservao da massa e Eq. de Navier Stokes considerando fluido incompressvel Apresentar as equaes de Navier-Stokes para escoamento turbulento. Definimos as equaes que da conservao da massa e Eq. de Navier Stokes Equao valida para escoamento laminar e turbulento Fluido incompressvel (massa especifica constante) e viscosidade constante Sem iterao trmica. Condies de no-deslizamento e condies conhecidas na entrada e sada
Equao da conservao da massa
u v w + + =0 x y z r r r DV = p + g + 2V Dt
(1) (2)
Equao de Navier Stokes Utilizando as grandezas escalares:
Equao de Navier Stokes Componentes escalares
u u u u p + u +v + w = + g x + 2 u t x y z x v v v v p + u + v + w = + g y + 2 v t x y z y
(3)
w w w w p 2 t + u x + v y + w z = z + g z + w
No escoamento turbulento velocidade instantnea e definida como sendo a soma da media temporal mais a componente de flutuao
u = u + u' v = v + v' w= w+w p = p + p'Media Temporal A media temporal u da funo u ( x, y, z , t ) e definida como:'
(4)
u=T
1 T udt T o
v=
1 T
T
o
vdt
w=
1 T
T
o
wdt
p=
1 T
T
o
pdt
(5)
Perodo de calculo da media, o qual deve ser maior que o perodo das flutuaes. Para escoamentos turbulentos em gases e gua T=5seg. e um perodo apropriado.Escoamentos Viscosos
1-2
MECANICA DOS FLUIDOS Media da Flutuao Media do Quadrado da Flutuao Media do Produto das Flutuaes
u' =
1 T
(u u )dt = 0T o
(6)
u '2 =
1 T
T
o
u '2 dt 0
(7) (8)
u 'v ' 0
u ' w' 0
v ' w' 0
Utilizando as velocidades instantneas e introduzidas na conservao da massa:
u + u ' v + v ' w + w' + + =0 x y z
(
) (
) (
)
u v w u ' v ' w ' + + + + + =0 z x y z x yTomando valores mdios se obtm: Equao da Conservao da Massa para escoamento Turbulento. Equao de Navier Stokes para Escoamento Turbulento Substituindo as definies de velocidades instantneas se obtm:
u v w + + =0 x y z
(9)
u '2 u ' v ' u ' w ' u u u u p = + g x + 2 u +u +v +w + + t x x y z x y z u 'v ' v '2 v ' w ' v v v v p + u +v +w = + g y + 2 v + + t x x y z y y z
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
(10)
u ' w' v ' w ' w'2 w w w w p = + g z + 2 w +u +v +w + + t x y z x y z z
( ) ( ) ( )
Observa-se comparando a Eq.10 com a Eq,1 que no caso do escoamento turbulento surge forcas adicionais devido turbulncia denominada forcas aparentes. As tenses associadas a estas forcas so chamadas de tenses aparentes ou tenses de Reynolds
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Mecnica dos Fluidos
Forcas Aparentes Associadas ao Escoamento Turbulento.
u '2 u ' v ' u ' w ' + + df Tx = x y z v 'u ' v '2 v ' w' df Ty = + + x y z
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (11)
w ' u ' w ' v ' w '2 df Tz = + + x y z
( ) ( ) ( )
Estas forcas aparentes esto relacionadas as tenses do escoamento turbulento
Txy Txz df Tx = Txx + + x y z Tyx Tyy Tyz df Ty = x + y + z Tzy Tzz df Tz = Tzx + + x y z
(12)
Estas tenses so denominadas tenses de Reynolds as quais so conseqncia das flutuaes da velocidade.
Txx Tyx Tzx
Txy Tyy Tzy
u '2 Txz ' ' vu Tyz = Tzz ' ' wu
( ) (u v ) (u w ) ( ) (v ) (v w ) ( ) (w v ) (w ) ' ' ' ' '2 ' ' ' ' '2
(13)
Desta forma as tenses no escoamento turbulento podem ser consideradas como sendo a soma das parcelas das tenses laminares mais as tenses turbulentas ou tenses de Reynolds:
xx = xx + Txx
yy = yy + TyyTenses de para Escoamento turbulento
zz = zz + Tzz xy = xy + Txy yz = yz + Tyz zx = zx + Tyzx
(14)
Para escoamento com fluido incompressvel a s tenses laminar e turbulenta so definidas pelas equaes a seguir:1-4 Escoamentos Viscosos
MECANICA DOS FLUIDOS
xx = xx + Txx
xx = p + 2
u x
Txx = u '2
( )
yy = yy + Tyy
yy = p + 2 zz = p + 2
v yw z
Tyy = v '2
( )
zz = zz + Tzz
Tzz = w '2
xy = xy + Txy
u v xy = y + x w v yz = y + z
Txy = u ' v '
( )
( )
yz = yz + Tyz
Tyz = v ' w '
( )( )
zx = zx + Tyzx
u w zx = + z x
Tzx = w 'u '
A Eq. 10 tambm pode ser representada como:
v v '2 + y y w p w w w w w ' ' t + u x + v y + w z = z + g z + x x w u + y y '
u u u u p u '2 t + u x + v y + w z = x + g x + x x u v p v v v v ' ' t + u x + v y + w z = y + g y + x x v u
( )
( ) + y u (u v ) + z uz (u w ) y'
( )
( ) + z vz (v w ) ' ' ' '
'
'
(w u ) + z w (w ) z'2
A equao acima pode ser escrita em forma mais compacta como: xx xy xz u u u u t + u x + v y + w z = g x + x + y + z yx yy yz v v v v t + u x + v y + w z = g y + x + y + z
Equao de Navier-Stokes para Escoamento turbulento
(15)
zx zy zz w w w w t + u x + v y + w z = g z + x + y + z
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Mecnica dos Fluidos REPRESENTACOES SEMI-EMPIRICAS DAS TENSOES DE REYNOLDS Ainda no existe um modelo de turbulncia geral e completo que descreva como varia a tenso de cisalhamento num campo de escoamento incompressvel viscoso e turbulento. Existe uma grande dificuldade em determinar as tenses de Reynolds ou que representa no conhecer a viscosidade turbulenta efetiva.
Duas solues semi empricas podem ser descritas: (a) Conceito de Comprimento de Mistura de Prandtl em 1925 (b) Conceito de Viscosidade Turbulenta Efetiva de Boussinesq. Considerando um dos termos para um escoamento numa direo predominante:
= lam + turb =
du u 'v ' dy
demonstra-se que o produto u 'v ' e sempre negativo (-):
=
du du u 'v ' = + u 'v ' dy dy
(
)
( )
( )
( )
Desta forma num escoamento turbulento, a tenso total (lam + turb) e sempre maior que no escoamento laminar. Parcela lam : Parcela Turb : Dominante na sub-camada viscosa (muito fina: 0,1% do Raio da tubulao) Dominante na camada externa ou camada turbulenta. (100 a 1000 maior que lam nesta camada)
Transies dos efeitos laminar e turbulento ocorrem na camada de superposio ou amortecedora.
CONCEITO DE MISTURA DE PRANDTL As partculas de fluido viajam de camada para camada. Neste transporte percorrem um caminho com comprimento de mistura l
Pode ser mostrado que as flutuaes das velocidades so relacionadas por:
u ' = l1
du du ' e v = l2 dy dy
Onde l1 e l2 so os comprimentos de mistura para o transporte da quantidade de movimento. Definimos tambm que:2 l m = l1l 2
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Escoamentos Viscosos
MECANICA DOS FLUIDOS O comprimento de mistura e definido como
l m = kyonde y e a distancia normal a parede e k e a constante de Von karman (k=0,4). Estudos posteriores mostram que l m no apresenta um valor constante. Desta forma a tenso turbulenta e expressa como:2 Turb = u ' v ' = l m
( )
du du dy dy
Tenso de Reynolds utilizando hiptese de Prandtl.
2 Turb = l m
du du dy dy
Boussinesq define a viscosidade turbulenta efetiva, representando a tenso turbulenta como:
Turb =
du dy
Tenso de Reynolds utilizando hiptese de Boussinesq
Turb =
du dy
Onde representa a viscosidade turbulenta efetiva que podemos relacionar a expresso de Prandtl por: Viscosidade turbulenta efetiva.
2 = lm
du dy
Desta forma se obtm uma representao da tenso turbulenta como:
= lam + turb =
du du + dy dy = ( + )
Tenso de Cisalhamento para escoamento turbulento
du dy
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Mecnica dos Fluidos A viscosidade efetiva turbulenta ( ) e relacionada nestas equaes com a difusividade turbilhonar conhecida como denominada viscosidade cinemtica aparente. Viscosidade cinemtica aparente.
m =
Tenso de Reynolds utilizando a viscosidade cinemtica aparente.
Turb = m
du dy
Desta forma a tenso de cisalhamento total num escoamento turbulento pode ser dada por: Tenso de Cisalhamento para escoamento turbulento
= ( + m )
du dy
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Escoamentos Viscosos
MECANICA DOS FLUIDOS
EXEMPLO : Na tabela so dadas as componentes de um escoamento turbulento. Determinar:
u,
u ,
u 2 ,
v 2 ,
u v
(seg) 0 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09 0,1
t
u (t ) (m/s)16,1 25,7 10,6 17,3 5,2 10,2 17,1 28,6 6,7 19,2 21,6
v (t )1,6 -5,4 -8,6 3,5 4,1 -6 -1,4 6,7 -5,2 -8,2 1,5
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Mecnica dos Fluidos EXEMPLO : Na tabela so dadas as componentes de um escoamento turbulento. Determinar:
u, t
u ,
u 2 ,
v 2 ,
u v
(seg) 0 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09 0,1
u (t ) (m/s)16,1 25,7 10,6 17,3 5,2 10,2 17,1 28,6 6,7 19,2 21,6
u , = u (t ) u-0,11 9,49 -5,61 1,09 -11,01 -6,01 0,89 12,39 -9,51 2,99 5,39
(u , ) 20,01 90,08 31,46 1,19 121,20 36,11 0,79 153,53 90,42 8,95 29,06
v (t )1,6 -5,4 -8,6 3,5 4,1 -6 -1,4 6,7 -5,2 -8,2 1,5
v , = v(t ) v3,18 -3,82 -7,02 5,08 5,68 -4,42 0,18 8,28 -3,62 -6,62 3,08
(v , ) 210,12 14,58 49,25 25,82 32,28 19,52 0,03 68,59 13,09 43,80 9,50 26,05
u = 16,21m / s
u , = 0,00
(u , ) 2 = 51,16m / s
u = 1,58m / s
u , = 0,00
180 160 140 120 100 80 60 40 20 0 -20 0 0,02 0,04 0,06 0,08 0,1
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Escoamentos Viscosos